Chương III. Góc và đường thẳng song song

Bài 8. Góc ở vị trí đặc biệt. Tia phân giác của một góc

Sách bài tập Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 1 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 3.1★Trang 36— Nhận biết hai góc kề bù trên hình vẽ

Cho Hình 3.4, kể tên các cặp góc kề bù.

Kiến thức cần nhớ

Hai góc kề bù là hai góc có một cạnh chung, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau.
Hai tia đối nhau là hai tia chung gốc và tạo thành một đường thẳng.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ yêu cầu đọc hình để gọi tên, dấu hiệu nhận dạng là tìm cặp góc có chung một cạnh còn hai cạnh kia nằm trên cùng một đường thẳng (hai tia đối nhau). Ở mỗi hình nhỏ chỉ có đúng một đường thẳng và một tia chắn ngang nên chỉ có đúng một cặp góc kề bù. Bẫy là dễ nhầm hai góc chỉ đứng cạnh nhau (kề nhau) nhưng cạnh còn lại không tạo thành đường thẳng thì không phải kề bù.

1Cách 1. Xét từng hình, tìm cạnh chung và đường thẳng chứa hai cạnh còn lại

Ở mỗi hình, tìm tia nằm giữa một đường thẳng rồi ghép với hai nửa đường thẳng đó thành hai góc kề bù.

Hình a: đường thẳng

x y

đi qua

H

, tia

H z

chắn ngang tạo hai góc

y H z

và

z H x

có chung cạnh

H z

, hai cạnh còn lại

H x, H y

là hai tia đối nhau.

Hình b: đường thẳng

E F

đi qua

I

, tia

I D

chắn ngang tạo hai góc

E I D

và

D I F

có chung cạnh

I D

, hai cạnh còn lại

I E, I F

là hai tia đối nhau.

Vậy các cặp góc kề bù là $y H z$ và $z H x$ (hình a); $E I D$ và $D I F$ (hình b).

2Cách 2. Liệt kê mọi góc rồi loại theo định nghĩa

Ghi ra mọi góc có đỉnh $H$ (hoặc $I$ ) tạo bởi hai tia bất kỳ trong hình, sau đó chỉ giữ lại cặp thoả định nghĩa kề bù.

Tại

H

chỉ có ba tia

H x, H y, H z

nên chỉ có một cặp góc chung cạnh

H z

là

x H z

và

z H y

; vì

H x, H y

đối nhau nên đây là cặp kề bù duy nhất.

Tại

I

chỉ có ba tia

I E, I F, I D

nên chỉ có một cặp góc chung cạnh

I D

là

E I D

và

D I F

; vì

I E, I F

đối nhau nên đây là cặp kề bù duy nhất.

Vậy mỗi hình chỉ có đúng một cặp góc kề bù, trùng kết quả Cách 1: $y H z, z H x$ và $E I D, D I F$ .

3Cách 3. Nhận diện qua tổng số đo bằng 180°

Hai góc kề bù luôn có tổng số đo $18 0^{\circ}$ vì cùng nằm về hai phía của một đường thẳng; dùng dấu hiệu này để khẳng định lại cặp góc đã chọn.

y H z + z H x = y H x = 18 0^{\circ}

vì

y H x

là góc bẹt (do

H x, H y

đối nhau).

E I D + D I F = E I F = 18 0^{\circ}

vì

E I F

là góc bẹt (do

I E, I F

đối nhau).

Vậy cả hai cặp góc trên đều thoả tổng $18 0^{\circ}$ , khẳng định lại chúng là các cặp góc kề bù.

Nhận xét. Cách 3 tiện để kiểm tra ngược lại đáp số của Cách 1, Cách 2 mà không cần nhìn lại hình.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đọc thẳng từ hình ra cạnh chung và đường thẳng chứa hai cạnh còn lại, nhanh hơn liệt kê hết mọi góc rồi loại như Cách 2.

Đáp số. Hình a:

y H z

và

z H x

. Hình b:

E I D

và

D I F

Sai lầm thường gặp. Nhầm hai góc chỉ đứng kề nhau trên hình (ví dụ

x H z

và một góc bất kỳ khác không thẳng hàng với

H x

) là kề bù, trong khi kề bù đòi hỏi hai cạnh còn lại phải là hai tia đối nhau chứ không chỉ là "nhìn gần nhau".

🚀 Mở rộng. Nếu vẽ thêm tia thứ hai chắn qua

H

(ngoài

H z

) thì số cặp góc kề bù nhận được sẽ tăng theo số tia thêm vào, mỗi tia mới lại tạo đúng một cặp kề bù mới với đường thẳng gốc.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 3.2★Trang 37— Nhận biết góc đối đỉnh và góc kề bù trên hình vẽ

Cho Hình 3.5.
a) Gọi tên các cặp góc đối đỉnh.
b) Gọi tên góc kề bù với

A O D

Kiến thức cần nhớ

Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.
Hai góc kề bù là hai góc có một cạnh chung, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Hình có hai đường thẳng cắt nhau tại

O

nên

O A, O C

là hai tia đối nhau và

O B, O D

cũng là hai tia đối nhau — đây chính là dấu hiệu của góc đối đỉnh. Với góc kề bù, chỉ cần tìm các góc có chung một cạnh với

A O D

mà cạnh còn lại đối nhau. Bẫy hay gặp là chỉ gọi được một góc kề bù trong khi thực ra có hai góc (mỗi cạnh của

A O D

đều cho một góc kề bù riêng).

1Cách 1. Xét từng cặp cạnh đối nhau để tìm góc đối đỉnh

Vì $A, O, C$ thẳng hàng và $B, O, D$ thẳng hàng, ghép cạnh của đường thẳng này với cạnh của đường thẳng kia để tìm các cặp góc đối đỉnh.

O A

đối

O C

;

O B

đối

O D

nên

A O B

đối đỉnh với

C O D

Tương tự

A O D

đối đỉnh với

B O C

(cạnh

O A

đối

O C

, cạnh

O D

đối

O B

Vậy hai cặp góc đối đỉnh là $A O B$ và $C O D$ ; $A O D$ và $B O C$ .

2Cách 2. Tìm góc kề bù bằng cách xét từng cạnh của

A O D

Góc kề bù với $A O D$ phải có một cạnh trùng với $O A$ hoặc $O D$ , cạnh còn lại là tia đối của cạnh kia trong $A O D$ .

Chung cạnh

O A

, cạnh còn lại đối với

O D

là

O B

(vì

O B

đối

O D

): được góc

A O B

Chung cạnh

O D

, cạnh còn lại đối với

O A

là

O C

(vì

O C

đối

O A

): được góc

D O C

Vậy $A O D$ kề bù với cả $A O B$ và $D O C$ .

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng tổng bốn góc quanh điểm

O

Bốn góc $A O B, B O C, C O D, D O A$ quanh điểm $O$ có tổng $36 0^{\circ}$ ; dùng tính chất góc đối đỉnh bằng nhau và góc kề bù có tổng $18 0^{\circ}$ để kiểm tra chéo hai câu a), b).

Vì

A O B = C O D

(đối đỉnh) và

A O D = B O C

(đối đỉnh), đặt

A O B = C O D = α

A O D = B O C = β

2 α + 2 β = 36 0^{\circ} \Rightarrow α + β = 18 0^{\circ}

, đúng bằng tổng của hai góc kề bù

A O D + A O B = β + α = 18 0^{\circ}

Vậy kết quả câu a) và b) ở Cách 1, Cách 2 là nhất quán với nhau.

Nhận xét. Cách 3 không cần dùng để tìm tên góc, chỉ dùng để soát lại đáp số của hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 và Cách 2 kết hợp: đọc thẳng cặp tia đối nhau trên hình để suy ra ngay cả góc đối đỉnh lẫn góc kề bù, không cần tính toán gì thêm.

Đáp số. a)

A O B

đối đỉnh

C O D

;

A O D

đối đỉnh

B O C

. b) Góc kề bù với

A O D

là

A O B

và

D O C

Sai lầm thường gặp. Chỉ nêu một góc kề bù với

A O D

(thường là

A O B

) mà quên góc

D O C

ở phía cạnh

O D

; thực chất mỗi góc có hai góc kề bù, ứng với hai cạnh của nó.

🚀 Mở rộng. Nếu vẽ thêm đường thẳng thứ ba cũng đi qua

O

thì số cặp góc đối đỉnh sẽ tăng lên: với

n

đường thẳng phân biệt cùng qua một điểm, số cặp góc đối đỉnh là

n (n - 1)

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 3.3★★Trang 37— Tính góc kề bù và góc đối đỉnh khi biết một góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau

Vẽ hai đường thẳng

x y

và

mn

cắt nhau tại điểm

O

sao cho

x O m = 12 0^{\circ}

. Tính các góc

m O y

y O n

x O n

Kiến thức cần nhớ

Hai góc kề bù có tổng số đo bằng $18 0^{\circ}$ .
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau và hỏi ba góc còn lại — dấu hiệu của dạng dùng liên tiếp tính chất kề bù rồi đối đỉnh. Từ

x O m

suy ra

m O y

bằng kề bù, rồi từ

m O y

suy tiếp

y O n

cũng bằng kề bù, còn

x O n

có thể suy trực tiếp bằng đối đỉnh với

m O y

để đi tắt. Bẫy là dễ nhầm cặp nào kề bù với cặp nào khi bốn tia

x, m, y, n

đứng xen kẽ nhau quanh

O

1Cách 1. Đi vòng liên tiếp bằng tính chất kề bù

Vì $x, y$ đối nhau và $m, n$ đối nhau nên đi một vòng quanh $O$ , mỗi lần sang một tia kế tiếp là một lần dùng kề bù.

m O y = 18 0^{\circ} - x O m = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

y O n = 18 0^{\circ} - m O y = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

x O n = 18 0^{\circ} - y O n = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

Vậy $m O y = 6 0^{\circ}$ , $y O n = 12 0^{\circ}$ , $x O n = 6 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Dùng đối đỉnh để rút ngắn

Nhận ra ngay $y O n$ và $x O n$ là góc đối đỉnh của hai góc đã biết, khỏi phải đi vòng từng bước.

m O y = 18 0^{\circ} - x O m = 6 0^{\circ}

(kề bù)

y O n = x O m = 12 0^{\circ}

(đối đỉnh với

x O m

, vì

O x

đối

O y

O m

đối

O n

)

x O n = m O y = 6 0^{\circ}

(đối đỉnh với

m O y

)

Vậy $m O y = 6 0^{\circ}$ , $y O n = 12 0^{\circ}$ , $x O n = 6 0^{\circ}$ , trùng Cách 1.

3Cách 3. Đặt tổng bốn góc quanh

O

bằng

36 0^{\circ}

Bốn góc $x O m, m O y, y O n, n O x$ liên tiếp quanh $O$ có tổng $36 0^{\circ}$ ; kết hợp với cặp góc đối đỉnh bằng nhau để lập phương trình.

x O m = y O n

(đối đỉnh) và

m O y = n O x

(đối đỉnh), đặt

m O y = n O x = t

12 0^{\circ} + t + 12 0^{\circ} + t = 36 0^{\circ} \Rightarrow 2 t = 12 0^{\circ} \Rightarrow t = 6 0^{\circ}

Vậy $m O y = x O n = 6 0^{\circ}$ và $y O n = x O m = 12 0^{\circ}$ , trùng hai cách trên.

Nhận xét. Cách 2 là ngắn nhất vì dùng thẳng đối đỉnh, không phải lặp lại phép trừ $18 0^{\circ}$ nhiều lần như Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhận ra ngay hai cặp góc đối đỉnh để suy luôn

y O n = 12 0^{\circ}

và

x O n = 6 0^{\circ}

mà không cần đi vòng ba bước trừ liên tiếp như Cách 1.

Đáp số.

m O y = 6 0^{\circ}

;

y O n = 12 0^{\circ}

;

x O n = 6 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Cho rằng

x O n

đối đỉnh với

x O m

(sai vì hai góc này chung cạnh

O x

, không phải đối đỉnh); đối đỉnh của

x O m

phải là

y O n

🚀 Mở rộng. Nếu thay

12 0^{\circ}

bằng góc

α

bất kỳ (

0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}

) thì

m O y = x O n = 18 0^{\circ} - α

và

y O n = α

— công thức tổng quát cho mọi trường hợp hai đường thẳng cắt nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 3.4★★Trang 37— Tính góc khi biết tia phân giác, kết hợp tia đối

Vẽ

x A m = 5 0^{\circ}

. Vẽ tia phân giác

A n

của

x A m

.
a) Tính

x A n

.
b) Vẽ tia

A y

là tia đối của tia

A n

. Tính

m A y

Kiến thức cần nhớ

Tia phân giác của một góc chia góc đó thành hai góc bằng nhau, mỗi góc bằng nửa góc ban đầu.
Hai góc kề bù có tổng số đo bằng $18 0^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu là cụm "tia phân giác" — cho biết ngay

x A n = n A m = \frac{1}{2} x A m

. Câu b) thêm tia đối

A y

của

A n

nên

m A y

và

m A n

kề bù, đi tiếp một bước trừ

18 0^{\circ}

là ra đáp số. Bẫy ở chỗ dễ nhầm

m A y

với

x A y

(góc kề bù của toàn bộ

x A n + n A m

chứ không phải chỉ

n A m

1Cách 1. Dùng định nghĩa tia phân giác rồi kề bù

Tính nửa góc từ định nghĩa phân giác, sau đó dùng kề bù cho câu b).

x A n = n A m = \frac{x A m}{2} = \frac{5 0 ^{\circ}}{2} = 2 5^{\circ}

m A y = 18 0^{\circ} - m A n = 18 0^{\circ} - 2 5^{\circ} = 15 5^{\circ}

(vì

m A y

và

m A n

kề bù, do

A y

đối

A n

)

Vậy $x A n = 2 5^{\circ}$ và $m A y = 15 5^{\circ}$ .

2Cách 2. Đặt số đo các tia trên một trục góc quanh

A

Gán mỗi tia một số đo theo cùng một chiều quanh $A$ để tính trực tiếp $m A y$ bằng một phép trừ, không cần xét tia nào nằm giữa tia nào.

Đặt

A x

ứng với

0^{\circ}

A m

ứng với

5 0^{\circ}

A n

(tia phân giác) ứng với

2 5^{\circ}

A y

đối

A n

nên ứng với

2 5^{\circ} - 18 0^{\circ} = - 15 5^{\circ}

, tức

20 5^{\circ}

theo chiều dương

m A y = 20 5^{\circ} - 5 0^{\circ} = 15 5^{\circ}

Vậy $x A n = 2 5^{\circ}$ và $m A y = 15 5^{\circ}$ , trùng Cách 1.

3Cách 3. Dùng tổng bốn góc liên tiếp quanh điểm

A

bằng

36 0^{\circ}

Bốn tia $A x, A n, A m, A y$ theo đúng thứ tự quanh $A$ tạo thành bốn góc liên tiếp $x A n, n A m, m A y, y A x$ có tổng $36 0^{\circ}$ ; đã biết ba trong bốn góc đó nên suy ra góc còn lại.

x A n = n A m = 2 5^{\circ}

(tính chất tia phân giác)

y A x = 15 5^{\circ}

(kề bù với

x A n

, vì

y A x

và

x A n

cùng nhìn từ tia

A x

tới hai tia đối nhau

A y, A n

)

x A n + n A m + m A y + y A x = 36 0^{\circ} \Rightarrow 2 5^{\circ} + 2 5^{\circ} + m A y + 15 5^{\circ} = 36 0^{\circ}

m A y = 36 0^{\circ} - 2 5^{\circ} - 2 5^{\circ} - 15 5^{\circ} = 15 5^{\circ}

Vậy $m A y = 15 5^{\circ}$ , khớp Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Cách 2 (đặt số đo trên trục góc) là nhanh và chắc chắn nhất, tránh phải xét tia nào nằm giữa tia nào như khi suy luận hình học thuần tuý.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ hai bước (chia đôi rồi kề bù), ngắn hơn hẳn việc đặt toạ độ góc như Cách 2 hay cộng bốn góc quanh điểm như Cách 3.

Đáp số.

x A n = 2 5^{\circ}

;

m A y = 15 5^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Tính

m A y = 18 0^{\circ} - x A m = 13 0^{\circ}

, tức nhầm lấy kề bù của

x A m

thay vì kề bù của

m A n

— vì tia đối là của

A n

chứ không phải của

A x

🚀 Mở rộng. Nếu thay

5 0^{\circ}

bằng góc

α

bất kỳ thì

x A n = \frac{α}{2}

và

m A y = 18 0^{\circ} - \frac{α}{2}

— hai góc này luôn là hai góc kề bù của nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 3.5★Trang 37— Tính góc gốc khi biết tia phân giác và một nửa góc

Cho Hình 3.6. Biết tia

O z

là tia phân giác của

x O y

. Tính

x O y

Kiến thức cần nhớ

Tia phân giác của một góc chia góc đó thành hai góc bằng nhau, mỗi góc bằng nửa góc ban đầu.
Ngược lại, nếu biết một nửa thì góc ban đầu gấp đôi nửa đó.

🧠 Phân tích tư duy

Hình cho sẵn số đo

x O z = 5 5^{\circ}

và tia

O z

là phân giác, dấu hiệu là áp dụng ngược định nghĩa phân giác: góc gốc gấp đôi một nửa đã biết. Bẫy duy nhất là đọc nhầm số đo cho trên hình ứng với góc nào (góc

x O z

hay cả góc

x O y

1Cách 1. Nhân đôi trực tiếp từ định nghĩa phân giác

Vì $O z$ là tia phân giác nên $x O y = 2 \cdot x O z$ .

x O y = 2 \cdot x O z = 2 \cdot 5 5^{\circ} = 11 0^{\circ}

Vậy $x O y = 11 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Cộng hai nửa góc bằng nhau

Thay vì nhân đôi, cộng trực tiếp hai góc bằng nhau $x O z$ và $z O y$ do tia phân giác tạo ra.

z O y = x O z = 5 5^{\circ}

(tính chất phân giác)

x O y = x O z + z O y = 5 5^{\circ} + 5 5^{\circ} = 11 0^{\circ}

Vậy $x O y = 11 0^{\circ}$ , trùng Cách 1.

3Cách 3. Lập phương trình với ẩn là góc cần tìm

Gọi $x O y = t$ , dùng định nghĩa phân giác để lập phương trình theo $t$ rồi giải ngược lại.

x O z = \frac{t}{2}

theo định nghĩa phân giác

\frac{t}{2} = 5 5^{\circ} \Rightarrow t = 11 0^{\circ}

Vậy $x O y = 11 0^{\circ}$ .

Nhận xét. Ba cách chỉ là ba cách viết khác nhau của cùng một phép nhân đôi, Cách 1 là gọn nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng nhân đôi là ra ngay đáp số, không cần đặt ẩn như Cách 3.

Đáp số.

x O y = 11 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Nhầm

x O y = 18 0^{\circ} - 5 5^{\circ} = 12 5^{\circ}

do lẫn với công thức kề bù, trong khi tia phân giác không liên quan đến kề bù mà chỉ chia đôi góc.

🚀 Mở rộng. Nếu

x O z = α

thì

x O y = 2 α

với mọi

α

thoả

0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}

(để

x O y

vẫn nhỏ hơn góc bẹt).

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 3.6★Trang 37— Tính góc kề bù khi biết một góc

Vẽ

x A y = 4 0^{\circ}

. Vẽ

y A z

là góc kề bù với

x A y

Kiến thức cần nhớ

Hai góc kề bù là hai góc có một cạnh chung, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau.
Hai góc kề bù có tổng số đo bằng $18 0^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cụm "góc kề bù" là dấu hiệu áp dụng thẳng công thức tổng hai góc kề bù bằng

18 0^{\circ}

. Không có bẫy phức tạp, chỉ cần xác định đúng tia

A z

phải là tia đối của

A x

(không phải của

A y

) thì

y A z

mới kề bù với

x A y

1Cách 1. Áp dụng thẳng công thức tổng hai góc kề bù

$x A y$ và $y A z$ kề bù nên tổng của chúng bằng $18 0^{\circ}$ .

y A z = 18 0^{\circ} - x A y = 18 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 14 0^{\circ}

Vậy $y A z = 14 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Xem

x A z

là góc bẹt rồi trừ

Vì $A z$ là tia đối của $A x$ nên $x A z = 18 0^{\circ}$ là góc bẹt; $y A z$ chính là phần còn lại sau khi bớt đi $x A y$ .

x A z = 18 0^{\circ}

(góc bẹt vì

A x, A z

đối nhau)

y A z = x A z - x A y = 18 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 14 0^{\circ}

Vậy $y A z = 14 0^{\circ}$ , trùng Cách 1.

3Cách 3. Đặt số đo các tia trên một trục góc quanh

A

Gán số đo cho từng tia theo cùng một chiều quanh $A$ rồi tính $y A z$ bằng một phép trừ trực tiếp, không cần nêu lý do kề bù.

Đặt

A x

ứng với

0^{\circ}

A y

ứng với

4 0^{\circ}

A z

đối

A x

nên ứng với

18 0^{\circ}

y A z = 18 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 14 0^{\circ}

Vậy $y A z = 14 0^{\circ}$ , khớp Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Ba cách đều quy về cùng một phép trừ cho $18 0^{\circ}$ ; Cách 1 gọn nhất vì không phải đặt thêm toạ độ góc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một phép trừ duy nhất, nhanh hơn Cách 2 phải nêu thêm lý do

x A z = 18 0^{\circ}

Đáp số.

y A z = 14 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Vẽ nhầm

A z

là tia đối của

A y

thay vì của

A x

, khi đó góc kề bù sẽ tính theo cạnh sai và ra kết quả không đúng với yêu cầu "kề bù với

x A y

🚀 Mở rộng. Nếu

x A y = α

với

0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}

thì

y A z = 18 0^{\circ} - α

; khi

α = 9 0^{\circ}

thì

y A z = 9 0^{\circ}

, tức cả hai góc kề bù đều là góc vuông.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 3.7★★★Trang 37— Tính góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù

Cho góc bẹt

x O y

. Vẽ tia

O z

sao cho

x O z = 6 0^{\circ}

. Vẽ tia

O m

là tia phân giác của góc

x O z

. Vẽ tia

O n

là tia phân giác của góc

z O y

.
a) Tính số đo góc

x O m

.
b) Tính số đo góc

y O n

.
c) Tính số đo góc

m O n

Kiến thức cần nhớ

Hai góc kề bù có tổng số đo bằng $18 0^{\circ}$ .
Tia phân giác chia góc thành hai phần bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một góc bẹt bị chia bởi tia

O z

thành hai góc kề bù

x O z, z O y

, rồi lấy phân giác của từng góc — dấu hiệu của dạng "góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù", vốn luôn cho kết quả

9 0^{\circ}

. Câu a), b) chỉ là chia đôi trực tiếp, còn câu c) là bẫy chính: phải xác định đúng

O m, O n

nằm ở đâu so với

O z

rồi cộng đúng hai phần

m O z + z O n

chứ không phải trừ.

1Cách 1. Tính từng góc theo đúng thứ tự đề hỏi

Tính $z O y$ bằng kề bù, rồi chia đôi hai góc $x O z, z O y$ để ra $x O m, y O n$ ; cuối cùng cộng hai nửa còn lại quanh $O z$ để ra $m O n$ .

z O y = 18 0^{\circ} - x O z = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

x O m = \frac{x O z}{2} = \frac{6 0 ^{\circ}}{2} = 3 0^{\circ}

y O n = \frac{z O y}{2} = \frac{12 0 ^{\circ}}{2} = 6 0^{\circ}

m O z = x O z - x O m = 6 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 3 0^{\circ}

z O n = z O y - y O n = 12 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

m O n = m O z + z O n = 3 0^{\circ} + 6 0^{\circ} = 9 0^{\circ}

Vậy $x O m = 3 0^{\circ}$ , $y O n = 6 0^{\circ}$ , $m O n = 9 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Dùng công thức nửa tổng cho góc tạo bởi hai tia phân giác

Với hai góc kề bù $x O z, z O y$ có tia phân giác $O m, O n$ , góc $m O n = \frac{x O z + z O y}{2}$ vì mỗi tia phân giác đóng góp đúng một nửa góc của mình vào $m O n$ .

x O m = \frac{6 0 ^{\circ}}{2} = 3 0^{\circ}

y O n = \frac{18 0 ^{\circ} - 6 0 ^{\circ}}{2} = 6 0^{\circ}

m O n = \frac{x O z}{2} + \frac{z O y}{2} = \frac{x O z + z O y}{2} = \frac{18 0 ^{\circ}}{2} = 9 0^{\circ}

Vậy $x O m = 3 0^{\circ}$ , $y O n = 6 0^{\circ}$ , $m O n = 9 0^{\circ}$ , trùng Cách 1.

3Cách 3. Trừ trực tiếp từ góc bẹt

Tính $m O n$ bằng cách lấy góc bẹt $x O y$ trừ đi hai góc $x O m$ và $n O y$ nằm hai bên.

x O m = 3 0^{\circ}

y O n = 6 0^{\circ}

(tính như Cách 1)

m O n = x O y - x O m - n O y = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 9 0^{\circ}

Vậy $m O n = 9 0^{\circ}$ , trùng hai cách trên; đây cũng là cách ngắn nhất khi đã biết $x O m, y O n$ .

Nhận xét. Kết quả $m O n = 9 0^{\circ}$ không phụ thuộc vào số đo $6 0^{\circ}$ của $x O z$ — hai tia phân giác của hai góc kề bù luôn vuông góc với nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 sau khi đã có

x O m, y O n

: chỉ một phép trừ từ góc bẹt

18 0^{\circ}

, ngắn hơn cộng

m O z + z O n

như Cách 1.

Đáp số.

x O m = 3 0^{\circ}

;

y O n = 6 0^{\circ}

;

m O n = 9 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Tính

m O n = x O m - y O n = 3 0^{\circ} - 6 0^{\circ}

(ra số âm vô nghĩa) do nhầm

O m, O n

nằm cùng phía; thực ra

O m

thuộc góc

x O z

còn

O n

thuộc góc

z O y

, hai phần phải cộng lại qua

O z

chứ không trừ.

🚀 Mở rộng. Kết quả

m O n = 9 0^{\circ}

đúng với MỌI vị trí của tia

O z

trên góc bẹt

x O y

(không riêng

6 0^{\circ}

): hai tia phân giác của hai góc kề bù bất kỳ luôn vuông góc — đây là một định lí quen thuộc đáng nhớ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 3.8★★★Trang 37— Tính góc qua tia đối và tia phân giác, xét tính chất tia phân giác của góc mới

Vẽ

x O y = 6 0^{\circ}

. Vẽ tia

O z

là tia đối của tia

O x

. Vẽ tia

O m

là tia phân giác của góc

z O y

.
a) Tính

z O m

.
b) Vẽ tia

O n

là tia đối của tia

O m

. Tia

O x

có phải là tia phân giác của góc

y O n

không? Vì sao?

Kiến thức cần nhớ

Hai góc kề bù có tổng số đo bằng $18 0^{\circ}$ .
Tia $O t$ là tia phân giác của $a O b$ khi $O t$ nằm giữa hai tia $O a, O b$ và $a O t = tO b$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) chỉ là kề bù rồi chia đôi như các bài trước. Câu b) là trọng tâm: phải kiểm tra tia

O x

có nằm giữa hai tia

O y, O n

và có chia đôi góc

y O n

hay không — dấu hiệu là tính riêng

x O y

và

x O n

rồi so sánh, chứ không suy luận cảm tính từ hình vẽ. Bẫy là quên chứng minh tia

O x

nằm giữa trước khi kết luận là tia phân giác.

1Cách 1. Tính từng góc theo tia đối và tia phân giác, rồi so sánh trực tiếp

Tính $z O y$ bằng kề bù, chia đôi ra $z O m$ ; sau đó dùng kề bù thêm hai lần nữa để tính $x O m$ rồi $x O n$ , cuối cùng so sánh $x O n$ với $x O y$ .

z O y = 18 0^{\circ} - x O y = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

(vì

O x, O z

đối nhau)

z O m = m O y = \frac{z O y}{2} = \frac{12 0 ^{\circ}}{2} = 6 0^{\circ}

x O m = x O z - z O m = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

(vì

O m

nằm giữa

O z

và

O y

, còn

O x

đối

O z

)

x O n = 18 0^{\circ} - x O m = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

(vì

O n

đối

O m

, hai góc

x O m, x O n

kề bù)

Vậy $z O m = 6 0^{\circ}$ ; vì $x O y = x O n = 6 0^{\circ}$ và tia $O x$ nằm giữa hai tia $O y, O n$ (do $O y, O n$ nằm về hai phía của đường thẳng chứa $O m, O z$ qua $O x$ ) nên $O x$ là tia phân giác của $y O n$ .

2Cách 2. Dùng góc

m O n

là góc bẹt để suy ra

y O n

rồi so sánh với

2 x O y

Vì $O m, O n$ đối nhau, tính $y O n$ bằng kề bù với $y O m$ , rồi so sánh với $2 x O y$ để kết luận nhanh hơn việc tính riêng $x O n$ .

y O m = 6 0^{\circ}

(tính như Cách 1)

y O n = 18 0^{\circ} - y O m = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

(kề bù vì

O m, O n

đối nhau)

2 \cdot x O y = 2 \cdot 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ} = y O n

Vậy $y O n = 2 x O y$ ; kết hợp $O x$ nằm giữa $O y, O n$ (vì $x O y + x O n = y O n$ với $x O n = 6 0^{\circ}$ cùng phía) suy ra $O x$ là tia phân giác của $y O n$ .

3Cách 3. Đặt toạ độ góc quanh

O

để kiểm chứng bằng số

Gắn mỗi tia với một số đo góc so với $O x$ (chiều dương), tính vị trí từng tia rồi so sánh trực tiếp bằng hiệu hai số đo — cách này tránh mọi nhầm lẫn về "tia nào nằm giữa".

Đặt

O x

ứng với

0^{\circ}

O y

ứng với

6 0^{\circ}

(vì

x O y = 6 0^{\circ}

O z

ứng với

18 0^{\circ}

(vì

O z

đối

O x

)

O m

là phân giác của

z O y

nên ứng với

\frac{18 0 ^{\circ} + 6 0 ^{\circ}}{2} = 12 0^{\circ}

, suy ra

z O m = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

O n

đối

O m

nên ứng với

12 0^{\circ} - 18 0^{\circ} = - 6 0^{\circ}

; khoảng cách từ

O x (0^{\circ})

đến

O y (6 0^{\circ})

là

6 0^{\circ}

, từ

O x

đến

O n (- 6 0^{\circ})

cũng là

6 0^{\circ}

Vậy $z O m = 6 0^{\circ}$ ; vì $O x$ cách đều $O y$ và $O n$ ( $6 0^{\circ}$ mỗi bên) và nằm giữa chúng nên $O x$ là tia phân giác của $y O n$ , khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 (đặt số đo góc quanh $O$ ) là cách chắc chắn nhất để tránh sai sót khi xét "tia nào nằm giữa", nên dùng để kiểm tra lại hai cách suy luận hình học ở trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 để trình bày (đúng chuẩn suy luận hình học từng bước), nhưng nên nháp nhanh bằng Cách 3 (đặt số đo góc quanh

O

) để chắc chắn không nhầm tia nào nằm giữa trước khi kết luận câu b).

Đáp số.

z O m = 6 0^{\circ}

. Tia

O x

là tia phân giác của

y O n

vì

O x

nằm giữa

O y, O n

và

x O y = x O n = 6 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Kết luận ngay "

O x

là tia phân giác của

y O n

" chỉ vì nhìn hình thấy đối xứng, mà không tính

x O n

để so sánh với

x O y

và không kiểm tra tia

O x

có nằm giữa hai tia

O y, O n

hay không — thiếu một trong hai điều kiện thì chưa đủ căn cứ gọi là tia phân giác.

🚀 Mở rộng. Nếu thay

6 0^{\circ}

bằng góc

α

bất kỳ (

0^{\circ} < α < 18 0^{\circ}

) thì

z O m = 9 0^{\circ} - \frac{α}{2}

và tia

O x

vẫn luôn là tia phân giác của

y O n

— đây là tính chất tổng quát của "tia phân giác của góc kề bù" kết hợp tia đối.

Mở bài này trong app ↗