Chương III. Góc và đường thẳng song song

Bài 9. Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết

Sách bài tập Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 1 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 3.9★Trang 39— Nhận biết góc so le trong, góc đồng vị khi hình có nhiều cát tuyến

Cho Hình 3.10.
a) Viết tên góc so le trong với góc

N M C

.
b) Viết tên góc đồng vị với góc

A C B

, góc

A M N

Kiến thức cần nhớ

Với cát tuyến $c$ cắt hai đường thẳng $a$ , $b$ tại $A$ , $B$ : hai góc so le trong nằm ở hai phía đối diện của cát tuyến, xen giữa dải $a$ , $b$ ; hai góc đồng vị nằm cùng phía cát tuyến, đúng vị trí tương ứng tại hai đỉnh.
Một hình có thể có nhiều cát tuyến khác nhau cắt cùng một cặp đường thẳng, mỗi cát tuyến cho một hệ cặp góc so le trong/đồng vị riêng.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ yêu cầu đọc hình để gọi tên, dấu hiệu nhận dạng là xác định đúng cát tuyến (đường thẳng cắt) ứng với từng góc đã cho:

N M C

gắn với cát tuyến

M C

cắt hai đường thẳng

M N

B C

; còn

A C B

A M N

lại gắn với hai cát tuyến khác là

A C

và

A B

, cùng cắt cặp đường thẳng

M N

B C

. Bẫy là hình có tới ba cát tuyến (

M C

A C

A B

) cùng đi qua cặp đường thẳng

M N

B C

nên rất dễ lấy nhầm góc của cát tuyến này gán cho cát tuyến khác.

1Cách 1. Xác định đúng cát tuyến của từng góc rồi áp định nghĩa vị trí

Với mỗi góc đã cho, trước tiên tìm đúng cát tuyến (đường cắt hai đường thẳng $M N$ , $B C$ ) đang xét, sau đó xác định vị trí so le trong hoặc đồng vị trên chính cát tuyến đó.

N M C

là góc tại

M

do cát tuyến

M C

tạo với đường thẳng

M N

; so le trong với nó là góc tại

C

do cùng cát tuyến

M C

tạo với đường thẳng

B C

, tức góc

M C B

A C B

là góc tại

C

do cát tuyến

A C

tạo với đường thẳng

B C

; đồng vị với nó là góc tại

N

do cùng cát tuyến

A C

tạo với đường thẳng

M N

, cùng phía với

A C B

, tức góc

A N M

A M N

là góc tại

M

do cát tuyến

A B

tạo với đường thẳng

M N

; đồng vị với nó là góc tại

B

do cùng cát tuyến

A B

tạo với đường thẳng

B C

, tức góc

A B C

Vậy so le trong với $N M C$ là $M C B$ ; đồng vị với $A C B$ là $A N M$ , đồng vị với $A M N$ là $A B C$ .

2Cách 2. Liệt kê mọi góc tại từng đỉnh rồi lọc theo đúng vị trí

Ghi ra hết các góc tạo bởi các tia tại $M$ , $N$ , $C$ , sau đó chỉ giữ lại đúng góc thoả vị trí so le trong hoặc đồng vị với cát tuyến tương ứng.

Tại

M

có các tia

M A, M N, M C, M B

(với

M A, M B

đối nhau); góc tạo bởi cát tuyến

M C

với đường thẳng

M N

chỉ có

N M C

, nên góc so le trong tương ứng ở

C

(cát tuyến

M C

, đường thẳng

B C

) chỉ có thể là

M C B

(loại

A C B

vì

A C B

ứng với cát tuyến

A C

, không phải

M C

Tại

N

có các tia

N A, N M, N C

(với

N A, N C

đối nhau); góc do cát tuyến

A C

tạo với

M N

tại

N

chỉ có

A N M

, đúng vị trí đồng vị với

A C B

tại

C

Tại

B

chỉ có các tia

B A, B C

; góc do cát tuyến

A B

tạo với

B C

tại

B

là

A B C

, đúng vị trí đồng vị với

A M N

tại

M

Vậy kết quả trùng Cách 1: so le trong với $N M C$ là $M C B$ ; đồng vị với $A C B$ là $A N M$ , đồng vị với $A M N$ là $A B C$ .

3Cách 3. Kiểm tra chéo bằng sơ đồ trong dải – ngoài dải, cùng phía – khác phía

Hình dung dải nằm giữa hai đường thẳng $M N$ và $B C$ ; góc so le trong luôn nằm trong dải và ở hai phía khác nhau của cát tuyến, góc đồng vị luôn nằm cùng phía cát tuyến (một trong dải, một ngoài dải, cùng hướng).

N M C

nằm trong dải (giữa

M N

và

B C

), phía bên phải cát tuyến

M C

;

M C B

cũng nằm trong dải, phía bên trái cát tuyến

M C

— khác phía nhau nên đúng là so le trong.

A C B

nằm ngoài dải (phía trên đường thẳng

B C

, so với đường

M N

), phía bên phải cát tuyến

A C

;

A N M

cũng ngoài dải, cùng phía bên phải cát tuyến

A C

— cùng phía nên đúng là đồng vị.

Vậy sơ đồ vị trí xác nhận lại đúng hai kết quả của Cách 1, Cách 2.

Nhận xét. Cách 3 không dùng để tìm tên góc mới, chỉ dùng để soát lại các cách trên khi hình có nhiều cát tuyến dễ gây nhầm lẫn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: bám sát đúng cát tuyến của từng góc rồi đọc thẳng ra tên góc tương ứng, nhanh hơn liệt kê hết như Cách 2.

Đáp số. a) Góc so le trong với

N M C

là

M C B

. b) Góc đồng vị với

A C B

là

A N M

; góc đồng vị với

A M N

là

A B C

Sai lầm thường gặp. Nhầm góc so le trong với

N M C

là cả góc

A C B

(toàn bộ góc ở đỉnh

C

của tam giác), trong khi so le trong với cát tuyến

M C

chỉ có thể là

M C B

— phần góc nằm giữa tia

C M

và tia

C B

, không phải toàn bộ góc

A C B

🚀 Mở rộng. Nếu vẽ thêm một cát tuyến khác (chẳng hạn đoạn

N B

) cũng cắt

M N

và

B C

, hình sẽ sinh thêm một hệ bốn cặp góc đồng vị và hai cặp góc so le trong mới, độc lập với các cặp đã tìm ở cát tuyến

M C

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 3.10★Trang 39— Dựng đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng cho trước

Vẽ đường thẳng

d

và điểm

M

không thuộc

d

. Vẽ đường thẳng

a

đi qua

M

và song song với

d

Kiến thức cần nhớ

Nếu cát tuyến cắt hai đường thẳng tạo một cặp góc so le trong (hoặc đồng vị) bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Cụm "song song" cùng yêu cầu "vẽ" là dấu hiệu của dạng dựng hình dùng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song (so le trong hoặc đồng vị bằng nhau), không phải đo đạc trực tiếp vì

d

và

a

không được phép cắt nhau ở đâu cả trên trang giấy. Bẫy là dựng "nhìn cho thẳng bằng mắt" mà không dùng êke để đảm bảo hai góc so le trong hoặc đồng vị thực sự bằng nhau.

1Cách 1. Dùng êke tạo góc so le trong bằng nhau (Thực hành 1 SGK)

Dùng một góc nhọn cố định của êke (chẳng hạn $6 0^{\circ}$ ) đặt tại một điểm $B$ trên $d$ rồi tại $M$ , để hai góc so le trong bằng nhau.

Đặt một cạnh góc vuông của êke trùng với

d

, trượt êke để cạnh huyền (cạnh tạo góc

6 0^{\circ}

) đi qua

M

; đánh dấu chân êke trên

d

là điểm

B

Kẻ đoạn thẳng nối chân êke với

M

để có cát tuyến

B M

, khi đó góc

6 0^{\circ}

tại

B

(giữa

d

và

B M

) đã cố định.

Giữ nguyên góc

6 0^{\circ}

của êke, đặt đỉnh góc tại

M

sao cho một cạnh trùng cát tuyến

B M

, cạnh còn lại chính là đường thẳng

a

cần vẽ, tạo với

B M

góc

6 0^{\circ}

ở vị trí so le trong với góc tại

B

Vậy $a$ và $d$ có một cặp góc so le trong bằng nhau ( $6 0^{\circ}$ ) nên $a ∥ d$ .

2Cách 2. Sao chép góc bằng compa để tạo cặp góc đồng vị bằng nhau

Không cần êke, dùng compa để "sao chép" một góc bất kỳ tại $B$ trên $d$ sang đỉnh $M$ , cho hai góc đồng vị bằng nhau.

Chọn điểm

B

trên

d

, kẻ cát tuyến

B M

; vẽ một cung tròn tâm

B

cắt

d

và cắt

B M

tại hai điểm, đo khoảng cách giữa hai điểm đó bằng compa.

Vẽ cung tròn cùng bán kính tâm

M

cắt cát tuyến

B M

; dùng compa với đúng khoảng cách vừa đo để xác định điểm thứ hai trên cung tại

M

, được đúng góc tại

M

bằng góc tại

B

, ở vị trí đồng vị.

Nối

M

với điểm vừa dựng để được đường thẳng

a

Vậy $a$ và $d$ có một cặp góc đồng vị bằng nhau nên $a ∥ d$ , không cần dùng êke như Cách 1.

3Cách 3. Dựng đường vuông góc chung rồi dựng a vuông góc với đường đó tại M

Dùng tính chất "hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song" thay vì so le trong hay đồng vị.

Từ

M

dựng đường thẳng

h

vuông góc với

d

(dùng êke, đặt cạnh góc vuông trùng

d

, cạnh kia đi qua

M

), cắt

d

tại điểm

H

Tại

M

, dựng đường thẳng

a

vuông góc với

h

(lại dùng êke, đặt cạnh góc vuông trùng

h

tại

M

Vì $a ⊥ h$ và $d ⊥ h$ nên $a ∥ d$ theo tính chất hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba.

Nhận xét. Cách 3 chỉ cần hai lần dựng vuông góc bằng êke, không phải đo góc $6 0^{\circ}$ như Cách 1 nên với nhiều bạn sẽ dễ thao tác chính xác hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: chỉ cần dựng vuông góc hai lần bằng êke (thao tác quen thuộc, ít sai số), không phải giữ đúng góc

6 0^{\circ}

trong lúc trượt êke như Cách 1.

Đáp số. Đường thẳng

a

đi qua

M

, tạo với một cát tuyến bất kỳ cặp góc so le trong (hoặc đồng vị) bằng góc mà cát tuyến đó tạo với

d

; khi đó

a ∥ d

Sai lầm thường gặp. Vẽ "bằng mắt" một đường thẳng qua

M

trông có vẻ song song với

d

nhưng không kiểm tra bằng góc so le trong/đồng vị hay bằng vuông góc chung — hình vẽ có thể sai lệch mà không phát hiện được.

🚀 Mở rộng. Với hai điểm

M_{1}

M_{2}

khác nhau đều không thuộc

d

, mỗi điểm cho đúng một đường thẳng song song với

d

đi qua nó (tiên đề Euclid, học ở Bài 10) — hai đường song song đó cũng song song với nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 3.11★★Trang 39— Dựng đường thẳng đi qua một đỉnh tam giác và song song với cạnh đối diện

Vẽ tam giác

A B C

bất kì. Vẽ đường thẳng

x y

đi qua điểm

A

và song song với

B C

Kiến thức cần nhớ

Nếu cát tuyến cắt hai đường thẳng tạo một cặp góc so le trong (hoặc đồng vị) bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song.
Cạnh $A B$ (hoặc $A C$ ) của tam giác có sẵn chính là một cát tuyến tiện lợi nối $A$ với đường thẳng $B C$ , không cần dựng cát tuyến mới.

🧠 Phân tích tư duy

Đây là trường hợp riêng của bài 3.10 khi đường thẳng cho trước chính là cạnh

B C

của tam giác và điểm cho trước là đỉnh

A

— dấu hiệu vẫn là dựng cặp góc so le trong hoặc đồng vị bằng nhau. Bẫy là dễ nhầm dùng luôn cạnh

A B

hoặc

A C

làm cát tuyến duy nhất mà quên rằng chỉ cần MỘT cát tuyến bất kỳ qua

A

cắt

B C

là đủ để dựng, không nhất thiết phải là cạnh của tam giác.

1Cách 1. Dùng êke tạo góc so le trong bằng góc

B

(hoặc góc

C

) của tam giác

Lấy sẵn cạnh $A B$ làm cát tuyến nối $A$ với đường thẳng $B C$ , chỉ cần dựng tại $A$ một góc so le trong bằng góc $A B C$ đã có sẵn trên hình.

Đo góc

A B C

bằng thước đo góc (hoặc góc của êke gần đúng), gọi số đo là

β

Tại

A

, dựng tia

A x

tạo với tia

A B

(về phía đối diện với

C

qua

A B

) một góc bằng

β

, ở vị trí so le trong với

A B C

Đường thẳng $x y$ chứa tia $A x$ thoả $x A B = A B C$ ở vị trí so le trong nên $x y ∥ B C$ .

2Cách 2. Sao chép góc

C

bằng compa sang đỉnh

A

(cát tuyến

A C

)

Dùng cạnh $A C$ làm cát tuyến, sao chép góc $A C B$ bằng compa sang đỉnh $A$ để được góc so le trong bằng nhau, không cần đo bằng thước đo độ.

Vẽ cung tròn tâm

C

bán kính bất kỳ, cắt

C A

tại

P

và cắt

C B

tại

Q

; đo dây

P Q

bằng compa.

Vẽ cung tròn cùng bán kính tâm

A

, cắt tia

A C

(về phía ngoài tam giác) tại

P^{'}

; dùng compa với khoảng cách

P Q

vẽ cung cắt cung vừa vẽ tại

Q^{'}

, được

P^{'} A Q^{'} = P C Q = A C B

Đường thẳng $x y$ đi qua $A$ và $Q^{'}$ tạo với cát tuyến $A C$ góc so le trong bằng $A C B$ nên $x y ∥ B C$ , không cần thước đo góc như Cách 1.

3Cách 3. Dựng đường vuông góc chung với

B C

rồi dựng

x y

vuông góc với đường đó tại

A

Không dùng cạnh nào của tam giác làm cát tuyến, mà dựng hẳn một đường vuông góc chung mới, áp dụng tính chất hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba.

Từ

A

dựng đường thẳng

h

vuông góc với

B C

bằng êke, cắt

B C

(kéo dài nếu cần) tại

H

Tại

A

, dựng đường thẳng

x y

vuông góc với

h

Vì $x y ⊥ h$ và $B C ⊥ h$ nên $x y ∥ B C$ .

Nhận xét. Cách 3 không phụ thuộc số đo góc $B$ hay $C$ của tam giác, chỉ cần hai lần dựng vuông góc nên thao tác đơn giản và ít sai số nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tận dụng ngay cạnh

A B

có sẵn làm cát tuyến và góc

B

có sẵn trên hình, không phải dựng thêm đường vuông góc phụ như Cách 3.

Đáp số. Đường thẳng

x y

đi qua

A

, tạo với cát tuyến

A B

(hoặc

A C

) góc so le trong bằng góc

A B C

(hoặc

A C B

); khi đó

x y ∥ B C

Sai lầm thường gặp. Chỉ vẽ đường thẳng qua

A

"trông song song" với

B C

bằng mắt mà không dựng góc so le trong/đồng vị bằng nhau hay vuông góc chung, dẫn đến

x y

và

B C

thực chất hơi cắt nhau ở xa ngoài hình vẽ.

🚀 Mở rộng. Trong một tam giác, đường thẳng qua một đỉnh và song song với cạnh đối diện chính là công cụ dùng để chứng minh định lí tổng ba góc trong tam giác bằng

18 0^{\circ}

ở Bài 12 (nhờ các cặp góc so le trong bằng các góc của tam giác).

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 3.12★★Trang 39— Giải thích hai đường thẳng song song từ một cặp góc so le trong cho trước

Vẽ lại Hình 3.11 vào vở rồi giải thích tại sao

x x^{'} ∥ y y^{'}

Kiến thức cần nhớ

Nếu cát tuyến cắt hai đường thẳng tạo một cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song.
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau; hai góc kề bù có tổng số đo bằng $18 0^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hẳn số đo hai góc so le trong bằng nhau (

6 0^{\circ}

) nên dấu hiệu nhận dạng là áp dụng thẳng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song qua góc so le trong; các cách khác chỉ là đường vòng để đi tới cùng kết luận, hữu ích khi đề chỉ cho một góc duy nhất. Bẫy là nhầm vị trí hai góc đã cho là đồng vị (cùng phía) trong khi chúng nằm ở hai phía khác nhau của cát tuyến

mn

1Cách 1. Dùng trực tiếp dấu hiệu so le trong

Hai góc đã cho đúng là một cặp so le trong của cát tuyến $mn$ nên áp dụng thẳng dấu hiệu nhận biết.

x^{'} A B = A B y = 6 0^{\circ}

Hai góc này ở vị trí so le trong (cùng nằm giữa dải

x x^{'}

y y^{'}

, ở hai phía đối diện của cát tuyến

mn

Vậy $x x^{'} ∥ y y^{'}$ theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.

2Cách 2. Dùng đối đỉnh rồi suy ra cặp góc đồng vị bằng nhau

Không dùng ngay so le trong, mà tính thêm một góc đối đỉnh để so sánh cặp góc đồng vị tương ứng.

n B y^{'} = A B y = 6 0^{\circ}

(hai góc đối đỉnh do

y, B, y^{'}

thẳng hàng và

A, B, n

thẳng hàng)

x^{'} A B = 6 0^{\circ}

(đề cho) và

n B y^{'} = 6 0^{\circ}

ở vị trí đồng vị (cùng phía cát tuyến

mn

, cùng phía dưới bên phải tại hai đỉnh

A

B

)

Vậy $x^{'} A B = n B y^{'} = 6 0^{\circ}$ ở vị trí đồng vị nên $x x^{'} ∥ y y^{'}$ , trùng kết luận Cách 1.

3Cách 3. Dùng kề bù rồi tính tổng hai góc trong cùng phía

Tính góc kề bù của $A B y$ để được góc trong cùng phía với $x^{'} A B$ , rồi kiểm tra tổng có bằng $18 0^{\circ}$ hay không.

A B y^{'} = 18 0^{\circ} - A B y = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

(kề bù với

A B y

vì

y, B, y^{'}

thẳng hàng)

x^{'} A B + A B y^{'} = 6 0^{\circ} + 12 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

Hai góc $x^{'} A B$ , $A B y^{'}$ ở vị trí trong cùng phía có tổng $18 0^{\circ}$ nên $x x^{'} ∥ y y^{'}$ , khớp Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Cách 1 ngắn nhất vì dùng thẳng số liệu đề cho, không phải tính thêm góc phụ như Cách 2, Cách 3.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai góc so le trong đã cho sẵn bằng nhau, áp dụng thẳng một dòng dấu hiệu, không cần tính thêm góc đối đỉnh hay kề bù như Cách 2, Cách 3.

Đáp số.

x x^{'} ∥ y y^{'}

vì có một cặp góc so le trong bằng nhau (

6 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Cho rằng hai góc

6 0^{\circ}

đã đánh dấu ở vị trí đồng vị rồi áp dụng dấu hiệu đồng vị, trong khi quan sát kĩ vị trí trên hình thì chúng nằm xen giữa hai đường thẳng và ở hai phía đối diện của cát tuyến — đúng là so le trong, không phải đồng vị.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi một trong hai góc

6 0^{\circ}

thành một số đo khác (không bằng

6 0^{\circ}

) thì

x x^{'}

và

y y^{'}

sẽ cắt nhau ở đâu đó (không còn song song) — dấu hiệu nhận biết chỉ đúng chiều khi hai góc so le trong thực sự bằng nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 3.13★Trang 39— Nhận biết hai đường thẳng song song qua tính chất cùng vuông góc

Cho Hình 3.12. Giải thích tại sao

a ∥ b

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
Nếu cát tuyến cắt hai đường thẳng tạo một cặp góc so le trong hoặc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu ở đây là hai ký hiệu vuông góc tại

H

và

K

— góc nào tạo bởi

a

b

với cát tuyến

H K

cũng đều bằng

9 0^{\circ}

, nên bài chỉ còn việc chọn đúng cặp góc

9 0^{\circ}

để gọi tên vị trí (so le trong hay đồng vị) rồi kết luận. Bẫy duy nhất là quên mất vì sao "cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba" lại suy ra song song — phải quy về đúng một cặp góc so le trong hoặc đồng vị bằng nhau chứ không phải một tính chất tách biệt.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp tính chất cùng vuông góc

Nhận ra ngay $a$ , $b$ cùng vuông góc với cát tuyến $H K$ nên dùng thẳng tính chất đã học, không cần xét vị trí góc.

a ⊥ H K

tại

H

;

b ⊥ H K

tại

K

Vậy $a ∥ b$ vì cùng vuông góc với đường thẳng $H K$ .

2Cách 2. Dùng cặp góc đồng vị bằng nhau

Quy tính chất trên về đúng một cặp góc đồng vị bằng nhau để thấy rõ bản chất của dấu hiệu.

Góc giữa

a

và

H K

về phía dưới bên phải tại

H

bằng

9 0^{\circ}

; góc giữa

b

và

H K

về phía dưới bên phải tại

K

cũng bằng

9 0^{\circ}

(cùng là góc vuông đã kí hiệu).

Hai góc này ở vị trí đồng vị (cùng phía cát tuyến

H K

, cùng phía bên phải tại hai đỉnh

H

K

$9 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ ở vị trí đồng vị nên $a ∥ b$ , trùng kết luận Cách 1.

3Cách 3. Dùng cặp góc so le trong bằng nhau

Vì $a ⊥ H K$ nên cả bốn góc quanh $H$ đều là góc vuông; chọn cặp góc so le trong (thay vì đồng vị như Cách 2) để kiểm tra lại.

Góc giữa

a

và

H K

về phía dưới bên phải tại

H

bằng

9 0^{\circ}

; góc giữa

b

và

H K

về phía trên bên trái tại

K

cũng bằng

9 0^{\circ}

(đối đỉnh với góc đã kí hiệu tại

K

, cũng là góc vuông).

Hai góc

9 0^{\circ}

này ở vị trí so le trong (hai phía đối diện của cát tuyến

H K

, cùng nằm giữa dải

a

b

$9 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ ở vị trí so le trong nên $a ∥ b$ , khớp Cách 1, Cách 2.

Nhận xét. Vì $a$ , $b$ đều vuông góc với $H K$ nên MỌI cặp góc tạo bởi $a$ , $b$ , $H K$ đều bằng nhau (đều là $9 0^{\circ}$ ), do đó cách chọn vị trí góc nào (đồng vị hay so le trong) cũng đều dẫn tới cùng kết luận.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gọi thẳng tên tính chất "cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba" đã học, khỏi mất công chỉ ra cặp góc đồng vị hay so le trong cụ thể như Cách 2, Cách 3.

Đáp số.

a ∥ b

vì

a

và

b

cùng vuông góc với đường thẳng

H K

Sai lầm thường gặp. Chỉ ghi "vì

a

b

đều là đường nằm ngang nên song song" mà không nêu được căn cứ toán học (cùng vuông góc với

H K

, hoặc cặp góc

9 0^{\circ}

ở vị trí so le trong/đồng vị) — nhìn hình đúng nhưng thiếu lí do nên không được tính là giải thích đầy đủ.

🚀 Mở rộng. Tính chất "cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song" chính là công cụ dùng để giải thích vì sao các thanh xà ngang trên mái nhà song song với nhau khi chúng đều vuông góc với một thanh dọc — đúng như tình huống mở đầu Bài 9 trong SGK.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 3.14★★Trang 40— Giải thích hai đường thẳng song song qua góc đồng vị tạo bởi tia kéo dài

Cho Hình 3.13. Giải thích tại sao

M N ∥ P Q

Kiến thức cần nhớ

Nếu cát tuyến cắt hai đường thẳng tạo một cặp góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song.
Hai góc kề bù có tổng số đo bằng $18 0^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu là tia

N x

chính là phần kéo dài của cát tuyến

QN

qua

N

, nên

x N M

và

N QP

là một cặp góc đồng vị của cát tuyến

N Q

cắt hai đường thẳng

M N

P Q

. Bẫy là không nhận ra

x

N

Q

thẳng hàng nên tưởng

x N M

là một góc "rời", không liên quan gì đến cát tuyến

N Q

1Cách 1. Dùng trực tiếp dấu hiệu đồng vị

Nhận ra tia $N x$ là phần kéo dài của cát tuyến $QN$ , nên $x N M$ và $N QP$ là cặp góc đồng vị của cát tuyến $N Q$ .

x N M = N QP = 4 5^{\circ}

Hai góc này ở vị trí đồng vị (cùng phía cát tuyến

N Q

, cùng phía có

M

và

P

Vậy $M N ∥ P Q$ theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.

2Cách 2. Dùng kề bù rồi tính tổng hai góc trong cùng phía

Tính góc kề bù của $x N M$ để được góc trong cùng phía với $N QP$ , rồi kiểm tra tổng có bằng $18 0^{\circ}$ .

M N Q = 18 0^{\circ} - x N M = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}

(kề bù với

x N M

vì

x, N, Q

thẳng hàng)

M N Q + N QP = 13 5^{\circ} + 4 5^{\circ} = 18 0^{\circ}

Hai góc $M N Q$ , $N QP$ ở vị trí trong cùng phía có tổng $18 0^{\circ}$ nên $M N ∥ P Q$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 ngắn hơn vì dùng thẳng góc đã cho, không phải tính thêm góc kề bù như Cách 2; tuy vậy Cách 2 vẫn hữu ích khi đề không vẽ sẵn tia kéo dài như $N x$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đọc thẳng cặp góc đồng vị

4 5^{\circ} = 4 5^{\circ}

đã có sẵn trên hình, không cần tính thêm góc kề bù như Cách 2.

Đáp số.

M N ∥ P Q

vì có một cặp góc đồng vị bằng nhau (

x N M = N QP = 4 5^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Coi

x N M

và

N QP

là cặp góc so le trong (vì thấy chúng ở hai đầu hình thang), trong khi

M

và

P

thực ra nằm cùng phía của cát tuyến

N Q

— đây là đồng vị chứ không phải so le trong; muốn có so le trong phải dùng góc kề bù

M N Q = 13 5^{\circ}

so với góc thích hợp ở phía đối diện.

🚀 Mở rộng. Nếu đề chỉ cho

M N Q = 13 5^{\circ}

(không vẽ tia

N x

và không cho trực tiếp góc đồng vị) thì vẫn giải được bằng Cách 2: tính

M N Q + N QP = 13 5^{\circ} + 4 5^{\circ} = 18 0^{\circ}

rồi kết luận song song nhờ trong cùng phía bù nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 3.15★★Trang 40— Nhận biết hai đường thẳng song song qua tính chất cùng vuông góc trong tam giác

Cho Hình 3.14. Giải thích tại sao

E F ∥ N P

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
Đường cao của tam giác là đoạn thẳng vuông góc kẻ từ một đỉnh xuống đường thẳng chứa cạnh đối diện.

🧠 Phân tích tư duy

Hai ký hiệu vuông góc trên hình (tại

H

và tại giao điểm của

E F

với

M H

) là dấu hiệu cho thấy cả

E F

và

N P

đều vuông góc với cùng đường thẳng

M H

— đúng dạng bài như 3.13 nhưng đặt trong một tam giác cụ thể. Bẫy là chỉ nhìn thấy ký hiệu vuông góc tại

H

(đường cao) mà bỏ sót ký hiệu vuông góc thứ hai tại giao điểm

E F

với

M H

, dẫn đến thiếu căn cứ để kết luận song song.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp tính chất cùng vuông góc

Đọc thẳng hai ký hiệu vuông góc trên hình để thấy $E F$ , $N P$ cùng vuông góc với $M H$ .

E F ⊥ M H

(ký hiệu vuông góc tại giao điểm của

E F

và

M H

)

N P ⊥ M H

tại

H

(ký hiệu vuông góc tại

H

M H

là đường cao từ

M

)

Vậy $E F ∥ N P$ vì cùng vuông góc với đường thẳng $M H$ .

2Cách 2. Dùng cặp góc đồng vị bằng nhau

Quy về đúng một cặp góc đồng vị $9 0^{\circ}$ của cát tuyến $M H$ cắt hai đường thẳng $E F$ , $N P$ .

Góc giữa

E F

và

M H

về phía dưới bên phải (tại giao điểm) bằng

9 0^{\circ}

; góc giữa

N P

và

M H

về phía dưới bên phải tại

H

cũng bằng

9 0^{\circ}

Hai góc này ở vị trí đồng vị (cùng phía cát tuyến

M H

, cùng phía bên phải tại hai giao điểm).

$9 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ ở vị trí đồng vị nên $E F ∥ N P$ , trùng Cách 1.

3Cách 3. Dùng cặp góc so le trong bằng nhau

Vì $E F ⊥ M H$ và $N P ⊥ M H$ nên mọi góc tạo bởi hai đường này với $M H$ đều là góc vuông; chọn cặp so le trong để kiểm tra lại.

Góc giữa

E F

và

M H

về phía dưới bên trái (tại giao điểm) bằng

9 0^{\circ}

; góc giữa

N P

và

M H

về phía trên bên phải tại

H

cũng bằng

9 0^{\circ}

Hai góc này ở vị trí so le trong (hai phía đối diện của cát tuyến

M H

, cùng nằm giữa dải

E F

N P

$9 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ ở vị trí so le trong nên $E F ∥ N P$ , khớp Cách 1, Cách 2.

Nhận xét. Cách 1 gọn nhất vì gọi thẳng tên tính chất đã học, không cần chỉ rõ từng cặp góc vuông như Cách 2, Cách 3.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nêu thẳng "cùng vuông góc với

M H

" từ hai ký hiệu vuông góc có sẵn, nhanh gọn hơn việc gọi tên từng cặp góc

9 0^{\circ}

ở vị trí đồng vị hay so le trong như Cách 2, Cách 3.

Đáp số.

E F ∥ N P

vì

E F

và

N P

cùng vuông góc với đường thẳng

M H

Sai lầm thường gặp. Chỉ dựa vào "nhìn hình thấy

E F

nằm ngang giống

N P

" mà không chỉ ra được cả hai cùng vuông góc với

M H

— thiếu căn cứ nên lời giải không được chấp nhận dù kết luận đúng.

🚀 Mở rộng. Nếu

E

F

lần lượt là trung điểm của

M N

M P

thì

E F

còn có thêm tính chất là đường trung bình của tam giác

M N P

, với

E F = \frac{1}{2} N P

— nội dung sẽ được học kĩ hơn ở lớp 8.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 3.16★Trang 40— Dựng tứ giác có một cặp cạnh vừa song song vừa bằng nhau

Vẽ lại hình 3.15 vào vở, biết

N P ∥ M Q

và

N P = M Q

Kiến thức cần nhớ

Dựng đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước qua một điểm dùng êke hoặc compa (xem bài 3.10).
Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau là hình bình hành.

🧠 Phân tích tư duy

Cụm "vừa song song vừa bằng nhau" là dấu hiệu của dạng dựng hình bình hành từ một cạnh cho trước: chỉ cần dựng

M Q

song song với

N P

(bằng êke hoặc compa) rồi lấy đúng độ dài bằng

N P

. Bẫy là dựng

M Q

song song và bằng

N P

nhưng lại đặt sai hướng (ngược chiều), khiến tứ giác

N P QM

nối theo đúng thứ tự đỉnh không còn là một tứ giác "thuận" (các cạnh bị bắt chéo nhau).

1Cách 1. Dựng bằng êke và thước đo độ dài

Vẽ $N P$ trước, dùng êke dựng đường thẳng song song với $N P$ đi qua một điểm tuỳ chọn, rồi dùng thước đo đúng độ dài $N P$ trên đường đó.

Vẽ đoạn thẳng

N P

tuỳ ý.

Chọn điểm

M

ngoài đường thẳng

N P

; dùng êke dựng đường thẳng qua

M

song song với

N P

(như Thực hành 1, SGK trang 48).

Trên đường thẳng đó, dùng thước đặt

M Q = N P

(đo bằng thước thẳng), chọn hướng

Q

sao cho

M, Q

cùng thứ tự với

N, P

(không bắt chéo).

Nối $N$ với $M$ , $P$ với $Q$ được tứ giác $N P QM$ có $N P ∥ M Q$ và $N P = M Q$ đúng như yêu cầu.

2Cách 2. Dựng bằng compa qua trung điểm chung của hai đường chéo

Dùng tính chất hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường để dựng ngược từ tâm đối xứng.

Vẽ đoạn thẳng

N P

; xác định trung điểm

O

của

N P

bằng compa (vẽ hai cung tròn cùng bán kính tâm

N

, tâm

P

, cắt nhau tại hai điểm, nối hai điểm đó cắt

N P

tại

O

Chọn hướng bất kỳ qua

O

, dùng compa với bán kính

O N = O P

để lấy hai điểm

M

Q

đối xứng nhau qua

O

trên hướng đó.

Vì $O$ là trung điểm chung của cả $N P$ và $M Q$ nên $N P QM$ là hình bình hành, do đó $N P ∥ M Q$ và $N P = M Q$ , không cần dựng đường song song riêng như Cách 1.

3Cách 3. Dựng bằng phép tịnh tiến trực quan (trượt đoạn thẳng theo một hướng)

Hình dung "trượt" nguyên đoạn $N P$ theo một hướng và khoảng cách tuỳ chọn để được đoạn $M Q$ , cách này không cần đo góc hay dựng vuông góc.

Vẽ đoạn thẳng

N P

; chọn một hướng trượt bất kỳ (không song song với

N P

) và một khoảng cách

d

tuỳ ý.

Từ

N

đo theo hướng đã chọn một đoạn dài

d

được điểm

M

; từ

P

đo theo đúng hướng và khoảng cách

d

đó được điểm

Q

(dùng compa giữ nguyên độ mở

d

Vì $M$ , $Q$ là ảnh của $N$ , $P$ qua cùng một phép trượt (tịnh tiến) nên $M Q ∥ N P$ và $M Q = N P$ tự động, không cần đo lại độ dài $M Q$ như Cách 1.

Nhận xét. Ba cách đều cho cùng một loại hình (hình bình hành $N P QM$ ), khác nhau ở công cụ dựng: êke đo góc (Cách 1), compa qua tâm đối xứng (Cách 2), hay compa theo phép trượt (Cách 3).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: dựng đường song song bằng êke rồi đo độ dài bằng thước là thao tác quen thuộc nhất, dễ trình bày hơn việc xác định tâm đối xứng như Cách 2.

Đáp số. Tứ giác

N P QM

dựng được là một hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối

N P

M Q

vừa song song vừa bằng nhau).

Sai lầm thường gặp. Dựng

M Q

song song và bằng

N P

nhưng đặt ngược hướng so với

N P

, khiến khi nối theo đúng thứ tự

N \to P \to Q \to M

các cạnh

P Q

và

N M

bị bắt chéo nhau, không tạo thành một tứ giác lồi bình thường.

🚀 Mở rộng. Nếu chỉ cho

N P ∥ M Q

mà không cho

N P = M Q

thì tứ giác

N P QM

chỉ chắc chắn là hình thang, không chắc là hình bình hành — điều kiện "bằng nhau" là bắt buộc để có đủ hai cặp cạnh đối song song.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 3.17★★★Trang 40— Giải thích hai đường thẳng song song qua cặp góc trong cùng phía bù nhau

Vẽ lại Hình 3.16 vào vở. Giải thích tại sao

H x ∥ K y

Kiến thức cần nhớ

Nếu cát tuyến cắt hai đường thẳng tạo một cặp góc trong cùng phía có tổng bằng $18 0^{\circ}$ thì hai đường thẳng đó song song (hệ quả của dấu hiệu so le trong).
Hai góc kề bù có tổng số đo bằng $18 0^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một góc

5 0^{\circ}

và một góc

13 0^{\circ}

ở hai phía CÙNG một bên của cát tuyến

H K

— tổng đúng bằng

18 0^{\circ}

, đây là dấu hiệu của dạng dùng góc trong cùng phía bù nhau (hệ quả trực tiếp của dấu hiệu so le trong/đồng vị, đã gặp ở Luyện tập 1 SGK) thay vì so le trong hay đồng vị thông thường. Bẫy là thấy

5 0^{\circ} \neq = 13 0^{\circ}

rồi vội kết luận không đủ căn cứ để suy ra song song, trong khi đúng ra phải kiểm tra tổng hai góc trong cùng phía.

1Cách 1. Dùng ngay tổng hai góc trong cùng phía

Hai góc $K H x$ và $H K y$ đã cho đều nằm về phía bên phải của cát tuyến $H K$ — đúng vị trí trong cùng phía, chỉ cần cộng lại và so với $18 0^{\circ}$ .

K H x + H K y = 5 0^{\circ} + 13 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

Vậy $H x ∥ K y$ vì có một cặp góc trong cùng phía có tổng bằng $18 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Vẽ tia đối

H z

để đưa về cặp góc đồng vị bằng nhau

Kéo dài $H K$ quá $K$ thành tia $K z$ (như hình vẽ), tính góc kề bù tại $K$ để được cặp góc đồng vị bằng nhau với góc đã cho tại $H$ .

y K z = 18 0^{\circ} - H K y = 18 0^{\circ} - 13 0^{\circ} = 5 0^{\circ}

(kề bù với

H K y

vì

H, K, z

thẳng hàng)

K H x = y K z = 5 0^{\circ}

ở vị trí đồng vị (cùng phía cát tuyến

H z

, cùng phía bên phải tại

H

và

K

)

Vậy $H x ∥ K y$ , trùng kết luận Cách 1.

3Cách 3. Vẽ tia đối tại

H

để đưa về cặp góc so le trong bằng nhau

Thay vì kéo dài tại $K$ như Cách 2, kéo dài tia $H x$ quá $H$ thành tia $H x^{'}$ , tính góc kề bù tại $H$ để được cặp góc so le trong bằng nhau với góc đã cho tại $K$ .

x^{'} H K = 18 0^{\circ} - K H x = 18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 13 0^{\circ}

(kề bù với

K H x

vì

x, H, x^{'}

thẳng hàng)

x^{'} H K = H K y = 13 0^{\circ}

ở vị trí so le trong (hai phía đối diện của cát tuyến

H K

, cùng nằm giữa dải

H x

K y

)

Vậy $H x ∥ K y$ , khớp Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Cách 1 nhanh nhất vì dùng thẳng hai góc đề đã cho; Cách 2, Cách 3 tuy dài hơn nhưng cho thấy rõ vì sao "trong cùng phía bù nhau" lại tương đương với so le trong/đồng vị bằng nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: cộng thẳng hai góc đề đã cho (

5 0^{\circ} + 13 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

) và kết luận ngay, không cần vẽ thêm tia đối và tính góc kề bù như Cách 2, Cách 3.

Đáp số.

H x ∥ K y

vì

K H x + H K y = 5 0^{\circ} + 13 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

(hai góc trong cùng phía bù nhau).

Sai lầm thường gặp. Thấy

K H x = 5 0^{\circ} \neq = H K y = 13 0^{\circ}

rồi kết luận vội rằng không đủ căn cứ để suy ra song song, trong khi đây đúng ra là một cặp góc trong cùng phía cần CỘNG lại rồi so với

18 0^{\circ}

, không phải so sánh bằng nhau như so le trong hay đồng vị.

🚀 Mở rộng. Dấu hiệu "hai góc trong cùng phía bù nhau" luôn tương đương với dấu hiệu so le trong (hoặc đồng vị) bằng nhau, vì hai góc trong cùng phía luôn kề bù với một góc so le trong tương ứng — đây chính là nội dung câu b) của Luyện tập 1, SGK trang 47.

Mở bài này trong app ↗