Chương VI. Tỉ lệ thức và đại lượng tỉ lệ

Bài tập cuối chương VI (trang 21)

SGK Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 2 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · 6.33★★Trang 21— Lập tỉ lệ thức từ bốn số cho trước

Bài 6.33 (trang 21). Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ bốn số sau:

0, 2

;

0, 3

;

0, 8

;

1, 2

Kiến thức cần nhớ

Bốn số $a, b, c, d$ ( $b, d \neq = 0$ ) lập được tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ khi và chỉ khi $a \cdot d = b \cdot c$ .
Từ một đẳng thức tích $a \cdot d = b \cdot c$ suy ra được bốn tỉ lệ thức bằng cách hoán vị ngoại tỉ, trung tỉ.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn bốn số chứ không phải một cặp tỉ số nên dấu hiệu là phải tự tìm ra cặp tích bằng nhau trước, rồi mới viết được tỉ lệ thức — không được ghép đại hai tỉ số bất kì. Hướng an toàn nhất là xét mọi cách chia bốn số thành hai cặp rồi so sánh tích, vì tỉ lệ thức chỉ tồn tại khi có

a \cdot d = b \cdot c

. Bẫy hay gặp là ghép nhầm cặp theo thứ tự viết trong đề mà không kiểm tra lại tích.

1Cách 1. Xét mọi cách chia bốn số thành hai cặp rồi so sánh tích

Định hướng. Bốn số chia được thành ba cách ghép cặp; tính tích của mỗi cặp trong từng cách ghép, cách ghép nào cho hai tích bằng nhau thì bốn số đó lập được tỉ lệ thức.

0, 2 \cdot 0, 3 = 0, 06

và

0, 8 \cdot 1, 2 = 0, 96

— không bằng nhau

0, 2 \cdot 0, 8 = 0, 16

và

0, 3 \cdot 1, 2 = 0, 36

— không bằng nhau

0, 2 \cdot 1, 2 = 0, 24

và

0, 3 \cdot 0, 8 = 0, 24

— bằng nhau

Vậy cặp $(0, 2; 1, 2)$ và $(0, 3; 0, 8)$ có tích bằng nhau, từ đó lập được các tỉ lệ thức: $\frac{0 , 2}{0 , 3} = \frac{0 , 8}{1 , 2}$ ; $\frac{0 , 2}{0 , 8} = \frac{0 , 3}{1 , 2}$ ; $\frac{1 , 2}{0 , 3} = \frac{0 , 8}{0 , 2}$ ; $\frac{1 , 2}{0 , 8} = \frac{0 , 3}{0 , 2}$ .

2Cách 2. Rút gọn từng tỉ số thành phân số tối giản rồi so khớp

Định hướng. Thay vì tính tích, rút gọn các tỉ số có thể lập từ bốn số về phân số tối giản; hai tỉ số nào rút gọn ra cùng một phân số thì bằng nhau.

\frac{0 , 2}{0 , 3} = \frac{2}{3}

\frac{0 , 8}{1 , 2} = \frac{2}{3}

\frac{0 , 2}{0 , 8} = \frac{1}{4}

\frac{0 , 3}{1 , 2} = \frac{1}{4}

Vậy $\frac{0 , 2}{0 , 3} = \frac{0 , 8}{1 , 2} (= \frac{2}{3})$ và $\frac{0 , 2}{0 , 8} = \frac{0 , 3}{1 , 2} (= \frac{1}{4})$ ; đảo ngược hai vế của mỗi đẳng thức cho thêm $\frac{1 , 2}{0 , 3} = \frac{0 , 8}{0 , 2}$ và $\frac{1 , 2}{0 , 8} = \frac{0 , 3}{0 , 2}$ .

3Cách 3. Nhân cả bốn số với 10 để đưa về số nguyên

Định hướng. Số thập phân dễ tính nhầm tích; nhân cả bốn số với $10$ được $2, 3, 8, 12$ — vẫn giữ nguyên các tỉ lệ thức tương ứng vì nhân cùng một số khác $0$ vào tử và mẫu không đổi giá trị tỉ số.

2 \cdot 12 = 24

và

3 \cdot 8 = 24

— bằng nhau

2 \cdot 3 = 6

và

8 \cdot 12 = 96

— không bằng nhau

2 \cdot 8 = 16

và

3 \cdot 12 = 36

— không bằng nhau

Vậy chỉ cặp $(2, 12)$ và $(3, 8)$ cho tích bằng nhau, suy ra $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ , tức $\frac{0 , 2}{0 , 3} = \frac{0 , 8}{1 , 2}$ , và ba tỉ lệ thức còn lại suy ra như Cách 1.

Nhận xét. Ba cách đều quy về cùng một cặp số $(0, 2; 1, 2)$ và $(0, 3; 0, 8)$ — khác nhau ở chỗ tính trên số thập phân, trên phân số tối giản, hay trên số nguyên sau khi nhân $10$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: đưa về số nguyên

2, 3, 8, 12

nên tính tích nhẩm nhanh, ít sai số hơn nhân số thập phân như Cách 1.

Đáp số. Bốn tỉ lệ thức:

\frac{0 , 2}{0 , 3} = \frac{0 , 8}{1 , 2}

;

\frac{0 , 2}{0 , 8} = \frac{0 , 3}{1 , 2}

;

\frac{1 , 2}{0 , 3} = \frac{0 , 8}{0 , 2}

;

\frac{1 , 2}{0 , 8} = \frac{0 , 3}{0 , 2}

Sai lầm thường gặp. Ghép cặp theo đúng thứ tự liệt kê trong đề (

0, 2

với

0, 3

thành một cặp) mà không kiểm tra tích chéo, dẫn tới viết ra một 'tỉ lệ thức' sai vì

0, 2 \cdot 1, 2 \neq = 0, 3 \cdot 0, 8

theo cách ghép đó — phải thử đủ ba cách chia cặp rồi mới chọn đúng.

🚀 Mở rộng. Với bốn số bất kì, số cách chia thành hai cặp chỉ có ba khả năng — cứ liệt kê đủ ba tích rồi so sánh là chắc chắn không bỏ sót, kể cả khi bốn số không phải là số thập phân đẹp như bài này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 6.34★Trang 21— Tìm thành phần chưa biết trong tỉ lệ thức

Bài 6.34 (trang 21). Tìm thành phần chưa biết

x

trong tỉ lệ thức:

\frac{x}{2 , 5} = \frac{10}{15}

Kiến thức cần nhớ

Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (với $b, d \neq = 0$ ) tương đương $a \cdot d = b \cdot c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn một tỉ lệ thức với đúng một ẩn ở vị trí ngoại tỉ — dấu hiệu của dạng toán dùng tính chất cơ bản

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c

để tính

x

. Hướng nhanh nhất là rút gọn vế phải trước vì

10

và

15

có ước chung, giúp phép nhân sau đó nhẹ hơn.

1Cách 1. Nhân chéo theo tính chất cơ bản của tỉ lệ thức

Định hướng. Áp dụng ngay tính chất cơ bản: tích ngoại tỉ bằng tích trung tỉ.

x \cdot 15 = 2, 5 \cdot 10

15 x = 25

x = \frac{25}{15}

x = \frac{5}{3}

Vậy $x = \frac{5}{3}$ .

2Cách 2. Rút gọn tỉ số

\frac{10}{15}

trước khi tính

Định hướng. Rút gọn vế phải về phân số tối giản để các bước tính sau nhẹ hơn.

\frac{10}{15} = \frac{2}{3}

\frac{x}{2 , 5} = \frac{2}{3}

x = 2, 5 \cdot \frac{2}{3}

x = \frac{5}{3}

Vậy $x = \frac{5}{3}$ .

3Cách 3. Quy đồng mẫu số hai vế rồi so sánh tử số

Định hướng. Đưa mẫu số $2, 5$ về $15$ (nhân với $6$ ) để hai vế cùng mẫu, khi đó hai tử số phải bằng nhau.

\frac{x}{2 , 5} = \frac{6 x}{15}

\frac{6 x}{15} = \frac{10}{15}

6 x = 10

x = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}

Vậy $x = \frac{5}{3}$ .

Nhận xét. Cách 2 nhẹ số nhất vì rút gọn $\frac{10}{15}$ trước khi nhân.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: rút gọn

\frac{10}{15} = \frac{2}{3}

trước rồi nhân với

2, 5

, tránh nhân số lớn rồi mới rút gọn như Cách 1.

Đáp số.

x = \frac{5}{3}

Sai lầm thường gặp. Nhân chéo nhầm vị trí, viết

x \cdot 10 = 2, 5 \cdot 15

(đổi chỗ trung tỉ – ngoại tỉ) rồi ra

x = 3, 75

— sai vì

10

và

15

đang ở vế phải, phải nhân

x

với

15

(mẫu bên phải) chứ không phải với tử.

🚀 Mở rộng. Cùng dạng này, nếu tỉ lệ thức là

\frac{x}{a} = \frac{b}{c}

tổng quát thì luôn có

x = \frac{a \cdot b}{c}

— thử lại công thức với

a = 2, 5, b = 10, c = 15

để thấy khớp với đáp số vừa tìm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 6.35★★Trang 21— Suy luận tổng quát từ tính chất của tỉ lệ thức

Bài 6.35 (trang 21). Từ tỉ lệ thức

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

(với

a, b, c, d

khác

0

) có thể suy ra những tỉ lệ thức nào?

Kiến thức cần nhớ

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} (b, d \neq = 0) \Leftrightarrow a \cdot d = b \cdot c$ .
Từ một đẳng thức tích $a \cdot d = b \cdot c$ ( $a, b, c, d \neq = 0$ ) suy ra được bốn tỉ lệ thức bằng cách hoán vị các số ở vị trí ngoại tỉ, trung tỉ.
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} = \frac{a - c}{b - d}$ (khi $b + d \neq = 0$ , $b - d \neq = 0$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Đây là câu hỏi lí thuyết yêu cầu liệt kê hệ quả chứ không phải tính số cụ thể — dấu hiệu là phải quay về đúng MỘT định nghĩa gốc (tích ngoại tỉ bằng tích trung tỉ) rồi suy luận ngược lại thành các tỉ lệ thức khác. Bẫy là chỉ nhớ mỗi kết quả 'đảo ngược hai vế' mà bỏ sót các cách hoán vị ngoại tỉ – trung tỉ khác.

1Cách 1. Đưa về đẳng thức tích rồi hoán vị ngoại tỉ, trung tỉ

Định hướng. Từ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ suy ra $a \cdot d = b \cdot c$ , sau đó đổi vai trò các số ở hai vế của đẳng thức tích để viết lại thành tỉ lệ thức mới.

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c

a \cdot d = c \cdot b \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}

d \cdot a = b \cdot c \Rightarrow \frac{d}{b} = \frac{c}{a}

d \cdot a = c \cdot b \Rightarrow \frac{d}{c} = \frac{b}{a}

Vậy từ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ suy ra thêm $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ ; $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$ ; $\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$ .

2Cách 2. Đặt tỉ số chung bằng

k

rồi biểu diễn

a, c

theo

b, d

Định hướng. Gọi giá trị chung của hai tỉ số là $k$ , viết $a = bk$ , $c = d k$ , rồi thay vào các tỉ số khác để tạo tỉ lệ thức mới bằng phép thế.

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \Rightarrow a = bk, c = d k

\frac{a}{c} = \frac{bk}{d k} = \frac{b}{d}

\frac{b}{a} = \frac{b}{bk} = \frac{1}{k}

và

\frac{d}{c} = \frac{d}{d k} = \frac{1}{k}

Vậy $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ và $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$ — trùng với kết quả suy ra ở Cách 1.

3Cách 3. Dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Định hướng. Coi $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ là một dãy hai tỉ số bằng nhau, áp dụng tính chất cộng — trừ tương ứng ở tử và mẫu để tạo thêm tỉ lệ thức mới mà không cần biết giá trị cụ thể.

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d}

(khi

b + d \neq = 0

)

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a - c}{b - d}

(khi

b \neq = d

)

Vậy ngoài các tỉ lệ thức hoán vị, còn suy ra được $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} = \frac{a - c}{b - d}$ .

Nhận xét. Cách 1 và Cách 2 cho cùng một nhóm bốn tỉ lệ thức hoán vị; Cách 3 cho thêm một nhóm tỉ lệ thức khác hẳn, dựa trên tính chất dãy tỉ số bằng nhau chứ không phải hoán vị.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần nhớ một đẳng thức tích

a \cdot d = b \cdot c

rồi hoán vị máy móc, không phải đặt thêm ẩn phụ

k

như Cách 2.

Đáp số. Từ

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

suy ra

\frac{a}{c} = \frac{b}{d}

;

\frac{d}{b} = \frac{c}{a}

;

\frac{d}{c} = \frac{b}{a}

(và

a \cdot d = b \cdot c

); ngoài ra còn

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} = \frac{a - c}{b - d}

Sai lầm thường gặp. Viết nhầm

\frac{a}{c} = \frac{d}{b}

(đổi chỗ

b

và

d

không đúng vị trí) — phản ví dụ: với

a = 2, b = 1, c = 4, d = 2

(thỏa

\frac{2}{1} = \frac{4}{2}

) thì

\frac{a}{c} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

còn

\frac{d}{b} = \frac{2}{1} = 2

, hai số này khác nhau nên đẳng thức viết sai.

🚀 Mở rộng. Thử với

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}

(dãy ba tỉ số bằng nhau) sẽ suy ra được nhiều tỉ lệ thức hơn nữa, ví dụ

\frac{a}{b} = \frac{a + c - e}{b + d - f}

— đây chính là kiến thức dùng ở các câu trắc nghiệm về dãy tỉ số bằng nhau trong sách bài tập.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 6.36★★Trang 21— Đổi đơn vị đo bằng tỉ lệ thức và xét quan hệ tỉ lệ thuận

Bài 6.36 (trang 21). Inch (đọc là in-sơ và viết tắt là in) là tên của một đơn vị đo chiều dài trong Hệ đo lường Mỹ. Biết rằng

1

= 2, 54

cm.
a) Hỏi một người cao

170

cm sẽ có chiều cao là bao nhiêu inch (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
b) Chiều cao của một người tính theo xentimét có tỉ lệ thuận với chiều cao của người đó tính theo inch không? Nếu có thì hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Định nghĩa: $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số $k$ nếu $y = k x$ với $k$ không đổi, $k \neq = 0$ .
Đổi đơn vị bằng tỉ lệ thức: nếu $1$ đơn vị $A$ $= m$ đơn vị $B$ thì $x$ đơn vị $A$ $= m \cdot x$ đơn vị $B$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) là đổi đơn vị — dấu hiệu là cho sẵn tỉ lệ quy đổi

1

= 2, 54

cm nên chỉ cần lập tỉ lệ thức tương ứng. Câu b) mới là trọng tâm: phải nhận ra công thức cm

= 2, 54 \times

in đúng dạng

y = k x

với

k

không đổi, đây chính là định nghĩa tỉ lệ thuận. Bẫy ở câu a) là chia nhầm chiều (lấy

2, 54 \div 170

thay vì

170 \div 2, 54

1Cách 1. Lập tỉ lệ thức để đổi đơn vị, rồi xét công thức liên hệ

Định hướng. Gọi $x$ là số inch cần tìm, lập tỉ lệ thức từ hệ thức $1$ in $= 2, 54$ cm; sau đó viết công thức tổng quát cm theo in để trả lời câu b).

\frac{1}{2 , 54} = \frac{x}{170}

x = \frac{170}{2 , 54} \approx 66, 93

x \approx 67

(in)
b) Gọi

y

(cm),

t

(in) là chiều cao của một người theo hai đơn vị

y = 2, 54 t

Vậy a) người đó cao khoảng $67$ in; b) $y$ tỉ lệ thuận với $t$ theo hệ số tỉ lệ $2, 54$ .

2Cách 2. Chia trực tiếp bằng phép toán số học

Định hướng. Không lập tỉ lệ thức hình thức, hiểu trực tiếp: mỗi $2, 54$ cm ứng với $1$ in nên số inch bằng số xentimét chia cho $2, 54$ .

170 : 2, 54 \approx 66, 93

170 : 2, 54 \approx 67

(in)
b)

1

= \frac{1}{2 , 54}

in — hệ số không đổi
cm

= 2, 54 \times

Vậy kết quả trùng Cách 1: khoảng $67$ in, và cm tỉ lệ thuận với in theo hệ số $2, 54$ .

3Cách 3. Lập bảng giá trị tương ứng rồi kiểm tra thương không đổi

Định hướng. Lập vài cặp giá trị (in, cm) rồi tính thương $\frac{cm}{in}$ ; nếu thương luôn bằng nhau thì đó chính là hệ số tỉ lệ thuận.

1

\to 2, 54

cm, thương

= 2, 54

10

\to 25, 4

cm, thương

= 2, 54

170

\to 170 : 2, 54 \approx 66, 93 \approx 67

Vậy thương $\frac{cm}{in}$ luôn bằng $2, 54$ nên cm tỉ lệ thuận với in, hệ số tỉ lệ $2, 54$ ; người cao $170$ cm có chiều cao khoảng $67$ in.

Nhận xét. Ba cách cho cùng một kết quả; Cách 3 trực quan nhất để thấy rõ vì sao hai đại lượng tỉ lệ thuận.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chia trực tiếp

170 : 2, 54

không qua bước lập tỉ lệ thức hình thức, nhanh và ít bước hơn Cách 1.

Đáp số. a) Khoảng

67

in; b) Có,

y = 2, 54 t

nên chiều cao theo cm tỉ lệ thuận với chiều cao theo in, hệ số tỉ lệ

2, 54

Sai lầm thường gặp. Đổi ngược chiều: lấy

2, 54 : 170

thay vì

170 : 2, 54

vì nhớ nhầm số nào chia số nào, ra kết quả vô lí nhỏ hơn

1

trong khi

170

cm phải ứng với hơn

60

in.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi từ inch sang một đơn vị khác, chẳng hạn foot (

1

foot

= 12

in), thì chiều cao theo cm cũng tỉ lệ thuận với chiều cao theo foot, hệ số tỉ lệ khi đó là

2, 54 \times 12 = 30, 48

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 6.37★★Trang 21— Chia theo tỉ lệ cho trước, dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Bài 6.37 (trang 21). Số đo ba góc

A

B

C

của tam giác

A B C

tỉ lệ với

5

;

6

;

7

. Tính số đo ba góc của tam giác đó.

Kiến thức cần nhớ

Định lí tổng ba góc trong một tam giác: $A + B + C = 18 0^{\circ}$ .
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{c}{p} = \frac{a + b + c}{m + n + p}$ (khi $m + n + p \neq = 0$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Ba góc 'tỉ lệ với

5; 6; 7

' và tổng ba góc trong một tam giác luôn bằng

18 0^{\circ}

— hai dữ kiện này ghép lại đúng là dạng toán chia một tổng cho trước theo tỉ lệ, dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Bẫy hay gặp là quên điều kiện tổng ba góc tam giác bằng

18 0^{\circ}

mà tính nhầm sang

36 0^{\circ}

1Cách 1. Đặt ẩn phụ

k

rồi giải phương trình tổng

Định hướng. Vì ba góc tỉ lệ với $5; 6; 7$ nên đặt $A = 5 k$ , $B = 6 k$ , $C = 7 k$ ( $k > 0$ ), rồi dùng tổng ba góc tam giác để lập phương trình tìm $k$ .

A = 5 k, B = 6 k, C = 7 k

5 k + 6 k + 7 k = 180

18 k = 180

k = 10

Vậy $A = 5 \cdot 10 = 5 0^{\circ}$ ; $B = 6 \cdot 10 = 6 0^{\circ}$ ; $C = 7 \cdot 10 = 7 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Dùng trực tiếp tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Định hướng. Viết ba góc thành một dãy tỉ số bằng nhau rồi cộng cả tử và mẫu để đưa về tổng đã biết $18 0^{\circ}$ , không cần đặt ẩn phụ.

\frac{A}{5} = \frac{B}{6} = \frac{C}{7} = \frac{A + B + C}{5 + 6 + 7} = \frac{180}{18} = 10

Vậy $A = 5 \cdot 10 = 5 0^{\circ}$ ; $B = 6 \cdot 10 = 6 0^{\circ}$ ; $C = 7 \cdot 10 = 7 0^{\circ}$ .

3Cách 3. Tính mỗi góc bằng phân số của tổng

18 0^{\circ}

Định hướng. Tổng các phần tỉ lệ là $5 + 6 + 7 = 18$ phần ứng với $18 0^{\circ}$ , suy ra mỗi góc bằng đúng phân số phần của nó nhân với $18 0^{\circ}$ , không cần viết dãy tỉ số bằng nhau hay đặt ẩn $k$ .

5 + 6 + 7 = 18

(phần)

A = \frac{5}{18} \cdot 18 0^{\circ} = 5 0^{\circ}

B = \frac{6}{18} \cdot 18 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

C = \frac{7}{18} \cdot 18 0^{\circ} = 7 0^{\circ}

Vậy $A = 5 0^{\circ}$ , $B = 6 0^{\circ}$ , $C = 7 0^{\circ}$ .

Nhận xét. Ba cách cho cùng kết quả; Cách 2 gọn nhất vì chỉ một dòng tính, phù hợp khi trình bày nhanh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: áp dụng thẳng tính chất dãy tỉ số bằng nhau trong một dòng, không cần đặt ẩn phụ

k

như Cách 1 hay tính từng phân số như Cách 3.

Đáp số.

A = 5 0^{\circ}

B = 6 0^{\circ}

C = 7 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Quên định lí tổng ba góc tam giác bằng

18 0^{\circ}

, nhầm sang tổng

36 0^{\circ}

(của tứ giác) khiến

k = 20

rồi tính ra

A = 10 0^{\circ}, B = 12 0^{\circ}, C = 14 0^{\circ}

— vô lí vì tổng vượt quá

18 0^{\circ}

với một tam giác.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi tỉ lệ ba góc thành

2 : 3 : 4

vẫn giữ tổng

18 0^{\circ}

, cách làm y hệt:

2 + 3 + 4 = 9

phần ứng

18 0^{\circ}

, mỗi phần

2 0^{\circ}

, được tam giác có góc

4 0^{\circ}, 6 0^{\circ}, 8 0^{\circ}

— đều là tam giác nhọn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 6.38★★★Trang 21— Bài toán tỉ lệ nghịch ba đại lượng, dùng dãy tỉ số bằng nhau

Bài 6.38 (trang 21). Ba đội công nhân làm đường được giao ba khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong

4

ngày, đội thứ hai trong

5

ngày và đội thứ ba trong

6

ngày. Tính số công nhân của mỗi đội, biết đội thứ nhất nhiều hơn đội thứ hai là

3

người và năng suất lao động của các công nhân là như nhau trong suốt quá trình làm việc.

Kiến thức cần nhớ

Nếu $x$ tỉ lệ nghịch với $y$ thì $x \cdot y = a$ không đổi, tương đương $x$ tỉ lệ thuận với $\frac{1}{y}$ .
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{a - b}{m - n}$ (khi $m \neq = n$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Ba đội cùng một khối lượng công việc, năng suất mỗi công nhân như nhau — dấu hiệu chuẩn của tỉ lệ nghịch: số công nhân càng nhiều thì số ngày càng ít, tích (số công nhân)

\times

(số ngày) là hằng số. Cái khó là dữ kiện cho HIỆU số công nhân (

3

người) chứ không cho tổng, nên phải đưa các đại lượng nghịch đảo về tỉ lệ thuận rồi mới dùng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau với hiệu.

1Cách 1. Dùng trực tiếp tích không đổi

n \times t = k

Định hướng. Gọi $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ là số công nhân ba đội; vì cùng khối lượng công việc và năng suất như nhau nên $n_{1} \cdot 4 = n_{2} \cdot 5 = n_{3} \cdot 6 = k$ không đổi. Biểu diễn $n_{1}, n_{2}$ theo $k$ rồi dùng hiệu $n_{1} - n_{2} = 3$ để tìm $k$ .

n_{1} \cdot 4 = n_{2} \cdot 5 = n_{3} \cdot 6 = k

n_{1} = \frac{k}{4}, n_{2} = \frac{k}{5}

n_{1} - n_{2} = \frac{k}{4} - \frac{k}{5} = \frac{k}{20} = 3

k = 60

Vậy $n_{1} = \frac{60}{4} = 15$ ; $n_{2} = \frac{60}{5} = 12$ ; $n_{3} = \frac{60}{6} = 10$ (người).

2Cách 2. Quy về tỉ lệ thuận với nghịch đảo thời gian

Định hướng. Số công nhân tỉ lệ nghịch với số ngày tương đương với tỉ lệ thuận với nghịch đảo số ngày $\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}$ ; từ đó dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau với hiệu $n_{1} - n_{2} = 3$ .

\frac{n _{1}}{\frac{1}{4}} = \frac{n _{2}}{\frac{1}{5}} = \frac{n _{3}}{\frac{1}{6}} = \frac{n _{1} - n _{2}}{\frac{1}{4} - \frac{1}{5}} = \frac{3}{\frac{1}{20}} = 60

Vậy $n_{1} = 60 \cdot \frac{1}{4} = 15$ ; $n_{2} = 60 \cdot \frac{1}{5} = 12$ ; $n_{3} = 60 \cdot \frac{1}{6} = 10$ (người).

3Cách 3. Đưa về tỉ lệ số nguyên tối giản bằng bội chung nhỏ nhất

Định hướng. Từ $4 n_{1} = 5 n_{2} = 6 n_{3}$ , đặt cả ba bằng bội chung nhỏ nhất của $4, 5, 6$ là $60$ để tìm ngay tỉ lệ nguyên giữa $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ , sau đó dùng hiệu số để suy ra hệ số nhân chung.

BCNN (4, 5, 6) = 60

4 n_{1} = 5 n_{2} = 6 n_{3} = 60 a (a

nguyên dương

)

n_{1} = 15 a, n_{2} = 12 a, n_{3} = 10 a

n_{1} - n_{2} = 15 a - 12 a = 3 a = 3

a = 1

Vậy $n_{1} = 15$ , $n_{2} = 12$ , $n_{3} = 10$ (người).

Nhận xét. Ba cách cho cùng một đáp số; Cách 3 cho luôn tỉ lệ nguyên $15 : 12 : 10$ giữa ba đội mà không cần tính $k$ trước.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: áp dụng thẳng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho các nghịch đảo

\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}

trong đúng một dòng, khỏi phải tách riêng từng ẩn như Cách 1.

Đáp số. Đội thứ nhất:

15

người; đội thứ hai:

12

người; đội thứ ba:

10

người.

Sai lầm thường gặp. Nhầm bài toán tỉ lệ nghịch thành tỉ lệ thuận, đặt

\frac{n _{1}}{4} = \frac{n _{2}}{5} = \frac{n _{3}}{6}

(số công nhân tỉ lệ thuận với số ngày) — sai bản chất, vì số ngày càng nhiều nghĩa là càng ÍT công nhân chứ không phải càng NHIỀU.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi dữ kiện thành 'đội thứ ba ít hơn đội thứ nhất

5

người' thì vẫn dùng đúng ba cách trên, chỉ thay cặp hiệu số tương ứng (

n_{1} - n_{3} = 5

và

\frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{1}{12}

) để tìm hệ số chung.

Mở bài này trong app ↗