Chương IV. Tam giác bằng nhau

Bài tập cuối chương IV

SGK Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 1 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Bài 4.33★Trang 87— Tính số đo góc chưa biết nhờ tổng ba góc trong tam giác bằng 180°

Bài 4.33 (trang 87). Tính các số đo

x

y

trong các tam giác dưới đây (H.4.75).

Kiến thức cần nhớ

Tổng ba góc trong một tam giác bằng $18 0^{\circ}$ .
Hệ quả: trung bình cộng ba góc của một tam giác luôn bằng $6 0^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho số đo ba góc của mỗi tam giác dưới dạng biểu thức chứa ẩn — dấu hiệu quen thuộc của dạng "lập phương trình từ tổng ba góc trong tam giác". Vì ba góc cùng chứa một ẩn với hệ số khác nhau, đưa cả ba biểu thức vào một phương trình bậc nhất là hướng an toàn nhất. Bẫy của đề là hai tam giác dùng hai ẩn khác nhau (

x

và

y

) nên phải giải hai phương trình độc lập, không được gộp chung hay nhầm ẩn giữa hai hình.

1Cách 1. Dùng tổng ba góc trong tam giác bằng

18 0^{\circ}

Định hướng. Mỗi hình đều là một tam giác nên tổng ba góc của nó bằng $18 0^{\circ}$ ; thay các biểu thức đã cho vào rồi giải phương trình bậc nhất một ẩn.

Tam giác thứ nhất có ba góc

x

x + 2 0^{\circ}

x + 1 0^{\circ}

x + (x + 2 0^{\circ}) + (x + 1 0^{\circ}) = 18 0^{\circ}

3 x + 3 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

3 x = 15 0^{\circ}

x = 5 0^{\circ}

Tam giác thứ hai có ba góc

y

6 0^{\circ}

2 y

y + 6 0^{\circ} + 2 y = 18 0^{\circ}

3 y + 6 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

3 y = 12 0^{\circ}

y = 4 0^{\circ}

Vậy $x = 5 0^{\circ}$ và $y = 4 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Dùng tính chất trung bình cộng ba góc của một tam giác luôn bằng

6 0^{\circ}

Định hướng. Vì tổng ba góc của mọi tam giác luôn là $18 0^{\circ}$ nên trung bình cộng ba góc luôn bằng $6 0^{\circ}$ ; lập phương trình trung bình cộng thay vì phương trình tổng sẽ gọn hơn khi ba góc đều là bội của một ẩn.

Tam giác thứ nhất:

\frac{x + ( x + 2 0 ^{\circ} ) + ( x + 1 0 ^{\circ} )}{3} = 6 0^{\circ}

\frac{3 x + 3 0 ^{\circ}}{3} = 6 0^{\circ}

x + 1 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

x = 5 0^{\circ}

Tam giác thứ hai:

\frac{y + 6 0 ^{\circ} + 2 y}{3} = 6 0^{\circ}

\frac{3 y + 6 0 ^{\circ}}{3} = 6 0^{\circ}

y + 2 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

y = 4 0^{\circ}

Vậy $x = 5 0^{\circ}$ và $y = 4 0^{\circ}$ .

Nhận xét. Chia cả hai vế cho 3 ngay từ đầu giúp tránh số hạng $3 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ cồng kềnh khi giải.

3Cách 3. Tính ngược từ đáp án (thử chọn rồi kiểm tra tổng ba góc)

Định hướng. Vì ba góc của tam giác thứ nhất chỉ hơn kém nhau một hằng số, ba giá trị $x$ , $x + 2 0^{\circ}$ , $x + 1 0^{\circ}$ khá gần nhau quanh $6 0^{\circ}$ (trung bình cộng); thử $x$ là một số tròn chục rồi kiểm tra tổng có đúng $18 0^{\circ}$ hay không.

Thử

x = 5 0^{\circ}

x + (x + 2 0^{\circ}) + (x + 1 0^{\circ}) = 5 0^{\circ} + 7 0^{\circ} + 6 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

(đúng)
Thử

x = 4 0^{\circ}

4 0^{\circ} + 6 0^{\circ} + 5 0^{\circ} = 15 0^{\circ} \neq = 18 0^{\circ}

(loại)
Thử

x = 6 0^{\circ}

6 0^{\circ} + 8 0^{\circ} + 7 0^{\circ} = 21 0^{\circ} \neq = 18 0^{\circ}

(loại)
Vậy

x = 5 0^{\circ}

là giá trị đúng.
Thử

y = 4 0^{\circ}

y + 6 0^{\circ} + 2 y = 4 0^{\circ} + 6 0^{\circ} + 8 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

(đúng)
Thử

y = 3 0^{\circ}

3 0^{\circ} + 6 0^{\circ} + 6 0^{\circ} = 15 0^{\circ} \neq = 18 0^{\circ}

(loại)

Vậy $x = 5 0^{\circ}$ và $y = 4 0^{\circ}$ .

Nhận xét. Cách thử chọn chỉ nên dùng để kiểm tra nhanh trắc nghiệm, không thay thế cách giải phương trình khi cần trình bày đầy đủ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2: nhận ra ngay trung bình cộng ba góc của một tam giác luôn là

6 0^{\circ}

giúp phương trình gọn hơn một bước so với Cách 1.

Đáp số.

x = 5 0^{\circ}

;

y = 4 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là cộng nhầm hai tam giác vào chung một phương trình (dùng cả

x

lẫn

y

trong cùng một tổng), hoặc quên đổi

2 y

thành đúng hệ số khi rút gọn, dẫn tới phương trình sai ngay từ bước đầu.

🚀 Mở rộng. Nếu tam giác thứ hai đổi thành ba góc

y

6 0^{\circ}

3 y

thì phương trình trở thành

4 y + 6 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

, cho

y = 3 0^{\circ}

— cùng một kĩ thuật nhưng hệ số ẩn khác đi.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 4.34★★Trang 87— Chứng minh hai góc bằng nhau nhờ hai tam giác bằng nhau theo c.c.c

Bài 4.34 (trang 87). Trong Hình 4.76, có

A M = B M

A N = B N

. Chứng minh rằng

M A N = M B N

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp bằng nhau cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c) của hai tam giác.
Điểm cách đều hai đầu một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai cặp cạnh bằng nhau xuất phát từ hai đỉnh

M

N

tới cùng hai điểm

A

B

— dấu hiệu để ghép hai tam giác

A M N

và

B M N

có chung cạnh

M N

và bằng nhau theo c.c.c. Hướng này ngắn vì không cần dựng thêm điểm phụ. Bẫy của đề là nhầm lẫn hai góc cần chứng minh (

M A N

M B N

) với hai góc ở đáy

M A B

M B A

— phải xác định đúng ba tia tạo nên mỗi góc trước khi ghép cặp tam giác.

1Cách 1. Ghép cặp tam giác chung cạnh MN (c.c.c)

Định hướng. Đoạn $M N$ là cạnh chung của hai tam giác $A M N$ và $B M N$ ; cùng với hai cặp cạnh đã cho bằng nhau, hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh.

Xét

△ A M N

và

△ B M N

A M = B M

(giả thiết)

A N = B N

(giả thiết)

M N

là cạnh chung
Do đó

△ A M N = △ B M N

(c.c.c)
Suy ra

M A N = M B N

(hai góc tương ứng)

Vậy $M A N = M B N$ .

2Cách 2. Dùng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng AB

Định hướng. $A M = B M$ và $A N = B N$ nghĩa là cả $M$ lẫn $N$ đều cách đều hai đầu đoạn $A B$ , nên cả hai đều nằm trên đường trung trực của $A B$ ; do đó $M N$ chính là đường trung trực của $A B$ .

Vì

M A = M B

nên

M

thuộc đường trung trực của

A B

Vì

N A = N B

nên

N

thuộc đường trung trực của

A B

Suy ra đường thẳng

M N

là đường trung trực của đoạn thẳng

A B

Phép đối xứng qua đường trung trực này biến

A

thành

B

, biến tia

M A

thành tia

M B

, biến tia

N A

thành tia

N B

(vì bảo toàn khoảng cách hai đầu

A B

)
Do đó góc

M A N

(tạo bởi hai tia

M A

N A

tại giao điểm ảo qua phép đối xứng) biến thành góc

M B N

Vậy $M A N = M B N$ .

3Cách 3. Dùng hai tam giác cân AMB, ANB rồi trừ góc

Định hướng. Gọi $I$ là trung điểm $A B$ . Vì $△ A M B$ cân tại $M$ và $△ A N B$ cân tại $N$ nên $M I$ , $N I$ vừa là trung tuyến vừa là phân giác của các góc ở đỉnh $M$ , $N$ ; từ đó suy ra hai góc ở đáy bằng nhau rồi trừ đi phần chung.

Xét

△ A M I

và

△ B M I

M A = M B

A I = B I

(

I

trung điểm

A B

M I

chung
Do đó

△ A M I = △ B M I

(c.c.c), suy ra

M A I = M B I

, tức

M A B = M B A

(1)
Xét

△ A N I

và

△ B N I

N A = N B

A I = B I

N I

chung
Do đó

△ A N I = △ B N I

(c.c.c), suy ra

N A B = N B A

(2)
Từ hình vẽ, tia

A N

nằm giữa hai tia

A M

A B

và tia

B N

nằm giữa hai tia

B M

B A

nên:

M A N = M A B - N A B

M B N = M B A - N B A

Kết hợp (1), (2):

M A N = M B N

Vậy $M A N = M B N$ .

Nhận xét. Cách 3 dài hơn Cách 1 nhưng cho thêm thông tin phụ $M A B = M B A$ , $N A B = N B A$ — hữu ích nếu đề hỏi thêm về các góc này.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một bước ghép tam giác chung cạnh

M N

theo c.c.c là xong, ngắn hơn hẳn Cách 2 (cần khái niệm đối xứng trục) và Cách 3 (phải dựng thêm trung điểm

I

Đáp số.

M A N = M B N

(chứng minh bằng

△ A M N = △ B M N

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là ghép nhầm hai tam giác không có cạnh chung (ví dụ

A M B

và

A N B

) rồi lúng túng không tìm được yếu tố thứ ba để dùng c.c.c; phải chọn đúng cặp tam giác chung cạnh

M N

🚀 Mở rộng. Nếu chỉ có

A M = B M

mà không có

A N = B N

thì chưa đủ dữ kiện để ghép tam giác chung cạnh

M N

, cần thêm một cặp cạnh hoặc góc khác bằng nhau mới kết luận được

M A N = M B N

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 4.35★★Trang 87— Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau nhờ tam giác bằng nhau theo g.c.g

Bài 4.35 (trang 87). Trong Hình 4.77, có

A O = B O

O A M = O B N

. Chứng minh rằng

A M = B N

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc (g.c.g) của hai tam giác.
Tam giác cân có trục đối xứng là đường phân giác của góc ở đỉnh.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

O A = O B

và một cặp góc bằng nhau tại

A

B

— nhưng hai góc đó (

O A M

O B N

) lại nằm trong hai tam giác khác nhau (

O A M

và

O B N

) có chung góc ở đỉnh

O

(do

O, A, N

và

O, B, M

thẳng hàng). Nhận ra góc chung ở

O

chính là chìa khoá để ghép g.c.g. Bẫy của đề là tưởng cần biết thêm

O M = O N

mới chứng minh được, trong khi thực chất đó lại là điều suy ra được, không phải giả thiết.

1Cách 1. Ghép cặp tam giác OAM, OBN (g.c.g)

Định hướng. Vì $O$ , $A$ , $N$ thẳng hàng và $O$ , $B$ , $M$ thẳng hàng nên góc $A O M$ (giữa tia $O A$ và tia $O M$ ) và góc $B O N$ (giữa tia $O B$ và tia $O N$ ) thực chất là cùng một góc ở đỉnh $O$ ; ghép với $O A = O B$ và góc đã cho, hai tam giác $O A M$ , $O B N$ bằng nhau theo g.c.g.

Vì

O

A

N

thẳng hàng nên tia

O A

trùng tia

O N

; vì

O

B

M

thẳng hàng nên tia

O B

trùng tia

O M

Do đó

A O M = B O N

(cùng là góc

O

giữa hai tia

O A

O B

)
Xét

△ O A M

và

△ O B N

A O M = B O N

(chứng minh trên)

O A = O B

(giả thiết)

O A M = O B N

(giả thiết)
Do đó

△ O A M = △ O B N

(g.c.g)
Suy ra

A M = B N

(hai cạnh tương ứng)

Vậy $A M = B N$ .

2Cách 2. Dùng tính chất đối xứng của tam giác cân OAB

Định hướng. Vì $O A = O B$ nên tam giác $O A B$ cân tại $O$ , nhận tia phân giác $O t$ của góc $O$ làm trục đối xứng; trục này biến $A$ thành $B$ và biến tia $O A$ thành tia $O B$ , nên có thể dùng phép đối xứng để chuyển tia $A M$ thành tia $B N$ .

Gọi

O t

là tia phân giác của góc

A O B

Vì

△ O A B

cân tại

O

nên

O t

là trục đối xứng của tam giác, biến điểm

A

thành điểm

B

Phép đối xứng qua

O t

biến tia

O A

thành tia

O B

(tức tia

O N

thành tia

O M

), nên biến tia

A M

(tạo với

O A

một góc

O A M

) thành tia đi qua

B

và tạo với

O B

đúng một góc bằng

O A M

Vì

O B N = O A M

(giả thiết) nên tia ảnh đó chính là tia

B N

Do phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách, ảnh của

M

(giao điểm của tia

A M

với tia

O B

) là giao điểm của tia

B N

với tia

O A

, tức là điểm

N

Suy ra

A M = B N

(hai đoạn đối xứng nhau qua

O t

có cùng độ dài)

Vậy $A M = B N$ .

Nhận xét. Cách 2 cho thêm kết quả $O M = O N$ mà Cách 1 cũng suy ra được (hai cạnh tương ứng còn lại của $△ O A M = △ O B N$ ), nên hai cách thực chất cùng bản chất tam giác cân — chỉ khác cách trình bày trực tiếp hay qua đối xứng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra góc ở

O

là góc chung rồi ghép g.c.g trực tiếp — nhanh và không cần khái niệm trục đối xứng.

Đáp số.

A M = B N

(chứng minh bằng

△ O A M = △ O B N

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là không nhận ra

A O M

và

B O N

là cùng một góc (do nhầm tưởng cần chứng minh chúng bằng nhau bằng cách khác), hoặc ghép sai cặp tam giác (ví dụ

O A B

với

O M N

) khiến thiếu dữ kiện để dùng g.c.g.

🚀 Mở rộng. Nếu chỉ đổi giả thiết thành

A O M = B O N

cho trước (thay vì suy ra từ tính thẳng hàng) thì cách chứng minh y hệt vẫn áp dụng được, cho thấy bản chất bài toán chỉ cần một góc chung, một cạnh bằng nhau, một góc bằng nhau kề cạnh đó.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 4.36★★Trang 87— Chứng minh hai góc bằng nhau nhờ tam giác bằng nhau theo c.g.c

Bài 4.36 (trang 87). Trong Hình 4.78, có

A N = B M

B A N = A B M

. Chứng minh rằng

B A M = A B N

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp bằng nhau cạnh - góc - cạnh (c.g.c) của hai tam giác.
Tổng ba góc trong một tam giác bằng $18 0^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một cạnh chéo bằng nhau (

A N = B M

) và một góc kề cạnh chung

A B

bằng nhau (

B A N = A B M

) — đúng ba yếu tố cạnh - góc - cạnh xen giữa để ghép

△ A B N

và

△ B A M

. Vì hai tam giác đổi chỗ đỉnh

A

B

cho nhau (kiểu "bắt chéo"), phải viết đúng thứ tự tương ứng mới nhận ra góc cần tìm là một cặp góc tương ứng. Bẫy của đề là nhầm hai tam giác

A B N

A B M

(không bắt chéo) khiến thiếu góc xen giữa đúng vị trí.

1Cách 1. Ghép cặp tam giác ABN, BAM (c.g.c)

Định hướng. Cạnh $A B$ là cạnh chung của hai tam giác $A B N$ và $B A M$ ; góc $B A N$ (xen giữa $A B$ , $A N$ ) và góc $A B M$ (xen giữa $B A$ , $B M$ ) đã cho bằng nhau, cùng với $A N = B M$ cho ngay c.g.c.

Xét

△ A B N

và

△ B A M

A B

là cạnh chung

B A N = A B M

(giả thiết)

A N = B M

(giả thiết)
Do đó

△ A B N = △ B A M

(c.g.c)
Suy ra

A B N = B A M

(hai góc tương ứng)

Vậy $B A M = A B N$ .

2Cách 2. Suy ra từ các cạnh, góc tương ứng còn lại của ΔABN = ΔBAM

Định hướng. Sau khi đã có $△ A B N = △ B A M$ , có thể khai thác thêm các cặp tương ứng còn lại ( $B N = A M$ , $A N B = B M A$ ) để kiểm tra chéo kết quả bằng tổng ba góc, thay vì chỉ đọc thẳng một cặp góc tương ứng.

Từ

△ A B N = △ B A M

(c.g.c, chứng minh như Cách 1) suy ra:

B N = A M

A N B = B M A

A B N = B A M

Kiểm tra lại bằng tổng ba góc: trong

△ A B N

B A N + A B N + A N B = 18 0^{\circ}

Trong

△ B A M

A B M + B A M + B M A = 18 0^{\circ}

Vì

B A N = A B M

và

A N B = B M A

(đã có ở trên) nên hai tổng bằng nhau kéo theo

A B N = B A M

, khớp với kết luận

Vậy $B A M = A B N$ .

Nhận xét. Cách 2 không phải một phép chứng minh độc lập mà là bước tự kiểm tra chéo kết quả của Cách 1 bằng tổng ba góc trong tam giác — hữu ích để phát hiện sai sót khi ghép nhầm cặp tam giác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ghép trực tiếp c.g.c, chỉ ba dòng là xong; không cần bước kiểm tra chéo của Cách 2 khi đã chắc chắn ghép đúng cặp tam giác.

Đáp số.

B A M = A B N

(chứng minh bằng

△ A B N = △ B A M

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là ghép tam giác

A B N

với

A B M

(giữ nguyên thứ tự đỉnh

A

B

) thay vì bắt chéo thành

A B N

với

B A M

, khiến góc xen giữa không khớp vị trí và không dùng được c.g.c.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi giả thiết góc bằng nhau thành

N A B = M B A

tại một cặp đỉnh khác thì vẫn ghép được tam giác tương tự, miễn góc đó xen đúng giữa cạnh chung

A B

và cạnh đã cho bằng nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 4.37★★Trang 87— Dùng tính chất đường trung trực và tam giác bằng nhau để suy ra hai đoạn, hai góc bằng nhau

Bài 4.37 (trang 87). Cho

M

N

là hai điểm phân biệt nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng

A B

sao cho

A M = A N

. Chứng minh rằng

M B = N B

và góc

A M B

bằng góc

A N B

Kiến thức cần nhớ

Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
Trường hợp bằng nhau cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c) của hai tam giác.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

M

N

cùng nằm trên đường trung trực của

A B

— dấu hiệu để dùng ngay tính chất "điểm trên đường trung trực cách đều hai đầu đoạn thẳng" mà không cần chứng minh lại từ đầu. Kết hợp với

A M = A N

, chuỗi bằng nhau

M B = M A = A N = N B

cho ngay

M B = N B

. Bẫy của đề là không tận dụng tính chất đã học (đi chứng minh lại bằng tam giác vuông từ đầu) khiến bài dài không cần thiết.

1Cách 1. Dùng tính chất đường trung trực rồi ghép tam giác c.c.c

Định hướng. $M$ , $N$ nằm trên đường trung trực của $A B$ nên mỗi điểm cách đều $A$ , $B$ — tính chất này cho ngay $M B = N B$ mà không cần vẽ thêm. Sau đó ghép $△ A M B$ , $△ A N B$ bằng c.c.c để có hai góc bằng nhau.

Vì

M

thuộc đường trung trực của

A B

nên

M A = M B

Vì

N

thuộc đường trung trực của

A B

nên

N A = N B

Theo giả thiết

A M = A N

, suy ra

M B = M A = A N = N B

, tức

M B = N B

Xét

△ A M B

và

△ A N B

A M = A N

M B = N B

(chứng minh trên),

A B

là cạnh chung
Do đó

△ A M B = △ A N B

(c.c.c)
Suy ra

A M B = A N B

(hai góc tương ứng)

Vậy $M B = N B$ và $A M B = A N B$ .

2Cách 2. Dùng điểm đối xứng qua chân đường vuông góc rồi hai tam giác cân

Định hướng. Gọi $I$ là trung điểm $A B$ — đây cũng là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống đường trung trực. Vì $A M = A N$ , hai điểm $M$ , $N$ đối xứng nhau qua $I$ trên đường trung trực; từ đó dùng hai tam giác vuông bằng nhau để suy ra góc ở đáy bằng nhau.

Gọi

I

là giao điểm của đường trung trực với

A B

(

I

là trung điểm

A B

)
Xét

△ A I M

và

△ A I N

(vuông tại

I

A I

chung,

A M = A N

(giả thiết)
Do đó

△ A I M = △ A I N

(cạnh huyền - cạnh góc vuông), suy ra

I M = I N

và

I A M = I A N

Vì

I M = I N

nên

I

là trung điểm

M N

, hai tam giác

A M B

A N B

cân lần lượt tại

M

, tại

N

(do

M A = M B

N A = N B

) và có góc ở đỉnh liên hệ với

I A M = I A N

bằng nhau
Từ

I A M = I A N

và tam giác

A I M

A I N

vuông cân đối xứng, suy ra góc ở đáy

A M I = A N I

, tức

A M B = A N B

(vì

I

B

cùng phía trên đường thẳng

A B

nhìn từ

M

N

)

Vậy $M B = N B$ và $A M B = A N B$ .

Nhận xét. Cách 2 dài hơn vì phải dựng thêm điểm $I$ , nhưng làm rõ vì sao $M$ , $N$ đối xứng nhau qua chân đường vuông góc — hữu ích khi đề hỏi thêm về vị trí của $M$ , $N$ .

3Cách 3. Dùng tính đối xứng qua trục AB (đường trung trực của MN)

Định hướng. Vì $A M = A N$ nên $A$ cách đều $M$ , $N$ ; sau khi có $M B = N B$ (Cách 1), $B$ cũng cách đều $M$ , $N$ . Vậy cả $A$ lẫn $B$ đều thuộc đường trung trực của $M N$ , tức đường thẳng $A B$ chính là trục đối xứng biến $M$ thành $N$ .

Từ

M B = N B

(đã chứng minh) và

A M = A N

(giả thiết), cả

A

và

B

đều cách đều

M

N

Suy ra đường thẳng

A B

là đường trung trực của đoạn

M N

Phép đối xứng qua đường thẳng

A B

biến

M

thành

N

, đồng thời giữ nguyên

A

B

(vì

A

B

nằm trên trục)
Do phép đối xứng trục bảo toàn góc, góc

A M B

(tạo bởi

A

M

B

) biến thành góc

A N B

(tạo bởi ảnh của

A

M

B

là

A

N

B

)

Vậy $M B = N B$ và $A M B = A N B$ .

Nhận xét. Cách 3 gọn nhất vì chứng minh đồng thời cả hai yêu cầu của đề chỉ bằng một lập luận đối xứng duy nhất, không cần xét riêng từng tam giác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: trích thẳng tính chất đường trung trực cho

M B = N B

rồi ghép c.c.c — ngắn nhất trong ba cách, không cần dựng điểm phụ.

Đáp số.

M B = N B

và

A M B = A N B

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là quên tận dụng tính chất đường trung trực (đi dựng lại từ đầu bằng tam giác vuông một cách không cần thiết), hoặc nhầm lẫn cho rằng

M

N

A

B

luôn tạo thành một hình đặc biệt (như hình thoi) mà không kiểm tra lại điều kiện.

🚀 Mở rộng. Nếu bỏ điều kiện

A M = A N

(chỉ giữ

M

N

trên trung trực của

A B

) thì vẫn có

M A = M B

N A = N B

nhưng không còn suy ra được

M B = N B

nói chung, cho thấy điều kiện

A M = A N

là mấu chốt của bài.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 4.38★★★Trang 87— Tam giác cân có góc ở đỉnh 120°, dựng đường vuông góc rồi chứng minh tam giác bằng nhau và tam giác cân

Bài 4.38 (trang 87). Cho tam giác

A B C

cân tại

A

có

A = 12 0^{\circ}

. Trên cạnh

B C

lấy hai điểm

M

N

sao cho

M A

N A

lần lượt vuông góc với

A B

A C

. Chứng minh rằng: a)

△ B A M = △ C A N

; b) Các tam giác

A N B

A M C

lần lượt cân tại

N

M

Kiến thức cần nhớ

Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau.
Trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc (g.c.g) của hai tam giác.
Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Góc

12 0^{\circ}

ở đỉnh

A

cho ngay hai góc đáy

3 0^{\circ}

— dấu hiệu quen thuộc của tam giác cân. Hai đường vuông góc

M A ⊥ A B

N A ⊥ A C

tạo ra hai tam giác vuông có chung góc nhọn

3 0^{\circ}

và cạnh

A B = A C

, nên ghép g.c.g là hướng tự nhiên nhất cho câu a. Bẫy của đề là ở câu b: phải nhận ra góc

B A C = 12 0^{\circ}

tách thành

B A M = 9 0^{\circ}

và phần còn lại

M A C = 3 0^{\circ}

mới lộ ra tam giác cân, chứ không phải cân một cách hiển nhiên từ hình vẽ.

1Cách 1. Tính góc rồi ghép g.c.g, sau đó cộng/trừ góc để chỉ ra tam giác cân

Định hướng. Vì $△ A B C$ cân tại $A$ với $A = 12 0^{\circ}$ nên $B = C = 3 0^{\circ}$ . Hai tam giác vuông $B A M$ , $C A N$ có cùng góc nhọn $3 0^{\circ}$ và cạnh $A B = A C$ nên bằng nhau theo g.c.g; từ đó tách góc $A$ để tìm ra hai tam giác cân ở phần b.

Vì

△ A B C

cân tại

A

A B C = A C B = \frac{18 0 ^{\circ} - A}{2} = \frac{18 0 ^{\circ} - 12 0 ^{\circ}}{2} = 3 0^{\circ}

a) Xét

△ B A M

và

△ C A N

(vuông tại

A

A B = A C

(giả thiết

△ A B C

cân tại

A

)

A B M = A C N

(

= 3 0^{\circ}

, chứng minh trên)

B A M = C A N = 9 0^{\circ}

(giả thiết)
Do đó

△ B A M = △ C A N

(g.c.g)
b) Suy ra

A M = A N

(hai cạnh tương ứng của câu a)

B A N = B A C - N A C = 12 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 3 0^{\circ}

Vì

B A N = A B N (= 3 0^{\circ})

nên

△ A N B

cân tại

N

(hai góc ở đáy bằng nhau)

C A M = B A C - B A M = 12 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 3 0^{\circ}

Vì

C A M = A C M (= 3 0^{\circ})

nên

△ A M C

cân tại

M

Vậy $△ B A M = △ C A N$ và $△ A N B$ cân tại $N$ , $△ A M C$ cân tại $M$ .

2Cách 2. Dùng trục đối xứng của tam giác cân ABC cho câu a, dùng góc ngoài của tam giác vuông cho câu b

Định hướng. Đường phân giác $A I$ của góc $A$ (với $I$ là trung điểm $B C$ ) là trục đối xứng của $△ A B C$ cân, biến $B$ thành $C$ và biến tia $A B$ thành tia $A C$ ; vì $A M ⊥ A B$ , $A N ⊥ A C$ nên trục này cũng biến $M$ thành $N$ , cho ngay $△ B A M = △ C A N$ . Câu b dùng tính chất hai góc nhọn phụ nhau trong tam giác vuông thay vì trừ trực tiếp góc $A$ .

Gọi

A I

là tia phân giác của

B A C

(

I

là trung điểm

B C

vì

△ A B C

cân tại

A

)
Phép đối xứng qua

A I

biến

B

thành

C

, biến tia

A B

thành tia

A C

; vì góc vuông được bảo toàn qua phép đối xứng nên tia

A M

(vuông góc với

A B

) biến thành tia

A N

(vuông góc với

A C

), do đó

M

biến thành

N

Suy ra

△ B A M = △ C A N

(hai hình đối xứng nhau qua

A I

), cho

A M = A N

a) Vậy

△ B A M = △ C A N

b) Trong tam giác vuông

A B M

(vuông tại

A

A B M + A M B = 9 0^{\circ}

, mà

A B M = 3 0^{\circ}

nên

A M B = 6 0^{\circ}

, suy ra

A M C = 18 0^{\circ} - A M B = 12 0^{\circ}

và

A C M = 3 0^{\circ}

nên

M A C = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 3 0^{\circ} = A C M

, do đó

△ A M C

cân tại

M

Tương tự,

A N B = 3 0^{\circ} = A B N

nên

△ A N B

cân tại

N

Vậy $△ B A M = △ C A N$ và $△ A N B$ cân tại $N$ , $△ A M C$ cân tại $M$ .

Nhận xét. Cách 2 dùng góc ngoài/phụ nhau nên tránh được phép trừ $12 0^{\circ} - 9 0^{\circ}$ trực tiếp, nhưng dài hơn vì phải tính qua nhiều tam giác vuông liên tiếp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính thẳng

B = C = 3 0^{\circ}

rồi trừ góc

12 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 3 0^{\circ}

để có tam giác cân — ít bước tính hơn Cách 2.

Đáp số.

△ B A M = △ C A N

(g.c.g);

△ A N B

cân tại

N

△ A M C

cân tại

M

(mỗi tam giác có hai góc đáy bằng

3 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là quên trừ góc (tưởng

B A M

và

B A C

là một) dẫn tới tính sai

N A C

, hoặc nhầm đỉnh cân (nói

△ A N B

cân tại

A

thay vì tại

N

) do không so sánh đúng cặp góc đáy.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi góc ở đỉnh

A

thành

2 α

bất kỳ (

9 0^{\circ} < 2 α < 18 0^{\circ}

) thì hai góc đáy là

9 0^{\circ} - α

, và lập luận tương tự cho

B A N = 2 α - 9 0^{\circ}

; tam giác

A N B

chỉ cân được khi

2 α - 9 0^{\circ} = 9 0^{\circ} - α

, tức

α = 6 0^{\circ}

, đúng bằng trường hợp

A = 12 0^{\circ}

của đề.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 4.39★★★Trang 87— Tam giác vuông có góc 60°, lấy điểm trên cạnh huyền tạo góc 30° rồi chứng minh tam giác cân, tam giác đều, trung điểm

Bài 4.39 (trang 87). Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

có

B = 6 0^{\circ}

. Trên cạnh

B C

lấy điểm

M

sao cho

C A M = 3 0^{\circ}

. Chứng minh rằng: a) Tam giác

C A M

cân tại

M

; b) Tam giác

B A M

là tam giác đều; c)

M

là trung điểm của đoạn thẳng

B C

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.
Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau.
Tam giác có ba góc bằng nhau (mỗi góc $6 0^{\circ}$ ) là tam giác đều.

🧠 Phân tích tư duy

Góc

B = 6 0^{\circ}

trong tam giác vuông tại

A

cho ngay

C = 3 0^{\circ}

— bằng đúng góc

C A M = 3 0^{\circ}

đã cho, đây là dấu hiệu nhận ra tam giác

C A M

cân ngay từ hai góc đáy bằng nhau. Từ đó tách góc vuông

A

thành

C A M + B A M

để lộ ra

B A M = 6 0^{\circ}

, đúng bằng

B

, nên tam giác

B A M

đều. Bẫy của đề là ở câu c: phải gộp cả hai kết quả cân và đều (

M A = M C

và

M A = M B

) mới suy ra

M B = M C

, chứ không có cách nào chứng minh trung điểm trực tiếp từ đề bài.

1Cách 1. Tính trực tiếp góc C rồi trừ góc để tìm góc BAM

Định hướng. Từ tam giác vuông $A B C$ suy ra $C = 3 0^{\circ}$ ; so với $C A M = 3 0^{\circ}$ đã cho, tam giác $C A M$ có hai góc đáy bằng nhau nên cân. Lấy $B A C = 9 0^{\circ}$ trừ đi $C A M$ để ra $B A M = 6 0^{\circ}$ , khớp với $B = 6 0^{\circ}$ nên tam giác $B A M$ đều.

Trong

△ A B C

vuông tại

A

A C B = 9 0^{\circ} - A B C = 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}

a) Vì

A C M = C A M (= 3 0^{\circ})

nên

△ C A M

cân tại

M

(hai góc ở đáy bằng nhau), suy ra

M A = M C

B A M = B A C - C A M = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

Trong

△ B A M

A B M = 6 0^{\circ}

(giả thiết),

B A M = 6 0^{\circ}

(vừa tính), suy ra

A M B = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

Vậy

△ B A M

có ba góc bằng

6 0^{\circ}

nên là tam giác đều, suy ra

M A = M B = A B

c) Từ a) và b):

M B = M A = M C

, mà

M

nằm trên

B C

nên

M

là trung điểm của

B C

Vậy $△ C A M$ cân tại $M$ , $△ B A M$ đều, và $M$ là trung điểm $B C$ .

2Cách 2. Dùng góc ngoài của tam giác CAM để tính góc AMB trước

Định hướng. Góc $A M B$ là góc ngoài của $△ C A M$ tại đỉnh $M$ (vì $B$ , $M$ , $C$ thẳng hàng), nên bằng tổng hai góc trong không kề với nó; tính theo hướng này cho luôn $A M B$ mà không cần tính $B A M$ trước.

Trong

△ A B C

vuông tại

A

A C B = 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}

a) Vì

A C M = C A M (= 3 0^{\circ})

nên

△ C A M

cân tại

M

, suy ra

M A = M C

Vì

A M B

là góc ngoài của

△ C A M

tại

M

(do

B

M

C

thẳng hàng):

A M B = A C M + C A M = 3 0^{\circ} + 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

b) Trong

△ A B M

A B M = 6 0^{\circ}

(giả thiết),

A M B = 6 0^{\circ}

(vừa tính), suy ra

B A M = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

Vậy

△ B A M

có ba góc bằng

6 0^{\circ}

nên là tam giác đều, suy ra

M A = M B = A B

c) Từ a) và b):

M B = M A = M C

, mà

M

nằm trên

B C

nên

M

là trung điểm của

B C

Vậy $△ C A M$ cân tại $M$ , $△ B A M$ đều, và $M$ là trung điểm $B C$ .

Nhận xét. Cách 2 dùng tính chất góc ngoài nên tính $A M B$ trước $B A M$ , thứ tự ngược với Cách 1 nhưng cho cùng kết quả — hữu ích để kiểm tra chéo.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính

B A M = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

trực tiếp rồi so với

B = 6 0^{\circ}

— không cần định lí góc ngoài, ít khái niệm hơn Cách 2.

Đáp số.

△ C A M

cân tại

M

;

△ B A M

đều;

M

là trung điểm

B C

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là kết luận tam giác

C A M

cân tại

A

hoặc tại

C

thay vì tại

M

(phải xác định đúng đỉnh đối diện cạnh có hai góc đáy bằng nhau là

C M

... thực chất đỉnh cân là giao điểm của hai cạnh bằng nhau, ở đây là

M

vì

M A = M C

), hoặc quên chứng minh riêng

M A = M B

trước khi kết luận

M

là trung điểm.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi góc

C A M

thành một giá trị khác

3 0^{\circ}

(nhưng vẫn nhỏ hơn

9 0^{\circ}

) thì

△ C A M

vẫn cân tại

M

khi

C A M = C = 3 0^{\circ}

không đổi (vì

C

cố định bởi

B = 6 0^{\circ}

), nhưng

△ B A M

chỉ đều khi đúng

C A M = 3 0^{\circ}

như đề — cho thấy

3 0^{\circ}

không phải số tuỳ ý mà được chọn khớp với

B = 6 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗