Bài 10. Tứ giác

Định hướng. Dùng định lí tổng bốn góc của một tứ giác bằng $360^{\circ }$ làm chuẩn so sánh, giả sử điều ngược lại với kết luận cần chứng minh rồi chỉ ra tổng bốn góc lệch khỏi $360^{\circ }$.

Vậy bốn góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn, cũng không thể đều là góc tù.

Định hướng. Đặt độ lệch của mỗi góc so với $90^{\circ }$; tổng bốn độ lệch phải bằng $0$ vì tổng bốn góc đúng bằng $360^{\circ }$, từ đó xét dấu để loại hai khả năng đề nêu.

Vậy không thể có bốn độ lệch cùng âm, cũng không thể có bốn độ lệch cùng dương, nghĩa là bốn góc của tứ giác không thể đều là góc nhọn, không thể đều là góc tù.

Nhận xét. Cách 2 chỉ là một cách viết lại Cách 1 dưới dạng đại số, giúp thấy ngay bản chất: tổng bốn góc cố định bằng $360^{\circ }$ buộc các góc phải bù trừ quanh mốc $90^{\circ }$, không thể tất cả cùng lệch về một phía.

Định hướng. Kẻ đường chéo $BD$ để tách tứ giác thành hai tam giác $ABD$ và $BCD$; mỗi tam giác cho một bất đẳng thức tam giác liên quan đến $BD$, ghép hai bất đẳng thức lại để đưa cạnh $AB$ về so với đúng ba cạnh còn lại.

Vậy $AB<BC+CD+DA$; đổi vai trò các đỉnh, lập luận hoàn toàn tương tự cho $BC<CD+DA+AB$, $CD<DA+AB+BC$, $DA<AB+BC+CD$.

Định hướng. Viết $\overrightarrow{AB}$ thành tổng ba vectơ theo đường gấp khúc $A\to D\to C\to B$, dùng bất đẳng thức về độ dài vectơ tổng để so sánh, rồi xét khi nào dấu bằng xảy ra để khẳng định bất đẳng thức thực sự chặt.

Vậy $AB<BC+CD+DA$, và tương tự cho ba cạnh còn lại.

Định hướng. Giả sử điều cần chứng minh là sai, tức $AB\ge BC+CD+DA$, rồi so sánh với tính chất đường gấp khúc $A\to D\to C\to B$ luôn không ngắn hơn đoạn thẳng $AB$ nối trực tiếp hai đầu mút để tìm mâu thuẫn.

Vậy điều giả sử là sai, tức $AB<BC+CD+DA$.