Bài 13. Hình chữ nhật

Định hướng. Coi hai thanh tre là hai đường chéo $AC$, $BD$ của tứ giác $ABCD$ cần tìm, gọi điểm gắn chung là $O$.

Vậy tứ giác tạo thành là hình chữ nhật.

Định hướng. Vì $O$ là trung điểm chung và hai thanh bằng nhau nên $OA=OB=OC=OD$; xét các tam giác cân tại $O$ để tính thẳng từng góc của tứ giác.

Vậy cả bốn góc của tứ giác đều vuông nên tứ giác là hình chữ nhật theo đúng định nghĩa, không cần qua khái niệm hình bình hành.

Định hướng. Đặt gốc toạ độ tại $O$; vì $O$ là trung điểm mỗi đường chéo nên $C=-A$, $D=-B$; điều kiện hai thanh bằng nhau cho $|A|=|B|$, rồi tính tích vô hướng để chỉ ra từng góc vuông.

Vậy bốn góc đều vuông, tứ giác là hình chữ nhật — khớp với Cách 1, Cách 2.

Nhận xét. Cách 1 ngắn gọn nhất vì dùng thẳng kết quả sẽ học ở Ví dụ 2; Cách 2, Cách 3 chứng minh lại từ gốc, không phụ thuộc kiến thức chưa học tới.

Định hướng. So khớp từng hình với định nghĩa "tứ giác có bốn góc vuông".

Vậy chỉ có hình b) là hình chữ nhật.

Định hướng. Áp dụng ngay Chú ý dưới định nghĩa: có ba góc vuông thì góc còn lại tự động vuông.

Vậy kết luận không đổi: hình b) là hình chữ nhật; a), c) không phải.

Định hướng. Từ bốn góc vuông của hình chữ nhật, suy ra các cặp góc trong cùng phía bù nhau để chỉ ra cạnh song song.

Vậy hình chữ nhật vừa là hình bình hành, vừa là hình thang cân.

Định hướng. Hình chữ nhật có trục đối xứng là đường trung trực của mỗi cặp cạnh đối; dùng phép đối xứng trục để suy trực tiếp cạnh song song và cạnh bên bằng nhau.

Vậy kết luận khớp với Cách 1: hình chữ nhật vừa là hình bình hành, vừa là hình thang cân.

Định hướng. Chứng minh tam giác $OCD$ cân tại $O$ rồi dùng tính chất đường cao–trung tuyến.

Vậy $H$ là trung điểm của $DC$.

Định hướng. Xét hai tam giác vuông $OHD$, $OHC$ có cạnh huyền bằng nhau và cạnh góc vuông chung.

Vậy $HD=HC$, tức $H$ là trung điểm của $DC$.

Định hướng. Đặt $DC$ nằm trên trục hoành; vì $OH\perp DC$ nên $H$ có cùng hoành độ với $O$, rồi tính hoành độ $O$ theo $D$, $C$.

Vậy $H$ là trung điểm của $DC$, khớp với Cách 1, Cách 2.

Định hướng. Từ góc $A=90^{\circ }$, dùng hai tính chất góc của hình bình hành để suy thẳng ba góc còn lại.

Vậy cả bốn góc đều vuông; theo định nghĩa, $ABCD$ là hình chữ nhật.

Định hướng. Kết hợp "góc đối bằng nhau" với tổng bốn góc của một tứ giác để tính góc $B$.

Vậy cả bốn góc đều $90^{\circ }$; $ABCD$ là hình chữ nhật, khớp Cách 1.

Định hướng. Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

Vậy cả bốn góc đều vuông, $ABCD$ là hình chữ nhật.

Nhận xét. Đây chính là nội dung Định lí 2a: hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

Định hướng. Dùng dấu hiệu đường chéo để có hình bình hành, rồi dùng góc vuông sẵn có.

Vậy $ABCD$ là hình chữ nhật.

Định hướng. Vì góc $A$ chính là góc $\widehat{DAB}$ của tam giác $ABD$, dùng Nhận xét về trung tuyến ứng với cạnh huyền để suy $AC=BD$ rồi áp Ví dụ 2.

Vậy $ABCD$ là hình chữ nhật — khớp với Cách 1, không cần đi qua khái niệm hình bình hành.

Định hướng. Vì góc $A=90^{\circ }$, chọn hai trục toạ độ dọc theo $AB$, $AD$ rồi tính toạ độ $C$ từ điều kiện $O$ là trung điểm chung.

Vậy $ABCD$ là hình chữ nhật, khớp với hai cách trên.

Định hướng. Gọi tên các đầu mút là $A$, $B$, $C$, $D$ và điểm gắn chung là $O$, đối chiếu trực tiếp với giả thiết của Ví dụ 2.

Vậy tứ giác tạo bởi bốn đầu mút của hai thanh tre là hình chữ nhật.

Định hướng. Trình bày chi tiết vì sao Ví dụ 2 đúng, bằng cách tách qua hình bình hành trước.

Vậy tứ giác là hình chữ nhật, khớp với Cách 1.

Định hướng. Không dùng khái niệm hình bình hành, tính thẳng từng góc từ $OA=OB=OC=OD$.

Vậy cả bốn góc đều vuông, tứ giác là hình chữ nhật.

Nhận xét. Cách 1 là câu trả lời chuẩn mực nhất cho phần Vận dụng vì dùng đúng kết quả vừa học ở Ví dụ 2, không cần chứng minh lại từ đầu.

Định hướng. Đối chiếu trực tiếp với định nghĩa hình chữ nhật.

Vậy theo đúng định nghĩa, tứ giác có bốn góc vuông kiểm được bằng ê-ke là hình chữ nhật.

Định hướng. Chỉ cần đo ít hơn nhờ Chú ý ngay dưới định nghĩa hình chữ nhật.

Vậy chỉ cần đo ba lần là đủ kết luận tứ giác là hình chữ nhật; đo lần thứ tư là thừa.

Định hướng. Dùng compa so sánh độ dài từng cặp đoạn thẳng liên quan tới hai đường chéo.

Vậy khi cả hai điều kiện trên đều đúng, theo Ví dụ 2, tứ giác là hình chữ nhật.

Định hướng. Quay compa với đầu nhọn đặt tại giao điểm hai đường chéo để so sánh cùng lúc bốn đoạn.

Vậy gộp được cả hai điều kiện của Ví dụ 2 trong một phép so sánh bốn khoảng cách từ một tâm.

Định hướng. Nhận ra $AC$, $HN$ là hai đường chéo của tứ giác $AHCN$, dùng dấu hiệu trung điểm chung rồi dùng góc vuông sẵn có.

Vậy tứ giác $AHCN$ là hình chữ nhật.

Định hướng. Dùng phép đối xứng tâm $M$ (biến $A\leftrightarrow C$, $H\leftrightarrow N$) để chỉ ra một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

Vậy $AHCN$ là hình chữ nhật, khớp với Cách 1.

Định hướng. Đặt $B$, $C$ trên trục hoành, $A$ tuỳ ý phía trên; chân đường cao $H$ có cùng hoành độ với $A$, rồi tính toạ độ $M$, $N$ theo công thức trung điểm.

Vậy bốn cạnh đôi một vuông góc từng cặp kề, $AHCN$ là hình chữ nhật với mọi tam giác $ABC$, không riêng trường hợp cân.

Định hướng. Câu a) đọc thẳng ba góc vuông có sẵn; câu b) quy $NP$ về đường chéo $AM$ rồi dùng tính chất đường cao đồng thời trung tuyến của tam giác cân.

Vậy a) $MPAN$ là hình chữ nhật; b) $NP$ ngắn nhất khi $M$ là trung điểm của $BC$, khi đó $N{P}_{min}=A{M}_{min}$ bằng khoảng cách từ $A$ đến $BC$.

Định hướng. Đặt $A$ làm gốc, hai cạnh góc vuông theo hai trục; biểu diễn $NP$ theo toạ độ $M$ rồi tối ưu với ràng buộc $M$ trên $BC$.

Vậy kết quả khớp với Cách 1: $NP$ nhỏ nhất khi $M$ là trung điểm $BC$.

Định hướng. Câu a) như Cách 1; câu b) dùng trực tiếp quan hệ đường vuông góc luôn ngắn hơn mọi đường xiên, không cần toạ độ.

Vậy $NP=AM$ nhỏ nhất khi $M\equiv H$ là trung điểm $BC$, khớp với Cách 1, Cách 2.