Chương VI. Tỉ lệ thức và đại lượng tỉ lệ

Ôn tập chương VI

Sách bài tập Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 2 · 16 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Câu hỏi 1★★Trang 16— Trắc nghiệm nhận biết tỉ lệ thức từ đẳng thức tích

Phát biểu nào sau đây là sai? Nếu

a d = b c

(với

a, b, c, d \neq = 0

) thì A.

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

; B.

\frac{a}{c} = \frac{b}{d}

; C.

\frac{d}{b} = \frac{c}{a}

; D.

\frac{d}{a} = \frac{b}{c}

Kiến thức cần nhớ

$a d = b c$ (với $a, b, c, d \neq = 0$ ) tương đương với cả bốn tỉ lệ thức: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ; $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ ; $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$ ; $\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba trong bốn phương án là các cách hoán vị ngoại tỉ – trung tỉ chuẩn từ

a d = b c

. Dấu hiệu để tìm ra phương án sai là phải quy mỗi phương án về đúng một đẳng thức tích rồi so với

a d = b c

ban đầu, thay vì đoán bằng mắt.

1Cách 1. Quy mỗi phương án về đẳng thức tích rồi so với

a d = b c

Định hướng. Với mỗi phương án, nhân chéo để được một đẳng thức tích, rồi so xem có trùng (hoặc tương đương) với $a d = b c$ hay không.

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a d = b c

— đúng

\frac{a}{c} = \frac{b}{d} \Rightarrow a d = c b = b c

— đúng

\frac{d}{b} = \frac{c}{a} \Rightarrow d a = b c

, tức

a d = b c

— đúng

\frac{d}{a} = \frac{b}{c} \Rightarrow d c = ab

— khác hẳn

a d = b c

, không tương đương

Vậy đáp án đúng là D (phát biểu sai).

2Cách 2. Thử với một bộ số cụ thể thỏa

a d = b c

Định hướng. Chọn $a = 2, b = 4, c = 3, d = 6$ (có $a d = 12 = b c$ ), thay vào bốn phương án để kiểm tra trực tiếp bằng số.

\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = 0, 5

— đúng

\frac{2}{3} = \frac{4}{6} \approx 0, 667

— đúng

\frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1, 5

— đúng

\frac{6}{2} = 3

còn

\frac{4}{3} \approx 1, 333

— hai vế khác nhau, sai

Vậy đáp án đúng là D.

Nhận xét. Cách 2 nhanh hơn khi cần kiểm tra thi trắc nghiệm, nhưng Cách 1 mới chỉ ra được vì sao D sai cho MỌI bộ số chứ không chỉ một ví dụ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chọn nhanh một bộ số cụ thể thỏa

a d = b c

rồi thử cả bốn phương án, khỏi phải nhân chéo tổng quát như Cách 1.

Đáp số. Đáp án D.

Sai lầm thường gặp. Nhầm rằng mọi cách hoán vị bốn chữ

a, b, c, d

quanh dấu 'bằng' đều cho tỉ lệ thức đúng, trong khi chỉ những hoán vị giữ nguyên (hoặc đảo cả cặp) mới tương đương với

a d = b c

; phương án D đã đổi vai trò ngoại tỉ — trung tỉ sai quy tắc.

🚀 Mở rộng. Từ

a d = b c

còn hai tỉ lệ thức nữa không có trong đề:

\frac{b}{a} = \frac{d}{c}

và

\frac{c}{a} = \frac{d}{b}

— đều suy được bằng đúng phương pháp ở Cách 1.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Câu hỏi 2★★Trang 16— Trắc nghiệm tính chất mở rộng của dãy tỉ số bằng nhau

Cho dãy tỉ số bằng nhau

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}

. Phát biểu nào sau đây là đúng? A.

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a + c - e}{b - d + f}

; B.

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a - c + e}{b + d - f}

; C.

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a - e}{b - f}

; D.

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a + c}{b + f}

Kiến thức cần nhớ

Với $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}$ và các hệ số $m, n, p$ bất kì sao cho mẫu khác $0$ : $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{ma + n c + p e}{mb + n d + p f}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tính chất mở rộng của dãy tỉ số bằng nhau chỉ đúng khi TỔ HỢP hệ số ở tử và hệ số ở mẫu giống hệt nhau (cùng dấu cộng/trừ cho từng cặp

a

b

c

d

e

f

). Dấu hiệu để loại nhanh các phương án sai là so hệ số ở tử với hệ số ở mẫu tương ứng, không cần thử số ngay từ đầu.

1Cách 1. So hệ số ở tử với hệ số ở mẫu tương ứng

Định hướng. Tính chất chỉ đúng khi hệ số nhân với $a, c, e$ (ở tử) trùng với hệ số nhân với $b, d, f$ (ở mẫu) theo đúng thứ tự; kiểm tra từng phương án theo tiêu chí này.

A) tử

(1, 1, - 1)

ứng

a, c, e

; mẫu

(1, - 1, 1)

ứng

b, d, f

— không trùng, sai

B) tử

(1, - 1, 1)

; mẫu

(1, 1, - 1)

— không trùng, sai

C) tử

a - e

có hệ số

(1, 0, - 1)

; mẫu

b - f

có hệ số

(1, 0, - 1)

— trùng, đúng

D) tử

a + c

có hệ số

(1, 1, 0)

; mẫu

b + f

có hệ số

(1, 0, 1)

— không trùng, sai

Vậy đáp án đúng là C.

2Cách 2. Thử với bộ số cụ thể có tỉ số bằng 2

Định hướng. Chọn $a = 2, b = 1, c = 4, d = 2, e = 6, f = 3$ (đều có tỉ số $= 2$ ), thay vào bốn phương án, phương án nào cũng cho kết quả $2$ là đáp án đúng.

\frac{2 + 4 - 6}{1 - 2 + 3} = \frac{0}{2} = 0 \neq = 2

— loại

\frac{2 - 4 + 6}{1 + 2 - 3} = \frac{4}{0}

không xác định — loại

\frac{2 - 6}{1 - 3} = \frac{- 4}{- 2} = 2

— đúng

\frac{2 + 4}{1 + 3} = \frac{6}{4} = 1, 5 \neq = 2

— loại

Vậy đáp án đúng là C.

Nhận xét. Cách 2 phát hiện nhanh cả ba phương án sai bằng một bộ số duy nhất, nhưng Cách 1 mới lí giải được VÌ SAO chúng sai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một bộ số duy nhất loại được cả ba phương án sai cùng lúc, nhanh hơn phân tích hệ số như Cách 1.

Đáp số. Đáp án C.

Sai lầm thường gặp. Ghép nhầm dấu cộng/trừ ở mẫu không theo đúng thứ tự với tử — ví dụ phương án A trông có vẻ 'đối xứng' nhưng dấu trừ lại nằm ở vị trí khác (

- d

thay vì

- e

tương ứng), phá vỡ điều kiện hệ số phải trùng nhau.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hơn, với dãy

\frac{a _{1}}{b _{1}} = \dots = \frac{a _{n}}{b _{n}}

, mọi tổ hợp

\frac{\sum m _{i} a _{i}}{\sum m _{i} b _{i}}

(cùng bộ hệ số

m_{i}

ở cả tử và mẫu) đều bằng tỉ số chung, miễn mẫu khác

0

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Câu hỏi 3★★Trang 16— Trắc nghiệm hệ số tỉ lệ thuận theo hai chiều

Cho đại lượng

y

liên hệ với đại lượng

x

theo công thức

y = \frac{2}{3} x

. Gọi

x_{1}, x_{2}, x_{3}

lần lượt là các giá trị khác nhau của

x

;

y_{1}, y_{2}, y_{3}

lần lượt là các giá trị tương ứng của

y

. Phát biểu nào sau đây là sai? A.

y

tỉ lệ thuận với

x

theo hệ số tỉ lệ

\frac{2}{3}

; B.

x

tỉ lệ thuận với

y

theo hệ số tỉ lệ

\frac{2}{3}

; C.

\frac{y _{1}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{x _{2}} = \frac{y _{3}}{x _{3}} = \frac{2}{3}

; D.

\frac{x _{1}}{y _{1}} = \frac{x _{2}}{y _{2}} = \frac{x _{3}}{y _{3}} = \frac{3}{2}

Kiến thức cần nhớ

Nếu $y = k x$ ( $k \neq = 0$ ) thì $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số $k$ , đồng thời $x = \frac{1}{k} y$ nên $x$ tỉ lệ thuận với $y$ theo hệ số $\frac{1}{k}$ (khác $k$ trừ khi $k = \pm 1$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu của bài là phải phân biệt hệ số tỉ lệ của

y

theo

x

với hệ số tỉ lệ của

x

theo

y

. Hai hệ số này là NGHỊCH ĐẢO của nhau chứ không bằng nhau — đây chính là bẫy nằm ở phương án B.

1Cách 1. Biến đổi công thức

y = \frac{2}{3} x

sang chiều

x

theo

y

Định hướng. Từ $y = \frac{2}{3} x$ , giải ngược để biểu diễn $x$ theo $y$ , từ đó đọc đúng hệ số tỉ lệ của $x$ theo $y$ rồi so với từng phương án.

y = \frac{2}{3} x \Rightarrow x = \frac{3}{2} y

A) hệ số của

y

theo

x

là

\frac{2}{3}

— đúng

B) hệ số của

x

theo

y

phải là

\frac{3}{2}

, không phải

\frac{2}{3}

— sai

\frac{y _{i}}{x _{i}} = \frac{2}{3}

với mọi

i

— đúng

\frac{x _{i}}{y _{i}} = \frac{3}{2}

với mọi

i

— đúng

Vậy đáp án đúng là B (phát biểu sai).

2Cách 2. Thay một giá trị cụ thể để kiểm tra trực tiếp

Định hướng. Chọn $x_{1} = 3$ , tính $y_{1}$ tương ứng rồi thử xem hệ số ở phương án B có cho đúng $x_{1}$ từ $y_{1}$ hay không.

x_{1} = 3 \Rightarrow y_{1} = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2

Theo B,

x_{1}

phải bằng

\frac{2}{3} \cdot y_{1} = \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3} \neq = 3

— vô lí

Theo D,

x_{1} = \frac{3}{2} \cdot y_{1} = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3

— khớp với giá trị đã chọn

Vậy phương án B cho hệ số sai; đáp án đúng là B.

Nhận xét. Cách 2 chỉ ra ngay chỗ vô lí bằng số, còn Cách 1 giải thích được vì sao bản chất hệ số phải nghịch đảo.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: giải ngược công thức một lần rồi đọc thẳng cả bốn phương án, nhanh hơn thay số riêng cho từng phương án như Cách 2.

Đáp số. Đáp án B.

Sai lầm thường gặp. Nghĩ rằng 'tỉ lệ thuận thì đổi chiều vẫn giữ nguyên hệ số', trong khi hệ số tỉ lệ của chiều ngược lại luôn là NGHỊCH ĐẢO của hệ số ban đầu — chỉ bằng nhau khi hệ số gốc là

1

hoặc

- 1

🚀 Mở rộng. Nếu công thức là

y = 5 x

thì

x

tỉ lệ thuận với

y

theo hệ số

\frac{1}{5}

chứ không phải

5

— thử lại quy tắc 'nghịch đảo hệ số' với con số này để khắc sâu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Câu hỏi 4★★Trang 16— Trắc nghiệm nhận biết đại lượng tỉ lệ nghịch

Cho đại lượng

y

liên hệ với đại lượng

x

theo công thức

y = \frac{12}{x}

. Gọi

x_{1}, x_{2}, x_{3}

lần lượt là các giá trị khác nhau của

x

;

y_{1}, y_{2}, y_{3}

lần lượt là các giá trị tương ứng của

y

. Phát biểu nào sau đây là đúng? A.

x_{1} y_{1} = x_{2} y_{2} = x_{3} y_{3} = 12

; B. Hai đại lượng

x

và

y

tỉ lệ thuận với nhau; C.

\frac{y _{1}}{y _{2}} = \frac{x _{1}}{x _{2}}

;

\frac{y _{1}}{y _{3}} = \frac{x _{1}}{x _{3}}

;

\frac{y _{2}}{y _{3}} = \frac{x _{2}}{x _{3}}

; D.

\frac{y _{1}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{x _{2}} = \frac{y _{3}}{x _{3}}

Kiến thức cần nhớ

$y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số $a$ khi $y = \frac{a}{x}$ , tương đương $x y = a$ không đổi; với $x_{1} \neq = x_{2}$ : $\frac{y _{1}}{y _{2}} = \frac{x _{2}}{x _{1}}$ (tỉ số ngược, không phải tỉ số thuận).

🧠 Phân tích tư duy

Công thức

y = \frac{12}{x}

là dấu hiệu chuẩn của tỉ lệ NGHỊCH (

x y = 12

không đổi), khác hẳn dạng

y = k x

của tỉ lệ thuận. Cái bẫy là các phương án B, C, D đều mô tả tính chất của tỉ lệ THUẬN nên nhìn quen mắt dễ chọn nhầm.

1Cách 1. Kiểm tra từng phương án bằng biến đổi đại số tổng quát

Định hướng. Từ $y = \frac{12}{x}$ suy ra $x y = 12$ ; dùng đẳng thức này để xét đúng/sai từng phương án.

y = \frac{12}{x} \Rightarrow x y = 12

, đúng với mọi

i

x_{i} y_{i} = 12

— đúng

x y = 12

không đổi là dấu hiệu tỉ lệ NGHỊCH, không phải tỉ lệ thuận — sai

\frac{y _{1}}{y _{2}} = \frac{12/ x _{1}}{12/ x _{2}} = \frac{x _{2}}{x _{1}}

, khác

\frac{x _{1}}{x _{2}}

trừ khi

x_{1} = x_{2}

— sai

\frac{y _{i}}{x _{i}} = \frac{12}{x _{i}^{2}}

đổi theo từng

x_{i}

, không phải hằng số — sai

Vậy đáp án đúng là A.

2Cách 2. Thay ba giá trị cụ thể của

x

rồi kiểm tra bằng số

Định hướng. Chọn $x_{1} = 2, x_{2} = 3, x_{3} = 4$ , tính $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ tương ứng rồi thử trực tiếp bốn phương án bằng số.

x_{1} = 2 \Rightarrow y_{1} = 6

;

x_{2} = 3 \Rightarrow y_{2} = 4

;

x_{3} = 4 \Rightarrow y_{3} = 3

2 \cdot 6 = 3 \cdot 4 = 4 \cdot 3 = 12

— đúng

\frac{y _{1}}{y _{2}} = \frac{6}{4} = 1, 5

còn

\frac{x _{1}}{x _{2}} = \frac{2}{3} \approx 0, 667

— khác nhau, sai

\frac{y _{1}}{x _{1}} = 3

còn

\frac{y _{2}}{x _{2}} = \frac{4}{3} \approx 1, 333

— khác nhau, sai

Vậy đáp án đúng là A.

Nhận xét. Cách 2 chỉ cần một bộ số là loại được C, D; Cách 1 chứng minh được điều đó đúng cho MỌI bộ số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra ngay

y = \frac{12}{x}

là công thức tỉ lệ nghịch nên loại thẳng B, C, D bằng lí luận, không cần tính số như Cách 2.

Đáp số. Đáp án A.

Sai lầm thường gặp. Nhầm tính chất của tỉ lệ nghịch với tỉ lệ thuận, áp dụng máy móc

\frac{y _{1}}{y _{2}} = \frac{x _{1}}{x _{2}}

(đúng cho tỉ lệ thuận) vào bài tỉ lệ nghịch — trong khi tỉ lệ nghịch phải là

\frac{y _{1}}{y _{2}} = \frac{x _{2}}{x _{1}}

(tỉ số NGƯỢC).

🚀 Mở rộng. Đổi công thức thành

y = \frac{12}{x}

sang dạng tỉ lệ thuận

y = 12 x

rồi liệt kê lại bốn phương án tương tự, sẽ thấy vai trò đúng/sai của A và B đổi chỗ cho nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Câu hỏi 5★★Trang 17— Trắc nghiệm nhận diện tỉ lệ thuận – tỉ lệ nghịch trong thực tế

Quan hệ của các đại lượng nào sau đây là quan hệ tỉ lệ thuận? A. Vận tốc trung bình của ô tô và thời gian chuyển động của ô tô trên một quãng đường cố định; B. Số người và số ngày khi thực hiện một lượng công việc không đổi và năng suất lao động của mỗi người là như nhau; C. Quãng đường đi được và thời gian chuyển động của vật chuyển động đều; D. Chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật có diện tích không đổi.

Kiến thức cần nhớ

Quãng đường $=$ vận tốc $\times$ thời gian: $S = v t$ .
Tổng công việc $=$ (số người) $\times$ (số ngày) $\times$ (năng suất một người): với năng suất và tổng công việc không đổi, số người và số ngày tỉ lệ nghịch.
Diện tích hình chữ nhật $=$ chiều dài $\times$ chiều rộng.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu để phân loại là viết ra công thức liên hệ hai đại lượng ở mỗi phương án: nếu đại lượng này bằng HẰNG SỐ nhân đại lượng kia (

y = k x

) thì tỉ lệ thuận; nếu TÍCH của chúng là hằng số (

x y = a

) thì tỉ lệ nghịch. Bẫy là cả bốn phương án đều quen thuộc trong đời sống nên dễ đoán theo cảm tính thay vì viết công thức.

1Cách 1. Viết công thức liên hệ rồi xét dạng

y = k x

hay

x y = a

Định hướng. Với mỗi phương án, gọi tên hai đại lượng bằng chữ, viết công thức liên hệ rồi so với hai dạng chuẩn $y = k x$ (tỉ lệ thuận) và $x y = a$ (tỉ lệ nghịch).

S = v t

không đổi

\Rightarrow v = \frac{S}{t}

, tích không phải hằng số nhưng

v \cdot t = S

không đổi —

v

và

t

tỉ lệ nghịch

B) (số người)

\times

(số ngày)

=

hằng số (tổng công việc chia năng suất) — tỉ lệ nghịch

S = v t

với

v

không đổi

\Rightarrow S

tỉ lệ thuận với

t

theo hệ số

v

D) (chiều rộng)

\times

(chiều dài)

=

diện tích không đổi — tỉ lệ nghịch

Vậy đáp án đúng là C.

2Cách 2. Thử bằng số liệu cụ thể cho từng phương án

Định hướng. Gán số liệu cụ thể cho mỗi phương án, tính thương hoặc tích để nhận ra đại lượng nào không đổi.

A) quãng đường

120

km:

v = 60 \Rightarrow t = 2

;

v = 40 \Rightarrow t = 3

; thương

\frac{v}{t}

không cố định (

30

rồi

13, 3

), nhưng tích

v t = 120

luôn cố định — nghịch

v = 60

không đổi:

t = 1 \Rightarrow S = 60

;

t = 2 \Rightarrow S = 120

; thương

\frac{S}{t} = 60

luôn cố định — thuận

D) diện tích

24

: rộng

4 \Rightarrow

dài

6

; rộng

6 \Rightarrow

dài

4

; tích luôn

24

— nghịch

Vậy chỉ phương án C có thương không đổi, đáp án đúng là C.

Nhận xét. Cách 1 tổng quát cho MỌI số liệu, Cách 2 minh họa bằng số cụ thể để dễ hình dung.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: viết thẳng công thức

S = v t

x y = a

cho từng phương án rồi kết luận ngay, khỏi mất thời gian gán số như Cách 2.

Đáp số. Đáp án C.

Sai lầm thường gặp. Thấy đại lượng nào cũng 'liên quan tỉ lệ' trong đời sống là vội cho là tỉ lệ thuận; thực ra ba trong bốn phương án (A, B, D) đều có dạng tích không đổi — tức tỉ lệ NGHỊCH — chỉ có C là tỉ lệ thuận thật sự.

🚀 Mở rộng. Đổi phương án A thành 'quãng đường và thời gian với vận tốc không đổi' thì quan hệ đó lại chính là tỉ lệ thuận giống C — cho thấy vai trò của đại lượng nào GIỮ KHÔNG ĐỔI quyết định đó là tỉ lệ thuận hay nghịch.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Câu hỏi 6★★Trang 17— Trắc nghiệm ghép chuỗi tỉ lệ thuận — tỉ lệ nghịch

Cho

x

tỉ lệ thuận với

y

theo hệ số tỉ lệ

2

và

y

tỉ lệ nghịch với

z

theo hệ số tỉ lệ

8

. Phát biểu nào sau đây là đúng? A.

x

tỉ lệ nghịch với

z

theo hệ số tỉ lệ

16

; B.

x

tỉ lệ nghịch với

z

theo hệ số tỉ lệ

4

; C.

x

tỉ lệ thuận với

z

theo hệ số tỉ lệ

16

; D.

x

tỉ lệ thuận với

z

theo hệ số tỉ lệ

4

Kiến thức cần nhớ

$x$ tỉ lệ thuận với $y$ hệ số $k_{1}$ : $x = k_{1} y$ . $y$ tỉ lệ nghịch với $z$ hệ số $k_{2}$ : $y = \frac{k _{2}}{z}$ . Thế vào: $x = \frac{k _{1} k _{2}}{z}$ — $x$ tỉ lệ nghịch với $z$ , hệ số $k_{1} k_{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bài ghép hai quan hệ liên tiếp:

x

tỉ lệ thuận với

y

, còn

y

lại tỉ lệ nghịch với

z

. Dấu hiệu để xử lí là viết cả hai công thức rồi THẾ

y

từ công thức thứ hai vào công thức thứ nhất, không được suy luận cảm tính 'thuận nối nghịch thành thuận hay nghịch' mà không tính cụ thể.

1Cách 1. Viết hai công thức rồi thế biến để khử

y

Định hướng. Viết công thức của $x$ theo $y$ và của $y$ theo $z$ , sau đó thế $y$ vào để có công thức trực tiếp giữa $x$ và $z$ .

x = 2 y

y = \frac{8}{z}

x = 2 \cdot \frac{8}{z} = \frac{16}{z}

x z = 16

— hằng số

Vậy $x$ tỉ lệ nghịch với $z$ theo hệ số $16$ , đáp án đúng là A.

2Cách 2. Chọn giá trị cụ thể của

z

rồi tính ngược ra

x

Định hướng. Chọn hai giá trị của $z$ , tính $y$ rồi tính $x$ tương ứng, xem tích hay thương $x, z$ giữ không đổi.

z = 4 \Rightarrow y = \frac{8}{4} = 2 \Rightarrow x = 2 \cdot 2 = 4

;

x \cdot z = 4 \cdot 4 = 16

z = 8 \Rightarrow y = \frac{8}{8} = 1 \Rightarrow x = 2 \cdot 1 = 2

;

x \cdot z = 2 \cdot 8 = 16

Vậy tích $x z$ luôn bằng $16$ , tức $x$ tỉ lệ nghịch với $z$ hệ số $16$ ; đáp án đúng là A.

Nhận xét. Cách 2 xác nhận bằng số cụ thể, Cách 1 chứng minh bằng công thức tổng quát cho kết quả chắc chắn hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thế công thức một lần ra ngay

x = \frac{16}{z}

, khỏi phải thử nhiều giá trị như Cách 2.

Đáp số. Đáp án A.

Sai lầm thường gặp. Cộng dồn cảm tính 'thuận rồi nghịch nên hệ số cộng lại' ra

2 + 8 = 10

, hoặc trừ ra

8 - 2 = 6

— cả hai đều sai vì hệ số của quan hệ ghép chuỗi phải nhân với nhau (

2 \times 8 = 16

), không phải cộng hay trừ.

🚀 Mở rộng. Nếu ghép thêm bước thứ ba —

z

tỉ lệ thuận với

t

hệ số

3

— thì

x = \frac{16}{z} = \frac{16}{3 t}

, tức

x

lại tỉ lệ nghịch với

t

, hệ số

\frac{16}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 6.33★★Trang 17— Xét sự tồn tại và lập tỉ lệ thức từ bốn số cho trước

Bài 6.33 (trang 17). Có thể lập được tỉ lệ thức từ các số sau đây không? Nếu được, hãy viết tất cả các tỉ lệ thức có thể lập được.
a.

- 49

;

- 28

;

4

;

7

.
b.

4

;

18

;

64

;

256

Kiến thức cần nhớ

Bốn số $a, b, c, d$ chia được thành hai cặp $(a, d)$ và $(b, c)$ có $a \cdot d = b \cdot c$ thì lập được tỉ lệ thức; nếu không có cách chia cặp nào cho tích bằng nhau thì bốn số đó không lập được tỉ lệ thức.

🧠 Phân tích tư duy

Khác bài chỉ toàn số dương, câu a) có số âm nên phải cẩn thận dấu khi tính tích. Câu b) là bẫy chính của bài — phải thử ĐỦ cả ba cách chia cặp rồi mới được kết luận 'không lập được', không được dừng lại sau một hai lần thử không ra.

1Cách 1. Liệt kê đủ ba cách chia cặp rồi so tích

Định hướng. Với mỗi câu, xét đủ ba cách chia bốn số thành hai cặp, tính tích từng cặp rồi so sánh.

(- 49) \cdot (- 28) = 1372

và

4 \cdot 7 = 28

— khác nhau

(- 49) \cdot 4 = - 196

và

(- 28) \cdot 7 = - 196

— bằng nhau

(- 49) \cdot 7 = - 343

và

(- 28) \cdot 4 = - 112

— khác nhau

4 \cdot 18 = 72

và

64 \cdot 256 = 16384

— khác nhau

4 \cdot 64 = 256

và

18 \cdot 256 = 4608

— khác nhau

4 \cdot 256 = 1024

và

18 \cdot 64 = 1152

— khác nhau

Vậy a) lập được tỉ lệ thức từ cặp $(- 49, 4)$ và $(- 28, 7)$ : $\frac{- 49}{- 28} = \frac{7}{4}$ ; $\frac{- 49}{7} = \frac{- 28}{4}$ ; $\frac{4}{- 28} = \frac{7}{- 49}$ ; $\frac{4}{7} = \frac{- 28}{- 49}$ . b) không có cách chia cặp nào cho tích bằng nhau nên KHÔNG lập được tỉ lệ thức nào.

2Cách 2. Rút gọn các tỉ số có thể lập được để tìm cặp bằng nhau

Định hướng. Rút gọn từng tỉ số có thể tạo từ bốn số về phân số tối giản, hai tỉ số nào ra cùng một phân số thì bằng nhau.

\frac{- 49}{- 28} = \frac{7}{4}

;

\frac{4}{7}

; hai tỉ số này chính là

\frac{7}{4}

và

\frac{4}{7}

— nghịch đảo, không bằng nhau; xét thêm

\frac{- 49}{4} = - \frac{49}{4}

và

\frac{- 28}{7} = - 4

— khác; nhưng

\frac{- 49}{- 28} = \frac{7}{4}

trùng với

\frac{- 49 \cdot 4}{- 28 \cdot 4}

… quay lại thử theo cặp như Cách 1 cho chắc:

\frac{- 49}{- 28} = \frac{7}{4}

, đúng bằng tỉ số

\frac{7}{4}

b) rút gọn:

\frac{4}{18} = \frac{2}{9}

;

\frac{4}{64} = \frac{1}{16}

;

\frac{4}{256} = \frac{1}{64}

;

\frac{18}{64} = \frac{9}{32}

;

\frac{18}{256} = \frac{9}{128}

;

\frac{64}{256} = \frac{1}{4}

— sáu phân số tối giản này đôi một khác nhau

Vậy a) có tỉ lệ thức $\frac{- 49}{- 28} = \frac{7}{4}$ (và các hoán vị của nó); b) không có hai tỉ số nào bằng nhau nên không lập được tỉ lệ thức.

3Cách 3. Đưa các số về cùng một cơ số lũy thừa để so sánh nhanh (áp dụng cho câu b)

Định hướng. Bốn số của câu b) đều là lũy thừa của $2$ ; viết chúng theo số mũ để việc so sánh tích quy về so sánh TỔNG các số mũ, làm rõ vì sao không có cặp nào bằng nhau.

4 = 2^{2}

18 = 2 \cdot 3^{2}

64 = 2^{6}

256 = 2^{8}

Cặp

(4, 256)

và

(18, 64)

: số mũ của

2

là

2 + 8 = 10

và

1 + 6 = 7

— khác nhau, và

18

còn dư thừa số

3^{2}

nên hai tích càng không thể bằng nhau

Cặp

(4, 64)

và

(18, 256)

: số mũ

2 + 6 = 8

và

1 + 8 = 9

(chưa kể thừa số

3^{2}

ở

18

) — khác nhau

Vậy vì $18$ mang thừa số nguyên tố $3$ mà $4, 64, 256$ đều là lũy thừa của $2$ , không có cách ghép cặp nào cho tích bằng nhau — khẳng định lại câu b) không lập được tỉ lệ thức.

Nhận xét. Cách 3 lí giải được NGUYÊN NHÂN sâu xa (thừa số nguyên tố lệch nhau) chứ không chỉ dừng ở việc thử số như Cách 1, 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: liệt kê đủ ba tích rồi so sánh trực tiếp, nhanh và chắc chắn không bỏ sót trường hợp nào.

Đáp số. a)

\frac{- 49}{- 28} = \frac{7}{4}

;

\frac{- 49}{7} = \frac{- 28}{4}

;

\frac{4}{- 28} = \frac{7}{- 49}

;

\frac{4}{7} = \frac{- 28}{- 49}

. b) Không lập được tỉ lệ thức nào.

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), thử một hai cách chia cặp không ra liền vội kết luận 'chắc là lập được, chỉ chưa tìm đúng cặp' rồi đoán bừa — phải thử ĐỦ cả ba cách chia cặp (chỉ có ba cách duy nhất) mới được kết luận chắc chắn là không lập được.

🚀 Mở rộng. Đổi số cuối của câu b) từ

256

thành

288 = 18 \cdot 16

thì sẽ lập được tỉ lệ thức

\frac{4}{18} = \frac{64}{288}

vì khi đó

4 \cdot 288 = 18 \cdot 64 = 1152

— thử tính lại để thấy sự khác biệt so với đề gốc.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 6.34★★Trang 17— Suy luận tỉ lệ thức mới từ một tỉ lệ thức có số cụ thể

Bài 6.34 (trang 17). Từ tỉ lệ thức

\frac{x}{y} = \frac{4}{3}

(với

x, y \neq = 0

) có thể suy ra những tỉ lệ thức nào?

Kiến thức cần nhớ

Từ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ suy ra $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ ; $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$ ; $\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$ ; và $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} = \frac{a - c}{b - d}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đây là phiên bản có số cụ thể của Bài 6.35 SGK (

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

) với

c = 4, d = 3

. Dấu hiệu là áp dụng đúng quy tắc hoán vị ngoại tỉ, trung tỉ đã học, thay vì làm lại từ đầu bằng tích chéo cho riêng bài này.

1Cách 1. Đưa về đẳng thức tích rồi hoán vị ngoại tỉ, trung tỉ

Định hướng. Từ $\frac{x}{y} = \frac{4}{3}$ suy ra $3 x = 4 y$ , sau đó hoán vị các số trong đẳng thức tích để tạo tỉ lệ thức mới.

\frac{x}{y} = \frac{4}{3} \Rightarrow 3 x = 4 y

3 x = 4 y \Rightarrow \frac{x}{4} = \frac{y}{3}

3 x = 4 y \Rightarrow \frac{3}{y} = \frac{4}{x}

3 x = 4 y \Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{y}{x}

Vậy suy ra thêm $\frac{x}{4} = \frac{y}{3}$ ; $\frac{3}{y} = \frac{4}{x}$ ; $\frac{3}{4} = \frac{y}{x}$ .

2Cách 2. Đặt

x = 4 k, y = 3 k

rồi kiểm chứng bằng phép thế

Định hướng. Vì $\frac{x}{4} = \frac{y}{3}$ nên đặt giá trị chung là $k$ , viết $x = 4 k, y = 3 k$ , thay vào để kiểm tra lại các tỉ lệ thức vừa suy ra.

x = 4 k, y = 3 k

\frac{3}{y} = \frac{3}{3 k} = \frac{1}{k}

và

\frac{4}{x} = \frac{4}{4 k} = \frac{1}{k}

— bằng nhau, khớp Cách 1

\frac{y}{x} = \frac{3 k}{4 k} = \frac{3}{4}

— khớp Cách 1

Vậy các tỉ lệ thức ở Cách 1 đều đúng: $\frac{x}{4} = \frac{y}{3}$ ; $\frac{3}{y} = \frac{4}{x}$ ; $\frac{3}{4} = \frac{y}{x}$ .

3Cách 3. Dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Định hướng. Coi $\frac{x}{4} = \frac{y}{3}$ là một dãy hai tỉ số bằng nhau, áp dụng tính chất cộng — trừ tương ứng ở tử và mẫu.

\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = \frac{x + y}{4 + 3} = \frac{x + y}{7}

\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = \frac{x - y}{4 - 3} = \frac{x - y}{1} = x - y

Vậy ngoài các tỉ lệ thức hoán vị, còn suy ra $\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = \frac{x + y}{7} = x - y$ .

Nhận xét. Cách 1, 2 cho cùng một nhóm tỉ lệ thức hoán vị; Cách 3 cho thêm một nhóm tỉ lệ thức khác hẳn dựa trên tổng — hiệu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần một đẳng thức tích

3 x = 4 y

rồi hoán vị máy móc là ra đủ ba tỉ lệ thức, không cần đặt thêm ẩn phụ như Cách 2.

Đáp số. Từ

\frac{x}{y} = \frac{4}{3}

suy ra

\frac{x}{4} = \frac{y}{3}

;

\frac{3}{y} = \frac{4}{x}

;

\frac{3}{4} = \frac{y}{x}

; và

\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = \frac{x + y}{7} = x - y

Sai lầm thường gặp. Viết nhầm

\frac{x}{3} = \frac{y}{4}

(đổi chỗ

3

và

4

sai vị trí so với đề gốc

\frac{x}{y} = \frac{4}{3}

) — phản ví dụ: với

x = 4, y = 3

(thỏa đề) thì

\frac{x}{3} = \frac{4}{3}

còn

\frac{y}{4} = \frac{3}{4}

, hai số này khác nhau nên viết sai.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi tỉ lệ thức gốc thành

\frac{x}{y} = \frac{4}{3} = \frac{z}{9}

(dãy ba tỉ số) thì suy ra được thêm nhiều tỉ lệ thức hơn, ví dụ

\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = \frac{z}{9} = \frac{x + y + z}{16}

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 6.35★★Trang 17— Tìm thành phần chưa biết trong tỉ lệ thức (nhiều dạng viết)

Bài 6.35 (trang 17). Tìm

x

trong mỗi tỉ lệ thức sau:
a.

\frac{x}{- 2 , 5} = \frac{- 20}{25}

;
b.

3, 8 : x = 0, 75 : 1, 5

;
c.

\frac{x + 5}{4} = - \frac{1}{2}

Kiến thức cần nhớ

Tính chất cơ bản: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ tương đương $a d = b c$ ; tỉ số $a : b$ chính là phân số $\frac{a}{b}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba câu cùng một bản chất — tính chất cơ bản của tỉ lệ thức — nhưng viết dưới ba hình thức khác nhau: phân số (a), tỉ số hai chấm (b), và biểu thức chứa

x

ở tử (c). Dấu hiệu là phải đưa cả ba về đúng một dạng

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

trước khi nhân chéo.

1Cách 1. Đưa về dạng phân số rồi nhân chéo

Định hướng. Viết lại mỗi câu dưới dạng $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ rồi áp dụng tính chất cơ bản để tìm $x$ .

\frac{x}{- 2 , 5} = \frac{- 20}{25} \Rightarrow 25 x = - 2, 5 \cdot (- 20) = 50 \Rightarrow x = 2

3, 8 : x = 0, 75 : 1, 5

viết lại thành

\frac{3 , 8}{x} = \frac{0 , 75}{1 , 5}

0, 75 x = 3, 8 \cdot 1, 5 = 5, 7 \Rightarrow x = 7, 6

\frac{x + 5}{4} = - \frac{1}{2} \Rightarrow 2 (x + 5) = - 4 \Rightarrow x + 5 = - 2 \Rightarrow x = - 7

Vậy a) $x = 2$ ; b) $x = 7, 6$ ; c) $x = - 7$ .

2Cách 2. Rút gọn tỉ số đã biết trước khi tính

Định hướng. Rút gọn tỉ số không chứa $x$ về phân số tối giản để phép nhân sau đó nhẹ hơn.

\frac{- 20}{25} = - \frac{4}{5} \Rightarrow \frac{x}{- 2 , 5} = - \frac{4}{5} \Rightarrow x = - 2, 5 \cdot (- \frac{4}{5}) = 2

0, 75 : 1, 5 = \frac{1}{2} \Rightarrow 3, 8 : x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 3, 8 \cdot 2 = 7, 6

- \frac{1}{2}

đã tối giản

\Rightarrow x + 5 = 4 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 2 \Rightarrow x = - 7

Vậy a) $x = 2$ ; b) $x = 7, 6$ ; c) $x = - 7$ — trùng Cách 1.

3Cách 3. Dùng hệ số tỉ lệ (thương của hai vế đã biết)

Định hướng. Tính hệ số tỉ lệ $k$ từ cặp số đã biết đầy đủ, rồi nhân hệ số đó với số hạng còn lại để tìm $x$ .

a) hệ số

k = \frac{- 20}{25} = - 0, 8 \Rightarrow x = - 2, 5 \cdot k = - 2, 5 \cdot (- 0, 8) = 2

b) hệ số

k = \frac{0 , 75}{1 , 5} = 0, 5 \Rightarrow x = \frac{3 , 8}{k} = \frac{3 , 8}{0 , 5} = 7, 6

c) hệ số

k = - \frac{1}{2} \Rightarrow x + 5 = 4 k = - 2 \Rightarrow x = - 7

Vậy a) $x = 2$ ; b) $x = 7, 6$ ; c) $x = - 7$ .

Nhận xét. Ba cách cho cùng kết quả; Cách 2 nhẹ số nhất nhờ rút gọn trước khi nhân.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: rút gọn tỉ số đã biết trước khi nhân, tránh nhân với số thập phân 'xấu' như

\frac{- 20}{25}

ở Cách 1.

Đáp số. a)

x = 2

; b)

x = 7, 6

; c)

x = - 7

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), quên đổi tỉ số hai chấm '

3, 8 : x

' về đúng vị trí tử số khi nhân chéo, viết nhầm thành

x \cdot 0, 75 = 3, 8 \cdot 1, 5

theo phản xạ của câu a) mà không để ý

x

đang ở MẪU chứ không phải tử.

🚀 Mở rộng. Câu c) tổng quát hóa thành

\frac{x + a}{b} = \frac{c}{d}

: luôn giải được

x = \frac{b c}{d} - a

— thử lại với

a = 5, b = 4, c = - 1, d = 2

để thấy khớp đáp số

x = - 7

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 6.36★★Trang 17— Tìm hai số biết tỉ lệ và một hệ thức tổng/hiệu

Bài 6.36 (trang 17). Tìm hai số

x

và

y

, biết:
a)

\frac{x}{5} = \frac{y}{7}

và

2 x - 3 y = 22

;
b)

\frac{x}{y} = \frac{2}{3}

và

x + 2 y = 40

Kiến thức cần nhớ

Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{m} = \frac{b}{n} \Rightarrow \frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{p a}{p m} = \frac{q b}{q n} = \frac{p a + q b}{p m + q n}$ với $p, q$ là hệ số tùy chọn.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai câu cho một tỉ lệ và một đẳng thức tuyến tính khác — dấu hiệu chuẩn của bài toán dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Điểm cần chú ý là biểu thức thứ hai không phải

x + y

hay

x - y

trực tiếp mà có HỆ SỐ (

2 x - 3 y

x + 2 y

), nên phải nhân thêm hệ số vào các phần tỉ lệ trước khi ráp vào tính chất dãy tỉ số.

1Cách 1. Nhân thêm hệ số vào từng phần tỉ lệ rồi dùng dãy tỉ số bằng nhau

Định hướng. Nhân cả tử và mẫu của mỗi tỉ số với đúng hệ số xuất hiện trong đẳng thức thứ hai, để khi cộng/trừ vào nhau thì ra đúng $2 x - 3 y$ hoặc $x + 2 y$ .

\frac{x}{5} = \frac{y}{7} = \frac{2 x}{10} = \frac{3 y}{21} = \frac{2 x - 3 y}{10 - 21} = \frac{22}{- 11} = - 2

x = 5 \cdot (- 2) = - 10

;

y = 7 \cdot (- 2) = - 14

\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{x}{2} = \frac{2 y}{6} = \frac{x + 2 y}{2 + 6} = \frac{40}{8} = 5

x = 2 \cdot 5 = 10

;

y = 3 \cdot 5 = 15

Vậy a) $x = - 10, y = - 14$ ; b) $x = 10, y = 15$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ

k

rồi thế vào hệ thức đã cho

Định hướng. Đặt $x, y$ theo cùng một tham số $k$ dựa vào tỉ lệ, thế vào phương trình thứ hai để giải ra $k$ .

\frac{x}{5} = \frac{y}{7} = k \Rightarrow x = 5 k, y = 7 k

2 (5 k) - 3 (7 k) = 22 \Rightarrow 10 k - 21 k = 22 \Rightarrow - 11 k = 22 \Rightarrow k = - 2

x = 5 (- 2) = - 10

;

y = 7 (- 2) = - 14

\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = k \Rightarrow x = 2 k, y = 3 k

2 k + 2 (3 k) = 40 \Rightarrow 8 k = 40 \Rightarrow k = 5 \Rightarrow x = 10, y = 15

Vậy a) $x = - 10, y = - 14$ ; b) $x = 10, y = 15$ — trùng Cách 1.

3Cách 3. Rút một ẩn theo ẩn kia từ tỉ lệ rồi thế vào phương trình

Định hướng. Từ tỉ lệ đã cho, biểu diễn trực tiếp $x$ theo $y$ (không qua ẩn phụ $k$ ), rồi thế vào phương trình còn lại để giải bằng phương pháp thế quen thuộc.

\frac{x}{5} = \frac{y}{7} \Rightarrow x = \frac{5 y}{7}

2 \cdot \frac{5 y}{7} - 3 y = 22 \Rightarrow \frac{10 y - 21 y}{7} = 22 \Rightarrow - 11 y = 154 \Rightarrow y = - 14

x = \frac{5 \cdot ( - 14 )}{7} = - 10

\frac{x}{y} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{2 y}{3}

\frac{2 y}{3} + 2 y = 40 \Rightarrow \frac{2 y + 6 y}{3} = 40 \Rightarrow 8 y = 120 \Rightarrow y = 15 \Rightarrow x = 10

Vậy a) $x = - 10, y = - 14$ ; b) $x = 10, y = 15$ .

Nhận xét. Cách 1 gọn nhất vì không phải giải phương trình chứa phân số như Cách 3.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhân hệ số vào ngay trong dãy tỉ số bằng nhau, ra kết quả trong hai dòng, không cần đặt ẩn phụ

k

như Cách 2 hay giải phương trình phân số như Cách 3.

Đáp số. a)

x = - 10, y = - 14

; b)

x = 10, y = 15

Sai lầm thường gặp. Ở câu a), quên nhân hệ số

2

và

3

vào phần tỉ lệ trước khi cộng/trừ, viết nhầm

\frac{x}{5} = \frac{y}{7} = \frac{2 x - 3 y}{5 - 7}

(không nhân hệ số vào mẫu) — sai vì mẫu phải là

2 \cdot 5 - 3 \cdot 7 = - 11

chứ không phải

5 - 7 = - 2

🚀 Mở rộng. Đổi hệ thức câu a) thành

3 x + 2 y = - 52

: vẫn dùng đúng phương pháp nhân hệ số vào dãy tỉ số, mẫu mới sẽ là

3 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 29

, ra

k = - \frac{52}{29}

— không đẹp bằng đề gốc nhưng cách làm không đổi.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 6.37★★Trang 17— Tìm ba số biết tỉ lệ liên tiếp và một hệ thức tuyến tính

Bài 6.37 (trang 17). Tìm ba số

x

y

z

biết:

x : y : z = 3 : 5 : 8

và

5 x + y - 2 z = 112

Kiến thức cần nhớ

Với $\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{8}$ : $\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{8} = \frac{5 x}{15} = \frac{y}{5} = \frac{2 z}{16} = \frac{5 x + y - 2 z}{15 + 5 - 16}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dữ kiện

x : y : z = 3 : 5 : 8

là dãy BA tỉ số bằng nhau chứ không phải hai như bài trước. Dấu hiệu để chọn tính chất dãy tỉ số bằng nhau mở rộng cho ba tỉ số, đồng thời phải nhân đúng hệ số

5, 1, - 2

tương ứng với

x, y, z

trong biểu thức đã cho.

1Cách 1. Nhân hệ số vào từng phần tỉ lệ rồi dùng dãy tỉ số bằng nhau

Định hướng. Viết $x : y : z = 3 : 5 : 8$ thành $\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{8}$ , nhân mỗi phần với đúng hệ số $5, 1, - 2$ tương ứng trong $5 x + y - 2 z$ rồi cộng lại.

\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{8} = \frac{5 x}{15} = \frac{y}{5} = \frac{2 z}{16} = \frac{5 x + y - 2 z}{15 + 5 - 16} = \frac{112}{4} = 28

Vậy $x = 3 \cdot 28 = 84$ ; $y = 5 \cdot 28 = 140$ ; $z = 8 \cdot 28 = 224$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ

k

rồi thế vào phương trình đã cho

Định hướng. Đặt $x = 3 k, y = 5 k, z = 8 k$ , thay vào biểu thức $5 x + y - 2 z = 112$ để lập phương trình một ẩn $k$ .

x = 3 k, y = 5 k, z = 8 k

5 (3 k) + 5 k - 2 (8 k) = 112

15 k + 5 k - 16 k = 112

4 k = 112 \Rightarrow k = 28

Vậy $x = 3 \cdot 28 = 84$ ; $y = 5 \cdot 28 = 140$ ; $z = 8 \cdot 28 = 224$ — trùng Cách 1.

3Cách 3. Rút

y, z

theo

x

rồi thế vào phương trình

Định hướng. Từ tỉ lệ $x : y : z = 3 : 5 : 8$ , biểu diễn trực tiếp $y$ và $z$ theo $x$ bằng phân số (không qua ẩn phụ $k$ ), rồi thế vào phương trình còn lại.

y = \frac{5 x}{3}, z = \frac{8 x}{3}

5 x + \frac{5 x}{3} - 2 \cdot \frac{8 x}{3} = 112

\frac{15 x + 5 x - 16 x}{3} = 112 \Rightarrow \frac{4 x}{3} = 112 \Rightarrow x = 84

y = \frac{5 \cdot 84}{3} = 140; z = \frac{8 \cdot 84}{3} = 224

Vậy $x = 84, y = 140, z = 224$ .

Nhận xét. Cách 1 gọn nhất vì không phải giải phương trình chứa phân số như Cách 3.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhân hệ số vào ngay trong dãy tỉ số bằng nhau ba số hạng, ra kết quả trong đúng một dòng.

Đáp số.

x = 84, y = 140, z = 224

Sai lầm thường gặp. Quên nhân hệ số

- 2

z

khi ráp vào mẫu của dãy tỉ số, viết nhầm mẫu thành

15 + 5 - 8 = 12

(dùng

8

thay vì

2 \cdot 8 = 16

) thay vì đúng

15 + 5 - 16 = 4

🚀 Mở rộng. Đổi hệ thức thành

2 x - y + z = 254

: vẫn dùng đúng phương pháp nhân hệ số

2, - 1, 1

vào

3, 5, 8

, mẫu mới là

6 - 5 + 8 = 9

, ra

k = \frac{254}{9}

— kiểm tra lại bằng sympy để chắc chắn số liệu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 6.38★★★Trang 18— Xác định hệ số tỉ lệ nghịch và điền bảng giá trị

Bài 6.38 (trang 18). Cho biết hai đại lượng

y

và

x

tỉ lệ nghịch với nhau và các giá trị được cho trong bảng sau:

$x$	$- 1, 5$	?	$2, 4$	$4$	?
$y$	?	$6$	$- 1, 25$	?	$0, 5$

Hãy xác định hệ số tỉ lệ. Từ đó, thay dấu “?” trong bảng bằng số thích hợp.

Kiến thức cần nhớ

$y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số $a$ : $y = \frac{a}{x}$ , tương đương $x \cdot y = a$ không đổi với mọi cặp giá trị tương ứng.

🧠 Phân tích tư duy

Bảng có

5

cột nhưng chỉ MỘT cột (

x = 2, 4

;

y = - 1, 25

) cho biết đủ cả hai giá trị — dấu hiệu là phải dùng đúng cột đó để tính hệ số tỉ lệ

a = x y

trước, các ô '?' còn lại chỉ là hệ quả tính ngược từ

a

. Bẫy là chọn nhầm cột thiếu một giá trị để tính hệ số, dẫn tới không tính được.

1Cách 1. Tính hệ số từ cột đủ dữ liệu rồi suy ra từng ô còn thiếu

Định hướng. Cột thứ ba có đủ cả $x = 2, 4$ và $y = - 1, 25$ , dùng ngay cột này để tính hệ số tỉ lệ $a = x y$ , sau đó với mỗi cột còn thiếu một giá trị thì tính giá trị đó bằng $x = \frac{a}{y}$ hoặc $y = \frac{a}{x}$ .

a = 2, 4 \cdot (- 1, 25) = - 3

cột 1:

x = - 1, 5 \Rightarrow y = \frac{- 3}{- 1 , 5} = 2

cột 2:

y = 6 \Rightarrow x = \frac{- 3}{6} = - 0, 5

cột 4:

x = 4 \Rightarrow y = \frac{- 3}{4} = - 0, 75

cột 5:

y = 0, 5 \Rightarrow x = \frac{- 3}{0 , 5} = - 6

Vậy hệ số tỉ lệ $a = - 3$ ; bảng đầy đủ là $x : - 1, 5; - 0, 5; 2, 4; 4; - 6$ và $y : 2; 6; - 1, 25; - 0, 75; 0, 5$ .

2Cách 2. Lập tỉ lệ thức giữa hai cột đã biết đủ và cột cần tìm

Định hướng. Với tỉ lệ nghịch, tích không đổi nên $x_{1} y_{1} = x_{2} y_{2}$ ; ghép cột đủ dữ liệu với cột thiếu để lập tỉ lệ thức tìm ẩn, không cần tính hệ số $a$ riêng trước.

cột đủ:

x = 2, 4, y = - 1, 25

cột 1 thiếu

y

- 1, 5 \cdot y_{1} = 2, 4 \cdot (- 1, 25) \Rightarrow - 1, 5 y_{1} = - 3 \Rightarrow y_{1} = 2

cột 2 thiếu

x

x_{2} \cdot 6 = 2, 4 \cdot (- 1, 25) \Rightarrow 6 x_{2} = - 3 \Rightarrow x_{2} = - 0, 5

cột 4 thiếu

y

4 y_{4} = - 3 \Rightarrow y_{4} = - 0, 75

cột 5 thiếu

x

0, 5 x_{5} = - 3 \Rightarrow x_{5} = - 6

Vậy hệ số tỉ lệ $a = 2, 4 \cdot (- 1, 25) = - 3$ ; bảng đầy đủ trùng với Cách 1.

3Cách 3. Nhận xét dấu và độ lớn trước, tính số sau

Định hướng. Vì $a = x y = - 3 < 0$ nên $x, y$ luôn TRÁI DẤU; ước lượng dấu của từng ô trước khi tính số cụ thể để tự kiểm tra chéo kết quả.

a = - 3

(âm)

\Rightarrow

mọi cặp

(x, y)

trái dấu

cột 1:

x = - 1, 5 < 0 \Rightarrow y_{1} > 0

; tính

y_{1} = \frac{- 3}{- 1 , 5} = 2 > 0

— khớp dấu dự đoán

cột 2:

y = 6 > 0 \Rightarrow x_{2} < 0

; tính

x_{2} = \frac{- 3}{6} = - 0, 5 < 0

— khớp

cột 4:

x = 4 > 0 \Rightarrow y_{4} < 0

; tính

y_{4} = \frac{- 3}{4} = - 0, 75 < 0

— khớp

cột 5:

y = 0, 5 > 0 \Rightarrow x_{5} < 0

; tính

x_{5} = \frac{- 3}{0 , 5} = - 6 < 0

— khớp

Vậy mọi kết quả đều đúng dấu dự đoán, xác nhận lại bảng ở Cách 1, Cách 2.

Nhận xét. Cách 3 không thay cho việc tính số, nhưng là bước tự kiểm tra rất hiệu quả để phát hiện nếu tính nhầm dấu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính hệ số

a

một lần từ cột duy nhất đủ dữ liệu, rồi áp dụng công thức

y = \frac{a}{x}

cho tất cả các ô còn lại, khỏi phải lập lại tỉ lệ thức riêng cho từng cột như Cách 2.

Đáp số. Hệ số tỉ lệ

a = - 3

. Bảng đầy đủ:

x : - 1, 5; - 0, 5; 2, 4; 4; - 6

và

y : 2; 6; - 1, 25; - 0, 75; 0, 5

Sai lầm thường gặp. Chọn nhầm cột thiếu dữ liệu (ví dụ cột 1 chỉ có

x = - 1, 5

) để tính hệ số

a

, khiến phép tính không thực hiện được vì thiếu

y

tương ứng — phải nhận diện đúng cột DUY NHẤT có đủ cả hai giá trị trước khi tính

a

🚀 Mở rộng. Nếu đề chỉ cho MỘT cặp giá trị

(x_{0}, y_{0})

và hỏi tỉ lệ nghịch hay tỉ lệ thuận, phải có thêm ít nhất một cặp giá trị nữa mới đủ căn cứ phân loại — chỉ một cặp số thì luôn dựng được cả công thức tỉ lệ thuận lẫn tỉ lệ nghịch đi qua nó.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 6.39★★★Trang 18— Ghép chuỗi hai quan hệ tỉ lệ nghịch liên tiếp

Bài 6.39 (trang 18). Cho biết

y

tỉ lệ nghịch với

x

theo hệ số tỉ lệ là

4

và

z

tỉ lệ nghịch với

y

theo hệ số tỉ lệ là

6

. Hỏi đại lượng

z

tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch với đại lượng

x

và hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

$y$ tỉ lệ nghịch với $x$ hệ số $a$ : $y = \frac{a}{x}$ . Nếu $z$ tỉ lệ nghịch với $y$ hệ số $b$ : $z = \frac{b}{y}$ ; thế $y = \frac{a}{x}$ vào được $z = \frac{b}{a / x} = \frac{b x}{a}$ — dạng $z = k x$ , tức $z$ tỉ lệ THUẬN với $x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bài ghép HAI quan hệ tỉ lệ nghịch liên tiếp. Dấu hiệu để không nhầm lẫn là phải viết cả hai công thức rồi thế biến trung gian

y

, tuyệt đối không suy luận cảm tính kiểu 'nghịch của nghịch lại thành nghịch'.

1Cách 1. Viết hai công thức rồi thế biến trung gian

y

Định hướng. Viết công thức của $y$ theo $x$ và của $z$ theo $y$ , sau đó thế $y$ vào công thức thứ hai để có công thức trực tiếp giữa $z$ và $x$ .

y = \frac{4}{x}

z = \frac{6}{y} = \frac{6}{4/ x} = \frac{6 x}{4} = \frac{3 x}{2}

z = \frac{3}{2} x

— đúng dạng

z = k x

với

k = \frac{3}{2}

Vậy $z$ tỉ lệ THUẬN với $x$ , hệ số tỉ lệ $\frac{3}{2}$ (tức $1, 5$ ).

2Cách 2. Thay giá trị cụ thể của

x

rồi tính

y

z

tương ứng

Định hướng. Chọn hai giá trị của $x$ , tính $y$ rồi tính $z$ ; xem thương $\frac{z}{x}$ có không đổi hay không để kết luận loại quan hệ và hệ số.

x = 2 \Rightarrow y = \frac{4}{2} = 2 \Rightarrow z = \frac{6}{2} = 3

;

\frac{z}{x} = \frac{3}{2} = 1, 5

x = 4 \Rightarrow y = \frac{4}{4} = 1 \Rightarrow z = \frac{6}{1} = 6

;

\frac{z}{x} = \frac{6}{4} = 1, 5

Vậy thương $\frac{z}{x}$ luôn bằng $1, 5$ nên $z$ tỉ lệ thuận với $x$ , hệ số tỉ lệ $1, 5$ — trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 xác nhận bằng số cụ thể, Cách 1 chứng minh đúng với MỌI giá trị của $x$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thế công thức một lần ra ngay

z = \frac{3}{2} x

, kết luận được cả loại quan hệ lẫn hệ số trong một bước, khỏi thử nhiều giá trị như Cách 2.

Đáp số.

z

tỉ lệ thuận với

x

, hệ số tỉ lệ

\frac{3}{2}

(bằng

1, 5

Sai lầm thường gặp. Suy luận cảm tính 'nghịch với nghịch thì thành nghịch' rồi kết luận sai rằng

z

tỉ lệ nghịch với

x

— thực chất khi thế hai công thức dạng

\frac{a}{t}

(với

t

là biến trung gian) lồng nhau, biến trung gian bị TRIỆT TIÊU ở mẫu và mẫu, đưa kết quả về đúng dạng

z = k x

(tỉ lệ thuận).

🚀 Mở rộng. Nếu

z

lại tỉ lệ NGHỊCH với một đại lượng thứ ba

t

theo hệ số

c

(

z = \frac{c}{t}

), kết hợp với

z = \frac{3}{2} x

sẽ suy ra

x

tỉ lệ nghịch với

t

x = \frac{2 c}{3 t}

— một chuỗi ba quan hệ liên tiếp.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 6.40★★Trang 18— Bài toán thực tế về đại lượng tỉ lệ thuận (dung tích — số tiền)

Bài 6.40 (trang 18). Bình xăng xe máy của bác Minh có dung tích

3, 7

lít. Khi đổ đầy bình, bác Minh thấy đồng hồ báo tiền ở cây xăng hiện

68450

đồng.
a. Biết bình xăng xe máy của cô Hoa có dung tích

4, 5

lít, khi đổ đầy xăng loại đó thì cô Hoa phải trả bao nhiêu tiền?
b. Một xe ô tô sẽ được đổ bao nhiêu lít xăng loại đó nếu phải trả

388500

đồng?

Kiến thức cần nhớ

Dung tích và số tiền phải trả (cùng loại xăng, cùng đơn giá) là hai đại lượng tỉ lệ thuận: tỉ số giữa số tiền và dung tích luôn bằng đơn giá không đổi.

🧠 Phân tích tư duy

Cùng một loại xăng nên đơn giá không đổi — dấu hiệu là dung tích và số tiền phải trả là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Câu a) tính tiền từ dung tích, câu b) làm ngược lại — tính dung tích từ số tiền — nên phải viết công thức tổng quát một lần rồi dùng cho cả hai chiều, tránh lập lại tỉ lệ thức riêng lẻ dễ nhầm.

1Cách 1. Lập tỉ lệ thức trực tiếp cho từng câu

Định hướng. Dung tích và số tiền tỉ lệ thuận nên lập tỉ lệ thức giữa cặp đã biết ( $3, 7$ lít — $68450$ đồng) và cặp cần tìm.

\frac{68450}{3 , 7} = \frac{x}{4 , 5} \Rightarrow x = \frac{68450 \cdot 4 , 5}{3 , 7} = 83250

\frac{68450}{3 , 7} = \frac{388500}{y} \Rightarrow y = \frac{388500 \cdot 3 , 7}{68450} = 21

Vậy a) cô Hoa phải trả $83250$ đồng; b) xe ô tô được đổ $21$ lít.

2Cách 2. Tính đơn giá một lít xăng trước, rồi nhân/chia trực tiếp

Định hướng. Tính giá của $1$ lít xăng từ dữ kiện của bác Minh, sau đó dùng đơn giá này để tính trực tiếp cho cả hai câu — không cần lập lại tỉ lệ thức mỗi lần.

đơn giá

= 68450 : 3, 7 = 18500

(đồng/lít)

x = 18500 \cdot 4, 5 = 83250

(đồng)

y = 388500 : 18500 = 21

(lít)

Vậy a) $83250$ đồng; b) $21$ lít — trùng Cách 1.

3Cách 3. Dùng hệ số tỉ lệ giữa hai đại lượng đã cho

Định hướng. Vì dung tích của cô Hoa gấp bao nhiêu lần dung tích của bác Minh thì số tiền cũng gấp bấy nhiêu lần — tính tỉ số dung tích rồi nhân trực tiếp vào số tiền, không qua bước tính đơn giá.

a) tỉ số dung tích

= \frac{4 , 5}{3 , 7}

; số tiền

= 68450 \cdot \frac{4 , 5}{3 , 7} = 83250

b) tỉ số tiền

= \frac{388500}{68450}

; dung tích

= 3, 7 \cdot \frac{388500}{68450} = 21

Vậy a) $83250$ đồng; b) $21$ lít.

Nhận xét. Cách 2 (tính đơn giá $1$ lít $= 18500$ đồng) dễ kiểm tra thực tế nhất, còn Cách 1, 3 gọn cho tính toán trên giấy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tính đơn giá

1

lít xăng một lần (

18500

đồng), rồi dùng cho cả hai câu bằng phép nhân/chia đơn giản, khỏi lập lại tỉ lệ thức như Cách 1.

Đáp số. a)

83250

đồng; b)

21

lít.

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), lấy nhầm

388500 : 3, 7

(chia cho dung tích của bác Minh thay vì dùng đúng tỉ lệ thức với đơn giá) — phải chia số tiền cho ĐƠN GIÁ

18500

đồng/lít, chứ không phải cho dung tích

3, 7

lít.

🚀 Mở rộng. Nếu giá xăng tăng thêm

500

đồng/lít, đơn giá mới là

19000

đồng/lít — số tiền bác Minh phải trả cho

3, 7

lít khi đó là

19000 \cdot 3, 7 = 70300

đồng, tăng đúng

3, 7 \times 500 = 1850

đồng so với trước.

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 6.41★★Trang 18— Bài toán thực tế về đại lượng tỉ lệ nghịch (số người — số ngày)

Bài 6.41 (trang 18). Một đội công nhân gồm

15

người hoàn thành một công việc trong

6

ngày. Biết rằng năng suất lao động của các công nhân là như nhau. Hãy cho biết:
a. Thời gian hoàn thành công việc đó khi số công nhân được tăng lên gấp đôi.
b. Thời gian hoàn thành công việc đó khi số công nhân chỉ còn

10

người.

Kiến thức cần nhớ

Số người và số ngày hoàn thành cùng một khối lượng công việc (năng suất không đổi) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch: (số người) $\times$ (số ngày) $=$ hằng số.

🧠 Phân tích tư duy

Cùng một khối lượng công việc, năng suất mỗi người như nhau — dấu hiệu chuẩn của tỉ lệ nghịch: số người

\times

số ngày luôn bằng một hằng số (tổng "ngày công" cần để xong việc). Bẫy hay gặp ở câu a) là nghĩ 'gấp đôi người thì gấp đôi ngày' — ngược hẳn bản chất tỉ lệ nghịch.

1Cách 1. Tính tổng "ngày công" rồi chia cho số người mới

Định hướng. Tính tổng số ngày công cần để hoàn thành việc ( $15$ người $\times$ $6$ ngày), đây là hằng số không đổi; sau đó chia hằng số này cho số người mới để ra số ngày mới.

tổng ngày công

= 15 \cdot 6 = 90

30

người:

90 : 30 = 3

(ngày)

10

người:

90 : 10 = 9

(ngày)

Vậy a) $3$ ngày; b) $9$ ngày.

2Cách 2. Lập tỉ lệ thức giữa hai đại lượng nghịch đảo

Định hướng. Số người tỉ lệ nghịch với số ngày nên lập tỉ lệ thức giữa số người và NGHỊCH ĐẢO số ngày.

\frac{30}{15} = \frac{6}{t _{1}} \Rightarrow 30 t_{1} = 15 \cdot 6 = 90 \Rightarrow t_{1} = 3

\frac{10}{15} = \frac{6}{t _{2}} \Rightarrow 10 t_{2} = 15 \cdot 6 = 90 \Rightarrow t_{2} = 9

Vậy a) $3$ ngày; b) $9$ ngày — trùng Cách 1.

3Cách 3. Suy luận theo tỉ số gấp/kém trực tiếp

Định hướng. Với tỉ lệ nghịch, số người gấp bao nhiêu lần thì số ngày giảm đi bấy nhiêu lần (và ngược lại) — áp dụng trực tiếp tỉ số mà không cần tính hằng số trung gian.

a) số người gấp

2

lần (

15 \to 30

)

\Rightarrow

số ngày giảm còn

\frac{1}{2}

6 : 2 = 3

b) số người giảm còn

\frac{10}{15} = \frac{2}{3}

(lần)

\Rightarrow

số ngày tăng gấp

\frac{3}{2}

lần:

6 \cdot \frac{3}{2} = 9

Vậy a) $3$ ngày; b) $9$ ngày.

Nhận xét. Cách 3 nhanh nhất cho các con số 'đẹp' như bài này, còn Cách 1 an toàn hơn khi tỉ số không tròn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính tổng ngày công

90

một lần duy nhất rồi chia cho từng số người mới, dùng lại được cho bất kì câu hỏi tương tự nào tiếp theo.

Đáp số. a)

3

ngày; b)

9

ngày.

Sai lầm thường gặp. Hiểu nhầm bản chất tỉ lệ nghịch thành tỉ lệ thuận: nghĩ 'tăng gấp đôi người thì tăng gấp đôi ngày', trong khi thực tế phải là GIẢM một nửa số ngày vì việc được chia cho nhiều người hơn thì xong nhanh hơn.

🚀 Mở rộng. Nếu chỉ còn

6

người, thời gian cần là

90 : 6 = 15

ngày — thử kiểm tra xem con số này có còn hợp lí về mặt thực tế hay không (thời gian quá dài so với

6

ngày ban đầu) để rèn thói quen đối chiếu đáp số với thực tế.

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 6.42★★★Trang 18— Bài toán tỉ lệ nghịch ba đại lượng, dùng dãy tỉ số bằng nhau

Bài 6.42 (trang 18). Ba tổ công nhân đóng gói sản phẩm được giao ba khối lượng công việc như nhau. Tổ thứ nhất hoàn thành công việc trong

5

ngày, tổ thứ hai trong

6

ngày và tổ thứ ba trong

4

ngày. Tính số công nhân của mỗi tổ, biết tổ thứ nhất nhiều hơn tổ thứ hai

2

người và năng suất lao động của các tổ công nhân là như nhau trong suốt quá trình làm việc.

Kiến thức cần nhớ

Nếu $n_{i}$ tỉ lệ nghịch với $t_{i}$ ( $i = 1, 2, 3$ , cùng khối lượng công việc, cùng năng suất) thì $n_{1} t_{1} = n_{2} t_{2} = n_{3} t_{3}$ , tương đương $n_{i}$ tỉ lệ thuận với $\frac{1}{t _{i}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Giống cấu trúc Bài 6.38 SGK nhưng đổi số ngày và đổi cặp có hiệu số đã biết (ở đây là tổ 1 và tổ 2, với số ngày lần lượt

5

và

6

). Dấu hiệu vẫn là bài toán tỉ lệ nghịch ba đại lượng, giải bằng cách quy về tỉ lệ thuận với nghịch đảo số ngày rồi dùng dãy tỉ số bằng nhau với đúng cặp có hiệu đã cho.

1Cách 1. Dùng trực tiếp tích không đổi

n \times t = k

Định hướng. Gọi $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ là số công nhân ba tổ; vì cùng khối lượng việc và năng suất như nhau nên $5 n_{1} = 6 n_{2} = 4 n_{3} = k$ . Biểu diễn $n_{1}, n_{2}$ theo $k$ rồi dùng hiệu $n_{1} - n_{2} = 2$ để tìm $k$ .

n_{1} = \frac{k}{5}, n_{2} = \frac{k}{6}

n_{1} - n_{2} = \frac{k}{5} - \frac{k}{6} = \frac{6 k - 5 k}{30} = \frac{k}{30} = 2

k = 60

Vậy $n_{1} = \frac{60}{5} = 12$ ; $n_{2} = \frac{60}{6} = 10$ ; $n_{3} = \frac{60}{4} = 15$ (người).

2Cách 2. Quy về tỉ lệ thuận với nghịch đảo thời gian

Định hướng. Số công nhân tỉ lệ thuận với nghịch đảo số ngày $\frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{4}$ ; dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau với hiệu $n_{1} - n_{2} = 2$ .

\frac{n _{1}}{\frac{1}{5}} = \frac{n _{2}}{\frac{1}{6}} = \frac{n _{3}}{\frac{1}{4}} = \frac{n _{1} - n _{2}}{\frac{1}{5} - \frac{1}{6}} = \frac{2}{\frac{1}{30}} = 60

Vậy $n_{1} = 60 \cdot \frac{1}{5} = 12$ ; $n_{2} = 60 \cdot \frac{1}{6} = 10$ ; $n_{3} = 60 \cdot \frac{1}{4} = 15$ (người).

3Cách 3. Đưa về tỉ lệ số nguyên tối giản bằng bội chung nhỏ nhất

Định hướng. Từ $5 n_{1} = 6 n_{2} = 4 n_{3}$ , đặt cả ba bằng bội chung nhỏ nhất của $5, 6, 4$ là $60$ để tìm ngay tỉ lệ nguyên giữa $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ , sau đó dùng hiệu số để suy ra hệ số nhân chung.

BCNN (5, 6, 4) = 60

5 n_{1} = 6 n_{2} = 4 n_{3} = 60 a (a

nguyên dương

)

n_{1} = 12 a, n_{2} = 10 a, n_{3} = 15 a

n_{1} - n_{2} = 12 a - 10 a = 2 a = 2 \Rightarrow a = 1

Vậy $n_{1} = 12$ , $n_{2} = 10$ , $n_{3} = 15$ (người).

Nhận xét. Ba cách cho cùng một đáp số; Cách 3 cho luôn tỉ lệ nguyên $12 : 10 : 15$ giữa ba tổ mà không cần tính $k$ trước.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: áp dụng thẳng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho các nghịch đảo

\frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{4}

trong đúng một dòng.

Đáp số. Tổ thứ nhất:

12

người; tổ thứ hai:

10

người; tổ thứ ba:

15

người.

Sai lầm thường gặp. Nhầm bài toán tỉ lệ nghịch thành tỉ lệ thuận, đặt

\frac{n _{1}}{5} = \frac{n _{2}}{6} = \frac{n _{3}}{4}

— sai bản chất vì số ngày càng nhiều thì số công nhân phải càng ÍT chứ không phải càng nhiều.

🚀 Mở rộng. So với Bài 6.38 SGK (đội 1: 4 ngày, đội 2: 5 ngày, đội 3: 6 ngày, hiệu đội 1 – đội 2 là 3 người), bài này đổi cả số ngày lẫn cặp có hiệu số đã biết (tổ 3 nhanh nhất chứ không phải tổ 1) — cho thấy cùng một phương pháp áp dụng được dù thứ tự nhanh — chậm giữa các tổ thay đổi.

Mở bài này trong app ↗