Ôn tập chương III

Định hướng. Tìm đủ hai cặp tia đối nhau có mặt trong hình, rồi ghép mỗi cạnh của góc này với tia đối tương ứng ở góc kia.

Vậy cặp góc đối đỉnh là $\widehat{AOM}$ và $\widehat{CON}$ — chọn đáp án C.

Định hướng. Kiểm tra từng phương án xem hai cạnh của góc này có đúng là hai tia đối của hai cạnh góc kia hay không.

Vậy chỉ phương án C thoả mãn định nghĩa hai góc đối đỉnh.

Nhận xét. Cách loại trừ giúp kiểm tra lại nhanh sau khi đã tìm ra đáp án bằng Cách 1.

Định hướng. Nhớ đúng phát biểu một chiều của tính chất góc đối đỉnh rồi so từng khẳng định.

Vậy chỉ khẳng định C đúng.

Định hướng. Dựng một phản ví dụ cụ thể — hai góc bằng nhau nhưng không đối đỉnh — để bác bỏ A, B, D cùng lúc.

Vậy chỉ còn khẳng định C đúng, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 dùng phản ví dụ là kỹ năng quan trọng để bác bỏ một mệnh đề sai mà không cần nhớ lý thuyết.

Định hướng. Từ góc $65^{\circ }$ đã cho, suy ra góc đối đỉnh với nó cũng $65^{\circ }$, rồi lấy $180^{\circ }$ trừ đi $65^{\circ }$ để ra cặp góc kề bù còn lại.

Vậy bốn góc là $65^{\circ }$, $65^{\circ }$, $115^{\circ }$, $115^{\circ }$ — ba góc còn lại là $65^{\circ }$; $115^{\circ }$; $115^{\circ }$, chọn đáp án D.

Định hướng. Bốn góc quanh giao điểm luôn có tổng $360^{\circ }$; thử cộng bốn góc của từng phương án (kèm góc $65^{\circ }$ đã cho) để loại phương án sai.

Vậy chỉ phương án D vừa đủ tổng $360^{\circ }$ vừa đúng từng cặp đối đỉnh — chọn D.

Nhận xét. Cách 2 dùng để kiểm tra chéo kết quả của Cách 1 mà không cần nhớ ngay quy tắc kề bù.

Định hướng. Một bộ bốn góc hợp lệ phải xếp được thành hai cặp bằng nhau, và hai góc khác cặp thì bù nhau ($180^{\circ }$).

Vậy chỉ phương án D hợp lệ.

Định hướng. Giả sử góc nhỏ nhất trong bốn góc của mỗi phương án là góc gốc, dựng ba góc còn lại theo quy tắc đối đỉnh — kề bù rồi so với số liệu đề cho.

Vậy chỉ phương án D là bộ bốn góc có thể xảy ra thật, khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 giúp thấy rõ vì sao ba phương án kia sai — mỗi phương án đều lệch đúng một số hạng so với bộ bốn góc chuẩn dựng từ góc gốc.

Định hướng. Từ $\widehat{BOM}=30^{\circ }$ và $OM$ là phân giác của $\widehat{BOD}$, suy ra $\widehat{BOD}=2\widehat{BOM}$; sau đó nhận ra $\widehat{AOC}$ đối đỉnh với $\widehat{BOD}$.

Vậy $\widehat{AOC}=60^{\circ }$ — chọn đáp án B.

Định hướng. Thay vì dùng đối đỉnh $\widehat{AOC}$ với $\widehat{BOD}$ ngay, đi vòng qua góc kề bù $\widehat{AOD}$ (kề bù với $\widehat{AOC}$ và với $\widehat{BOD}$ về hai phía khác nhau) để kiểm chứng lại kết quả.

Vậy $\widehat{AOC}=60^{\circ }$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 dài hơn nhưng chỉ dùng góc kề bù quen thuộc, thích hợp khi chưa chắc về định nghĩa góc đối đỉnh.

Định hướng. Đọc đúng hình: $\widehat{M_2}$ nằm phía dưới bên phải tại $M$ (phần trong, bên phải cát tuyến), $\widehat{N_1}$ nằm phía trên bên trái tại $N$ (phần trong, bên trái cát tuyến) — hai phía khác nhau nên so le trong.

Vậy a) chọn D ($\widehat{M_2}$; $\widehat{N_1}$); b) chọn C ($\widehat{M_1}$; $\widehat{N_2}$).

Định hướng. Với mỗi phương án, kiểm tra xem hai góc có cùng chung một cạnh (không hợp lệ để so sánh vị trí) hay có đúng đặc điểm "trong — khác phía" (so le trong) hoặc "cùng vị trí — cùng phía" (đồng vị) hay không.

Vậy loại trừ cũng cho a) D; b) C, khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách loại trừ giúp tự kiểm tra lại khi chưa chắc đọc đúng vị trí góc trên hình.

Định hướng. So sánh vị trí của $\widehat{A_1}$ tại $A$ và $\widehat{B_1}$ tại $B$ theo bốn tiêu chí: chung đỉnh hay không, trong hay ngoài, cùng phía hay khác phía cát tuyến.

Vậy $\widehat{A_1}$, $\widehat{B_1}$ là cặp góc đồng vị — chọn đáp án C.

Định hướng. Chỉ ra vì sao mỗi phương án A, B, D không thể đúng, từ đó còn lại đúng một phương án hợp lệ.

Vậy chỉ còn phương án C đúng, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách loại trừ phù hợp khi chưa chắc gọi tên đúng vị trí góc ngay từ đầu.

Định hướng. Với cách đánh số $1$ (trên phải), $2$ (dưới phải), $3$ (dưới trái), $4$ (trên trái) tại mỗi giao điểm, cặp so le trong đúng phải là "trong — khác phía": $\widehat{A_3}$ (dưới trái, trong) với $\widehat{B_1}$ (trên phải, trong).

Vậy chọn đáp án D.

Định hướng. Kiểm tra từng phương án xem cặp góc có đúng là so le trong hoặc đồng vị (dùng được cho dấu hiệu) hay là một loại cặp góc khác (không dùng trực tiếp được).

Vậy chỉ phương án D là cặp góc hợp lệ để dùng làm dấu hiệu song song, khớp Cách 1.

Nhận xét. Ba phương án A, B, C tuy có thể có cặp góc bằng nhau trên một hình cụ thể nhưng không thuộc loại so le trong/đồng vị nên không dùng trực tiếp được cho dấu hiệu nhận biết song song.

Định hướng. Vì $a\parallel b$ nên mọi cặp so le trong, đồng vị đều phải là đẳng thức; khẳng định nào mang dấu bất đẳng thức chắc chắn sai.

Vậy khẳng định sai là A.

Định hướng. Chọn thử một số đo cụ thể cho $\widehat{A_1}$ rồi tính các góc còn lại theo tính chất song song, kiểm tra trực tiếp từng khẳng định bằng số.

Vậy phản ví dụ bằng số cũng cho thấy A sai, khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 phù hợp khi cần thuyết phục bằng số liệu cụ thể thay vì chỉ lập luận bằng vị trí.

Định hướng. $\widehat{xAm}$ và $\widehat{mAy}$ kề bù nên tính được $\widehat{mAy}$; so sánh $\widehat{mAy}$ với $\widehat{AB{y}^{\prime }}$ — đúng là một cặp góc so le trong.

Vậy $xy$ và $x^{\prime }{y}^{\prime }$ có một cặp góc so le trong bằng nhau nên $xy\parallel x^{\prime }{y}^{\prime }$ (đpcm).

Định hướng. Thay vì so le trong, tính thêm góc kề bù $\widehat{AB{x}^{\prime }}$ tại $B$ rồi so sánh với $\widehat{xAm}$ — đây là một cặp góc đồng vị, cũng đủ để kết luận song song.

Vậy $xy$ và $x^{\prime }{y}^{\prime }$ có một cặp góc đồng vị bằng nhau nên $xy\parallel x^{\prime }{y}^{\prime }$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Hai cách chỉ khác ở việc tính thêm góc kề bù tại $A$ hay tại $B$, rồi chọn dùng dấu hiệu so le trong hay đồng vị — kết quả như nhau.

Định hướng. $AB\parallel Cx$ với hai cát tuyến $CA$, $CB$ cho ngay $\widehat{C_3}$, $\widehat{C_1}$ theo so le trong với $\hat{A}$, $\hat{B}$; góc còn lại $\widehat{C_2}$ suy ra từ tổng ba góc bằng $180^{\circ }$.

Vậy $\widehat{C_1}=60^{\circ }$; $\widehat{C_2}=50^{\circ }$; $\widehat{C_3}=70^{\circ }$.

Định hướng. Nhận ra $\widehat{C_2}=\widehat{ACB}$ là một góc của tam giác $ABC$, dùng tổng ba góc trong tam giác bằng $180^{\circ }$ để tính trước, rồi mới dùng so le trong cho $\widehat{C_1}$, $\widehat{C_3}$ để kiểm chứng.

Vậy $\widehat{C_2}=50^{\circ }$; $\widehat{C_1}=60^{\circ }$; $\widehat{C_3}=70^{\circ }$, khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 dùng tổng ba góc tam giác (kiến thức sẽ học kỹ ở Bài 12, Chương IV) — Cách 1 an toàn hơn vì chỉ dùng kiến thức Chương III.

Định hướng. Tính $\widehat{ACM}$ (góc ngoài kề bù với $\widehat{ACB}$), chia đôi được $\widehat{MCN}$, so sánh với $\widehat{ABC}$ ở vị trí đồng vị để suy ra $CN\parallel AB$; sau đó dùng so le trong với cát tuyến $AC$ để tính $\hat{A}$.

Vậy a) $CN\parallel AB$; b) $\hat{A}=70^{\circ }$.

Định hướng. Tính $\hat{A}$ trước từ tổng ba góc trong tam giác $ABC$; sau đó dùng chính giá trị này để kiểm chứng $\widehat{ACN}=\hat{A}$, khẳng định lại $CN\parallel AB$ theo chiều ngược của phần a).

Vậy $\hat{A}=70^{\circ }$ và $CN\parallel AB$, khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 mượn trước tổng ba góc tam giác (Chương IV) nên nhanh hơn nhưng Cách 1 mới đúng trình tự kiến thức Chương III — làm phần a) (chứng minh song song) trước khi dùng nó để tính góc ở phần b).

Định hướng. $Ox\parallel AB$ đã cho sẵn nên $\widehat{BOx}=\widehat{ABO}$ (so le trong); lấy $\widehat{BOD}$ trừ đi $\widehat{BOx}$ được $\widehat{xOD}$, so với $\widehat{ODC}$ để có $Ox\parallel CD$, rồi bắc cầu qua $Ox$ để có $AB\parallel CD$.

Vậy a) $\widehat{BOx}=40^{\circ }$; b) $Ox\parallel CD$ và $AB\parallel CD$ (đpcm).

Định hướng. Trước khi bắc cầu, kiểm chứng lại bằng cách cộng thẳng hai góc đã cho $\widehat{ABO}+\widehat{ODC}=\widehat{BOD}$ để chắc chắn tia $Ox$ chia đúng góc $\widehat{BOD}$ theo tỉ lệ khớp với hai góc kề của đường gấp khúc, rồi mới kết luận song song.

Vậy kết luận như Cách 1: $\widehat{BOx}=40^{\circ }$, $Ox\parallel CD$, $AB\parallel CD$.

Nhận xét. Cách 2 chỉ thêm một bước kiểm tra tổng $110^{\circ }$ trước khi bắc cầu — hữu ích để chắc chắn tia $Ox$ đã vẽ đúng vị trí trong góc $\widehat{BOD}$.

Định hướng. Dùng so le trong hai lần (một lần với $BE\parallel AC$, một lần với $CF\parallel AB$) để có $\widehat{ABE}=\widehat{ACF}=\hat{A}$; dùng trong cùng phía để tính $\widehat{BCF}$; ở phần c), tính hai góc $\widehat{xBC}$, $\widehat{yCB}$ rồi chỉ ra tổng bằng $180^{\circ }$.

Vậy a) $\widehat{ABE}=\widehat{ACF}=80^{\circ }$; b) $\widehat{BCF}=120^{\circ }$, $\widehat{ACB}=40^{\circ }$; c) $\widehat{xBC}$, $\widehat{yCB}$ trong cùng phía (cát tuyến $BC$) có tổng $180^{\circ }$ nên $Bx\parallel Cy$ (đpcm).

Định hướng. Ở phần a), có thể chọn cặp góc đồng vị (thay vì so le trong) tuỳ theo phía chọn của tia $E$, $F$ vẫn cho cùng kết quả $80^{\circ }$; ở phần c), kiểm chứng lại bằng cách cộng các góc quanh điểm thay vì chỉ dựa vào trong cùng phía.