Chương IV. Định lí Thalès

Bài 15. Định lí Thalès trong tam giác

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngIV #SáchBàiTập_Tập1 #trang47–48 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 4.1★Trang 47— Tính tỉ số hai đoạn thẳng, có đổi đơn vị đo

Bài 4.1 (trang 47). Viết tỉ số của các cặp đoạn thẳng có độ dài như sau:
a)

H K = 3

cm và

M N = 9

cm;
b)

A B = 36

cm và

P Q = 12

dm;
c)

E F = 1, 5

m và

G H = 30

cm.

Kiến thức cần nhớ

Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.
$1$ dm $= 10$ cm; $1$ m $= 100$ cm.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) hai đoạn cùng đơn vị cm nên lập tỉ số ngay; câu b), c) có đơn vị KHÁC NHAU (cm với dm, m với cm) — dấu hiệu bắt buộc đổi về cùng một đơn vị trước khi lập tỉ số. Bẫy của đề là quên đổi đơn vị rồi lấy thẳng số đo, đặc biệt câu c) dễ nhầm

1, 5

với

1, 5

cm thay vì

150

cm.

1Cách 1. Đổi về đơn vị cm (đơn vị nhỏ nhất) rồi lập tỉ số và rút gọn

Định hướng. Đưa mọi số đo về cùng đơn vị cm rồi lập tỉ số, rút gọn về phân số tối giản.

\frac{H K}{M N} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

P Q = 12

= 120

cm;

\frac{A B}{P Q} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10}

E F = 1, 5

= 150

cm;

\frac{E F}{G H} = \frac{150}{30} = 5

Vậy a) $\frac{1}{3}$ ; b) $\frac{3}{10}$ ; c) $5$ .

2Cách 2. Đổi về đơn vị lớn hơn để kiểm tra chéo kết quả

Định hướng. Đổi ngược đơn vị (cm sang dm, cm sang m) rồi lập tỉ số — kết quả phải giống Cách 1 vì tỉ số không phụ thuộc đơn vị đo.

H K = 3

= 0, 3

dm;

M N = 9

= 0, 9

dm:

\frac{0 , 3}{0 , 9} = \frac{1}{3}

A B = 36

= 3, 6

dm:

\frac{3 , 6}{12} = \frac{3}{10}

G H = 30

= 0, 3

\frac{1 , 5}{0 , 3} = 5

Vậy kết quả giống hệt Cách 1: a) $\frac{1}{3}$ ; b) $\frac{3}{10}$ ; c) $5$ .

3Cách 3. Rút gọn bằng ước chung lớn nhất sau khi quy đổi

Định hướng. Sau khi quy về cùng đơn vị, tìm ƯCLN của tử và mẫu rồi rút gọn một lần thay vì rút gọn dần.

a) ƯCLN

(3; 9) = 3

\frac{3}{9} = \frac{1}{3}

P Q = 120

cm; ƯCLN

(36; 120) = 12

\frac{36}{120} = \frac{3}{10}

E F = 150

cm; ƯCLN

(150; 30) = 30

\frac{150}{30} = 5

Vậy a) $\frac{1}{3}$ ; b) $\frac{3}{10}$ ; c) $5$ .

Nhận xét. Dù quy đổi lên hay xuống, kết quả tỉ số luôn như nhau — đúng với định nghĩa tỉ số của hai đoạn thẳng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: luôn đổi về đơn vị nhỏ nhất (cm) để làm việc với số nguyên, hạn chế sai số thập phân.

Đáp số. a)

\frac{H K}{M N} = \frac{1}{3}

; b)

\frac{A B}{P Q} = \frac{3}{10}

; c)

\frac{E F}{G H} = 5

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp nhất ở câu c) là quên đổi 1,5 m ra 150 cm, lấy nhầm 1,5/30 = 1/20 — sai vì hai độ dài chưa cùng đơn vị.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi EF = 1,5 m thành EF = 15 dm thì tỉ số EF/GH = 15/3 = 5 vẫn không đổi so với câu c), vì 30 cm = 3 dm là cùng một độ dài.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 4.2★★Trang 48— Tính độ dài đoạn thẳng bằng định lí Thalès

Bài 4.2 (trang 48). Tìm độ dài

x

trong các hình vẽ sau (H.5.4):
a) Tam giác

A B C

P \in A B

Q \in A C

P Q ∥ B C

A P = 5

;

P B = 3, 5

;

A Q = 4

;

QC = x

.
b) Tam giác

M N P

E \in M P

F \in N P

E F ∥ M N

M E = 10, 5

;

E P = x

;

N F = 15

;

F P = 9

Kiến thức cần nhớ

Định lí Thalès: đường thẳng song song với một cạnh của tam giác định ra trên hai cạnh còn lại các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai câu đều cho sẵn đường thẳng song song với một cạnh — dấu hiệu áp dụng thẳng định lí Thalès. Câu a) hỏi đoạn kề đỉnh

C

nên dùng tỉ lệ thức "phần trên phần" quen thuộc. Câu b) khác ở chỗ ẩn

x = E P

nằm ở VỊ TRÍ GẦN ĐỈNH

P

(không phải gần đỉnh

M

) — bẫy của đề là đặt sai tử/mẫu nếu không để ý đúng đỉnh chung của tam giác là

P

1Cách 1. Dùng tỉ lệ thức đoạn kề đỉnh trên đoạn còn lại

Định hướng. Câu a) đỉnh chung là $A$ : so sánh $A P$ với $P B$ , $A Q$ với $QC$ . Câu b) đỉnh chung là $P$ : so sánh $P E$ với $E M$ , $P F$ với $F N$ .

a) Tam giác

A B C

có

P Q ∥ B C

nên

\frac{A P}{P B} = \frac{A Q}{QC}

\frac{5}{3 , 5} = \frac{4}{x}

x = \frac{4 \cdot 3 , 5}{5} = 2, 8

P E = E P = x

(kề đỉnh

P

trên cạnh

M P

);

P F = 9

(kề đỉnh

P

trên cạnh

N P

)
Tam giác

M N P

có

E F ∥ M N

nên

\frac{P E}{E M} = \frac{P F}{F N}

\frac{x}{10 , 5} = \frac{9}{15}

x = \frac{9 \cdot 10 , 5}{15} = 6, 3

Vậy a) $x = 2, 8$ ; b) $x = 6, 3$ .

2Cách 2. Dùng tỉ lệ thức theo cạnh đầy đủ

Định hướng. Viết tỉ lệ thức dạng "một phần trên cả cạnh" rồi giải phương trình, tiện khi muốn kiểm tra chéo kết quả Cách 1.

A B = A P + P B = 8, 5

;

A C = A Q + x = 4 + x

\frac{A P}{A B} = \frac{A Q}{A C}

nên

\frac{5}{8 , 5} = \frac{4}{4 + x}

5 (4 + x) = 8, 5 \cdot 4

suy ra

20 + 5 x = 34

x = 2, 8

M P = M E + E P = 10, 5 + x

;

N P = N F + F P = 24

\frac{E P}{M P} = \frac{F P}{N P}

nên

\frac{x}{10 , 5 + x} = \frac{9}{24}

24 x = 9 (10, 5 + x)

suy ra

24 x = 94, 5 + 9 x

15 x = 94, 5

x = 6, 3

Vậy a) $x = 2, 8$ ; b) $x = 6, 3$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Dùng dãy tỉ số bằng nhau

Định hướng. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau (lớp 7) để rút ngắn bước giải phương trình.

\frac{A P}{A Q} = \frac{P B}{QC}

(đảo tỉ lệ thức

\frac{A P}{P B} = \frac{A Q}{QC}

)

\frac{5}{4} = \frac{3 , 5}{x}

x = \frac{4 \cdot 3 , 5}{5} = 2, 8

N P = N F + F P = 24

;

\frac{P F}{P N} = \frac{P E}{P M}

nên

\frac{9}{24} = \frac{x}{x + 10 , 5}

Giải như Cách 2 ra

x = 6, 3

Vậy a) $x = 2, 8$ ; b) $x = 6, 3$ .

Nhận xét. Cách 1 nhanh nhất cho cả hai câu, miễn xác định đúng đỉnh chung của tam giác trước khi viết tỉ lệ thức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: xác định đúng đỉnh chung rồi viết một tỉ lệ thức, không cần lập phương trình như Cách 2.

Đáp số. a)

x = 2, 8

; b)

x = 6, 3

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp ở câu b) là nhầm đỉnh chung, viết

\frac{M E}{E P} = \frac{N F}{F P}

(đảo ngược vai trò M và P) dẫn tới đáp số sai hẳn.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi FP = 9 thành một ẩn số y (giữ NF = 15), có thể lập hệ hai phương trình hai ẩn x, y khi biết thêm một dữ kiện khác về tam giác MNP.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 4.3★★Trang 48— Tìm độ dài đoạn thẳng bằng định lí Thalès, kết hợp nhận biết hai đường thẳng song song

Bài 4.3 (trang 48). Tìm độ dài

x

trong Hình 5.5:
a) Tam giác

A B C

M \in A B

N \in A C

A M N = B

A M = 2

;

M B = 3

;

A N = 1, 5

;

A C = x

.
b) Tam giác

A B C

vuông tại

A

D \in A B

E \in B C

D E ⊥ A B

B D = 6

;

D A = 3

;

B E = 9

;

E C = x

Kiến thức cần nhớ

Nếu hai góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng tạo thành chúng song song với nhau.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Định lí Thalès: đường thẳng song song với một cạnh của tam giác định ra trên hai cạnh còn lại các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 4.4★★Trang 48— Chứng minh hai đường thẳng song song bằng định lí Thalès đảo

Bài 4.4 (trang 48). Cho Hình 5.6:

H

A

K

thẳng hàng và

H

B

I

thẳng hàng,

H A = 5

;

A K = 2

;

H B = 6, 25

;

B I = 2, 5

. Chứng minh rằng

A B ∥ K I

Kiến thức cần nhớ

Định lí Thalès đảo: nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 4.5★★★Trang 48— Chứng minh hệ thức tỉ lệ trong hình thang bằng cách tách thành hai tam giác nhờ đường chéo

Bài 4.5 (trang 48). Cho hình thang

A B C D

(

A B ∥ D C

). Một đường thẳng song song với hai đáy cắt các đoạn thẳng

A D

A C

B C

theo thứ tự tại

M

I

N

. Chứng minh rằng:
a)

\frac{A M}{M D} = \frac{B N}{N C}

;
b)

\frac{A M}{A D} + \frac{C N}{C B} = 1

Kiến thức cần nhớ

Định lí Thalès: đường thẳng song song với một cạnh của tam giác định ra trên hai cạnh còn lại các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Trong hình thang, kẻ một đường chéo sẽ tách hình thang thành hai tam giác để áp dụng Thalès.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 4.6★★★Trang 48— Chứng minh ba đoạn thẳng bằng nhau trên một đường chéo bằng định lí Thalès

Bài 4.6 (trang 48). Cho hình bình hành

A B C D

có

M

N

lần lượt là trung điểm của

A B

và

C D

. Gọi

P

Q

theo thứ tự là giao điểm của

A N

và

C M

với đường chéo

B D

. Chứng minh rằng

D P = P Q = QB

Kiến thức cần nhớ

Trong hình bình hành, các cạnh đối song song và bằng nhau.
Định lí Thalès: đường thẳng song song với một cạnh của tam giác định ra trên hai cạnh còn lại các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Đường trung bình của tam giác đi qua trung điểm một cạnh và song song cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh còn lại.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗