Chương VII. Biểu thức đại số và đa thức một biến

Ôn tập chương VII

Sách bài tập Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 2 · 12 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán7 #ChươngVII #SáchBàiTập_Tập2 #trang35–36 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Câu hỏi 1★Trang 35— Nhận biết đa thức một biến qua định nghĩa (biến chỉ xuất hiện ở luỹ thừa nguyên không âm)

Biểu thức nào sau đây không là đa thức một biến?
A.

3

; B.

- x

; C.

x + \frac{- 1}{x}

; D.

\frac{x}{2} - 1

Kiến thức cần nhớ

Đa thức một biến $x$ là tổng hữu hạn các đơn thức $a \cdot x^{n}$ với $n$ nguyên KHÔNG ÂM.
Hằng số (kể cả số vô tỉ như $2, 3$ ) là đa thức bậc $0$ .
$\frac{1}{x} = x^{- 1}$ có số mũ âm nên KHÔNG phải đơn thức, do đó biểu thức chứa nó không là đa thức.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu: đa thức một biến chỉ gồm các luỹ thừa nguyên KHÔNG ÂM của biến

x

cộng lại, hệ số có thể là bất kì số thực nào (kể cả căn thức như

2, 3

, miễn hệ số đó không chứa

x

). Bẫy ở chỗ phương án C có

x

nằm dưới mẫu (

\frac{- 1}{x} = - x^{- 1}

), tức luỹ thừa

- 1

là số mũ ÂM — không còn là đa thức; còn

2, 3

ở A, D chỉ là hằng số nhân với

x^{0}

hoặc

x^{1}

, hoàn toàn hợp lệ.

1Cách 1. Kiểm tra từng phương án theo đúng định nghĩa đa thức một biến

Định hướng. Xét xem mỗi phương án có phải tổng các luỹ thừa nguyên không âm của $x$ hay không.

3

là hằng số

= 3 \cdot x^{0}

— đa thức bậc

0

- x

là đơn thức bậc

1

— đa thức
C.

x + \frac{- 1}{x} = x - x^{- 1}

có số mũ

- 1

(âm) — KHÔNG là đa thức
D.

\frac{x}{2} - 1 = \frac{1}{2} x - 1

— đa thức bậc

1

(hệ số

\frac{1}{2}

)

Vậy Chỉ có phương án C không là đa thức một biến. Chọn C.

2Cách 2. Nhận diện nhanh dấu hiệu 'biến nằm ở mẫu số'

Định hướng. Không cần xét từng phương án đầy đủ — chỉ cần rà soát xem phương án nào có $x$ xuất hiện ở MẪU của một phân thức, vì đó luôn là dấu hiệu vi phạm định nghĩa đa thức.

A, B, D: biến

x

(nếu có) chỉ xuất hiện ở tử, số mũ nguyên không âm — đều hợp lệ
C: có

\frac{- 1}{x}

, biến

x

nằm ở mẫu — vi phạm ngay lập tức

Vậy Phương án C là biểu thức không phải đa thức một biến.

3Cách 3. Kiểm tra bằng tính chất 'đa thức luôn xác định với mọi giá trị của biến'

Định hướng. Một tính chất đặc trưng của đa thức là nó xác định (tính được giá trị) với MỌI giá trị thực của biến; thử xem biểu thức nào có giá trị $x$ làm nó KHÔNG xác định.

A, B, D xác định với mọi

x

(kể cả

x = 0

)
C tại

x = 0

\frac{- 1}{0}

không xác định (chia cho

0

)

Vậy C không xác định tại $x = 0$ nên không thể là đa thức (đa thức luôn xác định mọi $x$ ); chọn C.

Nhận xét. Cách 3 chỉ là một dấu hiệu PHỤ để kiểm tra nhanh, không thay được định nghĩa ở Cách 1 — có những biểu thức không phải đa thức nhưng vẫn xác định với mọi $x$ (ví dụ chứa căn của biến).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần rà nhanh phương án nào có biến ở mẫu số là loại được ngay, khỏi phải xét đủ cả bốn phương án như Cách 1.

Đáp số. Đáp án C.

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: thấy có căn thức

2, 3

liền cho rằng cả A và D cũng 'không phải đa thức' (nhầm căn của HẰNG SỐ với căn của BIẾN); trong khi

2, 3

chỉ đóng vai trò hệ số, hoàn toàn hợp lệ trong đa thức.

🚀 Mở rộng. Tương tự,

x^{1/2} = x

(số mũ không nguyên) hay

x^{- 2} = \frac{1}{x ^{2}}

(số mũ âm) cũng đều KHÔNG phải đơn thức, nên biểu thức chứa các dạng này không là đa thức.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Câu hỏi 2★Trang 35— Đọc hệ số cao nhất và hệ số tự do của một đa thức đã sắp xếp theo luỹ thừa giảm dần

Cho đa thức

G (x) = 4 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x

. Hệ số cao nhất và hệ số tự do của

G (x)

lần lượt là:
A.

4

và

0

; B.

0

và

4

; C.

4

và

- 5

; D.

- 5

và

4

Kiến thức cần nhớ

Đa thức $a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ có hệ số cao nhất $a_{n}$ ( $a_{n} \neq = 0$ ), hệ số tự do $a_{0}$ .
Hạng tử bậc $0$ (hằng số) vắng mặt trong đa thức nghĩa là hệ số tự do bằng $0$ , KHÔNG PHẢI đa thức thiếu hệ số tự do.

🧠 Phân tích tư duy

Đa thức đã cho SẴN theo luỹ thừa giảm dần nên không cần sắp xếp lại — dấu hiệu là chỉ việc đọc đúng vị trí: hệ số cao nhất ứng với luỹ thừa CAO NHẤT, hệ số tự do ứng với luỹ thừa

x^{0}

. Bẫy ở chỗ

G (x)

không có hạng tử tự do viết tường minh (không có số hạng chỉ chứa số) — dễ nhầm hệ số tự do với hệ số của hạng tử bậc thấp nhất đang có (

- 5

, hệ số của

x

) thay vì hiểu rằng hạng tử bậc

0

vắng mặt tức là có hệ số

0

1Cách 1. Đọc trực tiếp theo định nghĩa hệ số cao nhất và hệ số tự do

Định hướng. $G (x) = 4 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x$ đã ở dạng chuẩn (luỹ thừa giảm dần); chỉ cần xác định hạng tử bậc cao nhất và bậc $0$ .

Hạng tử bậc cao nhất:

4 x^{3}

(bậc

3

)

\Rightarrow

hệ số cao nhất

= 4

Hạng tử bậc

0

: không xuất hiện trong

G (x)

\Rightarrow

hệ số tự do

= 0

Vậy Hệ số cao nhất là $4$ , hệ số tự do là $0$ . Chọn A.

2Cách 2. Viết đầy đủ

G (x)

kèm hạng tử bậc

0

rồi mới đọc

Định hướng. Bổ sung tường minh số hạng bậc $0$ với hệ số $0$ để tránh nhầm lẫn, sau đó đọc hệ số ở đúng hai vị trí cần tìm.

G (x) = 4 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 0

Hệ số của

x^{3}

(bậc cao nhất, cũng là bậc của đa thức) là

4

Hệ số của

x^{0}

(hằng số) là

0

Vậy Hệ số cao nhất $= 4$ , hệ số tự do $= 0$ : khớp Cách 1, chọn A.

3Cách 3. Loại trừ ba phương án còn lại bằng cách kiểm tra ngược

Định hướng. Thay vì đọc trực tiếp, kiểm tra từng phương án B, C, D có mâu thuẫn với $G (x)$ hay không để loại, phương án còn lại chính là đáp số.

B nói hệ số cao nhất là

0

— sai vì hạng tử bậc cao nhất

4 x^{3}

có hệ số

4 \neq = 0

C nói hệ số tự do là

- 5

— sai vì

- 5

là hệ số của

x

(bậc

1

), không phải hằng số
D nói hệ số cao nhất là

- 5

— sai cùng lí do trên

Vậy Loại được B, C, D nên đáp án đúng là A, khớp Cách 1, Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đọc trực tiếp hệ số của hạng tử bậc cao nhất và bậc

0

là nhanh nhất, không cần viết lại đa thức như Cách 2.

Đáp số. Đáp án A.

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: lấy

- 5

(hệ số của

x

, bậc

1

) làm hệ số tự do vì đó là hạng tử có bậc thấp nhất ĐANG XUẤT HIỆN trong

G (x)

, quên rằng hệ số tự do phải là hệ số của

x^{0}

— ở đây bằng

0

vì

G (x)

không có số hạng chỉ chứa số.

🚀 Mở rộng. Nếu

G (x)

được viết KHÔNG theo thứ tự (ví dụ

G (x) = 2 x^{2} - 5 x + 4 x^{3}

) thì phải sắp xếp lại theo luỹ thừa giảm dần trước khi đọc hệ số, để tránh nhầm hệ số cao nhất với hệ số của hạng tử viết đầu tiên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Câu hỏi 3★★Trang 35— Lí luận tổng quát về bậc của tổng hai đa thức theo quan hệ bậc giữa hai đa thức thành phần

Cho hai đa thức

f (x)

và

g (x)

khác đa thức không sao cho tổng

f (x) + g (x)

khác đa thức không. Khi nào thì bậc của

f (x) + g (x)

chắc chắn bằng bậc của

f (x)

?
A.

f (x)

và

g (x)

có cùng bậc; B.

f (x)

có bậc lớn hơn bậc của

g (x)

; C.

g (x)

có bậc lớn hơn bậc của

f (x)

; D. Không bao giờ.

Kiến thức cần nhớ

Nếu $de g f \neq = de g g$ thì $de g (f + g) = max (de g f, de g g)$ (hạng tử bậc cao hơn không bị triệt tiêu).
Nếu $de g f = de g g$ thì $de g (f + g) \leq de g f$ , có thể NHỎ HƠN nếu hệ số cao nhất của $f, g$ đối nhau.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Câu hỏi 4★★Trang 35— Tìm nghiệm của đa thức bậc hai bằng cách nhẩm nghiệm (tổng và tích) hoặc phân tích nhân tử

Cho đa thức

P (x) = x^{2} + 5 x - 6

. Khi đó:
A.

P (x)

chỉ có một nghiệm là

x = 1

; B.

P (x)

không có nghiệm; C.

P (x)

chỉ có một nghiệm là

x = - 6

; D.

x = 1

và

x = - 6

là hai nghiệm của

P (x)

Kiến thức cần nhớ

Nếu $a + b + c = 0$ (với $P (x) = a x^{2} + b x + c$ ) thì $x = 1$ là một nghiệm.
Đa thức bậc hai có tối đa hai nghiệm; phân tích được thành $(x - x_{1}) (x - x_{2})$ thì $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm.
Tích hai nghiệm của $x^{2} + 5 x - 6$ bằng $\frac{c}{a} = - 6$ , tổng hai nghiệm bằng $- \frac{b}{a} = - 5$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Câu hỏi 5★★Trang 35— Xác định điều kiện chia hết khi chia đa thức cho đơn thức có số mũ chứa tham số

Phép chia đa thức

2 x^{5} - 3 x^{4} + x^{3} - 6 x^{2}

cho đa thức

5 x^{7 - 2 n}

(

n \in N

và

0 \leq n \leq 3

) là phép chia hết nếu:
A.

n = 0

; B.

n = 1

; C.

n = 2

; D.

n = 3

Kiến thức cần nhớ

$(a x^{m} + b x^{k}) : c x^{p}$ (chia hết) đòi hỏi $p \leq m$ VÀ $p \leq k$ với mọi hạng tử — tức $p$ không vượt quá số mũ NHỎ NHẤT trong đa thức bị chia.
Hạng tử có bậc thấp nhất của $2 x^{5} - 3 x^{4} + x^{3} - 6 x^{2}$ là $- 6 x^{2}$ (bậc $2$ ).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 7.34★Trang 35— Thu gọn đa thức (cộng trừ đơn thức đồng dạng) rồi sắp xếp và đọc bậc, hệ số

Bài 7.34 (trang 35). Thu gọn và sắp xếp các đa thức sau theo luỹ thừa giảm của biến. Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đó.
a)

x^{5} + 7 x^{2} - x - 2 x^{5} + 3 - 5 x^{2}

;
b)

4 x^{3} - 5 x^{2} + x - 4 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x + 6

Kiến thức cần nhớ

Hai đơn thức đồng dạng có cùng phần biến (cùng luỹ thừa của $x$ ); cộng/trừ đơn thức đồng dạng bằng cách cộng/trừ hệ số, giữ nguyên phần biến.
Sau khi thu gọn, đa thức phải được sắp xếp theo luỹ thừa GIẢM DẦN mới đọc đúng bậc và các hệ số.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 7.35★★Trang 36— Tìm nghiệm của tổng hai đa thức trong một tập số cho trước

Bài 7.35 (trang 36). Cho hai đa thức

f (x) = 4 x^{4} - 5 x^{3} + 3 x + 2

và

g (x) = - 4 x^{4} + 5 x^{3} + 7

. Trong các số

- 4

;

- 3

;

0

và

1

, số nào là nghiệm của đa thức

f (x) + g (x)

Kiến thức cần nhớ

$x = x_{0}$ là nghiệm của đa thức $h (x)$ khi và chỉ khi $h (x_{0}) = 0$ .
Cộng hai đa thức: cộng các hệ số của hạng tử đồng dạng.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 7.36★★Trang 36— Chứng minh một đa thức vô nghiệm bằng cách đưa về dạng luôn dương (hoặc luôn âm)

Bài 7.36 (trang 36). Cho hai đa thức

f (x) = - x^{5} + 3 x^{2} + 4 x + 8

và

g (x) = - x^{5} - 3 x^{2} + 4 x + 2

. Chứng minh rằng đa thức

f (x) - g (x)

không có nghiệm.

Kiến thức cần nhớ

$x^{2} \geq 0$ với mọi số thực $x$ (bình phương của một số luôn không âm).
Nếu $h (x) \geq m > 0$ với mọi $x$ (một hằng số dương) thì $h (x)$ không thể bằng $0$ : $h (x)$ vô nghiệm.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 7.37★★★Trang 36— Cộng, trừ hai đa thức rồi đọc bậc/hệ số và tìm nghiệm trong một tập hữu hạn cho trước

Bài 7.37 (trang 36). Cho hai đa thức sau:

P (x) = 3 x^{5} - 2 x^{4} + 7 x^{2} + 3 x - 10

và

Q (x) = - 3 x^{5} - x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 10

.
a) Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của các đa thức

S (x) = P (x) + Q (x)

và

D (x) = P (x) - Q (x)

.
b) Trong tập hợp

{- 1; 0; 1}

, tìm những số là nghiệm của một trong hai đa thức

S (x)

và

D (x)

Kiến thức cần nhớ

Cộng đa thức: cộng hệ số các hạng tử đồng dạng. Trừ đa thức: đổi dấu đa thức trừ rồi cộng.
$x = x_{0}$ là nghiệm của $h (x)$ khi và chỉ khi $h (x_{0}) = 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 7.38★★★Trang 36— Dùng giả thiết hai nghiệm đối nhau để chứng minh hệ số

p

của số hạng bậc lẻ bằng

0

Bài 7.38 (trang 36). Biết rằng đa thức

f (x) = x^{4} + p x^{3} - 2 x^{2} + 1

có hai nghiệm (khác

0

) là hai số đối nhau. Chứng minh rằng

p = 0

Kiến thức cần nhớ

Nếu $a$ là nghiệm của $f (x)$ thì $f (a) = 0$ ; tương tự $f (- a) = 0$ nếu $- a$ cũng là nghiệm.
Với luỹ thừa CHẴN của $x$ : $(- a)^{2 k} = a^{2 k}$ (không đổi dấu); với luỹ thừa LẺ: $(- a)^{2 k + 1} = - a^{2 k + 1}$ (đổi dấu).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 7.39★★★Trang 36— Nhân hai đa thức và chia đa thức cho đa thức (đặt tính chia), kết hợp rút gọn trước khi chia

Bài 7.39 (trang 36). Thực hiện các phép tính sau:
a)

(5 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 4) (3 x^{2} + x - 1)

;
b)

(9 x^{5} - 6 x^{3} + 18 x^{2} - 35 x - 42) : (3 x^{3} + 5 x + 6)

;
c)

[(6 x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 5) - (4 x^{2} - 6 x + 2)] : (2 x - 3)

Kiến thức cần nhớ

Nhân đa thức với đa thức: nhân từng hạng tử của đa thức này với TỪNG hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích, cuối cùng gộp hạng tử đồng dạng.
Đặt tính chia đa thức: chia hạng tử bậc cao nhất của bị chia cho hạng tử bậc cao nhất của chia, nhân ngược rồi trừ, lặp lại tới khi bậc dư nhỏ hơn bậc chia.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 7.40★★★Trang 36— Rút gọn biểu thức là hiệu của các tích nhiều nhân tử, dùng hằng đẳng thức để rút gọn nhanh

Bài 7.40 (trang 36). Rút gọn các biểu thức sau:
a)

A = (x - 1) (x + 2) (x - 3) - (x + 1) (x - 2) (x + 3)

;
b)

B = (x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1) (x^{4} + 1) - x^{8}

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức: $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ .
Nhân ba nhân tử bậc nhất: khai triển hai nhân tử trước thành tam thức, rồi nhân tiếp với nhân tử còn lại.