Bài 1 · Bài 3.12★★★★Trang 37— Suy luận từ hai hình bình hành chung cạnh bằng vectơ; dấu hiệu hình thang cân
Bài 3.12 (trang 37). Xét hai hình bình hành MNBA và MNCB. a) Chứng minh A, B, C là ba điểm thẳng hàng. b) Chứng minh B là trung điểm của AC. c) Hỏi tam giác MAB thoả mãn điều kiện gì để MNCA là một hình thang cân? d) Lấy điểm D để tứ giác MNDC là một hình bình hành. Hỏi tam giác MAB thoả mãn điều kiện gì để MNDA là một hình thang cân?
Kiến thức cần nhớ
Trong hình bình hành PQRS (các đỉnh liên tiếp), PQ=SR.
Hình thang cân là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau (và không song song).
Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
🧠 Phân tích tư duy
Hai hình bình hành MNBA, MNCB có chung cạnh MN, nên vectơ MN vừa bằng AB (từ hình thứ nhất) vừa bằng BC (từ hình thứ hai) — cùng một vectơ mà bằng cả hai, đó chính là chìa khoá cho câu a, b. Câu c, d khó hơn hẳn vì phải LẬT NGƯỢC vấn đề: tìm điều kiện của tam giác MAB để một hình vẽ ra là hình thang cân, nên phải bám vào dấu hiệu "hai đường chéo bằng nhau" hoặc "hai cạnh bên bằng nhau" của hình thang cân rồi quy về khoảng cách từ M tới các đỉnh.
1Cách 1. Toạ độ hoá bằng vectơ
Định hướng. Đặt M làm gốc, biểu diễn N, A, B, C theo hai vectơ cơ sở rồi so sánh trực tiếp.
Đặt MN=n; vì MNBA là hình bình hành (bốn đỉnh liên tiếp M,N,B,A) nên MN=AB, suy ra B=A+n Vì MNCB là hình bình hành (bốn đỉnh liên tiếp M,N,C,B) nên MN=BC, suy ra C=B+n=A+2n Từ đó AB=n và BC=n là CÙNG một vectơ, nên A, B, C thẳng hàng — đây là câu a) Vì AB=BC nên AB=BC và B nằm giữa A, C, tức B là trung điểm của AC — đây là câu b) Xét MNCA: MN=n, AC=2n cùng phương, nên MN\parallelCA luôn đúng — MNCA luôn là hình thang với hai đáy MN (=∣n∣) và CA (=2∣n∣); hình thang này cân khi hai cạnh bên MA, NC bằng nhau, tức M cách đều A và B (MA=MB, vì NC=MB theo hình bình hành MNCB) Tương tự với D=C+n=A+3n: MNDA có MN\parallelAD (cùng phương n), là hình thang cân khi hai cạnh bên MA, ND bằng nhau; tính toán cho thấy điều này tương đương MB⊥n, tức tam giác MAB vuông tại B
Vậy a) A,B,C thẳng hàng; b) B là trung điểm AC; c) MNCA là hình thang cân khi tam giác MAB cân tại M (MA=MB); d) MNDA là hình thang cân khi tam giác MAB vuông tại B.
2Cách 2. Suy luận tổng hợp từ tính chất cạnh song song
Định hướng. Không dùng vectơ, chỉ dùng tính chất "cạnh đối hình bình hành song song và bằng nhau" rồi ghép hai kết quả lại.
MNBA là hình bình hành nên AB\parallelMN và AB=MN (Định lí 1a) MNCB là hình bình hành nên BC\parallelMN và BC=MN (Định lí 1a) AB và BC cùng đi qua điểm B và cùng song song với đường thẳng MN; qua một điểm chỉ có một đường thẳng song song với MN, nên AB và BC là CÙNG một đường thẳng, tức A, B, C thẳng hàng — câu a) AB=MN=BC, cùng với A,B,C thẳng hàng và B nằm giữa (vì B vừa là đỉnh chung của hai hình bình hành ở giữa M,N), suy ra B là trung điểm AC — câu b) Với MNCA: đáy nhỏ MN, đáy lớn CA=2MN; hình thang cân khi khoảng cách từ M tới hai đầu đáy lớn bằng nhau theo đúng vị trí đối xứng, dẫn tới điều kiện tam giác MAB cân tại M; tương tự khi thêm điểm D, điều kiện cân của MNDA dẫn tới tam giác MAB vuông tại B (đường trung tuyến MB của tam giác MAC trở thành đường cao khi và chỉ khi tam giác đó cân tại M, áp cho tam giác MAD... phép suy diễn hình học này khớp với kết quả toạ độ ở Cách 1)
Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1 ở cả bốn câu.
Nhận xét. Cách 1 (vectơ) cho lời giải chắc chắn và ngắn gọn hơn hẳn ở câu c, d — đây là bài nên ưu tiên toạ độ hoá.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: vectơ xử lý gọn cả bốn câu bằng một hệ thống ký hiệu duy nhất, tránh lập luận hình học dài dòng ở câu c, d.
Đáp số.a) A,B,C thẳng hàng. b) B là trung điểm AC. c) Tam giác MAB cân tại M (MA=MB). d) Tam giác MAB vuông tại B.
Sai lầm thường gặp.Sai lầm hay gặp ở câu c, d là cố chứng minh MNCA (hay MNDA) là hình thang cân với MỌI vị trí của M — thực chất đề hỏi "tam giác MAB thoả điều kiện gì", tức đang tìm điều kiện, không phải chứng minh luôn đúng; bỏ qua điều kiện cân/vuông là thiếu ý.
🚀 Mở rộng.Có thể tổng quát: nếu ghép k hình bình hành chung cạnh MN liên tiếp theo kiểu này, các đỉnh phía xa luôn thẳng hàng và cách đều nhau — đây là mô hình của phép tịnh tiến lặp lại theo vectơ MN.
Bài 2 · Bài 3.13★★★Trang 37— Bất đẳng thức tam giác áp dụng cho hình thang qua đường phụ song song cạnh bên
Bài 3.13 (trang 37). Chứng minh rằng tổng hai cạnh bên của hình thang lớn hơn hiệu hai đáy của nó.
Kiến thức cần nhớ
Bất đẳng thức tam giác: một cạnh của tam giác luôn nhỏ hơn tổng và lớn hơn hiệu hai cạnh còn lại.
Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành (Định lí 2b).
🧠 Phân tích tư duy
Đề không cho số liệu cụ thể, chỉ yêu cầu chứng minh một bất đẳng thức tổng quát — dấu hiệu là phải "dời" một cạnh bên về vị trí mới bằng đường song song để tạo ra một tam giác, nơi bất đẳng thức tam giác phát huy tác dụng. Bẫy của bài là dễ quên nêu rõ vì sao tứ giác phụ dựng thêm là hình bình hành trước khi dùng cạnh bằng nhau của nó.
1Cách 1. Kẻ đường phụ qua B song song với AD
Định hướng. Giả sử đáy AB<CD; kẻ qua B đường thẳng song song với cạnh bên AD, cắt đáy CD tại E, để "dời" cạnh AD về vị trí BE và tạo tam giác BEC.
AB\parallelCD (giả thiết hai đáy) và BE\parallelAD (theo cách kẻ) nên tứ giác ABED có hai cặp cạnh đối song song, là hình bình hành Suy ra DE=AB và BE=AD Vì AB<CD nên E nằm giữa D và C, do đó EC=DC−DE=DC−AB Xét △BEC, theo bất đẳng thức tam giác: BC+BE>EC Thay BE=AD, EC=DC−AB vào, được BC+AD>DC−AB
VậyAD+BC>DC−AB, tức tổng hai cạnh bên lớn hơn hiệu hai đáy.
2Cách 2. Kẻ đường phụ qua D song song với BC
Định hướng. Làm đối xứng với Cách 1: thay vì dời cạnh bên AD về phía B, dời cạnh bên BC về phía D.
Kẻ qua D đường thẳng song song với BC, cắt CD kéo dài hoặc cắt AB tuỳ vị trí — chọn kẻ cắt đường thẳng AB tại F sao cho ABCD và đường kẻ tạo hình bình hành DFBC (vì DF\parallelBC và cần thêm DC\parallelFB, đúng vì F trên đường thẳng AB song song DC) Từ hình bình hành DFBC suy ra FB=DC, DF=BC Vì DC>AB nên F nằm ngoài đoạn AB về phía B, và AF=FB−AB=DC−AB Xét △ADF, theo bất đẳng thức tam giác: AD+DF>AF Thay DF=BC, AF=DC−AB vào, được AD+BC>DC−AB
Vậy tổng hai cạnh bên lớn hơn hiệu hai đáy, khớp với Cách 1.
Nhận xét. Hai cách chỉ khác nhau ở việc chọn dời cạnh bên nào, bản chất bất đẳng thức tam giác dùng giống hệt nhau.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: dựng đường phụ qua đỉnh có đáy nhỏ hơn, hình bình hành phụ đơn giản, ít điểm phụ hơn Cách 2.
Đáp số.AD+BC>DC−AB (tổng hai cạnh bên lớn hơn hiệu hai đáy).
Sai lầm thường gặp.Sai lầm hay gặp là quên chứng minh E nằm giữa D, C trước khi viết EC=DC−DE — nếu không có AB<CD thì E có thể nằm ngoài đoạn DC, công thức trừ sẽ sai dấu.
🚀 Mở rộng.Bất đẳng thức tương tự cũng đúng cho hiệu hai đáy so với HIỆU hai cạnh bên: có thể chứng minh ∣AD−BC∣<DC−AB (nếu AD=BC) bằng cách áp bất đẳng thức tam giác theo chiều ngược lại trên cùng △BEC.
Bài 3 · Bài 3.14★★★★Trang 37— Chứng minh tam giác đều từ ba tam giác bằng nhau quanh hình bình hành
Bài 3.14 (trang 37). Cho hình bình hành ABCD với góc A tù. Dựng bên ngoài hình bình hành đó các tam giác đều ABE và DAF. Chứng minh rằng tam giác CEF là tam giác đều. (Gợi ý: Chứng minh các tam giác AEF, DCF, BEC bằng nhau.)
Kiến thức cần nhớ
Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau, ba góc bằng 60∘.
Trong hình bình hành, hai góc kề một cạnh bù nhau (Nhận xét, trang 58).
Trường hợp bằng nhau cạnh-góc-cạnh (c.g.c) của tam giác.
Bài 5 · Bài 3.16★★Trang 37— Nhận biết hình bình hành từ hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm chung
Bài 3.16 (trang 37). Cho hình thang ABCD với hai đáy AB, CD. Gọi K là trung điểm của BC. Lấy điểm A′, D′ sao cho K là trung điểm của AA′ và DD′. Hỏi tứ giác AD′A′D là hình gì? Vì sao?
Kiến thức cần nhớ
Định lí 3b: tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là một hình bình hành.
Bài 6 · Bài 3.17★★★Trang 37— Dựng hình bình hành nhận một đoạn thẳng cho trước làm đường chéo, hai đỉnh còn lại nằm trên hai tia cho trước
Bài 3.17 (trang 37). Cho hai điểm phân biệt A, B nằm bên trong góc xOy (không bẹt). Tìm điểm D thuộc tia Ox, điểm E thuộc tia Oy sao cho ADBE là một hình bình hành.
Kiến thức cần nhớ
Định lí 3b: tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
Trong hình bình hành ADBE, hai đường chéo là AB và DE.
Bài 7 · Bài 3.18★★★★Trang 37— Chứng minh nhiều đoạn thẳng cùng đi qua một điểm bằng tính đối xứng tâm
Bài 3.18 (trang 37). Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E thuộc AB, F thuộc CD sao cho AE=CF; lấy các điểm G thuộc BC, H thuộc AD sao cho BG=DH. 1) Chứng minh EGFH là một hình bình hành. 2) Chứng minh các đường thẳng AC, BD, EF, GH đồng quy.
Kiến thức cần nhớ
Định lí 1c: hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Định lí 3b: tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.
Phép đối xứng tâm biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó và biến trung điểm thành trung điểm tương ứng.
Bài 8 · Bài 3.19★★★★Trang 37— Cấu hình hai tam giác vuông cân dựng ra ngoài — chứng minh vuông góc và bằng nhau bằng vectơ và phép quay
Bài 3.19 (trang 37). Cho tam giác ABC không vuông tại A. Dựng bên ngoài tam giác đó hai tam giác ABD, ACE vuông cân tại đỉnh A rồi dựng hình bình hành AEID. a) Chứng minh hai tam giác ABC và DAI bằng nhau. b) Chứng minh đường thẳng AI vuông góc với BC. c) Chứng minh đường thẳng BE vuông góc với đường thẳng CD. d) Gọi K là trung điểm của BD, chứng minh KC=KI và KC vuông góc với KI. (Gợi ý: Chứng minh hai tam giác AKI và BKC bằng nhau.)
Kiến thức cần nhớ
Phép quay 90∘ quanh một điểm biến một vectơ thành vectơ vuông góc, cùng độ dài.
Trong hình bình hành AEID, AI=AD+AE (quy tắc hình bình hành).
Trường hợp bằng nhau cạnh-cạnh-cạnh (c.c.c), cạnh-góc-cạnh (c.g.c) của tam giác.
