Bài 11. Hình thang cân

Định hướng. Vì $AB\parallel CD$ nên $\hat{A}$, $\hat{D}$ kề cạnh bên $AD$ bù nhau và $\hat{B}$, $\hat{C}$ kề cạnh bên $BC$ bù nhau; thay $\hat{A}=2\hat{D}$ và $\hat{B}=\hat{C}+40^{\circ }$ vào hai phương trình đó.

Vậy $\hat{A}=120^{\circ }$, $\hat{B}=110^{\circ }$, $\hat{C}=70^{\circ }$, $\hat{D}=60^{\circ }$.

Định hướng. Đặt $\hat{D}=x$ thì $\hat{A}=2x$; đặt $\hat{C}=y$ thì $\hat{B}=y+40^{\circ }$; đưa mỗi cặp góc bù nhau về một phương trình bậc nhất một ẩn.

Vậy $\hat{A}=120^{\circ }$, $\hat{B}=110^{\circ }$, $\hat{C}=70^{\circ }$, $\hat{D}=60^{\circ }$.

Định hướng. Sau khi có $\hat{D}$, $\hat{A}$ từ cặp bù nhau thứ nhất, dùng thêm định lí tổng bốn góc tứ giác bằng $360^{\circ }$ cùng hệ thức $\hat{B}=\hat{C}+40^{\circ }$ để tìm nốt $\hat{B}$, $\hat{C}$ mà không cần dùng lại tính chất bù nhau lần hai — một cách kiểm tra chéo độc lập với Cách 1, 2.

Vậy $\hat{A}=120^{\circ }$, $\hat{B}=110^{\circ }$, $\hat{C}=70^{\circ }$, $\hat{D}=60^{\circ }$.

Nhận xét. Cách 3 thực chất suy ra lại đúng $\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ }$ đã dùng ở Cách 1, 2 (vì $\hat{A}+\hat{D}=180^{\circ }$ và tổng bốn góc $360^{\circ }$ kéo theo điều đó), nên đây là phép thử lại chắc chắn chứ không phải một con đường độc lập hoàn toàn — vẫn hữu ích để tự kiểm tra kết quả.

Định hướng. Tách bốn góc của hình thang thành hai cặp kề hai cạnh bên $AD$ và $BC$; mỗi cặp bù nhau nên chứng minh mỗi cặp có nhiều nhất một góc tù, rồi cộng lại cho cả tứ giác.

Vậy trong bốn góc $\hat{A},\hat{B},\hat{C},\hat{D}$ của hình thang $ABCD$, có nhiều nhất một góc tù trong cặp $(\hat{A},\hat{D})$ và nhiều nhất một góc tù trong cặp $(\hat{B},\hat{C})$, nên có nhiều nhất hai góc tù.

Định hướng. Diễn đạt lại lập luận trên bằng đại số: đặt độ lệch của mỗi góc so với $90^{\circ }$, tổng hai độ lệch trong một cặp kề cạnh bên luôn bằng $0$ nên không thể cả hai cùng dương (cùng tù).

Vậy hình thang $ABCD$ có nhiều nhất hai góc tù (mỗi cặp góc kề một cạnh bên góp nhiều nhất một góc tù).

Định hướng. Giả sử phản chứng có từ ba góc tù trở lên, khi đó theo nguyên lí Dirichlet ba góc tù đó phải rơi vào hai cặp kề cạnh bên nên có ít nhất một cặp chứa hai góc cùng tù — mâu thuẫn trực tiếp với tính chất bù nhau.

Vậy điều giả sử là sai, tức hình thang $ABCD$ có nhiều nhất hai góc tù.

Nhận xét. Cách 3 phản chứng ngay trên số lượng góc tù cần bác bỏ (từ ba trở lên), trong khi Cách 1 chứng minh trực tiếp giới hạn cho từng cặp rồi cộng lại — Cách 1 tự nhiên và dễ trình bày hơn khi đi thi.