Chương VI. Phân thức đại số

Bài 22. Tính chất cơ bản của phân thức đại số

SGK Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 2 · 23 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 8— Nhận biết tính chất cơ bản của phân thức (nhân cả tử và mẫu với cùng một đa thức)

HĐ1 (trang 8). Nếu nhân cả tử và mẫu của phân thức

\frac{x + y}{x - y}

với

2 x

ta được phân thức mới nào? Giải thích vì sao phân thức mới nhận được bằng phân thức đã cho.

Kiến thức cần nhớ

Tính chất cơ bản của phân thức: $\frac{A}{B} = \frac{A \cdot M}{B \cdot M}$ với $M$ là một đa thức khác đa thức $0$ .
Nhân đơn thức với đa thức: nhân đơn thức với từng hạng tử rồi cộng kết quả.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn phân thức và yêu cầu nhân cả tử mẫu với một đa thức cụ thể — dấu hiệu áp trực tiếp tính chất cơ bản thứ nhất vừa được giới thiệu ở đầu bài (

A / B = A M / B M

). Hướng nhân trực tiếp rồi rút gọn ngược lại là cách chắc chắn nhất để giải thích vì sao hai phân thức bằng nhau, vì nó lộ rõ nhân tử chung

2 x

vừa được nhân vào. Bẫy là quên điều kiện "

M

là đa thức khác đa thức

0

" —

2 x

là một đa thức, không đồng nhất bằng đa thức

0

, nên phép nhân này hợp lệ.

1Cách 1. Nhân trực tiếp cả tử và mẫu với

2 x

Định hướng. Nhân $2 x$ vào cả tử và mẫu của phân thức đã cho, viết đúng đa thức mới ở tử và ở mẫu.

\frac{x + y}{x - y} = \frac{( x + y ) \cdot 2 x}{( x - y ) \cdot 2 x}

= \frac{2 x ^{2} + 2 x y}{2 x ^{2} - 2 x y}

Vậy phân thức mới nhận được là $\frac{2 x ^{2} + 2 x y}{2 x ^{2} - 2 x y}$ ; theo tính chất cơ bản của phân thức, phân thức mới này bằng phân thức đã cho.

2Cách 2. Rút gọn ngược phân thức mới để quay lại phân thức ban đầu

Định hướng. Từ phân thức mới, phân tích tử và mẫu thành nhân tử để lộ ra nhân tử chung $2 x$ , chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

\frac{2 x ^{2} + 2 x y}{2 x ^{2} - 2 x y} = \frac{2 x ( x + y )}{2 x ( x - y )}

= \frac{2 x ( x + y ) : 2 x}{2 x ( x - y ) : 2 x}

= \frac{x + y}{x - y}

Vậy chia cả tử và mẫu của phân thức mới cho nhân tử chung $2 x$ ta quay lại đúng phân thức ban đầu, chứng tỏ hai phân thức bằng nhau.

3Cách 3. Kiểm tra bằng định nghĩa hai phân thức bằng nhau (

A D = B C

)

Định hướng. Dùng đúng định nghĩa đã học ở Bài 21: hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ bằng nhau khi $A D = B C$ .

A = x + y

B = x - y

C = 2 x^{2} + 2 x y

D = 2 x^{2} - 2 x y

A D = (x + y) (2 x^{2} - 2 x y) = 2 x^{3} - 2 x y^{2}

B C = (x - y) (2 x^{2} + 2 x y) = 2 x^{3} - 2 x y^{2}

A D = B C

Vậy theo định nghĩa hai phân thức bằng nhau, $\frac{x + y}{x - y} = \frac{2 x ^{2} + 2 x y}{2 x ^{2} - 2 x y}$ .

Nhận xét. Ba cách đều xác nhận: nhân cả tử và mẫu với cùng một đa thức khác đa thức $0$ luôn cho một phân thức bằng phân thức ban đầu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhân thẳng rồi khai triển, ngắn gọn nhất; Cách 3 (định nghĩa

A D = B C

) chỉ nên dùng để kiểm tra lại khi còn nghi ngờ.

Đáp số. Phân thức mới là

\frac{2 x ^{2} + 2 x y}{2 x ^{2} - 2 x y}

, bằng phân thức đã cho theo tính chất cơ bản của phân thức.

Sai lầm thường gặp. Nhân cả tử và mẫu nhưng chỉ nhân đúng một trong hai (ví dụ chỉ nhân tử với

2 x

, giữ nguyên mẫu), làm phân thức mới không còn bằng phân thức cũ. Phải nhân đồng thời cả tử VÀ mẫu với cùng một đa thức

M

🚀 Mở rộng. Cùng tính chất này, nhân cả tử và mẫu của

\frac{x + y}{x - y}

với

x^{2} + 1

(một đa thức khác đa thức

0

bất kỳ) cũng cho một phân thức bằng phân thức ban đầu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ2★Trang 8— Nhận biết tính chất cơ bản của phân thức (chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung)

HĐ2 (trang 8). Tử và mẫu của phân thức

\frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )}

có nhân tử chung là

x - 1

. Viết phân thức nhận được sau khi chia cả tử và mẫu của phân thức này cho nhân tử chung đó. So sánh phân thức mới nhận được với phân thức đã cho.

Kiến thức cần nhớ

Tính chất cơ bản của phân thức: $\frac{A : N}{B : N} = \frac{A}{B}$ với $N$ là một nhân tử chung.
Nhân tử chung là đa thức xuất hiện như một thừa số ở cả tử và mẫu khi đã viết dưới dạng tích.

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã chỉ rõ nhân tử chung là

x - 1

, chỉ còn việc thực hiện đúng phép chia cả tử và mẫu cho nhân tử đó — áp dụng trực tiếp tính chất cơ bản thứ hai. Hướng chia trực tiếp là ngắn nhất vì nhân tử chung đã lộ sẵn dưới dạng tích. Bẫy là chỉ chia tử hoặc chỉ chia mẫu, không chia đồng thời cả hai.

1Cách 1. Chia trực tiếp cả tử và mẫu cho nhân tử chung

x - 1

Định hướng. Chia riêng tử cho $x - 1$ và mẫu cho $x - 1$ , được phân thức mới.

\frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )} = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 ) : ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 ) : ( x - 1 )}

= \frac{x + 1}{x ^{2} + x + 1}

Vậy phân thức mới nhận được là $\frac{x + 1}{x ^{2} + x + 1}$ , bằng phân thức đã cho theo tính chất cơ bản của phân thức.

2Cách 2. Kiểm tra bằng định nghĩa hai phân thức bằng nhau

Định hướng. Đối chiếu phân thức mới với phân thức ban đầu bằng cách nhân chéo.

A = (x - 1) (x + 1)

B = (x - 1) (x^{2} + x + 1)

C = x + 1

D = x^{2} + x + 1

A D = (x - 1) (x + 1) (x^{2} + x + 1)

B C = (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x + 1)

A D = B C

Vậy $\frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )} = \frac{x + 1}{x ^{2} + x + 1}$ , hai phân thức bằng nhau.

Nhận xét. Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung chính là phép rút gọn phân thức — nội dung được học chính thức ở mục 2a của bài.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chia thẳng cho nhân tử chung đã cho sẵn, không cần kiểm tra lại bằng định nghĩa.

Đáp số. Phân thức mới là

\frac{x + 1}{x ^{2} + x + 1}

, bằng phân thức đã cho.

Sai lầm thường gặp. Chỉ chia mẫu cho

x - 1

mà quên chia tử (hoặc ngược lại), được phân thức sai

\frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x ^{2} + x + 1}

. Tính chất cơ bản đòi hỏi chia ĐỒNG THỜI cả tử và mẫu cho cùng nhân tử chung.

🚀 Mở rộng. Cùng tính chất, phân thức

\frac{( x - 2 ) ( x + 3 )}{( x - 2 ) ( x - 5 )}

có nhân tử chung

x - 2

, chia cả tử và mẫu cho nhân tử đó cho phân thức rút gọn

\frac{x + 3}{x - 5}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 1★★Trang 9— Kiểm tra rút gọn phân thức bằng tính chất cơ bản

Luyện tập 1 (trang 9). Khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?

\frac{30 x y ^{2} ( x - y )}{45 x y ( x - y ) ^{2}} = \frac{2 y}{3 ( x - y )}

Kiến thức cần nhớ

Tính chất cơ bản của phân thức: chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Nhân tử chung có thể là hệ số, đơn thức hoặc đa thức trong ngoặc.

🧠 Phân tích tư duy

Cả tử và mẫu đều đã viết sẵn dưới dạng tích chứa nhân tử chung — dấu hiệu chỉ cần chia cả tử và mẫu cho đúng nhân tử chung rồi so sánh với vế phải. Hướng chia trực tiếp từng phần (số, biến, nhân tử

(x - y)

) là an toàn nhất vì tách rõ ba loại nhân tử chung. Bẫy là quên chia hệ số (

30

và

45

có ước chung

15

) mà chỉ chú ý tới biến, dẫn tới rút gọn thiếu.

1Cách 1. Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung lớn nhất

Định hướng. Tìm nhân tử chung lớn nhất giữa tử và mẫu (hệ số, biến $x$ , biến $y$ , nhân tử $(x - y)$ ) rồi chia một lần.

Nhân tử chung của tử và mẫu là

15 x y (x - y)

\frac{30 x y ^{2} ( x - y )}{45 x y ( x - y ) ^{2}} = \frac{30 x y ^{2} ( x - y ) : 15 x y ( x - y )}{45 x y ( x - y ) ^{2} : 15 x y ( x - y )}

= \frac{2 y}{3 ( x - y )}

Vậy khẳng định đã cho là đúng.

2Cách 2. Rút gọn lần lượt từng loại nhân tử chung

Định hướng. Rút gọn hệ số trước, rồi rút gọn biến $x$ , biến $y$ , cuối cùng rút gọn nhân tử $(x - y)$ .

\frac{30 x y ^{2} ( x - y )}{45 x y ( x - y ) ^{2}} = \frac{2 x y ^{2} ( x - y )}{3 x y ( x - y ) ^{2}}

= \frac{2 y ( x - y )}{3 ( x - y ) ^{2}}

= \frac{2 y}{3 ( x - y )}

Vậy kết quả rút gọn đúng bằng vế phải, khẳng định đúng.

3Cách 3. Thay một giá trị cụ thể của

x

y

để kiểm chứng

Định hướng. Chọn $x = 3$ , $y = 1$ (để $x - y \neq = 0$ ), thay vào cả hai vế để đối chiếu số.

Vế trái tại

x = 3, y = 1

\frac{30 \cdot 3 \cdot 1 ^{2} \cdot 2}{45 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 2 ^{2}} = \frac{180}{540} = \frac{1}{3}

Vế phải tại

x = 3, y = 1

\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

Hai vế bằng nhau tại giá trị thử

Vậy hai vế cho cùng giá trị, phù hợp với kết quả rút gọn ở Cách 1, Cách 2 — khẳng định đúng.

Nhận xét. Phép thử số ở Cách 3 chỉ mang tính kiểm chứng nhanh, không thay được cho việc rút gọn bằng nhân tử chung như Cách 1, Cách 2 vì thử một giá trị không chứng minh được cho MỌI $x, y$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chia một lần cho nhân tử chung lớn nhất

15 x y (x - y)

, nhanh gọn hơn hẳn việc rút gọn từng loại nhân tử ở Cách 2.

Đáp số. Khẳng định đúng:

\frac{30 x y ^{2} ( x - y )}{45 x y ( x - y ) ^{2}} = \frac{2 y}{3 ( x - y )}

Sai lầm thường gặp. Chỉ rút gọn nhân tử

(x - y)

và biến

y

mà quên rút gọn biến

x

và hệ số, cho kết quả chưa tối giản

\frac{2 x y}{3 x ( x - y )}

vẫn còn thừa

x

ở tử và mẫu — phải tiếp tục chia cho

x

mới ra đúng

\frac{2 y}{3 ( x - y )}

🚀 Mở rộng. Cùng dạng rút gọn nhiều lớp nhân tử chung, phân thức

\frac{16 a ^{2} b ( a - b ) ^{3}}{24 a b ^{2} ( a - b ) ^{2}}

cũng rút gọn theo đúng ba bước: hệ số, biến, rồi nhân tử trong ngoặc, cho kết quả

\frac{2 a ( a - b )}{3 b}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 2★Trang 9— Áp dụng quy tắc đổi dấu của phân thức

Luyện tập 2 (trang 9). Giải thích vì sao

\frac{- x}{1 - x} = \frac{x}{x - 1}

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc đổi dấu: $\frac{A}{B} = \frac{- A}{- B}$ .
Đổi dấu một đa thức là đổi dấu tất cả các hạng tử của đa thức đó.

🧠 Phân tích tư duy

Hai mẫu thức

1 - x

và

x - 1

là hai đa thức đối nhau — dấu hiệu quen thuộc để áp dụng quy tắc đổi dấu vừa nêu ở Chú ý ngay sau Luyện tập 1. Hướng đổi dấu cả tử và mẫu của một trong hai phân thức là ngắn nhất vì chỉ cần một phép biến đổi duy nhất. Bẫy là chỉ đổi dấu mẫu mà quên đổi dấu tử, làm phân thức không còn bằng phân thức ban đầu.

1Cách 1. Đổi dấu cả tử và mẫu của phân thức bên trái

Định hướng. Áp dụng quy tắc đổi dấu cho phân thức $\frac{- x}{1 - x}$ : đổi dấu cả tử $- x$ và mẫu $1 - x$ .

\frac{- x}{1 - x} = \frac{- ( - x )}{- ( 1 - x )}

= \frac{x}{x - 1}

Vậy $\frac{- x}{1 - x} = \frac{x}{x - 1}$ .

2Cách 2. Nhân cả tử và mẫu với

- 1

(dùng tính chất cơ bản)

Định hướng. Coi việc đổi dấu là nhân cả tử và mẫu với đa thức $M = - 1$ (khác đa thức $0$ ), áp dụng đúng tính chất cơ bản thứ nhất.

\frac{- x}{1 - x} = \frac{( - x ) \cdot ( - 1 )}{( 1 - x ) \cdot ( - 1 )}

= \frac{x}{x - 1}

Vậy $\frac{- x}{1 - x} = \frac{x}{x - 1}$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Quy tắc đổi dấu thực chất là một trường hợp riêng của tính chất cơ bản khi $M = - 1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: áp thẳng quy tắc đổi dấu đã học, không cần diễn giải qua tính chất cơ bản như Cách 2.

Đáp số.

\frac{- x}{1 - x} = \frac{x}{x - 1}

vì đổi dấu cả tử và mẫu của phân thức bên trái.

Sai lầm thường gặp. Chỉ đổi dấu mẫu (

1 - x

thành

x - 1

) mà giữ nguyên tử

- x

, được phân thức sai

\frac{- x}{x - 1}

(khác dấu với phân thức đã cho). Quy tắc đổi dấu bắt buộc đổi dấu ĐỒNG THỜI cả tử và mẫu.

🚀 Mở rộng. Cùng quy tắc,

\frac{y - x}{x ^{2} - y ^{2}}

cũng bằng

\frac{x - y}{y ^{2} - x ^{2}}

vì đổi dấu cả tử và mẫu không làm thay đổi giá trị phân thức.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · HĐ3★Trang 9— Phân tích đa thức thành nhân tử để tìm nhân tử chung (chuẩn bị rút gọn)

HĐ3 (trang 9). Phân tích tử và mẫu của phân thức

\frac{2 x ^{2} + 2 x}{x ^{2} - 1}

thành nhân tử và tìm các nhân tử chung của chúng.

Kiến thức cần nhớ

Đặt nhân tử chung: $ab + a c = a (b + c)$ .
Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu đúng bước đầu tiên của quy trình rút gọn vừa nêu trong khung kiến thức: phân tích tử và mẫu thành nhân tử. Hướng đặt nhân tử chung cho tử và dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương cho mẫu là lựa chọn tự nhiên nhất vì tử có nhân tử chung

2 x

lộ rõ, còn mẫu đúng dạng

a^{2} - b^{2}

. Bẫy là phân tích mẫu nhầm sang hằng đẳng thức bình phương một hiệu.

1Cách 1. Đặt nhân tử chung cho tử, dùng hằng đẳng thức cho mẫu

Định hướng. Đặt $2 x$ làm nhân tử chung ở tử; nhận ra mẫu là hiệu hai bình phương.

2 x^{2} + 2 x = 2 x (x + 1)

x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)

Vậy tử phân tích thành $2 x (x + 1)$ , mẫu phân tích thành $(x - 1) (x + 1)$ ; nhân tử chung của chúng là $(x + 1)$ .

2Cách 2. Kiểm tra nhân tử chung bằng phép chia đa thức

Định hướng. Sau khi nghi ngờ $(x + 1)$ là nhân tử chung, chia thử tử và mẫu cho $(x + 1)$ để xác nhận cả hai đều chia hết.

(2 x^{2} + 2 x) : (x + 1) = 2 x

(dư

0

)

(x^{2} - 1) : (x + 1) = x - 1

(dư

0

)

Vậy cả tử và mẫu đều chia hết cho $(x + 1)$ , xác nhận $(x + 1)$ là nhân tử chung, khớp Cách 1.

Nhận xét. Ngoài $(x + 1)$ , tử còn có nhân tử $2 x$ nhưng mẫu không có, nên $(x + 1)$ là nhân tử chung DUY NHẤT giữa tử và mẫu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đặt nhân tử chung và áp hằng đẳng thức trực tiếp, không cần chia lại để kiểm tra như Cách 2.

Đáp số.

2 x^{2} + 2 x = 2 x (x + 1)

;

x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)

; nhân tử chung là

(x + 1)

Sai lầm thường gặp. Phân tích mẫu sai thành

(x - 1) (x - 1)

do nhớ nhầm hằng đẳng thức bình phương một hiệu thay vì hiệu hai bình phương. Phải phân biệt:

x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)

, còn

(x - 1)^{2} = x^{2} - 2 x + 1

là một biểu thức khác hẳn.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật, phân thức

\frac{3 x ^{2} + 3 x}{x ^{2} - 1}

cũng có nhân tử chung

(x + 1)

giữa tử

3 x (x + 1)

và mẫu

(x - 1) (x + 1)

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · HĐ4★Trang 9— Rút gọn phân thức bằng cách chia cho nhân tử chung

HĐ4 (trang 9). Chia cả tử và mẫu của phân thức

\frac{2 x ^{2} + 2 x}{x ^{2} - 1}

cho các nhân tử chung, ta nhận được một phân thức mới bằng phân thức đã cho nhưng đơn giản hơn.

Kiến thức cần nhớ

Tính chất cơ bản của phân thức: chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Kết quả HĐ3: $2 x^{2} + 2 x = 2 x (x + 1)$ ; $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ , nhân tử chung $(x + 1)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Nối tiếp HĐ3, đề đã có sẵn kết quả phân tích nhân tử và nhân tử chung

(x + 1)

— chỉ còn thực hiện đúng phép chia cả tử và mẫu cho nhân tử đó. Hướng chia trực tiếp trên dạng đã phân tích nhân tử là duy nhất và ngắn nhất. Bẫy là giản ước tuỳ tiện theo cảm tính thay vì chia đúng theo nhân tử đã phân tích.

1Cách 1. Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung

(x + 1)

Định hướng. Dùng kết quả phân tích ở HĐ3, chia cả tử và mẫu cho $(x + 1)$ .

\frac{2 x ^{2} + 2 x}{x ^{2} - 1} = \frac{2 x ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

= \frac{2 x ( x + 1 ) : ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 ) : ( x + 1 )}

= \frac{2 x}{x - 1}

Vậy phân thức mới, đơn giản hơn, là $\frac{2 x}{x - 1}$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng định nghĩa hai phân thức bằng nhau

Định hướng. Nhân chéo phân thức ban đầu và phân thức mới để xác nhận chúng bằng nhau.

A = 2 x^{2} + 2 x

B = x^{2} - 1

C = 2 x

D = x - 1

A D = (2 x^{2} + 2 x) (x - 1) = 2 x^{3} - 2 x

B C = (x^{2} - 1) \cdot 2 x = 2 x^{3} - 2 x

A D = B C

Vậy $\frac{2 x ^{2} + 2 x}{x ^{2} - 1} = \frac{2 x}{x - 1}$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Đây chính là ví dụ minh hoạ trực tiếp cho quy trình rút gọn phân thức được tổng kết ngay sau HĐ4.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chia thẳng cho nhân tử chung đã có sẵn từ HĐ3, không cần nhân chéo kiểm tra lại.

Đáp số.

\frac{2 x ^{2} + 2 x}{x ^{2} - 1} = \frac{2 x}{x - 1}

Sai lầm thường gặp. Giản ước phần biến giống nhau bằng mắt (thấy cả tử và mẫu đều có "chữ

x

" rồi gạch bừa) mà không chia đúng theo nhân tử

(x + 1)

đã phân tích. Phải chia cả tử và mẫu cho ĐÚNG nhân tử chung dạng nhân tử.

🚀 Mở rộng. Từ kết quả

\frac{2 x ^{2} + 2 x}{x ^{2} - 1} = \frac{2 x}{x - 1}

, thay

x = 3

vào cả hai phân thức đều cho cùng giá trị

3

, minh hoạ thêm rằng rút gọn không làm đổi giá trị của phân thức.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Luyện tập 3★★Trang 10— Rút gọn phân thức bằng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương

Luyện tập 3 (trang 10). Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu: Liệu có phân thức nào đơn giản hơn nhưng bằng phân thức

\frac{x - y}{x ^{3} - y ^{3}}

không nhỉ?

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ .
Muốn rút gọn một phân thức: phân tích tử, mẫu thành nhân tử rồi chia cho nhân tử chung.

🧠 Phân tích tư duy

Câu hỏi mở đầu đã ẩn chứa gợi ý: mẫu

x^{3} - y^{3}

có bậc cao hơn hẳn tử

x - y

— dấu hiệu mẫu chắc chắn phân tích được thành nhân tử chứa

(x - y)

. Hướng dùng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương để phân tích mẫu là duy nhất và ngắn nhất, đúng dạng hằng đẳng thức đã học ở chương II. Bẫy là chỉ nhìn tử đã tối giản rồi vội kết luận không rút gọn được nữa, trong khi phải phân tích MẪU trước.

1Cách 1. Phân tích mẫu bằng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương rồi rút gọn

Định hướng. Phân tích $x^{3} - y^{3}$ thành nhân tử chứa $(x - y)$ , rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})

\frac{x - y}{x ^{3} - y ^{3}} = \frac{x - y}{( x - y ) ( x ^{2} + x y + y ^{2} )}

= \frac{( x - y ) : ( x - y )}{( x - y ) ( x ^{2} + x y + y ^{2} ) : ( x - y )}

= \frac{1}{x ^{2} + x y + y ^{2}}

Vậy có, phân thức $\frac{1}{x ^{2} + x y + y ^{2}}$ đơn giản hơn hẳn và bằng phân thức $\frac{x - y}{x ^{3} - y ^{3}}$ đã cho.

2Cách 2. Kiểm tra bằng định nghĩa hai phân thức bằng nhau

Định hướng. Nhân chéo phân thức ban đầu với phân thức mới tìm được để xác nhận chúng bằng nhau.

A = x - y

B = x^{3} - y^{3}

C = 1

D = x^{2} + x y + y^{2}

A D = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) = x^{3} - y^{3}

B C = (x^{3} - y^{3}) \cdot 1 = x^{3} - y^{3}

A D = B C

Vậy $\frac{x - y}{x ^{3} - y ^{3}} = \frac{1}{x ^{2} + x y + y ^{2}}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thay số cụ thể để kiểm chứng

Định hướng. Chọn $x = 3$ , $y = 1$ (để $x \neq = y$ ), thay vào cả hai phân thức để đối chiếu giá trị.

Tại

x = 3, y = 1

\frac{x - y}{x ^{3} - y ^{3}} = \frac{3 - 1}{27 - 1} = \frac{2}{26} = \frac{1}{13}

\frac{1}{x ^{2} + x y + y ^{2}} = \frac{1}{9 + 3 + 1} = \frac{1}{13}

Hai giá trị bằng nhau

Vậy phép thử số xác nhận đúng $\frac{x - y}{x ^{3} - y ^{3}} = \frac{1}{x ^{2} + x y + y ^{2}}$ , khớp hai cách trên.

Nhận xét. Đây chính là câu trả lời cho tình huống mở đầu: phân thức $\frac{1}{x ^{2} + x y + y ^{2}}$ đơn giản hơn hẳn mà vẫn bằng phân thức đã cho.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phân tích mẫu bằng hằng đẳng thức rồi rút gọn thẳng, không cần kiểm tra lại bằng định nghĩa hay thử số như Cách 2, Cách 3.

Đáp số. Có;

\frac{x - y}{x ^{3} - y ^{3}} = \frac{1}{x ^{2} + x y + y ^{2}}

(với

x \neq = y

Sai lầm thường gặp. Không phân tích mẫu

x^{3} - y^{3}

mà kết luận ngay "phân thức không rút gọn được vì tử đã tối giản". Phải luôn kiểm tra khả năng phân tích nhân tử ở MẪU (bằng hằng đẳng thức nếu có dạng phù hợp) trước khi kết luận một phân thức không rút gọn được.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm,

\frac{x + y}{x ^{3} + y ^{3}}

cũng rút gọn được thành

\frac{1}{x ^{2} - x y + y ^{2}}

nhờ hằng đẳng thức tổng hai lập phương.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Tranh luận (trang 10)★★★Trang 10— Phát hiện lỗi sai khi rút gọn phân thức (nhầm số hạng cộng với nhân tử chung)

Tranh luận (trang 10). Tròn thực hiện rút gọn một phân thức như sau:

\frac{x ^{2} + 2 x}{3 x ^{3} + 2 x} = \frac{x ^{2}}{3 x ^{3}} = \frac{1}{3 x}

(Tròn đã gạch bỏ

2 x

ở cả tử và mẫu). Hỏi bạn Tròn làm đúng hay sai? Vì sao?

Kiến thức cần nhớ

Muốn rút gọn phân thức: phải phân tích tử, mẫu thành NHÂN TỬ rồi mới chia cho nhân tử chung.
Không được giản ước (gạch bỏ) một số hạng cộng giống nhau ở tử và mẫu nếu nó không phải là một nhân tử của TOÀN BỘ tử và TOÀN BỘ mẫu.

🧠 Phân tích tư duy

Bài không yêu cầu tính toán mới mà yêu cầu SOI LỖI trong một lời giải có sẵn — dấu hiệu phải đối chiếu từng bước của Tròn với đúng quy trình rút gọn (phân tích nhân tử rồi mới chia). Mấu chốt là Tròn đã "gạch bỏ"

2 x

trực tiếp như một số hạng cộng, trong khi quy tắc rút gọn chỉ cho phép chia cho NHÂN TỬ CHUNG của toàn bộ tử và toàn bộ mẫu. Bẫy là chỉ nhìn bề ngoài thấy "cùng có

2 x

" rồi cho là làm đúng.

1Cách 1. Rút gọn đúng theo quy trình rồi so sánh với kết quả của Tròn

Định hướng. Phân tích đúng nhân tử chung của tử và mẫu (đặt nhân tử chung $x$ ), rút gọn chuẩn rồi đối chiếu với kết quả $\frac{1}{3 x}$ của Tròn.

x^{2} + 2 x = x (x + 2)

3 x^{3} + 2 x = x (3 x^{2} + 2)

\frac{x ^{2} + 2 x}{3 x ^{3} + 2 x} = \frac{x ( x + 2 )}{x ( 3 x ^{2} + 2 )} = \frac{x + 2}{3 x ^{2} + 2}

Vậy kết quả rút gọn đúng là $\frac{x + 2}{3 x ^{2} + 2}$ , khác với kết quả $\frac{1}{3 x}$ của Tròn — bạn Tròn đã làm SAI.

2Cách 2. Thử một giá trị cụ thể để bác bỏ cách làm của Tròn

Định hướng. Thay một giá trị $x$ cụ thể vào phân thức ban đầu và vào kết quả $\frac{1}{3 x}$ của Tròn; nếu hai giá trị khác nhau thì Tròn sai.

Thay

x = 1

vào phân thức ban đầu:

\frac{1 ^{2} + 2 \cdot 1}{3 \cdot 1 ^{3} + 2 \cdot 1} = \frac{3}{5}

Thay

x = 1

vào kết quả của Tròn:

\frac{1}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3}

\frac{3}{5} \neq = \frac{1}{3}

Vậy hai giá trị khác nhau, chứng tỏ kết quả $\frac{1}{3 x}$ của Tròn không bằng phân thức ban đầu — bạn Tròn làm SAI.

3Cách 3. Chỉ ra đúng bản chất phép toán sai của Tròn

Định hướng. Đối chiếu thao tác "gạch $2 x$ " của Tròn với đúng định nghĩa nhân tử chung để nêu rõ vì sao thao tác đó không hợp lệ.

2 x

trong tử

x^{2} + 2 x

là một SỐ HẠNG được cộng vào

x^{2}

, không phải một NHÂN TỬ của cả tử

2 x

trong mẫu

3 x^{3} + 2 x

cũng là một số hạng được cộng vào

3 x^{3}

, không phải nhân tử của cả mẫu
Chỉ được chia cả tử và mẫu cho một nhân tử CHUNG của TOÀN BỘ tử và TOÀN BỘ mẫu (ở đây là

x

)

Vậy thao tác "gạch bỏ $2 x$ " của Tròn là sai quy tắc rút gọn phân thức; bạn Tròn làm SAI.

Nhận xét. Đây là lỗi rất hay gặp: nhầm lẫn giữa "xoá một số hạng giống nhau ở tử và mẫu" với "chia cho nhân tử chung" — chỉ thao tác thứ hai mới hợp lệ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: rút gọn đúng theo quy trình chuẩn rồi so sánh trực tiếp với kết quả sai, vừa chỉ ra Tròn sai vừa cho luôn kết quả đúng; Cách 2 (thử số) chỉ nên dùng để kiểm tra nhanh khi chưa chắc chắn.

Đáp số. Bạn Tròn làm SAI. Kết quả rút gọn đúng là

\frac{x ^{2} + 2 x}{3 x ^{3} + 2 x} = \frac{x + 2}{3 x ^{2} + 2}

, không phải

\frac{1}{3 x}

Sai lầm thường gặp. Chính là lỗi của bạn Tròn trong bài: coi

2 x

xuất hiện ở cả tử và mẫu như một nhân tử chung rồi xoá trực tiếp, trong khi

2 x

chỉ là một số hạng cộng vào

x^{2}

(ở tử) và vào

3 x^{3}

(ở mẫu). Phải đặt nhân tử chung đúng cách (

x

) rồi mới chia.

🚀 Mở rộng. Cùng kiểu lỗi, nếu ai đó rút gọn

\frac{3 + 5 x}{3 + 7 x}

bằng cách gạch bỏ

3

ở cả tử và mẫu để được

\frac{5 x}{7 x} = \frac{5}{7}

thì cũng sai hoàn toàn, vì

3

là số hạng cộng chứ không phải nhân tử chung.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Thử thách nhỏ★★★Trang 10— Tìm hệ số để hai phân thức bằng nhau

Thử thách nhỏ (trang 10). Tìm

a

sao cho hai phân thức sau bằng nhau:

\frac{- a x ^{2} - a x}{x ^{2} - 1}

và

\frac{3 x}{x - 1}

Kiến thức cần nhớ

Đặt nhân tử chung; hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
Hai phân thức cùng mẫu bằng nhau khi và chỉ khi hai tử bằng nhau (với mẫu khác đa thức $0$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Vế trái có mẫu

x^{2} - 1

bậc hai còn vế phải có mẫu

x - 1

bậc một — dấu hiệu vế trái chắc chắn rút gọn được để cùng dạng mẫu với vế phải, từ đó so sánh trực tiếp hệ số của

x

. Hướng rút gọn vế trái bằng cách đặt nhân tử chung rồi phân tích hằng đẳng thức là ngắn nhất. Bẫy là nhân chéo trực tiếp mà không rút gọn trước khiến phép tính cồng kềnh hơn nhiều.

1Cách 1. Rút gọn vế trái về cùng mẫu với vế phải rồi so sánh hệ số

Định hướng. Đặt nhân tử chung $- a x$ ở tử vế trái, phân tích mẫu bằng hằng đẳng thức, rút gọn nhân tử chung $(x + 1)$ .

- a x^{2} - a x = - a x (x + 1)

x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)

\frac{- a x ^{2} - a x}{x ^{2} - 1} = \frac{- a x ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{- a x}{x - 1}

Để

\frac{- a x}{x - 1} = \frac{3 x}{x - 1}

thì

- a x = 3 x

- a = 3

a = - 3

Vậy $a = - 3$ .

2Cách 2. Kiểm tra bằng định nghĩa hai phân thức bằng nhau (

A D = B C

)

Định hướng. Không rút gọn trước, nhân chéo trực tiếp hai phân thức đã cho rồi giải phương trình theo $a$ .

(- a x^{2} - a x) (x - 1) = 3 x (x^{2} - 1)

- a x (x + 1) (x - 1) = 3 x (x - 1) (x + 1)

- a x = 3 x

(chia cả hai vế cho

(x - 1) (x + 1)

, với

x \neq = 0, \pm 1

)

a = - 3

Vậy $a = - 3$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thay một giá trị cụ thể của

x

để tìm

a

rồi kiểm tra lại

Định hướng. Thay một giá trị $x$ hợp lệ (khác $0, \pm 1$ ) vào cả hai phân thức, tìm $a$ tương ứng rồi kiểm tra lại với một giá trị $x$ khác.

Thay

x = 2

: vế phải

= \frac{3 \cdot 2}{2 - 1} = 6

; vế trái

= \frac{- 4 a - 2 a}{4 - 1} = - 2 a

- 2 a = 6 \Rightarrow a = - 3

Kiểm tra với

x = 3

a = - 3

: vế trái

= \frac{27 + 9}{8} = \frac{9}{2}

; vế phải

= \frac{9}{2}

, khớp nhau

Vậy $a = - 3$ , khớp hai cách trên.

Nhận xét. Ba cách đều cho cùng kết quả $a = - 3$ ; Cách 1 (rút gọn trước) là cách nên dùng chính vì tránh được việc nhân chéo hai đa thức bậc ba cồng kềnh của Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: rút gọn vế trái về cùng mẫu

x - 1

với vế phải rồi so sánh hệ số của

x

, ngắn hơn hẳn việc nhân chéo hai đa thức bậc ba ở Cách 2.

Đáp số.

a = - 3

Sai lầm thường gặp. Nhân chéo mà quên rút gọn nhân tử chung

(x - 1) (x + 1)

ở hai vế, dẫn tới phải giải một phương trình bậc ba phức tạp và dễ tính sai hệ số. Nên rút gọn phân thức bậc hai về bậc một trước khi so sánh, như Cách 1.

🚀 Mở rộng. Cùng dạng bài, nếu đổi đề thành

\frac{- a x ^{2} - a x}{x ^{2} - 1}

bằng

\frac{5 x}{x - 1}

thì làm hoàn toàn tương tự, chỉ cần thay

- a = 5

để được

a = - 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · HĐ5★Trang 10— Phân tích mẫu thức thành nhân tử để chuẩn bị quy đồng

HĐ5 (trang 10). Phân tích các mẫu thức của hai phân thức đã cho thành nhân tử:

\frac{1}{2 x ^{2} + 2 x}

và

\frac{1}{3 x ^{2} - 6 x}

Kiến thức cần nhớ

Đặt nhân tử chung: $ab + a c = a (b + c)$ .
Với đa thức có hệ số, đặt luôn nhân tử chung là số nguyên lớn nhất có thể.

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu đúng bước đầu của quy trình quy đồng vừa nêu trong khung "Cách quy đồng mẫu thức nhiều phân thức" — dấu hiệu chỉ cần đặt nhân tử chung cho từng mẫu. Hướng đặt nhân tử chung

2 x

và

3 x

tương ứng là tự nhiên nhất vì cả hai mẫu đều có nhân tử

x

chung với hệ số. Bẫy là tính nhầm dấu khi đặt nhân tử chung cho mẫu thứ hai.

1Cách 1. Đặt nhân tử chung cho từng mẫu thức

Định hướng. Đặt $2 x$ làm nhân tử chung ở mẫu thứ nhất, $3 x$ làm nhân tử chung ở mẫu thứ hai.

2 x^{2} + 2 x = 2 x (x + 1)

3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)

Vậy $2 x^{2} + 2 x = 2 x (x + 1)$ và $3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng phép chia đa thức

Định hướng. Chia thử $2 x^{2} + 2 x$ cho $2 x$ và $3 x^{2} - 6 x$ cho $3 x$ để xác nhận thương đúng.

(2 x^{2} + 2 x) : 2 x = x + 1

(dư

0

)

(3 x^{2} - 6 x) : 3 x = x - 2

(dư

0

)

Vậy $2 x^{2} + 2 x = 2 x (x + 1)$ và $3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Hai kết quả này chính là nguyên liệu để chọn mẫu thức chung ở HĐ6 ngay sau đây.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đặt nhân tử chung trực tiếp, không cần chia lại để kiểm tra như Cách 2.

Đáp số.

2 x^{2} + 2 x = 2 x (x + 1)

;

3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)

Sai lầm thường gặp. Đặt nhân tử chung sai dấu cho mẫu thứ hai, viết nhầm

3 x^{2} - 6 x = 3 x (x + 2)

thay vì

3 x (x - 2)

. Kiểm tra bằng cách nhân ngược lại:

3 x (x + 2) = 3 x^{2} + 6 x \neq = 3 x^{2} - 6 x

, còn

3 x (x - 2) = 3 x^{2} - 6 x

mới đúng.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật, mẫu thức

5 x^{2} + 10 x

phân tích thành

5 x (x + 2)

, và

4 x^{2} - 8 x

phân tích thành

4 x (x - 2)

— luôn kiểm tra lại bằng cách nhân ngược để tránh sai dấu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · HĐ6★★Trang 10— Chọn mẫu thức chung từ các mẫu đã phân tích nhân tử

HĐ6 (trang 10). Chọn mẫu thức chung (MTC) của hai mẫu thức trên bằng cách lấy tích của các nhân tử được chọn như sau: – Nhân tử bằng số của MTC là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho (nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số ở MTC là BCNN của chúng); – Với mỗi luỹ thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn luỹ thừa với số mũ cao nhất.

Kiến thức cần nhớ

BCNN của các nhân tử bằng số: $B C N N (2, 3) = 6$ .
MTC = tích BCNN các hệ số với mỗi nhân tử biến xuất hiện, lấy số mũ cao nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã nêu sẵn quy tắc chọn MTC (BCNN của các hệ số, lấy luỹ thừa cao nhất của mỗi nhân tử) — chỉ cần áp dụng đúng quy tắc đó vào kết quả

2 x (x + 1)

và

3 x (x - 2)

vừa có ở HĐ5. Hướng áp trực tiếp từng phần (hệ số, biến

x

, nhân tử

(x + 1)

, nhân tử

(x - 2)

) là an toàn nhất vì tránh bỏ sót nhân tử. Bẫy là quên nhân tử

(x - 2)

chỉ xuất hiện ở một mẫu vẫn phải có mặt trong MTC.

1Cách 1. Áp trực tiếp quy tắc chọn MTC theo từng loại nhân tử

Định hướng. Lấy BCNN của hai hệ số $2$ và $3$ , rồi nhân với tất cả các nhân tử biến xuất hiện ở hai mẫu (mỗi nhân tử một lần, số mũ cao nhất).

B C N N (2, 3) = 6

Nhân tử biến xuất hiện:

x

(số mũ cao nhất

1

(x + 1)

(ở mẫu thứ nhất),

(x - 2)

(ở mẫu thứ hai)

M T C = 6 x (x + 1) (x - 2)

Vậy mẫu thức chung là $M T C = 6 x (x + 1) (x - 2)$ .

2Cách 2. Kiểm tra MTC bằng cách xác nhận từng mẫu đều chia hết MTC

Định hướng. Chia thử MTC cho từng mẫu thức ban đầu để xác nhận phép chia hết, khẳng định MTC chọn đúng.

M T C : (2 x^{2} + 2 x) = 6 x (x + 1) (x - 2) : [2 x (x + 1)] = 3 (x - 2)

(chia hết)

M T C : (3 x^{2} - 6 x) = 6 x (x + 1) (x - 2) : [3 x (x - 2)] = 2 (x + 1)

(chia hết)

Vậy cả hai mẫu thức đều chia hết MTC vừa chọn, xác nhận $M T C = 6 x (x + 1) (x - 2)$ là hợp lý.

Nhận xét. Hai thương vừa tính ở Cách 2 chính là hai nhân tử phụ, sẽ dùng ở HĐ7 ngay sau đây.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: áp trực tiếp quy tắc BCNN hệ số + lấy đủ mọi nhân tử biến, không cần kiểm tra lại bằng phép chia như Cách 2.

Đáp số.

M T C = 6 x (x + 1) (x - 2)

Sai lầm thường gặp. Chỉ lấy nhân tử

x

chung mà bỏ sót

(x + 1)

hoặc

(x - 2)

(nghĩ rằng MTC chỉ gồm nhân tử CHUNG của cả hai mẫu), cho MTC sai là

6 x

. Phải lấy TẤT CẢ nhân tử xuất hiện ở bất kỳ mẫu nào, kể cả nhân tử chỉ có ở một mẫu.

🚀 Mở rộng. Cùng quy tắc, nếu có thêm phân thức thứ ba với mẫu

4 x (x + 1)^{2}

thì MTC của cả ba mẫu sẽ là

12 x (x + 1)^{2} (x - 2)

(lấy luỹ thừa cao nhất

(x + 1)^{2}

và

B C N N (2, 3, 4) = 12

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · HĐ7★Trang 10— Tìm nhân tử phụ để chuẩn bị quy đồng

HĐ7 (trang 10). Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách lấy MTC chia cho mẫu thức đó.

Kiến thức cần nhớ

Nhân tử phụ của một mẫu thức = MTC chia cho mẫu thức đó.
MTC đã tìm ở HĐ6: $6 x (x + 1) (x - 2)$ ; hai mẫu đã phân tích ở HĐ5: $2 x (x + 1)$ và $3 x (x - 2)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu đúng phép chia MTC vừa tìm ở HĐ6 cho từng mẫu thức đã phân tích ở HĐ5 — chỉ cần thực hiện đúng phép chia đa thức. Hướng chia trực tiếp là duy nhất vì nhân tử phụ được định nghĩa chính bằng phép chia này. Bẫy là nhầm nhân tử phụ với chính mẫu thức còn lại.

1Cách 1. Chia MTC cho từng mẫu thức đã phân tích nhân tử

Định hướng. Lấy $M T C = 6 x (x + 1) (x - 2)$ chia lần lượt cho $2 x (x + 1)$ và $3 x (x - 2)$ .

6 x (x + 1) (x - 2) : [2 x (x + 1)] = 3 (x - 2)

6 x (x + 1) (x - 2) : [3 x (x - 2)] = 2 (x + 1)

Vậy nhân tử phụ của $2 x^{2} + 2 x$ là $3 (x - 2)$ , nhân tử phụ của $3 x^{2} - 6 x$ là $2 (x + 1)$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng cách nhân mẫu thức với nhân tử phụ để ra đúng MTC

Định hướng. Nhân ngược mỗi mẫu thức với nhân tử phụ vừa tìm, kết quả phải đúng bằng MTC.

[2 x (x + 1)] \cdot 3 (x - 2) = 6 x (x + 1) (x - 2) = M T C

[3 x (x - 2)] \cdot 2 (x + 1) = 6 x (x + 1) (x - 2) = M T C

Vậy cả hai phép nhân đều cho đúng $M T C$ , xác nhận hai nhân tử phụ tìm được ở Cách 1 là đúng.

Nhận xét. Hai nhân tử phụ này chính là thứ cần nhân vào tử và mẫu của mỗi phân thức ở HĐ8 để hoàn tất việc quy đồng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chia trực tiếp MTC cho từng mẫu đã phân tích nhân tử, không cần nhân ngược kiểm tra như Cách 2.

Đáp số. Nhân tử phụ của

2 x^{2} + 2 x

là

3 (x - 2)

; nhân tử phụ của

3 x^{2} - 6 x

là

2 (x + 1)

Sai lầm thường gặp. Nhầm lẫn nhân tử phụ với chính mẫu thức còn lại, viết nhân tử phụ của

2 x (x + 1)

là

3 x (x - 2)

(toàn bộ mẫu kia) thay vì

3 (x - 2)

. Phải chia MTC cho ĐÚNG mẫu thức tương ứng để ra nhân tử phụ.

🚀 Mở rộng. Nếu MTC là

12 x (x + 1)^{2} (x - 2)

(như ở phần mở rộng của HĐ6) thì nhân tử phụ của mẫu

2 x (x + 1)

sẽ là

6 (x + 1) (x - 2)

, tính theo đúng cùng quy tắc chia MTC cho mẫu thức.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · HĐ8★★Trang 10— Hoàn tất quy đồng mẫu thức bằng cách nhân với nhân tử phụ

HĐ8 (trang 10). Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng, ta được các phân thức có mẫu thức là MTC đã chọn.

Kiến thức cần nhớ

Tính chất cơ bản của phân thức: nhân cả tử và mẫu với cùng một đa thức khác đa thức $0$ .
Nhân tử phụ đã tìm ở HĐ7: $3 (x - 2)$ và $2 (x + 1)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đây là bước cuối của quy trình quy đồng, nối tiếp trực tiếp kết quả nhân tử phụ vừa tìm ở HĐ7 — chỉ cần nhân đúng cả tử và mẫu của từng phân thức với nhân tử phụ tương ứng. Hướng nhân trực tiếp trên dạng mẫu đã phân tích nhân tử là ngắn nhất vì không cần khai triển lại từ đầu. Bẫy là chỉ nhân mẫu mà quên nhân tử, làm phân thức bị đổi giá trị.

1Cách 1. Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng

Định hướng. Nhân tử và mẫu của $\frac{1}{2 x ^{2} + 2 x}$ với $3 (x - 2)$ ; nhân tử và mẫu của $\frac{1}{3 x ^{2} - 6 x}$ với $2 (x + 1)$ .

\frac{1}{2 x ^{2} + 2 x} = \frac{1}{2 x ( x + 1 )} = \frac{1 \cdot 3 ( x - 2 )}{2 x ( x + 1 ) \cdot 3 ( x - 2 )} = \frac{3 ( x - 2 )}{6 x ( x + 1 ) ( x - 2 )}

\frac{1}{3 x ^{2} - 6 x} = \frac{1}{3 x ( x - 2 )} = \frac{1 \cdot 2 ( x + 1 )}{3 x ( x - 2 ) \cdot 2 ( x + 1 )} = \frac{2 ( x + 1 )}{6 x ( x + 1 ) ( x - 2 )}

Vậy hai phân thức sau khi quy đồng là $\frac{3 ( x - 2 )}{6 x ( x + 1 ) ( x - 2 )}$ và $\frac{2 ( x + 1 )}{6 x ( x + 1 ) ( x - 2 )}$ , cùng mẫu thức chung $6 x (x + 1) (x - 2)$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng cách rút gọn ngược mỗi phân thức mới

Định hướng. Rút gọn ngược hai phân thức vừa quy đồng (chia cho đúng nhân tử phụ) để xác nhận chúng quay lại đúng hai phân thức ban đầu.

\frac{3 ( x - 2 )}{6 x ( x + 1 ) ( x - 2 )} = \frac{1}{2 x ( x + 1 )} = \frac{1}{2 x ^{2} + 2 x}

\frac{2 ( x + 1 )}{6 x ( x + 1 ) ( x - 2 )} = \frac{1}{3 x ( x - 2 )} = \frac{1}{3 x ^{2} - 6 x}

Vậy rút gọn ngược cho đúng hai phân thức ban đầu, xác nhận bước quy đồng ở Cách 1 là đúng.

Nhận xét. Bốn hoạt động HĐ5 đến HĐ8 chính là bốn bước của quy trình quy đồng mẫu thức nhiều phân thức được tổng kết ngay sau đó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhân thẳng tử và mẫu với nhân tử phụ đã có sẵn từ HĐ7, không cần rút gọn ngược kiểm tra như Cách 2.

Đáp số.

\frac{1}{2 x ^{2} + 2 x} = \frac{3 ( x - 2 )}{6 x ( x + 1 ) ( x - 2 )}

;

\frac{1}{3 x ^{2} - 6 x} = \frac{2 ( x + 1 )}{6 x ( x + 1 ) ( x - 2 )}

Sai lầm thường gặp. Chỉ nhân mẫu với nhân tử phụ mà quên nhân tử (giữ nguyên tử là

1

thay vì nhân thành

3 (x - 2)

hoặc

2 (x + 1)

), làm phân thức mới không còn bằng phân thức ban đầu. Tính chất cơ bản đòi hỏi nhân ĐỒNG THỜI cả tử và mẫu với cùng một đa thức.

🚀 Mở rộng. Cùng quy trình bốn bước (phân tích mẫu, chọn MTC, tìm nhân tử phụ, nhân với nhân tử phụ), có thể quy đồng được bất kỳ nhóm phân thức nào miễn mẫu thức phân tích được thành nhân tử.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Luyện tập 4★★Trang 11— Quy đồng mẫu thức hai phân thức có mẫu là hằng đẳng thức

Luyện tập 4 (trang 11). Quy đồng mẫu thức hai phân thức

\frac{1}{3 x ^{2} - 3}

và

\frac{1}{x ^{3} - 1}

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương và hiệu hai lập phương.
Quy trình bốn bước quy đồng mẫu thức nhiều phân thức đã học ở HĐ5–HĐ8.

🧠 Phân tích tư duy

Hai mẫu thức có dạng khác nhau về bậc (bậc hai và bậc ba) nhưng đều đưa được về nhân tử chứa

(x - 1)

— dấu hiệu cần phân tích cả hai bằng hằng đẳng thức trước khi chọn MTC, giống hệt Ví dụ 3 vừa học. Hướng phân tích

3 x^{2} - 3

bằng đặt nhân tử chung rồi hiệu hai bình phương, và

x^{3} - 1

bằng hiệu hai lập phương là chuẩn xác nhất. Bẫy là quên nhân tử

3

ở mẫu thứ nhất khi chọn MTC.

1Cách 1. Phân tích cả hai mẫu, chọn MTC rồi nhân với nhân tử phụ

Định hướng. Phân tích $3 x^{2} - 3$ và $x^{3} - 1$ thành nhân tử, chọn MTC theo đúng quy tắc rồi tìm nhân tử phụ.

3 x^{2} - 3 = 3 (x^{2} - 1) = 3 (x - 1) (x + 1)

x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)

M T C = 3 (x - 1) (x + 1) (x^{2} + x + 1)

Nhân tử phụ của

3 (x - 1) (x + 1)

là

x^{2} + x + 1

Nhân tử phụ của

(x - 1) (x^{2} + x + 1)

là

3 (x + 1)

\frac{1}{3 x ^{2} - 3} = \frac{x ^{2} + x + 1}{3 ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )}

\frac{1}{x ^{3} - 1} = \frac{3 ( x + 1 )}{3 ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )}

Vậy hai phân thức sau khi quy đồng là $\frac{x ^{2} + x + 1}{3 ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )}$ và $\frac{3 ( x + 1 )}{3 ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )}$ .

2Cách 2. Quy đồng bằng cách nhân chéo mẫu thức (không cần tìm nhân tử chung nhỏ nhất)

Định hướng. Nhân tử và mẫu của phân thức này với mẫu của phân thức kia — cách làm luôn đúng dù không tối ưu.

\frac{1}{3 x ^{2} - 3} = \frac{x ^{3} - 1}{( 3 x ^{2} - 3 ) ( x ^{3} - 1 )}

\frac{1}{x ^{3} - 1} = \frac{3 x ^{2} - 3}{( 3 x ^{2} - 3 ) ( x ^{3} - 1 )}

Vậy hai phân thức có mẫu chung là $(3 x^{2} - 3) (x^{3} - 1)$ ; đây cũng là một cách quy đồng hợp lệ, tuy mẫu thức chưa tối giản bằng Cách 1.

Nhận xét. Mẫu thức chung ở Cách 2 có thêm một nhân tử $(x - 1)$ thừa so với MTC tối giản ở Cách 1 — Cách 1 mới là cách quy đồng chuẩn theo đúng quy tắc của bài học.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phân tích nhân tử rồi chọn đúng MTC tối giản, cho kết quả gọn nhất; tránh dùng Cách 2 vì mẫu thức chung không tối giản, dễ bị trừ điểm trình bày.

Đáp số.

\frac{1}{3 x ^{2} - 3} = \frac{x ^{2} + x + 1}{3 ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )}

;

\frac{1}{x ^{3} - 1} = \frac{3 ( x + 1 )}{3 ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )}

Sai lầm thường gặp. Chọn MTC thiếu hệ số

3

, viết nhầm

M T C = (x - 1) (x + 1) (x^{2} + x + 1)

(bỏ sót nhân tử bằng số

3

ở mẫu thứ nhất). Nếu thiếu hệ số này, phân thức thứ nhất sau khi quy đồng sẽ không rút gọn về đúng phân thức ban đầu.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật, quy đồng

\frac{1}{2 x ^{2} - 2}

và

\frac{1}{x ^{3} + 1}

cũng cần phân tích

2 x^{2} - 2 = 2 (x - 1) (x + 1)

và

x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1)

rồi chọn

M T C = 2 (x - 1) (x + 1) (x^{2} - x + 1)

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Tranh luận (trang 11)★★★Trang 11— So sánh hai cách chọn mẫu thức chung khi hai mẫu là hai đa thức đối nhau

Tranh luận (trang 11). Hai bạn tranh luận về mẫu thức chung của hai phân thức

\frac{5}{x - 1}

và

\frac{x}{1 - x}

. Một bạn nói: "Hai phân thức

\frac{5}{x - 1}

và

\frac{x}{1 - x}

có MTC là

x - 1

." Bạn còn lại nói: "Không đúng, MTC là

(x - 1) (1 - x)

chứ!" Theo em, bạn nào chọn MTC hợp lí hơn? Vì sao?

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc đổi dấu: $\frac{A}{B} = \frac{- A}{- B}$ .
MTC nên chọn nhân tử ít và gọn nhất có thể, không nhân thêm nhân tử thừa không cần thiết.

🧠 Phân tích tư duy

Hai mẫu thức

x - 1

và

1 - x

là hai đa thức ĐỐI NHAU (

1 - x = - (x - 1)

) chứ không phải hai đa thức độc lập — dấu hiệu cần áp dụng quy tắc đổi dấu đã học ở mục 1 trước khi chọn MTC. Hướng đổi dấu một mẫu về cùng dạng với mẫu kia rồi mới quy đồng là cách tối ưu, tránh nhân thêm một nhân tử thừa. Bẫy là áp máy móc "lấy tích các mẫu" như khi hai mẫu thật sự độc lập.

1Cách 1. Đổi dấu một mẫu để đưa về cùng dạng rồi chỉ ra MTC gọn nhất

Định hướng. Đổi dấu cả tử và mẫu của phân thức thứ hai để mẫu trở thành $x - 1$ , từ đó thấy MTC chỉ cần là $x - 1$ .

\frac{x}{1 - x} = \frac{- x}{- ( 1 - x )} = \frac{- x}{x - 1}

Sau khi đổi dấu, cả hai phân thức đều có mẫu là

x - 1

Vậy bạn chọn $M T C = x - 1$ có lí hơn.

2Cách 2. Chỉ ra

(x - 1) (1 - x)

là một MTC hợp lệ nhưng THỪA nhân tử

Định hướng. Kiểm tra xem $(x - 1) (1 - x)$ có đúng là một mẫu chung hay không, rồi so sánh độ gọn với $x - 1$ .

(x - 1) (1 - x) = - (x - 1)^{2}

, cả

x - 1

và

1 - x

đều là ước của nó nên về lý thuyết vẫn dùng được làm mẫu chung
Nhưng

x - 1

(sau khi đổi dấu một phân thức) đã đủ làm mẫu chung cho cả hai phân thức, không cần nhân tử

(1 - x)

thừa ra

Vậy $(x - 1) (1 - x)$ không sai về mặt tính là mẫu chung, nhưng không phải lựa chọn hợp lí nhất; bạn chọn $M T C = x - 1$ mới đúng tinh thần "chọn mẫu thức chung gọn nhất".

Nhận xét. Khi hai mẫu thức là hai đa thức ĐỐI NHAU, luôn đổi dấu một phân thức trước để đưa về CÙNG một mẫu, không nên nhân trực tiếp hai mẫu với nhau như khi chúng độc lập.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đổi dấu một mẫu để nhận ra ngay MTC gọn nhất là

x - 1

, không cần phân tích thêm về nhân tử thừa như Cách 2.

Đáp số. Bạn chọn

M T C = x - 1

hợp lí hơn, vì

1 - x = - (x - 1)

nên chỉ cần đổi dấu một phân thức là quy đồng được, không cần nhân thêm nhân tử

(1 - x)

Sai lầm thường gặp. Thấy mẫu "trông khác nhau" (

x - 1

và

1 - x

) rồi áp máy móc quy tắc "MTC là tích các mẫu" như hai đa thức độc lập, cho

M T C = (x - 1) (1 - x)

dư một nhân tử. Phải luôn kiểm tra hai mẫu có phải là hai đa thức đối nhau hay không trước khi chọn MTC.

🚀 Mở rộng. Cùng tình huống, hai phân thức

\frac{2}{3 - x}

và

\frac{5}{x - 3}

cũng chỉ cần MTC là

x - 3

(đổi dấu phân thức thứ nhất), không cần MTC

(3 - x) (x - 3)

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · Bài 6.7★★Trang 11— Giải thích đẳng thức phân thức bằng tính chất cơ bản (rút gọn và đổi dấu)

Bài 6.7 (trang 11). Dùng tính chất cơ bản của phân thức, giải thích vì sao các kết luận sau đúng. a)

\frac{( x - 2 ) ^{3}}{x ^{2} - 2 x} = \frac{( x - 2 ) ^{2}}{x}

; b)

\frac{1 - x}{- 5 x + 1} = \frac{x - 1}{5 x - 1}

Kiến thức cần nhớ

Tính chất cơ bản của phân thức: chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Quy tắc đổi dấu: $\frac{A}{B} = \frac{- A}{- B}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai câu khai thác đúng hai tính chất vừa học ở mục 1: câu a) là rút gọn bằng nhân tử chung, câu b) là đổi dấu cả tử và mẫu — dấu hiệu chọn đúng công cụ cho từng câu thay vì áp chung một cách. Hướng phân tích mẫu

x^{2} - 2 x = x (x - 2)

cho câu a) và nhận diện

- 5 x + 1 = - (5 x - 1)

cho câu b) là ngắn nhất. Bẫy hay gặp ở câu b) là quên đổi dấu ĐỒNG THỜI cả tử và mẫu, chỉ đổi một bên.

1Cách 1. Rút gọn/đổi dấu trực tiếp để chứng minh từng câu

Định hướng. Câu a) phân tích mẫu để tìm nhân tử chung rồi chia; câu b) đổi dấu cả tử và mẫu của một vế.

x^{2} - 2 x = x (x - 2)

\frac{( x - 2 ) ^{3}}{x ^{2} - 2 x} = \frac{( x - 2 ) ^{3}}{x ( x - 2 )} = \frac{( x - 2 ) ^{3} : ( x - 2 )}{x ( x - 2 ) : ( x - 2 )} = \frac{( x - 2 ) ^{2}}{x}

\frac{1 - x}{- 5 x + 1} = \frac{- ( 1 - x )}{- ( - 5 x + 1 )} = \frac{x - 1}{5 x - 1}

Vậy cả hai kết luận đều đúng theo tính chất cơ bản của phân thức.

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng định nghĩa hai phân thức bằng nhau (

A D = B C

)

Định hướng. Nhân chéo hai vế của mỗi câu để xác nhận bằng định nghĩa, không cần rút gọn hay đổi dấu trước.

A = (x - 2)^{3}

B = x^{2} - 2 x

C = (x - 2)^{2}

D = x

A D = (x - 2)^{3} \cdot x

;

B C = x (x - 2) (x - 2)^{2} = x (x - 2)^{3}

;

A D = B C

A = 1 - x

B = - 5 x + 1

C = x - 1

D = 5 x - 1

A D = (1 - x) (5 x - 1) = - 5 x^{2} + 6 x - 1

B C = (- 5 x + 1) (x - 1) = - 5 x^{2} + 6 x - 1

A D = B C

Vậy cả hai đẳng thức đều đúng theo định nghĩa hai phân thức bằng nhau, khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 (rút gọn/đổi dấu) cho thấy RÕ BẢN CHẤT vì sao hai phân thức bằng nhau, còn Cách 2 chỉ xác nhận kết quả bằng tính toán, không giải thích được "vì sao" như đề yêu cầu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ ra đúng tính chất cơ bản (rút gọn cho câu a, đổi dấu cho câu b) — đây mới đúng trọng tâm "giải thích vì sao" mà đề yêu cầu; Cách 2 chỉ nên dùng để kiểm tra lại kết quả.

Đáp số. a) Đúng, vì

\frac{( x - 2 ) ^{3}}{x ^{2} - 2 x} = \frac{( x - 2 ) ^{3}}{x ( x - 2 )} = \frac{( x - 2 ) ^{2}}{x}

(chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung

x - 2

). b) Đúng, vì

\frac{1 - x}{- 5 x + 1} = \frac{x - 1}{5 x - 1}

(đổi dấu cả tử và mẫu).

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), chỉ đổi dấu mẫu (

- 5 x + 1

thành

5 x - 1

) mà giữ nguyên tử

1 - x

, được kết luận sai

\frac{1 - x}{5 x - 1}

(khác dấu với vế phải đúng). Quy tắc đổi dấu bắt buộc đổi ĐỒNG THỜI cả tử và mẫu.

🚀 Mở rộng. Cùng hai kĩ thuật này,

\frac{( x + 3 ) ^{2}}{x ^{2} + 3 x} = \frac{x + 3}{x}

(rút gọn) và

\frac{2 - x}{x - 5} = \frac{x - 2}{5 - x}

(đổi dấu) cũng được giải thích theo đúng hai tính chất cơ bản của phân thức.

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · Bài 6.8★Trang 12— Tìm đa thức còn thiếu bằng quy tắc đổi dấu

Bài 6.8 (trang 12). Tìm đa thức thích hợp thay cho dấu "?".

\frac{y - x}{4 - x} = \frac{?}{x - 4}

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc đổi dấu: $\frac{A}{B} = \frac{- A}{- B}$ .
Đổi dấu một đa thức là đổi dấu tất cả các hạng tử của đa thức đó.

🧠 Phân tích tư duy

Mẫu thức bên phải

x - 4

chính là đa thức đối của mẫu bên trái

4 - x

— dấu hiệu quen thuộc để áp quy tắc đổi dấu: khi mẫu đổi dấu thì tử cũng phải đổi dấu theo. Hướng đổi dấu trực tiếp cả tử và mẫu của vế trái là ngắn nhất. Bẫy là chỉ đổi dấu mẫu mà quên đổi dấu tử tương ứng, điền nhầm

? = y - x

1Cách 1. Đổi dấu cả tử và mẫu của vế trái

Định hướng. Vì mẫu đã đổi dấu ( $4 - x \to x - 4 = - (4 - x)$ ), tử cũng phải đổi dấu theo đúng quy tắc.

\frac{y - x}{4 - x} = \frac{- ( y - x )}{- ( 4 - x )} = \frac{x - y}{x - 4}

Vậy $? = x - y$ .

2Cách 2. Kiểm tra bằng định nghĩa hai phân thức bằng nhau

Định hướng. Giả sử $? = P$ , nhân chéo hai vế rồi giải ra $P$ .

(y - x) (x - 4) = P (4 - x)

(y - x) (x - 4) = - (y - x) (4 - x)

(vì

x - 4 = - (4 - x)

)

P (4 - x) = - (y - x) (4 - x)

P = - (y - x) = x - y

(chia cả hai vế cho

4 - x \neq = 0

)

Vậy $? = x - y$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Kết quả $x - y$ chính là đa thức đối của $y - x$ , đúng như quy tắc: mẫu đổi dấu thì tử cũng phải đổi dấu để phân thức không đổi giá trị.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: áp thẳng quy tắc đổi dấu, không cần lập phương trình như Cách 2.

Đáp số.

? = x - y

Sai lầm thường gặp. Chỉ đổi dấu mẫu theo đúng đề cho (

4 - x \to x - 4

) mà giữ nguyên tử, điền nhầm

? = y - x

. Quy tắc đổi dấu bắt buộc đổi dấu ĐỒNG THỜI cả tử và mẫu, nên tử cũng phải đổi từ

y - x

thành

x - y

🚀 Mở rộng. Cùng quy tắc,

\frac{a - b}{7 - a} = \frac{?}{a - 7}

cũng cho

? = b - a

, theo đúng nguyên tắc "mẫu đổi dấu thì tử đổi dấu theo".

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · Bài 6.9★★★Trang 12— Rút gọn phân thức bằng đặt nhân tử chung, đổi dấu và hằng đẳng thức

Bài 6.9 (trang 12). Rút gọn các phân thức sau: a)

\frac{5 x + 10}{25 x ^{2} + 50}

; b)

\frac{45 x ( 3 - x )}{15 x ( x - 3 ) ^{3}}

; c)

\frac{( x ^{2} - 1 ) ^{2}}{( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )}

Kiến thức cần nhớ

Đặt nhân tử chung; hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ , tổng hai lập phương $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ .
Quy tắc đổi dấu khi hai nhân tử đối nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Ba câu tăng dần độ khó: câu a) chỉ cần đặt nhân tử chung đơn giản, câu b) cần thêm bước đổi dấu vì

(3 - x)

và

(x - 3)

đối nhau, câu c) cần hai hằng đẳng thức (hiệu hai bình phương và tổng hai lập phương) — dấu hiệu chọn đúng công cụ cho từng câu theo đúng thứ tự độ khó tăng dần. Hướng phân tích triệt để cả tử và mẫu trước khi rút gọn là an toàn nhất cho cả ba câu. Bẫy lớn nhất ở câu a) là dừng lại quá sớm, tưởng

x + 2

và

x^{2} + 2

không còn gì chung nên không rút gọn được nữa trong khi vẫn rút gọn được hệ số.

1Cách 1. Rút gọn từng câu bằng đúng công cụ tương ứng

Định hướng. Câu a) đặt nhân tử chung ở cả tử và mẫu; câu b) đổi dấu $(3 - x)$ thành $- (x - 3)$ trước rồi rút gọn; câu c) phân tích cả tử và mẫu bằng hằng đẳng thức rồi rút gọn.

\frac{5 x + 10}{25 x ^{2} + 50} = \frac{5 ( x + 2 )}{25 ( x ^{2} + 2 )} = \frac{x + 2}{5 ( x ^{2} + 2 )}

45 x (3 - x) = - 45 x (x - 3)

\frac{45 x ( 3 - x )}{15 x ( x - 3 ) ^{3}} = \frac{- 45 x ( x - 3 )}{15 x ( x - 3 ) ^{3}} = \frac{- 3}{( x - 3 ) ^{2}}

(x^{2} - 1)^{2} = (x - 1)^{2} (x + 1)^{2}

x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1)

\frac{( x ^{2} - 1 ) ^{2}}{( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )} = \frac{( x - 1 ) ^{2} ( x + 1 ) ^{2}}{( x + 1 ) ( x + 1 ) ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x ^{2} - x + 1}

Vậy a) $\frac{x + 2}{5 ( x ^{2} + 2 )}$ ; b) $\frac{- 3}{( x - 3 ) ^{2}}$ ; c) $\frac{( x - 1 ) ^{2}}{x ^{2} - x + 1}$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại từng kết quả bằng cách thay một giá trị cụ thể

Định hướng. Thay một giá trị $x$ vào cả phân thức gốc và kết quả rút gọn của từng câu để đối chiếu.

a) Tại

x = 2

: gốc

= \frac{20}{150} = \frac{2}{15}

; kết quả

= \frac{4}{30} = \frac{2}{15}

, khớp
b) Tại

x = 1

: gốc

= \frac{90}{- 120} = - \frac{3}{4}

; kết quả

= \frac{- 3}{4} = - \frac{3}{4}

, khớp
c) Tại

x = 2

: gốc

= \frac{9}{27} = \frac{1}{3}

; kết quả

= \frac{1}{3}

, khớp

Vậy cả ba kết quả rút gọn ở Cách 1 đều được xác nhận đúng qua phép thử số.

Nhận xét. Câu b) là bài học quan trọng về đổi dấu: nếu không đổi dấu $(3 - x)$ thành $- (x - 3)$ trước, học sinh dễ kết luận nhầm tử và mẫu không có nhân tử chung.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phân tích nhân tử rồi rút gọn thẳng theo đúng công cụ của từng câu, không cần thử số kiểm tra lại như Cách 2 (trừ khi còn nghi ngờ).

Đáp số. a)

\frac{x + 2}{5 ( x ^{2} + 2 )}

; b)

\frac{- 3}{( x - 3 ) ^{2}}

; c)

\frac{( x - 1 ) ^{2}}{x ^{2} - x + 1}

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), quên đổi dấu

(3 - x)

trước khi rút gọn, cố gắng chia trực tiếp

(3 - x)

cho

(x - 3)^{3}

và kết luận sai là "không rút gọn được vì không có nhân tử chung". Phải nhận ra

3 - x = - (x - 3)

là hai đa thức đối nhau rồi mới rút gọn được.

🚀 Mở rộng. Câu c) có thể tổng quát: với mọi

x \neq = - 1, 1

\frac{( x ^{2} - 1 ) ^{2}}{( x + 1 ) ( x ^{3} + 1 )}

luôn rút gọn về

\frac{( x - 1 ) ^{2}}{x ^{2} - x + 1}

nhờ đúng hai hằng đẳng thức hiệu hai bình phương và tổng hai lập phương — kĩ năng nền cho các bài rút gọn phức tạp hơn ở Bài 23, 24.

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · Bài 6.10★★Trang 12— Rút gọn phân thức rồi so sánh giá trị tại một điểm

Bài 6.10 (trang 12). Cho phân thức

P = \frac{x + 1}{x ^{2} - 1}

. a) Rút gọn phân thức đã cho, kí hiệu

Q

là phân thức nhận được. b) Tính giá trị của

P

và

Q

tại

x = 11

. So sánh hai kết quả đó.

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ .
Phân thức rút gọn và phân thức ban đầu có cùng giá trị tại mọi $x$ thoả mãn điều kiện xác định.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) là rút gọn quen thuộc bằng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương; câu b) kiểm chứng bằng số cụ thể rằng phân thức rút gọn có cùng giá trị với phân thức ban đầu tại điểm mà cả hai đều xác định — dấu hiệu của việc củng cố ý nghĩa "rút gọn không làm đổi giá trị phân thức". Hướng rút gọn trước rồi thay số vào cả hai biểu thức là tự nhiên và đúng thứ tự đề yêu cầu. Bẫy là quên kiểm tra

x = 11

có thoả mãn điều kiện xác định (

x \neq = \pm 1

) hay không trước khi thay số.

1Cách 1. Rút gọn

P

rồi thay số vào cả

P

và

Q

Định hướng. Phân tích mẫu $x^{2} - 1$ thành nhân tử để tìm nhân tử chung với tử, rút gọn ra $Q$ , rồi thay $x = 11$ vào cả hai.

P = \frac{x + 1}{x ^{2} - 1} = \frac{x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{1}{x - 1} = Q

Tại

x = 11

P = \frac{12}{120} = \frac{1}{10}

Q = \frac{1}{10}

Vậy $Q = \frac{1}{x - 1}$ ; tại $x = 11$ , $P = Q = \frac{1}{10}$ — hai kết quả bằng nhau.

2Cách 2. Tính trực tiếp

P

tại

x = 11

trước, rồi kiểm chứng bằng

Q

Định hướng. Không rút gọn trước, thay $x = 11$ trực tiếp vào $P$ để tính, sau đó rút gọn $P$ thành $Q$ và thay số để đối chiếu.

Thay

x = 11

vào

P = \frac{x + 1}{x ^{2} - 1}

P = \frac{12}{121 - 1} = \frac{12}{120} = \frac{1}{10}

Rút gọn:

Q = \frac{x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{1}{x - 1}

Thay

x = 11

vào

Q

Q = \frac{1}{10}

Vậy $P = Q = \frac{1}{10}$ tại $x = 11$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Hai kết quả bằng nhau vì $Q$ là phân thức rút gọn từ $P$ — hai phân thức bằng nhau thì luôn cho cùng giá trị tại mọi $x$ thuộc điều kiện xác định chung, ở đây $x = 11$ thoả mãn $x \neq = \pm 1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: rút gọn

P

thành

Q

trước rồi thay

x = 11

vào

Q

(mẫu chỉ còn

x - 1

, tính nhẩm nhanh hơn hẳn việc thay trực tiếp vào

P

có mẫu

x^{2} - 1

như Cách 2).

Đáp số.

Q = \frac{1}{x - 1}

;

P (11) = Q (11) = \frac{1}{10}

, hai kết quả bằng nhau.

Sai lầm thường gặp. Thay

x = 11

vào

P

mà tính nhầm

1 1^{2} - 1 = 110

(nhầm thành

11 \times 10

thay vì

121 - 1

), dẫn tới

P = \frac{12}{110}

sai. Phải tính đúng luỹ thừa trước:

1 1^{2} = 121

, rồi mới trừ

1

để được

120

🚀 Mở rộng. Với phân thức

P = \frac{x + 1}{x ^{2} - 1} = \frac{1}{x - 1}

, giá trị

P

luôn giảm dần về

0

khi

x

càng lớn, một tính chất sẽ hữu ích khi học đồ thị hàm số phân thức ở lớp trên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · Bài 6.11★★★Trang 12— Tìm hệ số để hai phân thức bằng nhau (có nhân tử đối nhau)

Bài 6.11 (trang 12). Tìm

a

sao cho hai phân thức sau bằng nhau:

\frac{5 x}{x + 1}

và

\frac{a x ( x - 1 )}{( 1 - x ) ( x + 1 )}

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc đổi dấu: $1 - x = - (x - 1)$ .
Hai phân thức cùng mẫu bằng nhau khi và chỉ khi hai tử bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Mẫu của phân thức thứ hai chứa nhân tử

(1 - x)

là đối của

(x - 1)

ở tử — dấu hiệu cần đổi dấu để rút gọn phân thức thứ hai về dạng đơn giản trước khi so sánh, tương tự kĩ thuật vừa luyện ở Tranh luận thứ hai. Hướng đổi dấu

(1 - x) = - (x - 1)

rồi rút gọn nhân tử

(x - 1)

là ngắn nhất. Bẫy là nhân chéo trực tiếp mà không đổi dấu trước, dẫn đến phương trình bậc ba phức tạp và dễ sai dấu.

1Cách 1. Rút gọn vế phải về cùng mẫu với vế trái rồi so sánh hệ số

Định hướng. Đổi dấu $(1 - x)$ thành $- (x - 1)$ ở mẫu vế phải, rút gọn nhân tử chung $(x - 1)$ , đưa về cùng mẫu $x + 1$ với vế trái.

\frac{a x ( x - 1 )}{( 1 - x ) ( x + 1 )} = \frac{a x ( x - 1 )}{- ( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{- a x}{x + 1}

Để

\frac{5 x}{x + 1} = \frac{- a x}{x + 1}

thì

5 x = - a x

- a = 5

a = - 5

Vậy $a = - 5$ .

2Cách 2. Kiểm tra bằng định nghĩa hai phân thức bằng nhau (

A D = B C

)

Định hướng. Nhân chéo trực tiếp hai phân thức đã cho (không rút gọn trước) rồi giải phương trình theo $a$ .

5 x \cdot (1 - x) (x + 1) = a x (x - 1) (x + 1)

5 x (1 - x) (x + 1) = - 5 x (x - 1) (x + 1)

(vì

1 - x = - (x - 1)

)

- 5 x (x - 1) (x + 1) = a x (x - 1) (x + 1)

a = - 5

(chia cả hai vế cho

x (x - 1) (x + 1)

, với

x \neq = 0, \pm 1

)

Vậy $a = - 5$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thay một giá trị cụ thể của

x

để tìm

a

rồi kiểm tra lại

Định hướng. Thay một giá trị $x$ hợp lệ vào cả hai phân thức, tìm $a$ tương ứng rồi kiểm tra lại bằng một giá trị $x$ khác.

Thay

x = 2

: vế trái

= \frac{10}{3}

; vế phải

= \frac{2 a}{- 3}

\frac{10}{3} = \frac{- 2 a}{3} \Rightarrow 10 = - 2 a \Rightarrow a = - 5

Kiểm tra với

x = 3

a = - 5

: vế trái

= \frac{15}{4}

; vế phải

= \frac{- 30}{- 8} = \frac{15}{4}

, khớp nhau

Vậy $a = - 5$ , khớp hai cách trên.

Nhận xét. Ba cách đều cho $a = - 5$ ; Cách 1 (đổi dấu rồi rút gọn trước) là cách nên dùng chính vì tránh nhân chéo hai đa thức bậc ba của Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đổi dấu

(1 - x)

thành

- (x - 1)

rồi rút gọn về cùng mẫu với vế trái, ngắn gọn hơn hẳn việc nhân chéo ở Cách 2.

Đáp số.

a = - 5

Sai lầm thường gặp. Nhân chéo trực tiếp mà quên đổi dấu

(1 - x)

thành

- (x - 1)

trước, dẫn tới nhầm dấu khi khai triển và có thể ra kết quả sai

a = 5

(thiếu dấu trừ). Luôn kiểm tra quan hệ đối dấu giữa các nhân tử trước khi nhân chéo hoặc rút gọn.

🚀 Mở rộng. Cùng dạng bài, nếu đổi vế phải thành

\frac{a x ( x - 1 )}{( 1 - x ) ( x + 1 )}

bằng

\frac{7 x}{x + 1}

thì làm hoàn toàn tương tự, chỉ cần thay

- a = 7

để được

a = - 7

Mở bài này trong app ↗

Bài 21 · Bài 6.12★★★Trang 12— Quy đồng mẫu thức có mẫu chứa hằng đẳng thức và nhân tử đối nhau

Bài 6.12 (trang 12). Quy đồng mẫu thức các phân thức sau: a)

\frac{1}{x ^{3} - 8}

và

\frac{3}{4 - 2 x}

; b)

\frac{x}{x ^{2} - 1}

và

\frac{1}{x ^{2} + 2 x + 1}

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ .
Quy tắc đổi dấu; MTC lấy luỹ thừa với số mũ cao nhất của mỗi nhân tử.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) có mẫu thứ hai

4 - 2 x

là đối dấu (và có thêm hệ số) so với nhân tử

(x - 2)

ẩn trong mẫu thứ nhất

x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)

— dấu hiệu cần đổi dấu trước khi tìm MTC. Câu b) có mẫu

x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1)^{2}

là luỹ thừa của một nhân tử cũng xuất hiện ở mẫu kia — dấu hiệu chọn MTC phải lấy số mũ cao nhất. Bẫy ở câu a) là quên đổi dấu nên nhân thêm một nhân tử thừa vào MTC; bẫy ở câu b) là quên lấy

(x + 1)^{2}

mà chỉ lấy

(x + 1)

1Cách 1. Phân tích nhân tử, đổi dấu khi cần, rồi chọn MTC và nhân tử phụ

Định hướng. Câu a) phân tích $x^{3} - 8$ bằng hằng đẳng thức, đổi dấu $4 - 2 x$ về dạng chứa $(x - 2)$ ; câu b) phân tích cả hai mẫu thành nhân tử rồi lấy luỹ thừa cao nhất.

x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)

4 - 2 x = - 2 (x - 2)

M T C = 2 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)

\frac{1}{x ^{3} - 8} = \frac{2}{2 ( x - 2 ) ( x ^{2} + 2 x + 4 )}

\frac{3}{4 - 2 x} = \frac{- 3 ( x ^{2} + 2 x + 4 )}{2 ( x - 2 ) ( x ^{2} + 2 x + 4 )}

x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)

x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1)^{2}

M T C = (x - 1) (x + 1)^{2}

\frac{x}{x ^{2} - 1} = \frac{x ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2}}

\frac{1}{x ^{2} + 2 x + 1} = \frac{x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2}}

Vậy a) $\frac{1}{x ^{3} - 8} = \frac{2}{2 ( x - 2 ) ( x ^{2} + 2 x + 4 )}$ và $\frac{3}{4 - 2 x} = \frac{- 3 ( x ^{2} + 2 x + 4 )}{2 ( x - 2 ) ( x ^{2} + 2 x + 4 )}$ ; b) $\frac{x}{x ^{2} - 1} = \frac{x ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2}}$ và $\frac{1}{x ^{2} + 2 x + 1} = \frac{x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2}}$ .

2Cách 2. Đổi dấu phân thức trước để đưa mẫu về dạng dương rồi mới quy đồng (riêng câu a)

Định hướng. Với câu a), áp quy tắc đổi dấu cho cả phân thức $\frac{3}{4 - 2 x}$ trước để mẫu có dạng $2 (x - 2)$ , rồi quy đồng như bình thường.

\frac{3}{4 - 2 x} = \frac{- 3}{2 x - 4} = \frac{- 3}{2 ( x - 2 )}

M T C

của

(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)

và

2 (x - 2)

là

2 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)

\frac{1}{x ^{3} - 8} = \frac{2}{2 ( x - 2 ) ( x ^{2} + 2 x + 4 )}

\frac{- 3}{2 ( x - 2 )} = \frac{- 3 ( x ^{2} + 2 x + 4 )}{2 ( x - 2 ) ( x ^{2} + 2 x + 4 )}

Vậy kết quả câu a) khớp hoàn toàn với Cách 1, chỉ khác ở bước trung gian: đổi dấu cả phân thức trước khi tìm MTC.

Nhận xét. Hai cách của câu a) cho cùng kết quả nhưng khác thứ tự thao tác đổi dấu — Cách 2 thường ít nhầm dấu hơn vì mẫu đã ở dạng "sạch" trước khi quy đồng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho câu a): đổi dấu cả phân thức về dạng mẫu dương ngay từ đầu, tránh nhầm dấu ở bước nhân tử phụ; câu b) dùng thẳng Cách 1, chỉ cần nhớ lấy luỹ thừa cao nhất

(x + 1)^{2}

Đáp số. a)

\frac{1}{x ^{3} - 8} = \frac{2}{2 ( x - 2 ) ( x ^{2} + 2 x + 4 )}

;

\frac{3}{4 - 2 x} = \frac{- 3 ( x ^{2} + 2 x + 4 )}{2 ( x - 2 ) ( x ^{2} + 2 x + 4 )}

. b)

\frac{x}{x ^{2} - 1} = \frac{x ( x + 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2}}

;

\frac{1}{x ^{2} + 2 x + 1} = \frac{x - 1}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2}}

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), chọn MTC thiếu số mũ, viết nhầm

M T C = (x - 1) (x + 1)

(chỉ lấy

(x + 1)

bậc một) thay vì

(x - 1) (x + 1)^{2}

, khiến phân thức thứ hai không thể quy đồng về mẫu đó. Phải luôn lấy luỹ thừa với SỐ MŨ CAO NHẤT của mỗi nhân tử.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật câu a), quy đồng

\frac{1}{x ^{3} + 27}

và

\frac{2}{9 - x ^{2}}

cũng cần phân tích

x^{3} + 27 = (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)

và đổi dấu để nhận ra

9 - x^{2} = - (x - 3) (x + 3)

trước khi chọn MTC.

Mở bài này trong app ↗

Bài 22 · Bài 6.13★★★Trang 12— Quy đồng mẫu thức ba phân thức có mẫu chứa hằng đẳng thức và nhân tử đối nhau

Bài 6.13 (trang 12). Quy đồng mẫu thức các phân thức sau: a)

\frac{1}{x + 2}

;

\frac{x + 1}{x ^{2} - 4 x + 4}

và

\frac{5}{2 - x}

; b)

\frac{1}{3 x + 3 y}

;

\frac{2 x}{x ^{2} - y ^{2}}

và

\frac{x ^{2} - x y + y ^{2}}{x ^{2} - 2 x y + y ^{2}}

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức bình phương một hiệu: $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ .
MTC lấy đủ mọi nhân tử với số mũ cao nhất; nhân tử đối nhau phải đổi dấu trước khi gộp.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) có ba mẫu liên quan tới cùng nhân tử

(x - 2)

x + 2

độc lập,

x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}

, và

2 - x = - (x - 2)

đối dấu — dấu hiệu phải xử lý đủ ba loại quan hệ cùng lúc. Câu b) tương tự với nhân tử

(x - y)

. Hướng phân tích triệt để từng mẫu trước khi chọn MTC là bắt buộc cho cả hai câu; bẫy lớn nhất là quên đổi dấu

(2 - x)

ở câu a) khiến MTC bị nhân thừa một nhân tử.

1Cách 1. Phân tích từng mẫu, đổi dấu khi cần, chọn MTC rồi nhân tử phụ

Định hướng. Câu a) đổi dấu $2 - x$ thành $- (x - 2)$ , nhận ra MTC cần $(x + 2) (x - 2)^{2}$ ; câu b) đổi $x^{2} - y^{2}$ và $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ thành nhân tử của $(x - y)$ , $(x + y)$ .

x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}

;

2 - x = - (x - 2)

M T C = (x + 2) (x - 2)^{2}

\frac{1}{x + 2} = \frac{( x - 2 ) ^{2}}{( x + 2 ) ( x - 2 ) ^{2}}

\frac{x + 1}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{( x + 1 ) ( x + 2 )}{( x + 2 ) ( x - 2 ) ^{2}}

\frac{5}{2 - x} = \frac{- 5}{x - 2} = \frac{- 5 ( x + 2 ) ( x - 2 )}{( x + 2 ) ( x - 2 ) ^{2}}

3 x + 3 y = 3 (x + y)

;

x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)

;

x^{2} - 2 x y + y^{2} = (x - y)^{2}

M T C = 3 (x + y) (x - y)^{2}

\frac{1}{3 ( x + y )} = \frac{( x - y ) ^{2}}{3 ( x + y ) ( x - y ) ^{2}}

\frac{2 x}{( x - y ) ( x + y )} = \frac{6 x ( x - y )}{3 ( x + y ) ( x - y ) ^{2}}

\frac{x ^{2} - x y + y ^{2}}{( x - y ) ^{2}} = \frac{3 ( x + y ) ( x ^{2} - x y + y ^{2} )}{3 ( x + y ) ( x - y ) ^{2}}

Vậy đã quy đồng xong ba phân thức ở mỗi câu về cùng mẫu thức chung $(x + 2) (x - 2)^{2}$ (câu a) và $3 (x + y) (x - y)^{2}$ (câu b).

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng cách rút gọn ngược một phân thức đã quy đồng

Định hướng. Chọn một phân thức vừa quy đồng ở mỗi câu, rút gọn ngược để xác nhận quay lại đúng phân thức ban đầu.

\frac{( x + 1 ) ( x + 2 )}{( x + 2 ) ( x - 2 ) ^{2}}

rút gọn cho

(x + 2)

= \frac{x + 1}{( x - 2 ) ^{2}}

, đúng bằng phân thức thứ hai ban đầu
b)

\frac{6 x ( x - y )}{3 ( x + y ) ( x - y ) ^{2}}

rút gọn cho

3 (x - y)

= \frac{2 x}{( x + y ) ( x - y )} = \frac{2 x}{x ^{2} - y ^{2}}

, đúng bằng phân thức thứ hai ban đầu

Vậy phép kiểm tra ngược xác nhận cả hai câu quy đồng đúng, khớp Cách 1.

Nhận xét. Câu a) là ví dụ điển hình của việc kết hợp ba kĩ thuật: nhân tử độc lập, luỹ thừa của nhân tử, và đổi dấu nhân tử đối nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phân tích nhân tử và đổi dấu ngay từ đầu rồi quy đồng thẳng một lượt, không cần kiểm tra ngược từng phân thức như Cách 2 (trừ khi còn nghi ngờ).

Đáp số. a) MTC

= (x + 2) (x - 2)^{2}

; ba phân thức là

\frac{( x - 2 ) ^{2}}{( x + 2 ) ( x - 2 ) ^{2}}

\frac{( x + 1 ) ( x + 2 )}{( x + 2 ) ( x - 2 ) ^{2}}

\frac{- 5 ( x + 2 ) ( x - 2 )}{( x + 2 ) ( x - 2 ) ^{2}}

. b) MTC

= 3 (x + y) (x - y)^{2}

; ba phân thức là

\frac{( x - y ) ^{2}}{3 ( x + y ) ( x - y ) ^{2}}

\frac{6 x ( x - y )}{3 ( x + y ) ( x - y ) ^{2}}

\frac{3 ( x + y ) ( x ^{2} - x y + y ^{2} )}{3 ( x + y ) ( x - y ) ^{2}}

Sai lầm thường gặp. Ở câu a), quên đổi dấu

2 - x

thành

- (x - 2)

, coi

(2 - x)

là một nhân tử độc lập rồi nhân thẳng vào MTC, cho

M T C = (x + 2) (x - 2)^{2} (2 - x)

dư một nhân tử và sai dấu ở phân thức thứ ba. Phải đổi dấu nhân tử đối trước khi gộp vào MTC.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật ba nhân tử (độc lập, luỹ thừa, đối dấu), quy đồng

\frac{1}{x + 3}

;

\frac{2}{x ^{2} + 6 x + 9}

và

\frac{1}{3 - x}

cũng cho

M T C = (x + 3)^{2} (x - 3)

sau khi đổi dấu

(3 - x) = - (x - 3)

Mở bài này trong app ↗

Bài 23 · Bài 6.14★★★Trang 12— Rút gọn rồi quy đồng mẫu thức (bài tổng hợp cuối bài)

Bài 6.14 (trang 12). Cho hai phân thức

\frac{9 x ^{2} + 3 x + 1}{27 x ^{3} - 1}

và

\frac{x ^{2} - 4 x}{16 - x ^{2}}

. a) Rút gọn hai phân thức đã cho. b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức nhận được ở câu a.

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: $27 x^{3} - 1 = (3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)$ .
Hiệu hai bình phương và quy tắc đổi dấu khi mẫu có dạng $16 - x^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bài gộp cả hai kĩ năng trọng tâm của cả bài học: rút gọn (câu a, dùng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương và đổi dấu) rồi quy đồng (câu b) — đúng vị trí bài tập cuối cùng, tổng kết toàn bài. Hướng phân tích

27 x^{3} - 1

bằng hiệu hai lập phương và

16 - x^{2}

bằng hiệu hai bình phương kèm đổi dấu là bắt buộc để rút gọn đúng câu a) trước khi làm câu b). Bẫy là quên đổi dấu ở phân thức thứ hai, dẫn tới sai dấu xuyên suốt cả câu b).

1Cách 1. Rút gọn từng phân thức bằng hằng đẳng thức rồi quy đồng kết quả

Định hướng. Câu a) phân tích $27 x^{3} - 1$ và $16 - x^{2}$ thành nhân tử để rút gọn; câu b) quy đồng hai kết quả vừa có.

27 x^{3} - 1 = (3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)

\frac{9 x ^{2} + 3 x + 1}{27 x ^{3} - 1} = \frac{9 x ^{2} + 3 x + 1}{( 3 x - 1 ) ( 9 x ^{2} + 3 x + 1 )} = \frac{1}{3 x - 1}

16 - x^{2} = (4 - x) (4 + x)

;

x^{2} - 4 x = - x (4 - x)

\frac{x ^{2} - 4 x}{16 - x ^{2}} = \frac{- x ( 4 - x )}{( 4 - x ) ( 4 + x )} = \frac{- x}{4 + x}

\frac{1}{3 x - 1}

và

\frac{- x}{x + 4}

M T C = (3 x - 1) (x + 4)

\frac{1}{3 x - 1} = \frac{x + 4}{( 3 x - 1 ) ( x + 4 )}

\frac{- x}{x + 4} = \frac{- x ( 3 x - 1 )}{( 3 x - 1 ) ( x + 4 )}

Vậy a) hai phân thức rút gọn là $\frac{1}{3 x - 1}$ và $\frac{- x}{x + 4}$ ; b) sau khi quy đồng, hai phân thức là $\frac{x + 4}{( 3 x - 1 ) ( x + 4 )}$ và $\frac{- x ( 3 x - 1 )}{( 3 x - 1 ) ( x + 4 )}$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại toàn bộ bằng cách thay một giá trị cụ thể của

x

Định hướng. Thay một giá trị $x$ vào cả phân thức gốc lẫn kết quả rút gọn và kết quả quy đồng để đối chiếu.

Thay

x = 1

: phân thức gốc thứ nhất

= \frac{13}{26} = \frac{1}{2}

; kết quả rút gọn

\frac{1}{2}

, khớp
Phân thức gốc thứ hai tại

x = 1

\frac{- 3}{15} = - \frac{1}{5}

; kết quả rút gọn

- \frac{1}{5}

, khớp
Sau quy đồng tại

x = 1

\frac{5}{10} = \frac{1}{2}

và

\frac{- 2}{10} = - \frac{1}{5}

, đều khớp với kết quả rút gọn

Vậy phép thử số xác nhận cả câu a) và câu b) đều đúng, khớp Cách 1.

Nhận xét. Bài tập này tổng hợp trọn vẹn hai kĩ năng cốt lõi của Bài 22: rút gọn phân thức và quy đồng mẫu thức nhiều phân thức — đúng vị trí bài cuối cùng để ôn lại toàn bài trước khi sang Bài 23.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: rút gọn triệt để bằng hằng đẳng thức trước, đưa hai phân thức về dạng đơn giản nhất rồi mới quy đồng — quy đồng trên dạng đã rút gọn luôn ngắn hơn nhiều so với quy đồng trực tiếp trên phân thức gốc.

Đáp số. a)

\frac{9 x ^{2} + 3 x + 1}{27 x ^{3} - 1} = \frac{1}{3 x - 1}

;

\frac{x ^{2} - 4 x}{16 - x ^{2}} = \frac{- x}{x + 4}

. b)

M T C = (3 x - 1) (x + 4)

; hai phân thức sau quy đồng là

\frac{x + 4}{( 3 x - 1 ) ( x + 4 )}

và

\frac{- x ( 3 x - 1 )}{( 3 x - 1 ) ( x + 4 )}

Sai lầm thường gặp. Ở phân thức thứ hai, quên đổi dấu khi rút gọn, viết nhầm

\frac{x ^{2} - 4 x}{16 - x ^{2}} = \frac{x ( x - 4 )}{( 4 - x ) ( 4 + x )}

rồi kết luận "không có nhân tử chung" vì không nhận ra

x - 4 = - (4 - x)

. Phải đổi dấu

x - 4 = - (4 - x)

trước khi rút gọn.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật, cặp phân thức

\frac{4 x ^{2} + 2 x + 1}{8 x ^{3} - 1}

và

\frac{x ^{2} - 9 x}{81 - x ^{2}}

cũng rút gọn theo đúng hai bước hằng đẳng thức và đổi dấu, cho kết quả

\frac{1}{2 x - 1}

và

\frac{- x}{x + 9}

Mở bài này trong app ↗