Bài 1 · Câu hỏi 1★Trang 33— Trắc nghiệm nhận biết số thập phân vô hạn tuần hoàn
Số nào sau đây viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn? A. 51227; B. 52833; C. 52831; D. 51225.
Kiến thức cần nhớ
Phân số tối giản ba viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn khi và chỉ khi b chỉ có ước nguyên tố 2 và 5.
Phân số tối giản có mẫu chứa ước nguyên tố khác 2 và 5 thì viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
512=29; 528=24⋅3⋅11.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho bốn phân số chưa tối giản, dấu hiệu nhận dạng là phải rút gọn từng phân số rồi nhìn vào ước nguyên tố của mẫu, vì tính hữu hạn hay tuần hoàn của số thập phân chỉ phụ thuộc vào mẫu ở dạng tối giản. Bẫy của đề là phân số 52833 nhìn mẫu 528 tưởng phức tạp, nhưng rút gọn xong mẫu lại chỉ còn lũy thừa của 2.
1Cách 1. Rút gọn từng phân số rồi xét ước nguyên tố của mẫu
Định hướng. Đưa cả bốn phân số về dạng tối giản, sau đó xét xem mẫu chỉ có ước 2, 5 hay còn ước nguyên tố khác.
A) 512=29, mẫu chỉ có ước 2 nên 51227 là số thập phân hữu hạn.
B) 52833=161 (vì 528=33⋅16), mẫu 16=24 chỉ có ước 2 nên hữu hạn.
C) 528=24⋅3⋅11; vì 31 là số nguyên tố và không chia hết cho 528 nên 52831 đã tối giản, mẫu có ước 3 và 11 (khác 2, 5) nên vô hạn tuần hoàn.
D) 512=29, mẫu chỉ có ước 2 nên 51225 là số thập phân hữu hạn.
Vậy đáp án đúng là C.
2Cách 2. Loại nhanh các phân số có mẫu là lũy thừa của 2
Định hướng. Nhận ra ngay A và D có mẫu 512=29 nên chắc chắn là số thập phân hữu hạn, loại trước hai phương án này để chỉ còn xét B và C.
A, D có mẫu 512=29, chỉ có ước 2 nên hữu hạn, loại.
B: rút gọn 52833=161=241, mẫu vẫn chỉ có ước 2 nên hữu hạn, loại.
C: 528=24⋅3⋅11, phân số 52831 đã tối giản, mẫu có ước 3 và 11 nên vô hạn tuần hoàn.
Vậy đáp án đúng là C.
3Cách 3. Thực hiện phép chia trực tiếp
Định hướng. Chia tử cho mẫu bằng phép chia dài ở từng phương án, quan sát phần dư có lặp lại theo chu kì hay dừng hẳn.
27:512=0,052734375, phép chia dừng hẳn.
33:528=1:16=0,0625, phép chia dừng hẳn.
31:528=0,0587121212…, phần dư lặp lại nhóm 12 mãi mãi.
25:512=0,048828125, phép chia dừng hẳn.
Vậy đáp án đúng là C.
Nhận xét. Ba cách đều quy về cùng một dấu hiệu duy nhất — mẫu số sau khi tối giản có ước nguyên tố nào ngoài 2 và 5 hay không.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: loại ngay hai phương án có mẫu là lũy thừa của 2 (A, D), rút gọn nhanh B để loại tiếp, khỏi phải chia dài cả bốn phân số.
Đáp số.Đáp án C. 52831.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn thấy mẫu 528 có vẻ 'lẻ' liền kết luận ngay là vô hạn tuần hoàn mà quên rút gọn phân số 52833 trước; sau khi rút gọn mẫu chỉ còn 16=24 nên thực chất đó là số thập phân hữu hạn.
🚀 Mở rộng.Đổi đề thành xét 5287: vì gcd(7,528)=1 và 528 vẫn có ước 3, 11 nên phân số này cũng cho số thập phân vô hạn tuần hoàn.
Bài 2 · Câu hỏi 2★Trang 33— Trắc nghiệm đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số
Số 3,(5) viết được thành phân số nào sau đây? A. 1141; B. 932; C. 1142; D. 931.
Kiến thức cần nhớ
Với 0≤b≤9: a,(b)=a+9b.
Đặt x=0,(b) thì 10x=b,(b)=b+x, suy ra 9x=b.
🧠 Phân tích tư duy
Bốn phương án đều là phân số có mẫu 9 hoặc 11, dấu hiệu cho thấy đề đang kiểm tra công thức đổi số thập phân tuần hoàn đơn (chu kì ngay sau dấu phẩy) sang phân số với mẫu là 9. Bẫy nằm ở việc chọn nhầm mẫu 11 (dành cho chu kì hai chữ số) thay vì mẫu 9 (chu kì một chữ số).
1Cách 1. Đặt ẩn rồi khử phần tuần hoàn
Định hướng. Tách phần nguyên 3 ra trước, đặt x=0,(5) rồi nhân 10 để khử phần thập phân tuần hoàn.
3,(5)=3+0,(5)=3+x với x=0,(5).
10x=5,(5)=5+x.
10x−x=5⇒9x=5⇒x=95.
3,(5)=3+95=927+95=932.
Vậy đáp án đúng là B.
2Cách 2. Áp dụng thẳng công thức số thập phân tuần hoàn đơn
Định hướng. Số 3,(5) có chu kì 5 ngay sau dấu phẩy nên dùng ngay công thức a,(b)=a+9b với a=3, b=5.
3,(5)=3+95.
3+95=93⋅9+95=927+5=932.
Vậy đáp án đúng là B.
3Cách 3. Thử lại bằng cách chia tử cho mẫu ở từng phương án
Định hướng. Không cần đổi ngược, chỉ cần chia tử cho mẫu của mỗi phương án rồi so sánh với 3,555…
A) 41:11=3,7272…=3,(5).
B) 32:9=3,555…=3,(5), khớp đề.
C) 42:11=3,8181…=3,(5).
D) 31:9=3,4444…=3,(5).
Vậy đáp án đúng là B.
Nhận xét. Cách 3 tuy chậm hơn nhưng dùng để kiểm tra chéo lại kết quả của Cách 1 và Cách 2.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: áp dụng thẳng công thức a,(b)=a+9b, không cần đặt ẩn và giải phương trình như Cách 1.
Đáp số.Đáp án B. 932.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn nhớ nhầm mẫu của số thập phân tuần hoàn chu kì một chữ số là 11 (mẫu dành cho chu kì hai chữ số) nên chọn nhầm phương án A hoặc C.
🚀 Mở rộng.Đổi thành 3,(45) (chu kì hai chữ số) thì công thức đổi là 3+9945=3+115=1138, mẫu chuyển thành 99 rồi rút gọn.
Bài 6 · Câu hỏi 6★★Trang 33— Trắc nghiệm lý thuyết về phép toán trên số vô tỉ
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Tích của hai số vô tỉ là một số vô tỉ; B. Tổng của hai số vô tỉ là một số vô tỉ; C. Tổng của một số hữu tỉ và một số vô tỉ là một số vô tỉ; D. Thương của hai số vô tỉ là một số vô tỉ.
Kiến thức cần nhớ
Muốn bác bỏ một khẳng định 'luôn đúng', chỉ cần chỉ ra một phản ví dụ.
Bài 8 · Câu hỏi 8★★Trang 33— Trắc nghiệm lý thuyết về giá trị tuyệt đối của tổng, hiệu
Cho x, y là hai số thực tùy ý. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. ∣x−y∣=x−y; B. ∣x−y∣=∣x∣−∣y∣; C. ∣x+y∣=∣x∣+∣y∣; D. ∣x+y∣=∣x∣−∣y∣ nếu x>0>y và ∣x∣>∣y∣.
Kiến thức cần nhớ
Quy tắc cộng hai số trái dấu: nếu x>0>y và ∣x∣>∣y∣ thì x+y>0 và x+y=∣x∣−∣y∣.
Muốn bác bỏ khẳng định 'với mọi x, y', chỉ cần một phản ví dụ.
Bài 12 · 2.40★★Trang 34— Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp ra phân số
Viết số 0,1(235) dưới dạng phân số.
Kiến thức cần nhớ
Công thức tổng quát: với số thập phân 0,a(b) (a có m chữ số không tuần hoàn, b có n chữ số tuần hoàn), ta có 0,a(b)=n9…9m0…0ab−a (với ab là số ghép a và b).
Đặt ẩn rồi nhân với luỹ thừa của 10 phù hợp cũng đổi được số thập phân tuần hoàn tạp ra phân số.
Bài 21 · 2.49★★Trang 34— Xét tính đúng, sai của các kết luận về tổng hai số vô tỉ
Trong các kết luận sau đây, kết luận nào đúng, kết luận nào sai? a) Tổng của hai số vô tỉ là một số vô tỉ. b) Tổng của hai số vô tỉ dương là một số vô tỉ. c) Tổng của hai số vô tỉ âm là một số vô tỉ.
Kiến thức cần nhớ
Muốn bác bỏ một kết luận 'với mọi số vô tỉ', chỉ cần một phản ví dụ.
Nếu t là số vô tỉ thì −t cũng là số vô tỉ, và k−t (với k hữu tỉ) cũng là số vô tỉ.
2 là số vô tỉ dương; 5−2 và 2−5 cũng là số vô tỉ (vì hiệu của số hữu tỉ và số vô tỉ luôn vô tỉ).
Bài 22 · 2.50★★★★Trang 34— Vận dụng nguyên lí Dirichlet (nguyên lí chuồng thỏ) với hình vuông và hình tròn
Cho một hình vuông có cạnh bằng 5 đơn vị và cho 76 điểm nằm bên trong hình vuông đó. Chứng tỏ rằng có một hình tròn với bán kính bằng 43 đơn vị chứa trọn 4 trong số 76 điểm đã cho.
Kiến thức cần nhớ
Nguyên lí Dirichlet: nếu chia 76 vật vào 25 nhóm mà mỗi nhóm có tối đa 3 vật thì tổng số vật tối đa là 25⋅3=75<76, vô lí — nên phải có ít nhất một nhóm chứa từ 4 vật trở lên.
Đường chéo của hình vuông cạnh 1 có độ dài 2 (theo định lí Pythagore: 12+12).
Đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh 1 có đường kính bằng đường chéo 2, tức bán kính 22.
