Ôn tập chương VII

Định hướng. Xét xem mỗi phương án có phải tổng các luỹ thừa nguyên không âm của $x$ hay không.

Vậy Chỉ có phương án C không là đa thức một biến. Chọn C.

Định hướng. Không cần xét từng phương án đầy đủ — chỉ cần rà soát xem phương án nào có $x$ xuất hiện ở MẪU của một phân thức, vì đó luôn là dấu hiệu vi phạm định nghĩa đa thức.

Vậy Phương án C là biểu thức không phải đa thức một biến.

Định hướng. Một tính chất đặc trưng của đa thức là nó xác định (tính được giá trị) với MỌI giá trị thực của biến; thử xem biểu thức nào có giá trị $x$ làm nó KHÔNG xác định.

Vậy C không xác định tại $x=0$ nên không thể là đa thức (đa thức luôn xác định mọi $x$); chọn C.

Nhận xét. Cách 3 chỉ là một dấu hiệu PHỤ để kiểm tra nhanh, không thay được định nghĩa ở Cách 1 — có những biểu thức không phải đa thức nhưng vẫn xác định với mọi $x$ (ví dụ chứa căn của biến).

Định hướng. $G(x)=4x^3+2x^2-5x$ đã ở dạng chuẩn (luỹ thừa giảm dần); chỉ cần xác định hạng tử bậc cao nhất và bậc $0$.

Vậy Hệ số cao nhất là $4$, hệ số tự do là $0$. Chọn A.

Định hướng. Bổ sung tường minh số hạng bậc $0$ với hệ số $0$ để tránh nhầm lẫn, sau đó đọc hệ số ở đúng hai vị trí cần tìm.

Vậy Hệ số cao nhất $=4$, hệ số tự do $=0$: khớp Cách 1, chọn A.

Định hướng. Thay vì đọc trực tiếp, kiểm tra từng phương án B, C, D có mâu thuẫn với $G(x)$ hay không để loại, phương án còn lại chính là đáp số.

Vậy Loại được B, C, D nên đáp án đúng là A, khớp Cách 1, Cách 2.

Định hướng. Gọi $\mathrm{deg}f=m$, $\mathrm{deg}g=n$; xét hạng tử bậc cao nhất của $f(x)+g(x)$ trong từng trường hợp so sánh $m$ và $n$.

Vậy Bậc của $f(x)+g(x)$ CHẮC CHẮN bằng bậc của $f(x)$ khi và chỉ khi $f(x)$ có bậc lớn hơn bậc của $g(x)$. Chọn B.

Định hướng. Với mỗi phương án, chọn một cặp $f(x),g(x)$ cụ thể thoả điều kiện của phương án đó rồi kiểm tra bậc của tổng có luôn bằng bậc của $f(x)$ hay không.

Vậy Chỉ phương án B cho kết quả đúng ở ví dụ minh hoạ, khớp Cách 1.

Định hướng. Tìm MỘT phản ví dụ cho mỗi phương án A, C, D để loại; phương án còn lại không bị phản ví dụ nào bác bỏ chính là đáp án (phù hợp cách làm trắc nghiệm khi không chắc lí luận tổng quát).

Vậy Đáp án B là phương án duy nhất không bị bác bỏ.

Nhận xét. Cách 3 (loại trừ bằng phản ví dụ) an toàn khi làm trắc nghiệm nhanh, nhưng chỉ Cách 1 (lí luận tổng quát) mới thực sự CHỨNG MINH được B đúng với MỌI cặp $f(x),g(x)$ thoả điều kiện.

Định hướng. Kiểm tra $a+b+c$ để tìm nhanh một nghiệm, sau đó dùng phân tích nhân tử để tìm nghiệm còn lại thay vì đoán mò.

Vậy $P(x)$ có đúng hai nghiệm $x=1$ và $x=-6$. Chọn D.

Định hướng. Thay lần lượt các giá trị $x=1$ và $x=-6$ (hai giá trị được nhắc tới trong đề) vào $P(x)$ để kiểm tra trực tiếp có phải nghiệm hay không, không cần phân tích nhân tử.

Vậy Cả $x=1$ và $x=-6$ đều là nghiệm của $P(x)$, khớp Cách 1, chọn D.

Định hướng. Sau khi đã tìm được $x=1$ và $x=-6$ ở Cách 1, Cách 2, kiểm tra lại bằng công thức tổng, tích hai nghiệm của tam thức bậc hai $a{x}^2+bx+c$: tổng $=-\frac{b}{a}$, tích $=\frac{c}{a}$.

Vậy Cả tổng và tích đều khớp công thức, xác nhận $x=1,x=-6$ đúng là hai nghiệm của $P(x)$.

Nhận xét. Cách 3 là bước kiểm tra chéo hữu ích khi không chắc kết quả phân tích nhân tử ở Cách 1, nhưng không thay được việc tự tìm nghiệm ban đầu.

Định hướng. Phép chia đa thức cho đơn thức $5x^{7-2n}$ chia hết khi số mũ $7-2n$ không lớn hơn số mũ nhỏ nhất trong bốn hạng tử của đa thức bị chia, tức không lớn hơn $2$.

Vậy Phép chia hết khi $n=3$. Chọn D.

Định hướng. Với mỗi giá trị $n$, tính số mũ $7-2n$ của đơn thức chia, rồi chia từng hạng tử của đa thức bị chia cho đơn thức đó và kiểm tra số mũ kết quả có âm hay không (âm thì không chia hết).

Vậy Chỉ $n=3$ cho phép chia hết, khớp Cách 1, chọn D.

Định hướng. Viết điều kiện chia hết riêng cho cả bốn hạng tử ($x^5,x^4,x^3,x^2$ đều phải chia hết cho $x^{7-2n}$), rồi lấy giao của bốn điều kiện đó — kết quả phải trùng với điều kiện rút ra từ riêng hạng tử bậc thấp nhất ở Cách 1.

Vậy Với $n$ nguyên trong $[0;3]$, chỉ $n=3$ thoả mãn: khớp Cách 1, Cách 2.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy rõ vì sao chỉ cần xét hạng tử bậc THẤP NHẤT ($x^2$) là đủ: điều kiện của nó ($n\ge 2,5$) đã là điều kiện CHẶT nhất, bao trùm luôn ba điều kiện còn lại.

Định hướng. Duyệt qua đa thức, nhóm từng cặp hạng tử cùng luỹ thừa của $x$ lại với nhau rồi cộng trừ hệ số.

Vậy a) $-x^5+2x^2-x+3$: bậc $5$, hệ số cao nhất $-1$, hệ số tự do $3$.
b) $-2x^2-x+6$: bậc $2$, hệ số cao nhất $-2$, hệ số tự do $6$.

Định hướng. Viết lại đa thức theo đúng thứ tự bậc từ cao xuống thấp trước khi cộng trừ, để tránh bỏ sót hạng tử khi gom.

Vậy Kết quả trùng Cách 1 ở cả hai câu.

Định hướng. Thay $x=2$ vào biểu thức GỐC (chưa rút gọn) và vào đa thức đã thu gọn, hai kết quả phải bằng nhau nếu rút gọn đúng.

Vậy Cả hai câu đều khớp giá trị tại $x=2$, xác nhận kết quả thu gọn ở Cách 1, Cách 2 là đúng.

Định hướng. Cộng hai đa thức để được một đa thức đơn giản hơn (các hạng tử bậc $4$, bậc $3$ triệt tiêu), sau đó chỉ cần thế số vào MỘT đa thức bậc nhất.

Vậy Chỉ $x=-3$ là nghiệm của $f(x)+g(x)$.

Định hướng. Tính trực tiếp $f(x_0)$ và $g(x_0)$ tại mỗi giá trị cho sẵn, rồi cộng lại — cách này không cần rút gọn $f+g$ trước nhưng phải tính với đa thức bậc $4$ đầy đủ, dùng để kiểm tra chéo Cách 1.

Vậy $x=-3$ vẫn cho $f(x)+g(x)=0$, khớp Cách 1 — xác nhận $x=-3$ là nghiệm.

Định hướng. Sau khi thấy $f(x)+g(x)=3x+9$ là đa thức bậc nhất (như Cách 1), dùng ngay công thức nghiệm của đa thức bậc nhất $ax+b$ (nghiệm duy nhất $x=-\frac{b}{a}$) để suy nghiệm mà KHÔNG cần thử lần lượt cả bốn giá trị.

Vậy Nghiệm duy nhất của $f(x)+g(x)$ là $x=-3$, đúng là một trong bốn số đề cho.

Nhận xét. Cách 3 tìm nghiệm nhanh nhất nhưng phải chắc chắn giá trị $-3$ nằm trong tập số đề cho; nếu đề không cho sẵn $-3$ trong danh sách thì phải nói rõ 'không có số nào trong tập đã cho là nghiệm'.

Định hướng. Trừ hai đa thức để được biểu thức đơn giản hơn hẳn (hạng tử bậc $5$ và bậc $1$ triệt tiêu), sau đó chỉ ra biểu thức đó luôn lớn hơn $0$.

Vậy $f(x)-g(x)=6x^2+6>0$ với mọi $x$, tức không có giá trị nào của $x$ làm $f(x)-g(x)=0$: đa thức này không có nghiệm.

Định hướng. Viết $6x^2+6$ dưới dạng $6(x^2+1)$ rồi chỉ ra $x^2+1$ luôn dương do là tổng của một số không âm với $1$ — cách trình bày khác Cách 1 nhưng cùng tận dụng tính chất $x^2\ge 0$.

Vậy $f(x)-g(x)=6(x^2+1)>0$ với mọi $x$: đa thức không có nghiệm, khớp Cách 1.

Định hướng. Thử tính $f(x)-g(x)$ tại vài giá trị $x$ khác nhau (kể cả $x=0$, nơi $6x^2+6$ đạt giá trị nhỏ nhất) để quan sát trực quan rằng biểu thức luôn dương, hỗ trợ cho lập luận chặt ở Cách 1.

Vậy Tại mọi điểm thử, $f(x)-g(x)$ đều dương, phù hợp với kết luận tổng quát ở Cách 1.

Nhận xét. Thế số chỉ minh hoạ chứ KHÔNG chứng minh được cho MỌI $x$; phần chứng minh chính thức bắt buộc phải dùng lập luận $x^2\ge 0$ như Cách 1 hoặc Cách 2, đặc biệt phải chỉ ra $x=0$ (điểm cho $6x^2$ nhỏ nhất) vẫn cho kết quả dương.

Định hướng. Tính $S(x)$ và $D(x)$ bằng cách gom hạng tử đồng dạng của $P(x),Q(x)$; sau đó thế $x=-1,0,1$ vào cả hai đa thức đã rút gọn.

Vậy a) $S(x)=-2x^4-x^3+5x$: bậc $4$, hệ số cao nhất $-2$, hệ số tự do $0$; $D(x)=6x^5-2x^4+x^3+14x^2+x-20$: bậc $5$, hệ số cao nhất $6$, hệ số tự do $-20$.
b) $x=0$ là nghiệm của $S(x)$; $x=1$ là nghiệm của $D(x)$; $x=-1$ không là nghiệm của cả hai.

Định hướng. Liệt kê hệ số của $P(x),Q(x)$ theo từng bậc thành bảng rồi cộng/trừ theo cột, tránh bỏ sót bậc nào (đặc biệt các bậc chỉ xuất hiện ở một trong hai đa thức, như $x^3$ chỉ có ở $Q(x)$).

Vậy $S(x)=-2x^4-x^3+5x$, $D(x)=6x^5-2x^4+x^3+14x^2+x-20$: trùng Cách 1.

Định hướng. Với ý b), tính $P(x_0)$ và $Q(x_0)$ riêng tại mỗi giá trị $x_0\in \{-1,0,1\}$, rồi cộng/trừ để có $S(x_0),D(x_0)$ — cách này KHÔNG cần rút gọn $S(x),D(x)$ như Cách 1, Cách 2, chỉ dùng cho ý b).

Vậy $S(0)=0$ (nghiệm của $S$), $D(1)=0$ (nghiệm của $D$), còn lại đều khác $0$: khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 3 tiện khi CHỈ cần trả lời ý b) mà chưa cần tính $S(x),D(x)$ tổng quát cho ý a); nhưng muốn có bậc và hệ số cao nhất/tự do (ý a) thì bắt buộc phải rút gọn như Cách 1, Cách 2.

Định hướng. Thế cả $x=a$ và $x=-a$ vào $f(x)=0$, chú ý hạng tử bậc chẵn ($x^4,x^2$) giữ nguyên dấu còn hạng tử bậc lẻ ($p{x}^3$) đổi dấu khi thay $-a$.

Vậy $2p{a}^3=0$ mà $a\ne 0$ (theo giả thiết nghiệm khác $0$) nên $a^3\ne 0$, suy ra $p=0$.

Định hướng. Viết $f(x)=u(x)+v(x)$ với $u(x)=x^4-2x^2+1$ là phần chẵn (chỉ gồm luỹ thừa chẵn của $x$) và $v(x)=p{x}^3$ là phần lẻ; phần chẵn nhận cùng giá trị tại $x=a$ và $x=-a$, còn phần lẻ đổi dấu — từ đó suy luận vai trò của $p$ trực tiếp mà không cần viết lại $f(a),f(-a)$ đầy đủ.

Vậy Kết luận $p=0$, khớp Cách 1; đồng thời suy thêm $u(a)=a^4-2a^2+1=0$ (điều kiện để $a$ thực sự là nghiệm).

Định hướng. Chọn thử $a=1$ (chỉ để minh hoạ cơ chế, không phải chứng minh tổng quát) và xem hệ phương trình $f(1)=0,f(-1)=0$ buộc $p$ phải bằng $0$ như thế nào.

Vậy Với $a=1$, cả hai phương trình đều cho $p=0$, minh hoạ đúng kết luận tổng quát ở Cách 1, Cách 2.

Nhận xét. Cách 3 chỉ đúng cho một giá trị $a=1$ cụ thể (khi đó còn cần $u(1)=1-2+1=0$ để $a=1$ thực sự là nghiệm); với $a$ tuỳ ý bất kì khác $0$, chỉ Cách 1 hoặc Cách 2 mới chứng minh chặt được $p=0$.

Định hướng. Với a), nhân từng hạng tử rồi gộp; với b), c) đặt tính chia đa thức, riêng c) phải rút gọn biểu thức trong ngoặc vuông trước.

Vậy a) $15x^5-x^4+5x^3-6x^2-8x+4$; b) $3x^2-7$ (dư $0$); c) $3x^2-1$ (dư $0$).

Định hướng. Giả sử thương có dạng đa thức bậc phù hợp với hệ số chưa biết, nhân ngược với đa thức chia rồi đồng nhất hệ số hai vế để tìm các hệ số đó — cách này khác hẳn cách 'đặt tính chia' cột dọc.

Vậy b) $Q(x)=3x^2-7$ (dư $0$), khớp Cách 1; cách hệ số bất định cũng áp dụng tương tự cho c) và cho kết quả $3x^2-1$.

Định hướng. Thay $x=1$ vào cả hai vế (biểu thức gốc và kết quả) của từng ý để đối chiếu nhanh bằng số.

Vậy Cả ba kết quả đều khớp tại $x=1$, củng cố các đáp số tìm được ở Cách 1, Cách 2.