Bài 15. Định lí Thalès trong tam giác

Định hướng. Đưa mọi số đo về cùng đơn vị cm rồi lập tỉ số, rút gọn về phân số tối giản.

Vậy a) $\frac{1}{3}$; b) $\frac{3}{10}$; c) $5$.

Định hướng. Đổi ngược đơn vị (cm sang dm, cm sang m) rồi lập tỉ số — kết quả phải giống Cách 1 vì tỉ số không phụ thuộc đơn vị đo.

Vậy kết quả giống hệt Cách 1: a) $\frac{1}{3}$; b) $\frac{3}{10}$; c) $5$.

Định hướng. Sau khi quy về cùng đơn vị, tìm ƯCLN của tử và mẫu rồi rút gọn một lần thay vì rút gọn dần.

Vậy a) $\frac{1}{3}$; b) $\frac{3}{10}$; c) $5$.

Nhận xét. Dù quy đổi lên hay xuống, kết quả tỉ số luôn như nhau — đúng với định nghĩa tỉ số của hai đoạn thẳng.

Định hướng. Câu a) đỉnh chung là $A$: so sánh $AP$ với $PB$, $AQ$ với $QC$. Câu b) đỉnh chung là $P$: so sánh $PE$ với $EM$, $PF$ với $FN$.

Vậy a) $x=2,8$; b) $x=6,3$.

Định hướng. Viết tỉ lệ thức dạng "một phần trên cả cạnh" rồi giải phương trình, tiện khi muốn kiểm tra chéo kết quả Cách 1.

Vậy a) $x=2,8$; b) $x=6,3$, khớp Cách 1.

Định hướng. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau (lớp 7) để rút ngắn bước giải phương trình.

Vậy a) $x=2,8$; b) $x=6,3$.

Nhận xét. Cách 1 nhanh nhất cho cả hai câu, miễn xác định đúng đỉnh chung của tam giác trước khi viết tỉ lệ thức.

Định hướng. Câu a) từ góc đồng vị suy ra $MN\parallel BC$; câu b) từ hai góc vuông suy ra $DE\parallel AC$. Sau đó áp dụng Thalès như bình thường.

Vậy a) $x=3,75$; b) $x=4,5$.

Định hướng. Viết tỉ lệ thức dạng "một phần trên cả cạnh" thay vì "phần trên phần", tiện khi cần cộng thêm đoạn đã biết.

Vậy a) $x=3,75$; b) $x=4,5$, khớp Cách 1.

Định hướng. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải nhanh hơn, tránh lập phương trình như Cách 2.

Vậy a) $x=3,75$; b) $x=4,5$.

Nhận xét. Điều quan trọng nhất ở cả hai câu là bước LẬP LUẬN SONG SONG trước, không được bỏ qua dù kết quả tính toán giống nhau ở mọi cách.

Định hướng. Coi $H$ là đỉnh chung của "tam giác" $HKI$, $A$ trên cạnh $HK$, $B$ trên cạnh $HI$; tính tỉ số phần-trên-phần ở mỗi cạnh rồi so sánh.

Vậy theo định lí Thalès đảo (áp dụng cho tam giác $HKI$, $A\in HK$, $B\in HI$), $AB\parallel KI$ (đpcm).

Định hướng. Thay vì so sánh phần-trên-phần, so sánh phần-trên-cả-cạnh — một dạng tỉ lệ thức khác nhưng tương đương, dùng để kiểm tra chéo Cách 1.

Vậy theo định lí Thalès đảo, $AB\parallel KI$ (đpcm), khớp Cách 1.

Định hướng. Thay vì rút gọn từng phân số về dạng tối giản, quy đồng $\frac{5}{2}$ và $\frac{6,25}{2,5}$ để thấy rõ chúng bằng nhau ngay từ phép nhân.

Vậy theo định lí Thalès đảo, $AB\parallel KI$ (đpcm).

Nhận xét. Cách 1 và Cách 2 đều dùng đúng định lí Thalès đảo; Cách 3 chỉ là một cách khác để chứng tỏ hai tỉ số bằng nhau.

Định hướng. Đường thẳng $MN$ cắt $AC$ tại $I$; trong tam giác $ACD$ có $MI\parallel DC$, trong tam giác $ABC$ có $NI\parallel AB$ — áp dụng Thalès cho từng tam giác rồi kết hợp.

Vậy a) $\frac{AM}{MD}=\frac{BN}{NC}$; b) $\frac{AM}{AD}+\frac{CN}{CB}=1$ (đpcm).

Định hướng. Dùng đường chéo còn lại $BD$, gọi $J$ là giao điểm của $MN$ với $BD$, lập luận hoàn toàn tương tự Cách 1 nhưng qua hai tam giác $ABD$ và $BCD$.

Vậy cả hai hệ thức đều đúng, khớp kết quả Cách 1.

Định hướng. Chọn hình thang với tỉ lệ cụ thể (ví dụ $M$ là trung điểm $AD$) để kiểm tra công thức đúng, sau đó khái quát hoá bằng lập luận như Cách 1.

Vậy hai hệ thức đúng với MỌI vị trí của $M$ trên $AD$ (đpcm).

Nhận xét. Cách 3 chỉ nên dùng để tự kiểm tra; khi trình bày chính thức phải chứng minh tổng quát như Cách 1 hoặc Cách 2.

Định hướng. $M$, $N$ là trung điểm hai cạnh đối $AB$, $CD$ nên $AM\parallel NC$ và $AM=NC$, suy ra $AMCN$ là hình bình hành, do đó $AN\parallel MC$. Từ đó, xét riêng tam giác $DCQ$ và tam giác $ABP$ (hai tam giác có cạnh là đường chéo $BD$) để dùng tính chất "đường thẳng qua trung điểm một cạnh và song song cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh còn lại".

Vậy $DP=PQ=QB$ (đpcm).

Định hướng. Áp dụng Thalès riêng cho tam giác $ADP$ (chứa cạnh $AN$) và tam giác $CBQ$ (chứa cạnh $CM$) để tính tỉ số $\frac{DP}{DB}$ và $\frac{BQ}{BD}$ rồi suy ra đoạn giữa.

Vậy $DP=PQ=QB=\frac{1}{3}DB$ (đpcm), khớp Cách 1.

Định hướng. Đặt toạ độ cụ thể cho hình bình hành $ABCD$, tính toạ độ $M$, $N$, rồi tìm giao điểm $P$, $Q$ để kiểm tra ba đoạn $DP$, $PQ$, $QB$ bằng nhau — một cách nhìn đại số minh hoạ cho chứng minh tổng quát ở Cách 1, Cách 2.

Vậy $DP=PQ=QB$ (đpcm), phù hợp với chứng minh hình học ở Cách 1, Cách 2.

Nhận xét. Cách 2 dùng đúng công cụ Thalès của bài, gọn và tổng quát nhất cho mọi hình bình hành; Cách 3 chỉ nên dùng để tự kiểm tra vì đã vượt phạm vi kiến thức lớp 8.