Bài 22. Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Định hướng. Phân tích $x^4-1$ hai lần bằng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để lộ nhân tử $(x-1)$, rồi chia cho mẫu.

Vậy $\frac{x^4-1}{x-1}=x^3+x^2+x+1$ (với $x\ne 1$), đẳng thức được chứng minh.

Định hướng. Không phân tích bằng hằng đẳng thức mà thực hiện phép chia đa thức $x^4-1$ cho $x-1$ theo cột, kiểm tra dư bằng $0$.

Vậy $\frac{x^4-1}{x-1}=x^3+x^2+x+1$, khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 (phân tích nhân tử) cho thấy rõ bản chất hình học của phép rút gọn, còn Cách 2 (chia đa thức) là công cụ tổng quát dùng được cả khi không nhẩm ra hằng đẳng thức.

Định hướng. Rút gọn phân thức đã cho bằng nhân tử chung $3x{y}^2$, sau đó đổi dấu cả tử và mẫu để mẫu trở thành $-y^3$.

Vậy $B=-8x$.

Định hướng. Giả sử $B$ là đa thức cần tìm, nhân chéo hai vế của đẳng thức đã cho rồi giải ra $B$.

Vậy $B=-8x$, khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 (rút gọn rồi đổi dấu) cho lời giải ngắn và trực quan hơn hẳn việc nhân chéo hai đa thức bậc cao ở Cách 2.

Định hướng. Đặt nhân tử chung ở cả tử và mẫu, đổi dấu để lộ nhân tử chung, rút gọn rồi biến đổi về đúng dạng tử là $x$.

Vậy phân thức rút gọn là $\frac{-x}{5(x+1)}$, và $A=-5x-5$.

Định hướng. Từ kết quả rút gọn $\frac{-x}{5(x+1)}$, giả sử $A$ là mẫu cần tìm trong $\frac{x}{A}$ rồi nhân chéo để xác định $A$.

Vậy $A=-5x-5$, khớp Cách 1.

Nhận xét. Đây là bài toán kết hợp cả rút gọn lẫn đổi dấu — dạng bài tổng hợp của cả hai kĩ thuật vừa học ở Bài 22.

Định hướng. Nhóm tử thành hai cặp có nhân tử chung $(1+y)$; nhận ra mẫu là $(y+1{)}^3$.

Vậy $\frac{2x+2xy+y+y^2}{y^3+3y^2+3y+1}=\frac{2x+y}{(y+1{)}^2}$.

Định hướng. Thay một cặp giá trị $x,y$ cụ thể vào cả phân thức gốc và kết quả rút gọn để đối chiếu.

Vậy phép thử số xác nhận kết quả rút gọn ở Cách 1 là đúng.

Nhận xét. Bài này là dạng khó nhất trong nhóm rút gọn của bài học: vừa phải nhóm hạng tử ở tử, vừa phải nhận diện đúng hằng đẳng thức lập phương một tổng ở mẫu.

Định hướng. Câu a) phân tích cả bốn nhân tử, chú ý $(2-x{)}^2=(x-2{)}^2$; câu b) đặt nhân tử chung $x$ ở tử rồi dùng hằng đẳng thức cho mẫu.

Vậy a) $P=\frac{2(x-2)}{x+2}$, $P(0,5)=-1,2$; b) $Q=\frac{x}{x+y}$, $Q(-5,10)=-1$.

Định hướng. Thay trực tiếp $x=0,5$ và $x=-5,y=10$ vào các phân thức gốc (chưa rút gọn) để đối chiếu với kết quả rút gọn ở Cách 1.

Vậy cả hai kết quả đều khớp với Cách 1, xác nhận việc rút gọn trước khi thay số là đúng.

Nhận xét. Thay số trực tiếp vào phân thức GỐC (chưa rút gọn) cho những con số rất cồng kềnh — đây chính là lý do nên rút gọn trước khi thay số như Cách 1.

Định hướng. Câu a) lấy $BCNN(14,21)$ và luỹ thừa cao nhất của $x$, $y$; câu b) rút gọn phân thức thứ nhất trước (chia hệ số cho $2$) rồi mới tìm MTC.

Vậy a) $\frac{25}{14x^{2}y}=\frac{75y^4}{42x^2{y}^5}$ và $\frac{14}{21x{y}^5}=\frac{28x}{42x^2{y}^5}$; b) $\frac{4x-4}{2x(x+3)}=\frac{6(x^2-1)}{3x(x+3)(x+1)}$ và $\frac{x-3}{3x(x+1)}=\frac{x^2-9}{3x(x+3)(x+1)}$.

Định hướng. Chọn một phân thức vừa quy đồng ở mỗi câu, rút gọn ngược để xác nhận quay lại đúng phân thức ban đầu.

Vậy phép kiểm tra ngược xác nhận cả hai câu quy đồng đúng, khớp Cách 1.

Nhận xét. Câu b) là bài học quan trọng: LUÔN kiểm tra khả năng rút gọn phân thức trước khi quy đồng, tránh MTC bị cồng kềnh không cần thiết.

Định hướng. Phân tích cả ba mẫu thành nhân tử, đổi dấu $(1-x)$ ở mẫu thứ hai thành $-(x-1)$ để cùng dạng với mẫu thứ nhất.

Vậy $MTC=x(x-1)(x^2+x+1)$; ba phân thức sau khi quy đồng là $\frac{x^2+x+1}{x(x-1)(x^2+x+1)}$, $\frac{-x^2}{x(x-1)(x^2+x+1)}$, $\frac{-x(x-1)}{x(x-1)(x^2+x+1)}$.

Định hướng. Rút gọn ngược từng phân thức vừa quy đồng, đối chiếu với phân thức ban đầu tương ứng.

Vậy cả ba phân thức đều kiểm tra khớp, xác nhận Cách 1 đúng.

Nhận xét. Đây là bài khó nhất trong nhóm quy đồng của cả bài học vì phải xử lý ba mẫu có quan hệ lồng nhau (đối dấu và cùng chứa nhân tử bậc hai chung).

Định hướng. Câu a) lấy luỹ thừa cao nhất của $x,y,z$ xuất hiện ở ba mẫu; câu b) nhân trực tiếp ba mẫu độc lập với nhau.

Vậy a) $MTC=x^2{y}^2{z}^2$ với ba phân thức $\frac{y{z}^2}{x^2{y}^2{z}^2}$, $\frac{x^{2}z}{x^2{y}^2{z}^2}$, $\frac{x{y}^2}{x^2{y}^2{z}^2}$; b) $MTC=(1-x)(x+1)(x^2+1)$ với ba phân thức như trên.

Định hướng. Chọn một phân thức vừa quy đồng ở mỗi câu, rút gọn ngược để xác nhận quay lại đúng phân thức ban đầu.

Vậy phép kiểm tra ngược xác nhận cả hai câu quy đồng đúng, khớp Cách 1.

Nhận xét. Câu b) có thể nhân gọn $MTC=(1-x)(x+1)(x^2+1)=(1-x^2)(x^2+1)=1-x^4$, một dạng viết thu gọn thường gặp khi trình bày kết quả cuối.

Định hướng. Từ $x+y+z=0$ suy ra $x=-(y+z)$, thế vào tử của phân thức rồi phân tích mẫu để tìm nhân tử chung $(y+z)$.

Vậy $\frac{x}{y^2-z^2}=\frac{1}{z-y}$ (với $y\ne z$).

Định hướng. Chọn một bộ $x,y,z$ cụ thể thoả $x+y+z=0$, $x\ne 0$, $y\ne z$, thay vào cả phân thức gốc và kết quả $\frac{1}{z-y}$ để đối chiếu.

Vậy phép thử số xác nhận đúng $\frac{x}{y^2-z^2}=\frac{1}{z-y}$, khớp Cách 1.

Nhận xét. Đây là dạng bài khó nhất của cả hai file (SGK và SBT): phải biết khai thác một điều kiện ràng buộc giữa các biến để rút gọn, chứ không chỉ đơn thuần phân tích nhân tử có sẵn.