Chương IV. Định lí Thalès

Bài 17. Tính chất đường phân giác của tam giác

SGK Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Mở đầu★Trang 84— Nêu vấn đề: so sánh tỉ số hai đoạn thẳng do đường phân giác tạo ra với tỉ số hai cạnh kề

Mở đầu (trang 84). Trong Hình 4.19,

A D

là đường phân giác của tam giác

A B C

. Hai tỉ số

\frac{D B}{D C}

và

\frac{A B}{A C}

có bằng nhau không?

Kiến thức cần nhớ

Đường phân giác của một góc chia góc đó thành hai góc bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ cho một đường phân giác

A D

của tam giác

A B C

bất kì rồi hỏi so sánh hai tỉ số — đây là câu hỏi đặt vấn đề cho cả bài, chưa có số liệu cụ thể để tính ngay. Hướng an toàn là kiểm tra qua một trường hợp riêng trước, rồi chứng minh chặt chẽ cho tam giác bất kì bằng một đường phụ song song. Bẫy của câu hỏi là thấy

D

không phải trung điểm

B C

(khi

A B \neq = A C

) rồi vội cho là hai tỉ số không bằng nhau, trong khi thực ra chúng vẫn bằng nhau, chỉ không còn bằng

1

1Cách 1. Kiểm chứng bằng trường hợp riêng

A B = A C

Định hướng. Thử trước với tam giác cân tại $A$ , trường hợp dễ thấy nhất, để dự đoán quy luật chung.

Nếu

A B = A C

thì tam giác

A B C

cân tại

A

A D

là phân giác của góc

A

nên

A D

cũng là đường trung tuyến ứng với

B C

(tính chất tam giác cân)

D

là trung điểm

B C

nên

D B = D C

, suy ra

\frac{D B}{D C} = 1

Mặt khác

\frac{A B}{A C} = 1

(vì

A B = A C

)

Vậy trong trường hợp $A B = A C$ : $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C} = 1$ .

2Cách 2. Chứng minh tổng quát bằng đường phụ song song

Định hướng. Kẻ thêm đường phụ song song với $A D$ để đưa hai tỉ số cần so sánh về hai đoạn cùng nằm trên một đường thẳng, từ đó dùng được định lí Thalès.

Kẻ đường thẳng qua

B

song song với

A D

, cắt đường thẳng

A C

tại

E

A D

là phân giác góc

A

nên

A_{1} = A_{2}

E B ∥ A D

nên

A_{1} = B_{1}

(so le trong) và

A_{2} = E

(đồng vị)
Suy ra

B_{1} = E

, do đó tam giác

A E B

cân tại

A

, nên

A E = A B

Áp dụng định lí Thalès trong tam giác

C E B

(vì

A D ∥ E B

\frac{D B}{D C} = \frac{A E}{A C}

Vậy $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}$ với mọi tam giác $A B C$ .

Nhận xét. Cách 2 mới trả lời trọn vẹn câu hỏi mở đầu (đúng cho MỌI tam giác); Cách 1 chỉ kiểm chứng một trường hợp riêng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi trình bày theo Cách 2 (kẻ đường phụ song song): lập luận chặt chẽ, đúng cho mọi tam giác chứ không chỉ minh hoạ một trường hợp riêng.

Đáp số. Có, hai tỉ số

\frac{D B}{D C}

và

\frac{A B}{A C}

luôn bằng nhau (đây chính là nội dung Tính chất đường phân giác của tam giác).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là nghĩ

D

luôn là trung điểm của

B C

(chỉ đúng khi

A B = A C

), từ đó vội cho rằng

\frac{D B}{D C}

luôn bằng

1

với mọi tam giác — thực chất tỉ số này bằng

\frac{A B}{A C}

, chỉ bằng

1

khi tam giác cân tại

A

🚀 Mở rộng. Tính chất này còn mở rộng cho đường phân giác NGOÀI tại

A

(xem mục Em có biết cuối bài), với một tỉ lệ thức tương tự nhưng điểm chia nằm ngoài đoạn

B C

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ1★Trang 84— So sánh hai tỉ số cạnh trong trường hợp đặc biệt tam giác cân

HĐ1 (trang 84). Khi lấy

B

và

C

sao cho

A B = A C

(H.4.20a), hãy so sánh hai tỉ số

\frac{D B}{D C}

và

\frac{A B}{A C}

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho ngay điều kiện

A B = A C

— dấu hiệu của tam giác cân tại

A

, gợi nhớ tính chất quen thuộc: trong tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy. Hướng ngắn nhất là dùng thẳng tính chất đó để có

D

là trung điểm

B C

, thay vì chứng minh lại hai tam giác bằng nhau từ đầu.

1Cách 1. Dùng tính chất tam giác cân

Định hướng. $A B = A C$ nên tam giác $A B C$ cân tại $A$ ; đường phân giác góc đỉnh của tam giác cân đồng thời là đường trung tuyến.

Tam giác

A B C

cân tại

A

(vì

A B = A C

)

A D

là phân giác góc

A

nên

A D

cũng là đường trung tuyến ứng với

B C

D

là trung điểm

B C

nên

D B = D C

, suy ra

\frac{D B}{D C} = 1

A B = A C

nên

\frac{A B}{A C} = 1

Vậy $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C} = 1$ .

2Cách 2. Chứng minh hai tam giác bằng nhau

Định hướng. Chứng minh trực tiếp tam giác $A B D$ bằng tam giác $A C D$ để có $D B = D C$ , không cần gọi tên tính chất tam giác cân.

Xét tam giác

A B D

và tam giác

A C D

có

A B = A C

(gt),

B A D = C A D

(

A D

là phân giác),

A D

chung
Suy ra tam giác

A B D

= tam giác

A C D

(c.g.c)
Do đó

D B = D C

, nên

\frac{D B}{D C} = 1 = \frac{A B}{A C}

Vậy $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C} = 1$ .

3Cách 3. Toạ độ hoá nhờ tính đối xứng

Định hướng. Đặt hệ trục sao cho trục tung là trục đối xứng của tam giác cân, các điểm hiện ra ngay tính đối xứng cần dùng.

Đặt

B (- a; 0)

C (a; 0)

A (0; h)

với

a, h > 0

(do

A B = A C

nên

A

nằm trên trục đối xứng

O y

của

B

C

)

A D

là phân giác góc

A

của tam giác cân nên

A D

nằm trên trục

O y

D

là giao điểm của

A D

(trục

O y

) với

B C

(trục hoành), nên

D (0; 0)

D B = D C = a

, suy ra

\frac{D B}{D C} = 1 = \frac{A B}{A C}

Vậy $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C} = 1$ .

Nhận xét. Cả ba cách đều quy về một điều: tính đối xứng của tam giác cân khiến $D$ luôn là trung điểm $B C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gọi thẳng tên tính chất tam giác cân, không mất công chứng minh lại hai tam giác bằng nhau.

Đáp số. Hai tỉ số bằng nhau:

\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C} = 1

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là chứng minh xong

D B = D C

rồi dừng lại, quên đối chiếu với

\frac{A B}{A C}

để nêu kết luận đúng yêu cầu đề là so sánh HAI TỈ SỐ.

🚀 Mở rộng. Nếu tam giác không cân (

A B \neq = A C

) thì

D

không còn là trung điểm

B C

nữa — đó chính là điều được khảo sát tiếp ở HĐ2 với

A B = 2

cm,

A C = 4

cm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · HĐ2★★Trang 84— Đo đạc kiểm chứng tỉ số hai đoạn thẳng do đường phân giác tạo ra khi hai cạnh kề không bằng nhau

HĐ2 (trang 84). Khi lấy

B

và

C

sao cho

A B = 2

cm và

A C = 4

cm (H.4.20b), hãy dùng thước có vạch chia đến milimét để đo độ dài các đoạn thẳng

D B

D C

rồi so sánh hai tỉ số

\frac{D B}{D C}

và

\frac{A B}{A C}

Kiến thức cần nhớ

Tỉ số hai đoạn thẳng đo được có thể kiểm chứng bằng một trường hợp số cụ thể.

🧠 Phân tích tư duy

Khác HĐ1, ở đây

A B \neq = A C

(

2

cm và

4

cm) nên

D

không còn là trung điểm

B C

— dấu hiệu cho thấy cần đo đạc trên một hình vẽ cụ thể thay vì suy luận đối xứng. Hướng làm là dựng đúng tam giác theo số liệu, đo

D B

D C

rồi tính tỉ số. Bẫy của đề là chọn độ dài

B C

tuỳ tiện mà quên kiểm tra bất đẳng thức tam giác (phải có

2 < B C < 6

1Cách 1. Dựng hình cụ thể rồi đo trực tiếp

Định hướng. Chọn thêm một độ dài $B C$ hợp lệ, dựng đúng tam giác theo compa – thước đo góc, rồi đo $D B$ , $D C$ bằng thước milimét.

Chọn

B C = 4, 5

cm (thoả

2 < 4, 5 < 6

, đúng bất đẳng thức tam giác với

A B = 2

A C = 4

)
Dựng tam giác

A B C

theo ba cạnh

A B = 2

A C = 4

B C = 4, 5

rồi vẽ tia phân giác

A D

của góc

A

(

D

trên

B C

)
Đo bằng thước milimét:

D B \approx 1, 5

cm,

D C \approx 3

\frac{D B}{D C} = \frac{1 , 5}{3} = \frac{1}{2}

\frac{A B}{A C} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Vậy $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C} = \frac{1}{2}$ .

2Cách 2. Phương pháp diện tích

Định hướng. Tam giác $A B D$ và $A C D$ có chung đường cao hạ từ $A$ xuống $B C$ , nên tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy $D B$ , $D C$ ; tính diện tích theo cách khác sẽ cho tỉ số theo $A B$ , $A C$ .

Tam giác

A B D

A C D

chung đường cao từ

A

nên

\frac{S _{A B D}}{S _{A C D}} = \frac{D B}{D C}

Mặt khác

S_{A B D} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A D \cdot sin B A D

S_{A C D} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot A D \cdot sin C A D

, mà

B A D = C A D

(

A D

phân giác)

\frac{S _{A B D}}{S _{A C D}} = \frac{A B}{A C} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Vậy $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C} = \frac{1}{2}$ .

3Cách 3. Toạ độ hoá bằng công thức điểm chia đoạn thẳng

Định hướng. Đặt $B$ , $C$ trên một trục số, biểu diễn $D$ theo tỉ số $A B : A C$ rồi kiểm tra tỉ số đó độc lập với độ dài $B C$ .

Đặt

B (0; 0)

C (c; 0)

với

c = B C

tuỳ chọn hợp lệ

D

chia

B C

theo tỉ số

D B : D C = A B : A C = 2 : 4 = 1 : 2

(tính từ

B

), nên

D (\frac{c}{3}; 0)

D B = \frac{c}{3}

D C = c - \frac{c}{3} = \frac{2 c}{3}

\frac{D B}{D C} = \frac{c /3}{2 c /3} = \frac{1}{2}

, đúng với MỌI độ dài

B C = c

Vậy $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C} = \frac{1}{2}$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thấy tỉ số $\frac{D B}{D C}$ không phụ thuộc việc chọn $B C$ bao nhiêu, khác với Cách 1 chỉ đo trên một hình cụ thể.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (diện tích): không cần dựng hình đo đạc mất thời gian, suy luận ngắn và tổng quát ngay cho mọi

B C

Đáp số.

\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C} = \frac{1}{2}

(ví dụ: nếu chọn

B C = 4, 5

cm thì

D B = 1, 5

cm,

D C = 3

cm).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp khi đo đạc là dựng tia phân giác không chính xác (ước lượng bằng mắt thay vì dùng thước đo góc hoặc compa), khiến tỉ số đo được lệch xa

\frac{1}{2}

🚀 Mở rộng. Kết quả

D B : D C = 1 : 2

đúng bằng

A B : A C = 2 : 4

đã cho — đây chính là dự đoán cho Định lí tính chất đường phân giác được phát biểu ngay sau hai hoạt động HĐ1, HĐ2.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Ví dụ (trang 85)★★Trang 85— Tính độ dài đoạn thẳng nhờ tính chất đường phân giác của tam giác

Ví dụ (trang 85). Tính độ dài

x

trong Hình 4.22.

Kiến thức cần nhớ

Tính chất đường phân giác của tam giác: đổi tên đỉnh phù hợp góc $M$ ta có $\frac{I N}{I P} = \frac{M N}{M P}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hình vẽ cho ngay

M I

là đường phân giác của góc

M

trong tam giác

M N P

I

nằm giữa

N

và

P

— dấu hiệu áp dụng trực tiếp Tính chất đường phân giác vừa học:

\frac{I P}{I N} = \frac{M P}{M N}

. Đã có ba trong bốn số liệu (

I N = 15

M N = 24

M P = 32

) nên chỉ cần lập đúng tỉ lệ thức và thay số là ra

x = I P

, không cần vẽ thêm đường phụ.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp tính chất đường phân giác

Định hướng. $M I$ là phân giác góc $M$ của tam giác $M N P$ nên áp dụng thẳng tỉ lệ thức giữa hai đoạn trên $N P$ và hai cạnh kề $M N$ , $M P$ .

Tam giác

M N P

có

M I

là đường phân giác của góc

M

\frac{I P}{I N} = \frac{M P}{M N}

hay

\frac{x}{15} = \frac{32}{24}

x = \frac{15 \cdot 32}{24}

x = 20

Vậy $x = 20$ .

2Cách 2. Phương pháp diện tích

Định hướng. Hai tam giác $M N I$ , $M P I$ chung đường cao từ $M$ xuống $N P$ , còn diện tích mỗi tam giác tính theo hai cạnh kề góc $M$ bằng nhau (do $M I$ phân giác) sẽ cho cùng một tỉ số.

Tam giác

M N I

M P I

chung đường cao từ

M

nên

\frac{S _{M N I}}{S _{M P I}} = \frac{I N}{I P}

S_{M N I} = \frac{1}{2} \cdot M N \cdot M I \cdot sin N M I

S_{M P I} = \frac{1}{2} \cdot M P \cdot M I \cdot sin P M I

, mà

N M I = P M I

\frac{I N}{I P} = \frac{M N}{M P} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}

\frac{15}{x} = \frac{3}{4}

x = \frac{15 \cdot 4}{3}

x = 20

Vậy $x = 20$ .

3Cách 3. Dựng đường phụ song song rồi dùng Thalès

Định hướng. Dựng lại đúng phép chứng minh của định lí (đã học ở trang 85) với số liệu cụ thể của bài, không cần thừa nhận công thức mà suy ra trực tiếp.

Kẻ đường thẳng qua

N

song song với

M I

, cắt đường thẳng

P M

tại

E

M I

là phân giác góc

M

và

N E ∥ M I

nên tam giác

M E N

cân tại

M

, do đó

M E = M N = 24

Áp dụng định lí Thalès trong tam giác

P E N

(vì

M I ∥ N E

\frac{I P}{I N} = \frac{P M}{M E} = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}

\frac{x}{15} = \frac{4}{3}

x = \frac{15 \cdot 4}{3}

x = 20

Vậy $x = 20$ , khớp cả ba cách.

Nhận xét. Cách 1 ngắn nhất vì bài đã trang bị sẵn định lí; Cách 3 cho thấy công thức ở Cách 1 không phải điều hiển nhiên mà có chứng minh chặt chẽ đứng sau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gọi tên đúng Tính chất đường phân giác rồi thay số, chỉ ba dòng.

Đáp số.

x = 20

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là đặt tỉ lệ thức ngược, viết

\frac{x}{15} = \frac{24}{32}

(đổi chỗ

M N

M P

), dẫn tới

x = 11, 25

sai.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi vai trò, cho biết

I P

và hỏi

I N

thì chỉ cần lật ngược đúng vế của tỉ lệ thức

\frac{I N}{I P} = \frac{M N}{M P}

, cách làm hoàn toàn tương tự.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập (trang 85)★★Trang 85— Tính độ dài cạnh tam giác nhờ tính chất đường phân giác của tam giác

Luyện tập (trang 85). Tính độ dài

x

trên Hình 4.23.

Kiến thức cần nhớ

Tính chất đường phân giác của tam giác: đổi tên đỉnh phù hợp góc $E$ ta có $\frac{D M}{M F} = \frac{E D}{E F}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hình cho

E M

là đường phân giác của góc

E

trong tam giác

D E F

M

nằm giữa

D

và

F

— cùng dạng với Ví dụ vừa giải nhưng đổi vai trò ẩn số: lần này

x = E F

là cạnh chưa biết, còn hai đoạn

D M

M F

trên cạnh đối diện đã cho đủ. Bẫy của đề là dễ viết ngược tỉ lệ thức (đặt

E F

ở vị trí của

E D

) nếu không xác định đúng đoạn nào tương ứng cạnh nào.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp tính chất đường phân giác

Định hướng. $E M$ là phân giác góc $E$ nên tỉ số hai đoạn $D M$ , $M F$ trên cạnh $D F$ bằng tỉ số hai cạnh kề $E D$ , $E F$ .

Tam giác

D E F

có

E M

là đường phân giác của góc

E

\frac{D M}{M F} = \frac{E D}{E F}

hay

\frac{3 , 5}{5 , 6} = \frac{4 , 5}{x}

x = \frac{4 , 5 \cdot 5 , 6}{3 , 5}

x = 7, 2

Vậy $x = 7, 2$ .

2Cách 2. Phương pháp diện tích

Định hướng. Hai tam giác $E D M$ , $E F M$ chung đường cao từ $E$ xuống $D F$ ; tính diện tích theo hai cạnh kề góc $E$ bằng nhau cho cùng một tỉ số.

Tam giác

E D M

E F M

chung đường cao từ

E

nên

\frac{S _{E D M}}{S _{E F M}} = \frac{D M}{M F}

S_{E D M} = \frac{1}{2} \cdot E D \cdot E M \cdot sin D E M

S_{E F M} = \frac{1}{2} \cdot E F \cdot E M \cdot sin F E M

, mà

D E M = F E M

\frac{D M}{M F} = \frac{E D}{E F}

\frac{3 , 5}{5 , 6} = \frac{4 , 5}{x}

x = \frac{4 , 5 \cdot 5 , 6}{3 , 5} = 7, 2

Vậy $x = 7, 2$ .

3Cách 3. Dựng đường phụ song song rồi dùng Thalès

Định hướng. Dựng lại phép chứng minh của định lí với số liệu cụ thể, không thừa nhận công thức mà suy ra trực tiếp từ định lí Thalès.

Kẻ đường thẳng qua

D

song song với

E M

, cắt đường thẳng

E F

tại

K

E M

là phân giác góc

E

và

D K ∥ E M

nên tam giác

E K D

cân tại

E

, do đó

E K = E D = 4, 5

Áp dụng định lí Thalès trong tam giác

F K D

(vì

E M ∥ D K

\frac{M F}{D M} = \frac{E F}{E K}

\frac{5 , 6}{3 , 5} = \frac{x}{4 , 5}

x = \frac{5 , 6 \cdot 4 , 5}{3 , 5}

x = 7, 2

Vậy $x = 7, 2$ , khớp cả ba cách.

Nhận xét. Cách 1 nhanh nhất vì áp dụng thẳng định lí; Cách 3 là gốc rễ chứng minh đứng sau công thức đó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: viết đúng tỉ lệ thức

\frac{D M}{M F} = \frac{E D}{E F}

rồi thay số, chỉ ba dòng.

Đáp số.

x = 7, 2

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là viết tỉ lệ thức ngược

\frac{D M}{M F} = \frac{E F}{E D}

(đổi chỗ hai cạnh kề), dẫn tới đáp số sai

x \approx 2, 72

🚀 Mở rộng. Nếu đề đổi vai trò, cho

E F

và hỏi

E D

thì chỉ cần lật ngược đúng vế tỉ lệ thức, cách làm hoàn toàn tương tự bài này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 4.10★★Trang 86— Tính độ dài cạnh tam giác nhờ tính chất đường phân giác xuất phát từ đỉnh đối diện cạnh cần tính

Bài 4.10 (trang 86). Tính độ dài

x

trong Hình 4.24.

Kiến thức cần nhớ

Tính chất đường phân giác của tam giác: đổi tên đỉnh phù hợp góc $P$ ta có $\frac{H N}{H M} = \frac{P N}{P M}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai góc đánh dấu bằng nhau tại đỉnh

P

cho biết

P H

là đường phân giác của góc

P

trong tam giác

N M P

— khác Ví dụ và Luyện tập ở chỗ phân giác xuất phát từ

P

và chia cạnh đối diện

N M

, còn ẩn

x = N P

lại là một cạnh kề với

P

. Bẫy của đề là đặt tỉ lệ thức theo

N M

thay vì theo đúng hai cạnh

P N = x

P M = 5

kề với đỉnh phân giác

P

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp tính chất đường phân giác

Định hướng. $P H$ là phân giác góc $P$ nên tỉ số hai đoạn $N H$ , $H M$ trên cạnh $N M$ bằng tỉ số hai cạnh kề $P N$ , $P M$ .

Tam giác

N M P

có

P H

là đường phân giác của góc

P

\frac{N H}{H M} = \frac{P N}{P M}

hay

\frac{5 , 1}{3} = \frac{x}{5}

x = \frac{5 , 1 \cdot 5}{3}

x = 8, 5

Vậy $x = 8, 5$ .

2Cách 2. Phương pháp diện tích

Định hướng. Hai tam giác $P N H$ , $P M H$ chung đường cao từ $P$ xuống $N M$ ; tính diện tích theo hai cạnh kề góc $P$ bằng nhau cho cùng một tỉ số.

Tam giác

P N H

P M H

chung đường cao từ

P

nên

\frac{S _{P N H}}{S _{P M H}} = \frac{N H}{H M}

S_{P N H} = \frac{1}{2} \cdot P N \cdot P H \cdot sin N P H

S_{P M H} = \frac{1}{2} \cdot P M \cdot P H \cdot sin M P H

, mà

N P H = M P H

\frac{N H}{H M} = \frac{P N}{P M}

\frac{5 , 1}{3} = \frac{x}{5}

x = \frac{5 , 1 \cdot 5}{3} = 8, 5

Vậy $x = 8, 5$ .

3Cách 3. Dựng đường phụ song song rồi dùng Thalès

Định hướng. Dựng lại phép chứng minh của định lí với số liệu cụ thể, suy ra trực tiếp từ định lí Thalès thay vì thừa nhận công thức.

Kẻ đường thẳng qua

N

song song với

P H

, cắt đường thẳng

P M

tại

E

P H

là phân giác góc

P

và

N E ∥ P H

nên tam giác

P E N

cân tại

P

, do đó

P E = P N = x

Áp dụng định lí Thalès trong tam giác

M E N

(vì

P H ∥ N E

\frac{H M}{H N} = \frac{P M}{P E}

\frac{3}{5 , 1} = \frac{5}{x}

x = \frac{5 , 1 \cdot 5}{3}

x = 8, 5

Vậy $x = 8, 5$ , khớp cả ba cách.

Nhận xét. Cách 1 nhanh nhất; Cách 3 lí giải vì sao công thức ở Cách 1 luôn đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: xác định đúng cặp cạnh kề đỉnh phân giác (

P N

P M

) rồi thay số, tránh nhầm với cạnh đối diện

N M

Đáp số.

x = 8, 5

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là đặt tỉ lệ thức theo cạnh

N M

(cộng

N H + H M

) thay vì theo hai cạnh kề

P N

P M

, hoặc viết ngược

\frac{H N}{H M} = \frac{P M}{P N}

khiến đáp số sai.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi vai trò, cho

P N

và hỏi

H M

(biết

N H

P M

) thì chỉ cần lập lại đúng tỉ lệ thức

\frac{N H}{H M} = \frac{P N}{P M}

với ẩn khác.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 4.11★★Trang 86— Tính độ dài một đoạn trên cạnh bị chia bởi đường phân giác, biết cạnh đối diện và hai cạnh kề

Bài 4.11 (trang 86). Cho tam giác

A B C

. Đường phân giác trong của góc

A

cắt

B C

tại

D

. Tính độ dài đoạn thẳng

D C

biết

A B = 4, 5

A C = 7, 0

m và

C B = 3, 5

m (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Kiến thức cần nhớ

Tính chất đường phân giác: $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}$ .
$D$ nằm giữa $B$ và $C$ nên $D B + D C = C B$ .
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{D B}{A B} = \frac{D C}{A C} = \frac{D B + D C}{A B + A C}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đủ ba cạnh

A B

A C

C B

và hỏi

D C

— khác Ví dụ, Luyện tập ở chỗ không cho sẵn

D B

hay

D C

riêng lẻ mà chỉ cho tổng

D B + D C = C B

. Hướng làm là kết hợp tỉ lệ thức

\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}

với hệ thức

D B + D C = C B

(tính chất của dãy tỉ số bằng nhau) để giải ra

D C

trực tiếp, tránh phải đặt ẩn tính

D B

rồi trừ đi.

1Cách 1. Dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Định hướng. Viết tỉ lệ thức $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}$ dưới dạng dãy tỉ số bằng nhau $\frac{D B}{A B} = \frac{D C}{A C}$ , rồi cộng tử với tử, mẫu với mẫu để đưa $C B$ đã biết vào cùng một tỉ số.

Tam giác

A B C

có

A D

là phân giác của góc

A

(

D \in B C

)

\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}

nên

\frac{D B}{A B} = \frac{D C}{A C} = \frac{D B + D C}{A B + A C} = \frac{C B}{A B + A C}

\frac{D C}{A C} = \frac{3 , 5}{4 , 5 + 7 , 0} = \frac{3 , 5}{11 , 5}

D C = \frac{3 , 5 \cdot 7 , 0}{11 , 5} = \frac{24 , 5}{11 , 5}

D C \approx 2, 1

Vậy $D C \approx 2, 1$ m.

2Cách 2. Lập phương trình một ẩn

Định hướng. Gọi $D C = y$ , biểu diễn $D B$ theo $y$ nhờ $D B + D C = C B$ , rồi thay vào tỉ lệ thức để có phương trình một ẩn.

Gọi

D C = y

(m), điều kiện

0 < y < 3, 5

D B = C B - D C = 3, 5 - y

\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}

nên

\frac{3 , 5 - y}{y} = \frac{4 , 5}{7 , 0}

7, 0 (3, 5 - y) = 4, 5 y

24, 5 - 7, 0 y = 4, 5 y

24, 5 = 11, 5 y

y = \frac{24 , 5}{11 , 5} \approx 2, 1

Vậy $D C \approx 2, 1$ m.

3Cách 3. Thử lại bằng cách tính tỉ số cả hai phía

Định hướng. Sau khi dự đoán $D C \approx 2, 1$ m từ Cách 1, kiểm tra lại bằng cách tính hai tỉ số $\frac{D B}{A B}$ và $\frac{D C}{A C}$ độc lập rồi so khớp — cách làm nhanh khi dùng máy tính cầm tay.

Dự đoán

D C = 2, 1

m, khi đó

D B = 3, 5 - 2, 1 = 1, 4

\frac{D B}{A B} = \frac{1 , 4}{4 , 5} \approx 0, 3111

\frac{D C}{A C} = \frac{2 , 1}{7 , 0} = 0, 3

Hai tỉ số gần bằng nhau (lệch do

D C

đã làm tròn đến hàng phần chục); giá trị đúng

D C = \frac{24 , 5}{11 , 5} \approx 2, 130

cho hai tỉ số khớp tuyệt đối

\approx 0, 3130

Vậy $D C \approx 2, 1$ m (làm tròn đến hàng phần chục), khớp với Cách 1, Cách 2.

Nhận xét. Cách 3 chỉ nên dùng để kiểm tra nhanh kết quả bằng máy tính cầm tay, không thay thế cho lời giải bằng tỉ lệ thức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (dãy tỉ số bằng nhau): ngắn gọn, ra ngay công thức

D C = \frac{A C \cdot C B}{A B + A C}

mà không cần đặt ẩn.

Đáp số.

D C \approx 2, 1

(m).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là viết nhầm tỉ lệ thức thành

\frac{D B}{D C} = \frac{A C}{A B}

(đảo ngược hai cạnh kề), dẫn tới

D C \approx 1, 4

m sai thay vì

2, 1

🚀 Mở rộng. Nếu chỉ đổi

C B

thành một giá trị khác (vẫn thoả bất đẳng thức tam giác) thì

D C

luôn tính được theo đúng công thức

D C = \frac{A C \cdot C B}{A B + A C}

, không phụ thuộc cách chọn ẩn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 4.12★★★Trang 86— Bài toán thực tế dùng tam giác đồng dạng để tìm tỉ số hai đoạn thẳng, từ đó suy ra tỉ số thời gian chuyển động

Bài 4.12 (trang 86). Nhà bạn Mai ở vị trí

M

, nhà bạn Dung ở vị trí

D

(Hình 4.25), biết rằng tứ giác

A B C D

là hình vuông và

M

là trung điểm của

A B

. Hai bạn đi bộ với cùng một vận tốc trên con đường

M D

để đến điểm

I

(giao điểm của

M D

với đường chéo

C A

). Bạn Mai xuất phát lúc 7h. Hỏi bạn Dung phải xuất phát lúc mấy giờ để gặp bạn Mai lúc 7h30 tại điểm

I

Kiến thức cần nhớ

Hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc (g.g).
Cùng vận tốc thì thời gian đi tỉ lệ thuận với quãng đường.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

M

là trung điểm

A B

và hỏi về điểm

I

— giao điểm của

M D

với đường chéo

C A

— dấu hiệu cần tìm tỉ số

M I : I D

bằng tam giác đồng dạng (vì

A M ∥ C D

A B ∥ C D

trong hình vuông) rồi mới chuyển sang bài toán vận tốc — thời gian. Bẫy của đề là quên rằng hai bạn có CÙNG vận tốc nhưng quãng đường khác nhau (

M I \neq = I D

), nên thời gian đi của hai bạn KHÁC nhau theo đúng tỉ số quãng đường.

1Cách 1. Tam giác đồng dạng AMI và CDI

Định hướng. $A M ∥ C D$ (vì $A B ∥ C D$ trong hình vuông) nên hai tam giác $A M I$ , $C D I$ đồng dạng; tỉ số đồng dạng chính là tỉ số $A M : C D = 1 : 2$ cần tìm.

A B C D

là hình vuông nên

A B ∥ C D

, suy ra

A M ∥ C D

Xét tam giác

A M I

và tam giác

C D I

A I M = C I D

(đối đỉnh),

M A I = D C I

(so le trong,

A M ∥ C D

)
Suy ra tam giác

A M I

đồng dạng tam giác

C D I

(g.g)

\frac{M I}{D I} = \frac{A M}{C D} = \frac{\frac{1}{2} A B}{A B} = \frac{1}{2}

, tức

I D = 2 \cdot M I

Hai bạn cùng vận tốc: Mai đi quãng đường

M I

hết

30

phút (7h đến 7h30)
Dung đi quãng đường

I D = 2 M I

nên cần thời gian

2 \cdot 30 = 60

phút
Dung phải đến

I

lúc 7h30, nên xuất phát lúc

7 h 30 - 60

phút

= 6 h 30

Vậy bạn Dung phải xuất phát lúc 6 giờ 30 phút.

2Cách 2. Toạ độ hoá hình vuông

Định hướng. Gắn hệ trục vào hình vuông, viết phương trình tham số của đoạn $M D$ rồi tìm tham số ứng với giao điểm $I$ trên đường chéo $C A$ — tham số đó chính là tỉ số $M I : M D$ .

Đặt hình vuông cạnh

2

đơn vị:

C (0; 0)

D (2; 0)

B (0; 2)

A (2; 2)

M

là trung điểm

A B

nên

M (1; 2)

Đường chéo

C A

: đường thẳng

y = x

Đoạn

M D

: điểm

(x; y) = (1 + t; 2 - 2 t)

với

t \in [0; 1]

(

t = 0

tại

M

t = 1

tại

D

)
Thay vào

y = x

2 - 2 t = 1 + t

, suy ra

t = \frac{1}{3}

Vậy

I

ứng với

t = \frac{1}{3}

, nên

M I = \frac{1}{3} M D

và

I D = \frac{2}{3} M D

, tức

\frac{M I}{I D} = \frac{1}{2}

Mai đi

M I

hết

30

phút; Dung đi

I D = 2 \cdot M I

nên cần

60

phút, xuất phát lúc

7 h 30 - 60

phút

= 6 h 30

Vậy bạn Dung phải xuất phát lúc 6 giờ 30 phút, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 kiểm chứng độc lập tỉ số $1 : 2$ đã tìm ở Cách 1 mà không cần chứng minh tam giác đồng dạng bằng lời.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ ra tam giác

A M I

đồng dạng

C D I

theo tỉ số

1 : 2

rồi đổi ngay sang tỉ số thời gian, không cần toạ độ hoá.

Đáp số. Bạn Dung phải xuất phát lúc 6 giờ 30 phút.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là cho rằng

I

là trung điểm của

M D

(áp đặt trực giác sai) rồi tính thời gian Dung xuất phát lúc 7h, trong khi thực chất

I D = 2 M I

nên Dung phải đi xa hơn và cần xuất phát sớm hơn Mai một giờ.

🚀 Mở rộng. Nếu

M

không phải trung điểm mà là điểm chia

A B

theo tỉ số

A M : M B = m : n

thì tỉ số

M I : I D

sẽ đổi thành

m : (m + n)

, và thời gian Dung cần xuất phát sớm hơn cũng thay đổi theo đúng tỉ số đó.

Mở bài này trong app ↗