Chương I. Đa thức

Bài 1. Đơn thức

SBT (Sách bài tập) Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.1★★Trang 7— Nhận biết đơn thức, thu gọn và phân nhóm đơn thức đồng dạng

Cho các biểu thức sau:

- x y \cdot 2 y

;

(1 + 2) x^{2} y

;

x + 1

;

(1 - 2) x y x

;

1, 5 x y^{2}

;

\frac{x}{y}

;

(- x) \cdot 0, 5 y^{2}

. a) Trong các biểu thức đã cho, những biểu thức nào là đơn thức? b) Tìm các đơn thức thu gọn trong các đơn thức trên và thu gọn các đơn thức còn lại. c) Hãy chia các đơn thức (đã thu gọn) trong bài thành các nhóm sao cho các đơn thức đồng dạng thì thuộc cùng một nhóm và hai đơn thức không đồng dạng thì nằm ở hai nhóm khác nhau. Tính tổng của các đơn thức trong mỗi nhóm.

Kiến thức cần nhớ

Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc tích giữa các số và các biến.
Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến, mà mỗi biến chỉ xuất hiện một lần dưới dạng một lũy thừa với số mũ nguyên dương.
Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến; muốn cộng (trừ) các đơn thức đồng dạng ta cộng (trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu để loại bỏ hai biểu thức không phải đơn thức nằm ngay ở phép toán:

x + 1

có dấu cộng giữa biến và số, còn

\frac{x}{y}

có biến nằm ở mẫu — cả hai đều trái với định nghĩa đơn thức. Chọn hướng gom thừa số bằng số riêng, gom lũy thừa cùng biến riêng vì đó là cách thu gọn nhanh và không nhầm lẫn số mũ với hệ số. Bẫy lớn nhất nằm ở

- x y \cdot 2 y

: số

2

đứng liền hai chữ

y

rất dễ bị đọc lầm thành số mũ.

1Cách 1. Xét đúng định nghĩa để lọc đơn thức rồi gom thừa số

Định nghĩa đơn thức không cho phép chứa phép cộng, phép trừ giữa các biến, và không cho phép biến nằm ở mẫu; xét từng biểu thức theo hai điều kiện đó trước khi thu gọn.

x + 1

chứa phép cộng nên không phải đơn thức;

\frac{x}{y}

có biến

y

ở mẫu nên cũng không phải đơn thức.

Năm biểu thức còn lại đều là đơn thức:

- x y \cdot 2 y

;

(1 + 2) x^{2} y

;

(1 - 2) x y x

;

1, 5 x y^{2}

;

(- x) \cdot 0, 5 y^{2}

Vậy trong bảy biểu thức đã cho có đúng năm đơn thức, chỉ loại $x + 1$ và $\frac{x}{y}$ .

Trong năm đơn thức trên, $(1 + 2) x^{2} y$ và $1, 5 x y^{2}$ đã ở dạng thu gọn; ba đơn thức còn lại phải gom các thừa số bằng số về một chỗ và gom các lũy thừa cùng biến về một chỗ.

- x y \cdot 2 y = (- 1 \cdot 2) \cdot x \cdot (y \cdot y) = - 2 x y^{2}

(1 - 2) x y x = (1 - 2) \cdot (x \cdot x) \cdot y = (1 - 2) x^{2} y

(- x) \cdot 0, 5 y^{2} = (- 1 \cdot 0, 5) \cdot x \cdot y^{2} = - 0, 5 x y^{2}

Vậy năm đơn thức thu gọn là $- 2 x y^{2}$ ; $(1 + 2) x^{2} y$ ; $(1 - 2) x^{2} y$ ; $1, 5 x y^{2}$ ; $- 0, 5 x y^{2}$ .

Hai đơn thức đồng dạng phải có cùng phần biến; quan sát năm đơn thức thu gọn thấy chỉ có hai loại phần biến là $x y^{2}$ và $x^{2} y$ .

Nhóm phần biến

x y^{2}

gồm

- 2 x y^{2}

;

1, 5 x y^{2}

;

- 0, 5 x y^{2}

, có tổng:

- 2 x y^{2} + 1, 5 x y^{2} - 0, 5 x y^{2} = (- 2 + 1, 5 - 0, 5) x y^{2} = - x y^{2}

Nhóm phần biến

x^{2} y

gồm

(1 + 2) x^{2} y

;

(1 - 2) x^{2} y

, có tổng:

(1 + 2) x^{2} y + (1 - 2) x^{2} y = (1 + 2 + 1 - 2) x^{2} y = 2 x^{2} y

Vậy có hai nhóm đơn thức đồng dạng, với tổng lần lượt là $- x y^{2}$ và $2 x^{2} y$ .

2Cách 2. Lập bảng số mũ để nhận diện đồng dạng khách quan

Thay vì so sánh phần biến bằng mắt, lập bảng ghi số mũ của $x$ và $y$ trong mỗi đơn thức đã thu gọn; hai đơn thức đồng dạng khi và chỉ khi hai hàng số mũ giống hệt nhau.

- 2 x y^{2}

: số mũ

x

là

1

, số mũ

y

là

2

1, 5 x y^{2}

: số mũ

x

là

1

, số mũ

y

là

2

- 0, 5 x y^{2}

: số mũ

x

là

1

, số mũ

y

là

2

(1 + 2) x^{2} y

: số mũ

x

là

2

, số mũ

y

là

1

(1 - 2) x^{2} y

: số mũ

x

là

2

, số mũ

y

là

1

Ba đơn thức đầu có cùng hàng số mũ $(1; 2)$ nên đồng dạng, hai đơn thức sau có cùng hàng số mũ $(2; 1)$ nên đồng dạng; hai hàng số mũ này khác nhau nên hai nhóm không đồng dạng với nhau.

Cộng các hệ số trong từng nhóm để ra tổng, giữ nguyên phần biến chung của nhóm.

Nhóm

(1; 2)

- 2 + 1, 5 - 0, 5 = - 1

, tổng bằng

- x y^{2}

Nhóm

(2; 1)

(1 + 2) + (1 - 2) = 2

, tổng bằng

2 x^{2} y

Kết quả trùng khớp Cách 1: hai tổng là $- x y^{2}$ và $2 x^{2} y$ .

3Cách 3. Cộng gộp cả năm đơn thức rồi chỉ ra vì sao phải tách nhóm

Thử cộng thẳng cả năm đơn thức thu gọn thành một tổng duy nhất để thấy vì sao đề bài bắt buộc phải tách thành hai nhóm riêng.

- 2 x y^{2} + (1 + 2) x^{2} y + (1 - 2) x^{2} y + 1, 5 x y^{2} - 0, 5 x y^{2}

= [- 2 x y^{2} + 1, 5 x y^{2} - 0, 5 x y^{2}] + [(1 + 2) x^{2} y + (1 - 2) x^{2} y]

= - x y^{2} + 2 x^{2} y

Tổng chung không rút gọn được thành một đơn thức duy nhất vì $x y^{2}$ và $x^{2} y$ là hai phần biến khác nhau — đây chính là lý do phải tách hai nhóm đồng dạng riêng biệt, mỗi nhóm cho một tổng là $- x y^{2}$ và $2 x^{2} y$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì bám sát đúng ba yêu cầu a, b, c của đề theo thứ tự, không phải suy luận thêm gì khác; Cách 2 chỉ nên dùng để soát lại khi còn nghi ngờ nhóm đồng dạng.

Đáp số. Có

5

đơn thức (loại

x + 1

và

\frac{x}{y}

); dạng thu gọn:

- 2 x y^{2}

;

1, 5 x y^{2}

;

- 0, 5 x y^{2}

;

(1 + 2) x^{2} y

;

(1 - 2) x^{2} y

; hai nhóm đồng dạng có tổng lần lượt là

- x y^{2}

và

2 x^{2} y

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn đọc nhanh

- x y \cdot 2 y

thành

- x (y^{2}) \cdot y = - x y^{3}

vì tưởng số

2

là số mũ của chữ

y

đứng trước, trong khi

2

chỉ là một thừa số bằng số đứng giữa hai chữ

y

; đọc đúng phải thu gọn thành

- 2 x y^{2}

chứ không phải

- x y^{3}

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với một dãy nhiều đơn thức đã thu gọn, số nhóm đồng dạng chính là số phần biến khác nhau xuất hiện trong dãy, ví dụ thêm đơn thức

- 3 x y^{2}

vào nhóm

x y^{2}

ở trên sẽ đổi tổng nhóm đó thành

- 4 x y^{2}

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.2★★Trang 7— Thu gọn đơn thức rồi xác định hệ số và bậc

Thu gọn rồi tìm hệ số và bậc của mỗi đơn thức sau:

3 x y^{2} x^{2} 5

;

- 7, 5 x z (- 2) y z

;

x (1 + π) x y

;

\frac{y x ^{2}}{3} y z^{2}

Kiến thức cần nhớ

Muốn thu gọn một đơn thức chưa ở dạng chuẩn, ta nhóm các thừa số bằng số lại với nhau và nhóm các lũy thừa của cùng một biến lại với nhau, dùng công thức $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ .
Hệ số của đơn thức thu gọn là thừa số bằng số, bậc của đơn thức thu gọn là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức.

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn đơn thức đều CHƯA thu gọn vì cùng một biến xuất hiện rời rạc nhiều lần trong đề, đó là dấu hiệu phải gộp thừa số bằng số riêng và gộp lũy thừa cùng biến riêng trước khi đọc hệ số, bậc. Chọn hướng gộp theo nhóm vì làm gọn ngay một lần, khỏi phải liệt kê từng số mũ. Bẫy nằm ở câu b: hai số âm

- 7, 5

và

- 2

nhân nhau rất dễ bị đổi dấu nhầm thành số âm.

1Cách 1. Gom thừa số bằng số và gom lũy thừa cùng biến

Trong mỗi đơn thức, tách riêng nhóm các thừa số bằng số và nhóm các lũy thừa của từng biến, dùng tính chất giao hoán và kết hợp của phép nhân để gộp từng nhóm.

3 x y^{2} x^{2} 5 = (35) \cdot (x \cdot x^{2}) \cdot y^{2} = 35 x^{3} y^{2}

- 7, 5 x z (- 2) y z = [- 7, 5 \cdot (- 2)] \cdot x \cdot y \cdot (z \cdot z) = 15 x y z^{2}

x (1 + π) x y = (1 + π) \cdot (x \cdot x) \cdot y = (1 + π) x^{2} y

\frac{y x ^{2}}{3} y z^{2} = \frac{1}{3} \cdot x^{2} \cdot (y \cdot y) \cdot z^{2} = \frac{1}{3} x^{2} y^{2} z^{2}

Vậy hệ số và bậc lần lượt là: a) hệ số $35$ , bậc $3 + 2 = 5$ ; b) hệ số $15$ , bậc $1 + 1 + 2 = 4$ ; c) hệ số $1 + π$ , bậc $1 + 1 = 2$ ; d) hệ số $\frac{1}{3}$ , bậc $2 + 2 + 2 = 6$ .

2Cách 2. Viết mỗi thừa số dạng lũy thừa tường minh rồi cộng số mũ

Viết mỗi biến xuất hiện nhiều lần dưới dạng các lũy thừa cùng cơ số rồi cộng số mũ theo công thức $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ , tránh gộp bằng trực giác.

x

và

x^{2}

là lũy thừa của

x

với số mũ

1

và

2

x^{1} \cdot x^{2} = x^{1 + 2} = x^{3}

, còn

y^{2}

giữ nguyên, hệ số

35

3 x y^{2} x^{2} 5 = 35 x^{3} y^{2}

z

và

z

là lũy thừa số mũ

1

và

1

z^{1} \cdot z^{1} = z^{1 + 1} = z^{2}

, hệ số

- 7, 5 \cdot (- 2) = 15

- 7, 5 x z (- 2) y z = 15 x y z^{2}

x

và

x

là lũy thừa số mũ

1

và

1

x^{1} \cdot x^{1} = x^{1 + 1} = x^{2}

, hệ số

1 + π

x (1 + π) x y = (1 + π) x^{2} y

y

và

y

là lũy thừa số mũ

1

và

1

y^{1} \cdot y^{1} = y^{1 + 1} = y^{2}

, hệ số

\frac{1}{3}

\frac{y x ^{2}}{3} y z^{2} = \frac{1}{3} x^{2} y^{2} z^{2}

Bốn kết quả trùng khớp Cách 1, hệ số và bậc như trên.

3Cách 3. Cộng thẳng số mũ xuất hiện trong đề để suy ra bậc

Bậc của đơn thức chỉ là tổng mọi số mũ của biến, nên có thể cộng trực tiếp các số mũ xuất hiện rải rác trong đề — không cần chờ gộp xong lũy thừa — để tìm bậc trước rồi mới thu gọn hệ số.

a) số mũ xuất hiện:

x

(mũ

1

y^{2}

(mũ

2

x^{2}

(mũ

2

); tổng số mũ của

x

là

1 + 2 = 3

, cộng với số mũ của

y

là

2

: bậc

= 3 + 2 = 5

b) số mũ xuất hiện:

x

(mũ

1

z

(mũ

1

y

(mũ

1

z

(mũ

1

); bậc

= 1 + 1 + 1 + 1 = 4

và hệ số

= (- 7, 5) \cdot (- 2) = 15

c) số mũ xuất hiện:

x

(mũ

1

x

(mũ

1

y

(mũ

1

); bậc

= 1 + 1 + 1 = 2

và hệ số

= 1 + π

d) số mũ xuất hiện:

y

(mũ

1

x^{2}

(mũ

2

y

(mũ

1

z^{2}

(mũ

2

); bậc

= 1 + 2 + 1 + 2 = 6

và hệ số

= \frac{1}{3}

Bậc tính theo cách cộng trực tiếp số mũ đều khớp với Cách 1: $5$ ; $4$ ; $2$ ; $6$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì gộp thẳng theo nhóm là nhanh nhất, chỉ một dòng ra ngay kết quả; Cách 3 hữu ích khi đề chỉ hỏi bậc mà không cần viết lại đơn thức thu gọn.

Đáp số. a)

35 x^{3} y^{2}

, hệ số

35

, bậc

5

; b)

15 x y z^{2}

, hệ số

15

, bậc

4

; c)

(1 + π) x^{2} y

, hệ số

1 + π

, bậc

2

; d)

\frac{1}{3} x^{2} y^{2} z^{2}

, hệ số

\frac{1}{3}

, bậc

6

Sai lầm thường gặp. Ở câu b nhiều bạn quên dấu của tích

- 7, 5 \cdot (- 2)

nên viết hệ số là

- 15

; hai số âm nhân nhau phải ra số dương, hệ số đúng là

(- 7, 5) \cdot (- 2) = 15

🚀 Mở rộng. Tổng quát: bậc của một đơn thức không phụ thuộc thứ tự viết các thừa số, chẳng hạn đơn thức

2 x^{3} z^{2} \cdot 5 x y^{4}

thu gọn thành

10 x^{4} y^{4} z^{2}

có bậc bằng

4 + 4 + 2 = 10

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.3★★Trang 7— Thu gọn đơn thức chứa căn bậc hai rồi tính giá trị

Thu gọn rồi tính giá trị của mỗi đơn thức sau tại giá trị đã cho của các biến: a)

M = \frac{1}{2} x^{2} y (- 4) y

khi

x = 2

y = 3

; b)

N = x y 5 x^{2}

khi

x = - 2

y = 5

Kiến thức cần nhớ

Muốn tính giá trị của một đơn thức tại giá trị cho trước của biến, nên thu gọn đơn thức về dạng chuẩn trước rồi mới thay số, để tránh nhân nhiều lần cùng một biến.
Với số thực dương $a$ , $(a)^{2} = a$ ; luỹ thừa bậc lẻ của số âm vẫn là số âm.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai đơn thức đều chứa cùng một biến xuất hiện hai lần cộng với giá trị thay vào đều là căn bậc hai, đó là dấu hiệu nên thu gọn đơn thức trước để giảm số lần nhân căn thức. Chọn hướng thu gọn trước vì tránh phải nhân lặp lại

2

hay

5

nhiều lần. Bẫy ở câu b là lũy thừa bậc ba của số âm

- 2

vẫn mang dấu âm, không được bỏ dấu trừ giữa chừng.

1Cách 1. Thu gọn đơn thức về dạng chuẩn rồi mới thay số

Gộp các thừa số bằng số và gộp lũy thừa cùng biến để đưa đơn thức về dạng chuẩn, sau đó mới thay giá trị đã cho của biến vào dạng chuẩn này.

M = \frac{1}{2} x^{2} y (- 4) y = (- 4 \cdot \frac{1}{2}) x^{2} (y \cdot y) = - 2 x^{2} y^{2}

Khi

x = 2

y = 3

M = - 2 (2)^{2} (3)^{2} = - 2 \cdot 2 \cdot 3

M = - 12

N = x y 5 x^{2} = 5 \cdot (x \cdot x^{2}) \cdot y = 5 x^{3} y

Khi

x = - 2

y = 5

N = 5 \cdot (- 2)^{3} \cdot 5 = (5)^{2} \cdot (- 8)

N = 5 \cdot (- 8) = - 40

Vậy $M = - 12$ và $N = - 40$ .

2Cách 2. Thay số ngay vào đơn thức chưa thu gọn

Không cần thu gọn trước, thay thẳng giá trị đã cho của $x$ , $y$ vào từng thừa số của đơn thức ban đầu rồi nhân tất cả lại, dùng để đối chiếu với Cách 1.

M = \frac{1}{2} x^{2} y (- 4) y = \frac{1}{2} \cdot (2)^{2} \cdot 3 \cdot (- 4) \cdot 3

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (- 4) \cdot (3)^{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (- 4) \cdot 3

= - 12

N = x y 5 x^{2} = (- 2) \cdot 5 \cdot 5 \cdot (- 2)^{2}

= (- 2) \cdot 4 \cdot (5)^{2} = (- 2) \cdot 4 \cdot 5

= - 40

Hai cách đều cho cùng kết quả $M = - 12$ và $N = - 40$ .

3Cách 3. Tách riêng phần chứa căn để bình phương trước khi nhân

Mỗi giá trị thay vào đều là căn bậc hai và mỗi biến trong đơn thức thu gọn đều có số mũ chẵn hoặc lẻ rõ ràng, nên tách phần chứa căn ra bình phương trước bằng tính chất $(a)^{2} = a$ , tránh nhân số vô tỉ cồng kềnh.

a) đơn thức thu gọn

M = - 2 x^{2} y^{2}

có cả

x

lẫn

y

mũ chẵn:

(2)^{2} = 2

và

(3)^{2} = 3

nên

M = - 2 \cdot 2 \cdot 3

M = - 12

b) đơn thức thu gọn

N = 5 x^{3} y

có

x

mũ lẻ nên tách

x^{3} = x^{2} \cdot x = (- 2)^{2} \cdot (- 2) = 4 \cdot (- 2)

, còn

y = 5

nhân với hệ số

5

cho

(5)^{2} = 5

N = 5 \cdot 4 \cdot (- 2)

N = - 40

Tách riêng phần căn cũng cho cùng kết quả $M = - 12$ và $N = - 40$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì thu gọn trước rồi mới thay số giúp phép tính ngắn gọn và ít khả năng nhân sót thừa số; Cách 2 chỉ nên dùng để kiểm tra lại đáp số.

Đáp số. a)

M = - 12

; b)

N = - 40

Sai lầm thường gặp. Ở câu b nhiều bạn quên rằng

x^{3} = (- 2)^{3} = - 8

là số âm (lũy thừa bậc lẻ của số âm), nên tính nhầm

x^{3} = 8

rồi ra

N = 40

; phải giữ đúng dấu âm của

(- 2)^{3} = - 8

thì mới ra

N = - 40

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu đơn thức thu gọn có mọi biến đều mang số mũ chẵn thì giá trị luôn không âm khi hệ số dương, ví dụ

3 x^{2} y^{4}

tại

x = 7

y = 2

cho

3 \cdot 7 \cdot 4 = 84

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.4★★Trang 7— Đơn thức đồng dạng và đơn thức cùng bậc theo điều kiện cho trước

Cho đơn thức

M = - \frac{3}{5} x^{2} y z^{3}

. a) Tìm đơn thức đồng dạng với

M

và có hệ số bằng

1 + 3

. b) Tìm đơn thức với ba biến

x

y

z

cùng bậc với

M

, có hệ số bằng

1 - 3

, biết rằng số mũ của

y

và

z

lần lượt là

1

và

2

Kiến thức cần nhớ

Hai đơn thức đồng dạng có cùng phần biến (cùng biến, cùng số mũ tương ứng) và chỉ khác nhau ở hệ số.
Bậc của một đơn thức (có hệ số khác 0) là tổng số mũ của tất cả các biến có mặt trong đơn thức đó.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a chỉ đổi hệ số nên dấu hiệu là giữ nguyên phần biến

x^{2} y z^{3}

của

M

; câu b lại đổi cả số mũ nên dấu hiệu là dùng khái niệm bậc thay vì đồng dạng. Chọn hướng tính bậc của

M

trước ở câu b vì đó là dữ kiện chung duy nhất nối hai đơn thức lại với nhau. Bẫy dễ mắc là nhầm lẫn hai khái niệm: đồng dạng (giữ nguyên phần biến) và cùng bậc (chỉ giữ nguyên tổng số mũ, số mũ từng biến có thể khác).

1Cách 1. Dùng đúng định nghĩa đồng dạng cho câu a, dùng công thức bậc cho câu b

Câu a chỉ cần giữ nguyên phần biến của $M$ và thay hệ số; câu b cần tính bậc của $M$ trước rồi trừ đi số mũ đã biết của $y$ , $z$ để ra số mũ còn lại của $x$ .

a) đơn thức đồng dạng với

M = - \frac{3}{5} x^{2} y z^{3}

phải có cùng phần biến

x^{2} y z^{3}

, chỉ đổi hệ số thành

1 + 3

: đơn thức cần tìm là

(1 + 3) x^{2} y z^{3}

b) bậc của

M

là

2 + 1 + 3 = 6

đơn thức cần tìm cùng bậc

6

, có số mũ của

y

là

1

và số mũ của

z

là

2

nên số mũ của

x

là

6 - 1 - 2 = 3

Vậy đơn thức cần tìm ở câu b có phần biến $x^{3} y z^{2}$ , mang hệ số $1 - 3$ : đơn thức là $(1 - 3) x^{3} y z^{2}$ .

2Cách 2. Lập phương trình bậc để tìm số mũ ẩn

Gọi số mũ của $x$ trong đơn thức cần tìm ở câu b là $a$ , lập phương trình tổng số mũ bằng bậc của $M$ rồi giải ra $a$ .

a) giữ nguyên lập luận đồng dạng: đơn thức cần tìm là

(1 + 3) x^{2} y z^{3}

b) gọi số mũ của

x

là

a

; vì cùng bậc với

M

và bậc của

M

bằng

6

nên

a + 1 + 2 = 6

a = 6 - 3 = 3

Vẫn ra $a = 3$ , đơn thức cần tìm là $(1 - 3) x^{3} y z^{2}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử tăng dần số mũ của x cho tới khi khớp bậc

Với câu b, có thể thử lần lượt số mũ của $x$ từ nhỏ đến lớn, cộng thêm số mũ đã biết của $y$ , $z$ , dừng lại ngay khi tổng bằng bậc của $M$ .

thử số mũ của

x

bằng

1

: tổng

1 + 1 + 2 = 4 \neq = 6

, chưa đủ bậc

thử số mũ của

x

bằng

2

: tổng

2 + 1 + 2 = 5 \neq = 6

, vẫn chưa đủ

thử số mũ của

x

bằng

3

: tổng

3 + 1 + 2 = 6

, khớp đúng bậc của

M

Số mũ của $x$ đúng bằng $3$ , cùng kết quả với hai cách trên: đơn thức cần tìm là $(1 - 3) x^{3} y z^{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì áp thẳng định nghĩa và công thức bậc, chỉ mất một dòng trừ là ra số mũ còn thiếu; Cách 3 an toàn cho bạn nào chưa quen lập phương trình từ bậc.

Đáp số. a)

(1 + 3) x^{2} y z^{3}

; b)

(1 - 3) x^{3} y z^{2}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn ở câu a đổi luôn cả phần biến lẫn hệ số, viết thành

(1 + 3) x^{3} y z^{3}

hoặc tương tự; đơn thức đồng dạng thì phần biến phải giữ y hệt

M

, chỉ có hệ số được phép đổi.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với đơn thức bậc

n

có ba biến mà đã biết số mũ của hai biến là

p

q

, số mũ của biến còn lại luôn là

n - p - q

, miễn kết quả không âm; nếu

n < p + q

thì không tồn tại đơn thức thoả mãn.

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.5★Trang 7— Tìm đơn thức chưa biết từ đẳng thức cộng, trừ đơn thức đồng dạng

a) Tìm đơn thức

A

biết rằng

A - x y^{2} z = 4 x y^{2} z

. b) Tìm đơn thức

B

biết rằng

2 x^{2} y z - B = 3 x^{2} y z

Kiến thức cần nhớ

Muốn tìm số hạng chưa biết trong một tổng, ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết; muốn tìm số trừ chưa biết, ta lấy số bị trừ trừ đi hiệu.
Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng bằng cách cộng, trừ các hệ số và giữ nguyên phần biến.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai câu đều cho một đẳng thức chứa đơn thức đồng dạng và một ẩn là đơn thức, dấu hiệu là chỉ cần cộng, trừ hệ số vì phần biến

x y^{2} z

x^{2} y z

đã giống nhau sẵn hai vế. Chọn hướng chuyển vế đổi dấu vì đây là kỹ năng tìm x quen thuộc, nay áp dụng y hệt cho đơn thức thay vì số. Bẫy nằm ở câu b vì có dấu trừ đứng trước ẩn

B

, chuyển vế phải đổi dấu hai lần chứ không phải một lần.

1Cách 1. Chuyển vế đổi dấu như một phương trình

Coi $A$ , $B$ như ẩn của một đẳng thức, chuyển hạng tử đã biết sang vế còn lại và đổi dấu để cô lập ẩn.

a) từ

A - x y^{2} z = 4 x y^{2} z

, chuyển

- x y^{2} z

sang vế phải và đổi dấu:

A = 4 x y^{2} z + x y^{2} z

A = (4 + 1) x y^{2} z = 5 x y^{2} z

b) từ

2 x^{2} y z - B = 3 x^{2} y z

, chuyển

2 x^{2} y z

sang vế phải và đổi dấu, đồng thời đổi dấu

- B

thành

B

B = 2 x^{2} y z - 3 x^{2} y z

B = (2 - 3) x^{2} y z = - x^{2} y z

Vậy $A = 5 x y^{2} z$ và $B = - x^{2} y z$ .

2Cách 2. Dùng đúng quy tắc tìm số hạng, tìm số trừ

Xác định vai trò của $A$ , $B$ trong từng đẳng thức rồi áp dụng đúng quy tắc: tìm số hạng chưa biết lấy tổng trừ số hạng đã biết, tìm số trừ chưa biết lấy số bị trừ trừ hiệu.

A

là số hạng chưa biết trong tổng

A + (- x y^{2} z) = 4 x y^{2} z

, nên

A = 4 x y^{2} z - (- x y^{2} z)

A = 4 x y^{2} z + x y^{2} z = 5 x y^{2} z

B

là số trừ chưa biết trong

2 x^{2} y z - B = 3 x^{2} y z

, nên

B = 2 x^{2} y z - 3 x^{2} y z

B = - x^{2} y z

Vẫn ra $A = 5 x y^{2} z$ và $B = - x^{2} y z$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng cách thay ngược vào đẳng thức ban đầu

Thay ngược $A$ , $B$ vừa tìm được vào đúng đẳng thức ban đầu để kiểm chứng kết quả trước khi kết luận.

a) thay

A = 5 x y^{2} z

5 x y^{2} z - x y^{2} z = (5 - 1) x y^{2} z = 4 x y^{2} z

, đúng bằng vế phải đề cho

b) thay

B = - x^{2} y z

2 x^{2} y z - (- x^{2} y z) = (2 + 1) x^{2} y z = 3 x^{2} y z

, đúng bằng vế phải đề cho

Cả hai giá trị đều thoả mãn đẳng thức ban đầu nên $A = 5 x y^{2} z$ và $B = - x^{2} y z$ chính xác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chuyển vế đổi dấu là thao tác nhanh nhất, chỉ hai dòng là ra đáp số; luôn dành vài giây làm Cách 3 để thử lại, nhất là với câu có hai lần đổi dấu như câu b.

Đáp số. a)

A = 5 x y^{2} z

; b)

B = - x^{2} y z

Sai lầm thường gặp. Ở câu b nhiều bạn quên đổi dấu khi chuyển

- B

sang vế phải, viết nhầm thành

B = 3 x^{2} y z - 2 x^{2} y z = x^{2} y z

; phải nhớ

- B

đổi dấu thành

+ B

khi chuyển vế nên kết quả đúng là

B = 2 x^{2} y z - 3 x^{2} y z = - x^{2} y z

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với đẳng thức

k A \pm C = D

(

k

là hệ số,

C

D

là các đơn thức đồng dạng với

A

), luôn giải được

A

bằng đúng quy tắc chuyển vế của phương trình bậc nhất, ví dụ

3 x y - A = x y

cho

A = 3 x y - x y = 2 x y

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.6★★Trang 7— Cộng các đơn thức đồng dạng rồi tính giá trị

Tính giá trị của tổng bốn đơn thức sau đây khi

x = - 6

y = 15

11 x^{2} y^{3}

;

- \frac{3}{7} x^{2} y^{3}

;

- 12 x^{2} y^{3}

;

\frac{10}{7} x^{2} y^{3}

Kiến thức cần nhớ

Bốn đơn thức có cùng phần biến $x^{2} y^{3}$ nên đồng dạng với nhau, cộng chúng bằng cách cộng các hệ số và giữ nguyên phần biến.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn đơn thức đều mang chung phần biến

x^{2} y^{3}

, đó là dấu hiệu của phép cộng đơn thức đồng dạng, nên việc đầu tiên là cộng hệ số chứ chưa vội thay số

x = - 6

y = 15

. Chọn hướng cộng hệ số trước vì hệ số tổng hoá ra bằng

0

, giúp bỏ hẳn bước tính

x^{2} y^{3}

rắc rối. Bẫy của đề là để giá trị

x = - 6

y = 15

đánh lạc hướng khiến nhiều bạn vội thay số vào từng đơn thức trước khi cộng hệ số.

1Cách 1. Cộng lần lượt các hệ số theo đúng thứ tự đề bài

Cộng lần lượt các hệ số theo đúng thứ tự đơn thức đã cho, giữ nguyên phần biến chung $x^{2} y^{3}$ ở mỗi bước.

S = 11 x^{2} y^{3} + (- \frac{3}{7} x^{2} y^{3}) + (- 12 x^{2} y^{3}) + \frac{10}{7} x^{2} y^{3}

= (11 - \frac{3}{7}) x^{2} y^{3} + (- 12) x^{2} y^{3} + \frac{10}{7} x^{2} y^{3} = \frac{74}{7} x^{2} y^{3} - 12 x^{2} y^{3} + \frac{10}{7} x^{2} y^{3}

= (\frac{74}{7} - 12) x^{2} y^{3} + \frac{10}{7} x^{2} y^{3} = - \frac{10}{7} x^{2} y^{3} + \frac{10}{7} x^{2} y^{3}

S = 0

Vậy $S = 0$ , đúng với mọi $x$ , $y$ nên tại $x = - 6$ , $y = 15$ vẫn có $S = 0$ .

2Cách 2. Ghép cặp hệ số nguyên riêng, hệ số phân số riêng

Ghép hai hệ số nguyên với nhau và hai hệ số phân số với nhau trước, vì mỗi cặp đều triệt tiêu gọn hơn là cộng lần lượt theo đúng thứ tự đề cho.

cặp hệ số nguyên:

11 + (- 12) = - 1

cặp hệ số phân số:

- \frac{3}{7} + \frac{10}{7} = \frac{7}{7} = 1

cộng hai kết quả trung gian:

- 1 + 1 = 0

Hệ số tổng bằng $0$ nên $S = 0 \cdot x^{2} y^{3} = 0$ với mọi $x$ , $y$ , tại $x = - 6$ , $y = 15$ cũng vẫn có $S = 0$ .

3Cách 3. Tính giá trị chung rồi nhân với hệ số tổng bằng 0

Tính trước giá trị chung $x^{2} y^{3}$ tại $x = - 6$ , $y = 15$ , rồi nhân với hệ số tổng đã biết — nếu hệ số tổng bằng $0$ thì khỏi cần nhân số lớn, dùng tính chất một số nhân với $0$ luôn bằng $0$ .

x^{2} y^{3} = (- 6)^{2} \cdot 1 5^{3} = 36 \cdot 3375 = 121500

hệ số tổng của bốn đơn thức bằng

11 - \frac{3}{7} - 12 + \frac{10}{7} = 0

(đã cộng ở Cách 1)

S = 0 \cdot 121500 = 0

Dù giá trị chung $x^{2} y^{3} = 121500$ khá lớn, kết quả $S$ vẫn bằng $0$ vì nhân với hệ số tổng bằng $0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì cộng lần lượt theo đúng thứ tự đề bài là an toàn nhất, khó bỏ sót hệ số nào; nếu nhìn nhanh ra cặp triệt tiêu thì chuyển sang Cách 2 cho gọn.

Đáp số.

S = 0

với mọi

x, y

, tại

x = - 6, y = 15

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn cộng vội hai phân số

- \frac{3}{7}

và

\frac{10}{7}

trước tiên rồi quên mất còn phải cộng thêm

11

và

- 12

, dẫn tới bỏ sót một bước cộng và ra kết quả sai; phải cộng đủ cả bốn hệ số mới được

0

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu tổng các hệ số của một tổ hợp đơn thức đồng dạng bằng

0

thì tổng đó bằng

0

với MỌI giá trị của biến, không phụ thuộc

x

y

lớn hay nhỏ, ví dụ

5 x^{3} y - 2 x^{3} y - 3 x^{3} y = 0

đúng với mọi

x

y

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Đối chiếu số hiệu bài tập theo SBT: https://www.vietjack.com/sbt-toan-8-kn/bai-1-don-thuc.jsp · https://loigiaihay.com/bai-1-don-thuc-sbt-toan-8-kntt-e32715.html