Chương I. Đa thức

Bài 2. Đa thức

SBT (Sách bài tập) Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.7★Trang 9— Nhận biết đa thức qua định nghĩa (loại biểu thức có biến ở mẫu)

Những biểu thức nào sau đây là đa thức:

3 x^{2} y - \frac{1}{2} x y^{2} + 0, 7 x y - 1

;

x y + \frac{x}{y}

;

π

;

\frac{1}{x ^{2} + y}

;

- 0, 5 + x

Kiến thức cần nhớ

Đa thức là tổng của những đơn thức; mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử, và mỗi đơn thức cũng là một đa thức có một hạng tử.
Đơn thức chỉ được chứa số, biến và luỹ thừa với số mũ nguyên dương của biến; biến không được nằm ở mẫu hay dưới dấu căn.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một dãy năm biểu thức và yêu cầu lọc ra đa thức — dấu hiệu cần nhìn là từng hạng tử có phải đơn thức hay không, đặc biệt để ý biến có nằm ở mẫu hay dưới căn không. Hướng an toàn là xét đúng định nghĩa cho mọi hạng tử vì đề chỉ có năm biểu thức, sau đó mới rút ra dấu hiệu loại nhanh để làm các bài tương tự nhanh hơn. Bẫy của đề là số

π

đứng một mình — dễ bị loại nhầm vì nghĩ đa thức phải có nhiều hạng tử, trong khi một đơn thức vẫn luôn là một đa thức.

1Cách 1. Xét đúng định nghĩa đơn thức cho từng hạng tử

Một biểu thức là đa thức khi nó là tổng của những đơn thức, tức mọi hạng tử chỉ chứa số, biến và luỹ thừa với số mũ nguyên dương của biến, biến không được nằm ở mẫu hay trong căn.

Biểu thức

3 x^{2} y - \frac{1}{2} x y^{2} + 0, 7 x y - 1

có bốn hạng tử

3 x^{2} y

- \frac{1}{2} x y^{2}

0, 7 x y

- 1

, mỗi hạng tử đều là đơn thức (hệ số

- \frac{1}{2}

và

0, 7

là số, không phải biến ở mẫu) nên đây là đa thức.

Biểu thức

π

chỉ có một số nên bản thân nó là một đơn thức, mà mỗi đơn thức cũng là một đa thức.

Biểu thức

- 0, 5 + x

có hai hạng tử

- 0, 5

và

x

, đều là đơn thức, nên là đa thức.

Biểu thức

x y + \frac{x}{y}

có hạng tử

\frac{x}{y}

chứa biến

y

ở mẫu nên

\frac{x}{y}

không phải đơn thức, do đó cả biểu thức không phải đa thức.

Biểu thức

\frac{1}{x ^{2} + y}

có biến ở mẫu (mẫu là

x^{2} + y

) nên cũng không phải đơn thức, không phải đa thức.

Vậy các đa thức là $3 x^{2} y - \frac{1}{2} x y^{2} + 0, 7 x y - 1$ ; $π$ ; $- 0, 5 + x$ ; hai biểu thức còn lại không phải đa thức.

2Cách 2. Dùng dấu hiệu loại nhanh biến ở mẫu hoặc trong căn

Thay vì xét từng hạng tử của mọi biểu thức, chỉ cần tìm xem biểu thức có chứa biến ở mẫu hoặc dưới dấu căn hay không — hễ có là loại ngay, không cần xét tiếp các hạng tử còn lại.

x y + \frac{x}{y}

: có biến

y

ở mẫu

\Rightarrow

loại ngay.

\frac{1}{x ^{2} + y}

: có biến ở mẫu

\Rightarrow

loại ngay.

Ba biểu thức còn lại

3 x^{2} y - \frac{1}{2} x y^{2} + 0, 7 x y - 1

;

π

;

- 0, 5 + x

không có biến ở mẫu, căn

2

chỉ chứa số nên không vi phạm, vậy cả ba đều là đa thức.

Vậy $x y + \frac{x}{y}$ và $\frac{1}{x ^{2} + y}$ không phải đa thức, ba biểu thức còn lại là đa thức.

3Cách 3. Viết hạng tử nghi ngờ dưới dạng luỹ thừa để lộ số mũ âm

Đưa các hạng tử có biến ở mẫu về dạng luỹ thừa để thấy ngay số mũ có nguyên dương hay không, đây là cách chặt chẽ nhất để giải thích vì sao một hạng tử không phải đơn thức.

\frac{x}{y} = x \cdot y^{- 1}

, số mũ của

y

là

- 1

, không phải số nguyên dương nên

\frac{x}{y}

không phải đơn thức, kéo theo

x y + \frac{x}{y}

không phải đa thức.

\frac{1}{x ^{2} + y}

có mẫu

x^{2} + y

là một tổng chứ không phải luỹ thừa của một biến, không thể viết dưới dạng

c \cdot x^{a} y^{b}

với số mũ nguyên dương

\Rightarrow

không phải đơn thức, không phải đa thức.

Ba biểu thức còn lại đều viết được dưới dạng tổng các đơn thức

c \cdot x^{a} y^{b}

với

a, b

nguyên không âm, đúng định nghĩa đa thức.

Vậy kết luận không đổi: đa thức là $3 x^{2} y - \frac{1}{2} x y^{2} + 0, 7 x y - 1$ ; $π$ ; $- 0, 5 + x$ .

Nhận xét. Mỗi đơn thức (kể cả một số như $π$ ) đều là một đa thức chỉ có một hạng tử — đây là điều dễ quên nhất trong bài này.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2: chỉ cần rà tìm dấu hiệu "biến ở mẫu hoặc trong căn" để loại ngay, không phải viết lại định nghĩa cho từng hạng tử như Cách 1, tiết kiệm thời gian khi đề có nhiều biểu thức.

Đáp số. Đa thức:

3 x^{2} y - \frac{1}{2} x y^{2} + 0, 7 x y - 1

;

π

;

- 0, 5 + x

. Không phải đa thức:

x y + \frac{x}{y}

;

\frac{1}{x ^{2} + y}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là cho rằng

π

không phải đa thức vì "chỉ có một số, không có phép cộng". Phản ví dụ: theo định nghĩa, mỗi đơn thức (kể cả một số như

π

hay

5

) đều là một đa thức có đúng một hạng tử, nên

π

vẫn là đa thức.

🚀 Mở rộng. Có thể mở rộng bằng cách hỏi thêm bậc của mỗi đa thức vừa tìm được, hoặc thay

\frac{x}{y}

bằng

x^{- 1} y

để nhận ra hai cách viết luỹ thừa âm đều bị loại như nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.8★★Trang 9— Thu gọn đa thức nhiều hạng tử đồng dạng và xác định hạng tử theo bậc

Cho đa thức

M = x^{3} - 2 x y + 3 x y z - 4 x y^{2} + 5 x^{2} y - 6 x y z + 7 x y^{2} - 8 x y

. a) Thu gọn đa thức

M

. b) Tìm các hạng tử bậc

3

trong dạng thu gọn của

M

Kiến thức cần nhớ

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có cùng phần biến (cùng các biến với cùng số mũ tương ứng); muốn cộng, trừ chúng ta cộng, trừ các hệ số và giữ nguyên phần biến.
Bậc của một hạng tử (hệ số khác $0$ ) là tổng số mũ của tất cả các biến có trong hạng tử đó; bậc của đa thức thu gọn là bậc lớn nhất trong các hạng tử của nó.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một đa thức có nhiều hạng tử lặp phần biến — dấu hiệu nhận ra ngay là các cặp

- 4 x y^{2}

và

7 x y^{2}

- 2 x y

và

- 8 x y

3 x y z

và

- 6 x y z

đều đồng dạng với nhau. Hướng an toàn nhất là nhóm dần theo đúng thứ tự đề bài để không bỏ sót; khi đã quen thì gom hẳn các nhóm phần biến ra riêng sẽ nhanh hơn với đa thức dài. Bẫy của đề là hạng tử

x^{3}

và

5 x^{2} y

đứng tách xa các cặp đồng dạng, dễ bị quên khi liệt kê hạng tử bậc

3

1Cách 1. Nhóm dần các hạng tử đồng dạng theo thứ tự xuất hiện

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có cùng phần biến; rà theo đúng thứ tự $M$ đã cho, gặp hạng tử nào cùng phần biến với hạng tử trước thì cộng hệ số ngay.

M = x^{3} + (- 2 x y - 8 x y) + (3 x y z - 6 x y z) + (- 4 x y^{2} + 7 x y^{2}) + 5 x^{2} y

M = x^{3} - 10 x y - 3 x y z + 3 x y^{2} + 5 x^{2} y

a) Vậy $M = x^{3} + 5 x^{2} y + 3 x y^{2} - 10 x y - 3 x y z$ .

Bậc của một hạng tử là tổng số mũ của các biến trong hạng tử đó; xét từng hạng tử của $M$ đã thu gọn.

x^{3}

có bậc

3

;

5 x^{2} y

có bậc

2 + 1 = 3

;

3 x y^{2}

có bậc

1 + 2 = 3

;

- 3 x y z

có bậc

1 + 1 + 1 = 3

;

- 10 x y

có bậc

1 + 1 = 2

b) Vậy các hạng tử bậc $3$ của $M$ là $x^{3}$ ; $5 x^{2} y$ ; $3 x y^{2}$ ; $- 3 x y z$ .

2Cách 2. Phân loại mọi hạng tử theo phần biến vào từng nhóm trước rồi mới cộng

Liệt kê hết các phần biến khác nhau xuất hiện trong $M$ thành từng nhóm riêng biệt trước, tránh bỏ sót hạng tử nào khi $M$ có nhiều số hạng.

Nhóm

x^{3}

: chỉ có

x^{3}

. Nhóm

x^{2} y

: chỉ có

5 x^{2} y

Nhóm

x y^{2}

: gồm

- 4 x y^{2}

và

7 x y^{2}

, tổng

- 4 x y^{2} + 7 x y^{2} = 3 x y^{2}

Nhóm

x y

: gồm

- 2 x y

và

- 8 x y

, tổng

- 2 x y - 8 x y = - 10 x y

Nhóm

x y z

: gồm

3 x y z

và

- 6 x y z

, tổng

3 x y z - 6 x y z = - 3 x y z

a) Cộng năm nhóm lại: $M = x^{3} + 5 x^{2} y + 3 x y^{2} - 10 x y - 3 x y z$ .

Bậc mỗi nhóm bằng tổng số mũ của phần biến đại diện nhóm đó.

Nhóm

x^{3}

x^{2} y

x y^{2}

x y z

đều có bậc

3

; riêng nhóm

x y

có bậc

2

b) Vậy các hạng tử bậc $3$ là $x^{3}$ ; $5 x^{2} y$ ; $3 x y^{2}$ ; $- 3 x y z$ .

3Cách 3. Kiểm tra kết quả bằng cách thay cùng một bộ số vào M gốc và M thu gọn

Nếu thu gọn đúng thì $M$ gốc và $M$ đã thu gọn phải cho cùng một giá trị số tại bất kỳ bộ $x, y, z$ nào; chọn $x = y = z = 1$ để tính toán đơn giản nhất.

Tại

x = y = z = 1

M

gốc

= 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 = - 4

M

thu gọn ở Cách 1:

x^{3} + 5 x^{2} y + 3 x y^{2} - 10 x y - 3 x y z = 1 + 5 + 3 - 10 - 3 = - 4

Hai giá trị bằng nhau ( $- 4 = - 4$ ) nên $M = x^{3} + 5 x^{2} y + 3 x y^{2} - 10 x y - 3 x y z$ là kết quả đúng; các hạng tử bậc $3$ vẫn là $x^{3}$ ; $5 x^{2} y$ ; $3 x y^{2}$ ; $- 3 x y z$ .

Nhận xét. Cách thay số chỉ dùng để kiểm tra lại, không thay thế được bước thu gọn — nếu chọn $x = y = z = 0$ thì mọi kết quả sai cũng cho ra $0$ , không phát hiện được lỗi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2: gom hẳn các phần biến giống nhau thành từng nhóm trước khi cộng giúp không bỏ sót hạng tử nào, an toàn hơn Cách 1 khi đa thức có nhiều số hạng xen kẽ.

Đáp số. a)

M = x^{3} + 5 x^{2} y + 3 x y^{2} - 10 x y - 3 x y z

. b) Các hạng tử bậc

3

x^{3}

;

5 x^{2} y

;

3 x y^{2}

;

- 3 x y z

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là cộng nhầm

- 2 x y

với

- 4 x y^{2}

vì nghĩ "cùng chứa

x

và

y

" là đồng dạng. Phản ví dụ:

- 2 x y

có phần biến

x y

(mỗi biến bậc

1

) còn

- 4 x y^{2}

có phần biến

x y^{2}

(biến

y

bậc

2

), hai phần biến khác nhau nên không được cộng gộp.

🚀 Mở rộng. Có thể tổng quát: với đa thức có

n

cặp hạng tử đồng dạng xen kẽ, số phép cộng hệ số cần thực hiện đúng bằng

n

; thử áp dụng cách phân nhóm này cho một đa thức năm biến để thấy rõ ưu thế.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.9★★Trang 9— Xây dựng đa thức thu gọn thoả điều kiện về số hạng tử, hệ số và bậc (hai biến)

Viết đa thức

P

thu gọn với hai biến

x

và

y

thoả mãn điều kiện:

P

có

3

hạng tử; tất cả các hạng tử của

P

đều có hệ số bằng

1

và có bậc

2

Kiến thức cần nhớ

Đơn thức bậc $n$ của $k$ biến có dạng tích các luỹ thừa của $k$ biến với tổng số mũ bằng $n$ .
Số đơn thức bậc $n$ với hệ số $1$ của $k$ biến bằng $C_{n + k - 1}^{k - 1}$ (mỗi bộ số mũ ứng với đúng một đơn thức).

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu dựng một đa thức theo ba điều kiện cùng lúc: số hạng tử, hệ số, và bậc — dấu hiệu là phải liệt kê hết các đơn thức thoả cả ba điều kiện chứ không phải đoán bừa. Với hai biến và bậc

2

, số đơn thức thoả mãn chỉ vừa đúng bằng

3

nên đáp số gần như bị ép buộc duy nhất. Bẫy của đề là dễ quên hạng tử

x y

(chỉ nhớ

x^{2}

và

y^{2}

) vì hai đơn thức này thuần một biến, trông giống bậc

2

hơn.

1Cách 1. Liệt kê thử mọi đơn thức bậc 2 của hai biến

Một đơn thức bậc $2$ của hai biến $x, y$ có dạng $x^{a} y^{b}$ với $a + b = 2$ và $a, b$ là số nguyên không âm; liệt kê hết các cặp số mũ thoả mãn.

a = 2, b = 0

: đơn thức

x^{2}

a = 1, b = 1

: đơn thức

x y

a = 0, b = 2

: đơn thức

y^{2}

Đúng ba đơn thức bậc $2$ hệ số $1$ của hai biến $x, y$ là $x^{2}$ , $x y$ , $y^{2}$ , nên $P = x^{2} + x y + y^{2}$ .

2Cách 2. Đếm số đơn thức bằng công thức tổ hợp trước khi liệt kê

Số đơn thức bậc $n$ của $k$ biến với hệ số $1$ bằng số cách chia $n$ thành tổng của $k$ số nguyên không âm có thứ tự, tính bằng công thức $C_{n + k - 1}^{k - 1}$ ; áp dụng với $n = 2, k = 2$ để kiểm tra đề trước khi liệt kê.

Số đơn thức cần tìm

= C_{2 + 2 - 1}^{2 - 1} = C_{3}^{1} = 3

, đúng bằng số hạng tử đề yêu cầu — vậy

P

chính là tổng của TOÀN BỘ các đơn thức bậc

2

của

x, y

Liệt kê đủ ba đơn thức đó:

x^{2}

;

x y

;

y^{2}

Vậy $P = x^{2} + x y + y^{2}$ , đây là đáp số duy nhất (không kể thứ tự cộng).

3Cách 3. Suy luận trực tiếp từ khai triển bình phương một tổng

Hằng đẳng thức $(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ đã cho sẵn đúng ba dạng đơn thức bậc $2$ của hai biến $x, y$ ngay trong khai triển; chỉ cần đổi hệ số hạng tử giữa từ $2$ về $1$ .

Từ

(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}

, đổi hệ số của

x y

từ

2

thành

1

P = x^{2} + x y + y^{2}

Vậy $P = x^{2} + x y + y^{2}$ , khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Vì chỉ có đúng ba đơn thức bậc $2$ của hai biến, đáp số $P = x^{2} + x y + y^{2}$ là duy nhất, không có đáp án nào khác đúng yêu cầu đề.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 3: nhớ ngay hằng đẳng thức

(x + y)^{2}

rồi đổi hệ số hạng giữa về

1

, nhanh hơn hẳn việc liệt kê hay tính công thức tổ hợp.

Đáp số.

P = x^{2} + x y + y^{2}

(không kể thứ tự cộng).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là chỉ viết

P = x^{2} + y^{2}

rồi thêm một hạng tử bậc khác (ví dụ

x^{3}

) cho đủ ba hạng tử. Phản ví dụ:

x^{3}

có bậc

3

, không thoả điều kiện "bậc

2

" của đề, nên

P = x^{2} + y^{2} + x^{3}

sai; hạng tử còn thiếu bắt buộc phải là

x y

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: nếu đổi bậc thành

3

với hai biến thì có

4

đơn thức (

x^{3}, x^{2} y, x y^{2}, y^{3}

) lấy từ khai triển

(x + y)^{3}

, không còn là

3

hạng tử như đề gốc.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.10★★★Trang 9— Xây dựng đa thức thu gọn thoả điều kiện về số hạng tử, hệ số và bậc (ba biến)

Viết đa thức

Q

thu gọn với ba biến

x, y, z

và thoả mãn điều kiện:

Q

có

10

hạng tử; tất cả các hạng tử của

Q

đều có hệ số bằng

1

và có bậc

3

Kiến thức cần nhớ

Đơn thức bậc $n$ của $k$ biến có dạng $x_{1}^{a_{1}} x_{2}^{a_{2}} \dots x_{k}^{a_{k}}$ với $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k} = n$ .
Số đơn thức bậc $n$ với hệ số $1$ của $k$ biến bằng $C_{n + k - 1}^{k - 1}$ ; với $n = k = 3$ ta được $C_{5}^{2} = 10$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề tiếp tục dạng dựng đa thức theo điều kiện như bài 1.9 nhưng nâng lên ba biến và bậc

3

— dấu hiệu là vẫn phải liệt kê hết các đơn thức thoả điều kiện. Vì số đơn thức bậc

3

của ba biến đúng bằng

10

, đề bài thực chất buộc lấy TOÀN BỘ các đơn thức đó, không được bỏ sót cũng không được thừa. Bẫy của đề là hạng tử

x y z

(cả ba biến cùng bậc

1

) rất dễ bị quên vì nó không thuộc nhóm nào rõ ràng như

x^{2} y

hay

x^{3}

1Cách 1. Liệt kê thử mọi bộ ba số mũ có tổng bằng 3

Một đơn thức bậc $3$ của ba biến $x, y, z$ có dạng $x^{a} y^{b} z^{c}$ với $a + b + c = 3$ ; liệt kê hết các bộ ba số nguyên không âm $(a, b, c)$ thoả điều kiện này theo thứ tự $a$ giảm dần.

a = 3

(3, 0, 0) \to x^{3}

a = 2

(2, 1, 0) \to x^{2} y

;

(2, 0, 1) \to x^{2} z

a = 1

(1, 2, 0) \to x y^{2}

;

(1, 1, 1) \to x y z

;

(1, 0, 2) \to x z^{2}

a = 0

(0, 3, 0) \to y^{3}

;

(0, 2, 1) \to y^{2} z

;

(0, 1, 2) \to y z^{2}

;

(0, 0, 3) \to z^{3}

Đếm được đúng $10$ đơn thức, vậy $Q = x^{3} + y^{3} + z^{3} + x^{2} y + x^{2} z + x y^{2} + x z^{2} + y^{2} z + y z^{2} + x y z$ .

2Cách 2. Dùng công thức tổ hợp trước khi liệt kê

Áp dụng công thức số đơn thức bậc $n$ của $k$ biến $C_{n + k - 1}^{k - 1}$ với $n = 3, k = 3$ để kiểm tra số hạng tử đề cho có khớp với TOÀN BỘ đơn thức bậc $3$ của ba biến hay không.

Số đơn thức cần tìm

= C_{3 + 3 - 1}^{3 - 1} = C_{5}^{2} = 10

, đúng bằng số hạng tử đề yêu cầu — vậy

Q

là tổng của toàn bộ các đơn thức bậc

3

của

x, y, z

, không có đơn thức nào bị loại.

Liệt kê đủ mười đơn thức:

x^{3}

;

y^{3}

;

z^{3}

;

x^{2} y

;

x^{2} z

;

x y^{2}

;

x z^{2}

;

y^{2} z

;

y z^{2}

;

x y z

Vậy $Q = x^{3} + y^{3} + z^{3} + x^{2} y + x^{2} z + x y^{2} + x z^{2} + y^{2} z + y z^{2} + x y z$ .

3Cách 3. Suy luận từ khai triển đa thức (x+y+z)^3

Khai triển $(x + y + z)^{3}$ chứa đúng tất cả các dạng đơn thức bậc $3$ của ba biến $x, y, z$ (chỉ khác nhau ở hệ số) — chỉ cần liệt kê PHẦN BIẾN xuất hiện trong khai triển đó rồi cho hệ số bằng $1$ .

Khai triển

(x + y + z)^{3}

có các dạng phần biến:

x^{3}, y^{3}, z^{3}

(hệ số

1

);

x^{2} y, x^{2} z, x y^{2}, y^{2} z, x z^{2}, y z^{2}

(hệ số

3

);

x y z

(hệ số

6

) — tổng cộng đúng

10

dạng phần biến khác nhau.

Đổi hệ số của mọi hạng tử về

1

Q = x^{3} + y^{3} + z^{3} + x^{2} y + x^{2} z + x y^{2} + y^{2} z + x z^{2} + y z^{2} + x y z

Vậy $Q$ vẫn là tổng của mười đơn thức trên, khớp với hai cách trước.

Nhận xét. Đây cũng là đáp số duy nhất vì số đơn thức bậc $3$ của ba biến đúng bằng $10$ — không thừa, không thiếu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2: tính trước số đơn thức bằng công thức tổ hợp để biết chắc

Q

phải lấy đủ toàn bộ, tránh vừa liệt kê vừa nghi ngờ có bỏ sót hay không.

Đáp số.

Q = x^{3} + y^{3} + z^{3} + x^{2} y + x^{2} z + x y^{2} + x z^{2} + y^{2} z + y z^{2} + x y z

(không kể thứ tự cộng).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là quên hạng tử

x y z

vì nó có cả ba biến cùng bậc

1

, không giống các đơn thức "hai biến" còn lại. Phản ví dụ: nếu bỏ

x y z

, đa thức chỉ còn

9

hạng tử, không thoả điều kiện "

Q

có

10

hạng tử" của đề.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá công thức

C_{n + k - 1}^{k - 1}

: với bốn biến và bậc

3

sẽ có

C_{6}^{3} = 20

đơn thức, nhiều gấp đôi bài này — thử liệt kê để thấy độ khó tăng nhanh thế nào khi thêm biến.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.11★★★Trang 9— Thu gọn đa thức có cặp hạng tử triệt tiêu, tìm bậc và tính giá trị

Cho đa thức

N = 1, 5 x^{3} y^{2} - 3 x y z + 2 x^{2} y - 1, 5 x^{3} y^{2} + x y^{2} z + 2, 5 x y z

. a) Tìm bậc của

N

. b) Tính giá trị của

N

tại

x = 2

;

y = - 2

;

z = 3

Kiến thức cần nhớ

Hai đơn thức đồng dạng có hệ số đối nhau thì tổng của chúng bằng $0$ và bị loại hẳn khỏi đa thức khi thu gọn.
Bậc của đa thức chỉ được tính trên các hạng tử KHÔNG bị triệt tiêu sau khi đã thu gọn.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đa thức có sẵn cặp hạng tử

1, 5 x^{3} y^{2}

và

- 1, 5 x^{3} y^{2}

giống hệt phần biến nhưng hệ số đối nhau — dấu hiệu của một "bẫy triệt tiêu" được cài sẵn trong đề. Hướng an toàn là nhóm toàn bộ hạng tử đồng dạng trước khi kết luận bậc; nếu tinh mắt hơn thì phát hiện cặp đối nhau ngay từ đầu để loại bỏ tức thì. Bẫy lớn nhất của đề là nếu quên triệt tiêu cặp đó, học sinh sẽ tính nhầm bậc của

N

thành

5

thay vì

4

1Cách 1. Thu gọn N bằng cách nhóm hạng tử đồng dạng theo thứ tự đề bài

Nhóm các hạng tử có cùng phần biến lại với nhau; chú ý hai hạng tử $1, 5 x^{3} y^{2}$ và $- 1, 5 x^{3} y^{2}$ có cùng phần biến $x^{3} y^{2}$ và hệ số đối nhau.

N = (1, 5 x^{3} y^{2} - 1, 5 x^{3} y^{2}) + (- 3 x y z + 2, 5 x y z) + 2 x^{2} y + x y^{2} z

N = 0 - 0, 5 x y z + 2 x^{2} y + x y^{2} z

$N$ thu gọn $= 2 x^{2} y - 0, 5 x y z + x y^{2} z$ .

Bậc của $N$ là bậc lớn nhất trong các hạng tử còn lại sau khi thu gọn.

2 x^{2} y

có bậc

2 + 1 = 3

;

- 0, 5 x y z

có bậc

1 + 1 + 1 = 3

;

x y^{2} z

có bậc

1 + 2 + 1 = 4

a) Vậy bậc của $N$ bằng $4$ .

Thay trực tiếp $x = 2, y = - 2, z = 3$ vào $N$ đã thu gọn để tính giá trị.

N = 2 \cdot 2^{2} \cdot (- 2) + (- 0, 5) \cdot 2 \cdot (- 2) \cdot 3 + 2 \cdot (- 2)^{2} \cdot 3

N = - 16 + 6 + 24

N = 14

b) Vậy $N = 14$ tại $x = 2; y = - 2; z = 3$ .

2Cách 2. Thay số trực tiếp vào N gốc để đối chiếu, thu gọn riêng cho bậc

Không bắt buộc phải thu gọn trước khi tính giá trị: thay $x = 2, y = - 2, z = 3$ trực tiếp vào $N$ ban đầu, các số hạng đối nhau sẽ tự triệt tiêu khi cộng số.

N = 1, 5 \cdot 2^{3} \cdot (- 2)^{2} - 3 \cdot 2 \cdot (- 2) \cdot 3 + 2 \cdot 2^{2} \cdot (- 2) - 1, 5 \cdot 2^{3} \cdot (- 2)^{2} + 2 \cdot (- 2)^{2} \cdot 3 + 2, 5 \cdot 2 \cdot (- 2) \cdot 3

N = 48 + 36 - 16 - 48 + 24 - 30

N = 14

b) Vậy $N = 14$ , khớp với kết quả tính trên $N$ đã thu gọn.

Muốn có bậc của $N$ vẫn phải thu gọn (giá trị số không cho biết bậc): nhóm hai hạng tử $1, 5 x^{3} y^{2}$ và $- 1, 5 x^{3} y^{2}$ triệt tiêu nhau, còn lại ba hạng tử.

N = 2 x^{2} y - 0, 5 x y z + x y^{2} z

, các hạng tử có bậc lần lượt

3

3

4

a) Vậy bậc của $N$ bằng $4$ .

3Cách 3. Nhận ra ngay cặp hạng tử đối nhau để triệt tiêu tức thì

Quan sát kỹ trước khi làm bất cứ phép cộng nào: $1, 5 x^{3} y^{2}$ và $- 1, 5 x^{3} y^{2}$ có cùng phần biến và hệ số đối nhau nên triệt tiêu ngay lập tức, không cần đưa vào phép nhóm chung với các hạng tử khác.

1, 5 x^{3} y^{2} - 1, 5 x^{3} y^{2} = 0

, loại bỏ ngay cặp này khỏi

N

N

còn lại bốn hạng tử:

- 3 x y z + 2 x^{2} y + x y^{2} z + 2, 5 x y z

, nhóm tiếp hai hạng tử đồng dạng

- 3 x y z

và

2, 5 x y z

- 3 x y z + 2, 5 x y z = - 0, 5 x y z

$N = 2 x^{2} y - 0, 5 x y z + x y^{2} z$ , bậc lớn nhất là $4$ (tại hạng tử $x y^{2} z$ ).

Thay $x = 2, y = - 2, z = 3$ vào dạng đã rút gọn nhanh này để ra giá trị.

N = 2 \cdot 4 \cdot (- 2) - 0, 5 \cdot 2 \cdot (- 2) \cdot 3 + 2 \cdot 4 \cdot 3

N = - 16 + 6 + 24

N = 14

a) Bậc của $N$ bằng $4$ . b) $N = 14$ .

Nhận xét. Phát hiện cặp hạng tử đối nhau trước tiên giúp giảm ngay số hạng tử phải xử lý, tránh nhầm bậc của $N$ thành $5$ (bậc của $x^{3} y^{2}$ ) nếu quên triệt tiêu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 3: nhận ra ngay cặp hạng tử đối nhau để loại bỏ tức thì trước khi nhóm các hạng tử còn lại, vừa nhanh vừa tránh nhầm bậc.

Đáp số. a) Bậc của

N

bằng

4

. b)

N = 14

tại

x = 2; y = - 2; z = 3

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là quên cặp

1, 5 x^{3} y^{2}

và

- 1, 5 x^{3} y^{2}

triệt tiêu nhau, tưởng

N

vẫn còn hạng tử

x^{3} y^{2}

nên kết luận bậc của

N

bằng

5

. Phản ví dụ: cộng trực tiếp

1, 5 x^{3} y^{2} + (- 1, 5 x^{3} y^{2}) = 0

, hạng tử này biến mất hẳn khỏi

N

nên không được tính vào bậc.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi hệ số cặp

x^{3} y^{2}

thành không đối nhau, chẳng hạn

1, 5 x^{3} y^{2}

và

- 0, 5 x^{3} y^{2}

, thì chúng không triệt tiêu hết và bậc của

N

sẽ đổi thành

5

— thử tính lại để thấy vai trò quyết định của cặp hạng tử này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.12★★Trang 9— Xác định bậc của đa thức sau khi thu gọn (có hạng tử triệt tiêu)

Tìm bậc của mỗi đa thức sau: a)

5 x^{4} - 3 x^{3} y + 2 x y^{3} - x^{3} y + 2 y^{4} - 6 x^{2} y^{2} - 2 x y^{3}

; b)

0, 75 y z^{3} - 3 y^{2} z^{3} + 0, 25 y^{4} + 3 y^{2} z^{3} + 0, 25 z^{3} y - 5

Kiến thức cần nhớ

Bậc của một hạng tử là tổng số mũ của tất cả các biến có trong hạng tử đó (kể cả khi các biến khác nhau, ví dụ $z^{3} y$ có bậc $3 + 1 = 4$ , không phải $3$ ).
Bậc của đa thức thu gọn là bậc lớn nhất trong các hạng tử KHÔNG bị triệt tiêu; một hạng tử chỉ triệt tiêu khi có đúng một hạng tử khác cùng phần biến với hệ số đối nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai đa thức nhiều hạng tử và hỏi bậc — dấu hiệu cần nhìn là có cặp hạng tử nào cùng phần biến với hệ số đối nhau hay không, vì chúng sẽ triệt tiêu và có thể làm giảm bậc thật sự. Ở câu a) cặp

2 x y^{3}

và

- 2 x y^{3}

triệt tiêu nhưng không ảnh hưởng bậc chung; ở câu b) cặp

- 3 y^{2} z^{3}

và

3 y^{2} z^{3}

triệt tiêu đúng ở bậc cao nhất nên phải cẩn thận hơn. Bẫy của đề là câu b) dễ khiến học sinh vội kết luận bậc bằng

5

nếu không phát hiện cặp triệt tiêu đó.

1Cách 1. Thu gọn toàn bộ từng đa thức rồi đọc bậc

Nhóm hết các hạng tử đồng dạng của từng đa thức, viết dạng thu gọn rồi lấy bậc lớn nhất trong các hạng tử còn lại.

5 x^{4} + (- 3 x^{3} y - x^{3} y) + (2 x y^{3} - 2 x y^{3}) - 6 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}

= 5 x^{4} - 4 x^{3} y + 0 - 6 x^{2} y^{2} + 2 y^{4} = 5 x^{4} - 4 x^{3} y - 6 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}

Bậc từng hạng tử:

5 x^{4}

bậc

4

;

- 4 x^{3} y

bậc

4

;

- 6 x^{2} y^{2}

bậc

4

;

2 y^{4}

bậc

4

a) Vậy bậc của đa thức bằng $4$ .

Làm tương tự với đa thức thứ hai, chú ý $0, 75 y z^{3}$ và $0, 25 z^{3} y$ cùng phần biến $y z^{3}$ .

(0, 75 y z^{3} + 0, 25 y z^{3}) + (- 3 y^{2} z^{3} + 3 y^{2} z^{3}) + 0, 25 y^{4} - 5

= y z^{3} + 0 + 0, 25 y^{4} - 5 = 0, 25 y^{4} + y z^{3} - 5

Bậc từng hạng tử:

0, 25 y^{4}

bậc

4

;

y z^{3}

bậc

1 + 3 = 4

;

- 5

bậc

0

b) Vậy bậc của đa thức bằng $4$ .

2Cách 2. Lập bảng bậc từng hạng tử trên đề gốc, xét nhóm bậc cao nhất trước

Không thu gọn toàn bộ đa thức ngay: liệt kê bậc của từng hạng tử trong đề gốc, tìm nhóm có bậc cao nhất, rồi chỉ cộng hệ số riêng của nhóm đó để biết nhóm này có triệt tiêu hết hay không.

a) Bậc từng hạng tử gốc:

5 x^{4}

(

4

- 3 x^{3} y

(

4

2 x y^{3}

(

4

- x^{3} y

(

4

2 y^{4}

(

4

- 6 x^{2} y^{2}

(

4

) — cả sáu hạng tử đều bậc

4

, không có hạng tử bậc thấp hơn.

Cộng hệ số theo từng phần biến trong nhóm bậc

4

: phần biến

x^{3} y

còn

- 3 - 1 = - 4 \neq = 0

; phần biến

x y^{3}

triệt tiêu

2 - 2 = 0

; các phần biến

x^{4}

y^{4}

x^{2} y^{2}

vẫn giữ hệ số khác

0

a) Nhóm bậc $4$ không triệt tiêu hết (còn $5 x^{4}$ , $- 4 x^{3} y$ , $- 6 x^{2} y^{2}$ , $2 y^{4}$ ) nên bậc của đa thức bằng $4$ .

Áp dụng đúng quy trình đó cho đa thức thứ hai.

b) Bậc từng hạng tử gốc:

0, 75 y z^{3}

(

4

- 3 y^{2} z^{3}

(

5

0, 25 y^{4}

(

4

3 y^{2} z^{3}

(

5

0, 25 z^{3} y

(

4

- 5

(

0

Nhóm bậc cao nhất là bậc

5

(chỉ gồm phần biến

y^{2} z^{3}

- 3 y^{2} z^{3} + 3 y^{2} z^{3} = 0

, triệt tiêu hoàn toàn nên phải xét tiếp nhóm bậc

4

: phần biến

y z^{3}

có hệ số

0, 75 + 0, 25 = 1 \neq = 0

b) Nhóm bậc $5$ triệt tiêu hết, nhóm bậc $4$ còn lại khác $0$ (là $y z^{3} + 0, 25 y^{4}$ ) nên bậc của đa thức bằng $4$ .

3Cách 3. Tìm một hạng tử bậc cao nhất đứng lẻ để kết luận ngay, không cần tính

Một hạng tử chỉ có thể biến mất khi cộng với đúng một hạng tử khác có CÙNG PHẦN BIẾN và hệ số đối nhau; nếu hạng tử bậc cao nhất không có "hạng tử đối" nào đứng cùng phần biến trong đề thì nó chắc chắn còn nguyên sau khi thu gọn.

a) Trong sáu hạng tử của đề, bậc cao nhất xuất hiện là

4

(không có hạng tử nào bậc lớn hơn); hạng tử

5 x^{4}

có phần biến

x^{4}

không trùng với bất kỳ hạng tử nào khác nên chắc chắn không bị triệt tiêu.

a) $5 x^{4}$ còn nguyên với bậc $4$ nên bậc của đa thức bằng $4$ , không cần thu gọn các hạng tử còn lại.

Với đa thức thứ hai, trước tiên tìm bậc cao nhất xuất hiện trong đề rồi kiểm tra xem hạng tử đó có "hạng tử đối" hay không.

b) Bậc cao nhất xuất hiện trong đề là

5

, chỉ ở hai hạng tử

- 3 y^{2} z^{3}

và

3 y^{2} z^{3}

— đây đúng là một cặp cùng phần biến

y^{2} z^{3}

và hệ số đối nhau nên triệt tiêu hoàn toàn, bậc

5

không còn tồn tại trong đa thức thu gọn.

Hạ xuống bậc

4

: hạng tử

0, 25 y^{4}

có phần biến

y^{4}

không trùng với hạng tử nào khác nên chắc chắn còn nguyên.

b) $0, 25 y^{4}$ còn nguyên với bậc $4$ nên bậc của đa thức bằng $4$ .

Nhận xét. Đề phần b) cố tình đặt sẵn một cặp hạng tử triệt tiêu ở đúng bậc cao nhất để kiểm tra học sinh có cẩn thận hay vội kết luận bậc $= 5$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 3: chỉ cần tìm một hạng tử bậc cao nhất "đứng lẻ" không có cặp để triệt tiêu là kết luận được bậc ngay, không mất thời gian cộng trừ toàn bộ đa thức.

Đáp số. a) Bậc của đa thức bằng

4

. b) Bậc của đa thức bằng

4

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp ở câu b) là thấy hạng tử

- 3 y^{2} z^{3}

có bậc

5

liền kết luận ngay bậc của cả đa thức là

5

, quên kiểm tra hạng tử

3 y^{2} z^{3}

đứng đối diện. Phản ví dụ: cộng hai hạng tử này

- 3 y^{2} z^{3} + 3 y^{2} z^{3} = 0

, chúng triệt tiêu hoàn toàn nên bậc

5

không hề tồn tại trong đa thức thu gọn, bậc thật sự chỉ là

4

🚀 Mở rộng. Mở rộng: nếu đề đổi câu b) để CẢ nhóm bậc

4

(

y z^{3}

) cũng triệt tiêu hết (ví dụ đổi hệ số

0, 25 z^{3} y

thành

- 0, 75 z^{3} y

) thì phải tiếp tục hạ xuống nhóm bậc thấp hơn nữa mới tìm được bậc thật sự.

Mở bài này trong app ↗

Đối chiếu số hiệu bài tập theo SBT: https://www.vietjack.com/sbt-toan-8-kn/bai-2-da-thuc.jsp · https://loigiaihay.com/bai-2-da-thuc-sbt-toan-8-kntt-e32716.html