Chương VI. Phân thức đại số

Bài 23. Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 2 · 12 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngVI #SáchBàiTập_Tập2 #trang9–10 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 6.15★Trang 9— Cộng nhiều phân thức cùng mẫu rồi rút gọn

Bài 6.15 (trang 9). Tính các tổng sau: a)

\frac{x ^{2} - 2}{x ( x - 1 ) ^{2}} + \frac{2 - x}{x ( x - 1 ) ^{2}}

; b)

\frac{1 - 2 x}{6 x ^{3} y} + \frac{3 + 2 x}{6 x ^{3} y} + \frac{2 x - 4}{6 x ^{3} y}

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc cộng nhiều phân thức cùng mẫu: cộng tất cả tử thức, giữ nguyên mẫu.
Rút gọn phân thức bằng cách chia cho nhân tử chung sau khi cộng.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai câu đều có sẵn các phân thức cùng mẫu — dấu hiệu cộng thẳng các tử thức rồi rút gọn. Câu a) tử sau khi cộng còn phân tích được nhân tử chung với mẫu

(x - 1)^{2}

; câu b) tử sau khi cộng chỉ còn một hằng số nhân với

x

, cần rút gọn hết luỹ thừa của

x

ở mẫu. Bẫy là cộng xong dừng lại, quên rút gọn tiếp.

1Cách 1. Cộng trực tiếp các tử thức rồi rút gọn

Định hướng. Cộng các tử thức, giữ nguyên mẫu; rút gọn nhân tử chung giữa tử và mẫu.

\frac{x ^{2} - 2}{x ( x - 1 ) ^{2}} + \frac{2 - x}{x ( x - 1 ) ^{2}} = \frac{( x ^{2} - 2 ) + ( 2 - x )}{x ( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} - x}{x ( x - 1 ) ^{2}}

= \frac{x ( x - 1 )}{x ( x - 1 ) ^{2}} = \frac{1}{x - 1}

\frac{( 1 - 2 x ) + ( 3 + 2 x ) + ( 2 x - 4 )}{6 x ^{3} y} = \frac{2 x}{6 x ^{3} y} = \frac{1}{3 x ^{2} y}

Vậy a) $\frac{1}{x - 1}$ (với $x \neq = 0, x \neq = 1$ ); b) $\frac{1}{3 x ^{2} y}$ (với $x, y \neq = 0$ ).

2Cách 2. Tách riêng phần cộng được ngay bằng tính giao hoán, kết hợp

Định hướng. Ở câu b, nhận ra $- 2 x$ và $2 x$ là hai số đối nhau trong ba tử thức, nhóm chúng lại trước.

(1 - 2 x) + (3 + 2 x) + (2 x - 4) = 1 + 3 - 4 + (- 2 x + 2 x) + 2 x = 0 + 0 + 2 x = 2 x

\frac{2 x}{6 x ^{3} y} = \frac{1}{3 x ^{2} y}

Vậy b) $\frac{1}{3 x ^{2} y}$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Nhóm số hạng đối nhau giúp cộng nhẩm nhanh hơn khi tử có nhiều hạng tử rời rạc.

3Cách 3. Kiểm tra lại cả hai câu bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay $x = 2$ (câu a) và $x = 1, y = 1$ (câu b) để đối chiếu với kết quả đã rút gọn.

a) tại

x = 2

: vế trái

= \frac{2}{2} + \frac{0}{2} = 1

;

\frac{1}{x - 1} = 1

b) tại

x = 1, y = 1

: vế trái

= \frac{- 1}{6} + \frac{5}{6} + \frac{- 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

;

\frac{1}{3 x ^{2} y} = \frac{1}{3}

Vậy cả hai kết quả ở Cách 1 đều được xác nhận đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: cộng thẳng rồi rút gọn, không cần tách nhóm như Cách 2.

Đáp số. a)

\frac{1}{x - 1}

(với

x \neq = 0, x \neq = 1

); b)

\frac{1}{3 x ^{2} y}

(với

x, y \neq = 0

Sai lầm thường gặp. Cộng xong tử ở câu a ra

x^{2} - x

rồi dừng lại ghi đáp số

\frac{x ^{2} - x}{x ( x - 1 ) ^{2}}

, quên nhận ra

x^{2} - x = x (x - 1)

còn chia hết cho nhân tử chung với mẫu.

🚀 Mở rộng. Cùng dạng,

\frac{x ^{2} - 3}{x ( x - 1 ) ^{2}} + \frac{3 - x}{x ( x - 1 ) ^{2}}

cũng rút gọn về

\frac{1}{x - 1}

theo đúng cách làm ở câu a.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 6.16★★Trang 9— Trừ phân thức cùng mẫu và khác mẫu (mẫu có nhân tử chung), rồi rút gọn

Bài 6.16 (trang 9). Tính các hiệu sau: a)

\frac{2 x ^{2} - 1}{x ^{2} - 3 x} - \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x ^{2} - 3 x}

; b)

\frac{1}{2 x - 3} - \frac{13}{( 2 x - 3 ) ( 4 x + 7 )}

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ .
Khi một mẫu là nhân tử của mẫu kia, mẫu chung chính là mẫu lớn hơn.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) đã cùng mẫu

x^{2} - 3 x = x (x - 3)

, chỉ cần trừ tử rồi rút gọn; tử sau khi khai triển

(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1

sẽ lộ nhân tử chung với mẫu. Câu b) hai mẫu

2 x - 3

và

(2 x - 3) (4 x + 7)

có sẵn nhân tử chung

2 x - 3

— dấu hiệu mẫu chung chính là mẫu lớn hơn

(2 x - 3) (4 x + 7)

, không cần nhân chéo. Bẫy ở câu a là quên khai triển

(x - 1) (x + 1)

trước khi trừ, dẫn tới không thấy được nhân tử chung

x

1Cách 1. Trừ cùng mẫu (câu a) và quy đồng theo mẫu đã là bội của nhau (câu b)

Định hướng. Câu a khai triển tử rồi trừ, rút gọn nhân tử chung $x$ . Câu b nhân tử và mẫu của $\frac{1}{2 x - 3}$ với $4 x + 7$ để cùng mẫu với phân thức còn lại.

\frac{2 x ^{2} - 1}{x ( x - 3 )} - \frac{x ^{2} - 1}{x ( x - 3 )} = \frac{( 2 x ^{2} - 1 ) - ( x ^{2} - 1 )}{x ( x - 3 )} = \frac{x ^{2}}{x ( x - 3 )} = \frac{x}{x - 3}

\frac{1}{2 x - 3} = \frac{4 x + 7}{( 2 x - 3 ) ( 4 x + 7 )}

\frac{4 x + 7}{( 2 x - 3 ) ( 4 x + 7 )} - \frac{13}{( 2 x - 3 ) ( 4 x + 7 )} = \frac{4 x + 7 - 13}{( 2 x - 3 ) ( 4 x + 7 )} = \frac{4 x - 6}{( 2 x - 3 ) ( 4 x + 7 )}

= \frac{2 ( 2 x - 3 )}{( 2 x - 3 ) ( 4 x + 7 )} = \frac{2}{4 x + 7}

Vậy a) $\frac{x}{x - 3}$ (với $x \neq = 0, x \neq = 3$ ); b) $\frac{2}{4 x + 7}$ (với $x \neq = \frac{3}{2}, x \neq = - \frac{7}{4}$ ).

2Cách 2. Chuyển phép trừ thành phép cộng với phân thức đối

Định hướng. Áp dụng $\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + \frac{- C}{D}$ cho cả hai câu.

\frac{2 x ^{2} - 1}{x ( x - 3 )} + \frac{- ( x ^{2} - 1 )}{x ( x - 3 )} = \frac{2 x ^{2} - 1 - x ^{2} + 1}{x ( x - 3 )} = \frac{x ^{2}}{x ( x - 3 )} = \frac{x}{x - 3}

\frac{4 x + 7}{( 2 x - 3 ) ( 4 x + 7 )} + \frac{- 13}{( 2 x - 3 ) ( 4 x + 7 )} = \frac{4 x - 6}{( 2 x - 3 ) ( 4 x + 7 )} = \frac{2}{4 x + 7}

Vậy cả hai câu đều khớp Cách 1.

Nhận xét. Hai cách cùng bản chất, chỉ khác cách trình bày phép trừ.

3Cách 3. Kiểm tra lại cả hai câu bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay $x = 2$ (câu a) và $x = 1$ (câu b) để đối chiếu với kết quả đã rút gọn.

a) tại

x = 2

: vế trái

= \frac{7}{- 2} - \frac{3}{- 2} = - 2

;

\frac{x}{x - 3} = \frac{2}{- 1} = - 2

b) tại

x = 1

: vế trái

= \frac{1}{- 1} - \frac{13}{- 11} = - 1 + \frac{13}{11} = \frac{2}{11}

;

\frac{2}{4 x + 7} = \frac{2}{11}

Vậy cả hai kết quả ở Cách 1 đều được xác nhận đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận diện mẫu này là bội của mẫu kia ở câu b để quy đồng nhanh, không cần nhân chéo cả hai mẫu.

Đáp số. a)

\frac{x}{x - 3}

(với

x \neq = 0, x \neq = 3

); b)

\frac{2}{4 x + 7}

(với

x \neq = \frac{3}{2}, x \neq = - \frac{7}{4}

Sai lầm thường gặp. Ở câu b, nhân chéo hai mẫu

2 x - 3

và

(2 x - 3) (4 x + 7)

với nhau ra mẫu chung dư thừa

(2 x - 3)^{2} (4 x + 7)

thay vì nhận ra mẫu thứ hai đã là bội của mẫu thứ nhất, khiến phép tính dài hơn và dễ tính sai khi rút gọn lại.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật câu b,

\frac{1}{3 x + 1} - \frac{5}{( 3 x + 1 ) ( x - 2 )}

cũng quy đồng nhanh theo mẫu

(3 x + 1) (x - 2)

mà không cần nhân chéo.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 6.17★★Trang 9— Cộng, trừ phân thức khác mẫu có nhân tử chung dạng đơn thức và dạng đối nhau

Bài 6.17 (trang 9). Tính: a)

\frac{5 x + y ^{2}}{x ^{2} y} - \frac{5 y - x ^{2}}{x y ^{2}}

; b)

\frac{y}{2 x ^{2} - x y} + \frac{4 x}{y ^{2} - 2 x y}

Kiến thức cần nhớ

Mẫu thức chung nhỏ nhất của hai đơn thức: lấy luỹ thừa cao nhất của mỗi biến.
Quy tắc đổi dấu khi hai mẫu chứa nhân tử đối nhau: $\frac{A}{B} = \frac{- A}{- B}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 6.18★★Trang 9— Cộng ba phân thức khác mẫu (mẫu chung nhỏ nhất và mẫu liên quan hằng đẳng thức tổng hai lập phương)

Bài 6.18 (trang 9). Tính các tổng sau: a)

\frac{5}{6 x ^{2} y} + \frac{7}{12 x y ^{2}} + \frac{11}{18 x y}

; b)

\frac{x ^{3} + 2 x}{x ^{3} + 1} + \frac{2 x}{x ^{2} - x + 1} + \frac{1}{x + 1}

Kiến thức cần nhớ

Mẫu thức chung nhỏ nhất của các đơn thức: BCNN hệ số, luỹ thừa cao nhất mỗi biến.
Hằng đẳng thức tổng hai lập phương: $x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 6.19★★Trang 9— Rút gọn biểu thức chứa phân thức và đa thức, dùng hằng đẳng thức tổng quát, rồi tính giá trị

Bài 6.19 (trang 9). a) Rút gọn biểu thức

P = \frac{x ^{4}}{1 - x} + x^{3} + x^{2} + x + 1

. b) Tính giá trị của

P

tại

x = - 99

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức: $(1 - x) (1 + x + x^{2} + x^{3}) = 1 - x^{4}$ .
Sau khi rút gọn, thay số vào biểu thức đã gọn sẽ tránh tính luỹ thừa lớn.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6.20★★★Trang 10— Rút gọn tổng ba phân thức có mẫu là các dạng hằng đẳng thức khác nhau của cùng nhân tử

(x - 3)

Bài 6.20 (trang 10). a) Rút gọn biểu thức

Q = \frac{18}{( x - 3 ) ( x ^{2} - 9 )} - \frac{3}{x ^{2} - 6 x + 9} - \frac{x}{x ^{2} - 9}

. b) Tính giá trị của

Q

tại

x = 103

Kiến thức cần nhớ

Phân tích mẫu: $(x - 3) (x^{2} - 9) = (x - 3)^{2} (x + 3)$ ; $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ ; $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .
Mẫu thức chung nhỏ nhất của ba mẫu trên là $(x - 3)^{2} (x + 3)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 6.21★★★Trang 10— Chứng minh đẳng thức phân thức bằng cách quy đồng và dùng giả thiết

Bài 6.21 (trang 10). a) Chứng minh rằng nếu

a, b, c \neq = 0, a + b + c = 0

thì

\frac{1}{ab} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a} = 0

. b) Chứng minh rằng nếu

x \neq = y, y \neq = z, z \neq = x

thì

\frac{1}{( x - y ) ( y - z )} + \frac{1}{( y - z ) ( z - x )} + \frac{1}{( z - x ) ( x - y )} = 0

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc cộng phân thức khác mẫu: quy đồng rồi cộng tử.
Nhận xét: $(z - x) + (x - y) + (y - z) = 0$ với mọi $x, y, z$ — chìa khoá cho câu b.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 6.22★★★Trang 10— Chứng minh biểu thức phân thức nhận giá trị không đổi khi biến thay đổi theo một ràng buộc

Bài 6.22 (trang 10). Cho biểu thức

P = \frac{x}{y - 2} + \frac{2 x - 3 y}{x - 6}

. Chứng minh rằng khi

x, y

thay đổi luôn thoả mãn điều kiện

3 y - x = 6

thì

P

có giá trị không đổi.

Kiến thức cần nhớ

Thế biến theo ràng buộc đã cho để giảm số biến của biểu thức.
Biểu thức nhận giá trị không đổi khi sau khi rút gọn theo ràng buộc, biến hoàn toàn triệt tiêu.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 6.23★★★Trang 10— Rút gọn phân thức bằng cách nhóm nhân tử, biến đổi biểu thức về dạng

a + \frac{b}{x - 3}

, rồi tìm giá trị nguyên

Bài 6.23 (trang 10). Cho biểu thức

P = \frac{2 x - 6}{x ^{3} - 3 x ^{2} - x + 3} + \frac{2 x ^{2}}{1 - x ^{2}} - \frac{6}{x - 3}

(với

x \neq = 3, x \neq = 1, x \neq = - 1

). a) Rút gọn phân thức

\frac{2 x - 6}{x ^{3} - 3 x ^{2} - x + 3}

. b) Chứng tỏ rằng có thể viết

P = a + \frac{b}{x - 3}

trong đó

a, b

là những hằng số. c) Tìm tập hợp các giá trị nguyên của

x

để

P

có giá trị là số nguyên.

Kiến thức cần nhớ

Phân tích đa thức bốn hạng tử bằng cách nhóm hai cặp có nhân tử chung.
Số nguyên $\frac{b}{x - 3}$ khi và chỉ khi $(x - 3)$ là ước của $b$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 6.24★★★Trang 10— Rút gọn phân thức bằng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương, rồi biện luận giá trị nguyên

Bài 6.24 (trang 10). a) Rút gọn biểu thức

P = \frac{x ^{2} + 2 x}{x ^{3} - 1} - \frac{1}{x ^{2} - x} - \frac{1}{x ^{2} + x + 1}

(với

x \neq = 0, x \neq = 1

). b) Chứng tỏ rằng chỉ có một giá trị nguyên của

x

để

P

cũng nhận giá trị nguyên.

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: $x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .
Phân thức $\frac{1}{x}$ nguyên khi và chỉ khi $x$ là ước của $1$ , tức $x = 1$ hoặc $x = - 1$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 6.25★★★Trang 10— Lập phân thức từ bài toán chuyển động nhiều chặng có sự cố dọc đường

Bài 6.25 (trang 10). Một tàu chở hàng đi từ cảng A đến cảng B cách nhau

900

km với vận tốc không đổi là

x

(km/h). Khi đi được

\frac{1}{3}

quãng đường thì một động cơ của tàu bị hỏng nên tàu chỉ còn chạy với vận tốc

12

km/h trong suốt

3

giờ sửa chữa động cơ. Để về cảng B không muộn hơn dự định, tàu phải tăng vận tốc thêm

5

km/h. Viết phân thức tính thời gian thực tế để tàu đi từ cảng A đến cảng B.

Kiến thức cần nhớ

Công thức $t = \frac{s}{v}$ và $s = v \cdot t$ (quãng đường đi được trong lúc sửa chữa vẫn di chuyển chậm).
Quy tắc cộng phân thức khác mẫu: quy đồng rồi cộng.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 6.26★★★Trang 10— Lập phân thức chiều cao hình hộp chữ nhật từ thể tích và diện tích đáy, rồi cộng, trừ hai phân thức

Bài 6.26 (trang 10). Cho hai hình hộp chữ nhật bằng nhau, cùng có thể tích

200

^{3}

và một hình hộp chữ nhật có thể tích

500

^{3}

, sắp xếp chồng lên nhau như trong hình vẽ của sách (đáy các hình hộp có kích thước tính theo

x

: hình hộp

500

^{3}

có đáy

x (x + 2)

^{2}

, hai hình hộp

200

^{3}

có đáy

x (x + 1)

^{2}

; độ dài các cạnh tính bằng cm). Viết các phân thức biểu thị độ dài (tính bằng cm) của các đoạn thẳng

A C

và

D E

, biết

A C

là tổng chiều cao của hình hộp

500

^{3}

và một hình hộp

200

^{3}

xếp chồng lên nó, còn

D E

là hiệu chiều cao giữa hình hộp

500

^{3}

và một hình hộp

200

^{3}

Kiến thức cần nhớ

Công thức thể tích hình hộp chữ nhật: $V = S \cdot h$ , suy ra $h = \frac{V}{S}$ .
Quy tắc cộng, trừ phân thức khác mẫu: quy đồng rồi cộng hoặc trừ tử thức.