Bài 12. Hình bình hành

Định hướng. Muốn $O$ là trung điểm của đoạn nối hai giao điểm trên $a$, $b$, ta dựng hình bình hành nhận $O$ làm tâm và hai cạnh nằm trên $a$, $b$.

Vậy đường thẳng $MN$ đi qua $O$, cắt $a$ tại $M$, cắt $b$ tại $N$, chính là con đường cần mở, vì $OM=ON$.

Định hướng. Đặt toạ độ với gốc tại giao điểm $A$ của $a$, $b$, biểu diễn $M$, $N$ theo một ẩn rồi dùng điều kiện $O$ là trung điểm để tìm chúng.

Vậy luôn tồn tại duy nhất một đường thẳng qua $O$ thoả mãn yêu cầu, đó là đường thẳng $MN$.

Định hướng. So sánh độ dời của mỗi cạnh với cạnh đối diện; độ dời bằng nhau thì hai cạnh song song và bằng nhau.

Vậy tứ giác ở Hình 3.28c là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song; Hình 3.28a, 3.28b không phải hình bình hành.

Định hướng. Hai đường thẳng trên lưới song song khi và chỉ khi có cùng hệ số góc (cùng tỉ số dọc : ngang).

Vậy tứ giác $ABCD$ ở Hình 3.28c có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.

Định hướng. Dựng trước góc $60^{\circ }$ tại một đỉnh với hai cạnh $3$ cm, $4$ cm, rồi dựng đỉnh thứ tư sao cho các cạnh đối song song và bằng nhau.

Vậy $ABCD$ dựng như trên là hình bình hành có $DA=4$ cm, $DC=3$ cm, $\widehat{ADC}=60^{\circ }$, đúng yêu cầu đề bài.

Định hướng. Thay vì kẻ hai đường song song, xác định thẳng đỉnh $B$ bằng compa dựa vào tính chất cạnh đối bằng nhau.

Vậy điểm $B$ dựng bằng hai cung tròn cho đúng một hình bình hành thoả mãn đề bài.

Định hướng. Nhớ lại từ chương trình Tiểu học và các bài trước về tứ giác.

Vậy đó là ba tính chất cơ bản của hình bình hành, sẽ được chứng minh chặt chẽ ở Định lí 1 ngay sau đây.

Định hướng. Thay vì chỉ nhớ lại, vẽ một hình bình hành cụ thể trên giấy kẻ ô rồi đo đạc trực tiếp để kiểm chứng từng tính chất.

Vậy phép đo trực tiếp cũng xác nhận đúng ba tính chất đã nêu ở Cách 1.

Định hướng. Đường chéo $AC$ tạo ra hai cặp góc so le trong bằng nhau vì $AB\text{ parallel}DC$, $AD\text{ parallel}BC$; ghép với cạnh chung $AC$ cho hai tam giác bằng nhau kiểu g.c.g.

Vậy cả ba câu a, b, c đều được chứng minh: cạnh đối bằng nhau, góc đối bằng nhau, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Định hướng. Vì $AB\text{ parallel}DC$ và $AD\text{ parallel}BC$ nên có thể viết $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$; từ một đẳng thức vectơ duy nhất suy ra cả ba kết quả.

Vậy bằng vectơ cũng suy ra đầy đủ ba kết quả của câu a, b, c.

Định hướng. Nếu chứng minh được $O$ (giao điểm hai đường chéo) là trung điểm của $AC$, phép đối xứng tâm $O$ sẽ biến $A\leftrightarrow C$, $B\leftrightarrow D$ và mang lại mọi kết quả còn lại.

Vậy cách nhìn bằng đối xứng tâm cũng khẳng định lại đầy đủ Định lí 1.

Nhận xét. Cách 1 là cách chuẩn mực nhất để trình bày trong bài kiểm tra vì chỉ dùng tam giác bằng nhau, không cần khái niệm vectơ hay phép biến hình.

Định hướng. Giả thiết là điều đã cho (về cạnh), kết luận là điều cần chỉ ra ($ABCD$ là hình bình hành).

Vậy đó là giả thiết, kết luận của Định lí 2, ứng với hai dấu hiệu nhận biết theo cạnh.

Định hướng. Thay vì viết bằng lời, đánh dấu ngay các cạnh bằng nhau, song song lên một hình vẽ tứ giác $ABCD$, cách trình bày quen thuộc trong SGK.

Vậy hình vẽ có đánh dấu cũng thể hiện đầy đủ đúng nội dung GT – KL như cách viết bằng lời ở Cách 1.

Định hướng. $NP$ và $AM$ chính là hai đường chéo của tứ giác $APMN$; chỉ cần chỉ ra $APMN$ là hình bình hành.

Vậy $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AM$.

Định hướng. $MN\text{ parallel}AB$ trong tam giác $ABC$ nên $MN$ là một phần của đường thẳng cắt hai cạnh, dùng định lí Thalès để so sánh đoạn thẳng thay cho việc gọi tên hình bình hành.

Vậy $I$ cũng là trung điểm của $AM$.

Định hướng. Biểu diễn $N$, $P$, $M$ theo hai vectơ cạnh $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ rồi tính toạ độ trung điểm $NP$ và so sánh với $\frac{1}{2}\overrightarrow{AM}$.

Vậy trung điểm của $NP$ trùng với trung điểm của $AM$, tức $I$ là trung điểm $AM$.

Nhận xét. Cách 1 ngắn gọn nhất vì chỉ cần một câu "tứ giác có hai cặp cạnh đối song song".

Định hướng. Muốn bác bỏ một mệnh đề "nếu ... thì ...", chỉ cần một trường hợp thoả giả thiết mà không thoả kết luận.

Vậy hình bình hành không phải hình chữ nhật là một hình thang có hai cạnh bên bằng nhau nhưng không phải hình thang cân, nên Vuông đúng, Tròn sai.

Định hướng. Xem lại đúng định nghĩa hình thang cân để thấy điều kiện "hai cạnh bên bằng nhau" không nằm trong định nghĩa, chỉ là hệ quả một chiều.

Vậy hai cạnh bên bằng nhau có thể đến từ hai nguyên nhân khác nhau (thang cân, hoặc bình hành), nên mệnh đề đảo của Tròn sai; Vuông đúng.

Định hướng. Từ $AB\text{ parallel}DC$ suy ra góc so le trong giữa tia phân giác và cạnh $AB$, ghép với tính chất phân giác chia đôi góc.

Vậy $△ADE$ và $△CBF$ là hai tam giác cân (tại $A$ và tại $C$) và bằng nhau — đây là câu a).

Nhận xét. Câu b): $DEBF$ có $DF=DC-FC=AB-AE=EB$ và $DF\text{ parallel}EB$ (cùng nằm trên $DC$, $AB$ song song), nên theo Định lí 2b, $DEBF$ là hình bình hành.

Định hướng. Thay vì so hai tam giác, tính thẳng $DF$ và $EB$ theo $AB$, $CD$, $AD$ để so sánh, dùng cho cả câu a) lẫn b) cùng lúc.

Vậy hai tam giác cân bằng nhau (câu a), và $DEBF$ có $DF\text{ parallel}EB$, $DF=EB$ nên là hình bình hành (câu b, theo Định lí 2b).

Định hướng. Phép đối xứng tâm qua giao điểm hai đường chéo $O$ của $ABCD$ biến $A\leftrightarrow C$, $B\leftrightarrow D$, nên biến luôn phân giác góc $D$ thành phân giác góc $B$.

Vậy theo Định lí 3b, $DEBF$ là hình bình hành, đồng thời hai tam giác $ADE$, $CBF$ bằng nhau vì là ảnh của nhau qua phép đối xứng tâm $O$.

Định hướng. Xác định đúng cặp cạnh nào đối nhau trong tứ giác $ABCD$ rồi so độ dài.

Vậy theo Định lí 2a, tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Định hướng. Không nhớ ngay Định lí 2a thì có thể chứng minh lại từ đầu bằng cách kẻ đường chéo, quy về hai tam giác bằng nhau rồi suy ra cạnh đối song song.

Vậy $ABCD$ có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành (đúng theo định nghĩa).

Định hướng. Giả thiết là điều đã cho (về góc hoặc đường chéo), kết luận là $ABCD$ là hình bình hành.

Vậy đó là giả thiết, kết luận của Định lí 3, ứng với hai dấu hiệu nhận biết theo góc và theo đường chéo.

Định hướng. Đánh dấu ngay các góc bằng nhau hoặc các đoạn bằng nhau trên hình vẽ tứ giác $ABCD$, thay cho cách viết bằng chữ.

Vậy hình vẽ có đánh dấu cũng thể hiện đầy đủ đúng nội dung GT – KL như cách viết bằng lời ở Cách 1.

Định hướng. Xét tứ giác $A{B}^{\prime }{A}^{\prime }B$ có hai đường chéo đúng là $A{A}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }$.

Vậy $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB$ và đường thẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }$ song song với đường thẳng $AB$.

Định hướng. Vì $O$ là trung điểm của cả hai đoạn nên $△OAB$ và $△O{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ có hai cặp cạnh bằng nhau và góc xen giữa là hai góc đối đỉnh.

Vậy $AB=A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $AB\text{ parallel}{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ (vì có cặp góc so le trong bằng nhau).

Định hướng. $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ chính là ảnh của $A$, $B$ qua phép đối xứng tâm $O$; phép đối xứng tâm bảo toàn độ dài đoạn thẳng và biến một đường thẳng thành đường thẳng song song với nó.

Vậy $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }\text{ parallel}AB$ (hai vectơ đối nhau nằm trên hai đường thẳng song song).

Nhận xét. Cách 3 cho luôn cả chiều của $A^{\prime }{B}^{\prime }$ ngược với $AB$, thông tin mà Cách 1, 2 không thể hiện trực tiếp.

Định hướng. Thực hiện đúng bốn bước đã lập luận ở Mở đầu: lấy điểm đối xứng, kẻ hai đường song song, nối hai giao điểm.

Vậy đường thẳng $MN$ chính là con đường cần mở, đi qua $O$ và có $OM=ON$.

Định hướng. Không cần dựng $A^{\prime }$, có thể thử trực tiếp bằng cách xoay một thước qua $O$ và kiểm tra bằng compa cho tới khi hai đoạn bằng nhau — đây là cách dựng thử/kiểm tra thay cho cách dựng tất định ở Cách 1.

Vậy đường thẳng tìm được bằng phép thử – đo này trùng với đường $MN$ dựng chính xác ở Cách 1.

Định hướng. Với câu đúng thì chỉ ra tứ giác đã có đủ hai cặp cạnh đối song song; với câu sai thì đưa phản ví dụ cụ thể.

Vậy a) đúng, b) sai, c) đúng.

Định hướng. Với mỗi câu, liệt kê điều kiện đã cho rồi so với đúng hai điều kiện cần và đủ của định nghĩa (hai cặp cạnh đối cùng song song).

Vậy a) đúng, b) sai, c) đúng — khớp với Cách 1.

Định hướng. Suy ra góc đối trước ($\hat{C}$), rồi dùng kề bù để ra hai góc còn lại ($\hat{B}$, $\hat{D}$).

Vậy $\hat{B}=\hat{D}=80^{\circ }$, $\hat{C}=100^{\circ }$.

Định hướng. Kết hợp góc đối bằng nhau với tổng bốn góc của một tứ giác để lập phương trình.

Vậy $\hat{B}=\hat{D}=80^{\circ }$, $\hat{C}=100^{\circ }$.

Định hướng. Không cần nhớ "hai góc kề bù nhau", có thể suy trực tiếp từ định nghĩa $AD\text{ parallel}BC$ và $AB\text{ parallel}DC$ cùng tính chất góc trong cùng phía.

Vậy $\hat{B}=\hat{D}=80^{\circ }$, $\hat{C}=100^{\circ }$.

Nhận xét. Cách 3 không cần nhớ tính chất góc đối, chỉ cần định nghĩa hình bình hành và tính chất hai đường thẳng song song.

Định hướng. Chỉ ra $DF$ và $EB$ (hai cạnh của tứ giác $DEBF$) song song và bằng nhau, để $DE$, $BF$ trở thành một cặp cạnh đối của một hình bình hành.

Vậy $BF=DE$.

Định hướng. $DE$, $BF$ lần lượt là cạnh của hai tam giác $ADE$ và $CBF$; chỉ cần hai tam giác này bằng nhau theo c.g.c.

Vậy $DE=BF$ (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau).

Định hướng. Biểu diễn $E$, $F$ theo $A$, $B$, $C$, $D$ rồi tính trực tiếp hai vectơ $\overrightarrow{DE}$, $\overrightarrow{BF}$.

Vậy $\overrightarrow{BF}=-\overrightarrow{DE}$, hai vectơ đối nhau nên có cùng độ dài, tức $BF=DE$.

Nhận xét. Cách 1 tận dụng ngay Định lí 2b vừa học, gọn nhất trong ba cách.

Định hướng. Dùng tổng bốn góc bằng $360^{\circ }$ để tìm góc còn thiếu, rồi kiểm tra cả hai cặp góc đối có bằng nhau không.

Vậy theo Định lí 3a: Hình a) và Hình c) là hình bình hành (đủ hai cặp góc đối bằng nhau); Hình b) không là hình bình hành (chỉ một cặp góc đối bằng nhau).

Định hướng. Chỉ cần một cặp góc đối không bằng nhau là đủ kết luận KHÔNG phải hình bình hành, khỏi cần tính hết cả bốn góc.

Vậy Hình a), Hình c) là hình bình hành; Hình b) không là hình bình hành.