Bài tập cuối chương III

Định hướng. Giả sử tồn tại hai đường thẳng phân biệt cùng đi qua $A$ và cùng vuông góc với $d$, rồi chỉ ra điều đó mâu thuẫn với tính chất hai đường cùng vuông góc với $d$ thì song song với nhau.

Vậy điều giả sử $m\ne n$ là sai, do đó $m$ và $n$ phải trùng nhau — chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua $A$ vuông góc với $d$.

Định hướng. Gọi $H$, $K$ lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng $m$, $n$ với $d$, xét hai khả năng $H$ trùng $K$ hoặc $H$ khác $K$ để suy ra $m$, $n$ trùng nhau ở mọi trường hợp.

Vậy chỉ xảy ra $H\equiv K$ và $m\equiv n$: có duy nhất một đường thẳng qua $A$ vuông góc với $d$.

Nhận xét. Hai cách cùng dựa trên một mấu chốt duy nhất — "hai đường cùng vuông góc với $d$ thì song song" — Cách 2 chỉ trình bày tường minh hơn bằng cách chia trường hợp theo chân đường vuông góc.

Định hướng. Từ $a\parallel b\parallel c$ suy ra cả ba đường đôi một song song; từ $m\perp a$, $n\perp a$ suy ra $m$, $n$ cũng vuông góc với $b$, $c$ và suy ra $m\parallel n$.

Vậy có $3+1=4$ cặp đường thẳng song song và $6$ cặp đường thẳng vuông góc.

Định hướng. Năm đường thẳng $a,b,c,m,n$ tạo tối đa $10$ cặp; xét trực tiếp từng cặp một xem song song, vuông góc hay không cùng loại nào cả.

Vậy đếm được $4$ cặp song song: $(a,b),(a,c),(b,c),(m,n)$ và $6$ cặp vuông góc: $(a,m),(a,n),(b,m),(b,n),(c,m),(c,n)$.

Định hướng. Tổng số cặp trong $5$ đường thẳng là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$; tách $5$ đường thành hai nhóm "cùng phương" $\{a,b,c\}$ và $\{m,n\}$, mọi cặp trong cùng một nhóm là song song, mọi cặp khác nhóm là vuông góc.

Vậy có $3+1=4$ cặp song song và $6$ cặp vuông góc, tổng $4+6=10=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)$, khớp với tổng số cặp.

Nhận xét. Cách 3 dùng ý tưởng chia nhóm để không sót, không đếm trùng cặp nào — hữu ích khi số đường thẳng lớn hơn.

Định hướng. Qua $C$ kẻ tia $Cz$ song song với $Ax$ và nằm giữa $CA$, $CB$; khi đó $Cz$ cũng song song với $By$ (cùng song song với $Ax$), tách $\widehat{ACB}$ thành hai góc so le trong lần lượt với $\hat{A}$ và $\hat{B}$.

Vậy $\hat{C}=\hat{A}+\hat{B}$ (đpcm).

Định hướng. Vẫn dựng $Cz\parallel Ax$ như Cách 1, nhưng lấy trên $Cz$ điểm nằm cùng phía với $x$ để dùng cặp góc đồng vị thay vì so le trong ở nhánh với $\hat{A}$, kết quả tương đương.

Vậy $\hat{C}=\hat{A}+\hat{B}$ (đpcm).

Nhận xét. Cả hai cách chỉ có đúng một ý phụ trợ khả dụng trong Chương III — kẻ qua $C$ đường song song với $Ax$; khác biệt duy nhất là gọi tên cặp góc bằng "so le trong" hay "đồng vị" tuỳ vị trí chọn của tia phụ.

Định hướng. Gộp $\widehat{O_1}$, $\widehat{O_2}$ lại thành $\widehat{x^{\prime }Oy}$ rồi cộng với $\widehat{O_3}=\widehat{yOx}$, dùng tính chất hai góc kề bù $\widehat{x^{\prime }Oy}$, $\widehat{yOx}$.

Vậy $\widehat{O_1}+\widehat{O_2}+\widehat{O_3}=180^{\circ }$.

Định hướng. Không cần ghép dần từng cặp — nhận ra ngay $\widehat{O_1}$, $\widehat{O_2}$, $\widehat{O_3}$ là ba góc kề liên tiếp có hai cạnh ngoài cùng $O{x}^{\prime }$, $Ox$ là hai tia đối nhau nên áp dụng thẳng tính chất tổng bằng góc bẹt.

Vậy $\widehat{O_1}+\widehat{O_2}+\widehat{O_3}=\widehat{x^{\prime }Ox}=180^{\circ }$.

Nhận xét. Cách 2 là cách trình bày nhanh của chính tính chất được xây dựng từng bước ở Cách 1 (gợi ý sách) — không phải một hướng chứng minh khác.

Định hướng. Kẻ tia $O{y}^{\prime }$ đối của $Oy$; khi đó $\widehat{xOy}$, $\widehat{xO{y}^{\prime }}$ là hai góc kề bù và $\widehat{zOy}$, $\widehat{zO{y}^{\prime }}$ cũng là hai góc kề bù, cho phép tính $\widehat{xO{y}^{\prime }}$ và $\widehat{zO{y}^{\prime }}$ rồi cộng lại vì $O{y}^{\prime }$ nằm giữa $Ox$, $Oz$.

Vậy $\widehat{zOx}=130^{\circ }$.

Định hướng. Không kẻ thêm tia phụ — ba tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ chia trọn quanh điểm $O$ thành đúng ba góc $\widehat{xOy}$, $\widehat{yOz}$, $\widehat{zOx}$ không chồng lên nhau, áp dụng thẳng tổng các góc quanh một điểm.

Vậy $\widehat{zOx}=130^{\circ }$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 ngắn hơn nhưng đòi hỏi quan sát đúng thứ tự ba tia quanh $O$ (không tia nào lọt vào giữa góc còn lại); Cách 1 theo gợi ý sách an toàn hơn vì chỉ dùng góc kề bù quen thuộc.