Chương IV. Định lí Thalès

Bài 17. Tính chất đường phân giác của tam giác

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 4 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 4.11★★Trang 52— Tính độ dài cạnh trên cạnh bị chia bởi đường phân giác, biết hai cạnh kề và một đoạn

Bài 4.11 (trang 52). Tính độ dài

x

trong Hình 5.12: tam giác

M E F

có

M K

là đường phân giác của góc

M

(

K

nằm giữa

E

và

F

), biết

M E = 5

M F = 8, 5

K E = 3

và

K F = x

Kiến thức cần nhớ

Tính chất đường phân giác của tam giác: đổi tên đỉnh phù hợp góc $M$ ta có $\frac{K E}{K F} = \frac{M E}{M F}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

M K

là đường phân giác của góc

M

trong tam giác

M E F

, đã có đủ hai cạnh kề

M E

M F

và một đoạn

K E

— cùng dạng với Ví dụ, Luyện tập của SGK. Chỉ cần lập đúng tỉ lệ thức

\frac{K E}{K F} = \frac{M E}{M F}

rồi thay số.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp tính chất đường phân giác

Định hướng. $M K$ là phân giác góc $M$ nên tỉ số hai đoạn $K E$ , $K F$ trên $E F$ bằng tỉ số hai cạnh kề $M E$ , $M F$ .

Tam giác

M E F

có

M K

là đường phân giác của góc

M

\frac{K E}{K F} = \frac{M E}{M F}

hay

\frac{3}{x} = \frac{5}{8 , 5}

x = \frac{3 \cdot 8 , 5}{5}

x = 5, 1

Vậy $x = 5, 1$ .

2Cách 2. Phương pháp diện tích

Định hướng. Hai tam giác $M E K$ , $M F K$ chung đường cao từ $M$ xuống $E F$ ; tính diện tích theo hai cạnh kề góc $M$ bằng nhau cho cùng một tỉ số.

Tam giác

M E K

M F K

chung đường cao từ

M

nên

\frac{S _{M E K}}{S _{M F K}} = \frac{K E}{K F}

S_{M E K} = \frac{1}{2} \cdot M E \cdot M K \cdot sin E M K

S_{M F K} = \frac{1}{2} \cdot M F \cdot M K \cdot sin F M K

, mà

E M K = F M K

\frac{K E}{K F} = \frac{M E}{M F}

\frac{3}{x} = \frac{5}{8 , 5}

x = \frac{3 \cdot 8 , 5}{5} = 5, 1

Vậy $x = 5, 1$ .

3Cách 3. Dựng đường phụ song song rồi dùng Thalès

Định hướng. Dựng lại đúng phép chứng minh của định lí với số liệu cụ thể của bài, không thừa nhận công thức.

Kẻ đường thẳng qua

E

song song với

M K

, cắt đường thẳng

M F

tại

I

M K

là phân giác góc

M

và

E I ∥ M K

nên tam giác

M I E

cân tại

M

, do đó

M I = M E = 5

Áp dụng định lí Thalès trong tam giác

F I E

(vì

M K ∥ E I

\frac{K F}{K E} = \frac{M F}{M I} = \frac{8 , 5}{5}

\frac{x}{3} = \frac{8 , 5}{5}

x = \frac{3 \cdot 8 , 5}{5}

x = 5, 1

Vậy $x = 5, 1$ , khớp cả ba cách.

Nhận xét. Cách 1 ngắn nhất; Cách 3 lí giải vì sao công thức ở Cách 1 luôn đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: xác định đúng cặp cạnh kề đỉnh phân giác

M E

M F

rồi thay số, chỉ ba dòng.

Đáp số.

x = 5, 1

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là viết ngược tỉ lệ thức

\frac{K E}{K F} = \frac{M F}{M E}

(đảo hai cạnh kề), dẫn tới

x \approx 1, 76

sai.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi vai trò, cho

K F

và hỏi

K E

thì chỉ cần lật ngược đúng vế của tỉ lệ thức, cách làm hoàn toàn tương tự.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 4.12★★★Trang 52— Chứng minh hai đường thẳng song song nhờ tính chất đường phân giác và định lí Thalès đảo

Bài 4.12 (trang 52). Cho tam giác

A B C

, trung tuyến

A I

. Tia phân giác của góc

A I B

và tia phân giác của góc

A I C

cắt

A B

A C

lần lượt tại

M

và

N

. Chứng minh

M N ∥ B C

Kiến thức cần nhớ

Tính chất đường phân giác của tam giác.
Trung tuyến của tam giác đi qua trung điểm cạnh đối diện.
Định lí Thalès đảo trong tam giác.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai đường phân giác của hai góc kề bù tại

I

(

A I B

và

A I C

), mỗi đường lại nằm trong một tam giác riêng (

A I B

và

A I C

) có chung cạnh

A I

— dấu hiệu áp dụng Tính chất đường phân giác hai lần rồi ghép lại bằng định lí Thalès đảo. Chốt của bài là nhận ra

I

là trung điểm

B C

(vì

A I

là trung tuyến) nên

I B = I C

, khiến hai tỉ số

\frac{M A}{M B}

và

\frac{N A}{N C}

bằng nhau dù

A B \neq = A C

1Cách 1. Áp dụng tính chất đường phân giác hai lần rồi dùng Thalès đảo

Định hướng. Xét riêng hai tam giác $A I B$ và $A I C$ , mỗi tam giác có một đường phân giác cho một tỉ lệ thức; ghép hai tỉ lệ thức nhờ $I B = I C$ .

Trong tam giác

A I B

I M

là phân giác của

A I B

nên

\frac{M A}{M B} = \frac{I A}{I B}

Trong tam giác

A I C

I N

là phân giác của

A I C

nên

\frac{N A}{N C} = \frac{I A}{I C}

A I

là trung tuyến của tam giác

A B C

nên

I

là trung điểm

B C

, do đó

I B = I C

Từ ba kết quả trên:

\frac{M A}{M B} = \frac{I A}{I B} = \frac{I A}{I C} = \frac{N A}{N C}

Vậy $\frac{M A}{M B} = \frac{N A}{N C}$ , suy ra $M N ∥ B C$ (định lí Thalès đảo).

2Cách 2. Phương pháp diện tích cho cả hai tỉ số

Định hướng. Thay vì gọi tên tính chất đường phân giác, chứng minh lại từng tỉ số bằng diện tích hai tam giác chung đường cao.

Tam giác

A I M

B I M

chung đường cao từ

I

nên

\frac{M A}{M B} = \frac{S _{A I M}}{S _{B I M}}

; mà

S_{A I M} = \frac{1}{2} I A \cdot I M sin A I M

S_{B I M} = \frac{1}{2} I B \cdot I M sin B I M

với

A I M = B I M

, nên

\frac{M A}{M B} = \frac{I A}{I B}

Tương tự, tam giác

A I N

C I N

cho

\frac{N A}{N C} = \frac{I A}{I C}

I

là trung điểm

B C

(vì

A I

là trung tuyến) nên

I B = I C

Do đó

\frac{M A}{M B} = \frac{I A}{I B} = \frac{I A}{I C} = \frac{N A}{N C}

Vậy $\frac{M A}{M B} = \frac{N A}{N C}$ , suy ra $M N ∥ B C$ (định lí Thalès đảo).

3Cách 3. Toạ độ hoá bằng vectơ

Định hướng. Đặt $I$ làm gốc, biểu diễn $M$ , $N$ theo cùng một tham số $s$ rồi chỉ ra $M N$ là bội của $B C$ .

Đặt

I

là gốc toạ độ,

B (- p; 0)

C (p; 0)

(vì

I

là trung điểm

B C

A (a; b)

tuỳ ý
Gọi

k = \frac{I A}{I B} = \frac{I A}{I C}

(vì

I B = I C = p

) và

s = \frac{k}{k + 1}

M

chia

A B

theo tỉ số

\frac{M A}{M B} = k

M = (1 - s) A + s B

N

chia

A C

theo tỉ số

\frac{N A}{N C} = k

N = (1 - s) A + s C

M N = N - M = s (C - B) = s \cdot B C

Vậy $M N$ cùng phương $B C$ , suy ra $M N ∥ B C$ .

Nhận xét. Cách 3 thấy ngay $M N ∥ B C$ từ một phép biến đổi vectơ, không cần viện dẫn định lí Thalès đảo.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ mất hai lần gọi tên Tính chất đường phân giác cộng một dòng

I B = I C

, ngắn nhất trong ba cách.

Đáp số.

M N ∥ B C

(đã chứng minh).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là quên chứng minh

I B = I C

(bỏ qua vai trò

A I

là trung tuyến), khiến lập luận

\frac{M A}{M B} = \frac{N A}{N C}

thiếu căn cứ.

🚀 Mở rộng. Nếu

A I

không phải trung tuyến mà là một cevian bất kì (chia

B C

theo tỉ số

I B : I C \neq = 1

) thì

M N

không còn song song với

B C

nữa — tính song song ở bài này phụ thuộc chặt vào

I B = I C

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 4.13★★★Trang 52— Chứng minh đẳng thức tích ba tỉ số bằng 1 nhờ áp dụng tính chất đường phân giác ba lần

Bài 4.13 (trang 52). Cho tam giác

A B C

có

A D

B E

C F

lần lượt là đường phân giác của góc

A

, góc

B

, góc

C

(

D \in B C

E \in A C

F \in A B

). Chứng minh rằng

\frac{A E}{E C} \cdot \frac{C D}{D B} \cdot \frac{B F}{F A} = 1

Kiến thức cần nhớ

Tính chất đường phân giác của tam giác áp dụng cho cả ba đỉnh $A$ , $B$ , $C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho cùng lúc BA đường phân giác và một đẳng thức tích ba tỉ số — dấu hiệu cần áp dụng Tính chất đường phân giác ba lần (một lần cho mỗi đỉnh), rồi nhân ba tỉ lệ thức lại với nhau, chờ các cạnh triệt tiêu chéo nhau. Bẫy của đề là viết sai chiều một trong ba tỉ số (ví dụ

E C / A E

thay vì

A E / E C

), khiến phép nhân không triệt tiêu về

1

1Cách 1. Áp dụng tính chất đường phân giác ba lần rồi nhân lại

Định hướng. Viết đúng ba tỉ lệ thức từ ba đường phân giác, để ý mẫu số của tỉ số này là tử số của tỉ số kia để chúng triệt tiêu khi nhân.

A D

là phân giác góc

A

(

D \in B C

) nên

\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}

, tức

\frac{C D}{D B} = \frac{A C}{A B}

B E

là phân giác góc

B

(

E \in A C

) nên

\frac{E A}{E C} = \frac{B A}{B C}

, tức

\frac{A E}{E C} = \frac{A B}{B C}

C F

là phân giác góc

C

(

F \in A B

) nên

\frac{F B}{F A} = \frac{C B}{C A}

, tức

\frac{B F}{F A} = \frac{B C}{C A}

\frac{A E}{E C} \cdot \frac{C D}{D B} \cdot \frac{B F}{F A} = \frac{A B}{B C} \cdot \frac{A C}{A B} \cdot \frac{B C}{C A}

= \frac{A B \cdot A C \cdot B C}{B C \cdot A B \cdot C A} = 1

Vậy $\frac{A E}{E C} \cdot \frac{C D}{D B} \cdot \frac{B F}{F A} = 1$ (đpcm).

2Cách 2. Phương pháp diện tích cho cả ba tỉ số

Định hướng. Thay vì gọi tên tính chất đường phân giác, chứng minh lại từng tỉ số bằng tỉ số diện tích hai tam giác chung đường cao và chung góc ở đỉnh phân giác.

Tam giác

A B D

A C D

chung đường cao từ

A

và

B A D = C A D

nên

\frac{D B}{D C} = \frac{S _{A B D}}{S _{A C D}} = \frac{A B}{A C}

, tức

\frac{C D}{D B} = \frac{A C}{A B}

Tương tự, tam giác

B C E

B A E

cho

\frac{A E}{E C} = \frac{A B}{B C}

Tam giác

C A F

C B F

cho

\frac{B F}{F A} = \frac{B C}{C A}

\frac{A E}{E C} \cdot \frac{C D}{D B} \cdot \frac{B F}{F A} = \frac{A B}{B C} \cdot \frac{A C}{A B} \cdot \frac{B C}{C A} = 1

Vậy $\frac{A E}{E C} \cdot \frac{C D}{D B} \cdot \frac{B F}{F A} = 1$ (đpcm).

3Cách 3. Kiểm chứng bằng một tam giác số cụ thể

Định hướng. Chọn một tam giác có ba cạnh cụ thể, tính từng tỉ số bằng số để kiểm tra lại kết quả tổng quát ở Cách 1, Cách 2 — hữu ích khi cần thử lại bằng máy tính cầm tay.

Chọn

A B = 6

B C = 7

C A = 5

(thoả bất đẳng thức tam giác)

\frac{C D}{D B} = \frac{A C}{A B} = \frac{5}{6}

;

\frac{A E}{E C} = \frac{A B}{B C} = \frac{6}{7}

;

\frac{B F}{F A} = \frac{B C}{C A} = \frac{7}{5}

\frac{A E}{E C} \cdot \frac{C D}{D B} \cdot \frac{B F}{F A} = \frac{6}{7} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{7}{5} = 1

Vậy đẳng thức đúng với tam giác số cụ thể này, khớp với kết luận tổng quát ở Cách 1, Cách 2.

Nhận xét. Cách 3 chỉ kiểm chứng một trường hợp, không thay thế được chứng minh tổng quát ở Cách 1 hoặc Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: viết đúng chiều ba tỉ lệ thức rồi nhân, các cạnh tự triệt tiêu, không cần vẽ thêm hình phụ.

Đáp số.

\frac{A E}{E C} \cdot \frac{C D}{D B} \cdot \frac{B F}{F A} = 1

(đã chứng minh).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là viết tỉ lệ thức từ tính chất đường phân giác sai chiều (ví dụ

\frac{E C}{A E} = \frac{A B}{B C}

thay vì

\frac{A E}{E C} = \frac{A B}{B C}

), khiến tích ba tỉ số không triệt tiêu về

1

🚀 Mở rộng. Đẳng thức này chính là dạng đặc biệt của định lí Ceva (ba cevian

A D

B E

C F

đồng quy tại tâm đường tròn nội tiếp), sẽ được học kĩ hơn ở chương trình nâng cao.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 4.14★★★Trang 52— Chứng minh đẳng thức tích hai cạnh nhờ kết hợp tính chất đường phân giác với định lí Thalès

Bài 4.14 (trang 52). Cho tam giác

A B C

, phân giác

A D

(

D \in B C

). Kẻ

D E ∥ A B

(

E \in A C

). Chứng minh rằng

A B \cdot E C = A C \cdot E A

Kiến thức cần nhớ

Tính chất đường phân giác của tam giác.
Định lí Thalès trong tam giác (hệ quả: hai tam giác đồng dạng khi có một đường thẳng song song với một cạnh).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho cả đường phân giác

A D

lẫn đường phụ

D E ∥ A B

— dấu hiệu cần phối hợp HAI công cụ: Tính chất đường phân giác (cho tỉ số

D B / D C

) và định lí Thalès trong tam giác

C A B

với đường

D E ∥ A B

(cho tỉ số

C D / C B

và

C E / C A

), rồi khớp hai tỉ số đó lại để ra đẳng thức cần chứng minh. Bẫy của đề là dùng tam giác đồng dạng

C D E ∽ C B A

nhưng lại gán nhầm cặp cạnh tương ứng.

1Cách 1. Kết hợp tính chất đường phân giác và định lí Thalès

Định hướng. Dùng tính chất đường phân giác để có tỉ số $D B / D C$ theo $A B, A C$ ; dùng $D E ∥ A B$ để đưa $E A / E C$ về cùng tỉ số $D B / D C$ .

A D

là phân giác góc

A

nên

\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}

D E ∥ A B

với

D \in C B

E \in C A

nên tam giác

C D E

đồng dạng tam giác

C B A

(định lí Thalès), suy ra

\frac{C D}{C B} = \frac{C E}{C A}

Từ đó

\frac{C B - D B}{C B} = \frac{C A - E A}{C A}

, tức

\frac{D B}{C B} = \frac{E A}{C A}

, hay

E A = \frac{C A \cdot D B}{C B}

Tương tự

E C = C A - E A = \frac{C A \cdot D C}{C B}

\frac{E A}{E C} = \frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}

Vậy $\frac{A B}{A C} = \frac{E A}{E C}$ , suy ra $A B \cdot E C = A C \cdot E A$ (đpcm).

2Cách 2. Toạ độ hoá bằng vectơ

Định hướng. Đặt $C$ làm gốc, biểu diễn $D$ , $E$ theo cùng một tham số nhờ $D E ∥ A B$ , sau đó thay tỉ số $D B / D C$ đã biết từ tính chất đường phân giác.

Đặt

C

là gốc,

C B = u

C A = v

Gọi

t = \frac{C D}{C B}

, khi đó

D = t u

; gọi

s = \frac{C E}{C A}

, khi đó

E = s v

D E = s v - t u

song song với

A B = u - v

khi và chỉ khi

s = t

Vậy

\frac{C E}{C A} = \frac{C D}{C B}

, suy ra

\frac{E A}{C A} = 1 - \frac{C E}{C A} = 1 - \frac{C D}{C B} = \frac{D B}{C B}

, tức

\frac{E A}{E C} = \frac{D B}{D C}

A D

là phân giác góc

A

nên

\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}

, do đó

\frac{E A}{E C} = \frac{A B}{A C}

Vậy $A B \cdot E C = A C \cdot E A$ (đpcm), khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 thấy ngay $C E / C A = C D / C B$ từ điều kiện song song bằng vectơ, không cần chứng minh tam giác đồng dạng bằng lời.

3Cách 3. Kiểm chứng bằng một tam giác số cụ thể

Định hướng. Chọn một tam giác cụ thể, tính $D$ , $E$ theo đúng hai tỉ số đã chứng minh, rồi kiểm tra lại đẳng thức bằng số.

Chọn

A B = 6

A C = 9

B C = 10

(thoả bất đẳng thức tam giác)

\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

và

D B + D C = 10

nên

D B = 4

D C = 6

\frac{C E}{C A} = \frac{C D}{C B} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

nên

C E = 9 \cdot \frac{3}{5} = 5, 4

và

E A = 9 - 5, 4 = 3, 6

A B \cdot E C = 6 \cdot 5, 4 = 32, 4

;

A C \cdot E A = 9 \cdot 3, 6 = 32, 4

Vậy $A B \cdot E C = A C \cdot E A = 32, 4$ với tam giác số cụ thể này, khớp kết luận tổng quát ở Cách 1, Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phối hợp trực tiếp tính chất đường phân giác với định lí Thalès, không cần dựng thêm đường phụ nào khác ngoài

D E

đã cho.

Đáp số.

A B \cdot E C = A C \cdot E A

(đã chứng minh).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là viết tam giác đồng dạng

C D E ∽ C B A

nhưng gán sai cặp cạnh tương ứng (

C D

ứng với

C A

thay vì

C B

), khiến tỉ số

C E / C A

tính sai.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi

D E ∥ A B

thành

D E ∥ A C

(đối xứng vai trò hai cạnh) thì bằng lập luận tương tự sẽ chứng minh được

A C \cdot F B = A B \cdot F A

với

F

là giao điểm mới trên

A B

Mở bài này trong app ↗