Bài 1 · Câu hỏi 1★Trang 33— Trắc nghiệm nhận biết số thập phân vô hạn tuần hoàn
Số nào sau đây viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn? A. 51227; B. 52833; C. 52831; D. 51225.
Kiến thức cần nhớ
Phân số tối giản ba viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn khi và chỉ khi b chỉ có ước nguyên tố 2 và 5.
Phân số tối giản có mẫu chứa ước nguyên tố khác 2 và 5 thì viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
512=29; 528=24⋅3⋅11.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho bốn phân số chưa tối giản, dấu hiệu nhận dạng là phải rút gọn từng phân số rồi nhìn vào ước nguyên tố của mẫu, vì tính hữu hạn hay tuần hoàn của số thập phân chỉ phụ thuộc vào mẫu ở dạng tối giản. Bẫy của đề là phân số 52833 nhìn mẫu 528 tưởng phức tạp, nhưng rút gọn xong mẫu lại chỉ còn lũy thừa của 2.
1Cách 1. Rút gọn từng phân số rồi xét ước nguyên tố của mẫu
Định hướng. Đưa cả bốn phân số về dạng tối giản, sau đó xét xem mẫu chỉ có ước 2, 5 hay còn ước nguyên tố khác.
A) 512=29, mẫu chỉ có ước 2 nên 51227 là số thập phân hữu hạn.
B) 52833=161 (vì 528=33⋅16), mẫu 16=24 chỉ có ước 2 nên hữu hạn.
C) 528=24⋅3⋅11; vì 31 là số nguyên tố và không chia hết cho 528 nên 52831 đã tối giản, mẫu có ước 3 và 11 (khác 2, 5) nên vô hạn tuần hoàn.
D) 512=29, mẫu chỉ có ước 2 nên 51225 là số thập phân hữu hạn.
Vậy đáp án đúng là C.
2Cách 2. Loại nhanh các phân số có mẫu là lũy thừa của 2
Định hướng. Nhận ra ngay A và D có mẫu 512=29 nên chắc chắn là số thập phân hữu hạn, loại trước hai phương án này để chỉ còn xét B và C.
A, D có mẫu 512=29, chỉ có ước 2 nên hữu hạn, loại.
B: rút gọn 52833=161=241, mẫu vẫn chỉ có ước 2 nên hữu hạn, loại.
C: 528=24⋅3⋅11, phân số 52831 đã tối giản, mẫu có ước 3 và 11 nên vô hạn tuần hoàn.
Vậy đáp án đúng là C.
3Cách 3. Thực hiện phép chia trực tiếp
Định hướng. Chia tử cho mẫu bằng phép chia dài ở từng phương án, quan sát phần dư có lặp lại theo chu kì hay dừng hẳn.
27:512=0,052734375, phép chia dừng hẳn.
33:528=1:16=0,0625, phép chia dừng hẳn.
31:528=0,0587121212…, phần dư lặp lại nhóm 12 mãi mãi.
25:512=0,048828125, phép chia dừng hẳn.
Vậy đáp án đúng là C.
Nhận xét. Ba cách đều quy về cùng một dấu hiệu duy nhất — mẫu số sau khi tối giản có ước nguyên tố nào ngoài 2 và 5 hay không.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: loại ngay hai phương án có mẫu là lũy thừa của 2 (A, D), rút gọn nhanh B để loại tiếp, khỏi phải chia dài cả bốn phân số.
Đáp số.Đáp án C. 52831.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn thấy mẫu 528 có vẻ 'lẻ' liền kết luận ngay là vô hạn tuần hoàn mà quên rút gọn phân số 52833 trước; sau khi rút gọn mẫu chỉ còn 16=24 nên thực chất đó là số thập phân hữu hạn.
🚀 Mở rộng.Đổi đề thành xét 5287: vì gcd(7,528)=1 và 528 vẫn có ước 3, 11 nên phân số này cũng cho số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Bài 2 · Câu hỏi 2★Trang 33— Trắc nghiệm đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số
Số 3,(5) viết được thành phân số nào sau đây? A. 1141; B. 932; C. 1142; D. 931.
Kiến thức cần nhớ
Với 0≤b≤9: a,(b)=a+9b.
Đặt x=0,(b) thì 10x=b,(b)=b+x, suy ra 9x=b.
🧠 Phân tích tư duy
Bốn phương án đều là phân số có mẫu 9 hoặc 11, dấu hiệu cho thấy đề đang kiểm tra công thức đổi số thập phân tuần hoàn đơn (chu kì ngay sau dấu phẩy) sang phân số với mẫu là 9. Bẫy nằm ở việc chọn nhầm mẫu 11 (dành cho chu kì hai chữ số) thay vì mẫu 9 (chu kì một chữ số).
1Cách 1. Đặt ẩn rồi khử phần tuần hoàn
Định hướng. Tách phần nguyên 3 ra trước, đặt x=0,(5) rồi nhân 10 để khử phần thập phân tuần hoàn.
3,(5)=3+0,(5)=3+x với x=0,(5).
10x=5,(5)=5+x.
10x−x=5⇒9x=5⇒x=95.
3,(5)=3+95=927+95=932.
Vậy đáp án đúng là B.
2Cách 2. Áp dụng thẳng công thức số thập phân tuần hoàn đơn
Định hướng. Số 3,(5) có chu kì 5 ngay sau dấu phẩy nên dùng ngay công thức a,(b)=a+9b với a=3, b=5.
3,(5)=3+95.
3+95=93⋅9+95=927+5=932.
Vậy đáp án đúng là B.
3Cách 3. Thử lại bằng cách chia tử cho mẫu ở từng phương án
Định hướng. Không cần đổi ngược, chỉ cần chia tử cho mẫu của mỗi phương án rồi so sánh với 3,555…
A) 41:11=3,7272…=3,(5).
B) 32:9=3,555…=3,(5), khớp đề.
C) 42:11=3,8181…=3,(5).
D) 31:9=3,4444…=3,(5).
Vậy đáp án đúng là B.
Nhận xét. Cách 3 tuy chậm hơn nhưng dùng để kiểm tra chéo lại kết quả của Cách 1 và Cách 2.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: áp dụng thẳng công thức a,(b)=a+9b, không cần đặt ẩn và giải phương trình như Cách 1.
Đáp số.Đáp án B. 932.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn nhớ nhầm mẫu của số thập phân tuần hoàn chu kì một chữ số là 11 (mẫu dành cho chu kì hai chữ số) nên chọn nhầm phương án A hoặc C.
🚀 Mở rộng.Đổi thành 3,(45) (chu kì hai chữ số) thì công thức đổi là 3+9945=3+115=1138, mẫu chuyển thành 99 rồi rút gọn.
Bài 3 · Câu hỏi 3★★Trang 33— Trắc nghiệm nhận biết bình phương của một số hữu tỉ
Số nào dưới đây là bình phương của một số hữu tỉ? A. 17; B. 153; C. 15,21; D. 0,10100100010000… (viết liên tiếp sau dấu phẩy các lũy thừa của 10).
Kiến thức cần nhớ
Căn bậc hai số học của một số tự nhiên không chính phương luôn là số vô tỉ.
Số thập phân vô hạn không tuần hoàn là số vô tỉ.
Một số hữu tỉ x=qp là bình phương của một số hữu tỉ nm khi và chỉ khi x=(nm)2.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho bốn số ở bốn hình thức khác nhau (số nguyên, số nguyên khác, số thập phân hữu hạn, số thập phân không tuần hoàn), dấu hiệu là phải loại các số vô tỉ trước (căn bậc hai số học của số tự nhiên không chính phương và số thập phân vô hạn không tuần hoàn đều vô tỉ) rồi mới thử bình phương số thập phân hữu hạn còn lại. Bẫy nằm ở việc bấm máy 15,21≈3,9 rồi quên kiểm chứng lại bằng phép nhân chính xác.
1Cách 1. Loại các số vô tỉ trước rồi thử số còn lại
Định hướng. Xét từng phương án theo đúng thứ tự: số nguyên không chính phương là vô tỉ khi khai căn, số thập phân không tuần hoàn là vô tỉ, chỉ còn một phương án cần thử bình phương.
A) 17 không phải số chính phương nên 17 vô tỉ, tức 17 không là bình phương của số hữu tỉ nào.
B) 153=9⋅17; nếu 153=x2 với x hữu tỉ thì 17=(3x)2, mâu thuẫn với A, nên B sai.
D) 0,10100100010000… có số chữ số 0 giữa các chữ số 1 tăng dần, không tuần hoàn nên là số vô tỉ, không thể là bình phương của số hữu tỉ.
C) Thử: 3,92=15,21, mà 3,9=1039 là số hữu tỉ.
Vậy đáp án đúng là C.
2Cách 2. Viết mỗi số dưới dạng phân số rồi kiểm tra tử, mẫu có là số chính phương
Định hướng. Đưa mỗi số về dạng phân số, một phân số tối giản là bình phương của số hữu tỉ khi và chỉ khi cả tử và mẫu đều là số chính phương.
A) 17=117; 17 không là số chính phương nên loại.
B) 153=1153=19⋅17; vì 17 không chính phương nên 153 không là số chính phương, loại.
C) 15,21=1001521; 100=102 đã là số chính phương, còn 1521=392 (vì 392=1521) cũng là số chính phương, nên 15,21=(1039)2.
D) không viết được dưới dạng phân số vì là số vô tỉ, loại.
Vậy đáp án đúng là C.
Nhận xét. Kiểm tra 1521=392: 392=39⋅39=1521, đúng như tính ở trên.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: loại nhanh ba số vô tỉ bằng dấu hiệu (không chính phương, không tuần hoàn), chỉ còn một phép nhân 3,9×3,9 cần kiểm tra.
Đáp số.Đáp án C. 15,21=3,92.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn thấy 153 gần với số chính phương 144=122 hoặc 169=132 rồi vội đoán bừa; thực ra phải phân tích 153=9⋅17 với 17 không chính phương mới kết luận chắc chắn được.
🚀 Mở rộng.Đổi D thành 0,101001000100001… (số chữ số 0 tăng đều 1 đơn vị mỗi lần) thì vẫn là số vô tỉ vì không có chu kì lặp lại, chứng tỏ quy luật 'tăng dần' luôn phá vỡ tính tuần hoàn.
Bài 4 · Câu hỏi 4★★Trang 33— Trắc nghiệm tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2+16−8 là: A. −4; B. 8; C. 0; D. −8.
Kiến thức cần nhớ
Với mọi số thực x: x2≥0.
Nếu 0≤m≤n thì m≤n.
Dấu = trong bất đẳng thức x2≥0 xảy ra khi và chỉ khi x=0.
🧠 Phân tích tư duy
Biểu thức có dạng căn bậc hai trừ đi 8, mà phần trong căn luôn ≥16 do có x2≥0 cộng thêm 16, đây là dấu hiệu để đánh giá cả biểu thức bằng bất đẳng thức thay vì khảo sát hàm số. Bẫy là chọn nhầm đáp án D=−8 vì tưởng x2+16 có thể nhỏ tới 0, quên mất luôn có +16 ở trong căn nên căn không thể nhỏ hơn 4.
1Cách 1. Đánh giá trực tiếp từ x2≥0
Định hướng. Xuất phát từ x2≥0, cộng 16 vào hai vế rồi khai căn hai vế để đánh giá cả biểu thức.
x2≥0.
x2+16≥16.
x2+16≥16=4.
x2+16−8≥4−8=−4.
Dấu = xảy ra khi x2=0, tức x=0.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là −4, đạt được khi x=0; đáp án đúng là A.
2Cách 2. Đặt ẩn phụ cho biểu thức trong căn
Định hướng. Đặt t=x2+16, tìm miền giá trị của t rồi suy ra giá trị nhỏ nhất của t−8.
Vì x2≥0 nên x2+16≥16, suy ra t=x2+16≥4.
Biểu thức đã cho là t−8 với t≥4.
Hàm t−8 đồng biến theo t nên nhỏ nhất khi t nhỏ nhất, tức t=4.
Khi đó t−8=4−8=−4.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là −4; đáp án đúng là A.
Nhận xét. Đặt ẩn phụ giúp nhìn rõ bài toán chỉ còn là tìm GTNN của hàm bậc nhất t−8 trên miền t≥4.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: đánh giá nối tiếp từng bước từ x2≥0 là ngắn gọn nhất, không cần đặt thêm ẩn phụ.
Đáp số.Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là −4 (tại x=0); đáp án A.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn tưởng x2+16 có thể tiến tới 0 khi x rất lớn theo chiều âm, quên rằng x2 càng lớn thì căn thức càng lớn chứ không nhỏ đi; giá trị nhỏ nhất của căn thức chỉ đạt tại x=0.
🚀 Mở rộng.Đổi thành x2+9−5: theo đúng cách trên, GTNN là 9−5=3−5=−2, đạt tại x=0 — công thức tổng quát là a−c với a là hằng số cộng thêm trong căn.
Bài 5 · Câu hỏi 5★★Trang 33— Trắc nghiệm tìm giá trị lớn nhất của biểu thức chứa căn
Giá trị lớn nhất của biểu thức 2−4x−5 là: A. −2; B. 2−45; C. 2; D. 2+45.
Kiến thức cần nhớ
Điều kiện để x−5 có nghĩa: x−5≥0, tức x≥5.
x−5≥0 với mọi x≥5.
Nếu a≥0 thì −4a≤0.
🧠 Phân tích tư duy
Biểu thức chỉ có nghĩa khi x−5≥0, và x−5 luôn không âm nên −4x−5 luôn không dương — đây là dấu hiệu để đánh giá cả biểu thức đạt lớn nhất khi phần trừ đi bằng 0. Bẫy là chọn nhầm phương án D vì cộng nhầm dấu, quên rằng hệ số của căn là −4 (âm) nên căn càng lớn thì biểu thức càng nhỏ, không phải càng lớn.
1Cách 1. Đánh giá trực tiếp từ x−5≥0
Định hướng. Xuất phát từ điều kiện x≥5 để căn có nghĩa, đánh giá x−5≥0 rồi nhân với −4 và cộng 2.
Điều kiện: x−5≥0, tức x≥5.
x−5≥0.
−4x−5≤−4⋅0=0.
2−4x−5≤2+0=2.
Dấu = xảy ra khi x−5=0, tức x=5.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 2, đạt được khi x=5; đáp án đúng là C.
2Cách 2. Đặt ẩn phụ cho biểu thức trong căn
Định hướng. Đặt t=x−5 với t≥0, đưa bài toán về tìm GTLN của hàm bậc nhất 2−4t theo t.
Với x≥5, đặt t=x−5≥0.
Biểu thức trở thành 2−4t với t≥0.
Vì hệ số của t là −4<0 nên 2−4t nghịch biến theo t, do đó lớn nhất khi t nhỏ nhất, tức t=0.
Khi t=0: 2−4⋅0=2.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 2; đáp án đúng là C.
Nhận xét. Vì hệ số của căn là số âm, biểu thức lớn nhất đúng lúc căn thức nhỏ nhất — ngược với bài GTNN ở câu trước.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: đánh giá nối tiếp từ x−5≥0, không cần đặt thêm ẩn phụ vẫn ra ngay đáp số.
Đáp số.Giá trị lớn nhất của biểu thức là 2 (tại x=5); đáp án C.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn quên hệ số −4 mang dấu âm nên tưởng biểu thức lớn nhất khi x−5 lớn nhất, dẫn tới chọn nhầm phương án D (biểu thức không bị chặn trên do x có thể lớn tùy ý).
🚀 Mở rộng.Đổi thành 5−3x−2 (điều kiện x≥2): theo đúng cách trên, GTLN là 5, đạt tại x=2.
Bài 6 · Câu hỏi 6★★Trang 33— Trắc nghiệm lý thuyết về phép toán trên số vô tỉ
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Tích của hai số vô tỉ là một số vô tỉ; B. Tổng của hai số vô tỉ là một số vô tỉ; C. Tổng của một số hữu tỉ và một số vô tỉ là một số vô tỉ; D. Thương của hai số vô tỉ là một số vô tỉ.
Kiến thức cần nhớ
Muốn bác bỏ một khẳng định 'luôn đúng', chỉ cần chỉ ra một phản ví dụ.
Hiệu của hai số hữu tỉ luôn là số hữu tỉ.
2 là số vô tỉ.
🧠 Phân tích tư duy
Ba trong bốn khẳng định sai vì tổng, tích, thương của hai số vô tỉ hoàn toàn có thể triệt tiêu phần vô tỉ và cho ra số hữu tỉ, dấu hiệu là phải nghĩ ngay đến các số vô tỉ 'đối nhau' hoặc 'nghịch đảo nhau' như 2 và −2. Riêng khẳng định về tổng của số hữu tỉ và số vô tỉ thì luôn đúng, chứng minh được bằng phản chứng chứ không cần phản ví dụ.
1Cách 1. Kiểm tra từng phương án bằng phản ví dụ cụ thể
Định hướng. Với mỗi phương án, thử tìm hai số vô tỉ cụ thể (ưu tiên 2 và −2) để kiểm tra khẳng định có luôn đúng không.
A) 2⋅2=(2)2=2, một số hữu tỉ; A sai.
B) 2+(−2)=0, một số hữu tỉ; B sai.
D) 2:2=1, một số hữu tỉ; D sai.
C) Giả sử x hữu tỉ, y vô tỉ mà x+y=z là số hữu tỉ; khi đó y=z−x là hiệu của hai số hữu tỉ nên y phải hữu tỉ, trái với giả thiết y vô tỉ; vậy C luôn đúng.
Vậy khẳng định đúng là C.
2Cách 2. Chứng minh trực tiếp phương án còn nghi ngờ bằng phản chứng
Định hướng. Sau khi đã loại A, B, D bằng phản ví dụ ở Cách 1, tập trung chứng minh chặt chẽ C bằng phương pháp phản chứng để khẳng định chắc chắn đó là đáp án.
Giả sử C sai, tức tồn tại số hữu tỉ x và số vô tỉ y sao cho x+y=z với z là số hữu tỉ.
Từ x+y=z suy ra y=z−x.
Vì z, x đều hữu tỉ nên z−x là hiệu của hai số hữu tỉ, do đó y phải là số hữu tỉ.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết y là số vô tỉ, vậy giả sử sai.
Vậy tổng của một số hữu tỉ và một số vô tỉ luôn là số vô tỉ, tức khẳng định C đúng.
Nhận xét. Phản chứng cho C chặt chẽ hơn phản ví dụ, vì phản ví dụ chỉ bác bỏ được các khẳng định sai (A, B, D) chứ không thể dùng để xác nhận một khẳng định luôn đúng.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: nhớ sẵn bộ ba 2, −2 để loại nhanh A, B, D bằng phản ví dụ, chỉ cần lập luận phản chứng ngắn cho C.
Đáp số.Khẳng định đúng: C. Tổng của một số hữu tỉ và một số vô tỉ là một số vô tỉ.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn nghĩ 'vô tỉ cộng, trừ, nhân, chia với vô tỉ luôn ra vô tỉ' theo cảm tính mà không thử phản ví dụ, trong khi 2 và −2 là phản ví dụ đơn giản bác bỏ ngay ba khẳng định A, B, D.
🚀 Mở rộng.Đổi C thành 'tích của một số hữu tỉ khác 0 và một số vô tỉ là một số vô tỉ' — vẫn đúng bằng lập luận phản chứng tương tự, chỉ thay phép trừ bằng phép chia.
Bài 7 · Câu hỏi 7★★Trang 33— Trắc nghiệm lý thuyết về giá trị tuyệt đối
Với mọi số thực x, khẳng định nào sau đây sai? A. ∣x∣≥x; B. ∣x∣≥−x; C. ∣x∣2≥x2; D. ∣∣x∣∣=x.
Kiến thức cần nhớ
Định nghĩa: ∣x∣=x khi x≥0; ∣x∣=−x khi x<0.
∣x∣≥0 với mọi số thực x.
∣x∣2=x2 với mọi số thực x.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho bốn khẳng định về giá trị tuyệt đối 'với mọi x', dấu hiệu để tìm khẳng định sai là xét riêng hai trường hợp x≥0 và x<0 theo đúng định nghĩa, vì một khẳng định chỉ đúng với x≥0 mà sai khi x<0 sẽ bị loại ngay. Bẫy nằm ở phương án D: nhìn qua tưởng hiển nhiên đúng vì có hai dấu tuyệt đối lồng nhau, nhưng phải thử với x âm mới lộ ra sai.
1Cách 1. Xét theo định nghĩa hai trường hợp x≥0 và x<0
Định hướng. Thay định nghĩa ∣x∣=x (khi x≥0) hoặc ∣x∣=−x (khi x<0) vào từng khẳng định để kiểm tra tính đúng sai trong cả hai trường hợp.
A) Nếu x≥0: ∣x∣=x≥x, đúng (dấu =). Nếu x<0: ∣x∣=−x>x (vì −x>0>x), đúng. Vậy A đúng với mọi x.
B) Nếu x≥0: ∣x∣=x≥−x (vì x≥0≥−x), đúng. Nếu x<0: ∣x∣=−x≥−x, đúng (dấu =). Vậy B đúng với mọi x.
C) ∣x∣2=x2 luôn đúng (bình phương của x hay −x đều bằng x2), nên ∣x∣2≥x2 đúng (dấu =) với mọi x.
D) Nếu x≥0: ∣∣x∣∣=∣x∣=x, đúng. Nếu x<0: ∣x∣=−x>0 nên ∣∣x∣∣=∣−x∣=−x=x (vì x<0 nên −x=x); D sai khi x<0.
Vậy khẳng định sai là D.
2Cách 2. Thử một giá trị âm cụ thể cho từng phương án
Định hướng. Thay x=−3 (một số âm bất kì) vào cả bốn khẳng định để tìm nhanh khẳng định không còn đúng.
A) ∣−3∣=3≥−3, đúng.
B) ∣−3∣=3≥−(−3)=3, đúng (dấu =).
C) ∣−3∣2=9≥(−3)2=9, đúng (dấu =).
D) ∣∣−3∣∣=∣3∣=3, nhưng x=−3, mà 3=−3; D sai.
Vậy khẳng định sai là D.
Nhận xét. Chỉ cần một giá trị âm cụ thể là đủ để bác bỏ D, không cần xét tổng quát như Cách 1.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: thử ngay một số âm như x=−3 cho cả bốn phương án, tìm ra khẳng định sai nhanh hơn xét tổng quát cả hai trường hợp dấu.
Đáp số.Khẳng định sai: D. ∣∣x∣∣=x.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn nghĩ giá trị tuyệt đối 'lấy hai lần' luôn trả về đúng số ban đầu nên chọn D đúng, quên rằng ∣x∣ luôn không âm nên ∣∣x∣∣=∣x∣ chỉ bằng x khi x≥0, còn khi x<0 thì ∣∣x∣∣=−x=x.
🚀 Mở rộng.Đổi D thành ∣∣x∣∣=∣x∣ thì khẳng định này luôn đúng với mọi x, vì lấy giá trị tuyệt đối của một số đã không âm (∣x∣≥0) thì giữ nguyên chính nó.
Bài 8 · Câu hỏi 8★★Trang 33— Trắc nghiệm lý thuyết về giá trị tuyệt đối của tổng, hiệu
Cho x, y là hai số thực tùy ý. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. ∣x−y∣=x−y; B. ∣x−y∣=∣x∣−∣y∣; C. ∣x+y∣=∣x∣+∣y∣; D. ∣x+y∣=∣x∣−∣y∣ nếu x>0>y và ∣x∣>∣y∣.
Kiến thức cần nhớ
Quy tắc cộng hai số trái dấu: nếu x>0>y và ∣x∣>∣y∣ thì x+y>0 và x+y=∣x∣−∣y∣.
Muốn bác bỏ khẳng định 'với mọi x, y', chỉ cần một phản ví dụ.
🧠 Phân tích tư duy
Ba khẳng định đầu bị 'tổng quát hoá quá đà' từ những trường hợp riêng lẻ đúng, dấu hiệu là phải tìm phản ví dụ ngay khi thấy khẳng định không kèm điều kiện gì cho x, y. Riêng D có kèm điều kiện x>0>y và ∣x∣>∣y∣ rất cụ thể, đây là dấu hiệu của quy tắc cộng hai số trái dấu — càng có điều kiện chặt thì khẳng định càng có khả năng đúng.
1Cách 1. Kiểm tra A, B, C bằng phản ví dụ, sau đó xác nhận D
Định hướng. Thử các cặp số cụ thể cho A, B, C để tìm phản ví dụ, sau đó kiểm tra D bằng đúng điều kiện đề cho.
A) Chọn x=1, y=3: ∣1−3∣=2, còn 1−3=−2; 2=−2 nên A sai.
B) Chọn x=0, y=4: ∣0−4∣=4, còn ∣0∣−∣4∣=−4; 4=−4 nên B sai.
C) Chọn x=3, y=−3: ∣3+(−3)∣=0, còn ∣3∣+∣−3∣=6; 0=6 nên C sai.
D) Chọn x=5, y=−2 (thỏa x>0>y, ∣x∣=5>∣y∣=2): ∣5+(−2)∣=∣3∣=3, còn ∣5∣−∣−2∣=5−2=3; hai vế bằng nhau.
Vậy khẳng định đúng là D.
2Cách 2. Chứng minh trực tiếp D bằng quy tắc cộng hai số trái dấu
Định hướng. Dùng đúng quy tắc cộng hai số trái dấu đã học để chứng minh D đúng với mọi x, y thỏa điều kiện đề cho, thay vì chỉ thử một cặp số.
Với x>0>y và ∣x∣>∣y∣: vì x>0 nên ∣x∣=x; vì y<0 nên ∣y∣=−y.
Điều kiện ∣x∣>∣y∣ trở thành x>−y, tức x+y>0.
Vì x+y>0 nên ∣x+y∣=x+y.
∣x∣−∣y∣=x−(−y)=x+y.
So sánh: ∣x+y∣=x+y=∣x∣−∣y∣.
Vậy với mọi x>0>y và ∣x∣>∣y∣ thì ∣x+y∣=∣x∣−∣y∣, tức khẳng định D đúng.
Nhận xét. Chứng minh tổng quát ở Cách 2 chắc chắn hơn việc chỉ thử một cặp số ở Cách 1.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: phản ví dụ loại nhanh A, B, C, rồi thử đúng một cặp số thỏa điều kiện đề cho để xác nhận D, không cần chứng minh tổng quát khi làm trắc nghiệm.
Đáp số.Khẳng định đúng: D. ∣x+y∣=∣x∣−∣y∣ nếu x>0>y, ∣x∣>∣y∣.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn nhớ nhầm ∣x+y∣=∣x∣+∣y∣ luôn đúng (chỉ đúng khi x, y cùng dấu hoặc một trong hai số bằng 0), nên chọn nhầm phương án C mà không thử phản ví dụ với hai số trái dấu.
🚀 Mở rộng.Đổi điều kiện thành y>0>x và ∣y∣>∣x∣ thì bằng lập luận tương tự (đổi vai trò x, y) vẫn có ∣x+y∣=∣y∣−∣x∣.
Bài 9 · 2.37★Trang 34— Ước lượng tích để phát hiện phép nhân sai
Bằng cách ước lượng tích, giải thích vì sao kết quả phép nhân sau đây là sai: 6,238⋅3,91=21,390558.
Kiến thức cần nhớ
Làm tròn hai thừa số đến hàng đơn vị hoặc hàng phù hợp rồi nhân nhẩm để có tích ước lượng.
So sánh tích ước lượng với kết quả đã cho: nếu chênh lệch quá lớn thì kết quả đã cho là sai.
🧠 Phân tích tư duy
Đề yêu cầu đích danh 'ước lượng' chứ không phải tính chính xác, dấu hiệu là phải làm tròn hai thừa số về số gần đúng dễ nhân nhẩm rồi so sánh cỡ với kết quả đã cho. Bẫy là nếu tính tay đầy đủ ngay từ đầu sẽ mất tác dụng của bài — mục đích của bài là rèn kĩ năng ước lượng nhanh để tự kiểm tra kết quả, không phải nhân trực tiếp.
1Cách 1. Ước lượng bằng cách làm tròn đến hàng đơn vị
Định hướng. Làm tròn cả hai thừa số 6,238 và 3,91 đến hàng đơn vị, nhân nhẩm để có tích ước lượng rồi so với kết quả 21,390558 đã cho.
6,238≈6.
3,91≈4.
Tích ước lượng: 6⋅4=24.
Kết quả 21,390558 nhỏ hơn hẳn tích ước lượng 24, chênh lệch tới hơn 2,6 đơn vị — quá lớn so với sai số của phép làm tròn.
Vậy kết quả 6,238⋅3,91=21,390558 là sai.
2Cách 2. Ước lượng qua số chữ số phần nguyên của tích
Định hướng. Xét cận dưới và cận trên của mỗi thừa số để kẹp tích thật vào một khoảng, từ đó thấy kết quả cho sẵn nằm ngoài khoảng đó.
6<6,238<7 và 3<3,91<4.
Suy ra 6⋅3<6,238⋅3,91<7⋅4, tức 18<6,238⋅3,91<28.
Kết quả 21,390558 tuy nằm trong khoảng (18;28) nên chưa đủ để bác bỏ bằng cách kẹp thô, cần kẹp chặt hơn: 6,2<6,238<6,3 và 3,9<3,91<4, suy ra 6,2⋅3,9<6,238⋅3,91<6,3⋅4, tức 24,18<6,238⋅3,91<25,2.
Kết quả 21,390558 nhỏ hơn cả cận dưới 24,18 của khoảng kẹp chặt.
Vậy kết quả 21,390558 nằm ngoài khoảng ước lượng nên là sai.
3Cách 3. Tính chính xác để kiểm chứng lại
Định hướng. Nhân đầy đủ hai thừa số để tìm tích đúng, đối chiếu với kết quả đề cho nhằm khẳng định chắc chắn kết luận từ hai cách ước lượng trên.
6,238⋅3,91=10006238⋅100391=1000006238⋅391.
6238⋅391=2439058.
6,238⋅3,91=1000002439058=24,39058.
Vậy tích đúng là 24,39058, khác hẳn kết quả 21,390558 đã cho trong đề, xác nhận đó là kết quả sai.
Nhận xét. Tích đúng có phần nguyên là 24, đúng như ước lượng ở Cách 1 và Cách 2 đã dự đoán.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: làm tròn nhanh về 6 và 4, nhân nhẩm ra 24 rồi so với 21,390558 là thấy ngay sự bất hợp lý, không cần nhân đầy đủ như Cách 3.
Đáp số.Kết quả 6,238⋅3,91=21,390558 là sai; tích đúng là 24,39058.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn chỉ đếm số chữ số thập phân ở hai thừa số (3 chữ số +2 chữ số =5 chữ số) rồi kiểm tra kết quả cũng có 6 chữ số thập phân là yên tâm, mà quên kiểm tra độ lớn (cỡ) của tích — đây chính là chỗ ước lượng phát hiện ra sai số vượt quá mức làm tròn cho phép.
🚀 Mở rộng.Đổi đề thành 6,238⋅3,91=24,49058 (một lỗi nhỏ ở chữ số hàng phần trăm), ước lượng thô bằng Cách 1 sẽ không phát hiện được vì tích ước lượng 24 gần với 24,49058 — khi đó phải ước lượng chặt hơn như Cách 2 mới lộ ra sai số.
Bài 10 · 2.38★Trang 34— Phát hiện phép nhân số thập phân vô hạn tuần hoàn sai
Giải thích vì sao kết quả phép tính: 28,1⋅1,(8)=55,0(7) không đúng.
Kiến thức cần nhớ
1,(8)=1+98=917.
Muốn nhân chính xác một số thập phân tuần hoàn, nên đổi nó ra phân số trước khi nhân.
🧠 Phân tích tư duy
Bài có một thừa số là số thập phân tuần hoàn 1,(8), dấu hiệu là phải đổi số này ra phân số để nhân chính xác thay vì nhân trực tiếp trên dạng thập phân dễ nhầm hàng. Bẫy nằm ở việc 1,(8) rất gần 2 (vì 1,(8)=1,888…), khiến nhiều bạn ước lượng tích gần 28,1⋅2=56,2 nhưng lại chấp nhận luôn kết quả sai 55,0(7) vì thấy 'gần gần' đúng.
1Cách 1. Ước lượng bằng cách làm tròn
Định hướng. Làm tròn 1,(8) về 2 (giá trị rất gần), nhân nhẩm với 28,1 để có tích ước lượng rồi so với kết quả đề cho.
1,(8)=1,888…≈2.
28,1⋅2=56,2.
Kết quả đề cho là 55,0(7)=55,0777…, chênh với tích ước lượng 56,2 khoảng 1,12 đơn vị.
Vì 1,(8) xấp xỉ 2 nhưng nhỏ hơn 2, tích thật phải nhỏ hơn 56,2 nhưng không thể chênh tới hơn 1 đơn vị chỉ vì làm tròn 0,111….
Vậy kết quả 28,1⋅1,(8)=55,0(7) là không đúng.
2Cách 2. Đổi 1,(8) ra phân số rồi nhân chính xác
Định hướng. Đổi số thập phân tuần hoàn 1,(8) ra phân số 917, sau đó nhân chính xác với 28,1 để tìm tích đúng.
1,(8)=1+0,(8)=1+98=99+98=917.
28,1=10281.
28,1⋅1,(8)=10281⋅917=90281⋅17=904777.
904777=53,0(7) (chia 4777 cho 90 được 53 dư 7, phần thập phân lặp lại chữ số 7).
Vậy tích đúng là 53,0(7), khác với kết quả 55,0(7) đề cho — sai ngay ở phần nguyên (chữ số hàng chục), nên khẳng định đó là kết quả sai.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: đổi hẳn 1,(8) ra phân số 917 rồi nhân, cho kết quả chính xác tuyệt đối thay vì chỉ nghi ngờ như Cách 1.
Đáp số.Kết quả 28,1⋅1,(8)=55,0(7) là sai; tích đúng là 53,0(7).
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn nhân trực tiếp trên dạng thập phân bằng cách lấy vài chữ số đầu của 1,888… rồi cộng thêm phần đuôi một cách cảm tính, dẫn tới sai ở chính hàng chục của kết quả mà không phát hiện ra.
🚀 Mở rộng.Áp dụng cùng cách đổi phân số cho 28,1⋅2,(7): 2,(7)=925, tích =10281⋅925=907025=78,0(5).
Bài 11 · 2.39★Trang 34— Chứng minh đẳng thức giữa hai số thập phân vô hạn tuần hoàn
Chứng tỏ rằng 0,(3)2=0,(1).
Kiến thức cần nhớ
0,(3)=93=31.
0,(1)=91.
🧠 Phân tích tư duy
Cả hai vế đều là số thập phân tuần hoàn đơn giản, dấu hiệu để chứng minh đẳng thức là đổi cả hai về phân số rồi so sánh, thay vì nhân trực tiếp trên dạng thập phân dễ nhầm chữ số. Bẫy dễ gặp là nhân nhẩm 0,333…×0,333… rồi làm tròn cẩu thả, mất đi tính chính xác cần có của một phép chứng minh.
1Cách 1. Đổi cả hai vế về phân số rồi so sánh
Định hướng. Đổi 0,(3) và 0,(1) về phân số bằng công thức số thập phân tuần hoàn đơn, sau đó tính bình phương vế trái và so sánh với vế phải.
0,(3)=93=31.
0,(3)2=(31)2=91.
0,(1)=91.
So sánh: 0,(3)2=91=0,(1).
Vậy0,(3)2=0,(1) (đpcm).
2Cách 2. Nhân trực tiếp trên dạng thập phân rồi nhận diện chu kì
Định hướng. Viết 0,(3) dưới dạng 0,333… và nhân trực tiếp theo cách nhân số thập phân, quan sát quy luật lặp lại của tích.
0,(3)=0,333…
0,(3)2=0,333…×0,333…=0,1110889… khi nhân đủ nhiều chữ số, các chữ số càng về sau càng ổn định thành dãy chữ số 1 lặp lại (do phần dư của phép nhân dài tiến tới đúng 91).
91=0,111…=0,(1), đúng bằng dãy chữ số 1 lặp lại quan sát được ở trên.
Vậy0,(3)2=0,(1) (đpcm).
Nhận xét. Cách 1 (đổi phân số) chặt chẽ và nhanh hơn hẳn Cách 2 (nhân trực tiếp dạng thập phân), vì Cách 2 dễ sai số khi nhân tay nhiều chữ số.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: đổi thẳng ra phân số 31 và 91 rồi so sánh, chặt chẽ và không tốn công nhân tay nhiều chữ số như Cách 2.
Đáp số.0,(3)2=0,(1)=91.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn nhân trực tiếp 0,333…×0,333… trên giấy rồi dừng lại sau vài chữ số, ra kết quả gần đúng như 0,110889 và kết luận nhầm là không bằng 0,(1); thực ra phải đổi ra phân số mới thấy hai vế bằng nhau chính xác tuyệt đối.
🚀 Mở rộng.Tổng quát: với mọi chữ số b từ 1 đến 9, 0,(b)2=(9b)2=81b2, không phải lúc nào cũng là số thập phân tuần hoàn đơn giản như trường hợp b=3.
Bài 12 · 2.40★★Trang 34— Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp ra phân số
Viết số 0,1(235) dưới dạng phân số.
Kiến thức cần nhớ
Công thức tổng quát: với số thập phân 0,a(b) (a có m chữ số không tuần hoàn, b có n chữ số tuần hoàn), ta có 0,a(b)=n9…9m0…0ab−a (với ab là số ghép a và b).
Đặt ẩn rồi nhân với luỹ thừa của 10 phù hợp cũng đổi được số thập phân tuần hoàn tạp ra phân số.
🧠 Phân tích tư duy
Số 0,1(235) có phần thập phân không tuần hoàn (1 chữ số) rồi mới đến chu kì tuần hoàn (235, 3 chữ số), dấu hiệu để chọn công thức tổng quát của số thập phân tuần hoàn tạp thay vì công thức đơn giản dành cho tuần hoàn ngay sau dấu phẩy. Bẫy là nhầm lẫn công thức, ví dụ lấy mẫu là 999 (dành cho tuần hoàn ngay từ đầu) thay vì 9990 (có thêm chữ số 0 ứng với phần không tuần hoàn).
1Cách 1. Đặt ẩn rồi khử hai lần phần thập phân
Định hướng. Đặt x=0,1235235235…, nhân x với 10 và với 10000 để đưa phần tuần hoàn về cùng vị trí sau dấu phẩy rồi trừ đi để khử hẳn phần vô hạn.
Đặt x=0,1235235235…
10x=1,235235235…
10000x=1235,235235235…
10000x−10x=1235−1=1234.
9990x=1234⇒x=99901234=4995617.
Vậy0,1(235)=4995617.
2Cách 2. Tách thành số thập phân hữu hạn cộng số thập phân tuần hoàn thuần
Định hướng. Tách 0,1235235235… thành tổng của phần thập phân hữu hạn 0,1 và phần tuần hoàn thuần 0,0235235235…, mỗi phần đổi ra phân số theo đúng công thức riêng của nó.
Nhận xét. Hai cách đều dẫn tới cùng một phân số, xác nhận kết quả chính xác.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: đặt ẩn nhân hai lần với luỹ thừa của 10 rồi trừ, quy trình máy móc và ít nhầm lẫn hơn việc phải nhớ tách và quy đồng như Cách 2.
Đáp số.0,1(235)=4995617.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn quên mất chữ số 1 không tuần hoàn ngay sau dấu phẩy, đổi nhầm thành 9991235−1=9991234 (thiếu chữ số 0 ở mẫu ứng với phần không tuần hoàn), dẫn tới sai cả tử lẫn mẫu.
🚀 Mở rộng.Áp dụng đúng công thức cho 0,2(14): phần không tuần hoàn là 2 (1 chữ số), phần tuần hoàn là 14 (2 chữ số), mẫu là 990, kết quả 990214−2=990212=495106.
Bài 13 · 2.41★Trang 34— Tính hiệu chứa số thập phân vô hạn tuần hoàn rồi làm tròn
Tính và làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn: 2,25−2,(3).
Kiến thức cần nhớ
2,(3)=2+93=2+31=37.
Chỉ làm tròn kết quả cuối cùng, không làm tròn các số hạng trung gian.
🧠 Phân tích tư duy
Phép trừ có một số thập phân tuần hoàn 2,(3), dấu hiệu là phải đổi số này ra phân số để trừ chính xác trước, rồi mới đổi kết quả cuối cùng ra số thập phân và làm tròn — không được làm tròn 2,(3) trước khi trừ vì sẽ mất chính xác ngay từ đầu. Bẫy nằm ở việc hiệu ra số âm, dễ làm tròn sai dấu nếu không cẩn thận.
1Cách 1. Đổi cả hai số về phân số rồi trừ chính xác
Định hướng. Đổi 2,(3) ra phân số 37, đổi 2,25 ra phân số 49, trừ hai phân số rồi mới đổi kết quả ra số thập phân để làm tròn.
2,25=100225=49.
2,(3)=2+93=2+31=37.
2,25−2,(3)=49−37=1227−1228=12−1.
12−1=−0,0833…
Làm tròn đến hàng phần nghìn: chữ số hàng phần vạn là 3<5 nên giữ nguyên, −0,0833…≈−0,083.
Vậy2,25−2,(3)≈−0,083.
2Cách 2. Khai triển đủ chữ số thập phân rồi trừ trực tiếp theo cột
Định hướng. Viết 2,(3) với đủ chữ số thập phân cần thiết (nhiều hơn hàng cần làm tròn một vài chữ số) rồi trừ trực tiếp theo cột dọc như phép trừ số thập phân thông thường.
2,(3)=2,33333…, lấy đến 5 chữ số thập phân: 2,33333.
2,25=2,25000 (viết thêm chữ số 0 cho đủ hàng).
2,25000−2,33333=−0,08333.
Làm tròn đến hàng phần nghìn: chữ số hàng phần vạn là 3<5 nên giữ nguyên, −0,08333≈−0,083.
Vậy2,25−2,(3)≈−0,083.
Nhận xét. Hai cách cho cùng một kết quả; Cách 1 chính xác tuyệt đối vì dùng phân số, còn Cách 2 chỉ gần đúng nhưng đủ chữ số để làm tròn đúng.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: trừ chính xác bằng phân số trước rồi mới làm tròn một lần duy nhất, tránh được sai số cộng dồn khi cắt bớt chữ số của 2,(3) ngay từ đầu như Cách 2.
Đáp số.2,25−2,(3)≈−0,083.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn làm tròn 2,(3)≈2,333 ngay từ đầu rồi mới trừ, dẫn tới sai số cộng dồn ở các chữ số sau hàng phần nghìn; với bài này may mắn không đổi kết quả làm tròn cuối cùng, nhưng thói quen làm tròn sớm là không an toàn.
🚀 Mở rộng.Tính 2,(3)−2,25 (đổi thứ tự trừ) thì kết quả đổi dấu thành 0,083, cho thấy việc xác định đúng số bị trừ, số trừ quan trọng không kém việc tính chính xác giá trị tuyệt đối.
Bài 14 · 2.42★★★Trang 34— So sánh hai số thập phân vô hạn tuần hoàn viết dưới hai dạng khác nhau
So sánh a=1,0(10) và b=1,(01).
Kiến thức cần nhớ
Công thức tổng quát cho số thập phân tuần hoàn tạp: 0,a(b)=n9…9m0…0ab−a.
Công thức số thập phân tuần hoàn thuần: 0,(b)=n9…9b.
🧠 Phân tích tư duy
Hai số nhìn hình thức rất khác nhau — một số có phần không tuần hoàn 0 rồi chu kì 10, số kia tuần hoàn ngay chu kì 01 — dấu hiệu là phải đổi cả hai ra phân số mới so sánh chính xác được, vì nhìn bằng mắt rất dễ ngộ nhận chúng khác nhau. Bẫy lớn nhất của bài là sau khi đổi ra phân số, hai số này hoá ra lại bằng nhau tuyệt đối chứ không phải chỉ gần bằng.
1Cách 1. Đổi cả hai số về phân số bằng công thức tổng quát
Định hướng. Xác định đúng phần không tuần hoàn và phần tuần hoàn của từng số rồi áp dụng công thức đổi ra phân số.
a=1,0(10): phần thập phân không tuần hoàn là 0 (1 chữ số), phần tuần hoàn là 10 (2 chữ số).
a=1+990010−0=1+99010=1+991=99100.
b=1,(01): phần thập phân tuần hoàn thuần ngay từ đầu là 01 (2 chữ số).
b=1+9901=1+991=99100.
So sánh: a=99100=b.
Vậya=b.
2Cách 2. Đặt ẩn riêng cho từng số rồi khử phần tuần hoàn
Định hướng. Đặt x=0,0(10) và y=0,(01) (phần thập phân của a, b), nhân với luỹ thừa của 10 phù hợp để khử phần tuần hoàn của từng số một cách độc lập.
Với x=0,010101…: 100x=1,0101…=1+x⇒99x=1⇒x=991; vậy a=1+x=1+991=99100.
Với y=0,010101… (chính là 0,(01)): 100y=1,0101…=1+y⇒99y=1⇒y=991; vậy b=1+y=1+991=99100.
So sánh: a=99100=b.
Vậya=b.
Nhận xét. Khi viết đủ chữ số thập phân, cả a=1,0101010… và b=1,0101010… đều là cùng một dãy chữ số, chỉ khác cách đặt dấu ngoặc chu kì.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: áp dụng thẳng công thức tổng quát, không cần đặt thêm ẩn phụ như Cách 2 mà vẫn ra kết quả chính xác.
Đáp số.a=b=99100.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn nhìn hình thức khác nhau (một số có chu kì 10, số kia có chu kì 01) rồi vội kết luận a=b mà không đổi ra phân số để kiểm chứng; thực chất khi viết đủ chữ số, cả hai đều là 1,010101…, chỉ khác vị trí đặt dấu ngoặc chu kì.
🚀 Mở rộng.Tổng quát: với mọi số tự nhiên k gồm hai chữ số, 1,0(k) và 1,(k′) có thể bằng nhau nếu k′ là dạng dịch chuyển chu kì của k — đây là dấu hiệu cho thấy một số thập phân tuần hoàn có thể viết bằng nhiều cách đặt chu kì khác nhau.
Bài 15 · 2.43★★Trang 34— Xét tính hữu tỉ, vô tỉ của căn bậc hai một số tự nhiên
Không dùng máy tính, hãy cho biết số 555555 là số hữu tỉ hay vô tỉ.
Kiến thức cần nhớ
n (với n nguyên dương) là số hữu tỉ khi và chỉ khi n là số chính phương.
Một số tự nhiên là số chính phương khi và chỉ khi mọi số mũ trong phân tích ra thừa số nguyên tố của nó đều chẵn.
Nếu 555555 nằm chặt giữa hai số chính phương liên tiếp thì nó không phải là số chính phương.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cấm dùng máy tính, dấu hiệu là phải xét xem 555555 có phải số chính phương hay không bằng suy luận (phân tích thừa số nguyên tố hoặc kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp) thay vì bấm căn trực tiếp. Bẫy là thấy 555555 có nhiều chữ số 5 lặp lại rất 'đẹp' nên dễ đoán nhầm là số chính phương.
1Cách 1. Phân tích ra thừa số nguyên tố
Định hướng. Phân tích 555555 ra thừa số nguyên tố, kiểm tra xem các số mũ có đều chẵn hay không để kết luận có phải số chính phương.
555555=5⋅111111.
111111=3⋅37037=3⋅7⋅5291=3⋅7⋅11⋅481=3⋅7⋅11⋅13⋅37.
555555=3⋅5⋅7⋅11⋅13⋅37, mỗi thừa số nguyên tố đều có số mũ 1 (số lẻ).
Vì có thừa số nguyên tố với số mũ lẻ nên 555555 không phải là số chính phương.
Vậy555555 là số vô tỉ.
2Cách 2. Kẹp 555555 giữa hai số chính phương liên tiếp
Định hướng. Ước lượng căn bậc hai của 555555 rơi vào khoảng nào rồi kiểm tra hai số chính phương liên tiếp gần đó, chỉ ra 555555 không trùng với số chính phương nào.
Vì 7002=490000 và 8002=640000 nên 700<555555<800; thử gần hơn với 7452 và 7462.
7452=555025.
7462=556516.
555025<555555<556516, tức 7452<555555<7462.
Vì 555555 nằm chặt giữa hai số chính phương liên tiếp 7452 và 7462 nên bản thân nó không phải là số chính phương.
Vậy555555 là số vô tỉ.
Nhận xét. Cách 2 không cần phân tích thừa số nguyên tố đầy đủ, chỉ cần định vị đúng hai số chính phương liền kề.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1 nếu số dễ phân tích thừa số nguyên tố; dùng Cách 2 khi số quá lớn khó phân tích nhưng dễ ước lượng căn bậc hai gần đúng.
Đáp số.555555 là số vô tỉ.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn thấy 555555 gồm toàn chữ số 5 lặp lại rất đều đặn nên đoán bừa là số chính phương; thực chất tính 'đều đặn' của chữ số không liên quan gì đến việc một số có là số chính phương hay không.
🚀 Mở rộng.Đổi thành 555025: vì 555025=7452 nên số này là số chính phương, 555025=745 là số hữu tỉ — chỉ cần đổi vài chữ số cuối là đổi hẳn bản chất của bài toán.
Bài 16 · 2.44★★★Trang 34— Xét tính hữu tỉ, vô tỉ của căn bậc hai một số có nhiều chữ số giống nhau
Không dùng máy tính, hãy cho biết số 10111…1 (số gồm 101 chữ số 1) là số hữu tỉ hay vô tỉ. Giải thích.
Kiến thức cần nhớ
Mọi số chính phương khi chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.
Số gồm từ hai chữ số 1 trở lên có hai chữ số tận cùng là 11, và 11 chia cho 4 dư 3.
Nếu một số tự nhiên chia cho 4 dư 2 hoặc dư 3 thì số đó không phải là số chính phương.
🧠 Phân tích tư duy
Số dưới căn có tới 101 chữ số 1 nên không thể phân tích ra thừa số nguyên tố bằng tay, dấu hiệu là phải tìm một tính chất chia hết đơn giản (thường xét theo modun nhỏ như 4) để loại trừ khả năng là số chính phương. Bẫy của bài là nghĩ phải tính toán trực tiếp với số quá lớn, trong khi chỉ cần xét hai chữ số tận cùng là đủ.
1Cách 1. Xét số dư khi chia cho 4
Định hướng. Vì số cho có tới 101 chữ số 1 nên không thể phân tích trực tiếp, chuyển sang xét số dư của nó khi chia cho 4 — một phép kiểm tra chỉ cần nhìn hai chữ số tận cùng.
Gọi N=10111…1 (số gồm 101 chữ số 1).
Vì 100 chia hết cho 4 nên số dư của N khi chia cho 4 chỉ phụ thuộc vào hai chữ số tận cùng của N, tức là số 11.
11=4⋅2+3, tức 11 chia 4 dư 3, nên N cũng chia 4 dư 3.
Mọi số chính phương chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc dư 1 (vì (2k)2=4k2 chia hết cho 4, còn (2k+1)2=4k2+4k+1 chia 4 dư 1).
Vì N chia 4 dư 3, không thuộc {0;1}, nên N không phải là số chính phương.
VậyN là số vô tỉ.
2Cách 2. Xét hai chữ số tận cùng có thể có của một số chính phương
Định hướng. Liệt kê hai chữ số tận cùng có thể xuất hiện ở một số chính phương (bằng cách xét bình phương các số từ 0 đến 99), rồi đối chiếu với hai chữ số tận cùng của N là 11.
Hai chữ số tận cùng của một số chính phương chỉ phụ thuộc vào hai chữ số tận cùng của số gốc, nên chỉ cần xét bình phương các số từ 0 đến 99.
Liệt kê một số bình phương có tận cùng gần với 11: 92=81; 292=841; 392=1521; 492=2401; 592=3481; 692=4761; 792=6241; 892=7921; 992=9801; 212=441; 712=5041; không có bình phương nào tận cùng là 11.
Có thể kiểm chứng đầy đủ hơn: hai chữ số tận cùng của số chính phương chỉ có thể là một trong các cặp cố định (như 00,01,04,09,16,21,24,25,…,96,99), và 11 không nằm trong danh sách này.
Số N=10111…1 có hai chữ số tận cùng là 11.
VậyN không thể là số chính phương, nên N là số vô tỉ.
Nhận xét. Cách 2 minh họa trực quan cùng một sự thật mà Cách 1 đã chứng minh gọn bằng số dư chia cho 4.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần một phép chia 11 cho 4 dư 3 là kết luận được ngay, gọn hơn hẳn việc liệt kê các cặp chữ số tận cùng của số chính phương như Cách 2.
Đáp số.10111…1 (số gồm 101 chữ số 1) là số vô tỉ.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn nghĩ phải phân tích thừa số nguyên tố của một số có 101 chữ số mới xét được, dẫn tới bó tay; thực ra chỉ cần xét số dư khi chia cho 4 (chỉ phụ thuộc hai chữ số tận cùng) là đủ, không cần biết gì thêm về 99 chữ số còn lại.
🚀 Mở rộng.Tổng quát: mọi số k11…1 với k≥2 đều có hai chữ số tận cùng là 11, nên theo đúng lập luận trên, k11…1 luôn là số vô tỉ với mọi k≥2.
Bài 17 · 2.45★★Trang 34— Tính giá trị tuyệt đối của một tích theo giá trị tuyệt đối từng thừa số
Giả sử x, y là hai số thực đã cho. Biết ∣x∣=a và ∣y∣=b. Tính ∣xy∣ theo a và b.
Kiến thức cần nhớ
∣x∣=a nghĩa là x=a nếu x≥0, hoặc x=−a nếu x<0 (với a≥0).
Tính chất giá trị tuyệt đối của một tích: ∣xy∣=∣x∣⋅∣y∣ với mọi số thực x, y.
🧠 Phân tích tư duy
Đề không cho biết dấu của x, y nên dấu hiệu là phải xét đủ các trường hợp về dấu (cùng dấu, trái dấu) hoặc dùng ngay tính chất tổng quát ∣xy∣=∣x∣⋅∣y∣ đã được chứng minh trong bài học. Bẫy là quên xét trường hợp một trong hai số âm, dẫn tới kết luận thiếu chặt chẽ nếu chỉ xét mỗi trường hợp cùng dương.
1Cách 1. Xét đủ các trường hợp về dấu của x, y
Định hướng. Chia thành ba trường hợp: x, y cùng không âm; x, y cùng âm; x, y trái dấu, rồi tính ∣xy∣ trong từng trường hợp.
Nếu x≥0, y≥0 thì xy≥0, và x=∣x∣=a, y=∣y∣=b, nên ∣xy∣=xy=ab.
Nếu x<0, y<0 thì xy>0, và x=−∣x∣=−a, y=−∣y∣=−b, nên ∣xy∣=xy=(−a)(−b)=ab.
Nếu x, y trái dấu (chẳng hạn x≥0, y<0) thì xy≤0, nên ∣xy∣=−xy=−a⋅(−b)=ab (vì x=a, y=−b nên −xy=−a(−b)=ab).
Cả ba trường hợp đều cho cùng một kết quả ∣xy∣=ab.
Vậy∣xy∣=ab trong mọi trường hợp.
2Cách 2. Áp dụng trực tiếp tính chất giá trị tuyệt đối của một tích
Định hướng. Dùng ngay tính chất đã học ∣xy∣=∣x∣⋅∣y∣ mà không cần xét lại từng trường hợp dấu, vì tính chất này đã đúng với mọi số thực.
Theo tính chất giá trị tuyệt đối của một tích: ∣xy∣=∣x∣⋅∣y∣ với mọi x, y thực.
Thay ∣x∣=a và ∣y∣=b vào: ∣xy∣=a⋅b=ab.
Vậy∣xy∣=ab.
Nhận xét. Cách 2 ngắn gọn nhờ dùng lại một tính chất đã được chứng minh sẵn, còn Cách 1 tự chứng minh lại tính chất đó bằng cách xét trường hợp.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: áp dụng thẳng tính chất ∣xy∣=∣x∣⋅∣y∣ đã học, không cần chứng minh lại bằng xét dấu như Cách 1.
Đáp số.∣xy∣=ab.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn chỉ xét trường hợp x, y cùng dương rồi vội kết luận ∣xy∣=ab mà không kiểm tra lại khi x, y trái dấu hoặc cùng âm, khiến lời giải thiếu chặt chẽ dù đáp số vẫn đúng.
🚀 Mở rộng.Áp dụng tương tự cho thương: nếu y=0 thì yx=∣y∣∣x∣=ba (với b=0), chứng minh bằng cách xét dấu hoàn toàn tương tự.
Bài 18 · 2.46★★Trang 34— Chứng minh phương trình chứa giá trị tuyệt đối vô nghiệm
Sử dụng tính chất ∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣ (Bài tập 2.36), giải thích vì sao không có số thực x nào thỏa mãn ∣x−1∣+∣x−3∣=2.
Kiến thức cần nhớ
∣x−3∣=∣3−x∣ với mọi x (vì ∣−t∣=∣t∣).
∣a∣+∣b∣≥∣a+b∣ với mọi số thực a, b (chiều ngược của bất đẳng thức tam giác).
2≈1,414<2.
🧠 Phân tích tư duy
Đề chỉ định rõ phải dùng bất đẳng thức ∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣, dấu hiệu là phải khéo léo biến đổi ∣x−1∣+∣x−3∣ về đúng dạng tổng hai giá trị tuyệt đối rồi áp bất đẳng thức ngược lại (∣a∣+∣b∣≥∣a+b∣) để tìm một chặn dưới cố định. Bẫy là quên đổi dấu ∣x−3∣=∣3−x∣ trước khi áp dụng bất đẳng thức, khiến hai số hạng bên trong không triệt tiêu đúng thành hằng số.
1Cách 1. Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức đã cho
Định hướng. Viết ∣x−3∣=∣3−x∣ rồi áp dụng ∣a∣+∣b∣≥∣a+b∣ cho a=x−1, b=3−x để tìm chặn dưới của vế trái.
∣x−1∣+∣x−3∣=∣x−1∣+∣3−x∣.
Theo tính chất ∣a∣+∣b∣≥∣a+b∣ với a=x−1, b=3−x: ∣x−1∣+∣3−x∣≥∣(x−1)+(3−x)∣.
(x−1)+(3−x)=2.
∣x−1∣+∣x−3∣≥∣2∣=2 với mọi số thực x.
Vì 2≈1,414<2 nên không có giá trị nào của ∣x−1∣+∣x−3∣ (luôn ≥2) có thể bằng 2.
Vậy không tồn tại số thực x nào thỏa mãn ∣x−1∣+∣x−3∣=2.
2Cách 2. Minh họa bằng khoảng cách trên trục số
Định hướng. Hiểu ∣x−1∣ và ∣x−3∣ lần lượt là khoảng cách từ điểm x đến điểm 1 và điểm 3 trên trục số, từ đó suy ra tổng hai khoảng cách này không thể nhỏ hơn khoảng cách giữa 1 và 3.
∣x−1∣ là khoảng cách từ điểm biểu diễn x đến điểm 1 trên trục số; ∣x−3∣ là khoảng cách từ x đến điểm 3.
Với bất kì vị trí nào của x, đi từ 1 đến 3 qua x (dù x nằm giữa, bên trái hay bên phải đoạn [1;3]) luôn có tổng quãng đường không ngắn hơn đi thẳng từ 1 đến 3.
Khoảng cách giữa 1 và 3 là 3−1=2, nên tổng hai khoảng cách ∣x−1∣+∣x−3∣≥2 với mọi x; dấu = xảy ra khi x nằm giữa 1 và 3.
Vì 2<2 nên giá trị 2 nhỏ hơn cả giá trị nhỏ nhất có thể có của ∣x−1∣+∣x−3∣.
Vậy không tồn tại số thực x nào thỏa mãn ∣x−1∣+∣x−3∣=2.
Nhận xét. Cách 2 diễn giải hình học của chính bất đẳng thức đã dùng ở Cách 1, giúp nhìn bài toán trực quan hơn.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: áp dụng thẳng bất đẳng thức đề đã gợi ý, trình bày ngắn gọn bốn dòng là đủ, không cần vẽ hình minh họa như Cách 2.
Đáp số.Không có số thực x nào thỏa mãn ∣x−1∣+∣x−3∣=2, vì ∣x−1∣+∣x−3∣≥2>2 với mọi x.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn quên đổi ∣x−3∣ thành ∣3−x∣ trước khi áp dụng bất đẳng thức, dẫn tới cộng a+b=(x−1)+(x−3)=2x−4 (còn chứa x) thay vì một hằng số cố định, khiến lập luận không đi đến đâu.
🚀 Mở rộng.Tổng quát: ∣x−m∣+∣x−n∣≥∣m−n∣ với mọi số thực x, m, n; do đó phương trình ∣x−m∣+∣x−n∣=k vô nghiệm bất cứ khi nào k<∣m−n∣.
Bài 19 · 2.47★★★Trang 34— Chứng minh bất đẳng thức chứa tổng ba giá trị tuyệt đối
Chứng minh rằng ∣x∣+∣x−2∣+∣x−4∣≥4 đúng với mọi số thực x.
Kiến thức cần nhớ
∣a∣+∣b∣≥∣a−b∣ với mọi số thực a, b.
∣x−2∣≥0 với mọi số thực x.
Dấu = trong ∣a∣+∣b∣≥∣a−b∣ xảy ra khi a, b cùng dấu (hoặc một trong hai số bằng 0).
🧠 Phân tích tư duy
Biểu thức có ba số hạng giá trị tuyệt đối, dấu hiệu là phải ghép hai số hạng đối xứng nhau qua điểm giữa (∣x∣ và ∣x−4∣, đối xứng qua x=2) để áp dụng bất đẳng thức ∣a∣+∣b∣≥∣a−b∣, còn số hạng ở giữa (∣x−2∣) chỉ cần đánh giá luôn không âm. Bẫy là cố gắng xét cả ba số hạng cùng lúc theo nhiều khoảng giá trị của x, dài dòng hơn hẳn cách ghép cặp đối xứng.
1Cách 1. Ghép cặp đối xứng rồi áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối
Định hướng. Ghép ∣x∣ với ∣x−4∣ (hai số hạng đối xứng qua x=2) để áp dụng ∣a∣+∣b∣≥∣a−b∣, còn ∣x−2∣ đánh giá riêng bằng 0.
∣x∣+∣x−4∣≥∣x−(x−4)∣=∣4∣=4 (áp dụng ∣a∣+∣b∣≥∣a−b∣ với a=x, b=x−4).
∣x−2∣≥0 với mọi x.
Cộng hai bất đẳng thức: ∣x∣+∣x−4∣+∣x−2∣≥4+0=4.
Sắp xếp lại đúng thứ tự đề bài: ∣x∣+∣x−2∣+∣x−4∣≥4.
Vậy∣x∣+∣x−2∣+∣x−4∣≥4 với mọi số thực x (đpcm).
2Cách 2. Xét theo từng khoảng giá trị của x
Định hướng. Chia trục số thành bốn khoảng bởi ba mốc 0, 2, 4, bỏ dấu giá trị tuyệt đối trong từng khoảng rồi rút gọn biểu thức về một biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Nếu x<0: ∣x∣=−x, ∣x−2∣=2−x, ∣x−4∣=4−x; tổng =−x+2−x+4−x=6−3x>6 (vì x<0 nên −3x>0), luôn ≥4.
Nếu 0≤x≤2: ∣x∣=x, ∣x−2∣=2−x, ∣x−4∣=4−x; tổng =x+2−x+4−x=6−x; vì x≤2 nên 6−x≥4.
Nếu 2≤x≤4: ∣x∣=x, ∣x−2∣=x−2, ∣x−4∣=4−x; tổng =x+x−2+4−x=x+2; vì x≥2 nên x+2≥4.
Cả bốn khoảng đều cho tổng ≥4, dấu = xảy ra khi x=2 (giá trị nhỏ nhất đúng bằng 4).
Vậy∣x∣+∣x−2∣+∣x−4∣≥4 với mọi số thực x (đpcm).
Nhận xét. Cách 1 ngắn gọn nhờ ghép cặp thông minh, còn Cách 2 tuy dài hơn nhưng cho biết thêm dấu = xảy ra chính xác tại x=2.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: ghép ∣x∣ với ∣x−4∣ thành một bất đẳng thức duy nhất, chỉ bốn dòng là xong, nhanh hơn hẳn việc xét đủ bốn khoảng như Cách 2.
Đáp số.∣x∣+∣x−2∣+∣x−4∣≥4 với mọi số thực x; dấu = xảy ra khi x=2.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn ghép nhầm cặp ∣x∣ với ∣x−2∣ (không đối xứng qua điểm giữa của cả ba số hạng), dẫn tới bất đẳng thức ∣x∣+∣x−2∣≥∣x−2∣=2 chỉ cho chặn dưới nhỏ hơn 4, không đủ chặt để chứng minh yêu cầu của đề.
🚀 Mở rộng.Tổng quát: ∣x−m∣+∣x−2m+n∣+∣x−n∣≥n−m (với m<n) — ghép ∣x−m∣ với ∣x−n∣ đối xứng qua trung điểm 2m+n, hoàn toàn tương tự bài này với m=0, n=4.
Bài 20 · 2.48★★Trang 34— Chứng minh tính chất tích của số vô tỉ với số nguyên dương
Tích của một số vô tỉ với một số nguyên dương là số hữu tỉ hay số vô tỉ? Giải thích.
Kiến thức cần nhớ
Thương của hai số hữu tỉ (với số chia khác 0) luôn là số hữu tỉ.
Số nguyên dương luôn khác 0.
Phương pháp phản chứng: giả sử điều cần chứng minh là sai, suy ra một điều vô lí.
🧠 Phân tích tư duy
Đây là một khẳng định tổng quát 'với mọi số vô tỉ và mọi số nguyên dương', dấu hiệu là phải chứng minh bằng phản chứng chứ không thể chỉ thử một vài ví dụ cụ thể. Bẫy dễ mắc là quên rằng số nguyên dương khác 0 là điều kiện bắt buộc để phép chia ở bước phản chứng có nghĩa.
1Cách 1. Chứng minh tổng quát bằng phản chứng
Định hướng. Gọi y là số vô tỉ, n là số nguyên dương, giả sử tích yn là số hữu tỉ rồi suy ra điều mâu thuẫn với giả thiết y vô tỉ.
Gọi y là một số vô tỉ bất kì, n là một số nguyên dương bất kì.
Giả sử yn=z với z là số hữu tỉ.
Vì n là số nguyên dương nên n=0, do đó có thể chia hai vế cho n: y=nz.
Vì z hữu tỉ, n là số nguyên khác 0 nên nz là thương của hai số hữu tỉ, do đó y phải là số hữu tỉ.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết y là số vô tỉ, nên giả sử yn hữu tỉ là sai.
Vậy tích của một số vô tỉ với một số nguyên dương luôn là số vô tỉ.
2Cách 2. Minh họa bằng ví dụ cụ thể rồi khái quát hóa
Định hướng. Thử với một số vô tỉ quen thuộc và vài số nguyên dương cụ thể để quan sát quy luật, sau đó khái quát bằng đúng lập luận phản chứng như Cách 1.
Với y=2 (số vô tỉ) và n=3: yn=32; nếu 32 hữu tỉ thì 2=332 cũng phải hữu tỉ (thương của số hữu tỉ giả định với số nguyên 3), mâu thuẫn với 2 vô tỉ đã biết.
Với y=π và n=5: tương tự, nếu 5π hữu tỉ thì π=55π cũng hữu tỉ, mâu thuẫn với π vô tỉ.
Cả hai ví dụ đều cho thấy quy luật: nếu tích với số nguyên dương là hữu tỉ thì số vô tỉ ban đầu buộc phải là hữu tỉ — vô lí.
Khái quát hoá đúng như Cách 1: với y vô tỉ, n nguyên dương bất kì, giả sử yn hữu tỉ sẽ luôn dẫn tới mâu thuẫn tương tự.
Vậy tích của một số vô tỉ với một số nguyên dương luôn là số vô tỉ.
Nhận xét. Các ví dụ chỉ minh họa trực quan, phép chứng minh chặt chẽ vẫn phải dựa trên lập luận phản chứng tổng quát như Cách 1.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: trình bày phản chứng tổng quát trực tiếp là đủ chặt chẽ, không cần nêu ví dụ minh họa như Cách 2.
Đáp số.Tích của một số vô tỉ với một số nguyên dương luôn là số vô tỉ.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn chỉ thử một vài ví dụ như 2⋅3=32 rồi 'thấy đúng' là kết luận luôn, mà không viết ra lập luận phản chứng tổng quát; cách làm này chỉ minh họa chứ chưa phải là một phép chứng minh chặt chẽ.
🚀 Mở rộng.Mở rộng: tích của một số vô tỉ với bất kì số hữu tỉ khác 0 nào (không chỉ số nguyên dương) cũng luôn là số vô tỉ, chứng minh bằng đúng phép phản chứng chia cho số hữu tỉ khác 0 đó.
Bài 21 · 2.49★★Trang 34— Xét tính đúng, sai của các kết luận về tổng hai số vô tỉ
Trong các kết luận sau đây, kết luận nào đúng, kết luận nào sai? a) Tổng của hai số vô tỉ là một số vô tỉ. b) Tổng của hai số vô tỉ dương là một số vô tỉ. c) Tổng của hai số vô tỉ âm là một số vô tỉ.
Kiến thức cần nhớ
Muốn bác bỏ một kết luận 'với mọi số vô tỉ', chỉ cần một phản ví dụ.
Nếu t là số vô tỉ thì −t cũng là số vô tỉ, và k−t (với k hữu tỉ) cũng là số vô tỉ.
2 là số vô tỉ dương; 5−2 và 2−5 cũng là số vô tỉ (vì hiệu của số hữu tỉ và số vô tỉ luôn vô tỉ).
🧠 Phân tích tư duy
Ba kết luận nhìn có vẻ ngày càng 'chặt' hơn (thêm điều kiện dương, rồi âm), dấu hiệu là phải thử tìm phản ví dụ riêng cho từng ý thay vì suy luận chung chung, vì việc thêm điều kiện dấu không hề ngăn được việc phần vô tỉ triệt tiêu lẫn nhau. Bẫy lớn nhất ở ý b) và c): nhiều bạn nghĩ hễ cùng dấu thì tổng chắc chắn giữ nguyên tính vô tỉ, nhưng chỉ cần chọn hai số vô tỉ có dạng 'đối nhau qua một số hữu tỉ' là phá được cả hai kết luận.
1Cách 1. Tìm phản ví dụ riêng cho từng ý
Định hướng. Với mỗi ý, cố tìm hai số vô tỉ thỏa đúng điều kiện đề ra (nói chung, hoặc cùng dương, hoặc cùng âm) sao cho tổng của chúng lại là số hữu tỉ.
a) Chọn 5 và −5, cả hai đều là số vô tỉ. Tổng: 5+(−5)=0, là số hữu tỉ. Vậy a) sai.
b) Chọn 2 (vô tỉ dương) và 5−2 (vô tỉ dương, vì 5−2≈3,586>0). Tổng: 2+(5−2)=5, là số hữu tỉ. Vậy b) sai.
c) Chọn −2 (vô tỉ âm) và 2−5 (vô tỉ âm, vì 2−5≈−3,586<0). Tổng: (−2)+(2−5)=−5, là số hữu tỉ. Vậy c) sai.
Vậy cả ba kết luận a), b), c) đều sai.
2Cách 2. Khái quát hóa bằng dạng tổng quát của một cặp số vô tỉ 'đối phần vô tỉ'
Định hướng. Thay vì tìm riêng lẻ, dựng sẵn một dạng tổng quát: với t vô tỉ và k hữu tỉ bất kì, hai số t và k−t luôn là số vô tỉ nhưng tổng của chúng luôn là số hữu tỉ k — áp dụng đúng dạng này cho cả ba ý.
Với t là số vô tỉ bất kì và k là số hữu tỉ bất kì, xét cặp số t và k−t.
t vô tỉ theo giả thiết; k−t cũng vô tỉ (vì nếu k−t hữu tỉ thì t=k−(k−t) là hiệu hai số hữu tỉ, mâu thuẫn).
Tổng: t+(k−t)=k, luôn là số hữu tỉ, bất kể t mang dấu gì — đây chính là phản ví dụ tổng quát cho ý a).
Với t=2>0, chọn k=5: k−t=5−2>0, hai số t, k−t đều vô tỉ dương mà tổng =5 hữu tỉ — phản ví dụ cho ý b).
Với t=−2<0, chọn k=−5: k−t=−5−(−2)=2−5<0, hai số t, k−t đều vô tỉ âm mà tổng =−5 hữu tỉ — phản ví dụ cho ý c).
Vậy cả ba kết luận a), b), c) đều sai.
Nhận xét. Cách 2 cho thấy phản ví dụ ở Cách 1 không phải ngẫu nhiên mà nằm trong một dạng tổng quát: hai số vô tỉ 'đối nhau qua một số hữu tỉ' luôn cho tổng hữu tỉ, bất kể dấu.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: nhớ sẵn bộ số 2 và 5−2 (hoặc 5, −5) để bác bỏ nhanh cả ba ý mà không cần trình bày dạng tổng quát như Cách 2.
Đáp số.Cả ba kết luận a), b), c) đều sai.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn nghĩ thêm điều kiện 'cùng dương' hoặc 'cùng âm' sẽ khiến kết luận ở b), c) chắc chắn đúng hơn a), trong khi thực chất chỉ cần chọn đúng cặp số vô tỉ 'đối nhau qua một số hữu tỉ' (như sqrt2 và 5−sqrt2) là phá được cả hai kết luận, bất kể ràng buộc dấu.
🚀 Mở rộng.Đổi các kết luận thành 'tích của hai số vô tỉ dương là một số vô tỉ' thì cũng sai tương tự, phản ví dụ: 2 và 21=22 đều là số vô tỉ dương nhưng tích của chúng bằng 1, là số hữu tỉ.
Bài 22 · 2.50★★★★Trang 34— Vận dụng nguyên lí Dirichlet (nguyên lí chuồng thỏ) với hình vuông và hình tròn
Cho một hình vuông có cạnh bằng 5 đơn vị và cho 76 điểm nằm bên trong hình vuông đó. Chứng tỏ rằng có một hình tròn với bán kính bằng 43 đơn vị chứa trọn 4 trong số 76 điểm đã cho.
Kiến thức cần nhớ
Nguyên lí Dirichlet: nếu chia 76 vật vào 25 nhóm mà mỗi nhóm có tối đa 3 vật thì tổng số vật tối đa là 25⋅3=75<76, vô lí — nên phải có ít nhất một nhóm chứa từ 4 vật trở lên.
Đường chéo của hình vuông cạnh 1 có độ dài 2 (theo định lí Pythagore: 12+12).
Đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh 1 có đường kính bằng đường chéo 2, tức bán kính 22.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho một số điểm rất lớn (76) so với diện tích hình vuông, dấu hiệu kinh điển của nguyên lí Dirichlet — chia hình vuông lớn thành nhiều hình vuông nhỏ để buộc phải có một hình vuông nhỏ chứa nhiều điểm. Bẫy là phải tính đúng bán kính đường tròn ngoại tiếp một hình vuông đơn vị (22) và so sánh với 43 đề cho để chắc chắn đường tròn đó đủ lớn chứa trọn hình vuông nhỏ.
1Cách 1. Chia lưới ô vuông rồi áp dụng nguyên lí Dirichlet
Định hướng. Chia hình vuông cạnh 5 thành 25 hình vuông con cạnh 1, dùng nguyên lí Dirichlet để tìm một hình vuông con chứa ít nhất 4 điểm, rồi bao hình vuông con đó bằng một đường tròn đủ lớn.
Chia hình vuông cạnh 5 thành lưới 5×5=25 hình vuông con, mỗi hình vuông con có cạnh 1.
Giả sử mỗi hình vuông con chứa tối đa 3 điểm trong số 76 điểm đã cho; khi đó tổng số điểm không vượt quá 25⋅3=75.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết có 76>75 điểm, nên phải có ít nhất một hình vuông con chứa từ 4 điểm trở lên.
Hình vuông con này có cạnh 1, đường chéo dài 12+12=2; đường tròn ngoại tiếp nó (tâm là giao điểm hai đường chéo, bán kính bằng nửa đường chéo) có bán kính 22 và chứa trọn cả bốn đỉnh lẫn toàn bộ hình vuông con, do đó chứa trọn 4 điểm nói trên.
So sánh bán kính: 22≈0,707<0,75=43, nên đường tròn cùng tâm với bán kính 43 (lớn hơn 22) cũng chứa trọn hình vuông con đó, tức chứa trọn 4 điểm.
Vậy tồn tại một hình tròn bán kính 43 đơn vị chứa trọn 4 trong số 76 điểm đã cho (đpcm).
2Cách 2. Lập luận qua số điểm trung bình mỗi ô
Định hướng. Tính số điểm trung bình rơi vào mỗi hình vuông con trong lưới 25 ô, từ đó suy ra phải có ít nhất một ô chứa nhiều hơn mức trung bình, tức từ 4 điểm trở lên.
Vẫn chia hình vuông cạnh 5 thành 25 hình vuông con cạnh 1 như Cách 1.
Số điểm trung bình mỗi hình vuông con phải 'gánh' là 2576=3,04 điểm.
Vì số điểm trung bình mỗi ô lớn hơn 3, không thể có chuyện mọi hình vuông con đều chứa tối đa 3 điểm (nếu vậy tổng chỉ tối đa 75<76, vô lí như đã chỉ ra ở Cách 1); do đó phải có ít nhất một hình vuông con chứa từ 4 điểm trở lên.
Đường tròn ngoại tiếp hình vuông con đó có bán kính 22≈0,707<43=0,75, nên đường tròn bán kính 43 cùng tâm chứa trọn hình vuông con, tức chứa trọn 4 điểm đó.
Vậy tồn tại một hình tròn bán kính 43 đơn vị chứa trọn 4 trong số 76 điểm đã cho (đpcm).
Nhận xét. Cách 2 chỉ diễn đạt lại nguyên lí Dirichlet của Cách 1 qua ngôn ngữ 'giá trị trung bình', bản chất phép chia lưới và so sánh bán kính vẫn giữ nguyên.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: trình bày phản chứng trực tiếp '25 ô, tối đa 3 điểm mỗi ô thì chỉ được 75 điểm' là chuẩn mực và quen thuộc nhất của nguyên lí Dirichlet.
Đáp số.Luôn tồn tại một hình tròn bán kính 43 đơn vị chứa trọn 4 trong số 76 điểm đã cho.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn quên kiểm tra bán kính 22 của đường tròn ngoại tiếp hình vuông con có thực sự nhỏ hơn 43 hay không, chỉ dừng lại ở bước tìm ra ô chứa 4 điểm mà không hoàn tất phần chứng minh đường tròn bán kính 43 đủ lớn để bao trọn ô đó.
🚀 Mở rộng.Tổng quát: với hình vuông cạnh n chia thành n2 ô đơn vị, nếu số điểm nhiều hơn 3n2 thì luôn có một hình tròn bán kính 22 chứa ít nhất 4 điểm — bài này chỉ là trường hợp riêng với n=5.
