Bài 14. Hình thoi và hình vuông

Định hướng. Tính diện tích hình bình hành theo hai cách (lấy cạnh $AB$ hoặc cạnh $AD$ làm đáy) rồi so sánh khi hai chiều cao bằng nhau.

Vậy hình bình hành $ABCD$ có hai cạnh kề $AB=AD$ bằng nhau nên là hình thoi (Định lí 2a).

Định hướng. Ghép $AH$, $AK$ làm hai cạnh góc vuông của hai tam giác vuông chung cạnh huyền $AC$, từ đó suy ra $AC$ là phân giác của góc $C$ — khác bản chất vì đi từ góc bằng nhau thay vì cạnh bằng nhau.

Vậy hình bình hành $ABCD$ có đường chéo $CA$ là phân giác của $\widehat{BCD}$ nên là hình thoi (Định lí 2c).

Định hướng. Vì $O$ là trung điểm của cả hai đường chéo $AC$, $BD$, phép đối xứng tâm $O$ biến $A\leftrightarrow C$, $B\leftrightarrow D$, nên biến từng cặp tam giác thành nhau — từ đó biến tâm nội tiếp của tam giác này thành tâm nội tiếp của tam giác kia.

Vậy tứ giác $PSQR$ có hai đường chéo $PQ$, $RS$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường và vuông góc với nhau, nên theo Định lí 2b, đó là một hình thoi.

Định hướng. Không dùng phép đối xứng tâm mà chứng minh trực tiếp cặp tam giác chứa $P$, $Q$ bằng nhau nhờ các góc so le trong sinh bởi hai cặp cạnh song song — khác bản chất vì dựng lại từng bước bằng tam giác thay vì áp một phép biến hình.

Vậy tứ giác $PSQR$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm $O$ mỗi đường và vuông góc nhau nên là hình thoi (Định lí 2b).

Nhận xét. Cách 1 (đối xứng tâm) ngắn gọn hơn hẳn vì suy được $OP=OQ$ và $OR=OS$ CÙNG LÚC chỉ từ một phép biến hình duy nhất, trong khi Cách 2 phải chứng minh hai cặp tam giác bằng nhau riêng biệt.