Chương I. Đa thức

Bài 2. Đa thức

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngI #SáchBàiTập_Tập1 #trang9 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.7★Trang 9— Nhận biết đa thức qua định nghĩa (loại biểu thức có biến ở mẫu)

Những biểu thức nào sau đây là đa thức:

3 x^{2} y - \frac{1}{2} x y^{2} + 0, 7 x y - 1

;

x y + \frac{x}{y}

;

π

;

\frac{1}{x ^{2} + y}

;

- 0, 5 + x

Kiến thức cần nhớ

Đa thức là tổng của những đơn thức; mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử, và mỗi đơn thức cũng là một đa thức có một hạng tử.
Đơn thức chỉ được chứa số, biến và luỹ thừa với số mũ nguyên dương của biến; biến không được nằm ở mẫu hay dưới dấu căn.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một dãy năm biểu thức và yêu cầu lọc ra đa thức — dấu hiệu cần nhìn là từng hạng tử có phải đơn thức hay không, đặc biệt để ý biến có nằm ở mẫu hay dưới căn không. Hướng an toàn là xét đúng định nghĩa cho mọi hạng tử vì đề chỉ có năm biểu thức, sau đó mới rút ra dấu hiệu loại nhanh để làm các bài tương tự nhanh hơn. Bẫy của đề là số

π

đứng một mình — dễ bị loại nhầm vì nghĩ đa thức phải có nhiều hạng tử, trong khi một đơn thức vẫn luôn là một đa thức.

1Cách 1. Xét đúng định nghĩa đơn thức cho từng hạng tử

Một biểu thức là đa thức khi nó là tổng của những đơn thức, tức mọi hạng tử chỉ chứa số, biến và luỹ thừa với số mũ nguyên dương của biến, biến không được nằm ở mẫu hay trong căn.

Biểu thức

3 x^{2} y - \frac{1}{2} x y^{2} + 0, 7 x y - 1

có bốn hạng tử

3 x^{2} y

- \frac{1}{2} x y^{2}

0, 7 x y

- 1

, mỗi hạng tử đều là đơn thức (hệ số

- \frac{1}{2}

và

0, 7

là số, không phải biến ở mẫu) nên đây là đa thức.

Biểu thức

π

chỉ có một số nên bản thân nó là một đơn thức, mà mỗi đơn thức cũng là một đa thức.

Biểu thức

- 0, 5 + x

có hai hạng tử

- 0, 5

và

x

, đều là đơn thức, nên là đa thức.

Biểu thức

x y + \frac{x}{y}

có hạng tử

\frac{x}{y}

chứa biến

y

ở mẫu nên

\frac{x}{y}

không phải đơn thức, do đó cả biểu thức không phải đa thức.

Biểu thức

\frac{1}{x ^{2} + y}

có biến ở mẫu (mẫu là

x^{2} + y

) nên cũng không phải đơn thức, không phải đa thức.

Vậy các đa thức là $3 x^{2} y - \frac{1}{2} x y^{2} + 0, 7 x y - 1$ ; $π$ ; $- 0, 5 + x$ ; hai biểu thức còn lại không phải đa thức.

2Cách 2. Dùng dấu hiệu loại nhanh biến ở mẫu hoặc trong căn

Thay vì xét từng hạng tử của mọi biểu thức, chỉ cần tìm xem biểu thức có chứa biến ở mẫu hoặc dưới dấu căn hay không — hễ có là loại ngay, không cần xét tiếp các hạng tử còn lại.

x y + \frac{x}{y}

: có biến

y

ở mẫu

\Rightarrow

loại ngay.

\frac{1}{x ^{2} + y}

: có biến ở mẫu

\Rightarrow

loại ngay.

Ba biểu thức còn lại

3 x^{2} y - \frac{1}{2} x y^{2} + 0, 7 x y - 1

;

π

;

- 0, 5 + x

không có biến ở mẫu, căn

2

chỉ chứa số nên không vi phạm, vậy cả ba đều là đa thức.

Vậy $x y + \frac{x}{y}$ và $\frac{1}{x ^{2} + y}$ không phải đa thức, ba biểu thức còn lại là đa thức.

3Cách 3. Viết hạng tử nghi ngờ dưới dạng luỹ thừa để lộ số mũ âm

Đưa các hạng tử có biến ở mẫu về dạng luỹ thừa để thấy ngay số mũ có nguyên dương hay không, đây là cách chặt chẽ nhất để giải thích vì sao một hạng tử không phải đơn thức.

\frac{x}{y} = x \cdot y^{- 1}

, số mũ của

y

là

- 1

, không phải số nguyên dương nên

\frac{x}{y}

không phải đơn thức, kéo theo

x y + \frac{x}{y}

không phải đa thức.

\frac{1}{x ^{2} + y}

có mẫu

x^{2} + y

là một tổng chứ không phải luỹ thừa của một biến, không thể viết dưới dạng

c \cdot x^{a} y^{b}

với số mũ nguyên dương

\Rightarrow

không phải đơn thức, không phải đa thức.

Ba biểu thức còn lại đều viết được dưới dạng tổng các đơn thức

c \cdot x^{a} y^{b}

với

a, b

nguyên không âm, đúng định nghĩa đa thức.

Vậy kết luận không đổi: đa thức là $3 x^{2} y - \frac{1}{2} x y^{2} + 0, 7 x y - 1$ ; $π$ ; $- 0, 5 + x$ .

Nhận xét. Mỗi đơn thức (kể cả một số như $π$ ) đều là một đa thức chỉ có một hạng tử — đây là điều dễ quên nhất trong bài này.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2: chỉ cần rà tìm dấu hiệu "biến ở mẫu hoặc trong căn" để loại ngay, không phải viết lại định nghĩa cho từng hạng tử như Cách 1, tiết kiệm thời gian khi đề có nhiều biểu thức.

Đáp số. Đa thức:

3 x^{2} y - \frac{1}{2} x y^{2} + 0, 7 x y - 1

;

π

;

- 0, 5 + x

. Không phải đa thức:

x y + \frac{x}{y}

;

\frac{1}{x ^{2} + y}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là cho rằng

π

không phải đa thức vì "chỉ có một số, không có phép cộng". Phản ví dụ: theo định nghĩa, mỗi đơn thức (kể cả một số như

π

hay

5

) đều là một đa thức có đúng một hạng tử, nên

π

vẫn là đa thức.

🚀 Mở rộng. Có thể mở rộng bằng cách hỏi thêm bậc của mỗi đa thức vừa tìm được, hoặc thay

\frac{x}{y}

bằng

x^{- 1} y

để nhận ra hai cách viết luỹ thừa âm đều bị loại như nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.8★★Trang 9— Thu gọn đa thức nhiều hạng tử đồng dạng và xác định hạng tử theo bậc

Cho đa thức

M = x^{3} - 2 x y + 3 x y z - 4 x y^{2} + 5 x^{2} y - 6 x y z + 7 x y^{2} - 8 x y

. a) Thu gọn đa thức

M

. b) Tìm các hạng tử bậc

3

trong dạng thu gọn của

M

Kiến thức cần nhớ

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có cùng phần biến (cùng các biến với cùng số mũ tương ứng); muốn cộng, trừ chúng ta cộng, trừ các hệ số và giữ nguyên phần biến.
Bậc của một hạng tử (hệ số khác $0$ ) là tổng số mũ của tất cả các biến có trong hạng tử đó; bậc của đa thức thu gọn là bậc lớn nhất trong các hạng tử của nó.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một đa thức có nhiều hạng tử lặp phần biến — dấu hiệu nhận ra ngay là các cặp

- 4 x y^{2}

và

7 x y^{2}

- 2 x y

và

- 8 x y

3 x y z

và

- 6 x y z

đều đồng dạng với nhau. Hướng an toàn nhất là nhóm dần theo đúng thứ tự đề bài để không bỏ sót; khi đã quen thì gom hẳn các nhóm phần biến ra riêng sẽ nhanh hơn với đa thức dài. Bẫy của đề là hạng tử

x^{3}

và

5 x^{2} y

đứng tách xa các cặp đồng dạng, dễ bị quên khi liệt kê hạng tử bậc

3

1Cách 1. Nhóm dần các hạng tử đồng dạng theo thứ tự xuất hiện

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có cùng phần biến; rà theo đúng thứ tự $M$ đã cho, gặp hạng tử nào cùng phần biến với hạng tử trước thì cộng hệ số ngay.

M = x^{3} + (- 2 x y - 8 x y) + (3 x y z - 6 x y z) + (- 4 x y^{2} + 7 x y^{2}) + 5 x^{2} y

M = x^{3} - 10 x y - 3 x y z + 3 x y^{2} + 5 x^{2} y

a) Vậy $M = x^{3} + 5 x^{2} y + 3 x y^{2} - 10 x y - 3 x y z$ .

Bậc của một hạng tử là tổng số mũ của các biến trong hạng tử đó; xét từng hạng tử của $M$ đã thu gọn.

x^{3}

có bậc

3

;

5 x^{2} y

có bậc

2 + 1 = 3

;

3 x y^{2}

có bậc

1 + 2 = 3

;

- 3 x y z

có bậc

1 + 1 + 1 = 3

;

- 10 x y

có bậc

1 + 1 = 2

b) Vậy các hạng tử bậc $3$ của $M$ là $x^{3}$ ; $5 x^{2} y$ ; $3 x y^{2}$ ; $- 3 x y z$ .

2Cách 2. Phân loại mọi hạng tử theo phần biến vào từng nhóm trước rồi mới cộng

Liệt kê hết các phần biến khác nhau xuất hiện trong $M$ thành từng nhóm riêng biệt trước, tránh bỏ sót hạng tử nào khi $M$ có nhiều số hạng.

Nhóm

x^{3}

: chỉ có

x^{3}

. Nhóm

x^{2} y

: chỉ có

5 x^{2} y

Nhóm

x y^{2}

: gồm

- 4 x y^{2}

và

7 x y^{2}

, tổng

- 4 x y^{2} + 7 x y^{2} = 3 x y^{2}

Nhóm

x y

: gồm

- 2 x y

và

- 8 x y

, tổng

- 2 x y - 8 x y = - 10 x y

Nhóm

x y z

: gồm

3 x y z

và

- 6 x y z

, tổng

3 x y z - 6 x y z = - 3 x y z

a) Cộng năm nhóm lại: $M = x^{3} + 5 x^{2} y + 3 x y^{2} - 10 x y - 3 x y z$ .

Bậc mỗi nhóm bằng tổng số mũ của phần biến đại diện nhóm đó.

Nhóm

x^{3}

x^{2} y

x y^{2}

x y z

đều có bậc

3

; riêng nhóm

x y

có bậc

2

b) Vậy các hạng tử bậc $3$ là $x^{3}$ ; $5 x^{2} y$ ; $3 x y^{2}$ ; $- 3 x y z$ .

3Cách 3. Kiểm tra kết quả bằng cách thay cùng một bộ số vào M gốc và M thu gọn

Nếu thu gọn đúng thì $M$ gốc và $M$ đã thu gọn phải cho cùng một giá trị số tại bất kỳ bộ $x, y, z$ nào; chọn $x = y = z = 1$ để tính toán đơn giản nhất.

Tại

x = y = z = 1

M

gốc

= 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 = - 4

M

thu gọn ở Cách 1:

x^{3} + 5 x^{2} y + 3 x y^{2} - 10 x y - 3 x y z = 1 + 5 + 3 - 10 - 3 = - 4

Hai giá trị bằng nhau ( $- 4 = - 4$ ) nên $M = x^{3} + 5 x^{2} y + 3 x y^{2} - 10 x y - 3 x y z$ là kết quả đúng; các hạng tử bậc $3$ vẫn là $x^{3}$ ; $5 x^{2} y$ ; $3 x y^{2}$ ; $- 3 x y z$ .

Nhận xét. Cách thay số chỉ dùng để kiểm tra lại, không thay thế được bước thu gọn — nếu chọn $x = y = z = 0$ thì mọi kết quả sai cũng cho ra $0$ , không phát hiện được lỗi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2: gom hẳn các phần biến giống nhau thành từng nhóm trước khi cộng giúp không bỏ sót hạng tử nào, an toàn hơn Cách 1 khi đa thức có nhiều số hạng xen kẽ.

Đáp số. a)

M = x^{3} + 5 x^{2} y + 3 x y^{2} - 10 x y - 3 x y z

. b) Các hạng tử bậc

3

x^{3}

;

5 x^{2} y

;

3 x y^{2}

;

- 3 x y z

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là cộng nhầm

- 2 x y

với

- 4 x y^{2}

vì nghĩ "cùng chứa

x

và

y

" là đồng dạng. Phản ví dụ:

- 2 x y

có phần biến

x y

(mỗi biến bậc

1

) còn

- 4 x y^{2}

có phần biến

x y^{2}

(biến

y

bậc

2

), hai phần biến khác nhau nên không được cộng gộp.

🚀 Mở rộng. Có thể tổng quát: với đa thức có

n

cặp hạng tử đồng dạng xen kẽ, số phép cộng hệ số cần thực hiện đúng bằng

n

; thử áp dụng cách phân nhóm này cho một đa thức năm biến để thấy rõ ưu thế.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.9★★Trang 9— Xây dựng đa thức thu gọn thoả điều kiện về số hạng tử, hệ số và bậc (hai biến)

Viết đa thức

P

thu gọn với hai biến

x

và

y

thoả mãn điều kiện:

P

có

3

hạng tử; tất cả các hạng tử của

P

đều có hệ số bằng

1

và có bậc

2

Kiến thức cần nhớ

Đơn thức bậc $n$ của $k$ biến có dạng tích các luỹ thừa của $k$ biến với tổng số mũ bằng $n$ .
Số đơn thức bậc $n$ với hệ số $1$ của $k$ biến bằng $C_{n + k - 1}^{k - 1}$ (mỗi bộ số mũ ứng với đúng một đơn thức).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.10★★★Trang 9— Xây dựng đa thức thu gọn thoả điều kiện về số hạng tử, hệ số và bậc (ba biến)

Viết đa thức

Q

thu gọn với ba biến

x, y, z

và thoả mãn điều kiện:

Q

có

10

hạng tử; tất cả các hạng tử của

Q

đều có hệ số bằng

1

và có bậc

3

Kiến thức cần nhớ

Đơn thức bậc $n$ của $k$ biến có dạng $x_{1}^{a_{1}} x_{2}^{a_{2}} \dots x_{k}^{a_{k}}$ với $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k} = n$ .
Số đơn thức bậc $n$ với hệ số $1$ của $k$ biến bằng $C_{n + k - 1}^{k - 1}$ ; với $n = k = 3$ ta được $C_{5}^{2} = 10$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.11★★★Trang 9— Thu gọn đa thức có cặp hạng tử triệt tiêu, tìm bậc và tính giá trị

Cho đa thức

N = 1, 5 x^{3} y^{2} - 3 x y z + 2 x^{2} y - 1, 5 x^{3} y^{2} + x y^{2} z + 2, 5 x y z

. a) Tìm bậc của

N

. b) Tính giá trị của

N

tại

x = 2

;

y = - 2

;

z = 3

Kiến thức cần nhớ

Hai đơn thức đồng dạng có hệ số đối nhau thì tổng của chúng bằng $0$ và bị loại hẳn khỏi đa thức khi thu gọn.
Bậc của đa thức chỉ được tính trên các hạng tử KHÔNG bị triệt tiêu sau khi đã thu gọn.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.12★★Trang 9— Xác định bậc của đa thức sau khi thu gọn (có hạng tử triệt tiêu)

Tìm bậc của mỗi đa thức sau: a)

5 x^{4} - 3 x^{3} y + 2 x y^{3} - x^{3} y + 2 y^{4} - 6 x^{2} y^{2} - 2 x y^{3}

; b)

0, 75 y z^{3} - 3 y^{2} z^{3} + 0, 25 y^{4} + 3 y^{2} z^{3} + 0, 25 z^{3} y - 5

Kiến thức cần nhớ

Bậc của một hạng tử là tổng số mũ của tất cả các biến có trong hạng tử đó (kể cả khi các biến khác nhau, ví dụ $z^{3} y$ có bậc $3 + 1 = 4$ , không phải $3$ ).
Bậc của đa thức thu gọn là bậc lớn nhất trong các hạng tử KHÔNG bị triệt tiêu; một hạng tử chỉ triệt tiêu khi có đúng một hạng tử khác cùng phần biến với hệ số đối nhau.