Chương VI. Phân thức đại số

Bài 22. Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 2 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngVI #SáchBàiTập_Tập2 #trang6–7 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 6.6★★Trang 6— Chứng minh đẳng thức phân thức bằng cách rút gọn (mẫu chia hết tử)

Bài 6.6 (trang 6). Dùng tính chất cơ bản của phân thức, chứng minh

\frac{x ^{4} - 1}{x - 1} = x^{3} + x^{2} + x + 1

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ , áp dụng liên tiếp.
Tính chất cơ bản của phân thức: chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

🧠 Phân tích tư duy

Vế trái là một phân thức còn vế phải là một đa thức — dấu hiệu vế trái phải rút gọn được thành đúng đa thức đó, tức tử

x^{4} - 1

phải chia hết cho mẫu

x - 1

. Hướng phân tích

x^{4} - 1

liên tiếp hai lần bằng hiệu hai bình phương là ngắn nhất vì đưa ra ngay nhân tử

(x - 1)

. Bẫy là dừng lại ở

x^{4} - 1 = (x^{2} - 1) (x^{2} + 1)

mà quên phân tích tiếp

x^{2} - 1

, chưa lộ được nhân tử chung với mẫu.

1Cách 1. Phân tích tử thành nhân tử liên tiếp rồi rút gọn

Định hướng. Phân tích $x^{4} - 1$ hai lần bằng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để lộ nhân tử $(x - 1)$ , rồi chia cho mẫu.

x^{4} - 1 = (x^{2} - 1) (x^{2} + 1) = (x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1)

\frac{x ^{4} - 1}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{2} + 1 )}{x - 1} = (x + 1) (x^{2} + 1)

(x + 1) (x^{2} + 1) = x^{3} + x^{2} + x + 1

Vậy $\frac{x ^{4} - 1}{x - 1} = x^{3} + x^{2} + x + 1$ (với $x \neq = 1$ ), đẳng thức được chứng minh.

2Cách 2. Chia đa thức

x^{4} - 1

cho

x - 1

trực tiếp

Định hướng. Không phân tích bằng hằng đẳng thức mà thực hiện phép chia đa thức $x^{4} - 1$ cho $x - 1$ theo cột, kiểm tra dư bằng $0$ .

x^{4} - 1 = (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1) + 0

(kiểm tra:

(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} + x^{3} + x^{2} + x - x^{3} - x^{2} - x - 1 = x^{4} - 1

)

Vậy $\frac{x ^{4} - 1}{x - 1} = x^{3} + x^{2} + x + 1$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 (phân tích nhân tử) cho thấy rõ bản chất hình học của phép rút gọn, còn Cách 2 (chia đa thức) là công cụ tổng quát dùng được cả khi không nhẩm ra hằng đẳng thức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phân tích liên tiếp hai hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, nhanh hơn hẳn việc đặt phép chia đa thức theo cột như Cách 2.

Đáp số.

\frac{x ^{4} - 1}{x - 1} = x^{3} + x^{2} + x + 1

(với

x \neq = 1

), vì

x^{4} - 1 = (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1)

Sai lầm thường gặp. Chỉ phân tích một lần

x^{4} - 1 = (x^{2} - 1) (x^{2} + 1)

rồi dừng lại, kết luận sai là "không rút gọn được vì mẫu

x - 1

không khớp với

x^{2} - 1

". Phải phân tích tiếp

x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)

mới lộ đúng nhân tử chung

(x - 1)

với mẫu.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật,

\frac{x ^{6} - 1}{x - 1} = x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1

cũng chứng minh được bằng cách phân tích liên tiếp

x^{6} - 1 = (x - 1) (x + 1) (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)

rồi nhân gộp lại, hoặc bằng phép chia đa thức trực tiếp.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 6.7★★Trang 6— Rút gọn phân thức rồi đổi dấu để đưa về mẫu cho trước

Bài 6.7 (trang 6). Sử dụng tính chất cơ bản của phân thức và quy tắc đổi dấu, viết phân thức

\frac{24 x ^{2} y ^{2}}{3 x y ^{5}}

thành một phân thức có mẫu là

- y^{3}

rồi tìm đa thức

B

trong đẳng thức

\frac{24 x ^{2} y ^{2}}{3 x y ^{5}} = \frac{B}{- y ^{3}}

Kiến thức cần nhớ

Tính chất cơ bản của phân thức: chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Quy tắc đổi dấu: $\frac{A}{B} = \frac{- A}{- B}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu đúng hai thao tác nối tiếp: trước tiên rút gọn phân thức đã cho về dạng đơn giản, sau đó đổi dấu để mẫu khớp đúng với

- y^{3}

đề cho — dấu hiệu phải làm ĐỦ cả hai bước theo đúng thứ tự "rút gọn rồi mới đổi dấu". Hướng rút gọn hệ số và biến trước là ngắn nhất vì mẫu sau khi rút gọn (

y^{3}

) chỉ còn cách mẫu đích (

- y^{3}

) đúng một dấu trừ. Bẫy là đổi dấu trước khi rút gọn, dễ nhầm dấu ở bước tính hệ số.

1Cách 1. Rút gọn trước, đổi dấu sau

Định hướng. Rút gọn phân thức đã cho bằng nhân tử chung $3 x y^{2}$ , sau đó đổi dấu cả tử và mẫu để mẫu trở thành $- y^{3}$ .

\frac{24 x ^{2} y ^{2}}{3 x y ^{5}} = \frac{24 x ^{2} y ^{2} : 3 x y ^{2}}{3 x y ^{5} : 3 x y ^{2}} = \frac{8 x}{y ^{3}}

\frac{8 x}{y ^{3}} = \frac{- 8 x}{- y ^{3}}

Vậy $B = - 8 x$ .

2Cách 2. Kiểm tra bằng định nghĩa hai phân thức bằng nhau

Định hướng. Giả sử $B$ là đa thức cần tìm, nhân chéo hai vế của đẳng thức đã cho rồi giải ra $B$ .

24 x^{2} y^{2} \cdot (- y^{3}) = B \cdot 3 x y^{5}

- 24 x^{2} y^{5} = 3 x y^{5} \cdot B

B = - 24 x^{2} y^{5} : 3 x y^{5} = - 8 x

Vậy $B = - 8 x$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 (rút gọn rồi đổi dấu) cho lời giải ngắn và trực quan hơn hẳn việc nhân chéo hai đa thức bậc cao ở Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: rút gọn về dạng đơn giản trước rồi mới đổi dấu, tránh phải nhân chéo hai đa thức bậc cao như Cách 2.

Đáp số.

B = - 8 x

Sai lầm thường gặp. Đổi dấu ngay từ đầu (khi phân thức còn chưa rút gọn) rồi mới rút gọn, dễ nhầm dấu khi tính hệ số vì phải theo dõi dấu âm xuyên suốt nhiều bước rút gọn. Nên rút gọn về dạng đơn giản nhất trước, chỉ đổi dấu ở bước cuối cùng.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật, viết

\frac{18 a ^{3} b ^{2}}{9 a b ^{4}}

thành phân thức có mẫu là

- b^{2}

: rút gọn được

\frac{2 a ^{2}}{b ^{2}}

, rồi đổi dấu được

\frac{- 2 a ^{2}}{- b ^{2}}

, vậy đa thức cần tìm là

- 2 a^{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 6.8★★Trang 7— Rút gọn phân thức (kèm đổi dấu) rồi tìm mẫu thức theo dạng cho trước

Bài 6.8 (trang 7). Rút gọn phân thức

\frac{x - x ^{2}}{5 x ^{2} - 5}

rồi tìm đa thức

A

trong đẳng thức

\frac{x - x ^{2}}{5 x ^{2} - 5} = \frac{x}{A}

Kiến thức cần nhớ

Đặt nhân tử chung; hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
Quy tắc đổi dấu: $1 - x = - (x - 1)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 6.9★★★Trang 7— Rút gọn phân thức bằng nhóm hạng tử và hằng đẳng thức lập phương một tổng

Bài 6.9 (trang 7). Rút gọn phân thức

\frac{2 x + 2 x y + y + y ^{2}}{y ^{3} + 3 y ^{2} + 3 y + 1}

Kiến thức cần nhớ

Nhóm hạng tử: $ab + a c + a d + b d = a (b + c) + d (a + b)$ khi có nhân tử chung phù hợp.
Hằng đẳng thức lập phương một tổng: $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} = (a + b)^{3}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 6.10★★★Trang 7— Rút gọn phân thức nhiều nhân tử rồi tính giá trị tại điểm cho trước

Bài 6.10 (trang 7). Rút gọn rồi tính giá trị của các phân thức sau: a)

P = \frac{( 2 x ^{2} + 2 x ) ( 2 - x ) ^{2}}{( x ^{3} - 4 x ) ( x + 1 )}

với

x = 0, 5

; b)

Q = \frac{x ^{3} - x ^{2} y + x y ^{2}}{x ^{3} + y ^{3}}

với

x = - 5

;

y = 10

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức tổng hai lập phương: $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ .
Bình phương của một nhân tử: $(2 - x)^{2} = (x - 2)^{2}$ (không đổi dấu qua bình phương).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6.11★★Trang 7— Quy đồng mẫu thức hai phân thức có mẫu là đơn thức và mẫu chứa nhân tử độc lập

Bài 6.11 (trang 7). Quy đồng mẫu thức các phân thức sau: a)

\frac{25}{14 x ^{2} y}

và

\frac{14}{21 x y ^{5}}

; b)

\frac{4 x - 4}{2 x ( x + 3 )}

và

\frac{x - 3}{3 x ( x + 1 )}

Kiến thức cần nhớ

BCNN của các hệ số; với mỗi biến, chọn luỹ thừa với số mũ cao nhất.
Nên rút gọn phân thức (nếu có thể) trước khi quy đồng để MTC gọn nhất.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 6.12★★★Trang 7— Tìm mẫu thức chung và quy đồng ba phân thức có mẫu đối nhau và hằng đẳng thức

Bài 6.12 (trang 7). Tìm mẫu thức chung của ba phân thức sau:

\frac{1}{x ^{2} - x}

;

\frac{x}{1 - x ^{3}}

và

\frac{- 1}{x ^{2} + x + 1}

. Quy đồng mẫu thức ba phân thức đã cho với mẫu thức chung tìm được.

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: $1 - x^{3} = (1 - x) (1 + x + x^{2})$ .
Quy tắc đổi dấu: $1 - x = - (x - 1)$ ; MTC lấy đủ mọi nhân tử với số mũ cao nhất.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 6.13★★Trang 7— Quy đồng mẫu thức ba phân thức với ba biến độc lập và với mẫu đối nhau

Bài 6.13 (trang 7). Quy đồng mẫu thức các phân thức sau: a)

\frac{1}{x ^{2} y}

;

\frac{1}{y ^{2} z}

và

\frac{1}{z ^{2} x}

; b)

\frac{1}{1 - x}

;

\frac{1}{x + 1}

và

\frac{1}{x ^{2} + 1}

Kiến thức cần nhớ

MTC của các đơn thức: lấy luỹ thừa cao nhất của mỗi biến xuất hiện.
Ba nhân tử độc lập (không có quan hệ đối dấu hay chia hết) thì MTC là tích của cả ba.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 6.14★★★★Trang 7— Rút gọn phân thức có điều kiện ràng buộc giữa các biến

Bài 6.14 (trang 7). Cho

x, y, z

thỏa mãn:

x + y + z = 0

và

x \neq = 0

y \neq = z

. Hãy rút gọn phân thức

\frac{x}{y ^{2} - z ^{2}}

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $y^{2} - z^{2} = (y - z) (y + z)$ .
Từ $x + y + z = 0$ suy ra $x = - (y + z)$ ; điều kiện $y \neq = z$ đảm bảo mẫu $y^{2} - z^{2} \neq = 0$ .