Chương I. Đa thức

Bài 1. Đơn thức

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngI #SáchBàiTập_Tập1 #trang7 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.1★★Trang 7— Nhận biết đơn thức, thu gọn và phân nhóm đơn thức đồng dạng

Cho các biểu thức sau:

- x y \cdot 2 y

;

(1 + 2) x^{2} y

;

x + 1

;

(1 - 2) x y x

;

1, 5 x y^{2}

;

\frac{x}{y}

;

(- x) \cdot 0, 5 y^{2}

. a) Trong các biểu thức đã cho, những biểu thức nào là đơn thức? b) Tìm các đơn thức thu gọn trong các đơn thức trên và thu gọn các đơn thức còn lại. c) Hãy chia các đơn thức (đã thu gọn) trong bài thành các nhóm sao cho các đơn thức đồng dạng thì thuộc cùng một nhóm và hai đơn thức không đồng dạng thì nằm ở hai nhóm khác nhau. Tính tổng của các đơn thức trong mỗi nhóm.

Kiến thức cần nhớ

Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc tích giữa các số và các biến.
Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến, mà mỗi biến chỉ xuất hiện một lần dưới dạng một lũy thừa với số mũ nguyên dương.
Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến; muốn cộng (trừ) các đơn thức đồng dạng ta cộng (trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu để loại bỏ hai biểu thức không phải đơn thức nằm ngay ở phép toán:

x + 1

có dấu cộng giữa biến và số, còn

\frac{x}{y}

có biến nằm ở mẫu — cả hai đều trái với định nghĩa đơn thức. Chọn hướng gom thừa số bằng số riêng, gom lũy thừa cùng biến riêng vì đó là cách thu gọn nhanh và không nhầm lẫn số mũ với hệ số. Bẫy lớn nhất nằm ở

- x y \cdot 2 y

: số

2

đứng liền hai chữ

y

rất dễ bị đọc lầm thành số mũ.

1Cách 1. Xét đúng định nghĩa để lọc đơn thức rồi gom thừa số

Định nghĩa đơn thức không cho phép chứa phép cộng, phép trừ giữa các biến, và không cho phép biến nằm ở mẫu; xét từng biểu thức theo hai điều kiện đó trước khi thu gọn.

x + 1

chứa phép cộng nên không phải đơn thức;

\frac{x}{y}

có biến

y

ở mẫu nên cũng không phải đơn thức.

Năm biểu thức còn lại đều là đơn thức:

- x y \cdot 2 y

;

(1 + 2) x^{2} y

;

(1 - 2) x y x

;

1, 5 x y^{2}

;

(- x) \cdot 0, 5 y^{2}

Vậy trong bảy biểu thức đã cho có đúng năm đơn thức, chỉ loại $x + 1$ và $\frac{x}{y}$ .

Trong năm đơn thức trên, $(1 + 2) x^{2} y$ và $1, 5 x y^{2}$ đã ở dạng thu gọn; ba đơn thức còn lại phải gom các thừa số bằng số về một chỗ và gom các lũy thừa cùng biến về một chỗ.

- x y \cdot 2 y = (- 1 \cdot 2) \cdot x \cdot (y \cdot y) = - 2 x y^{2}

(1 - 2) x y x = (1 - 2) \cdot (x \cdot x) \cdot y = (1 - 2) x^{2} y

(- x) \cdot 0, 5 y^{2} = (- 1 \cdot 0, 5) \cdot x \cdot y^{2} = - 0, 5 x y^{2}

Vậy năm đơn thức thu gọn là $- 2 x y^{2}$ ; $(1 + 2) x^{2} y$ ; $(1 - 2) x^{2} y$ ; $1, 5 x y^{2}$ ; $- 0, 5 x y^{2}$ .

Hai đơn thức đồng dạng phải có cùng phần biến; quan sát năm đơn thức thu gọn thấy chỉ có hai loại phần biến là $x y^{2}$ và $x^{2} y$ .

Nhóm phần biến

x y^{2}

gồm

- 2 x y^{2}

;

1, 5 x y^{2}

;

- 0, 5 x y^{2}

, có tổng:

- 2 x y^{2} + 1, 5 x y^{2} - 0, 5 x y^{2} = (- 2 + 1, 5 - 0, 5) x y^{2} = - x y^{2}

Nhóm phần biến

x^{2} y

gồm

(1 + 2) x^{2} y

;

(1 - 2) x^{2} y

, có tổng:

(1 + 2) x^{2} y + (1 - 2) x^{2} y = (1 + 2 + 1 - 2) x^{2} y = 2 x^{2} y

Vậy có hai nhóm đơn thức đồng dạng, với tổng lần lượt là $- x y^{2}$ và $2 x^{2} y$ .

2Cách 2. Lập bảng số mũ để nhận diện đồng dạng khách quan

Thay vì so sánh phần biến bằng mắt, lập bảng ghi số mũ của $x$ và $y$ trong mỗi đơn thức đã thu gọn; hai đơn thức đồng dạng khi và chỉ khi hai hàng số mũ giống hệt nhau.

- 2 x y^{2}

: số mũ

x

là

1

, số mũ

y

là

2

1, 5 x y^{2}

: số mũ

x

là

1

, số mũ

y

là

2

- 0, 5 x y^{2}

: số mũ

x

là

1

, số mũ

y

là

2

(1 + 2) x^{2} y

: số mũ

x

là

2

, số mũ

y

là

1

(1 - 2) x^{2} y

: số mũ

x

là

2

, số mũ

y

là

1

Ba đơn thức đầu có cùng hàng số mũ $(1; 2)$ nên đồng dạng, hai đơn thức sau có cùng hàng số mũ $(2; 1)$ nên đồng dạng; hai hàng số mũ này khác nhau nên hai nhóm không đồng dạng với nhau.

Cộng các hệ số trong từng nhóm để ra tổng, giữ nguyên phần biến chung của nhóm.

Nhóm

(1; 2)

- 2 + 1, 5 - 0, 5 = - 1

, tổng bằng

- x y^{2}

Nhóm

(2; 1)

(1 + 2) + (1 - 2) = 2

, tổng bằng

2 x^{2} y

Kết quả trùng khớp Cách 1: hai tổng là $- x y^{2}$ và $2 x^{2} y$ .

3Cách 3. Cộng gộp cả năm đơn thức rồi chỉ ra vì sao phải tách nhóm

Thử cộng thẳng cả năm đơn thức thu gọn thành một tổng duy nhất để thấy vì sao đề bài bắt buộc phải tách thành hai nhóm riêng.

- 2 x y^{2} + (1 + 2) x^{2} y + (1 - 2) x^{2} y + 1, 5 x y^{2} - 0, 5 x y^{2}

= [- 2 x y^{2} + 1, 5 x y^{2} - 0, 5 x y^{2}] + [(1 + 2) x^{2} y + (1 - 2) x^{2} y]

= - x y^{2} + 2 x^{2} y

Tổng chung không rút gọn được thành một đơn thức duy nhất vì $x y^{2}$ và $x^{2} y$ là hai phần biến khác nhau — đây chính là lý do phải tách hai nhóm đồng dạng riêng biệt, mỗi nhóm cho một tổng là $- x y^{2}$ và $2 x^{2} y$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì bám sát đúng ba yêu cầu a, b, c của đề theo thứ tự, không phải suy luận thêm gì khác; Cách 2 chỉ nên dùng để soát lại khi còn nghi ngờ nhóm đồng dạng.

Đáp số. Có

5

đơn thức (loại

x + 1

và

\frac{x}{y}

); dạng thu gọn:

- 2 x y^{2}

;

1, 5 x y^{2}

;

- 0, 5 x y^{2}

;

(1 + 2) x^{2} y

;

(1 - 2) x^{2} y

; hai nhóm đồng dạng có tổng lần lượt là

- x y^{2}

và

2 x^{2} y

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn đọc nhanh

- x y \cdot 2 y

thành

- x (y^{2}) \cdot y = - x y^{3}

vì tưởng số

2

là số mũ của chữ

y

đứng trước, trong khi

2

chỉ là một thừa số bằng số đứng giữa hai chữ

y

; đọc đúng phải thu gọn thành

- 2 x y^{2}

chứ không phải

- x y^{3}

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với một dãy nhiều đơn thức đã thu gọn, số nhóm đồng dạng chính là số phần biến khác nhau xuất hiện trong dãy, ví dụ thêm đơn thức

- 3 x y^{2}

vào nhóm

x y^{2}

ở trên sẽ đổi tổng nhóm đó thành

- 4 x y^{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.2★★Trang 7— Thu gọn đơn thức rồi xác định hệ số và bậc

Thu gọn rồi tìm hệ số và bậc của mỗi đơn thức sau:

3 x y^{2} x^{2} 5

;

- 7, 5 x z (- 2) y z

;

x (1 + π) x y

;

\frac{y x ^{2}}{3} y z^{2}

Kiến thức cần nhớ

Muốn thu gọn một đơn thức chưa ở dạng chuẩn, ta nhóm các thừa số bằng số lại với nhau và nhóm các lũy thừa của cùng một biến lại với nhau, dùng công thức $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ .
Hệ số của đơn thức thu gọn là thừa số bằng số, bậc của đơn thức thu gọn là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức.

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn đơn thức đều CHƯA thu gọn vì cùng một biến xuất hiện rời rạc nhiều lần trong đề, đó là dấu hiệu phải gộp thừa số bằng số riêng và gộp lũy thừa cùng biến riêng trước khi đọc hệ số, bậc. Chọn hướng gộp theo nhóm vì làm gọn ngay một lần, khỏi phải liệt kê từng số mũ. Bẫy nằm ở câu b: hai số âm

- 7, 5

và

- 2

nhân nhau rất dễ bị đổi dấu nhầm thành số âm.

1Cách 1. Gom thừa số bằng số và gom lũy thừa cùng biến

Trong mỗi đơn thức, tách riêng nhóm các thừa số bằng số và nhóm các lũy thừa của từng biến, dùng tính chất giao hoán và kết hợp của phép nhân để gộp từng nhóm.

3 x y^{2} x^{2} 5 = (35) \cdot (x \cdot x^{2}) \cdot y^{2} = 35 x^{3} y^{2}

- 7, 5 x z (- 2) y z = [- 7, 5 \cdot (- 2)] \cdot x \cdot y \cdot (z \cdot z) = 15 x y z^{2}

x (1 + π) x y = (1 + π) \cdot (x \cdot x) \cdot y = (1 + π) x^{2} y

\frac{y x ^{2}}{3} y z^{2} = \frac{1}{3} \cdot x^{2} \cdot (y \cdot y) \cdot z^{2} = \frac{1}{3} x^{2} y^{2} z^{2}

Vậy hệ số và bậc lần lượt là: a) hệ số $35$ , bậc $3 + 2 = 5$ ; b) hệ số $15$ , bậc $1 + 1 + 2 = 4$ ; c) hệ số $1 + π$ , bậc $1 + 1 = 2$ ; d) hệ số $\frac{1}{3}$ , bậc $2 + 2 + 2 = 6$ .

2Cách 2. Viết mỗi thừa số dạng lũy thừa tường minh rồi cộng số mũ

Viết mỗi biến xuất hiện nhiều lần dưới dạng các lũy thừa cùng cơ số rồi cộng số mũ theo công thức $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ , tránh gộp bằng trực giác.

x

và

x^{2}

là lũy thừa của

x

với số mũ

1

và

2

x^{1} \cdot x^{2} = x^{1 + 2} = x^{3}

, còn

y^{2}

giữ nguyên, hệ số

35

3 x y^{2} x^{2} 5 = 35 x^{3} y^{2}

z

và

z

là lũy thừa số mũ

1

và

1

z^{1} \cdot z^{1} = z^{1 + 1} = z^{2}

, hệ số

- 7, 5 \cdot (- 2) = 15

- 7, 5 x z (- 2) y z = 15 x y z^{2}

x

và

x

là lũy thừa số mũ

1

và

1

x^{1} \cdot x^{1} = x^{1 + 1} = x^{2}

, hệ số

1 + π

x (1 + π) x y = (1 + π) x^{2} y

y

và

y

là lũy thừa số mũ

1

và

1

y^{1} \cdot y^{1} = y^{1 + 1} = y^{2}

, hệ số

\frac{1}{3}

\frac{y x ^{2}}{3} y z^{2} = \frac{1}{3} x^{2} y^{2} z^{2}

Bốn kết quả trùng khớp Cách 1, hệ số và bậc như trên.

3Cách 3. Cộng thẳng số mũ xuất hiện trong đề để suy ra bậc

Bậc của đơn thức chỉ là tổng mọi số mũ của biến, nên có thể cộng trực tiếp các số mũ xuất hiện rải rác trong đề — không cần chờ gộp xong lũy thừa — để tìm bậc trước rồi mới thu gọn hệ số.

a) số mũ xuất hiện:

x

(mũ

1

y^{2}

(mũ

2

x^{2}

(mũ

2

); tổng số mũ của

x

là

1 + 2 = 3

, cộng với số mũ của

y

là

2

: bậc

= 3 + 2 = 5

b) số mũ xuất hiện:

x

(mũ

1

z

(mũ

1

y

(mũ

1

z

(mũ

1

); bậc

= 1 + 1 + 1 + 1 = 4

và hệ số

= (- 7, 5) \cdot (- 2) = 15

c) số mũ xuất hiện:

x

(mũ

1

x

(mũ

1

y

(mũ

1

); bậc

= 1 + 1 + 1 = 2

và hệ số

= 1 + π

d) số mũ xuất hiện:

y

(mũ

1

x^{2}

(mũ

2

y

(mũ

1

z^{2}

(mũ

2

); bậc

= 1 + 2 + 1 + 2 = 6

và hệ số

= \frac{1}{3}

Bậc tính theo cách cộng trực tiếp số mũ đều khớp với Cách 1: $5$ ; $4$ ; $2$ ; $6$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì gộp thẳng theo nhóm là nhanh nhất, chỉ một dòng ra ngay kết quả; Cách 3 hữu ích khi đề chỉ hỏi bậc mà không cần viết lại đơn thức thu gọn.

Đáp số. a)

35 x^{3} y^{2}

, hệ số

35

, bậc

5

; b)

15 x y z^{2}

, hệ số

15

, bậc

4

; c)

(1 + π) x^{2} y

, hệ số

1 + π

, bậc

2

; d)

\frac{1}{3} x^{2} y^{2} z^{2}

, hệ số

\frac{1}{3}

, bậc

6

Sai lầm thường gặp. Ở câu b nhiều bạn quên dấu của tích

- 7, 5 \cdot (- 2)

nên viết hệ số là

- 15

; hai số âm nhân nhau phải ra số dương, hệ số đúng là

(- 7, 5) \cdot (- 2) = 15

🚀 Mở rộng. Tổng quát: bậc của một đơn thức không phụ thuộc thứ tự viết các thừa số, chẳng hạn đơn thức

2 x^{3} z^{2} \cdot 5 x y^{4}

thu gọn thành

10 x^{4} y^{4} z^{2}

có bậc bằng

4 + 4 + 2 = 10

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.3★★Trang 7— Thu gọn đơn thức chứa căn bậc hai rồi tính giá trị

Thu gọn rồi tính giá trị của mỗi đơn thức sau tại giá trị đã cho của các biến: a)

M = \frac{1}{2} x^{2} y (- 4) y

khi

x = 2

y = 3

; b)

N = x y 5 x^{2}

khi

x = - 2

y = 5

Kiến thức cần nhớ

Muốn tính giá trị của một đơn thức tại giá trị cho trước của biến, nên thu gọn đơn thức về dạng chuẩn trước rồi mới thay số, để tránh nhân nhiều lần cùng một biến.
Với số thực dương $a$ , $(a)^{2} = a$ ; luỹ thừa bậc lẻ của số âm vẫn là số âm.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.4★★Trang 7— Đơn thức đồng dạng và đơn thức cùng bậc theo điều kiện cho trước

Cho đơn thức

M = - \frac{3}{5} x^{2} y z^{3}

. a) Tìm đơn thức đồng dạng với

M

và có hệ số bằng

1 + 3

. b) Tìm đơn thức với ba biến

x

y

z

cùng bậc với

M

, có hệ số bằng

1 - 3

, biết rằng số mũ của

y

và

z

lần lượt là

1

và

2

Kiến thức cần nhớ

Hai đơn thức đồng dạng có cùng phần biến (cùng biến, cùng số mũ tương ứng) và chỉ khác nhau ở hệ số.
Bậc của một đơn thức (có hệ số khác 0) là tổng số mũ của tất cả các biến có mặt trong đơn thức đó.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.5★Trang 7— Tìm đơn thức chưa biết từ đẳng thức cộng, trừ đơn thức đồng dạng

a) Tìm đơn thức

A

biết rằng

A - x y^{2} z = 4 x y^{2} z

. b) Tìm đơn thức

B

biết rằng

2 x^{2} y z - B = 3 x^{2} y z

Kiến thức cần nhớ

Muốn tìm số hạng chưa biết trong một tổng, ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết; muốn tìm số trừ chưa biết, ta lấy số bị trừ trừ đi hiệu.
Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng bằng cách cộng, trừ các hệ số và giữ nguyên phần biến.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.6★★Trang 7— Cộng các đơn thức đồng dạng rồi tính giá trị

Tính giá trị của tổng bốn đơn thức sau đây khi

x = - 6

y = 15

11 x^{2} y^{3}

;

- \frac{3}{7} x^{2} y^{3}

;

- 12 x^{2} y^{3}

;

\frac{10}{7} x^{2} y^{3}

Kiến thức cần nhớ

Bốn đơn thức có cùng phần biến $x^{2} y^{3}$ nên đồng dạng với nhau, cộng chúng bằng cách cộng các hệ số và giữ nguyên phần biến.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

Bài tiếp theo ›Bài 2. Đa thức

📚 Cùng chương: Chương I. Đa thức

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Học sâu hơn về Đa thức, hằng đẳng thức, phân thức — đọc thử miễn phí trước khi mua.

📘 Sách

Bài 1. Đơn thức

🎯 Học tiếp

📚 Cùng chương: Chương I. Đa thức

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Toán 8 Luxury – Trọn bộ

Tuyển tập 100 đề giữa kì I Toán 8

Đề HSG Toán 8 – Lời giải chi tiết

Toán 8 – Bản Luxury

Bồi dưỡng HSG THCS