Bài tập cuối chương VI (trang 21)

Định hướng. Bốn số chia được thành ba cách ghép cặp; tính tích của mỗi cặp trong từng cách ghép, cách ghép nào cho hai tích bằng nhau thì bốn số đó lập được tỉ lệ thức.

Vậy cặp $(0,2;1,2)$ và $(0,3;0,8)$ có tích bằng nhau, từ đó lập được các tỉ lệ thức: $\frac{0,2}{0,3}=\frac{0,8}{1,2}$; $\frac{0,2}{0,8}=\frac{0,3}{1,2}$; $\frac{1,2}{0,3}=\frac{0,8}{0,2}$; $\frac{1,2}{0,8}=\frac{0,3}{0,2}$.

Định hướng. Thay vì tính tích, rút gọn các tỉ số có thể lập từ bốn số về phân số tối giản; hai tỉ số nào rút gọn ra cùng một phân số thì bằng nhau.

Vậy $\frac{0,2}{0,3}=\frac{0,8}{1,2}\left(=\frac{2}{3}\right)$ và $\frac{0,2}{0,8}=\frac{0,3}{1,2}\left(=\frac{1}{4}\right)$; đảo ngược hai vế của mỗi đẳng thức cho thêm $\frac{1,2}{0,3}=\frac{0,8}{0,2}$ và $\frac{1,2}{0,8}=\frac{0,3}{0,2}$.

Định hướng. Số thập phân dễ tính nhầm tích; nhân cả bốn số với $10$ được $2,3,8,12$ — vẫn giữ nguyên các tỉ lệ thức tương ứng vì nhân cùng một số khác $0$ vào tử và mẫu không đổi giá trị tỉ số.

Vậy chỉ cặp $(2,12)$ và $(3,8)$ cho tích bằng nhau, suy ra $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$, tức $\frac{0,2}{0,3}=\frac{0,8}{1,2}$, và ba tỉ lệ thức còn lại suy ra như Cách 1.

Nhận xét. Ba cách đều quy về cùng một cặp số $(0,2;1,2)$ và $(0,3;0,8)$ — khác nhau ở chỗ tính trên số thập phân, trên phân số tối giản, hay trên số nguyên sau khi nhân $10$.

Định hướng. Áp dụng ngay tính chất cơ bản: tích ngoại tỉ bằng tích trung tỉ.

Vậy $x=\frac{5}{3}$.

Định hướng. Rút gọn vế phải về phân số tối giản để các bước tính sau nhẹ hơn.

Vậy $x=\frac{5}{3}$.

Định hướng. Đưa mẫu số $2,5$ về $15$ (nhân với $6$) để hai vế cùng mẫu, khi đó hai tử số phải bằng nhau.

Vậy $x=\frac{5}{3}$.

Nhận xét. Cách 2 nhẹ số nhất vì rút gọn $\frac{10}{15}$ trước khi nhân.

Định hướng. Từ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ suy ra $a\cdot d=b\cdot c$, sau đó đổi vai trò các số ở hai vế của đẳng thức tích để viết lại thành tỉ lệ thức mới.

Vậy từ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ suy ra thêm $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$; $\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$; $\frac{d}{c}=\frac{b}{a}$.

Định hướng. Gọi giá trị chung của hai tỉ số là $k$, viết $a=bk$, $c=dk$, rồi thay vào các tỉ số khác để tạo tỉ lệ thức mới bằng phép thế.

Vậy $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ và $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$ — trùng với kết quả suy ra ở Cách 1.

Định hướng. Coi $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ là một dãy hai tỉ số bằng nhau, áp dụng tính chất cộng — trừ tương ứng ở tử và mẫu để tạo thêm tỉ lệ thức mới mà không cần biết giá trị cụ thể.

Vậy ngoài các tỉ lệ thức hoán vị, còn suy ra được $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}$.

Nhận xét. Cách 1 và Cách 2 cho cùng một nhóm bốn tỉ lệ thức hoán vị; Cách 3 cho thêm một nhóm tỉ lệ thức khác hẳn, dựa trên tính chất dãy tỉ số bằng nhau chứ không phải hoán vị.

Định hướng. Gọi $x$ là số inch cần tìm, lập tỉ lệ thức từ hệ thức $1$ in $=2,54$ cm; sau đó viết công thức tổng quát cm theo in để trả lời câu b).

Vậy a) người đó cao khoảng $67$ in; b) $y$ tỉ lệ thuận với $t$ theo hệ số tỉ lệ $2,54$.

Định hướng. Không lập tỉ lệ thức hình thức, hiểu trực tiếp: mỗi $2,54$ cm ứng với $1$ in nên số inch bằng số xentimét chia cho $2,54$.

Vậy kết quả trùng Cách 1: khoảng $67$ in, và cm tỉ lệ thuận với in theo hệ số $2,54$.

Định hướng. Lập vài cặp giá trị (in, cm) rồi tính thương $\frac{\text{cm}}{\text{in}}$; nếu thương luôn bằng nhau thì đó chính là hệ số tỉ lệ thuận.

Vậy thương $\frac{\text{cm}}{\text{in}}$ luôn bằng $2,54$ nên cm tỉ lệ thuận với in, hệ số tỉ lệ $2,54$; người cao $170$ cm có chiều cao khoảng $67$ in.

Nhận xét. Ba cách cho cùng một kết quả; Cách 3 trực quan nhất để thấy rõ vì sao hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Định hướng. Vì ba góc tỉ lệ với $5;6;7$ nên đặt $\hat{A}=5k$, $\hat{B}=6k$, $\hat{C}=7k$ ($k>0$), rồi dùng tổng ba góc tam giác để lập phương trình tìm $k$.

Vậy $\hat{A}=5\cdot 10=50^{\circ }$; $\hat{B}=6\cdot 10=60^{\circ }$; $\hat{C}=7\cdot 10=70^{\circ }$.

Định hướng. Viết ba góc thành một dãy tỉ số bằng nhau rồi cộng cả tử và mẫu để đưa về tổng đã biết $180^{\circ }$, không cần đặt ẩn phụ.

Vậy $\hat{A}=5\cdot 10=50^{\circ }$; $\hat{B}=6\cdot 10=60^{\circ }$; $\hat{C}=7\cdot 10=70^{\circ }$.

Định hướng. Tổng các phần tỉ lệ là $5+6+7=18$ phần ứng với $180^{\circ }$, suy ra mỗi góc bằng đúng phân số phần của nó nhân với $180^{\circ }$, không cần viết dãy tỉ số bằng nhau hay đặt ẩn $k$.

Vậy $\hat{A}=50^{\circ }$, $\hat{B}=60^{\circ }$, $\hat{C}=70^{\circ }$.

Nhận xét. Ba cách cho cùng kết quả; Cách 2 gọn nhất vì chỉ một dòng tính, phù hợp khi trình bày nhanh.

Định hướng. Gọi $n_1,n_2,n_3$ là số công nhân ba đội; vì cùng khối lượng công việc và năng suất như nhau nên $n_1\cdot 4=n_2\cdot 5=n_3\cdot 6=k$ không đổi. Biểu diễn $n_1,n_2$ theo $k$ rồi dùng hiệu $n_1-n_2=3$ để tìm $k$.

Vậy $n_1=\frac{60}{4}=15$; $n_2=\frac{60}{5}=12$; $n_3=\frac{60}{6}=10$ (người).

Định hướng. Số công nhân tỉ lệ nghịch với số ngày tương đương với tỉ lệ thuận với nghịch đảo số ngày $\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6}$; từ đó dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau với hiệu $n_1-n_2=3$.

Vậy $n_1=60\cdot \frac{1}{4}=15$; $n_2=60\cdot \frac{1}{5}=12$; $n_3=60\cdot \frac{1}{6}=10$ (người).

Định hướng. Từ $4n_1=5n_2=6n_3$, đặt cả ba bằng bội chung nhỏ nhất của $4,5,6$ là $60$ để tìm ngay tỉ lệ nguyên giữa $n_1,n_2,n_3$, sau đó dùng hiệu số để suy ra hệ số nhân chung.

Vậy $n_1=15$, $n_2=12$, $n_3=10$ (người).

Nhận xét. Ba cách cho cùng một đáp số; Cách 3 cho luôn tỉ lệ nguyên $15:12:10$ giữa ba đội mà không cần tính $k$ trước.