Chương IV. Định lí Thalès

Bài 16. Đường trung bình của tam giác

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 4 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 4.7★★Trang 50— Tính độ dài cạnh nhờ đường trung bình thuận và đảo (hai tam giác liên tiếp)

Bài 4.7 (trang 50). Tìm độ dài

x

y

trong hình vẽ dưới đây.
a) Tam giác

A B C

có

M

là trung điểm

A B

với

M A = M B = 3

N

là trung điểm

A C

với

N A = N C = 4, 5

B C = 10

M N = x

.
b) Tam giác

M N P

có

I

là trung điểm

P N

với

P I = I N = 4

H

thuộc

P M

M N P = H I N = 9 0^{\circ}

(tức

H I ⊥ P N

và

M N ⊥ P N

H P = 5

H M = y

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó (Định lí 1).
Đường thẳng qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba (Chú ý).

🧠 Phân tích tư duy

Ở hình a),

M

N

là trung điểm hai cạnh

A B

A C

— dấu hiệu của đường trung bình thuận, cho ngay

x = M N = \frac{1}{2} B C

. Ở hình b),

I

là trung điểm

P N

và

H I ∥ M N

(cả hai cùng vuông góc

P N

) — dấu hiệu của đường trung bình ĐẢO:

H

phải là trung điểm

P M

, nên

y = H M = H P

. Bẫy của đề là ở hình b) dễ tưởng phải tính

H M

qua độ dài

M N = x

vừa tìm ở câu a), trong khi thực chất

H M

chỉ phụ thuộc

H P

đã cho sẵn (nhờ tính chất trung điểm).

1Cách 1. Đường trung bình thuận cho x, đường trung bình đảo cho y

Định hướng. Hình a) áp dụng thẳng Định lí 1; hình b) dùng Chú ý để chỉ ra $H$ là trung điểm $P M$ trước khi kết luận $y$ .

Hình a):

M

N

là trung điểm

A B

A C

nên

M N

là đường trung bình của tam giác

A B C

x = M N = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5

Hình b):

M N ⊥ P N

và

H I ⊥ P N

nên

H I ∥ M N

I

là trung điểm

P N

và

H I ∥ M N

nên

H

là trung điểm

P M

(Chú ý)

y = H M = H P = 5

Vậy $x = 5$ và $y = 5$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá cả hai hình

Định hướng. Gắn hệ trục tại đỉnh góc vuông của mỗi hình để tính toạ độ các điểm rồi so sánh bằng công thức khoảng cách hoặc trung điểm.

Hình a):

M N = \frac{1}{2} A C - \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} B C

nên

M N = \frac{1}{2} B C = 5 = x

Hình b): chọn

N (0; 0)

P (8; 0)

(vì

P N = P I + I N = 8

M (0; m)

(vì

M N ⊥ P N

)

I

là trung điểm

P N

I (4; 0)

;

H

có cùng hoành độ với

I

(vì

H I ⊥ P N

H (4; h)

H

thuộc đoạn

P M

H = P + t (M - P) = (8 - 8 t; t m)

, cho hoành độ bằng

4

8 - 8 t = 4 \Rightarrow t = \frac{1}{2}

Vậy

H

ứng với

t = \frac{1}{2}

trên

P M

, tức

H

là trung điểm

P M

, nên

H M = H P = 5 = y

Vậy $x = 5$ , $y = 5$ , khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 cho thấy rõ vì sao $t = \frac{1}{2}$ (tức $H$ là trung điểm) mà không cần vẽ hình để "nhìn thấy" điều đó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hình a) áp dụng thẳng Định lí 1, hình b) gọi tên Chú ý (đường trung bình đảo), không cần toạ độ hoá.

Đáp số.

x = 5

;

y = 5

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp ở hình b) là tính

y = H M

bằng cách trừ

H P

cho một nửa

M N

(nhầm lẫn hai tam giác khác nhau); thực chất

H M = H P

đơn giản vì

H

là trung điểm của

P M

, không liên quan gì đến độ dài

M N

của tam giác

A B C

ở câu a).

🚀 Mở rộng. Nếu đổi

H P

thành một số khác (không phải

5

) thì

y

vẫn luôn bằng đúng

H P

đó, vì bản chất bài toán chỉ là xác nhận

H

là trung điểm

P M

— số đo

H P

cho sẵn quyết định hoàn toàn đáp số

y

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 4.8★★Trang 50— Chứng minh tứ giác tạo bởi ba trung điểm của tam giác là hình bình hành

Bài 4.8 (trang 50). Cho tam giác

D E F

. Gọi

H

K

I

lần lượt là các trung điểm của

D E

D F

và

E F

. Chứng minh rằng tứ giác

H K I E

là hình bình hành.

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó (Định lí 1).
Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

H

K

là trung điểm

D E

D F

— dấu hiệu để có

H K

là đường trung bình song song và bằng nửa cạnh

E F

; còn

I

là trung điểm chính

E F

nên đoạn

E I

cũng bằng nửa

E F

và nằm ngay trên đường thẳng

E F

. Hai đoạn

H K

E I

cùng bằng nửa

E F

và cùng phương với

E F

chính là chìa khoá để ghép thành một cặp cạnh đối song song và bằng nhau của tứ giác

H K I E

1Cách 1. Dùng đường trung bình HK rồi so sánh với EI

Định hướng. Chứng minh $H K ∥ E F$ và $H K = \frac{1}{2} E F$ , rồi so sánh với $E I = \frac{1}{2} E F$ đã có sẵn từ giả thiết $I$ là trung điểm $E F$ .

H

K

là trung điểm

D E

D F

nên

H K

là đường trung bình của tam giác

D E F

H K ∥ E F

, mà

I \in E F

nên

H K ∥ E I

H K = \frac{1}{2} E F

(Định lí 1)

I

là trung điểm

E F

nên

E I = \frac{1}{2} E F

H K = E I

Vậy tứ giác $H K I E$ có $H K ∥ E I$ và $H K = E I$ nên $H K I E$ là hình bình hành.

2Cách 2. Toạ độ hoá bằng vectơ

Định hướng. Biểu diễn $H$ , $K$ , $I$ theo $D$ , $E$ , $F$ bằng vectơ trung điểm rồi so sánh trực tiếp $H K$ và $E I$ .

H K = \frac{1}{2} D F - \frac{1}{2} D E = \frac{1}{2} E F

E I = \frac{1}{2} E F

(

I

là trung điểm

E F

)

H K = E I

Vậy $H K = E I$ (cùng hướng, cùng độ dài) nên tứ giác $H K I E$ là hình bình hành.

3Cách 3. Dùng hai đường trung bình HK và KI cùng lúc (không cần điểm E làm mốc)

Định hướng. Ngoài $H K$ , đoạn $K I$ (nối trung điểm $D F$ và trung điểm $E F$ ) cũng là một đường trung bình của tam giác $D E F$ , song song với cạnh $D E$ ; kết hợp cả hai đường trung bình để suy ra hai cặp cạnh đối song song.

K

I

là trung điểm

D F

E F

nên

K I

là đường trung bình của tam giác

D E F

K I ∥ D E

, mà

H \in D E

nên

K I ∥ H E

Theo Cách 1:

H K ∥ E I

Vậy tứ giác $H K I E$ có hai cặp cạnh đối song song ( $H K ∥ E I$ và $K I ∥ H E$ ) nên là hình bình hành (dấu hiệu hai cặp cạnh đối song song).

Nhận xét. Cách 3 dùng dấu hiệu "hai cặp cạnh đối song song" thay vì "một cặp cạnh đối song song và bằng nhau" ở Cách 1, không cần so sánh độ dài.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần một đường trung bình

H K

rồi so sánh với

E I

đã có sẵn từ giả thiết, ngắn hơn Cách 3 (phải dựng thêm đường trung bình

K I

Đáp số.

H K I E

là hình bình hành.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là quên thứ tự đỉnh của tứ giác, xét nhầm cặp cạnh "đối" của

H K I E

: cạnh đối của

H K

trong tứ giác

H, K, I, E

(đi theo đúng thứ tự) là

E I

chứ không phải

K I

; nếu ghép nhầm cặp cạnh sẽ so sánh sai và không ra kết luận đúng.

🚀 Mở rộng. Với cùng tam giác

D E F

, tứ giác

H F I K

(ghép

H

với đỉnh

F

thay vì

I

) và các hoán vị tương tự cũng đều là hình bình hành — đây chính là kết quả tổng quát: ba đường trung bình luôn chia tam giác thành bốn tam giác bằng nhau, và mọi tứ giác ghép từ hai trung điểm kề với một đỉnh gốc đều là hình bình hành.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 4.9★★★Trang 50— Dùng đường trung bình của tam giác gốc và tam giác tạo bởi trọng tâm để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Bài 4.9 (trang 50). Cho tam giác

A B C

, các đường trung tuyến

B D

C E

cắt nhau tại

G

. Gọi

I

K

theo thứ tự là trung điểm của

GB

GC

. Chứng minh rằng

E I = D K

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó (Định lí 1).
Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành; trong hình bình hành các cặp cạnh đối bằng nhau.
Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ số $2 : 1$ tính từ đỉnh.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

D

E

là trung điểm

A C

A B

(do

B D

C E

là trung tuyến) — dấu hiệu để có

D E

là đường trung bình của tam giác

A B C

, song song và bằng nửa

B C

. Đề còn cho

I

K

là trung điểm

GB

GC

với

G

là giao điểm hai trung tuyến (trọng tâm) — dấu hiệu để nhận ra

I K

cũng là một đường trung bình, nhưng của tam giác NHỎ HƠN

GB C

, cũng song song và bằng nửa

B C

. Hai đường trung bình

D E

I K

cùng song song và bằng nhau với

B C

chính là chìa khoá để ghép thành hình bình hành.

1Cách 1. Dùng đường trung bình của tam giác ABC và của tam giác GBC

Định hướng. Cả $D E$ (của tam giác $A B C$ ) và $I K$ (của tam giác $GB C$ ) đều là đường trung bình ứng với CÙNG cạnh $B C$ , nên song song và bằng nhau; từ đó $D E I K$ (hoặc $D E K I$ đúng thứ tự) là hình bình hành.

D

E

lần lượt là trung điểm

A C

A B

(

B D

C E

là trung tuyến)

D E

là đường trung bình của tam giác

A B C

D E ∥ B C

D E = \frac{1}{2} B C

I

K

lần lượt là trung điểm

GB

GC

I K

là đường trung bình của tam giác

GB C

I K ∥ B C

I K = \frac{1}{2} B C

D E ∥ B C

và

I K ∥ B C

nên

D E ∥ I K

; lại có

D E = I K (= \frac{1}{2} B C)

Tứ giác

D E I K

có cặp cạnh đối

D E

I K

song song và bằng nhau nên là hình bình hành

Vậy $D E I K$ là hình bình hành, suy ra cặp cạnh đối còn lại bằng nhau: $E I = D K$ .

2Cách 2. Dùng tỉ số trọng tâm để chỉ ra G là trung điểm chung của ID và KE

Định hướng. $G$ chia trung tuyến theo tỉ số $2 : 1$ ; tính toán tỉ số đó cho thấy $G$ vừa là trung điểm của $I D$ vừa là trung điểm của $K E$ , nên hai đường chéo $I D$ , $K E$ của tứ giác $I D K E$ (hay $I E D K$ tuỳ thứ tự) bằng nhau chung một trung điểm.

G

là trọng tâm nên

B G = 2 G D

và

C G = 2 GE

(tỉ số

2 : 1

từ đỉnh)

I

là trung điểm

GB

nên

G I = \frac{1}{2} GB = \frac{1}{2} \cdot 2 G D = G D

K

là trung điểm

GC

nên

G K = \frac{1}{2} GC = \frac{1}{2} \cdot 2 GE = GE

I

G

D

thẳng hàng (cùng trên trung tuyến

B D

) và

G I = G D

nên

G

là trung điểm

I D

K

G

E

thẳng hàng (cùng trên trung tuyến

C E

) và

G K = GE

nên

G

là trung điểm

K E

Hai đoạn

I D

và

K E

có chung trung điểm

G

nên tứ giác

I E D K

(lấy

I D

K E

làm hai đường chéo) là hình bình hành

Vậy $I E D K$ là hình bình hành, suy ra cặp cạnh đối $E I$ và $D K$ bằng nhau.

Nhận xét. Cách 2 không cần dùng tới đường trung bình của tam giác $GB C$ như Cách 1, mà đi thẳng vào tỉ số trọng tâm.

3Cách 3. Toạ độ hoá bằng vectơ

Định hướng. Đặt $A$ làm gốc, biểu diễn mọi điểm theo $A B$ , $A C$ rồi tính trực tiếp độ dài $E I$ , $D K$ .

Đặt

A B = b

A C = c

D = \frac{1}{2} c

E = \frac{1}{2} b

G = \frac{1}{3} (b + c)

(trọng tâm)

I = \frac{1}{2} (G + b) = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} b + \frac{1}{3} c + b) = \frac{2}{3} b + \frac{1}{6} c

K = \frac{1}{2} (G + c) = \frac{1}{6} b + \frac{2}{3} c

E I = I - E = \frac{1}{6} b + \frac{1}{6} c

;

D K = K - D = \frac{1}{6} b + \frac{1}{6} c

Vậy $E I = D K$ nên $E I = D K$ (và hai đoạn còn song song với nhau).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: dùng hai đường trung bình song song cùng một cạnh

B C

, không cần nhớ tỉ số trọng tâm

2 : 1

như Cách 2.

Đáp số.

E I = D K

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là chỉ ra

D E = I K

rồi kết luận ngay

E I = D K

mà không lập luận qua bước trung gian "

D E I K

là hình bình hành" — hai cạnh

D E

I K

bằng nhau chỉ là MỘT CẶP cạnh đối, còn

E I

D K

là CẶP CẠNH ĐỐI CÒN LẠI, phải qua tính chất hình bình hành mới suy ra được, không được suy trực tiếp.

🚀 Mở rộng. Cùng lập luận này cho thấy

D K

và

E I

không chỉ bằng nhau mà còn song song với nhau (vì là hai cạnh đối của cùng một hình bình hành) — mở rộng tự nhiên là chứng minh luôn

D K ∥ E I ∥

với đường trung bình thứ ba nối trung điểm

D E

và trung điểm

I K

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 4.10★★★Trang 50— Nhận biết hình thoi tạo bởi trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật

Bài 4.10 (trang 50). Cho hình chữ nhật

A B C D

. Gọi

D^{'}

E

F

G

lần lượt là trung điểm các cạnh

A B

B C

C D

D A

. Tứ giác

D^{'} E F G

là hình gì? Vì sao?

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó (Định lí 1).
Hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau.
Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau (hoặc hai đường chéo vuông góc) là hình thoi.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

D^{'}

E

là trung điểm

A B

B C

và

F

G

là trung điểm

C D

D A

— dấu hiệu để nhận ra

D^{'} E

GF

đều là đường trung bình của hai tam giác

A B C

A D C

cùng song song và bằng nửa đường chéo

A C

; tương tự

D^{'} G

E F

đều song song và bằng nửa đường chéo

B D

. Vì

A B C D

là hình chữ nhật nên hai đường chéo

A C

B D

BẰNG NHAU — đúng dấu hiệu để bốn cạnh của tứ giác

D^{'} E F G

bằng nhau, tức là một hình thoi chứ không chỉ dừng ở hình bình hành.

1Cách 1. Dùng bốn đường trung bình của hai tam giác ứng với hai đường chéo bằng nhau

Định hướng. Ghép $D^{'} E$ , $GF$ thành một cặp cạnh đối song song và bằng nửa $A C$ ; ghép $D^{'} G$ , $E F$ thành cặp cạnh đối kia song song và bằng nửa $B D$ ; rồi dùng $A C = B D$ để suy ra hình thoi.

Xét tam giác

A B C

có

D^{'}

E

là trung điểm

A B

B C

D^{'} E

là đường trung bình,

D^{'} E ∥ A C

D^{'} E = \frac{1}{2} A C

Xét tam giác

A C D

có

G

F

là trung điểm

A D

C D

GF

là đường trung bình,

GF ∥ A C

GF = \frac{1}{2} A C

D^{'} E ∥ GF

và

D^{'} E = GF

nên tứ giác

D^{'} E F G

là hình bình hành
Xét tam giác

A B D

có

D^{'}

G

là trung điểm

A B

A D

D^{'} G

là đường trung bình,

D^{'} G = \frac{1}{2} B D

A B C D

là hình chữ nhật nên

A C = B D

(hai đường chéo bằng nhau)

D^{'} E = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} B D = D^{'} G

Vậy $D^{'} E F G$ là hình bình hành có hai cạnh kề $D^{'} E = D^{'} G$ bằng nhau nên $D^{'} E F G$ là hình thoi.

2Cách 2. Toạ độ hoá, tính bốn cạnh bằng công thức khoảng cách

Định hướng. Đặt hệ trục tại $A$ theo hai cạnh hình chữ nhật rồi tính toạ độ bốn trung điểm, so sánh trực tiếp bốn cạnh bằng công thức khoảng cách.

Đặt

A (0; 0)

B (2 a; 0)

C (2 a; 2 b)

D (0; 2 b)

D^{'}

là trung điểm

A B

D^{'} (a; 0)

;

E

là trung điểm

B C

E (2 a; b)

F

là trung điểm

C D

F (a; 2 b)

;

G

là trung điểm

D A

G (0; b)

D^{'} E = a^{2} + b^{2}

;

E F = a^{2} + b^{2}

;

F G = a^{2} + b^{2}

;

G D^{'} = a^{2} + b^{2}

Vậy cả bốn cạnh $D^{'} E = E F = F G = G D^{'} = a^{2} + b^{2}$ nên $D^{'} E F G$ là hình thoi.

Nhận xét. Cách 2 tính thẳng ra công thức cạnh hình thoi theo hai kích thước $a$ , $b$ của hình chữ nhật, trực quan hơn để kiểm tra số.

3Cách 3. Dùng tính chất trục đối xứng của hình chữ nhật

Định hướng. Hình chữ nhật có hai trục đối xứng là hai đường trung trực của các cặp cạnh đối; bốn trung điểm $D^{'}$ , $E$ , $F$ , $G$ chính là chân của hai trục đó, nên $D^{'} E F G$ nhận cả hai trục này làm trục đối xứng.

Đường thẳng

D^{'} F

(nối trung điểm

A B

C D

) là trục đối xứng của hình chữ nhật

A B C D

, vuông góc với

A B

C D

và đi qua trung điểm

B C

A D

... nên đối xứng qua

D^{'} F

biến

E

thành

G

Tương tự, đường thẳng

E G

(nối trung điểm

B C

A D

) là trục đối xứng còn lại, đối xứng qua

E G

biến

D^{'}

thành

F

Tứ giác nhận cả hai đường chéo làm trục đối xứng và các đường chéo đó vuông góc với nhau (vì

D^{'} F ∥ A D

E G ∥ A B

, mà

A D ⊥ A B

)

Vậy $D^{'} E F G$ là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nên là hình thoi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần bốn đường trung bình quen thuộc và tính chất "hai đường chéo hình chữ nhật bằng nhau" đã học ở Bài 13, không cần toạ độ hoá.

Đáp số. Tứ giác

D^{'} E F G

là hình thoi.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là dừng lại ở kết luận "

D^{'} E F G

là hình bình hành" mà quên khai thác thêm giả thiết

A B C D

là HÌNH CHỮ NHẬT (tức

A C = B D

) để nâng cấp lên hình thoi; nếu

A B C D

chỉ là hình bình hành bất kì (không phải hình chữ nhật) thì

D^{'} E F G

nói chung chỉ dừng ở hình bình hành, không chắc là hình thoi.

🚀 Mở rộng. Nếu

A B C D

là hình vuông (vừa có bốn cạnh bằng nhau vừa có bốn góc vuông, hai đường chéo vừa bằng nhau vừa vuông góc) thì tứ giác trung điểm

D^{'} E F G

sẽ trở thành một hình vuông nhỏ hơn — đây là mở rộng tự nhiên của bài toán này.

Mở bài này trong app ↗