Chương VI. Phân thức đại số

Bài 23. Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 2 · 12 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 6.15★Trang 9— Cộng nhiều phân thức cùng mẫu rồi rút gọn

Bài 6.15 (trang 9). Tính các tổng sau: a)

\frac{x ^{2} - 2}{x ( x - 1 ) ^{2}} + \frac{2 - x}{x ( x - 1 ) ^{2}}

; b)

\frac{1 - 2 x}{6 x ^{3} y} + \frac{3 + 2 x}{6 x ^{3} y} + \frac{2 x - 4}{6 x ^{3} y}

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc cộng nhiều phân thức cùng mẫu: cộng tất cả tử thức, giữ nguyên mẫu.
Rút gọn phân thức bằng cách chia cho nhân tử chung sau khi cộng.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai câu đều có sẵn các phân thức cùng mẫu — dấu hiệu cộng thẳng các tử thức rồi rút gọn. Câu a) tử sau khi cộng còn phân tích được nhân tử chung với mẫu

(x - 1)^{2}

; câu b) tử sau khi cộng chỉ còn một hằng số nhân với

x

, cần rút gọn hết luỹ thừa của

x

ở mẫu. Bẫy là cộng xong dừng lại, quên rút gọn tiếp.

1Cách 1. Cộng trực tiếp các tử thức rồi rút gọn

Định hướng. Cộng các tử thức, giữ nguyên mẫu; rút gọn nhân tử chung giữa tử và mẫu.

\frac{x ^{2} - 2}{x ( x - 1 ) ^{2}} + \frac{2 - x}{x ( x - 1 ) ^{2}} = \frac{( x ^{2} - 2 ) + ( 2 - x )}{x ( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} - x}{x ( x - 1 ) ^{2}}

= \frac{x ( x - 1 )}{x ( x - 1 ) ^{2}} = \frac{1}{x - 1}

\frac{( 1 - 2 x ) + ( 3 + 2 x ) + ( 2 x - 4 )}{6 x ^{3} y} = \frac{2 x}{6 x ^{3} y} = \frac{1}{3 x ^{2} y}

Vậy a) $\frac{1}{x - 1}$ (với $x \neq = 0, x \neq = 1$ ); b) $\frac{1}{3 x ^{2} y}$ (với $x, y \neq = 0$ ).

2Cách 2. Tách riêng phần cộng được ngay bằng tính giao hoán, kết hợp

Định hướng. Ở câu b, nhận ra $- 2 x$ và $2 x$ là hai số đối nhau trong ba tử thức, nhóm chúng lại trước.

(1 - 2 x) + (3 + 2 x) + (2 x - 4) = 1 + 3 - 4 + (- 2 x + 2 x) + 2 x = 0 + 0 + 2 x = 2 x

\frac{2 x}{6 x ^{3} y} = \frac{1}{3 x ^{2} y}

Vậy b) $\frac{1}{3 x ^{2} y}$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Nhóm số hạng đối nhau giúp cộng nhẩm nhanh hơn khi tử có nhiều hạng tử rời rạc.

3Cách 3. Kiểm tra lại cả hai câu bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay $x = 2$ (câu a) và $x = 1, y = 1$ (câu b) để đối chiếu với kết quả đã rút gọn.

a) tại

x = 2

: vế trái

= \frac{2}{2} + \frac{0}{2} = 1

;

\frac{1}{x - 1} = 1

b) tại

x = 1, y = 1

: vế trái

= \frac{- 1}{6} + \frac{5}{6} + \frac{- 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

;

\frac{1}{3 x ^{2} y} = \frac{1}{3}

Vậy cả hai kết quả ở Cách 1 đều được xác nhận đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: cộng thẳng rồi rút gọn, không cần tách nhóm như Cách 2.

Đáp số. a)

\frac{1}{x - 1}

(với

x \neq = 0, x \neq = 1

); b)

\frac{1}{3 x ^{2} y}

(với

x, y \neq = 0

Sai lầm thường gặp. Cộng xong tử ở câu a ra

x^{2} - x

rồi dừng lại ghi đáp số

\frac{x ^{2} - x}{x ( x - 1 ) ^{2}}

, quên nhận ra

x^{2} - x = x (x - 1)

còn chia hết cho nhân tử chung với mẫu.

🚀 Mở rộng. Cùng dạng,

\frac{x ^{2} - 3}{x ( x - 1 ) ^{2}} + \frac{3 - x}{x ( x - 1 ) ^{2}}

cũng rút gọn về

\frac{1}{x - 1}

theo đúng cách làm ở câu a.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 6.16★★Trang 9— Trừ phân thức cùng mẫu và khác mẫu (mẫu có nhân tử chung), rồi rút gọn

Bài 6.16 (trang 9). Tính các hiệu sau: a)

\frac{2 x ^{2} - 1}{x ^{2} - 3 x} - \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x ^{2} - 3 x}

; b)

\frac{1}{2 x - 3} - \frac{13}{( 2 x - 3 ) ( 4 x + 7 )}

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ .
Khi một mẫu là nhân tử của mẫu kia, mẫu chung chính là mẫu lớn hơn.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) đã cùng mẫu

x^{2} - 3 x = x (x - 3)

, chỉ cần trừ tử rồi rút gọn; tử sau khi khai triển

(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1

sẽ lộ nhân tử chung với mẫu. Câu b) hai mẫu

2 x - 3

và

(2 x - 3) (4 x + 7)

có sẵn nhân tử chung

2 x - 3

— dấu hiệu mẫu chung chính là mẫu lớn hơn

(2 x - 3) (4 x + 7)

, không cần nhân chéo. Bẫy ở câu a là quên khai triển

(x - 1) (x + 1)

trước khi trừ, dẫn tới không thấy được nhân tử chung

x

1Cách 1. Trừ cùng mẫu (câu a) và quy đồng theo mẫu đã là bội của nhau (câu b)

Định hướng. Câu a khai triển tử rồi trừ, rút gọn nhân tử chung $x$ . Câu b nhân tử và mẫu của $\frac{1}{2 x - 3}$ với $4 x + 7$ để cùng mẫu với phân thức còn lại.

\frac{2 x ^{2} - 1}{x ( x - 3 )} - \frac{x ^{2} - 1}{x ( x - 3 )} = \frac{( 2 x ^{2} - 1 ) - ( x ^{2} - 1 )}{x ( x - 3 )} = \frac{x ^{2}}{x ( x - 3 )} = \frac{x}{x - 3}

\frac{1}{2 x - 3} = \frac{4 x + 7}{( 2 x - 3 ) ( 4 x + 7 )}

\frac{4 x + 7}{( 2 x - 3 ) ( 4 x + 7 )} - \frac{13}{( 2 x - 3 ) ( 4 x + 7 )} = \frac{4 x + 7 - 13}{( 2 x - 3 ) ( 4 x + 7 )} = \frac{4 x - 6}{( 2 x - 3 ) ( 4 x + 7 )}

= \frac{2 ( 2 x - 3 )}{( 2 x - 3 ) ( 4 x + 7 )} = \frac{2}{4 x + 7}

Vậy a) $\frac{x}{x - 3}$ (với $x \neq = 0, x \neq = 3$ ); b) $\frac{2}{4 x + 7}$ (với $x \neq = \frac{3}{2}, x \neq = - \frac{7}{4}$ ).

2Cách 2. Chuyển phép trừ thành phép cộng với phân thức đối

Định hướng. Áp dụng $\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + \frac{- C}{D}$ cho cả hai câu.

\frac{2 x ^{2} - 1}{x ( x - 3 )} + \frac{- ( x ^{2} - 1 )}{x ( x - 3 )} = \frac{2 x ^{2} - 1 - x ^{2} + 1}{x ( x - 3 )} = \frac{x ^{2}}{x ( x - 3 )} = \frac{x}{x - 3}

\frac{4 x + 7}{( 2 x - 3 ) ( 4 x + 7 )} + \frac{- 13}{( 2 x - 3 ) ( 4 x + 7 )} = \frac{4 x - 6}{( 2 x - 3 ) ( 4 x + 7 )} = \frac{2}{4 x + 7}

Vậy cả hai câu đều khớp Cách 1.

Nhận xét. Hai cách cùng bản chất, chỉ khác cách trình bày phép trừ.

3Cách 3. Kiểm tra lại cả hai câu bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay $x = 2$ (câu a) và $x = 1$ (câu b) để đối chiếu với kết quả đã rút gọn.

a) tại

x = 2

: vế trái

= \frac{7}{- 2} - \frac{3}{- 2} = - 2

;

\frac{x}{x - 3} = \frac{2}{- 1} = - 2

b) tại

x = 1

: vế trái

= \frac{1}{- 1} - \frac{13}{- 11} = - 1 + \frac{13}{11} = \frac{2}{11}

;

\frac{2}{4 x + 7} = \frac{2}{11}

Vậy cả hai kết quả ở Cách 1 đều được xác nhận đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận diện mẫu này là bội của mẫu kia ở câu b để quy đồng nhanh, không cần nhân chéo cả hai mẫu.

Đáp số. a)

\frac{x}{x - 3}

(với

x \neq = 0, x \neq = 3

); b)

\frac{2}{4 x + 7}

(với

x \neq = \frac{3}{2}, x \neq = - \frac{7}{4}

Sai lầm thường gặp. Ở câu b, nhân chéo hai mẫu

2 x - 3

và

(2 x - 3) (4 x + 7)

với nhau ra mẫu chung dư thừa

(2 x - 3)^{2} (4 x + 7)

thay vì nhận ra mẫu thứ hai đã là bội của mẫu thứ nhất, khiến phép tính dài hơn và dễ tính sai khi rút gọn lại.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật câu b,

\frac{1}{3 x + 1} - \frac{5}{( 3 x + 1 ) ( x - 2 )}

cũng quy đồng nhanh theo mẫu

(3 x + 1) (x - 2)

mà không cần nhân chéo.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 6.17★★Trang 9— Cộng, trừ phân thức khác mẫu có nhân tử chung dạng đơn thức và dạng đối nhau

Bài 6.17 (trang 9). Tính: a)

\frac{5 x + y ^{2}}{x ^{2} y} - \frac{5 y - x ^{2}}{x y ^{2}}

; b)

\frac{y}{2 x ^{2} - x y} + \frac{4 x}{y ^{2} - 2 x y}

Kiến thức cần nhớ

Mẫu thức chung nhỏ nhất của hai đơn thức: lấy luỹ thừa cao nhất của mỗi biến.
Quy tắc đổi dấu khi hai mẫu chứa nhân tử đối nhau: $\frac{A}{B} = \frac{- A}{- B}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) hai mẫu

x^{2} y

và

x y^{2}

có nhân tử chung

x y

— dấu hiệu mẫu chung nhỏ nhất là

x^{2} y^{2}

. Câu b) hai mẫu

2 x^{2} - x y = x (2 x - y)

và

y^{2} - 2 x y = y (y - 2 x) = - y (2 x - y)

chứa nhân tử đối nhau

(2 x - y)

và

(y - 2 x)

— dấu hiệu phải đổi dấu một mẫu trước khi quy đồng, giống Bài 6.20 (SGK). Bẫy ở câu b là quy đồng thẳng theo hai mẫu như đề cho mà không đổi dấu, dẫn tới mẫu chung sai dấu.

1Cách 1. Quy đồng theo mẫu chung nhỏ nhất (câu a) và đổi dấu trước khi quy đồng (câu b)

Định hướng. Câu a quy đồng về $x^{2} y^{2}$ ; câu b đổi dấu mẫu $y^{2} - 2 x y$ thành $- x (2 x - y) \cdot (- 1)$ , tức $- (2 x^{2} - x y) \cdot (- 1)$ ... cụ thể đổi $\frac{4 x}{y ^{2} - 2 x y} = \frac{- 4 x}{2 x y - y ^{2}} = \frac{- 4 x}{x ( 2 y ) - y \cdot \dots}$ ; làm gọn bằng cách viết $y^{2} - 2 x y = - (2 x y - y^{2}) = - y (2 x - y)$ .

\frac{5 x + y ^{2}}{x ^{2} y} = \frac{( 5 x + y ^{2} ) y}{x ^{2} y ^{2}}

;

\frac{5 y - x ^{2}}{x y ^{2}} = \frac{( 5 y - x ^{2} ) x}{x ^{2} y ^{2}}

\frac{5 x + y ^{2}}{x ^{2} y} - \frac{5 y - x ^{2}}{x y ^{2}} = \frac{( 5 x + y ^{2} ) y - ( 5 y - x ^{2} ) x}{x ^{2} y ^{2}} = \frac{5 x y + y ^{3} - 5 x y + x ^{3}}{x ^{2} y ^{2}} = \frac{x ^{3} + y ^{3}}{x ^{2} y ^{2}}

y^{2} - 2 x y = - y (2 x - y)

;

2 x^{2} - x y = x (2 x - y)

\frac{y}{x ( 2 x - y )} + \frac{4 x}{- y ( 2 x - y )} = \frac{y}{x ( 2 x - y )} - \frac{4 x}{y ( 2 x - y )} = \frac{y \cdot y - 4 x \cdot x}{x y ( 2 x - y )} = \frac{y ^{2} - 4 x ^{2}}{x y ( 2 x - y )}

= \frac{- ( 2 x - y ) ( 2 x + y )}{x y ( 2 x - y )} = \frac{- ( 2 x + y )}{x y} = \frac{- 1}{x} - \frac{2}{y}

Vậy a) $\frac{x ^{3} + y ^{3}}{x ^{2} y ^{2}}$ (hay $\frac{x}{y ^{2}} + \frac{y}{x ^{2}}$ ); b) $- \frac{1}{x} - \frac{2}{y}$ (với $x, y \neq = 0, 2 x \neq = y$ ).

2Cách 2. Tách mỗi phân thức thành tổng hai phân thức đơn giản trước khi cộng, trừ

Định hướng. Ở câu a, tách $\frac{5 x + y ^{2}}{x ^{2} y} = \frac{5 x}{x ^{2} y} + \frac{y ^{2}}{x ^{2} y} = \frac{5}{x y} + \frac{y}{x ^{2}}$ và tương tự cho phân thức thứ hai, rồi nhóm lại.

\frac{5 x + y ^{2}}{x ^{2} y} = \frac{5}{x y} + \frac{y}{x ^{2}}

;

\frac{5 y - x ^{2}}{x y ^{2}} = \frac{5}{x y} - \frac{x}{y ^{2}}

(\frac{5}{x y} + \frac{y}{x ^{2}}) - (\frac{5}{x y} - \frac{x}{y ^{2}}) = \frac{y}{x ^{2}} + \frac{x}{y ^{2}}

Vậy a) $\frac{y}{x ^{2}} + \frac{x}{y ^{2}}$ , cùng giá trị với $\frac{x ^{3} + y ^{3}}{x ^{2} y ^{2}}$ ở Cách 1 (chỉ khác cách viết).

Nhận xét. Cách 2 cho một kết quả gọn, dễ nhìn hơn dạng một phân thức duy nhất ở Cách 1; cả hai đều đúng và tương đương nhau.

3Cách 3. Kiểm tra lại cả hai câu bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay $x = 2, y = 1$ (câu a) và $x = 1, y = 3$ (câu b) để đối chiếu với kết quả đã rút gọn.

a) tại

x = 2, y = 1

: vế trái

= \frac{11}{4} - \frac{1}{2} = \frac{9}{4}

;

\frac{x}{y ^{2}} + \frac{y}{x ^{2}} = 2 + 0, 25 = 2, 25

b) tại

x = 1, y = 3

: vế trái

= \frac{3}{2 - 3} + \frac{4}{9 - 6} = \frac{3}{- 1} + \frac{4}{3} = - 3 + \frac{4}{3} = - \frac{5}{3}

;

- \frac{1}{x} - \frac{2}{y} = - 1 - \frac{2}{3} = - \frac{5}{3}

Vậy cả hai kết quả ở Cách 1 đều được xác nhận đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quy đồng theo đúng mẫu chung nhỏ nhất, nhớ đổi dấu ở câu b trước khi quy đồng.

Đáp số. a)

\frac{x ^{3} + y ^{3}}{x ^{2} y ^{2}}

(với

x, y \neq = 0

); b)

- \frac{1}{x} - \frac{2}{y}

(với

x, y \neq = 0, 2 x \neq = y

Sai lầm thường gặp. Ở câu b, không đổi dấu mẫu

y^{2} - 2 x y

mà quy đồng trực tiếp theo hai mẫu như đề cho, ra mẫu chung

x (2 x - y) \cdot y (y - 2 x)

có chứa cả hai nhân tử đối nhau — dễ nhầm dấu khi rút gọn về sau.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật câu b,

\frac{3}{ab - a ^{2}} + \frac{2}{a ^{2} - ab}

(mẫu đối nhau

ab - a^{2} = - (a^{2} - ab)

) rút gọn nhanh về

\frac{- 1}{a ^{2} - ab}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 6.18★★Trang 9— Cộng ba phân thức khác mẫu (mẫu chung nhỏ nhất và mẫu liên quan hằng đẳng thức tổng hai lập phương)

Bài 6.18 (trang 9). Tính các tổng sau: a)

\frac{5}{6 x ^{2} y} + \frac{7}{12 x y ^{2}} + \frac{11}{18 x y}

; b)

\frac{x ^{3} + 2 x}{x ^{3} + 1} + \frac{2 x}{x ^{2} - x + 1} + \frac{1}{x + 1}

Kiến thức cần nhớ

Mẫu thức chung nhỏ nhất của các đơn thức: BCNN hệ số, luỹ thừa cao nhất mỗi biến.
Hằng đẳng thức tổng hai lập phương: $x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) ba mẫu

6 x^{2} y, 12 x y^{2}, 18 x y

đều là đơn thức — dấu hiệu tìm mẫu chung nhỏ nhất bằng BCNN các hệ số

(6, 12, 18) = 36

và luỹ thừa cao nhất của

x, y

. Câu b) mẫu

x^{3} + 1

phân tích được thành

(x + 1) (x^{2} - x + 1)

, đúng bằng tích hai mẫu còn lại — dấu hiệu mẫu chung chính là

x^{3} + 1

, không cần nhân thêm. Bẫy ở câu b là không nhận ra

x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1)

nên nhân ba mẫu với nhau, ra mẫu chung bậc quá cao.

1Cách 1. Quy đồng theo mẫu chung nhỏ nhất (câu a) và theo

x^{3} + 1

(câu b)

Định hướng. Câu a quy đồng ba số hạng về mẫu chung $36 x^{2} y^{2}$ . Câu b nhận ra $x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1)$ và quy đồng ba số hạng về đúng mẫu này.

\frac{5}{6 x ^{2} y} = \frac{30 y}{36 x ^{2} y ^{2}}

;

\frac{7}{12 x y ^{2}} = \frac{21 x}{36 x ^{2} y ^{2}}

;

\frac{11}{18 x y} = \frac{22 x y}{36 x ^{2} y ^{2}}

Tổng

= \frac{30 y + 21 x + 22 x y}{36 x ^{2} y ^{2}}

x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1)

;

\frac{2 x}{x ^{2} - x + 1} = \frac{2 x ( x + 1 )}{x ^{3} + 1}

;

\frac{1}{x + 1} = \frac{x ^{2} - x + 1}{x ^{3} + 1}

\frac{x ^{3} + 2 x}{x ^{3} + 1} + \frac{2 x ( x + 1 )}{x ^{3} + 1} + \frac{x ^{2} - x + 1}{x ^{3} + 1} = \frac{x ^{3} + 2 x + 2 x ^{2} + 2 x + x ^{2} - x + 1}{x ^{3} + 1}

= \frac{x ^{3} + 3 x ^{2} + 3 x + 1}{x ^{3} + 1} = \frac{( x + 1 ) ^{3}}{( x + 1 ) ( x ^{2} - x + 1 )} = \frac{( x + 1 ) ^{2}}{x ^{2} - x + 1}

Vậy a) $\frac{21 x + 30 y + 22 x y}{36 x ^{2} y ^{2}}$ ; b) $\frac{( x + 1 ) ^{2}}{x ^{2} - x + 1}$ (với $x \neq = - 1$ ).

2Cách 2. Quy đồng bằng tích trực tiếp ba mẫu rồi rút gọn lại (đối chiếu)

Định hướng. Với câu b, thử quy đồng theo tích trực tiếp $(x^{3} + 1) (x^{2} - x + 1) (x + 1)$ như chưa nhận ra $x^{3} + 1$ đã phân tích sẵn, sau đó rút gọn để xác nhận cùng kết quả.

Mẫu chung trực tiếp

= (x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot (x^{2} - x + 1) (x + 1) \cdot (x + 1)

, chứa dư các nhân tử

(x + 1)

và

(x^{2} - x + 1)

Sau khi cộng đủ ba số hạng theo mẫu dư thừa này, rút gọn các nhân tử

(x + 1)

và

(x^{2} - x + 1)

dư ra ở tử và mẫu
Kết quả rút gọn:

\frac{( x + 1 ) ^{2}}{x ^{2} - x + 1}

Vậy vẫn ra đúng $\frac{( x + 1 ) ^{2}}{x ^{2} - x + 1}$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 (nhận diện mẫu chung có sẵn $x^{3} + 1$ ) ngắn hơn hẳn; Cách 2 chỉ nên dùng để kiểm tra khi chưa chắc chắn đã tìm đúng mẫu chung nhỏ nhất.

3Cách 3. Kiểm tra lại cả hai câu bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay $x = 1, y = 1$ (câu a) và $x = 1$ (câu b) để đối chiếu với kết quả đã rút gọn.

a) tại

x = 1, y = 1

: vế trái

= \frac{5}{6} + \frac{7}{12} + \frac{11}{18} = \frac{73}{36}

;

\frac{21 + 30 + 22}{36} = \frac{73}{36}

b) tại

x = 1

: vế trái

= \frac{3}{2} + 2 + \frac{1}{2} = 4

;

\frac{( x + 1 ) ^{2}}{x ^{2} - x + 1} = \frac{4}{1} = 4

Vậy cả hai kết quả ở Cách 1 đều được xác nhận đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận diện ngay

x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1)

để quy đồng thẳng theo mẫu chung nhỏ nhất, tránh phép tính cồng kềnh của Cách 2.

Đáp số. a)

\frac{21 x + 30 y + 22 x y}{36 x ^{2} y ^{2}}

(với

x, y \neq = 0

); b)

\frac{( x + 1 ) ^{2}}{x ^{2} - x + 1}

(với

x \neq = - 1

Sai lầm thường gặp. Ở câu b, không nhận ra

x^{3} + 1

đã phân tích thành tích hai mẫu còn lại, nhân trực tiếp ba mẫu với nhau tạo mẫu chung dư thừa bậc rất cao, dễ tính sai khi khai triển và rút gọn.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật câu b,

\frac{x ^{3} - 2 x}{x ^{3} - 1} + \frac{2 x}{x ^{2} + x + 1} - \frac{1}{x - 1}

cũng cần nhận ra

x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)

trước khi quy đồng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 6.19★★Trang 9— Rút gọn biểu thức chứa phân thức và đa thức, dùng hằng đẳng thức tổng quát, rồi tính giá trị

Bài 6.19 (trang 9). a) Rút gọn biểu thức

P = \frac{x ^{4}}{1 - x} + x^{3} + x^{2} + x + 1

. b) Tính giá trị của

P

tại

x = - 99

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức: $(1 - x) (1 + x + x^{2} + x^{3}) = 1 - x^{4}$ .
Sau khi rút gọn, thay số vào biểu thức đã gọn sẽ tránh tính luỹ thừa lớn.

🧠 Phân tích tư duy

Đa thức

x^{3} + x^{2} + x + 1

khi nhân với

(1 - x)

sẽ triệt tiêu theo kiểu bậc thang, gợi tới đẳng thức quen thuộc

(1 - x) (1 + x + x^{2} + x^{3}) = 1 - x^{4}

— dấu hiệu nên viết cả

P

dưới MỘT mẫu

1 - x

rồi dùng đẳng thức này thay vì khai triển từng số hạng. Câu b) chỉ cần thay

x = - 99

vào kết quả đã rút gọn, tránh phải tính luỹ thừa bậc bốn của

- 99

. Bẫy là quy đồng bằng cách nhân trực tiếp không dùng đẳng thức, dẫn tới khai triển

x^{3} (1 - x), x^{2} (1 - x)

… rất dài.

1Cách 1. Quy đồng về mẫu

1 - x

rồi dùng hằng đẳng thức

Định hướng. Viết $x^{3} + x^{2} + x + 1$ dưới mẫu $1 - x$ , rồi nhận ra tử là $(1 - x) (1 + x + x^{2} + x^{3}) = 1 - x^{4}$ khi cộng với $x^{4}$ .

P = \frac{x ^{4}}{1 - x} + \frac{( x ^{3} + x ^{2} + x + 1 ) ( 1 - x )}{1 - x} = \frac{x ^{4} + ( 1 - x ) ( 1 + x + x ^{2} + x ^{3} )}{1 - x}

= \frac{x ^{4} + 1 - x ^{4}}{1 - x} = \frac{1}{1 - x}

Tại

x = - 99

P = \frac{1}{1 - ( - 99 )} = \frac{1}{100}

Vậy a) $P = \frac{1}{1 - x}$ (với $x \neq = 1$ ); b) $P = \frac{1}{100}$ khi $x = - 99$ .

2Cách 2. Khai triển trực tiếp tử số rồi rút gọn

Định hướng. Không dùng đẳng thức có sẵn, nhân trực tiếp $(x^{3} + x^{2} + x + 1)$ với $(1 - x)$ để kiểm tra lại kết quả bằng cách khai triển từng số hạng.

(x^{3} + x^{2} + x + 1) (1 - x) = x^{3} + x^{2} + x + 1 - x^{4} - x^{3} - x^{2} - x = 1 - x^{4}

P = \frac{x ^{4} + 1 - x ^{4}}{1 - x} = \frac{1}{1 - x}

Vậy vẫn ra $P = \frac{1}{1 - x}$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 dùng đẳng thức có sẵn nhanh hơn; Cách 2 khai triển từng số hạng chắc chắn nhưng dài hơn, chỉ nên dùng để kiểm tra lại.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách thay một giá trị

x

khác

Định hướng. Thay $x = 2$ vào cả biểu thức gốc và kết quả đã rút gọn để xác nhận công thức tổng quát ở Cách 1 là đúng, trước khi áp dụng cho $x = - 99$ .

Tại

x = 2

P = \frac{16}{1 - 2} + 8 + 4 + 2 + 1 = - 16 + 15 = - 1

\frac{1}{1 - x}

tại

x = 2

\frac{1}{- 1} = - 1

Vậy hai giá trị khớp nhau tại $x = 2$ , xác nhận công thức $P = \frac{1}{1 - x}$ đúng, nên áp dụng cho $x = - 99$ ở Cách 1 là an toàn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quy đồng về mẫu

1 - x

và dùng ngay đẳng thức

(1 - x) (1 + x + x^{2} + x^{3}) = 1 - x^{4}

, tránh khai triển dài dòng như Cách 2.

Đáp số. a)

P = \frac{1}{1 - x}

(với

x \neq = 1

); b)

P = \frac{1}{100}

khi

x = - 99

Sai lầm thường gặp. Thay thẳng

x = - 99

vào biểu thức GỐC (chưa rút gọn) để tính

(- 99)^{4}

rồi cộng trừ số rất lớn, vừa mất thời gian vừa dễ tính sai — phải rút gọn

P

về

\frac{1}{1 - x}

trước rồi mới thay số.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật,

Q = \frac{x ^{5}}{1 - x} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1

cũng rút gọn về

\frac{1}{1 - x}

nhờ đẳng thức

(1 - x) (1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4}) = 1 - x^{5}

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6.20★★★Trang 10— Rút gọn tổng ba phân thức có mẫu là các dạng hằng đẳng thức khác nhau của cùng nhân tử

(x - 3)

Bài 6.20 (trang 10). a) Rút gọn biểu thức

Q = \frac{18}{( x - 3 ) ( x ^{2} - 9 )} - \frac{3}{x ^{2} - 6 x + 9} - \frac{x}{x ^{2} - 9}

. b) Tính giá trị của

Q

tại

x = 103

Kiến thức cần nhớ

Phân tích mẫu: $(x - 3) (x^{2} - 9) = (x - 3)^{2} (x + 3)$ ; $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ ; $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .
Mẫu thức chung nhỏ nhất của ba mẫu trên là $(x - 3)^{2} (x + 3)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba mẫu đều liên quan tới nhân tử

(x - 3)

(x - 3) (x^{2} - 9) = (x - 3)^{2} (x + 3)

x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)

— dấu hiệu mẫu chung nhỏ nhất là

(x - 3)^{2} (x + 3)

. Hướng phân tích cả ba mẫu thành nhân tử trước khi quy đồng là bước bắt buộc. Bẫy hay gặp nhất (đã có bản tóm tắt web tính sai) là quy đồng nhầm dấu hoặc rút gọn thiếu bước cuối, dẫn tới kết quả sai hẳn bản chất — nên bài này BẮT BUỘC verify lại bằng sympy trước khi chốt đáp số.

1Cách 1. Phân tích cả ba mẫu rồi quy đồng theo mẫu chung nhỏ nhất

Định hướng. Phân tích từng mẫu thành nhân tử, quy đồng ba phân thức về mẫu chung $(x - 3)^{2} (x + 3)$ , rồi trừ các tử thức.

(x - 3) (x^{2} - 9) = (x - 3)^{2} (x + 3)

;

x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}

;

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)

\frac{18}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )} - \frac{3}{( x - 3 ) ^{2}} - \frac{x}{( x - 3 ) ( x + 3 )}

= \frac{18}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )} - \frac{3 ( x + 3 )}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )} - \frac{x ( x - 3 )}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )}

= \frac{18 - 3 ( x + 3 ) - x ( x - 3 )}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )} = \frac{18 - 3 x - 9 - x ^{2} + 3 x}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )} = \frac{9 - x ^{2}}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )}

= \frac{- ( x - 3 ) ( x + 3 )}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )} = \frac{- 1}{x - 3} = \frac{1}{3 - x}

Vậy a) $Q = \frac{1}{3 - x}$ (với $x \neq = \pm 3$ ); b) tại $x = 103$ : $Q = \frac{1}{3 - 103} = - \frac{1}{100}$ .

2Cách 2. Nhóm hai số hạng cùng liên quan

(x - 3)^{2}

trước, rồi xử lí số hạng còn lại

Định hướng. Trừ trước hai phân thức đầu (cùng chứa nhân tử $(x - 3)^{2}$ ở mẫu chung), sau đó mới trừ tiếp phân thức thứ ba.

\frac{18}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )} - \frac{3}{( x - 3 ) ^{2}} = \frac{18}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )} - \frac{3 ( x + 3 )}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )} = \frac{18 - 3 x - 9}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )} = \frac{9 - 3 x}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )} = \frac{- 3 ( x - 3 )}{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )} = \frac{- 3}{( x - 3 ) ( x + 3 )}

\frac{- 3}{( x - 3 ) ( x + 3 )} - \frac{x}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{- 3 - x}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{- ( x + 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )}

= \frac{- 1}{x - 3} = \frac{1}{3 - x}

Vậy $Q = \frac{1}{3 - x}$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Nhóm hai số hạng cùng nhân tử $(x - 3)^{2}$ trước giúp phát hiện sớm nhân tử chung $(x - 3)$ để rút gọn dần, tránh phải quy đồng cả ba số hạng cùng lúc như Cách 1.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay $x = 5$ vào biểu thức gốc và vào kết quả đã rút gọn để xác nhận công thức tổng quát, trước khi áp dụng cho $x = 103$ .

Tại

x = 5

: vế trái

= \frac{18}{2 \cdot 16} - \frac{3}{4} - \frac{5}{16} = \frac{18}{32} - \frac{24}{32} - \frac{10}{32} = \frac{- 16}{32} = - \frac{1}{2}

\frac{1}{3 - x}

tại

x = 5

\frac{1}{- 2} = - \frac{1}{2}

Vậy hai giá trị khớp nhau tại $x = 5$ , xác nhận $Q = \frac{1}{3 - x}$ đúng, nên tại $x = 103$ ta có $Q = - \frac{1}{100}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phân tích đủ ba mẫu rồi quy đồng một lần theo mẫu chung nhỏ nhất

(x - 3)^{2} (x + 3)

, chắc chắn hơn việc nhóm từng cặp như Cách 2.

Đáp số. a)

Q = \frac{1}{3 - x}

(với

x \neq = 3, x \neq = - 3

); b) tại

x = 103

Q = - \frac{1}{100}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp nhất (kể cả ở một số bản lời giải lưu hành trên mạng) là rút gọn nhầm dấu ở bước cuối, ra

Q = \frac{x - 3}{x + 3}

hoặc

Q = \frac{3 - x}{x + 3}

thay vì

\frac{1}{3 - x}

— đây chính là lí do bài này phải verify lại bằng sympy trước khi ghi đáp số, không được tin ngay kết quả tự tính tay hay lời giải tham khảo.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật,

\frac{8}{( x - 2 ) ( x ^{2} - 4 )} - \frac{2}{x ^{2} - 4 x + 4} - \frac{x}{x ^{2} - 4}

cũng rút gọn theo đúng ba bước phân tích mẫu như bài này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 6.21★★★Trang 10— Chứng minh đẳng thức phân thức bằng cách quy đồng và dùng giả thiết

Bài 6.21 (trang 10). a) Chứng minh rằng nếu

a, b, c \neq = 0, a + b + c = 0

thì

\frac{1}{ab} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a} = 0

. b) Chứng minh rằng nếu

x \neq = y, y \neq = z, z \neq = x

thì

\frac{1}{( x - y ) ( y - z )} + \frac{1}{( y - z ) ( z - x )} + \frac{1}{( z - x ) ( x - y )} = 0

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc cộng phân thức khác mẫu: quy đồng rồi cộng tử.
Nhận xét: $(z - x) + (x - y) + (y - z) = 0$ với mọi $x, y, z$ — chìa khoá cho câu b.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) ba mẫu

ab, b c, c a

có mẫu chung nhỏ nhất là

ab c

— dấu hiệu quy đồng rồi thay giả thiết

a + b + c = 0

vào tử. Câu b) ba mẫu đều là tích của hai trong ba hiệu

(x - y), (y - z), (z - x)

— dấu hiệu mẫu chung là

(x - y) (y - z) (z - x)

, và đặc biệt câu này KHÔNG cần giả thiết gì thêm vì tử sau khi quy đồng luôn triệt tiêu về

0

với MỌI

x, y, z

phân biệt. Bẫy ở câu b là tưởng cần thêm điều kiện như câu a rồi loay hoay tìm giả thiết không có thật.

1Cách 1. Quy đồng về mẫu chung rồi thay giả thiết (câu a) hoặc rút gọn trực tiếp (câu b)

Định hướng. Câu a quy đồng về $ab c$ , tử là $c + a + b$ , thay $a + b + c = 0$ . Câu b quy đồng về $(x - y) (y - z) (z - x)$ , tử là tổng ba hiệu luôn bằng $0$ .

\frac{1}{ab} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a} = \frac{c}{ab c} + \frac{a}{ab c} + \frac{b}{ab c} = \frac{a + b + c}{ab c}

Vì

a + b + c = 0

nên

\frac{a + b + c}{ab c} = \frac{0}{ab c} = 0

\frac{1}{( x - y ) ( y - z )} + \frac{1}{( y - z ) ( z - x )} + \frac{1}{( z - x ) ( x - y )}

= \frac{( z - x ) + ( x - y ) + ( y - z )}{( x - y ) ( y - z ) ( z - x )} = \frac{0}{( x - y ) ( y - z ) ( z - x )} = 0

Vậy a) và b) đều được chứng minh bằng $0$ (đpcm).

2Cách 2. Thế một biến theo hai biến còn lại rồi rút gọn trực tiếp

Định hướng. Câu a thay $c = - a - b$ (từ giả thiết) trực tiếp vào biểu thức rồi rút gọn về $0$ mà không cần quy đồng chung cả ba phân thức trước.

c = - a - b

\frac{1}{ab} + \frac{1}{b ( - a - b )} + \frac{1}{( - a - b ) a} = \frac{1}{ab} - \frac{1}{b ( a + b )} - \frac{1}{a ( a + b )}

= \frac{1}{ab} - \frac{a + b}{ab ( a + b )} = \frac{1}{ab} - \frac{1}{ab} = 0

Vậy a) vẫn chứng minh được bằng $0$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 (thế biến trước) phù hợp khi giả thiết cho một hệ thức giữa các biến; Cách 1 (quy đồng rồi thay giả thiết vào tử) gọn và tổng quát hơn — nên dùng làm cách chính.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách thay bộ số cụ thể thoả mãn giả thiết

Định hướng. Chọn một bộ số cụ thể thoả điều kiện của mỗi câu để kiểm tra tính đúng đắn của phép chứng minh (không thay cho việc chứng minh tổng quát).

a) chọn

a = 1, b = 2, c = - 3

(thoả

a + b + c = 0

\frac{1}{2} + \frac{1}{- 6} + \frac{1}{- 3} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} - \frac{2}{6} = 0

b) chọn

x = 1, y = 2, z = 4

(đôi một khác nhau):

\frac{1}{( - 1 ) ( - 2 )} + \frac{1}{( - 2 ) ( 3 )} + \frac{1}{( 3 ) ( - 1 )} = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} - \frac{1}{3} = 0

Vậy cả hai phép thử đều cho $0$ , phù hợp với kết quả chứng minh tổng quát ở Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quy đồng về mẫu chung rồi thay giả thiết (câu a) hoặc nhận ra tổng ba hiệu bằng

0

(câu b) — đây là cách trình bày chứng minh chuẩn mực nhất.

Đáp số. a)

\frac{1}{ab} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a} = 0

khi

a + b + c = 0

(đpcm). b)

\frac{1}{( x - y ) ( y - z )} + \frac{1}{( y - z ) ( z - x )} + \frac{1}{( z - x ) ( x - y )} = 0

với mọi

x, y, z

đôi một khác nhau (đpcm, không cần thêm giả thiết).

Sai lầm thường gặp. Ở câu b, cố tình áp dụng giả thiết kiểu "tổng bằng

0

" như câu a (ví dụ đi tìm điều kiện

x + y + z = 0

) trong khi câu b là một đẳng thức ĐÚNG VỚI MỌI

x, y, z

phân biệt, không cần thêm giả thiết nào — nhầm lẫn này khiến lời giải dài dòng và sai hướng.

🚀 Mở rộng. Cùng ý tưởng câu b, đẳng thức

\frac{1}{( a - b ) ( a - c )} + \frac{1}{( b - a ) ( b - c )} + \frac{1}{( c - a ) ( c - b )} = 0

cũng là một biến thể của cùng một nhận xét: tổng ba hiệu vòng quanh luôn bằng

0

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 6.22★★★Trang 10— Chứng minh biểu thức phân thức nhận giá trị không đổi khi biến thay đổi theo một ràng buộc

Bài 6.22 (trang 10). Cho biểu thức

P = \frac{x}{y - 2} + \frac{2 x - 3 y}{x - 6}

. Chứng minh rằng khi

x, y

thay đổi luôn thoả mãn điều kiện

3 y - x = 6

thì

P

có giá trị không đổi.

Kiến thức cần nhớ

Thế biến theo ràng buộc đã cho để giảm số biến của biểu thức.
Biểu thức nhận giá trị không đổi khi sau khi rút gọn theo ràng buộc, biến hoàn toàn triệt tiêu.

🧠 Phân tích tư duy

Điều kiện

3 y - x = 6

cho phép rút

x = 3 y - 6

(hoặc

y = \frac{x + 6}{3}

) — dấu hiệu thế một biến theo biến kia để đưa

P

về biểu thức chỉ còn MỘT biến, từ đó rút gọn xem có triệt tiêu biến đó hay không. Hướng thế

x = 3 y - 6

vào cả hai mẫu và tử là cách trực tiếp nhất. Bẫy là quên kiểm tra mẫu mới có còn chứa biến hay không trước khi kết luận "không đổi" — phải thấy rõ biến biến mất hoàn toàn sau khi rút gọn.

1Cách 1. Thế

x = 3 y - 6

trực tiếp vào

P

rồi rút gọn

Định hướng. Từ $3 y - x = 6$ suy ra $x = 3 y - 6$ ; thế vào cả tử và mẫu của $P$ , rút gọn để thấy $y$ triệt tiêu hoàn toàn.

x = 3 y - 6 \Rightarrow x - 6 = 3 y - 12 = 3 (y - 4)

;

2 x - 3 y = 2 (3 y - 6) - 3 y = 6 y - 12 - 3 y = 3 y - 12 = 3 (y - 4)

P = \frac{3 y - 6}{y - 2} + \frac{3 ( y - 4 )}{3 ( y - 4 )} = \frac{3 ( y - 2 )}{y - 2} + 1 = 3 + 1 = 4

Vậy $P = 4$ với mọi $x, y$ thoả $3 y - x = 6$ (và $y \neq = 2, y \neq = 4$ ) — $P$ không đổi (đpcm).

2Cách 2. Thế

y = \frac{x + 6}{3}

theo biến

x

rồi rút gọn

Định hướng. Từ $3 y - x = 6$ suy ra $y = \frac{x + 6}{3}$ ; thế vào $P$ theo biến $x$ để kiểm tra lại kết quả bằng một hướng thế khác.

y - 2 = \frac{x + 6}{3} - 2 = \frac{x}{3}

;

2 x - 3 y = 2 x - (x + 6) = x - 6

P = \frac{x}{\frac{x}{3}} + \frac{x - 6}{x - 6} = 3 + 1 = 4

Vậy vẫn ra $P = 4$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Dù thế theo biến nào (rút $x$ theo $y$ hay $y$ theo $x$ ), kết quả không đổi vẫn là $P = 4$ — xác nhận đây đúng là một hằng số, không phụ thuộc cách chọn biến để thế.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng hai cặp số cụ thể cùng thoả mãn ràng buộc

Định hướng. Chọn hai cặp $(x, y)$ khác nhau nhưng cùng thoả $3 y - x = 6$ , tính trực tiếp $P$ để xác nhận luôn cho cùng một giá trị.

Cặp 1:

y = 3 \Rightarrow x = 3

P = \frac{3}{1} + \frac{6 - 9}{- 3} = 3 + 1 = 4

Cặp 2:

y = 5 \Rightarrow x = 9

P = \frac{9}{3} + \frac{18 - 15}{3} = 3 + 1 = 4

Vậy cả hai cặp số đều cho $P = 4$ , phù hợp với kết quả chứng minh tổng quát ở Cách 1, Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thế

x = 3 y - 6

trực tiếp, đưa

P

về biểu thức chỉ còn

y

rồi rút gọn thẳng, trình bày chứng minh gọn nhất.

Đáp số.

P = 4

với mọi

x, y

thoả

3 y - x = 6

(và

y \neq = 2, y \neq = 4

) —

P

luôn không đổi (đpcm).

Sai lầm thường gặp. Thế

x = 3 y - 6

vào

P

nhưng chỉ rút gọn một trong hai phân thức rồi vội kết luận "không đổi" khi thấy phân thức đó ra hằng số, quên kiểm tra phân thức còn lại cũng phải triệt tiêu hết biến

y

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật, nếu đổi ràng buộc thành

2 y - x = 4

, biểu thức

P = \frac{x}{y - 2} + \frac{2 x - 4 y}{x - 4}

cũng có thể chứng minh nhận giá trị không đổi bằng cách thế

x = 2 y - 4

rồi rút gọn tương tự.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 6.23★★★Trang 10— Rút gọn phân thức bằng cách nhóm nhân tử, biến đổi biểu thức về dạng

a + \frac{b}{x - 3}

, rồi tìm giá trị nguyên

Bài 6.23 (trang 10). Cho biểu thức

P = \frac{2 x - 6}{x ^{3} - 3 x ^{2} - x + 3} + \frac{2 x ^{2}}{1 - x ^{2}} - \frac{6}{x - 3}

(với

x \neq = 3, x \neq = 1, x \neq = - 1

). a) Rút gọn phân thức

\frac{2 x - 6}{x ^{3} - 3 x ^{2} - x + 3}

. b) Chứng tỏ rằng có thể viết

P = a + \frac{b}{x - 3}

trong đó

a, b

là những hằng số. c) Tìm tập hợp các giá trị nguyên của

x

để

P

có giá trị là số nguyên.

Kiến thức cần nhớ

Phân tích đa thức bốn hạng tử bằng cách nhóm hai cặp có nhân tử chung.
Số nguyên $\frac{b}{x - 3}$ khi và chỉ khi $(x - 3)$ là ước của $b$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mẫu

x^{3} - 3 x^{2} - x + 3

có bốn hạng tử — dấu hiệu phân tích bằng cách nhóm:

x^{2} (x - 3) - (x - 3) = (x - 3) (x^{2} - 1)

. Sau khi rút gọn câu a), cả ba số hạng của

P

đều quy được về mẫu chứa

(x - 1) (x + 1)

hoặc

(x - 3)

— dấu hiệu gộp hai số hạng đầu trước (cùng mẫu

x^{2} - 1

sau khi đổi dấu), phần còn lại ghép với

\frac{- 6}{x - 3}

để ra đúng dạng

a + \frac{b}{x - 3}

. Câu c) sau khi có dạng này,

P

nguyên khi và chỉ khi

(x - 3)

là ước của

b

— bẫy là quên loại giá trị

x = 1

(vi phạm điều kiện xác định) ra khỏi tập nghiệm.

1Cách 1. Nhóm nhân tử (câu a), gộp hai số hạng đầu rồi cộng với số hạng thứ ba (câu b), xét ước số (câu c)

Định hướng. Câu a nhóm mẫu thành tích. Câu b đổi dấu $1 - x^{2} = - (x^{2} - 1)$ , gộp hai số hạng đầu về cùng mẫu $x^{2} - 1$ , rồi cộng với số hạng thứ ba. Câu c dựa vào dạng $a + \frac{b}{x - 3}$ để tìm $x$ nguyên.

x^{3} - 3 x^{2} - x + 3 = x^{2} (x - 3) - (x - 3) = (x - 3) (x^{2} - 1) = (x - 3) (x - 1) (x + 1)

\frac{2 x - 6}{x ^{3} - 3 x ^{2} - x + 3} = \frac{2 ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{2}{x ^{2} - 1}

P = \frac{2}{x ^{2} - 1} + \frac{2 x ^{2}}{1 - x ^{2}} - \frac{6}{x - 3} = \frac{2}{x ^{2} - 1} - \frac{2 x ^{2}}{x ^{2} - 1} - \frac{6}{x - 3}

= \frac{2 - 2 x ^{2}}{x ^{2} - 1} - \frac{6}{x - 3} = \frac{- 2 ( x ^{2} - 1 )}{x ^{2} - 1} - \frac{6}{x - 3} = - 2 + \frac{- 6}{x - 3}

P = - 2 + \frac{- 6}{x - 3}

nguyên

\Leftrightarrow (x - 3)

là ước của

6

x - 3 \in {\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6}

x \in {4, 2, 5, 1, 6, 0, 9, - 3}

, loại

x = 1

(vi phạm ĐKXĐ)

Vậy a) $\frac{2}{x ^{2} - 1}$ ; b) $P = - 2 + \frac{- 6}{x - 3}$ ( $a = - 2, b = - 6$ ); c) $x \in {- 3; 0; 2; 4; 5; 6; 9}$ .

2Cách 2. Quy đồng cả ba số hạng về một mẫu chung duy nhất rồi mới tách

Định hướng. Không gộp từng cặp, quy đồng thẳng cả ba số hạng của $P$ về mẫu chung $(x - 3) (x - 1) (x + 1)$ , rồi chia đa thức tử cho $(x - 1) (x + 1)$ để tách ra dạng $a + \frac{b}{x - 3}$ .

P = \frac{2 ( x - 3 ) + 2 x ^{2} ( x - 3 ) \cdot ( - 1 ) \cdot ( - 1 ) - 6 ( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x - 3 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )}

(quy đồng đủ ba số hạng)
Sau khi khai triển và rút gọn tử theo mẫu chung, tử số chia hết cho

(x - 1) (x + 1)

, phần thương chính là

- 2 (x - 3) - 6

, tức

P = \frac{- 2 ( x - 3 ) - 6}{x - 3} = - 2 - \frac{6}{x - 3}

Vậy b) vẫn ra $P = - 2 + \frac{- 6}{x - 3}$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 (rút gọn từng bước, gộp theo cặp) rõ ràng và ít sai sót hơn hẳn; Cách 2 quy đồng một lần cả ba số hạng dễ nhầm dấu khi khai triển đa thức bậc ba.

3Cách 3. Kiểm tra lại câu a, b bằng số và liệt kê minh hoạ câu c

Định hướng. Thay $x = 2$ vào biểu thức gốc và vào dạng đã rút gọn để kiểm tra câu a, b; với câu c, thử trực tiếp một giá trị trong tập nghiệm để xác nhận $P$ nguyên.

Tại

x = 2

: vế trái

P = \frac{- 2}{- 3} + \frac{8}{- 3} - \frac{6}{- 1} = \frac{2}{3} - \frac{8}{3} + 6 = - 2 + 6 = 4

- 2 + \frac{- 6}{x - 3}

tại

x = 2

- 2 + \frac{- 6}{- 1} = - 2 + 6 = 4

Tại

x = 0

(thuộc tập nghiệm câu c):

P = - 2 + \frac{- 6}{- 3} = - 2 + 2 = 0

, là số nguyên

Vậy kết quả câu a, b được xác nhận đúng; $x = 0$ cho $P = 0 \in Z$ , phù hợp tập nghiệm câu c.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: rút gọn phân thức đầu bằng nhóm nhân tử, rồi gộp theo từng cặp cùng mẫu trước khi cộng số hạng thứ ba — vừa gọn vừa ít sai dấu hơn Cách 2.

Đáp số. a)

\frac{2}{x ^{2} - 1}

; b)

P = - 2 + \frac{- 6}{x - 3}

(với

a = - 2, b = - 6

); c)

x \in {- 3; 0; 2; 4; 5; 6; 9}

Sai lầm thường gặp. Ở câu c, quên đối chiếu tập nghiệm

x - 3

là ước của

6

với điều kiện xác định ban đầu

x \neq = 3, 1, - 1

, giữ nhầm cả

x = 1

trong đáp số cuối cùng dù

x = 1

vi phạm ĐKXĐ.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật, nếu đổi hệ số thành

\frac{2 x - 6}{x ^{3} - 3 x ^{2} - x + 3} + \frac{2 x ^{2}}{1 - x ^{2}} - \frac{10}{x - 3}

thì

P = - 2 + \frac{- 10}{x - 3}

, và tập giá trị nguyên của

x

sẽ đổi theo ước của

10

thay vì ước của

6

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 6.24★★★Trang 10— Rút gọn phân thức bằng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương, rồi biện luận giá trị nguyên

Bài 6.24 (trang 10). a) Rút gọn biểu thức

P = \frac{x ^{2} + 2 x}{x ^{3} - 1} - \frac{1}{x ^{2} - x} - \frac{1}{x ^{2} + x + 1}

(với

x \neq = 0, x \neq = 1

). b) Chứng tỏ rằng chỉ có một giá trị nguyên của

x

để

P

cũng nhận giá trị nguyên.

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: $x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .
Phân thức $\frac{1}{x}$ nguyên khi và chỉ khi $x$ là ước của $1$ , tức $x = 1$ hoặc $x = - 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mẫu

x^{3} - 1

phân tích được thành

(x - 1) (x^{2} + x + 1)

, còn

x^{2} - x = x (x - 1)

— dấu hiệu mẫu chung nhỏ nhất là

x (x - 1) (x^{2} + x + 1)

. Hướng quy đồng cả ba số hạng về mẫu này rồi rút gọn triệt để là bước chính; kết quả gọn bất ngờ về

\frac{1}{x}

nên câu b) chỉ còn xét khi nào

\frac{1}{x}

nguyên. Bẫy ở câu b là quên đối chiếu với ĐKXĐ

x \neq = 0, 1

khi liệt kê nghiệm, dẫn tới đếm sai số lượng giá trị nguyên hợp lệ.

1Cách 1. Quy đồng theo mẫu chung nhỏ nhất rồi rút gọn (câu a), xét ước của

1

(câu b)

Định hướng. Phân tích $x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ , $x^{2} - x = x (x - 1)$ , quy đồng ba số hạng về mẫu chung $x (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

P = \frac{( x ^{2} + 2 x ) \cdot x}{x ( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )} - \frac{x ^{2} + x + 1}{x ( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )} - \frac{x ( x - 1 )}{x ( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )}

= \frac{x ^{3} + 2 x ^{2} - ( x ^{2} + x + 1 ) - ( x ^{2} - x )}{x ( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )} = \frac{x ^{3} + 2 x ^{2} - x ^{2} - x - 1 - x ^{2} + x}{x ( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )}

= \frac{x ^{3} - 1}{x ( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )} = \frac{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )}{x ( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )} = \frac{1}{x}

Vậy a) $P = \frac{1}{x}$ (với $x \neq = 0, x \neq = 1$ ); b) $P$ nguyên $\Leftrightarrow \frac{1}{x}$ nguyên $\Leftrightarrow x \in {1, - 1}$ ; loại $x = 1$ (vi phạm ĐKXĐ) nên chỉ còn DUY NHẤT $x = - 1$ thoả mãn (đpcm).

2Cách 2. Rút gọn từng cặp số hạng theo thứ tự khác trước khi gộp

Định hướng. Gộp số hạng thứ nhất và thứ ba trước (cùng liên quan $x^{2} + x + 1$ ), phần còn lại xử lí sau, để kiểm tra lại kết quả bằng một thứ tự gộp khác.

\frac{x ^{2} + 2 x}{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )} - \frac{1}{x ^{2} + x + 1} = \frac{x ^{2} + 2 x - ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )} = \frac{x ^{2} + x + 1}{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )} = \frac{1}{x - 1}

P = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x ( x - 1 )} = \frac{x}{x ( x - 1 )} - \frac{1}{x ( x - 1 )} = \frac{x - 1}{x ( x - 1 )} = \frac{1}{x}

Vậy vẫn ra $P = \frac{1}{x}$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 gộp theo thứ tự khác cho phép rút gọn dần qua từng bước nhỏ, tránh phải quy đồng cả ba số hạng cùng lúc như Cách 1 — cả hai đều hợp lệ, chọn cách nào tuỳ nhân tử nào lộ ra rõ hơn trước.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách thay giá trị cụ thể và thử trực tiếp câu b

Định hướng. Thay $x = 2$ để kiểm tra câu a; thử cả hai giá trị $x = 1$ và $x = - 1$ để kiểm tra câu b.

Tại

x = 2

: vế trái

= \frac{8}{7} - \frac{1}{2} - \frac{1}{7} = 1 - 0, 5 = 0, 5

;

\frac{1}{x} = \frac{1}{2} = 0, 5

Tại

x = - 1

P = \frac{1}{- 1} = - 1 \in Z

(hợp lệ vì

- 1 \neq = 0, 1

)
Tại

x = 1

P = \frac{1}{1} = 1

nhưng

x = 1

VI PHẠM điều kiện xác định

x \neq = 1

nên không được nhận

Vậy đúng chỉ có $x = - 1$ thoả mãn, xác nhận câu b (đpcm).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quy đồng thẳng theo mẫu chung nhỏ nhất, nhận ra tử chính là

x^{3} - 1

để rút gọn nhanh về

\frac{1}{x}

Đáp số. a)

P = \frac{1}{x}

(với

x \neq = 0, x \neq = 1

); b) chỉ có

x = - 1

là giá trị nguyên duy nhất làm

P

nhận giá trị nguyên (đpcm).

Sai lầm thường gặp. Ở câu b, tìm ra cả hai nghiệm

x = 1

và

x = - 1

của phương trình "

x

là ước của

1

" rồi kết luận có HAI giá trị nguyên, quên loại

x = 1

vì nó vi phạm điều kiện xác định

x \neq = 1

đã nêu ngay trong đề.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật, biểu thức

P = \frac{x ^{2} + 3 x}{x ^{3} - 1} - \frac{1}{x ^{2} - x} - \frac{2}{x ^{2} + x + 1}

(đổi hệ số) sẽ rút gọn về một phân thức khác, không nhất thiết còn dạng

\frac{1}{x}

đơn giản như bài này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 6.25★★★Trang 10— Lập phân thức từ bài toán chuyển động nhiều chặng có sự cố dọc đường

Bài 6.25 (trang 10). Một tàu chở hàng đi từ cảng A đến cảng B cách nhau

900

km với vận tốc không đổi là

x

(km/h). Khi đi được

\frac{1}{3}

quãng đường thì một động cơ của tàu bị hỏng nên tàu chỉ còn chạy với vận tốc

12

km/h trong suốt

3

giờ sửa chữa động cơ. Để về cảng B không muộn hơn dự định, tàu phải tăng vận tốc thêm

5

km/h. Viết phân thức tính thời gian thực tế để tàu đi từ cảng A đến cảng B.

Kiến thức cần nhớ

Công thức $t = \frac{s}{v}$ và $s = v \cdot t$ (quãng đường đi được trong lúc sửa chữa vẫn di chuyển chậm).
Quy tắc cộng phân thức khác mẫu: quy đồng rồi cộng.

🧠 Phân tích tư duy

Đề mô tả ba giai đoạn: đi

\frac{1}{3}

quãng đường đầu với vận tốc

x

, dừng sửa chữa

3

giờ (trong đó tàu vẫn di chuyển với vận tốc chậm

12

km/h), rồi đi hết quãng đường còn lại với vận tốc

x + 5

— dấu hiệu phải tính RIÊNG quãng đường mỗi giai đoạn trước khi lập phân thức thời gian, không được gộp ẩu. Hướng tính quãng đường giai đoạn hai (

12 \times 3 = 36

km) rồi trừ ra quãng đường còn lại (

900 - 300 - 36

) là bước mấu chốt. Bẫy hay gặp là quên trừ đi

36

km đã đi được trong lúc sửa chữa, tính nhầm quãng đường còn lại là

900 - 300 = 600

km.

1Cách 1. Tính quãng đường từng giai đoạn rồi lập và cộng ba khoảng thời gian

Định hướng. Tính $\frac{1}{3}$ quãng đường đầu, quãng đường đi được trong $3$ giờ sửa chữa, suy ra quãng đường còn lại; lập ba phân thức thời gian rồi cộng.

\frac{1}{3}

quãng đường đầu:

\frac{900}{3} = 300

km, thời gian

\frac{300}{x}

(giờ)
Quãng đường đi trong lúc sửa chữa (

3

giờ, vận tốc

12

km/h):

12 \cdot 3 = 36

km, thời gian sửa chữa là

3

giờ
Quãng đường còn lại:

900 - 300 - 36 = 564

km, vận tốc

x + 5

(km/h), thời gian

\frac{564}{x + 5}

(giờ)
Thời gian thực tế:

\frac{300}{x} + 3 + \frac{564}{x + 5} = \frac{300 ( x + 5 )}{x ( x + 5 )} + \frac{3 x ( x + 5 )}{x ( x + 5 )} + \frac{564 x}{x ( x + 5 )}

= \frac{300 x + 1500 + 3 x ^{2} + 15 x + 564 x}{x ( x + 5 )} = \frac{3 x ^{2} + 879 x + 1500}{x ( x + 5 )}

Vậy thời gian thực tế tàu đi từ cảng A đến cảng B là $\frac{3 x ^{2} + 879 x + 1500}{x ( x + 5 )}$ giờ (với $x > 0$ ).

2Cách 2. Giữ nguyên tổng ba số hạng chưa quy đồng làm phân thức biểu thị thời gian

Định hướng. Yêu cầu đề chỉ là "viết phân thức tính thời gian"; tổng $\frac{300}{x} + 3 + \frac{564}{x + 5}$ đã là một phân thức hợp lệ (dạng tổng), quy đồng chỉ để có MỘT biểu thức duy nhất khi cần.

Thời gian thực tế

= \frac{300}{x} + 3 + \frac{564}{x + 5}

(giờ)
Quy đồng để kiểm tra lại: mẫu chung

x (x + 5)

= \frac{300 ( x + 5 ) + 3 x ( x + 5 ) + 564 x}{x ( x + 5 )} = \frac{3 x ^{2} + 879 x + 1500}{x ( x + 5 )}

Vậy kết quả vẫn là $\frac{3 x ^{2} + 879 x + 1500}{x ( x + 5 )}$ giờ, khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 quy đồng ngay để có một phân thức duy nhất, đúng tinh thần "viết phân thức" mà đề yêu cầu; Cách 2 cho thấy vì sao bước quy đồng là cần thiết.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách thay một giá trị cụ thể của

x

Định hướng. Thay $x = 100$ (km/h) vào tổng ba số hạng chưa quy đồng và vào phân thức đã rút gọn để đối chiếu.

Tổng ba số hạng tại

x = 100

\frac{300}{100} + 3 + \frac{564}{105} = 3 + 3 + 5, 371 \dots = 11, 371 \dots

Phân thức đã rút gọn tại

x = 100

\frac{30000 + 87900 + 1500}{100 \cdot 105} = \frac{119400}{10500} = 11, 371 \dots

Vậy hai giá trị khớp nhau, xác nhận đúng phân thức $\frac{3 x ^{2} + 879 x + 1500}{x ( x + 5 )}$ ở Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính rõ quãng đường từng giai đoạn (đặc biệt nhớ trừ quãng đường đã đi trong lúc sửa chữa) rồi lập và quy đồng luôn ba phân thức thời gian.

Đáp số. Thời gian thực tế tàu đi từ cảng A đến cảng B là

\frac{3 x ^{2} + 879 x + 1500}{x ( x + 5 )}

giờ (với

x > 0

Sai lầm thường gặp. Quên rằng trong

3

giờ sửa chữa, tàu vẫn di chuyển được

36

km với vận tốc

12

km/h, tính nhầm quãng đường còn lại là

900 - 300 = 600

km thay vì

564

km, làm sai toàn bộ phân thức thời gian ở chặng cuối.

🚀 Mở rộng. Nếu vận tốc lúc sự cố là

10

km/h (thay vì

12

km/h) trong cùng

3

giờ, quãng đường đi được lúc sửa chữa là

30

km, quãng đường còn lại đổi thành

570

km, các bước lập phân thức thời gian còn lại hoàn toàn tương tự.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 6.26★★★Trang 10— Lập phân thức chiều cao hình hộp chữ nhật từ thể tích và diện tích đáy, rồi cộng, trừ hai phân thức

Bài 6.26 (trang 10). Cho hai hình hộp chữ nhật bằng nhau, cùng có thể tích

200

^{3}

và một hình hộp chữ nhật có thể tích

500

^{3}

, sắp xếp chồng lên nhau như trong hình vẽ của sách (đáy các hình hộp có kích thước tính theo

x

: hình hộp

500

^{3}

có đáy

x (x + 2)

^{2}

, hai hình hộp

200

^{3}

có đáy

x (x + 1)

^{2}

; độ dài các cạnh tính bằng cm). Viết các phân thức biểu thị độ dài (tính bằng cm) của các đoạn thẳng

A C

và

D E

, biết

A C

là tổng chiều cao của hình hộp

500

^{3}

và một hình hộp

200

^{3}

xếp chồng lên nó, còn

D E

là hiệu chiều cao giữa hình hộp

500

^{3}

và một hình hộp

200

^{3}

Kiến thức cần nhớ

Công thức thể tích hình hộp chữ nhật: $V = S \cdot h$ , suy ra $h = \frac{V}{S}$ .
Quy tắc cộng, trừ phân thức khác mẫu: quy đồng rồi cộng hoặc trừ tử thức.

🧠 Phân tích tư duy

Thể tích, diện tích đáy đã cho sẵn — dấu hiệu dùng công thức

V = S \cdot h

suy ra

h = \frac{V}{S}

để lập phân thức chiều cao cho từng loại hình hộp trước, rồi mới cộng (cho

A C

) hoặc trừ (cho

D E

) hai chiều cao đó. Hướng lập riêng hai phân thức chiều cao rồi quy đồng theo mẫu chung

x (x + 1) (x + 2)

là bước chính. Bẫy là nhầm vai trò của

A C

(tổng) với

D E

(hiệu) — phải đọc kĩ hình vẽ mô tả đoạn nào là tổng, đoạn nào là hiệu trước khi đặt phép tính.

1Cách 1. Lập phân thức chiều cao từng hình hộp rồi cộng (AC), trừ (DE)

Định hướng. Chiều cao hình hộp $500$ cm $^{3}$ là $\frac{500}{x ( x + 2 )}$ , chiều cao hình hộp $200$ cm $^{3}$ là $\frac{200}{x ( x + 1 )}$ ; cộng hai chiều cao này ra $A C$ , trừ ra $D E$ .

Chiều cao hộp

500

^{3}

\frac{500}{x ( x + 2 )}

(cm); chiều cao hộp

200

^{3}

\frac{200}{x ( x + 1 )}

(cm)

A C = \frac{500}{x ( x + 2 )} + \frac{200}{x ( x + 1 )} = \frac{500 ( x + 1 )}{x ( x + 1 ) ( x + 2 )} + \frac{200 ( x + 2 )}{x ( x + 1 ) ( x + 2 )}

= \frac{500 x + 500 + 200 x + 400}{x ( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{700 x + 900}{x ( x + 1 ) ( x + 2 )}

D E = \frac{500}{x ( x + 2 )} - \frac{200}{x ( x + 1 )} = \frac{500 ( x + 1 ) - 200 ( x + 2 )}{x ( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{500 x + 500 - 200 x - 400}{x ( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{300 x + 100}{x ( x + 1 ) ( x + 2 )}

Vậy $A C = \frac{700 x + 900}{x ( x + 1 ) ( x + 2 )}$ cm; $D E = \frac{300 x + 100}{x ( x + 1 ) ( x + 2 )}$ cm (với $x > 0$ ).

2Cách 2. Đặt thừa số chung

100

ở tử trước khi quy đồng để rút gọn nhẹ hơn

Định hướng. Nhận ra cả $500$ và $200$ đều chia hết cho $100$ , rút gọn phân thức chiều cao trước khi cộng, trừ để hệ số nhỏ hơn.

Chiều cao hộp

500

^{3}

\frac{500}{x ( x + 2 )} = \frac{100 \cdot 5}{x ( x + 2 )}

; chiều cao hộp

200

^{3}

\frac{200}{x ( x + 1 )} = \frac{100 \cdot 2}{x ( x + 1 )}

A C = 100 (\frac{5}{x ( x + 2 )} + \frac{2}{x ( x + 1 )}) = 100 \cdot \frac{5 ( x + 1 ) + 2 ( x + 2 )}{x ( x + 1 ) ( x + 2 )} = 100 \cdot \frac{7 x + 9}{x ( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{700 x + 900}{x ( x + 1 ) ( x + 2 )}

D E = 100 (\frac{5}{x ( x + 2 )} - \frac{2}{x ( x + 1 )}) = 100 \cdot \frac{5 ( x + 1 ) - 2 ( x + 2 )}{x ( x + 1 ) ( x + 2 )} = 100 \cdot \frac{3 x + 1}{x ( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{300 x + 100}{x ( x + 1 ) ( x + 2 )}

Vậy kết quả vẫn khớp Cách 1: $A C = \frac{700 x + 900}{x ( x + 1 ) ( x + 2 )}$ cm; $D E = \frac{300 x + 100}{x ( x + 1 ) ( x + 2 )}$ cm.

Nhận xét. Đặt thừa số chung $100$ trước giúp các hệ số trong lúc quy đồng ( $5, 2$ thay vì $500, 200$ ) nhỏ hơn, giảm khả năng tính nhầm.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách thay giá trị cụ thể của

x

Định hướng. Thay $x = 8$ (đủ lớn để các phép chia thể tích cho diện tích đáy ra số đẹp) vào cả công thức chưa gộp và công thức đã rút gọn để đối chiếu.

Chiều cao hộp

500

tại

x = 8

\frac{500}{8 \cdot 10} = 6, 25

; chiều cao hộp

200

tại

x = 8

\frac{200}{8 \cdot 9} \approx 2, 778

A C \approx 6, 25 + 2, 778 = 9, 028

; công thức

\frac{700 \cdot 8 + 900}{8 \cdot 9 \cdot 10} = \frac{6500}{720} \approx 9, 028

D E \approx 6, 25 - 2, 778 = 3, 472

; công thức

\frac{300 \cdot 8 + 100}{720} = \frac{2500}{720} \approx 3, 472

Vậy hai kết quả đều khớp nhau, xác nhận đúng công thức $A C$ và $D E$ ở Cách 1, Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đặt thừa số chung

100

ra ngoài trước khi quy đồng để làm việc với hệ số nhỏ (

5, 2

), giảm khả năng tính sai so với giữ nguyên

500, 200

như Cách 1.

Đáp số.

A C = \frac{700 x + 900}{x ( x + 1 ) ( x + 2 )}

cm;

D E = \frac{300 x + 100}{x ( x + 1 ) ( x + 2 )}

cm (với

x > 0

Sai lầm thường gặp. Nhầm lẫn vai trò của

A C

và

D E

trong hình (cộng nhầm thành trừ hoặc ngược lại) do không đọc kĩ hình vẽ mô tả cách xếp chồng ba hình hộp, dẫn tới đổi ngược đáp số của hai đoạn thẳng.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật, nếu đổi thể tích thành

300

^{3}

và

150

^{3}

với cùng dạng đáy

x (x + 2)

và

x (x + 1)

, công thức

A C

và

D E

được lập theo đúng quy trình tương tự bài này.

Mở bài này trong app ↗