Bài 14. Hình thoi và hình vuông

Định hướng. Mỗi nếp gấp là một trục đối xứng; mở lần lượt hai nếp gấp sẽ tạo ra các điểm đối xứng của $A$, $B$ qua $O$.

Vậy tứ giác $AB{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nên là hình thoi (Định lí 2b). Khi $OA=OB$ thì $A{A}^{\prime }=B{B}^{\prime }=2OA$, hình thoi có hai đường chéo bằng nhau nên trở thành hình vuông.

Định hướng. Đặt $O$ làm gốc, hai nếp gấp làm hai trục toạ độ để quy việc chứng minh vuông góc và bằng cạnh về tính tích vô hướng và độ dài.

Vậy tứ giác nhận được là hình thoi; khi $p=q$ thì $A{A}^{\prime }=B{B}^{\prime }=2p$ bằng nhau nên hình thoi trở thành hình vuông.

Nhận xét. Cách 2 chỉ ra ngay bằng đại số điều kiện $p=q$ (tức $OA=OB$) để hình thoi trở thành hình vuông, trong khi Cách 1 cho thấy đúng bản chất hình học của thao tác gấp giấy.

Định hướng. So sánh trực tiếp định nghĩa hình thoi với dấu hiệu nhận biết hình bình hành đã học.

Vậy hình thoi luôn là một hình bình hành đặc biệt (thêm điều kiện bốn cạnh bằng nhau).

Định hướng. Kẻ một đường chéo để tách hình thoi thành hai tam giác bằng nhau, từ đó suy ra các cặp cạnh đối song song — khác bản chất vì đi từ tam giác thay vì áp thẳng dấu hiệu cạnh đối.

Vậy hình thoi là hình bình hành.

Nhận xét. Vì hình thoi là hình bình hành nên nó thừa hưởng toàn bộ tính chất của hình bình hành: các góc đối bằng nhau, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

Định hướng. Hình thoi có $AB=AD$ nên $\Delta ABD$ cân tại $A$; chỉ cần nhận ra $AO$ là trung tuyến của tam giác cân này để suy ra ngay cả vuông góc lẫn phân giác.

Vậy a) $\Delta ABD$ cân tại $A$; b) $AC\perp BD$ và $AC$ là đường phân giác của góc $A$.

Định hướng. Chứng minh trực tiếp hai tam giác vuông tạo bởi $O$ bằng nhau bằng trường hợp cạnh – cạnh – cạnh, khác bản chất vì không dùng tính chất tam giác cân có sẵn mà dựng lại từ định nghĩa.

Vậy a) $\Delta ABD$ cân tại $A$; b) $AC\perp BD$ và $AC$ là đường phân giác của góc $A$.

Định hướng. Hình thoi có $AC$ là một trục đối xứng (vì $AB=AD$, $CB=CD$); phản chiếu qua trục này cho ngay cả hai kết luận, khác bản chất vì dùng phép đối xứng thay vì tam giác bằng nhau.

Vậy a) $\Delta ABD$ cân tại $A$; b) $AC\perp BD$ và $AC$ là đường phân giác của góc $A$.

Nhận xét. Cả ba cách đều quy về cùng một sự thật: $AC$ vừa là trục đối xứng, vừa là trung tuyến-đường cao-phân giác của tam giác cân $ABD$ — đây chính là nội dung Định lí 1 của bài học.

Định hướng. Gọi tên hình bình hành $ABCD$ và đường chéo $AC$, diễn đạt 'đường chéo là phân giác của một góc' bằng hai góc bằng nhau tại đỉnh đó.

Vậy Giả thiết: $ABCD$ là hình bình hành, $\widehat{BAC}=\widehat{DAC}$. Kết luận: $ABCD$ là hình thoi.

Định hướng. Dùng cách đánh số nửa góc $\widehat{A_1},\widehat{A_2}$ quen thuộc trong hình vẽ của bài (một quy ước trình bày khác thường gặp khi kiểm tra) — khác bản chất kí hiệu so với Cách 1 dù cùng một nội dung.

Vậy Giả thiết: $ABCD$ là hình bình hành, $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ (với $AC$ chia $\hat{A}$ thành $\widehat{A_1},\widehat{A_2}$). Kết luận: $ABCD$ là hình thoi.

Định hướng. Đi lần lượt a) → b) → c), mỗi hình chọn đúng dấu hiệu của Định lí 2 khớp với dữ kiện đã đánh dấu.

Vậy a) và b) là hình thoi; c) chưa đủ dữ kiện để khẳng định là hình thoi.

Định hướng. Với mỗi hình, thử xem có dấu hiệu nào của Định lí 2 KHÔNG được thoả trước, nếu mọi dấu hiệu đều thiếu thì loại ngay — khác bản chất vì đi từ việc phủ định thay vì khẳng định trực tiếp.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: a), b) là hình thoi; c) không đủ căn cứ kết luận.

Nhận xét. Hình c) là một bẫy thường gặp: có kí hiệu vuông góc và một góc chia đôi trông 'giống' hình thoi, nhưng thiếu đúng phần cốt lõi — đường chéo còn lại không được cho là bị chia đôi và góc ở đầu kia cũng không được cho là bằng nhau, nên không có cơ sở suy ra đối xứng qua cả hai phía.

Định hướng. Hình vuông $ABCD$ vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi nên có ngay cả hai tính chất đường chéo tương ứng.

Vậy hai đường chéo của hình vuông vừa bằng nhau ($AC=BD$) vừa vuông góc với nhau ($AC\perp BD$).

Định hướng. Không đi qua trung gian hình chữ nhật/hình thoi mà chứng minh thẳng $\Delta ABD=\Delta BAC$ và $\Delta AOB=\Delta AOD$ từ bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông — khác bản chất vì dựng lại từ định nghĩa gốc.

Vậy hai đường chéo của hình vuông bằng nhau và vuông góc với nhau.

Định hướng. Gọi hình chữ nhật là $ABCD$, hai cạnh kề tại đỉnh $B$ là $AB$ và $BC$.

Vậy Giả thiết: $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=BC$. Kết luận: $ABCD$ là hình vuông.

Định hướng. Dùng cặp cạnh kề tại đỉnh $D$ thay vì tại đỉnh $B$ — một lựa chọn đỉnh khác của cùng một nội dung, để thấy giả thiết không phụ thuộc vào việc chọn đỉnh nào.

Vậy Giả thiết: $ABCD$ là hình chữ nhật, $AD=DC$. Kết luận: $ABCD$ là hình vuông.

Định hướng. Với mỗi hình, xác định trước hình chữ nhật (từ hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) rồi soi dữ kiện còn lại để chọn đúng câu của Định lí 4.

Vậy hình a) dùng Định lí 4a (hcn có hai cạnh kề bằng nhau); hình b) dùng Định lí 4c (hcn có một đường chéo là phân giác một góc); hình c) dùng Định lí 4b (hcn có hai đường chéo vuông góc).

Định hướng. Với mỗi hình, kiểm tra lần lượt xem dữ kiện có khớp câu b (vuông góc) hay câu c (phân giác) hay không, dấu hiệu nào không khớp thì loại, còn lại đúng một câu — khác bản chất vì đi từ loại trừ thay vì nhận diện trực tiếp.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: a) dùng câu a, b) dùng câu c, c) dùng câu b của Định lí 4.

Nhận xét. Cả ba hình đều thực sự là hình vuông (đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường luôn có sẵn ở cả ba hình); điều khác nhau chỉ là dữ kiện PHỤ nào được thêm vào để hoàn tất chứng minh, ứng đúng với một trong ba câu a, b, c của Định lí 4.

Định hướng. Cả hai trường hợp đều xuất phát từ cùng một hình bình hành có hai đường chéo vuông góc; trường hợp b) chỉ khác ở việc hai đường chéo còn bằng nhau.

Vậy trường hợp a) (chỉ có vuông góc, chưa bằng nhau) cho hình thoi; trường hợp b) (vuông góc và bằng nhau) cho hình vuông.

Định hướng. Ở trường hợp b), kiểm tra trực tiếp cả bốn tính chất của Định lí 3 (đường chéo bằng nhau, vuông góc, cắt nhau tại trung điểm) rồi suy ngược ra hình vuông — khác bản chất vì không dùng Chú ý mà quay lại đúng bốn điều kiện đặc trưng của đường chéo hình vuông.

Vậy trường hợp b) cho hình vuông vì hội đủ cả bốn tính chất đường chéo đặc trưng của Định lí 3.

Định hướng. Với mỗi hình, đối chiếu đúng dữ kiện đã cho với định nghĩa/dấu hiệu của hình bình hành, hình thoi, hình vuông.

Vậy hình thoi là b) và c); trong đó c) còn là hình vuông; hình a) chỉ là hình bình hành, hình d) chỉ là cánh diều.

Định hướng. Gán số đo cụ thể phù hợp với từng kí hiệu trên hình rồi tính toán trực tiếp bốn cạnh, so sánh bằng số — khác bản chất vì dùng phép đo đạc bằng số thay cho suy luận từ định lí.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: b) và c) là hình thoi, c) còn là hình vuông; a) chỉ là hình bình hành, d) chỉ là cánh diều.

Nhận xét. Bài này cho thấy bốn cấp độ liên tiếp của tứ giác đặc biệt: cạnh đối bằng nhau (hình bình hành) → thêm vuông góc đường chéo (hình thoi) → thêm một góc vuông (hình vuông); còn cạnh KỀ bằng nhau (hình d) là một tính chất khác hẳn, không nằm trong chuỗi này.

Định hướng. Tách $AF$, $AE$ theo tỉ số $BD/BC$, $DC/BC$ nhờ các cặp tam giác đồng dạng sinh ra từ hai đường song song, rồi giải điều kiện $AF=AE$.

Vậy a) $AEDF$ luôn là hình bình hành; b) $D$ là trung điểm $BC$ thì $AEDF$ là hình thoi; c) $AEDF$ luôn là hình chữ nhật; d) $D$ là trung điểm $BC$ thì $AEDF$ là hình vuông.

Định hướng. Thay vì lập tỉ số Thalès tổng quát rồi giải phương trình, xét thẳng trường hợp $D$ là trung điểm $BC$ và dùng tính chất đường trung bình của tam giác — khác bản chất vì đi từ một điểm đặc biệt suy ngược, thích hợp để kiểm tra nhanh câu b, d.

Vậy cùng kết luận: $D$ là trung điểm của $BC$ thì $AEDF$ là hình thoi (tam giác cân) hoặc hình vuông (tam giác vuông cân).

Định hướng. Mỗi cạnh của tứ giác trung điểm là đường trung bình của một trong hai tam giác được đường chéo $AC$ (hoặc $BD$) chia ra, nên bằng đúng một nửa đường chéo.

Vậy tứ giác $MNPQ$ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi (định nghĩa).

Định hướng. Biểu diễn bốn trung điểm bằng vectơ theo hai cạnh $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ rồi tính trực tiếp độ dài bốn cạnh của tứ giác trung điểm — khác bản chất vì dùng đại số vectơ thay cho định lí đường trung bình.

Vậy cả bốn cạnh $MN=NP=PQ=QM=\frac{1}{2}\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}$ bằng nhau nên $MNPQ$ là hình thoi.

Nhận xét. Cả hai cách đều lộ ra cùng một công thức đẹp: cạnh của hình thoi trung điểm luôn bằng nửa đường chéo của hình chữ nhật gốc, không phụ thuộc tỉ lệ hai cạnh $AB$, $AD$.

Định hướng. Bốn đường trung bình cho ngay hình bình hành (như Bài 3.31); điểm khác biệt duy nhất là hai cạnh kề của nó song song với hai đường chéo VUÔNG GÓC của hình thoi nên cũng vuông góc với nhau.

Vậy hình bình hành $MNPQ$ có một góc vuông ($\widehat{MNP}=90^{\circ }$) nên là hình chữ nhật.

Định hướng. Đặt hai đường chéo vuông góc của hình thoi làm hai trục toạ độ ngay từ đầu để việc kiểm tra góc vuông của tứ giác trung điểm quy về một phép tính tích vô hướng đơn giản — khác bản chất vì dùng toạ độ thay vì định lí đường trung bình cộng dồn góc.

Vậy $MNPQ$ là hình chữ nhật với hai cạnh $MN=PQ=a=\frac{1}{2}AC$ và $NP=QM=b=\frac{1}{2}BD$.

Định hướng. Ghép $\Delta ABM$ và $\Delta DCM$ vuông tại $B$, $C$ để nhận ra $AM$, $DM$ là hai cạnh huyền; điều kiện $MA\perp MD$ tại trung điểm gợi ngay đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông thứ ba ẩn bên trong.

Vậy $AB=DC=6$ cm và $BC=AD=12$ cm.

Định hướng. Đặt hệ trục tại $B$ với hai cạnh hình chữ nhật làm hai trục, biến điều kiện $MA\perp MD$ thành một phương trình tích vô hướng — khác bản chất vì dùng đại số toạ độ thay cho tam giác vuông và Pythagore tổng hợp.

Vậy $AB=DC=a=6$ cm và $BC=AD=b=12$ cm.

Nhận xét. Cả hai cách đều dẫn tới cùng hệ thức mấu chốt $AB=\frac{1}{2}BC$ — nghĩa là hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài gấp đôi chiều rộng; Cách 2 cho thấy điều này nhanh hơn qua một phép tích vô hướng duy nhất, còn Cách 1 làm rõ bản chất hình học bằng tam giác vuông và cạnh huyền.