Bài tập cuối chương I

Xét lần lượt xem $-\frac{1}{7}$ có thuộc tập số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ dương hay không.

Vậy $-\frac{1}{7}$ là số hữu tỉ, chọn đáp án D.

Đối chiếu $-\frac{1}{7}$ với dạng $\frac{a}{b}$, $a,b\in \mathbb{Z}$, $b\ne 0$ của định nghĩa số hữu tỉ.

Vậy $-\frac{1}{7}$ thoả đúng định nghĩa số hữu tỉ, chọn đáp án D.

Trên trục số, các điểm nguyên là $\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots$; xác định $-\frac{1}{7}$ nằm ở đâu so với các điểm đó.

Vậy $-\frac{1}{7}$ không phải số nguyên hay số tự nhiên, chỉ có thể là số hữu tỉ, chọn đáp án D.

Cộng số mũ vì hai luỹ thừa cùng cơ số $4$, sau đó đổi $4^{12}$ về cơ số $16=4^2$ để so với các phương án.

Vậy $4^3.4^9=16^6$, chọn đáp án C.

Đưa $4=2^2$ để tính toàn bộ tích theo cơ số $2$, tiện so sánh với phương án D.

Vậy $4^3.4^9=2^{24}\ne 2^{20}$ nên D sai; kết quả đúng vẫn là $16^6=(2^2{)}^6=2^{12}$… đối chiếu lại với Cách 1 cho $16^6$, xác nhận đáp án C.

Không cần tính hết, chỉ cần thấy số mũ của kết quả cộng lại là $12$ rồi so khớp với từng phương án.

Vậy đáp án đúng là C, còn D sai vì $2^{20}\ne 4^{12}=2^{24}$.

Thử một cặp $a,b$ cùng dấu và một cặp khác dấu để xem thương dương hay âm.

Vậy $\frac{a}{b}$ dương đúng khi $a,b$ cùng dấu, chọn đáp án A.

Quy tắc dấu: chia hai số cùng dấu được kết quả dương, chia hai số khác dấu được kết quả âm.

Vậy đáp án đúng là A.

Xét vì sao B, C, D không thể là điều kiện đúng.

Vậy chỉ còn đáp án A đúng.

Nhắc lại: số hữu tỉ luôn so sánh được với nhau, và mỗi số hữu tỉ có đúng một điểm biểu diễn trên trục số.

Vậy khẳng định sai là D.

Nếu D đúng thì phải tìm được hai số hữu tỉ không so sánh được với nhau; thử ngay hai số bất kì.

Không tìm được cặp phản ví dụ nào, vậy D sai — hai số hữu tỉ luôn so sánh được.

Trên trục số, hai điểm bất kì luôn có một điểm bên trái, một điểm bên phải hoặc trùng nhau.

Vậy hai số hữu tỉ bất kì luôn so sánh được, khẳng định D sai.

Nhắc lại đúng chiều bao hàm: số tự nhiên nằm trong số nguyên, số nguyên nằm trong số hữu tỉ.

Vậy khẳng định đúng là C.

Với mỗi khẳng định nghi ngờ sai, tìm một phần tử thuộc tập này nhưng không thuộc tập kia.

Vậy A, B, D đều sai; khẳng định đúng là C.

Kiểm chứng trực tiếp C bằng định nghĩa số hữu tỉ: mọi số nguyên $n$ đều viết được thành $\frac{n}{1}$.

Vậy mọi số nguyên đều là số hữu tỉ, khẳng định C đúng.

Tính giá trị mỗi ngoặc trước, sau đó thực hiện phép chia (câu a) hoặc phá ngoặc theo đúng dấu (câu b).

Vậy a) $=3$; b) $=2022$.

Nhìn thấy $\frac{2}{3}$ và $\frac{5}{4}$ đều xuất hiện hai lần với dấu ngược nhau ở ba ngoặc, nhóm chúng lại triệt tiêu ngay từ khi phá ngoặc.

Cách nhóm cũng cho b) $=2022$, khớp với Cách 1.

Nhận ra biểu thức b) có dạng $(1+x-y)-(1-y)+(n-x)$ với $x=\frac{2}{3}$, $y=\frac{5}{4}$, $n=2022$; rút gọn dạng tổng quát trước rồi thay số.

Vậy với mọi $x,y$, biểu thức luôn bằng $n=2022$, khớp với hai cách trên.

Đổi $0,49=0,7^2$ để cả hai vế câu a cùng cơ số $0,7$, chỉ còn việc trừ số mũ; câu b coi $x$ là số bị chia rồi cộng số mũ vì cùng cơ số $-0,5$.

Vậy a) $x=0,49$; b) $x=(-0,5{)}^5=-0,03125$.

Tính ra số thập phân cụ thể của từng luỹ thừa trước, sau đó thực hiện phép chia hoặc nhân bình thường.

Tính trực tiếp cũng cho a) $x=0,49$; b) $x=-0,03125$, khớp với Cách 1.

Thay ngược $x$ vừa tìm được vào đề bài để kiểm chứng cả hai câu.

Cả hai giá trị $x=0,49$ và $x=(-0,5{)}^5$ đều thoả mãn đẳng thức ban đầu.

Với ý a) tách $8$ thành tổng có một số hạng là $3$; ý b) tách $8=2.n$; ý c) tách $8$ thành hiệu với số bị trừ là $10$.

Vậy a) $a^8=a^5.a^3$; b) $a^8=(a^2{)}^4$; c) $a^8=a^{10}:a^2$.

Thực hiện đúng phép nhân, luỹ thừa của luỹ thừa, phép chia ở vế phải để xem có ra lại $a^8$ hay không.

Cả ba cách viết đều kiểm chứng đúng bằng $a^8$.

Chọn $a=2$, tính $2^8$ rồi so với từng vế phải để chắc chắn không sai số mũ.

Cả ba kết quả bằng số đều khớp $256=2^8$, xác nhận các cách viết ở Cách 1 đúng.

Đổi $10^4=10.10^3$ để hai số liệu của Thổ tinh và Thiên Vương tinh cùng đơn vị $10^3$ với bốn số còn lại.

Vậy đường kính của Mộc tinh ($88,846.10^3$ dặm) là lớn nhất, đường kính của Thuỷ tinh ($3,032.10^3$ dặm) là nhỏ nhất.

Nhân hẳn ra số tự nhiên (đơn vị dặm) cho từng hành tinh, tránh phải so sánh các luỹ thừa khác số mũ.

Xếp theo thứ tự giảm dần: $88846>74975>30603>7926>4222>3032$ — Mộc tinh lớn nhất, Thuỷ tinh nhỏ nhất.

Không cần đổi hết luỹ thừa, chỉ cần đếm số chữ số của mỗi số (thể hiện qua tổng luỹ thừa $10$) để xếp nhóm lớn nhỏ trước.

Vậy thứ tự từ lớn đến bé là Mộc tinh, Thổ tinh, Thiên Vương tinh, Trái Đất, Hoả tinh, Thuỷ tinh — lớn nhất là Mộc tinh, nhỏ nhất là Thuỷ tinh.

Đổi hỗn số ra phân số, chia cho $24$ để ra lượng bột của $1$ cái bánh, rồi nhân với $8$.

Vậy bạn An cần $\frac{7}{12}$ cốc bột mì để làm $8$ cái bánh.

Vì $8$ cái bằng $\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$ số bánh của công thức gốc, lượng bột cũng chỉ bằng $\frac{1}{3}$ lượng bột gốc.

Cách tính theo tỉ số cũng cho lượng bột là $\frac{7}{12}$ cốc, khớp với Cách 1.

Gọi $x$ là số cốc bột cần cho $8$ cái bánh, lập tỉ lệ thức giữa số bánh và lượng bột vì hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Giải tỉ lệ thức cũng ra $x=\frac{7}{12}$ cốc bột mì.

Viết mỗi số hạng $2^2,4^2,\dots ,18^2$ dưới dạng $(2.1{)}^2,(2.2{)}^2,\dots ,(2.9{)}^2$ để lộ ra thừa số chung $2^2$.

Vậy $2^2+4^2+6^2+\dots +16^2+18^2=1140$.

Mỗi số hạng của dãy mới gấp $4$ lần số hạng tương ứng của dãy đã biết vì cơ số gấp đôi mà đang ở luỹ thừa bậc $2$, nên cả tổng cũng gấp $4$ lần.

Cách nhận xét tỉ số cũng cho kết quả $1140$, khớp với Cách 1.

Tính riêng từng $(2k{)}^2$ với $k=1,\dots ,9$ rồi cộng lại, dùng để kiểm tra kết quả của hai cách trên.

Cộng trực tiếp từng số hạng cũng ra $1140$, xác nhận hai cách trên đúng.

Đổi $25=5^2$ để tử và mẫu cùng viết theo cơ số $5$, sau đó đặt thừa số chung nhỏ nhất ở mỗi phần.

Vậy $A=25$.

Không đổi hết về cơ số $5$, chỉ đặt thừa số chung $5^4$ ở tử ($25^6=5^{12}=5^4.5^8$) và $5^2$ ở mẫu ($25^5=5^{10}=5^2.5^8$).

Cách đặt thừa số chung trực tiếp cũng cho $A=25$, khớp Cách 1.

Chia cả tử và mẫu của $A$ cho $5^2=25$ ngay từ đầu để giảm bậc luỹ thừa sớm hơn.

Chia trước rồi rút gọn cũng ra $A=25$, khớp với hai cách trên.