Chương IV. Định lí Thalès

Bài 16. Đường trung bình của tam giác

SGK Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 11 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Mở đầu★★Trang 81— Dùng đường trung bình của tam giác để tính khoảng cách gián tiếp

Mở đầu (trang 81). Cho

B

và

C

là hai điểm cách nhau bởi một hồ nước như Hình 4.12 với

D

E

lần lượt là trung điểm của

A B

và

A C

. Biết

D E = 500

m, liệu không cần đo trực tiếp, ta có thể tính được khoảng cách giữa hai điểm

B

và

C

không?

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó (Định lí 1).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

D

E

lần lượt là trung điểm của hai cạnh

A B

A C

của tam giác

A B C

— đúng dấu hiệu của đường trung bình

D E

, còn

B C

là cạnh thứ ba chưa đo được. Hướng làm tự nhiên là dùng ngay tính chất

D E = \frac{1}{2} B C

vừa được gợi mở ở đây (và sẽ chứng minh chặt chẽ trong bài). Bẫy của đề là dễ nhầm

D E

song song và bằng

B C

(bằng hẳn) thay vì chỉ bằng nửa

B C

1Cách 1. Dùng trực tiếp tính chất đường trung bình

Định hướng. $D$ , $E$ là trung điểm của $A B$ , $A C$ nên $D E$ chính là đường trung bình của tam giác $A B C$ ứng với cạnh $B C$ .

D

là trung điểm

A B

E

là trung điểm

A C

D E

là đường trung bình của tam giác

A B C

D E = \frac{1}{2} B C

(tính chất đường trung bình)

B C = 2 D E = 2 \cdot 500 = 1000

Vậy không cần đo trực tiếp, khoảng cách giữa $B$ và $C$ bằng $1000$ m.

2Cách 2. Dùng tam giác đồng dạng ADE và ABC

Định hướng. Tam giác $A D E$ và tam giác $A B C$ có chung góc $A$ và hai cặp cạnh kề góc đó cùng tỉ lệ $\frac{1}{2}$ , nên hai tam giác này đồng dạng, từ đó suy ra tỉ số cạnh thứ ba.

Xét tam giác

A D E

và tam giác

A B C

có

A

chung,

\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{1}{2}

Suy ra tam giác

A D E

đồng dạng với tam giác

A B C

(c.g.c) theo tỉ số

\frac{1}{2}

\frac{D E}{B C} = \frac{1}{2}

B C = 2 D E = 2 \cdot 500 = 1000

Vậy khoảng cách giữa $B$ và $C$ bằng $1000$ m.

3Cách 3. Dựng thêm điểm phụ, đưa về tứ giác hình bình hành

Định hướng. Trên tia đối của tia $E D$ lấy điểm $F$ sao cho $E F = E D$ ; ghép hai tam giác bằng nhau để tạo ra một hình bình hành chứa cạnh $B C$ .

Xét tam giác

A D E

và tam giác

C F E

có

E A = E C

A E D = C E F

(đối đỉnh),

E D = E F

Suy ra tam giác

A D E

bằng tam giác

C F E

(c.g.c)

C F = A D

và

A D E = C F E

nên

C F ∥ A D

, tức

C F ∥ D B

Lại có

A D = D B

(

D

là trung điểm

A B

) nên

C F = D B

Tứ giác

D B C F

có

C F ∥ D B

và

C F = D B

nên là hình bình hành

B C = D F = D E + E F = 2 D E = 2 \cdot 500 = 1000

Vậy khoảng cách giữa $B$ và $C$ bằng $1000$ m.

Nhận xét. Cách 3 chính là con đường sách dùng để chứng minh chặt chẽ Định lí 1 ở mục 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần một dòng nêu tính chất đường trung bình rồi nhân đôi, không phải dựng thêm điểm hay chứng minh đồng dạng.

Đáp số.

B C = 1000

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là nhớ nhầm

D E = B C

(bằng nhau) thay vì

D E = \frac{1}{2} B C

, dẫn tới kết luận sai

B C = 500

m. Phản ví dụ: nếu

D E

thật sự bằng

B C

thì tam giác

A D E

phải trùng tam giác

A B C

, vô lí vì

D

E

là trung điểm nên

A D < A B

A E < A C

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, nếu biết thêm

A B

(hoặc

A C

) thì tính được luôn chu vi tam giác

A B C

mà chỉ cần đo ba đoạn

A D

(hoặc

A E

D E

trên bờ không có hồ chắn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Câu hỏi (trang 81)★Trang 81— Nhận biết đường trung bình của tam giác trên lưới ô vuông

Câu hỏi (trang 81). Em hãy chỉ ra các đường trung bình của tam giác

D E F

và tam giác

I H K

trong Hình 4.14.

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
Trên lưới ô vuông, trung điểm của một đoạn thẳng có toạ độ là trung bình cộng toạ độ hai đầu mút.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu nhận đường trung bình là đoạn thẳng nối đúng hai TRUNG ĐIỂM của hai cạnh tam giác, nên phải đếm ô vuông để xác định toạ độ từng điểm rồi kiểm tra điều kiện trung điểm, không được đoán bằng mắt. Bẫy của đề là hình có sẵn nhiều đoạn thẳng phụ (như

N P

ở tam giác

D E F

) trông giống đường trung bình nhưng thực chất không nối hai trung điểm.

1Cách 1. Đếm ô vuông, lập toạ độ rồi kiểm tra điều kiện trung điểm

Định hướng. Chọn $E$ và $H$ làm gốc toạ độ của mỗi lưới, đếm ô vuông để lập toạ độ tất cả các điểm, sau đó so sánh với công thức trung điểm.

Tam giác

D E F

E (0; 0)

F (6; 0)

D (2; 4)

M

là trung điểm

E D

vì

M (1; 2) = (\frac{0 + 2}{2}; \frac{0 + 4}{2})

N

là trung điểm

D F

vì

N (4; 2) = (\frac{2 + 6}{2}; \frac{4 + 0}{2})

Còn

P (4; 0)

không là trung điểm

E F

vì trung điểm

E F

phải là

(3; 0)

Tam giác

I H K

H (0; 0)

K (4; 0)

I (0; 6)

B (0; 3)

là trung điểm

I H

;

C (2; 3)

là trung điểm

I K

;

A (2; 0)

là trung điểm

H K

Vậy tam giác $D E F$ chỉ có một đường trung bình là $M N$ (đoạn $N P$ không phải đường trung bình); tam giác $I H K$ có đủ cả ba đường trung bình là $A B$ , $B C$ , $C A$ .

2Cách 2. Nhận diện qua dấu hiệu ký hiệu bằng nhau trên hình

Định hướng. Không cần lập toạ độ, chỉ cần đếm số ô vuông trên từng nửa cạnh để so sánh hai đoạn có bằng nhau hay không — bằng nhau thì điểm chia đó là trung điểm.

Tam giác

D E F

: đếm ô vuông thấy

E M = M D

(cùng

22

ô chéo) nên

M

là trung điểm

E D

;

D N = N F

nên

N

là trung điểm

D F

; còn

E P = 4

ô ngang trong khi

P F = 2

ô ngang,

E P \neq = P F

nên

P

không là trung điểm

E F

Tam giác

I H K

: đếm ô vuông thấy

I B = B H

I C = C K

H A = A K

nên cả

A

B

C

đều là trung điểm

Vậy kết luận giống Cách 1: $M N$ là đường trung bình duy nhất của $△ D E F$ ; $A B$ , $B C$ , $C A$ đều là đường trung bình của $△ I H K$ .

Nhận xét. Ba đường trung bình $A B$ , $B C$ , $C A$ chia tam giác $I H K$ thành $4$ tam giác nhỏ bằng nhau — hình ảnh này sẽ còn gặp lại ở các bài sau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đếm trực tiếp số ô vuông trên lưới để so sánh hai đoạn, nhanh hơn hẳn việc lập toạ độ rồi tính trung bình cộng.

Đáp số. Tam giác

D E F

có đường trung bình

M N

(đoạn

N P

không phải đường trung bình). Tam giác

I H K

có đủ ba đường trung bình

A B

B C

C A

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là thấy đoạn

N P

vuông góc với cạnh đáy, trông "gọn gàng" giống hình vẽ mẫu nên tưởng nhầm là đường trung bình; thực ra

N P

chỉ là đoạn nối

N

với một điểm bất kì trên

E F

(không phải trung điểm), nên không có tính chất song song và bằng nửa cạnh nào cả.

🚀 Mở rộng. Nếu nối cả ba trung điểm

A

B

C

của tam giác

I H K

, ba đường trung bình luôn chia tam giác gốc thành

4

tam giác nhỏ bằng nhau — đây chính là ý tưởng dùng ở bài tập 4.7 của bài học này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · HĐ1★★Trang 82— Dùng định lí Thalès đảo để chứng minh hai đường thẳng song song

HĐ1 (trang 82). Cho

D E

là đường trung bình của tam giác

A B C

(H.4.15). Sử dụng định lí Thalès đảo, chứng minh rằng

D E ∥ B C

Kiến thức cần nhớ

Định lí Thalès đảo: nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh đó các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

D

E

là trung điểm của

A B

A C

— dấu hiệu để lập ngay hai tỉ số

\frac{A D}{A B}

và

\frac{A E}{A C}

đều bằng

\frac{1}{2}

. Vì hai tỉ số này bằng nhau trên hai cạnh xuất phát từ cùng đỉnh

A

, định lí Thalès đảo cho ngay

D E ∥ B C

. Bẫy của đề là quên chỉ rõ hai tỉ số phải lập trên CÙNG một đỉnh chung (

A

) thì mới dùng được Thalès đảo.

1Cách 1. Lập tỉ số rồi áp dụng định lí Thalès đảo

Định hướng. $D \in A B$ , $E \in A C$ nên chỉ cần so sánh hai tỉ số $\frac{A D}{A B}$ và $\frac{A E}{A C}$ .

D

là trung điểm

A B

nên

\frac{A D}{A B} = \frac{1}{2}

E

là trung điểm

A C

nên

\frac{A E}{A C} = \frac{1}{2}

\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} (= \frac{1}{2})

Vậy theo định lí Thalès đảo, $D E ∥ B C$ .

2Cách 2. Dùng tam giác đồng dạng để so sánh góc đồng vị

Định hướng. Chỉ ra tam giác $A D E$ đồng dạng với tam giác $A B C$ , từ đó hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau.

Tam giác

A D E

và tam giác

A B C

có

A

chung,

\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{1}{2}

Suy ra tam giác

A D E

đồng dạng với tam giác

A B C

(c.g.c)

A D E = A B C

(hai góc tương ứng)
Hai góc này ở vị trí đồng vị (chắn bởi cát tuyến

A B

)

Vậy $D E ∥ B C$ (dấu hiệu hai góc đồng vị bằng nhau).

Nhận xét. Cách 1 đúng theo đúng gợi ý "dùng Thalès đảo" của đề, ngắn hơn Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng một dòng lập tỉ số rồi gọi tên định lí Thalès đảo, không cần chứng minh đồng dạng dài dòng.

Đáp số.

D E ∥ B C

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là lập tỉ số chéo

\frac{A D}{A C}

và

\frac{A E}{A B}

(nhầm cạnh) rồi kết luận không so sánh được; phải luôn lập tỉ số của đoạn với CẢ cạnh chứa nó (

A D

với

A B

A E

với

A C

🚀 Mở rộng. Cùng lập luận này, nếu

D

E

chia

A B

A C

theo cùng một tỉ số

k

bất kì (không nhất thiết

\frac{1}{2}

) thì vẫn có

D E ∥ B C

— đó chính là hệ quả tổng quát của định lí Thalès.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · HĐ2★★Trang 82— Chứng minh tứ giác là hình bình hành để suy ra một đoạn thẳng bằng nửa đoạn khác

HĐ2 (trang 82). Gọi

F

là trung điểm của

B C

. Chứng minh tứ giác

D E F B

là hình bình hành. Từ đó suy ra

D E = \frac{1}{2} B C

Kiến thức cần nhớ

Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành.
Trong hình bình hành, các cặp cạnh đối bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã cho

F

là trung điểm

B C

và từ HĐ1 đã có

D E ∥ B C

tức

D E ∥ B F

— dấu hiệu gợi ý tìm thêm một cặp cạnh song song nữa của tứ giác

D E F B

để dùng dấu hiệu "hai cặp cạnh đối song song". Hướng tự nhiên là chứng minh tiếp

E F ∥ A B

bằng đúng cách làm ở HĐ1 nhưng áp dụng cho đỉnh

C

1Cách 1. Chứng minh hai cặp cạnh đối song song

Định hướng. Đã có $D E ∥ B F$ từ HĐ1; chỉ cần thêm $E F ∥ D B$ bằng cách lập tỉ số tại đỉnh $C$ như đã làm ở đỉnh $A$ .

Từ HĐ1:

D E ∥ B C

, mà

F \in B C

nên

D E ∥ B F

E

là trung điểm

C A

F

là trung điểm

C B

nên

\frac{C E}{C A} = \frac{C F}{C B} = \frac{1}{2}

Theo định lí Thalès đảo,

E F ∥ A B

, mà

D \in A B

nên

E F ∥ D B

Tứ giác

D E F B

có

D E ∥ B F

và

E F ∥ D B

nên là hình bình hành (dấu hiệu hai cặp cạnh đối song song)

D E = B F

(cạnh đối hình bình hành)

B F = \frac{1}{2} B C

(

F

là trung điểm

B C

)

Vậy $D E F B$ là hình bình hành và $D E = \frac{1}{2} B C$ .

2Cách 2. Dùng vectơ

Định hướng. Biểu diễn các điểm $D$ , $E$ , $F$ theo $A$ , $B$ , $C$ bằng vectơ trung điểm, rồi so sánh trực tiếp vectơ $D E$ và $B F$ .

D E = A E - A D = \frac{1}{2} A C - \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} B C

B F = \frac{1}{2} B C

(

F

là trung điểm

B C

)

D E = B F

Vậy $D E ∥ B F$ và $D E = B F = \frac{1}{2} B C$ , suy ra tứ giác $D E F B$ là hình bình hành (một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Nhận xét. Cách 2 cho luôn cả hai kết luận (song song và bằng nhau) chỉ trong một phép trừ vectơ, gọn hơn Cách 1 nhưng dùng công cụ ngoài chương trình lớp 8.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng công cụ lớp 8 (Thalès đảo và dấu hiệu hình bình hành), trình bày được điểm trọn vẹn.

Đáp số.

D E F B

là hình bình hành và

D E = \frac{1}{2} B C

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là chỉ ra

D E ∥ B F

rồi vội kết luận

D E F B

là hình bình hành ngay, quên chứng minh thêm cặp cạnh song song còn lại — một tứ giác chỉ có MỘT cặp cạnh đối song song thì mới là hình thang, chưa chắc là hình bình hành.

🚀 Mở rộng. Đây chính là bước chứng minh cốt lõi của Định lí 1 (đường trung bình song song và bằng nửa cạnh thứ ba) — dùng lại được cho mọi tam giác, không riêng gì hình cụ thể trong HĐ này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Ví dụ (trang 82)★Trang 82— Tính độ dài đường trung bình khi biết cạnh thứ ba

Ví dụ (trang 82). Cho tam giác

A B C

với

M

là trung điểm của

A B

N

là trung điểm của

A C

và

B C = 10

cm. Tính

M N

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó (Định lí 1).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho ngay

M

N

là trung điểm hai cạnh

A B

A C

— dấu hiệu nhận ra

M N

là đường trung bình của tam giác

A B C

ứng với cạnh

B C

đã biết số đo. Hướng làm ngắn nhất là áp dụng thẳng Định lí 1 vừa chứng minh ở HĐ1, HĐ2.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp Định lí 1

Định hướng. $M$ , $N$ là trung điểm $A B$ , $A C$ nên $M N$ là đường trung bình ứng với cạnh $B C$ .

Tam giác

A B C

có

M

là trung điểm

A B

N

là trung điểm

A C

M N

là đường trung bình của tam giác

A B C

M N = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5

Vậy $M N = 5$ cm.

2Cách 2. Dùng tam giác đồng dạng AMN và ABC

Định hướng. Nhận ra tam giác $A M N$ đồng dạng với tam giác $A B C$ theo tỉ số $\frac{1}{2}$ để suy ra tỉ số cạnh $M N$ và $B C$ .

Tam giác

A M N

và tam giác

A B C

có

A

chung,

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{1}{2}

Suy ra tam giác

A M N

đồng dạng với tam giác

A B C

(c.g.c) theo tỉ số

\frac{1}{2}

M N = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5

Vậy $M N = 5$ cm.

3Cách 3. Toạ độ hoá bằng vectơ

Định hướng. Đặt $A$ làm gốc, biểu diễn $M$ , $N$ theo $B$ , $C$ rồi tính độ dài $M N$ theo $B C$ .

M N = A N - A M = \frac{1}{2} A C - \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} B C

M N = M N = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5

Vậy $M N = 5$ cm.

Nhận xét. Cách 1 ngắn nhất vì bài đã trang bị sẵn Định lí 1, không cần chứng minh lại đồng dạng hay dùng vectơ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gọi tên đúng Định lí 1 rồi thay số, chỉ hai dòng.

Đáp số.

M N = 5

cm.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là tính nhầm

M N = B C = 10

cm do quên hệ số

\frac{1}{2}

của đường trung bình.

🚀 Mở rộng. Nếu đề cho thêm

A B

A C

thì tính được luôn chu vi tam giác

A M N

(đúng bằng nửa chu vi tam giác

A B C

), vì cả ba cạnh của

A M N

đều là một nửa cạnh tương ứng của

A B C

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Luyện tập (trang 83)★★Trang 83— Nhận biết hình thang cân từ tam giác cân có đường trung bình

Luyện tập (trang 83). Cho tam giác

A B C

cân tại

A

D

và

E

lần lượt là trung điểm của

A B

A C

. Tứ giác

D E C B

là hình gì? Tại sao?

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba (Định lí 1).
Hình thang có hai đường chéo bằng nhau (hoặc hai cạnh bên bằng nhau, hai góc kề một đáy bằng nhau) là hình thang cân.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

D

E

là trung điểm

A B

A C

— dấu hiệu để có ngay

D E ∥ B C

(đường trung bình), nên tứ giác

D E C B

trước hết là một hình thang. Đề còn cho thêm tam giác

A B C

cân tại

A

— dấu hiệu thừa để nghĩ tới việc hai cạnh bên

D B

E C

của hình thang đó có bằng nhau hay không, tức hình thang có cân hay không.

1Cách 1. Dùng đường trung bình rồi so sánh hai cạnh bên

Định hướng. Trước tiên chỉ ra $D E C B$ là hình thang nhờ $D E ∥ B C$ , sau đó dùng giả thiết cân để so sánh $D B$ và $E C$ .

D

E

là trung điểm

A B

A C

nên

D E

là đường trung bình của tam giác

A B C

D E ∥ B C

nên tứ giác

D E C B

là hình thang (hai đáy

D E

B C

)

D B = A B - A D = A B - \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} A B

E C = A C - A E = A C - \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} A C

Tam giác

A B C

cân tại

A

nên

A B = A C

, suy ra

D B = E C

Vậy $D E C B$ là hình thang có hai cạnh bên $D B = E C$ , tức $D E C B$ là hình thang cân.

2Cách 2. So sánh trực tiếp hai góc kề đáy BC

Định hướng. Một hình thang có hai góc kề cùng một đáy bằng nhau là hình thang cân, mà hai góc $B$ , $C$ của tam giác cân đã có sẵn tính chất này.

D E

là đường trung bình của tam giác

A B C

nên

D E ∥ B C

D E C B

là hình thang
Tam giác

A B C

cân tại

A

nên

A B C = A C B

(tính chất tam giác cân)
Hai góc

A B C = D B C

và

A C B = E C B

(cùng là một góc) kề đáy

B C

của hình thang

D E C B

Vậy hình thang $D E C B$ có hai góc kề đáy $B C$ bằng nhau nên là hình thang cân.

Nhận xét. Cách 2 không cần tính độ dài $D B$ , $E C$ mà dùng thẳng góc có sẵn của tam giác cân, gọn hơn Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tận dụng luôn hai góc đáy bằng nhau của tam giác cân, không phải tính

D B

E C

theo

A B

A C

Đáp số.

D E C B

là hình thang cân.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là chỉ dừng ở "

D E C B

là hình thang" (do

D E ∥ B C

) mà bỏ quên yêu cầu chỉ ra thêm tính CÂN — trong khi giả thiết "tam giác cân tại

A

" chính là dữ kiện bắt buộc phải dùng tới, nếu bỏ qua đề bài trở thành thừa giả thiết một cách vô lí.

🚀 Mở rộng. Nếu tam giác

A B C

không cân thì

D E C B

vẫn luôn là hình thang (nhờ đường trung bình) nhưng nói chung không còn là hình thang cân — tính cân hoàn toàn phụ thuộc vào việc tam giác gốc có cân hay không.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Vận dụng★★Trang 83— Vận dụng Định lí 1 (đường trung bình) để giải quyết tình huống thực tế đo khoảng cách qua hồ nước

Vận dụng (trang 83). Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó (Định lí 1).

🧠 Phân tích tư duy

Đây là bài toán ở phần Mở đầu được nhắc lại nguyên vẹn, sau khi đã học xong và chứng minh chặt chẽ Định lí 1 ở HĐ1, HĐ2. Khác với lúc mở đầu (khi chỉ đoán bằng trực giác), bây giờ phải trình bày rõ vì sao

D E

là đường trung bình rồi mới áp dụng định lí, không được nêu thẳng kết quả. Bẫy của câu hỏi là học sinh dễ chép lại đúng đáp số

1000

m đã nhớ từ phần Mở đầu mà bỏ qua bước lập luận bắt buộc.

1Cách 1. Áp dụng Định lí 1 vừa chứng minh

Định hướng. $D$ , $E$ là trung điểm của $A B$ , $A C$ nên $D E$ là đường trung bình ứng với cạnh $B C$ của tam giác $A B C$ .

Tam giác

A B C

có

D

là trung điểm

A B

E

là trung điểm

A C

D E

là đường trung bình của tam giác

A B C

(Định lí 1)

D E = \frac{1}{2} B C

B C = 2 D E = 2 \cdot 500 = 1000

Vậy không cần đo trực tiếp qua hồ nước, khoảng cách giữa hai điểm $B$ và $C$ bằng $1000$ m.

2Cách 2. Dùng tam giác đồng dạng ADE và ABC

Định hướng. Chỉ ra tam giác $A D E$ đồng dạng tam giác $A B C$ theo tỉ số $\frac{1}{2}$ , từ đó suy ra ngay tỉ số của cặp cạnh tương ứng $D E$ , $B C$ .

Tam giác

A D E

và tam giác

A B C

có

A

chung,

\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{1}{2}

Suy ra tam giác

A D E

đồng dạng tam giác

A B C

(c.g.c)

\frac{D E}{B C} = \frac{1}{2}

B C = 2 D E = 2 \cdot 500 = 1000

Vậy khoảng cách giữa $B$ và $C$ bằng $1000$ m, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Đây chính là cách đo gián tiếp khoảng cách qua chướng ngại vật (hồ, sông…) mà không cần lội qua.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gọi thẳng tên Định lí 1, không cần chứng minh lại đồng dạng vì định lí đã có sẵn.

Đáp số.

B C = 1000

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là nhớ nhầm hệ số, viết

B C = D E

hoặc

B C = \frac{2}{3} D E

thay vì đúng

B C = 2 D E

🚀 Mở rộng. Nguyên lí đo gián tiếp này dùng được cho mọi chướng ngại vật hai bờ (sông, hồ, thung lũng…): chỉ cần dựng thêm một đỉnh

A

nhìn thấy cả hai bờ rồi đo hai trung điểm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 4.6★★Trang 83— Tính độ dài cạnh nhờ đường trung bình (thuận và đảo)

Bài 4.6 (trang 83). Tính các độ dài

x

y

trong Hình 4.18.
a) Tam giác

D E F

có

H

là trung điểm

D F

K

là trung điểm

E F

H K = 3

E D = x

.
b) Tam giác

A B C

vuông tại

A

M

thuộc

A B

với

B M = M A = 3

và

A M N = 9 0^{\circ}

(

N

thuộc

B C

B N = 5

N C = y

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác bằng nửa cạnh thứ ba (Định lí 1).
Trong một tam giác, đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba (Chú ý, hệ quả của Định lí 1).

🧠 Phân tích tư duy

Ở hình a),

H

K

là trung điểm hai cạnh

D F

E F

của tam giác

D E F

— dấu hiệu của đường trung bình thuận, cho ngay

x = E D = 2 H K

. Ở hình b),

M

là trung điểm

A B

và

M N ⊥ A B

trong khi

A = 9 0^{\circ}

(tức

A C ⊥ A B

luôn) nên

M N ∥ A C

— dấu hiệu để dùng đường trung bình ĐẢO (Chú ý trang 82):

N

phải là trung điểm

B C

, từ đó suy ra ngay

y = N C = B N

. Bẫy của đề là ở hình b) không thể dùng đường trung bình thuận (vì đề không cho sẵn

N

là trung điểm) mà phải lập luận ngược bằng Chú ý.

1Cách 1. Dùng đường trung bình thuận cho x, dùng Chú ý (đảo) cho y

Định hướng. Hình a) áp dụng thẳng Định lí 1; hình b) dùng Chú ý để chỉ ra $N$ là trung điểm $B C$ trước khi kết luận về $y$ .

Hình a):

H

K

là trung điểm

D F

E F

nên

H K

là đường trung bình của tam giác

D E F

H K = \frac{1}{2} E D

x = E D = 2 H K = 2 \cdot 3 = 6

Hình b): tam giác

A B C

vuông tại

A

nên

A C ⊥ A B

; lại có

M N ⊥ A B

(do

A M N = 9 0^{\circ}

) nên

M N ∥ A C

M

là trung điểm

A B

và

M N ∥ A C

nên

N

là trung điểm

B C

(Chú ý)

y = N C = B N = 5

Vậy $x = 6$ và $y = 5$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá cả hai hình

Định hướng. Gắn hệ trục tại đỉnh có góc vuông hoặc tại một điểm mốc để tính toạ độ các trung điểm, từ đó tính $x$ , $y$ bằng công thức khoảng cách.

Hình a): chọn

F (0; 0)

D (0; 2 x)

E (2 e; 0)

với

e

bất kì

H

là trung điểm

D F

H (0; x)

;

K

là trung điểm

E F

K (e; 0)

H K^{2} = e^{2} + x^{2}

; mặt khác

E D^{2} = 4 e^{2} + 4 x^{2} = 4 H K^{2}

nên

E D = 2 H K = 2 \cdot 3 = 6 = x

Hình b): chọn

A (0; 0)

B (0; 6)

(vì

A B = A M + M B = 6

M (0; 3)

; vì

M N ⊥ A B

nên

N

có tung độ

3

N (n; 3)

C

thuộc tia

A C

(trục hoành vì

A C ⊥ A B

C (c; 0)

;

N

thuộc

B C

và có tung độ

3 = \frac{1}{2} \cdot 6

nên

N

chia

B C

theo tỉ số giữa, thay vào phương trình đoạn thẳng

B C

được

n = \frac{c}{2}

, tức

N

là trung điểm

B C

B N = n^{2} + 9 = 5 \Rightarrow n^{2} = 16 \Rightarrow n = 4

, suy ra

c = 8

;

N C = (c - n)^{2} + 9 = 16 + 9 = 5

Vậy $x = 6$ , $y = N C = 5$ , khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 ngắn và trực quan hơn hẳn, Cách 2 chỉ dùng để kiểm chứng lại bằng số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hình a) áp dụng thẳng Định lí 1, hình b) gọi tên Chú ý (đường trung bình đảo) — không cần toạ độ hoá mất thời gian.

Đáp số.

x = 6

;

y = 5

Sai lầm thường gặp. Ở hình b), sai lầm hay gặp là tưởng

N

tuỳ ý trên

B C

rồi không tính được

y

, hoặc ngược lại tính nhầm

y = N C = A M = 3

do nhầm vai trò giữa đoạn cho trước (

B N = 5

) và đoạn cần tìm; phải nhận ra

N

LÀ TRUNG ĐIỂM

B C

trước (nhờ Chú ý) thì mới có

N C = B N = 5

🚀 Mở rộng. Hình b) chính là một cách phát biểu khác của bài 4.9 (Vận dụng đường trung bình đảo cho hình chữ nhật): mọi đoạn thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh kề luôn cắt cạnh còn lại tại đúng trung điểm của nó, bất kể tam giác vuông hay không.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 4.7★★Trang 83— Nhận biết hình thang và hình bình hành từ ba đường trung bình của một tam giác

Bài 4.7 (trang 83). Cho tam giác

A B C

. Gọi

M

N

P

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A B

A C

B C

.
a) Chứng minh tứ giác

B M N C

là hình thang.
b) Tứ giác

M N P B

là hình gì? Tại sao?

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó (Định lí 1).
Tứ giác có một cặp cạnh đối song song là hình thang; có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

M

N

là trung điểm

A B

A C

— dấu hiệu để có

M N

là đường trung bình song song

B C

, giải quyết ngay câu a). Đề còn cho thêm

P

là trung điểm

B C

— dấu hiệu để nhận ra

M P

cũng là một đường trung bình (của cạnh

A C

), từ đó

M P = \frac{1}{2} A C = A N = N C

; kết hợp với

M N ∥ B P

và

M N = B P

ở câu a) để nhận diện hình ở câu b).

1Cách 1. Dùng Định lí 1 liên tiếp cho hai đường trung bình MN và MP

Định hướng. Câu a) chỉ cần một đường trung bình $M N$ ; câu b) cần thêm đường trung bình $M P$ để so sánh với $B P$ .

Câu a):

M

N

là trung điểm

A B

A C

nên

M N

là đường trung bình của tam giác

A B C

M N ∥ B C

, mà

P \in B C

nên

M N ∥ B P

Tứ giác

B M N C

có

M N ∥ B C

nên là hình thang (hai đáy

M N

B C

)
Câu b):

M N = \frac{1}{2} B C

(Định lí 1);

P

là trung điểm

B C

nên

B P = \frac{1}{2} B C

M N = B P

và

M N ∥ B P

(cùng chứng minh ở câu a)

Vậy câu a) $B M N C$ là hình thang; câu b) tứ giác $M N P B$ có một cặp cạnh đối $M N$ , $B P$ vừa song song vừa bằng nhau nên $M N P B$ là hình bình hành.

2Cách 2. Dùng tam giác đồng dạng để so sánh cạnh và góc

Định hướng. Xét tam giác $A M N$ đồng dạng tam giác $A B C$ để có cả tỉ số cạnh lẫn góc đồng vị, từ đó suy luận theo một lối khác Cách 1.

Tam giác

A M N

và tam giác

A B C

có

A

chung,

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{1}{2}

nên đồng dạng (c.g.c)

A M N = A B C

(hai góc đồng vị) và

M N = \frac{1}{2} B C

A M N = A B C

nên

M N ∥ B C

, tứ giác

B M N C

là hình thang (câu a)
Tương tự, tam giác

B P M

(với

P

trung điểm

B C

) có thể xem như một nửa tam giác

A B C

theo hướng khác:

B P = \frac{1}{2} B C = M N

Kết hợp

M N ∥ B P

: tứ giác

M N P B

có cặp cạnh đối

M N

B P

song song và bằng nhau

Vậy kết luận giống Cách 1: $B M N C$ là hình thang, $M N P B$ là hình bình hành.

Nhận xét. Cách 1 ngắn gọn hơn hẳn vì dùng thẳng tính chất đường trung bình đã có sẵn, không cần chứng minh lại đồng dạng.

3Cách 3. Toạ độ hoá bằng vectơ

Định hướng. Biểu diễn $M$ , $N$ , $P$ theo $A$ , $B$ , $C$ bằng vectơ trung điểm rồi so sánh trực tiếp hai vectơ $M N$ và $B P$ .

M N = \frac{1}{2} A C - \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} B C

B P = \frac{1}{2} B C

(

P

là trung điểm

B C

)

M N = B P

Vậy $M N ∥ B C$ nên $B M N C$ là hình thang (câu a); $M N = B P$ (cùng hướng, cùng độ dài) nên $M N P B$ là hình bình hành (câu b).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần gọi tên Định lí 1 hai lần (cho

M N

và ngầm cho

B P = \frac{1}{2} B C

), không cần chứng minh đồng dạng hay dùng vectơ.

Đáp số. Câu a)

B M N C

là hình thang. Câu b)

M N P B

là hình bình hành.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp ở câu b) là chỉ ra

M N = B P

(bằng nhau) rồi vội kết luận là hình bình hành mà quên chứng minh thêm

M N ∥ B P

— một tứ giác có một cặp cạnh đối bằng nhau nhưng KHÔNG song song thì chưa chắc là hình bình hành (có thể chỉ là hình thang cân hoặc tứ giác bất kì).

🚀 Mở rộng. Làm tương tự sẽ thấy cả ba tứ giác

A M P N

M N P B

(hoặc

B P N M

N P C M

... đều là hình bình hành bằng nhau từng đôi một — chính là hệ quả của việc ba đường trung bình chia tam giác

A B C

thành

4

tam giác nhỏ bằng nhau (đã gặp ở Câu hỏi trang 81 với tam giác

I H K

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 4.8★★★Trang 83— Dùng đường trung bình thuận rồi đảo liên tiếp trong hai tam giác lồng nhau

Bài 4.8 (trang 83). Cho tam giác

A B C

có trung tuyến

A M

. Lấy hai điểm

D

và

E

trên cạnh

A B

sao cho

A D = D E = E B

và

D

nằm giữa hai điểm

A

E

.
a) Chứng minh

D C ∥ E M

.
b)

D C

cắt

A M

tại

I

. Chứng minh

I

là trung điểm của

A M

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó (Định lí 1).
Đường thẳng qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba (Chú ý).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

A D = D E = E B

nên

E

chia đúng đoạn

D B

thành hai phần bằng nhau, tức

E

là trung điểm

D B

— kết hợp với

M

là trung điểm

B C

(trung tuyến

A M

), hai trung điểm

E

M

này cùng thuộc tam giác

B D C

, gợi ý dùng đường trung bình của tam giác

B D C

cho câu a). Đến câu b), nhận ra

D

còn là trung điểm của

A E

(vì

A D = D E

) mở ra hướng dùng đường trung bình ĐẢO trong tam giác

A E M

để xử lí câu b) mà không cần dựng thêm điểm phụ nào.

1Cách 1. Đường trung bình của tam giác BDC cho câu a, đường trung bình đảo của tam giác AEM cho câu b

Định hướng. Nhận ra $E$ là trung điểm $D B$ và $D$ là trung điểm $A E$ — hai vai trò trung điểm khác nhau của cùng điểm $D$ , $E$ trong hai tam giác khác nhau.

Câu a):

A D = D E = E B

nên

E

là trung điểm

D B

;

M

là trung điểm

B C

(trung tuyến

A M

)
Xét tam giác

B D C

có

E

M

lần lượt là trung điểm

B D

B C

E M

là đường trung bình của tam giác

B D C

Vậy $E M ∥ D C$ , tức $D C ∥ E M$ .

Định hướng câu b). Vì $A D = D E$ nên $D$ là trung điểm $A E$ ; đường thẳng $D I$ (chính là $D C$ ) đã song song với $E M$ ở câu a), áp dụng Chú ý cho tam giác $A E M$ .

Xét tam giác

A E M

có

D

là trung điểm

A E

(

A D = D E

)

D I ∥ E M

(vì

I \in D C

và

D C ∥ E M

theo câu a)
Theo Chú ý,

D I

đi qua trung điểm của cạnh còn lại

A M

Vậy $I$ là trung điểm của $A M$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá bằng vectơ

Định hướng. Gắn toạ độ với $A$ làm gốc, biểu diễn mọi điểm theo hai vectơ $A B$ , $A C$ rồi tính trực tiếp giao điểm $I$ .

Đặt

A B = b

A C = c

D = \frac{1}{3} b

E = \frac{2}{3} b

M = \frac{1}{2} (b + c)

(toạ độ theo

A

)

D C = c - \frac{1}{3} b

;

E M = \frac{1}{2} (b + c) - \frac{2}{3} b = \frac{1}{2} c - \frac{1}{6} b = \frac{1}{2} (c - \frac{1}{3} b)

E M = \frac{1}{2} D C

nên

D C ∥ E M

(câu a)
Gọi

I = \frac{1}{3} b + t (c - \frac{1}{3} b)

trên

D C

và

I = s \cdot \frac{1}{2} (b + c)

trên

A M

; cân bằng hệ số của

b

c

được

t = \frac{1}{4}

s = \frac{1}{2}

Vậy $D C ∥ E M$ (câu a) và $I$ ứng với $s = \frac{1}{2}$ trên $A M$ nên $I$ là trung điểm $A M$ (câu b).

Nhận xét. Cách 2 tính ra cả vị trí $I$ trên $D C$ ( $D I = \frac{1}{4} D C$ ), nhiều thông tin hơn Cách 1 nhưng dài hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần nhận ra đúng hai vai trò trung điểm của

D

E

trong hai tam giác lồng nhau rồi áp dụng Định lí 1 và Chú ý, không cần tính toạ độ.

Đáp số. Câu a)

D C ∥ E M

. Câu b)

I

là trung điểm của

A M

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp ở câu b) là cố áp dụng đường trung bình cho tam giác

A B M

(nhầm vì

D

không phải trung điểm

A B

mà chỉ là điểm chia ba); phải chuyển đúng sang tam giác

A E M

(với

D

là trung điểm

A E

) thì Chú ý mới dùng được.

🚀 Mở rộng. Vẽ thêm điểm

E^{'}

đối xứng tương tự trên

A C

(chia

A C

thành ba phần bằng

A D^{'} = D^{'} E^{'} = E^{'} C

) sẽ tạo ra một lưới các đường trung bình chồng lấn, dùng để chia trung tuyến

A M

thành nhiều đoạn bằng nhau hơn — đây là ý tưởng của phép chia tỉ lệ một đoạn thẳng bằng thước và compa.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 4.9★★★Trang 83— Dùng đường trung bình của hai tam giác tạo bởi đường chéo hình chữ nhật

Bài 4.9 (trang 83). Cho hình chữ nhật

A B C D

có

A C

cắt

B D

tại

O

. Gọi

H

K

lần lượt là trung điểm của

A B

A D

. Chứng minh rằng tứ giác

A H O K

là hình chữ nhật.

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó (Định lí 1).
Hai đường chéo của hình chữ nhật cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật; tứ giác có ba góc vuông cũng là hình chữ nhật.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

O

là giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật — dấu hiệu để nhớ tính chất

O

đồng thời là trung điểm của cả

A C

lẫn

B D

; kết hợp với

H

K

lần lượt là trung điểm

A B

A D

, xuất hiện ngay hai cặp trung điểm cùng thuộc hai tam giác

A B C

và

A C D

, gợi ý dùng đường trung bình để dựng hai cạnh

H O

K O

của tứ giác cần xét. Góc vuông có sẵn tại

A

của hình chữ nhật là chìa khoá để từ hình bình hành

A H O K

suy ra hình chữ nhật.

1Cách 1. Đường trung bình của hai tam giác ABC, ACD rồi dùng dấu hiệu hình bình hành có một góc vuông

Định hướng. $O$ là trung điểm $A C$ (tính chất hình chữ nhật); ghép với $H$ , $K$ để có hai đường trung bình $H O$ , $K O$ trong hai tam giác $A B C$ , $A C D$ .

A B C D

là hình chữ nhật nên

O

là trung điểm

A C

(và

B D

)
Xét tam giác

A B C

có

H

O

lần lượt là trung điểm

A B

A C

nên

H O

là đường trung bình

H O ∥ B C

và

H O = \frac{1}{2} B C

Xét tam giác

A C D

có

K

O

lần lượt là trung điểm

A D

A C

nên

K O

là đường trung bình

K O ∥ D C

và

K O = \frac{1}{2} D C

A B C D

là hình chữ nhật nên

B C ∥ A D

B C = A D

và

D C ∥ A B

D C = A B

A H = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} D C = K O

và

A H ∥ D C

nên

A H ∥ K O

Tứ giác

A H O K

có

A H ∥ K O

và

A H = K O

nên là hình bình hành

H A K = B A D = 9 0^{\circ}

(góc của hình chữ nhật)

Vậy $A H O K$ là hình bình hành có một góc vuông tại $A$ nên $A H O K$ là hình chữ nhật.

2Cách 2. Toạ độ hoá

Định hướng. Đặt hệ trục tại $A$ theo hai cạnh vuông góc của hình chữ nhật rồi tính toạ độ $H$ , $O$ , $K$ để kiểm tra trực tiếp các góc vuông.

Đặt

A (0; 0)

B (2 b; 0)

C (2 b; 2 c)

D (0; 2 c)

(chọn hệ số

2

cho toạ độ chẵn)

O

là trung điểm

A C

O (b; c)

H

là trung điểm

A B

H (b; 0)

;

K

là trung điểm

A D

K (0; c)

A H = (b; 0)

K O = (b; 0)

nên

A H = K O

A H \cdot A K = (b; 0) \cdot (0; c) = 0

Vậy $A H = K O$ nên $A H O K$ là hình bình hành, lại có $A H ⊥ A K$ nên $A H O K$ là hình chữ nhật.

3Cách 3. Chỉ ra tứ giác AHOK có ba góc vuông

Định hướng. Dùng lại hai đường trung bình $H O ∥ B C$ , $K O ∥ D C$ ở Cách 1, rồi suy trực tiếp ba góc vuông của tứ giác $A H O K$ nhờ các cặp cạnh vuông góc sẵn có của hình chữ nhật, không cần chứng minh qua bước hình bình hành.

Theo Cách 1:

H O ∥ B C

và

K O ∥ D C

A B C D

là hình chữ nhật nên

B C ⊥ D C

, mà

H O ∥ B C

K O ∥ D C

nên

H O ⊥ K O

, tức

H O K = 9 0^{\circ}

B C ⊥ A B

(góc hình chữ nhật tại

B

), mà

H O ∥ B C

và

H \in A B

nên

H O ⊥ A B

, tức

A H O = 9 0^{\circ}

D C ⊥ A D

(góc hình chữ nhật tại

D

), mà

K O ∥ D C

và

K \in A D

nên

K O ⊥ A D

, tức

A K O = 9 0^{\circ}

H A K = B A D = 9 0^{\circ}

Vậy tứ giác $A H O K$ có bốn góc đều vuông ( $A = H = K = O = 9 0^{\circ}$ ) nên là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật, góc thứ tư đương nhiên cũng vuông).

Nhận xét. Cách 3 không cần chứng minh qua bước trung gian "hình bình hành", đi thẳng vào bốn góc vuông.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chứng minh hình bình hành trước rồi thêm một góc vuông là đường quen thuộc, ít rủi ro nhầm góc hơn so với Cách 3.

Đáp số. Tứ giác

A H O K

là hình chữ nhật.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là chỉ dừng ở "

A H O K

là hình bình hành" mà quên chỉ ra góc vuông tại

A

— một hình bình hành bất kì không nhất thiết là hình chữ nhật nếu không có thêm điều kiện về góc (hoặc về hai đường chéo bằng nhau).

🚀 Mở rộng. Vẽ tương tự với hai trung điểm còn lại của

B C

C D

sẽ được thêm một hình chữ nhật

C F O G

bằng đúng

A H O K

(đối xứng qua tâm

O

) — bốn hình chữ nhật nhỏ này ghép lại lấp đầy hình chữ nhật

A B C D

ban đầu.

Mở bài này trong app ↗