Bài 1 · Câu hỏi 1★Trang 71— Lý thuyết: nhận biết tính chất góc của tam giác qua tổng ba góc
Câu hỏi 1 (trang 71). Trong các câu sau đây, câu nào đúng? A. Mọi tam giác có ít nhất một góc tù. B. Mọi tam giác có ít nhất hai góc nhọn. C. Mọi tam giác cân có một góc bằng 60∘. D. Tam giác vuông cân có hai góc vuông.
Kiến thức cần nhớ
Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180∘.
Trong một tam giác, không thể có hai góc từ 90∘ trở lên.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho bốn khẳng định về góc trong tam giác — dấu hiệu của dạng "soi từng phương án bằng tổng ba góc bằng 180∘". Vì tổng ba góc cố định, nếu hai góc cùng không nhọn (mỗi góc ≥90∘) thì tổng đã ≥180∘, chỉ vừa đủ khi cả hai đúng bằng góc bẹt chia đôi — điều này dẫn tới việc tối đa một góc không nhọn. Bẫy của đề là phương án C, D nghe có vẻ đúng vì đúng với tam giác \emph{đều}/tam giác \emph{vuông thường}, nhưng đề hỏi về \emph{mọi} tam giác cân/tam giác vuông cân nói chung.
1Cách 1. Loại trừ từng phương án bằng phản ví dụ
Định hướng. Với mỗi phương án, tìm một tam giác cụ thể không thỏa mãn để loại, phương án nào không tìm được phản ví dụ thì đó là đáp án đúng.
A: tam giác đều có ba góc 60∘, không góc nào tù — loại A C: tam giác cân với góc ở đỉnh 100∘, hai góc đáy 40∘ — không góc nào bằng 60∘ — loại C D: nếu có hai góc vuông thì tổng đã 180∘, không còn chỗ cho góc thứ ba (dù bằng 0∘) — vô lí, không tam giác nào thỏa — loại D B: giả sử một tam giác có hai góc không nhọn (mỗi góc ≥90∘), tổng hai góc đó đã ≥180∘, cộng góc còn lại sẽ >180∘, trái với tổng ba góc bằng 180∘ — vô lí, nên mọi tam giác có tối đa một góc không nhọn, tức có ít nhất hai góc nhọn — B đúng với mọi tam giác
Vậy khẳng định đúng là B.
2Cách 2. Chứng minh trực tiếp phương án đúng rồi đối chiếu ngược lại ba phương án còn lại
Định hướng. Thay vì dò từng phương án, chứng minh thẳng B đúng bằng phản chứng dựa trên tổng ba góc, sau đó chỉ cần một phản ví dụ ngắn gọn cho mỗi phương án còn lại.
Giả sử một tam giác có it nhất hai góc ≥90∘: tổng hai góc này đã ≥180∘, mà tổng ba góc đúng bằng 180∘ nên góc thứ ba phải ≤0∘ — vô lí vì góc trong tam giác luôn dương Suy ra mọi tam giác có tối đa một góc không nhọn, tức luôn có ít nhất hai góc nhọn — B đúng Đối chiếu: A sai vì tam giác đều không có góc tù; C sai vì tam giác cân góc đỉnh 100∘ không có góc 60∘; D sai vì hai góc vuông đã đủ 180∘, không tồn tại tam giác như vậy
Vậy khẳng định đúng là B.
Nhận xét. Cách 2 chỉ cần chứng minh trực tiếp một lần bằng phản chứng, ngắn hơn việc tìm phản ví dụ riêng cho cả bốn phương án.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: chứng minh trực tiếp B bằng phản chứng dựa trên tổng ba góc, nhanh hơn việc dò từng phương án.
Đáp số.Đáp án đúng: B.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm hay gặp là cho rằng "tam giác cân" đồng nghĩa "tam giác đều" (chọn nhầm C) hoặc quên rằng tam giác vuông chỉ có đúng một góc vuông (chọn nhầm D).
🚀 Mở rộng.Từ kết quả này suy ra: một tam giác không thể có hai góc tù, và cũng không thể có một góc vuông cùng một góc tù — đây là cơ sở để phân loại tam giác thành nhọn, vuông, tù chỉ dựa vào góc lớn nhất.
Bài 2 · Câu hỏi 2★Trang 71— Lý thuyết: tổng ba góc và hệ quả cho tam giác vuông, tam giác tù
Câu hỏi 2 (trang 71). Trong các câu sau đây, câu nào sai? A. Tổng số đo ba góc trong một tam giác bằng 180∘. B. Tổng số đo hai góc nhọn trong một tam giác vuông bằng 90∘. C. Tổng số đo hai góc nhọn trong một tam giác tù lớn hơn 90∘. D. Góc lớn nhất trong tam giác nhọn có số đo nhỏ hơn 90∘.
Kiến thức cần nhớ
Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180∘.
Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau (tổng bằng 90∘).
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho bốn khẳng định liên quan đến tổng góc — cần tính cụ thể tổng hai góc nhọn trong tam giác tù để so sánh với 90∘ thay vì đoán theo cảm tính. Vì tam giác tù có một góc lớn hơn 90∘, tổng hai góc còn lại phải nhỏ hơn 90∘ (để tổng ba góc vẫn là 180∘) — đây là bẫy chính của đề, dễ nhầm dấu bất đẳng thức.
1Cách 1. Tính trực tiếp tổng hai góc nhọn của tam giác tù bằng một ví dụ số
Định hướng. Lấy một tam giác tù cụ thể, tính tổng hai góc còn lại rồi so sánh với 90∘ để kiểm tra khẳng định C.
Xét tam giác tù có góc tù 120∘, hai góc còn lại có tổng 180∘−120∘=60∘ 60∘<90∘, không phải lớn hơn 90∘ — khẳng định C sai Kiểm tra lại A: đúng (định lí tổng ba góc) Kiểm tra B: tam giác vuông có một góc 90∘, hai góc còn lại có tổng 180∘−90∘=90∘ — đúng Kiểm tra D: tam giác nhọn có mọi góc nhỏ hơn 90∘ theo đúng định nghĩa, nên góc lớn nhất cũng nhỏ hơn 90∘ — đúng
Vậy khẳng định sai là C.
2Cách 2. Chứng minh tổng quát bằng công thức (không phụ thuộc số liệu cụ thể)
Định hướng. Gọi góc tù là α (α>90∘), biểu diễn tổng hai góc còn lại theo α rồi so sánh với 90∘ bằng bất đẳng thức, tổng quát cho mọi tam giác tù chứ không riêng một ví dụ.
Gọi góc tù của tam giác là α, với α>90∘ Tổng hai góc nhọn còn lại: 180∘−α Vì α>90∘ nên 180∘−α<180∘−90∘=90∘ Vậy tổng hai góc nhọn trong tam giác tù luôn nhỏ hơn 90∘, không phải lớn hơn — khẳng định C sai với mọi tam giác tù
Vậy khẳng định sai là C.
Nhận xét. Cách 2 dùng biến α nên chứng minh được C sai cho \emph{mọi} tam giác tù, chặt chẽ hơn Cách 1 vốn chỉ xét một trường hợp số cụ thể.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: lập luận bằng biến α>90∘ cho kết luận đúng với mọi tam giác tù, tránh rủi ro chọn nhầm ví dụ đặc biệt.
Đáp số.Đáp án sai: C (đúng phải là tổng hai góc nhọn trong tam giác tù nhỏ hơn 90∘).
Sai lầm thường gặp.Sai lầm hay gặp là nhầm dấu bất đẳng thức, nghĩ góc tù "lớn" nên phần còn lại cũng phải "lớn", trong khi thực chất phần còn lại càng nhỏ khi góc tù càng lớn.
🚀 Mở rộng.Tổng quát hoá: nếu góc tù tiến gần 180∘ thì tổng hai góc nhọn còn lại tiến gần 0∘, cho thấy tam giác càng "dẹt" thì hai góc nhọn càng bé.
Bài 3 · Câu hỏi 3★Trang 71— Lý thuyết: phân biệt trường hợp bằng nhau c.c.c với các phát biểu thiếu điều kiện
Câu hỏi 3 (trang 71). Trong các câu sau đây, câu nào đúng? A. Hai tam giác có ba cặp góc tương ứng bằng nhau là hai tam giác bằng nhau. B. Hai tam giác có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau là hai tam giác bằng nhau. C. Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp góc tương ứng bằng nhau là hai tam giác bằng nhau. D. Hai tam giác có một cặp cạnh tương ứng bằng nhau và cặp góc đối diện với cặp cạnh đó bằng nhau là hai tam giác bằng nhau.
Kiến thức cần nhớ
Trường hợp bằng nhau cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c) của hai tam giác.
Ba cặp góc bằng nhau chỉ cho hai tam giác đồng dạng, không chắc bằng nhau.
Bài 4 · Câu hỏi 4★Trang 71— Lý thuyết: phân biệt tam giác bằng nhau với tam giác đồng dạng
Câu hỏi 4 (trang 71). Trong các câu sau đây, câu nào sai? A. Hai tam giác có cặp cạnh tương ứng bằng nhau và cặp góc xen giữa hai cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác bằng nhau. B. Hai tam giác có một cặp cạnh tương ứng bằng nhau và hai cặp góc tương ứng cùng kề với cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác bằng nhau. C. Hai tam giác bằng nhau có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau và các cặp góc tương ứng bằng nhau. D. Hai tam giác có các cặp góc tương ứng bằng nhau thì các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.
Kiến thức cần nhớ
Trường hợp bằng nhau cạnh - góc - cạnh (c.g.c) và góc - cạnh - góc (g.c.g).
Hai tam giác bằng nhau thì mọi cặp cạnh, góc tương ứng bằng nhau — nhưng chiều ngược lại (góc bằng nhau suy ra cạnh bằng nhau) không đúng.
Bài 5 · Câu hỏi 5★Trang 71— Lý thuyết: phân biệt dấu hiệu nhận biết tam giác đều với tam giác cân
Câu hỏi 5 (trang 71). Trong các câu sau đây, câu nào đúng? A. Tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều. B. Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác đều. C. Tam giác nhọn có hai cạnh bằng nhau là tam giác đều. D. Tam giác vuông có một góc có số đo bằng 60∘ là tam giác đều.
Kiến thức cần nhớ
Định nghĩa tam giác đều: tam giác có ba cạnh bằng nhau (ba góc đều bằng 60∘).
Tam giác cân chỉ cần hai cạnh (hai góc) bằng nhau, chưa chắc là tam giác đều.
Bài 6 · Câu hỏi 6★Trang 72— Lý thuyết: định nghĩa tam giác tù, vuông, cân, nhọn
Câu hỏi 6 (trang 72). Trong các câu sau đây, câu nào sai? A. Tam giác tù là tam giác có một góc có số đo lớn hơn 90∘. B. Tam giác vuông là tam giác có một góc có số đo bằng 90∘. C. Tam giác cân là tam giác có ba góc có số đo bằng 60∘. D. Tam giác nhọn là tam giác có ba góc có số đo nhỏ hơn 90∘.
Kiến thức cần nhớ
Định nghĩa tam giác cân: có hai cạnh (hai góc) bằng nhau.
Định nghĩa tam giác đều: có ba cạnh (ba góc) bằng nhau, mỗi góc 60∘.
Bài 7 · Câu hỏi 7★Trang 72— Lý thuyết: định nghĩa đầy đủ đường trung trực của đoạn thẳng
Câu hỏi 7 (trang 72). Trong các câu sau đây, câu nào đúng? A. Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB là đường trung trực của đoạn thẳng AB. B. Đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng AB là đường trung trực của đoạn thẳng AB. C. Tập hợp các điểm cách đều hai điểm phân biệt A và B là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB. D. Đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng AB là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Kiến thức cần nhớ
Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm.
Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu đoạn thẳng đó.
Bài 8 · Bài 4.51★★Trang 72— Tính góc chưa biết nhờ tam giác vuông, góc kề bù và tam giác cân
Bài 4.51 (trang 72). Tính số đo các góc x, y, z, t, v trong Hình 4.55, biết E nằm trên đoạn BA với DEB=90∘, DBE=40∘, ADC=70∘ và DA=AC (D nằm giữa B, C).
Bài 9 · Bài 4.52★Trang 72— Đúng/sai: số lượng góc nhọn trong từng loại tam giác
Bài 4.52 (trang 72). Trong các câu sau đây, câu nào đúng, câu nào sai? a) Tam giác nhọn có ba góc đều nhọn. b) Tam giác vuông có đúng hai góc nhọn. c) Tam giác tù có đúng một góc nhọn. d) Trong ba góc của một tam giác tù, góc tù có số đo lớn nhất.
Kiến thức cần nhớ
Tam giác nhọn: ba góc đều nhỏ hơn 90∘.
Tam giác vuông: một góc 90∘, hai góc còn lại có tổng 90∘ nên đều nhọn.
Tam giác tù: một góc lớn hơn 90∘, hai góc còn lại có tổng nhỏ hơn 90∘ nên đều nhọn.
Bài 10 · Bài 4.53★★Trang 72— Đúng/sai: tam giác cân, tam giác vuông cân và các trường hợp đặc biệt
Bài 4.53 (trang 72). Trong các câu sau đây, câu nào đúng, câu nào sai? a) Tam giác cân có một góc bằng 60∘ là tam giác đều. b) Tam giác cân là tam giác nhọn. c) Tổng hai góc nhọn của một tam giác vuông bằng 90∘. d) Tam giác vuông cân thì luôn cân tại đỉnh góc vuông và có hai góc nhọn bằng 45∘.
Kiến thức cần nhớ
Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau.
Tam giác đều có ba góc bằng nhau, mỗi góc 60∘.
Tam giác vuông cân có hai cạnh góc vuông bằng nhau, hai góc nhọn bằng 45∘.
Bài 11 · Bài 4.54★Trang 73— Tính góc chưa biết bằng tổng ba góc, kết hợp tam giác cân và tam giác vuông
Bài 4.54 (trang 73). Tính số đo các góc chưa biết của các tam giác dưới đây (H.4.56): tam giác ABC có B=55∘, C=65∘; tam giác DEF có DE=DF và F=55∘; tam giác MNP vuông tại N và P=40∘.
Bài 12 · Bài 4.55★★Trang 73— Chứng minh hai góc bằng nhau và đường thẳng vuông góc nhờ tính chất đường trung trực
Bài 4.55 (trang 73). Cho các điểm A, B, C, D như Hình 4.57, trong đó D, C nằm cùng phía so với đường thẳng AB, DA=DB, CA=CB. a) Chứng minh rằng DAC=DBC. b) Đường thẳng DC có vuông góc với đường thẳng AB không? Vì sao?
Kiến thức cần nhớ
Trường hợp bằng nhau cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c) của hai tam giác.
Điểm cách đều hai đầu một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Đường trung trực của một đoạn thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm.
Bài 13 · Bài 4.56★★★Trang 73— Ba cặp tam giác vuông bằng nhau từ một tia phân giác và hai đường vuông góc
Bài 4.56 (trang 73). Cho các điểm A, B, C, D, E, F như Hình 4.58, trong đó E nằm trên tia đối của tia BA tính từ B theo hướng ra xa A (A, B, E thẳng hàng), F nằm trên tia đối tương tự của tia CA (A, C, F thẳng hàng), tia AD là tia phân giác của góc BAC (tức BAD=CAD), BD⊥AB tại B và CD⊥AC tại C; đường thẳng BD cắt đường thẳng CE (từ C qua D) tại D theo cách B, D, F thẳng hàng và C, D, E thẳng hàng. a) Tìm ba cặp tam giác vuông bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau. b) Chứng minh △ADE=△ADF.
Kiến thức cần nhớ
Trường hợp bằng nhau cạnh huyền - góc nhọn của tam giác vuông.
Trường hợp bằng nhau cạnh góc vuông - góc nhọn kề của tam giác vuông.
Bài 14 · Bài 4.57★★Trang 73— Chứng minh hai đoạn bằng nhau nhờ tam giác vuông, rồi dùng tính chất trung trực cho hai đường vuông góc
Bài 4.57 (trang 73). Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Gọi M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB và AC lấy các điểm P, Q sao cho MP, MQ lần lượt vuông góc với AB, AC (H.4.59). a) Chứng minh rằng MP=MQ và AP=AQ. b) Đường thẳng PQ có vuông góc với AM không? Vì sao?
Kiến thức cần nhớ
Trường hợp bằng nhau cạnh huyền - góc nhọn của tam giác vuông.
Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau.
Điểm cách đều hai đầu một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Bài 15 · Bài 4.58★★Trang 74— Chứng minh hai đoạn vuông góc bằng nhau nhờ tam giác vuông và góc đối đỉnh
Bài 4.58 (trang 74). Cho đường thẳng d đi qua trung điểm M của đoạn thẳng AB và không vuông góc với AB. Kẻ AP, BQ (P∈d, Q∈d) vuông góc với đường thẳng d (H.4.60). Chứng minh rằng: a) AP=BQ. b) △APB=△BQA.
Kiến thức cần nhớ
Trường hợp bằng nhau cạnh huyền - góc nhọn của tam giác vuông.
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
Trường hợp bằng nhau cạnh - góc - cạnh (c.g.c) của hai tam giác.
