Chương III. Tứ giác

Bài 13. Hình chữ nhật

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 3 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngIII #SáchBàiTập_Tập1 #trang39 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 3.20★★★★Trang 39— Chứng minh nhiều hình chữ nhật lồng nhau từ đường cao tam giác cân bằng dấu hiệu đường chéo

Bài 3.20 (trang 39). Cho tam giác

A B C

cân tại

A

A H

là đường cao. Gọi

M

N

lần lượt là trung điểm của

A B

A C

. Gọi

D

E

lần lượt là điểm sao cho

M

là trung điểm của

H D

N

là trung điểm của

H E

.
a) Chứng minh

A H B D

A H C E

B C E D

là những hình chữ nhật.
b) Tại sao giao điểm của

B E

và

C D

là trung điểm của

A H

Kiến thức cần nhớ

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành (Bài 12, Định lí 3b).
Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật (Định lí 2a).
Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến.
Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành (Định lí 2b, Bài 12); trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

🧠 Phân tích tư duy

Cả ba tứ giác cần chứng minh đều có cấu trúc giống nhau: hai đường chéo có chung trung điểm (

M

cho

A H B D

N

cho

A H C E

), cộng thêm sẵn một góc vuông tại

H

(vì

A H

là đường cao) — dấu hiệu quen thuộc "đường chéo cắt nhau tại trung điểm + một góc vuông" của chính bài học. Với

B C E D

, chìa khoá là nhận ra

H

là trung điểm

B C

(do tam giác cân, đường cao đồng thời trung tuyến), từ đó ghép hai hình chữ nhật nhỏ

A H B D

A H C E

lại thành hình chữ nhật lớn. Câu b) là điểm khó nhất: phải nhận ra

A D

H C

(và

A E

H B

) là một cặp cạnh đối song song và bằng nhau của một hình bình hành PHỤ, mà

A H

chính là một đường chéo của hình bình hành phụ đó.

1Cách 1. Dấu hiệu đường chéo + Định lí 2a, rồi ghép cạnh đối song song bằng nhau

Định hướng. Chứng minh hai hình chữ nhật nhỏ trước bằng dấu hiệu đường chéo, rồi dùng cạnh của chúng để dựng hình chữ nhật lớn $B C E D$ ; cuối cùng dùng chính hai hình chữ nhật nhỏ để chỉ ra $C D$ , $B E$ đều đi qua trung điểm $A H$ .

Xét tứ giác

A H B D

: hai đường chéo là

A B

H D

;

M

là trung điểm

A B

(giả thiết) và

M

là trung điểm

H D

(giả thiết) nên

A H B D

là hình bình hành (Định lí 3b); vì

A H

là đường cao nên

A H ⊥ B C

, mà

H

B

cùng trên

B C

nên góc

A H B = 9 0^{\circ}

; theo Định lí 2a,

A H B D

là hình chữ nhật
Tương tự, xét

A H C E

: hai đường chéo

A C

H E

có chung trung điểm

N

nên

A H C E

là hình bình hành; góc

A H C = 9 0^{\circ}

(cùng lí do) nên theo Định lí 2a,

A H C E

là hình chữ nhật
Vì tam giác

A B C

cân tại

A

và

A H

là đường cao nên

A H

đồng thời là trung tuyến, tức

H

là trung điểm

B C

, do đó

H B = H C

Từ hình chữ nhật

A H B D

B D = A H

B D ⊥ B C

(vì

B D

là cạnh đối của

A H

, mà

A H ⊥ B C

); từ hình chữ nhật

A H C E

C E = A H

C E ⊥ B C

Suy ra

B D = C E

(

= A H

) và

B D \parallel C E

(cùng vuông góc

B C

); tứ giác

B C E D

có

B D \parallel C E

B D = C E

nên là hình bình hành (Định lí 2b); có góc

D B C = 9 0^{\circ}

(vì

B D ⊥ B C

) nên theo Định lí 2a,

B C E D

là hình chữ nhật
Xét quan hệ giữa

A D

H C

: từ hình chữ nhật

A H B D

, cạnh

A D

song song và bằng cạnh đối diện

H B

A D = H B

A D \parallel H B

; mà

H B = H C

(

H

là trung điểm

B C

) và

H B

H C

cùng nằm trên đường thẳng

B C

nên

A D = H C

A D \parallel H C

; tứ giác

A D H C

(thứ tự

A, D, H, C

) có cặp cạnh đối

A D

H C

song song và bằng nhau nên là hình bình hành, có hai đường chéo là

A H

và

D C

, chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường — suy ra

D C

đi qua trung điểm của

A H

Lập luận hoàn toàn tương tự với hình chữ nhật

A H C E

và

A H B D

A E = H C

nên

A E = H B

A E \parallel H B

, tứ giác

A E H B

là hình bình hành với hai đường chéo

A H

E B

cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường — suy ra

E B

cũng đi qua trung điểm của

A H

Vậy a) $A H B D$ , $A H C E$ , $B C E D$ đều là hình chữ nhật; b) cả $C D$ và $B E$ đều đi qua trung điểm của $A H$ , nên giao điểm của chúng chính là trung điểm của $A H$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá

Định hướng. Đặt $H$ là gốc toạ độ, $B C$ nằm trên trục hoành (vì tam giác cân nên $H$ là trung điểm $B C$ ), $A$ trên trục tung; tính toạ độ $M$ , $N$ , $D$ , $E$ rồi kiểm trực tiếp các cạnh song song trục.

Đặt

H = (0; 0)

B = (- b; 0)

C = (b; 0)

A = (0; a)

(tam giác cân tại

A

H

trung điểm

B C

vì

A H

vừa là đường cao vừa là trung tuyến)

M

là trung điểm

A B

M = (- \frac{b}{2}; \frac{a}{2})

;

D = 2 M - H = (- b; a)

N

là trung điểm

A C

N = (\frac{b}{2}; \frac{a}{2})

;

E = 2 N - H = (b; a)

Bốn điểm

A (0; a)

H (0; 0)

B (- b; 0)

D (- b; a)

có các cạnh song song hai trục toạ độ

\Rightarrow A H B D

là hình chữ nhật; tương tự

A (0; a)

H (0; 0)

C (b; 0)

E (b; a)

cho

A H C E

là hình chữ nhật

B (- b; 0)

C (b; 0)

E (b; a)

D (- b; a)

cũng có các cạnh song song hai trục

\Rightarrow B C E D

là hình chữ nhật
Đường thẳng

C D

nối

C (b; 0)

D (- b; a)

có trung điểm

(0; \frac{a}{2})

; đường thẳng

B E

nối

B (- b; 0)

E (b; a)

cũng có trung điểm

(0; \frac{a}{2})

— trùng nhau và trùng đúng trung điểm của

A H

(đoạn từ

(0; a)

đến

(0; 0)

)

Vậy cả hai kết luận đều khớp với Cách 1: ba tứ giác là hình chữ nhật, và giao điểm $B E$ , $C D$ là trung điểm $A H$ .

Nhận xét. Cách 2 kiểm tra rất nhanh bằng số nhưng Cách 1 mới là lời giải chuẩn để trình bày, vì lớp 8 chưa học toạ độ trong chương trình hình học.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng phương pháp tổng hợp phù hợp lớp 8, không cần khái niệm toạ độ.

Đáp số. a)

A H B D

A H C E

B C E D

đều là hình chữ nhật. b) Giao điểm của

B E

và

C D

là trung điểm của

A H

, vì cả hai đoạn đó đều là đường chéo thứ hai của một hình bình hành nhận

A H

làm đường chéo còn lại.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp ở câu b) là cố chứng minh

B E

C D

cắt nhau tại trung điểm

A H

bằng cách đo đạc trên hình vẽ cụ thể rồi coi là hiển nhiên, thay vì chỉ ra

A D H C

và

A E H B

là hai hình bình hành nhận

A H

làm một đường chéo — thiếu bước dựng hình bình hành phụ này thì lập luận không chặt.

🚀 Mở rộng. Có thể tổng quát: với tam giác bất kì (không cần cân) có đường cao

A H

, hai tứ giác

A H B D

A H C E

dựng theo đúng cách trên vẫn là hình chữ nhật (không cần

H

là trung điểm

B C

), nhưng

B C E D

nói chung không còn là hình chữ nhật vì

H B \neq = H C

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 3.21★★★★Trang 39— Chứng minh hình chữ nhật từ tính chất trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ số 2:1 và trung tuyến ứng hai cạnh bên của tam giác cân bằng nhau

Bài 3.21 (trang 39). Hai đường trung tuyến

B M

C N

của tam giác

A B C

cân tại

A

cắt nhau tại

G

. Gọi

H

K

lần lượt là điểm sao cho trung điểm của

G H

là

M

, trung điểm của

G K

là

N

. Chứng minh tứ giác

B C H K

là hình chữ nhật.

Kiến thức cần nhớ

Trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng gấp đôi khoảng cách từ trọng tâm đến trung điểm cạnh đối diện.
Trong tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên bằng nhau (do đối xứng qua trục của tam giác cân).
Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình chữ nhật (Ví dụ 2).

🧠 Phân tích tư duy

Đề dựng

H

K

bằng cách "kéo dài"

GM

GN

thêm một đoạn bằng chính nó — dấu hiệu là nhận ra

H

K

nằm trên ĐÚNG đường thẳng chứa trung tuyến

B M

C N

(vì

M

N

vốn đã nằm trên các trung tuyến đó), với

G H = 2 GM

G K = 2 GN

. Kết hợp tính chất quen thuộc "trọng tâm cách đỉnh gấp đôi cách trung điểm cạnh đối diện" (

GB = 2 GM

GC = 2 GN

), suy ra

H

K

đối xứng với

B

C

qua

G

. Bẫy của bài là phải chứng minh được

GM = GN

(hay

B M = C N

) từ tính chất riêng của tam giác CÂN — nếu tam giác không cân, hai trung tuyến này không bằng nhau và

B C H K

nói chung không còn là hình chữ nhật.

1Cách 1. Dùng tính chất trọng tâm và trung tuyến tam giác cân, rồi Ví dụ 2

Định hướng. Chỉ ra $G$ là trung điểm của cả $B H$ và $C K$ , rồi chỉ ra $B H = C K$ , để áp dụng đúng Ví dụ 2.

Vì tam giác

A B C

cân tại

A

, phép đối xứng qua trục của tam giác (đường thẳng qua

A

vuông góc

B C

) biến

B \leftrightarrow C

và biến trung tuyến

B M

(nối

B

với trung điểm

A C

) thành trung tuyến

C N

(nối

C

với trung điểm

A B

), nên

B M = C N

G

là trọng tâm nên

GB = \frac{2}{3} B M

GM = \frac{1}{3} B M

; tương tự

GC = \frac{2}{3} C N

GN = \frac{1}{3} C N

; vì

B M = C N

nên

GB = GC

và

GM = GN

M

là trung điểm

G H

(giả thiết) nên

H

nằm trên đường thẳng

B M

kéo dài qua

G, M

, với

G H = 2 GM = \frac{2}{3} B M = GB

; vì

B

G

M

H

thẳng hàng theo đúng thứ tự này (điểm

H

ở phía đối diện

B

qua

G

) nên

GB = G H

và

B

H

nằm về hai phía của

G

trên cùng một đường thẳng, suy ra

G

là trung điểm của

B H

Hoàn toàn tương tự,

K

nằm trên đường thẳng

C N

với

G K = 2 GN = GC

, và

G

là trung điểm của

C K

Vì

GB = GC = G H = G K

(tất cả bằng nhau, chứng minh ở trên) nên

B H = GB + G H = 2 GB

và

C K = GC + G K = 2 GC = 2 GB = B H

, tức

B H = C K

Vậy hai đoạn $B H$ , $C K$ chính là hai đường chéo của tứ giác $B C H K$ , chúng bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm chung $G$ của mỗi đường; theo Ví dụ 2, $B C H K$ là hình chữ nhật.

2Cách 2. Vectơ tổng quát

Định hướng. Biểu diễn mọi điểm theo hai vectơ cạnh xuất phát từ $A$ , tính toạ độ $G$ , $M$ , $N$ , $H$ , $K$ bằng công thức trọng tâm và trung điểm, rồi kiểm tính chất hình chữ nhật bằng đại số vectơ.

Đặt

A

làm gốc,

A B = u

A C = v

;

M

trung điểm

A C

M = \frac{v}{2}

;

N

trung điểm

A B

N = \frac{u}{2}

; trọng tâm

G = \frac{u + v}{3}

M

là trung điểm

G H

H = 2 M - G = v - \frac{u + v}{3} = \frac{- u + 2 v}{3}

;

N

là trung điểm

G K

K = 2 N - G = u - \frac{u + v}{3} = \frac{2 u - v}{3}

B C = v - u

;

K H = H - K = \frac{- u + 2 v}{3} - \frac{2 u - v}{3} = \frac{- 3 u + 3 v}{3} = v - u = B C

— tức

B C \parallel K H

và

B C = K H

, nên

B C H K

là hình bình hành (Định lí 2b)
Vì tam giác cân tại

A

nên

∣ u ∣ = ∣ v ∣

(do

A B = A C

); tính

B H = H - B = \frac{- u + 2 v}{3} - u = \frac{- 4 u + 2 v}{3}

và

C K = K - C = \frac{2 u - v}{3} - v = \frac{2 u - 4 v}{3}

; với

∣ u ∣ = ∣ v ∣

, tính trực tiếp

∣ B H ∣^{2} = ∣ C K ∣^{2}

(khai triển đều ra cùng một biểu thức đối xứng theo

∣ u ∣^{2} = ∣ v ∣^{2}

và

u \cdot v

), nên

B H = C K

Vậy $B C H K$ vừa là hình bình hành vừa có hai đường chéo $B H = C K$ , nên theo Định lí 2b, $B C H K$ là hình chữ nhật — khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 ngắn gọn và phù hợp trình bày ở lớp 8; Cách 2 dùng để kiểm chứng lại bằng vectơ tổng quát, đúng với mọi tam giác cân tại $A$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ dùng tính chất trọng tâm quen thuộc và Ví dụ 2 của chính bài học, không cần vectơ.

Đáp số. Tứ giác

B C H K

là hình chữ nhật.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là quên chứng minh

GB = GC

(từ

B M = C N

do tam giác cân) mà mặc định hai đường chéo

B H

C K

bằng nhau — nếu tam giác không cân,

B M \neq = C N

và

B C H K

chỉ còn là hình bình hành, không chắc là hình chữ nhật.

🚀 Mở rộng. Nếu tam giác

A B C

không cân,

B C H K

dựng theo đúng cách trên vẫn luôn là hình bình hành (vì

G

luôn là trung điểm chung của

B H

C K

theo tính chất trọng tâm), nhưng chỉ là hình chữ nhật khi và chỉ khi

B M = C N

, tức tam giác cân tại

A

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 3.22★★★★Trang 39— Chứng minh hai chiều của tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông, bằng hai công cụ khác nhau

Bài 3.22 (trang 39). 1) Sử dụng tính chất tổng các góc của một tam giác bằng

18 0^{\circ}

để chứng minh:
a) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
b) Nếu tam giác

A B C

có đường trung tuyến

A M

bằng nửa cạnh

B C

thì tam giác đó vuông tại

A

.
2) Sử dụng tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau để chứng minh lại a), b) của ý 1).

Kiến thức cần nhớ

Tổng ba góc của một tam giác bằng $18 0^{\circ}$ .
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành (Bài 12, Định lí 3b).
Định lí 1, Định lí 2 của bài Hình chữ nhật (đường chéo bằng nhau; hình bình hành có góc vuông là hình chữ nhật).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗