Chương VI. Phân thức đại số

Bài 23. Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

SGK Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 2 · 18 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 15— Cộng tử thức của hai phân thức cùng mẫu (bước chuẩn bị cho quy tắc cộng)

HĐ1 (trang 15). Cộng các tử thức của hai phân thức

\frac{2 x + y}{x - y}

và

\frac{- x + 3 y}{x - y}

đã cho.

Kiến thức cần nhớ

Cộng hai đa thức: nhóm các hạng tử đồng dạng rồi cộng hệ số.
Đây là bước chuẩn bị cho quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu ở HĐ2.

🧠 Phân tích tư duy

Hai phân thức đã cùng mẫu

x - y

— dấu hiệu chỉ cần thao tác trên hai tử thức là đa thức

2 x + y

và

- x + 3 y

. Hướng cộng trực tiếp hai đa thức bằng cách nhóm hạng tử đồng dạng là duy nhất và ngắn nhất. Bẫy hay gặp là cộng nhầm dấu của hạng tử

- x

trong tử thức thứ hai.

1Cách 1. Cộng trực tiếp hai tử thức bằng cách nhóm hạng tử đồng dạng

Định hướng. Cộng đa thức $2 x + y$ với đa thức $- x + 3 y$ , nhóm các hạng tử chứa $x$ với nhau, các hạng tử chứa $y$ với nhau.

(2 x + y) + (- x + 3 y) = (2 x - x) + (y + 3 y)

= x + 4 y

Vậy tổng hai tử thức là $x + 4 y$ .

2Cách 2. Bỏ dấu ngoặc rồi cộng từng hạng tử

Định hướng. Vì cả hai đa thức đều mang dấu "+" phía trước, bỏ ngoặc và giữ nguyên các hạng tử, sau đó sắp xếp lại.

2 x + y - x + 3 y = 2 x - x + y + 3 y

= x + 4 y

Vậy tổng hai tử thức vẫn là $x + 4 y$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Hai cách chỉ khác nhau ở thứ tự trình bày, cùng bản chất là cộng hai đa thức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhóm hạng tử đồng dạng ngay khi viết, tránh phải sắp xếp lại như Cách 2.

Đáp số.

(2 x + y) + (- x + 3 y) = x + 4 y

Sai lầm thường gặp. Cộng nhầm dấu, ví dụ viết

2 x + y + x + 3 y

(quên dấu trừ của hạng tử thứ hai) rồi ra kết quả sai

3 x + 4 y

. Phải giữ đúng dấu "

- x

" khi cộng.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật, cộng tử thức của

\frac{3 x - 2 y}{x + y}

và

\frac{x + 2 y}{x + y}

cho tổng

4 x

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ2★Trang 15— Hoàn thiện quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu bằng kết quả HĐ1

HĐ2 (trang 15). Viết phân thức có tử là tổng các tử thức và mẫu là mẫu thức chung ta được kết quả của phép cộng

\frac{2 x + y}{x - y} + \frac{- x + 3 y}{x - y}

đã cho.

Kiến thức cần nhớ

Kết quả HĐ1: $(2 x + y) + (- x + 3 y) = x + 4 y$ .
Quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu: tử là tổng hai tử thức, mẫu giữ nguyên.

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã dẫn thẳng cách làm: lấy tổng tử thức vừa tìm ở HĐ1 làm tử, giữ nguyên mẫu chung

x - y

. Hướng viết trực tiếp phân thức kết quả là duy nhất. Bẫy là quên giữ nguyên mẫu, hoặc viết lại mẫu sai dấu.

1Cách 1. Ghép tử vừa tính ở HĐ1 với mẫu chung

Định hướng. Đặt tử thức $x + 4 y$ (kết quả HĐ1) lên trên mẫu thức chung $x - y$ .

\frac{2 x + y}{x - y} + \frac{- x + 3 y}{x - y} = \frac{( 2 x + y ) + ( - x + 3 y )}{x - y}

= \frac{x + 4 y}{x - y}

Vậy $\frac{2 x + y}{x - y} + \frac{- x + 3 y}{x - y} = \frac{x + 4 y}{x - y}$ (với $x \neq = y$ ).

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng cách thay giá trị cụ thể của

x, y

Định hướng. Chọn $x = 3$ , $y = 1$ (để $x - y \neq = 0$ ), thay vào cả vế trái và vế phải để đối chiếu giá trị.

Vế trái tại

x = 3, y = 1

\frac{2 \cdot 3 + 1}{3 - 1} + \frac{- 3 + 3 \cdot 1}{3 - 1} = \frac{7}{2} + 0 = \frac{7}{2}

Vế phải tại

x = 3, y = 1

\frac{3 + 4 \cdot 1}{3 - 1} = \frac{7}{2}

Hai vế bằng nhau tại giá trị thử

Vậy phép thử số xác nhận đúng kết quả $\frac{x + 4 y}{x - y}$ ở Cách 1.

Nhận xét. Đây chính là quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu được tổng kết ngay sau HĐ2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ghép thẳng kết quả HĐ1 với mẫu chung, không cần thử số kiểm tra lại.

Đáp số.

\frac{2 x + y}{x - y} + \frac{- x + 3 y}{x - y} = \frac{x + 4 y}{x - y}

(với

x \neq = y

Sai lầm thường gặp. Viết đúng tử nhưng đổi dấu mẫu thành

y - x

, làm kết quả sai. Mẫu thức chung phải giữ NGUYÊN như mẫu của hai phân thức ban đầu.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

\frac{A}{M} + \frac{B}{M} = \frac{A + B}{M}

— chính là quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu vừa được xây dựng qua HĐ1, HĐ2.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 1★Trang 16— Cộng hai phân thức cùng mẫu

Luyện tập 1 (trang 16). Tính các tổng sau: a)

\frac{3 x + 1}{x y} + \frac{2 x - 1}{x y}

; b)

\frac{3 x}{x ^{2} + 1} + \frac{- 3 x + 1}{x ^{2} + 1}

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu: $\frac{A}{M} + \frac{B}{M} = \frac{A + B}{M}$ .
Sau khi cộng, rút gọn phân thức nếu tử và mẫu còn nhân tử chung.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai câu đều có sẵn hai phân thức cùng mẫu — dấu hiệu áp thẳng quy tắc vừa học: cộng tử, giữ nguyên mẫu. Hướng cộng trực tiếp là ngắn nhất, sau đó cần rút gọn nếu tử và mẫu còn nhân tử chung (câu a). Bẫy ở câu a là quên rút gọn

5 x / (x y)

về

5/ y

; bẫy ở câu b là cộng nhầm dấu hạng tử

- 3 x

1Cách 1. Cộng trực tiếp theo quy tắc rồi rút gọn

Định hướng. Cộng hai tử thức, giữ nguyên mẫu chung; rút gọn kết quả nếu có thể.

\frac{3 x + 1}{x y} + \frac{2 x - 1}{x y} = \frac{( 3 x + 1 ) + ( 2 x - 1 )}{x y} = \frac{5 x}{x y} = \frac{5}{y}

\frac{3 x}{x ^{2} + 1} + \frac{- 3 x + 1}{x ^{2} + 1} = \frac{3 x + ( - 3 x + 1 )}{x ^{2} + 1} = \frac{1}{x ^{2} + 1}

Vậy a) $\frac{5}{y}$ (với $x, y \neq = 0$ ); b) $\frac{1}{x ^{2} + 1}$ .

2Cách 2. Tách riêng phần chung trước khi cộng (nhóm theo tính chất giao hoán)

Định hướng. Ở câu b, nhận ra $3 x$ và $- 3 x$ là hai số đối nhau nên nhóm chúng lại trước, phần còn lại cộng sau.

\frac{3 x}{x ^{2} + 1} + \frac{- 3 x + 1}{x ^{2} + 1} = \frac{3 x}{x ^{2} + 1} + \frac{- 3 x}{x ^{2} + 1} + \frac{1}{x ^{2} + 1}

= \frac{3 x + ( - 3 x )}{x ^{2} + 1} + \frac{1}{x ^{2} + 1} = 0 + \frac{1}{x ^{2} + 1} = \frac{1}{x ^{2} + 1}

Vậy b) $\frac{1}{x ^{2} + 1}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay $x = 2, y = 1$ vào câu a và $x = 2$ vào câu b để đối chiếu với kết quả đã rút gọn.

a) tại

x = 2, y = 1

: vế trái

= \frac{7}{2} + \frac{3}{2} = 5

;

\frac{5}{y} = 5

, khớp
b) tại

x = 2

: vế trái

= \frac{6}{5} + \frac{- 5}{5} = \frac{1}{5}

;

\frac{1}{x ^{2} + 1} = \frac{1}{5}

, khớp

Vậy cả hai kết quả ở Cách 1 đều được xác nhận đúng.

Nhận xét. Câu a bắt buộc phải rút gọn sau khi cộng vì tử và mẫu còn nhân tử chung $x$ ; câu b thì tổng đã tối giản ngay từ đầu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: cộng thẳng theo quy tắc rồi rút gọn, không cần tách riêng như Cách 2.

Đáp số. a)

\frac{5}{y}

(với

x \neq = 0, y \neq = 0

); b)

\frac{1}{x ^{2} + 1}

Sai lầm thường gặp. Ở câu a, cộng đúng ra

\frac{5 x}{x y}

nhưng dừng lại không rút gọn tiếp về

\frac{5}{y}

, để sót bước rút gọn bắt buộc sau khi cộng phân thức.

🚀 Mở rộng. Cùng dạng,

\frac{5 x - 2}{x ^{2} y} + \frac{3 x + 2}{x ^{2} y}

cộng ra

\frac{8 x}{x ^{2} y}

rồi rút gọn tiếp về

\frac{8}{x y}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · HĐ3★Trang 16— Quy đồng mẫu thức hai phân thức khác mẫu (bước chuẩn bị cho quy tắc cộng khác mẫu)

HĐ3 (trang 16). Quy đồng mẫu thức hai phân thức

\frac{1}{x}

và

\frac{- 1}{y}

đã cho.

Kiến thức cần nhớ

Quy đồng mẫu thức: nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với phần còn thiếu để có chung một mẫu.
Mẫu chung đơn giản nhất khi hai mẫu không có nhân tử chung là tích của chúng.

🧠 Phân tích tư duy

Hai mẫu

x

và

y

không có nhân tử chung nào ngoài chính chúng — dấu hiệu mẫu chung đơn giản nhất là tích

x y

. Hướng nhân mỗi phân thức với mẫu còn lại là cách quy đồng ngắn nhất. Bẫy là chỉ nhân tử mà quên nhân mẫu, làm giá trị phân thức bị thay đổi.

1Cách 1. Nhân mỗi phân thức với mẫu của phân thức kia

Định hướng. Nhân cả tử và mẫu của $\frac{1}{x}$ với $y$ , nhân cả tử và mẫu của $\frac{- 1}{y}$ với $x$ .

\frac{1}{x} = \frac{1 \cdot y}{x \cdot y} = \frac{y}{x y}

\frac{- 1}{y} = \frac{- 1 \cdot x}{y \cdot x} = \frac{- x}{x y}

Vậy quy đồng được $\frac{y}{x y}$ và $\frac{- x}{x y}$ , cùng mẫu $x y$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng định nghĩa hai phân thức bằng nhau

Định hướng. Đối chiếu $\frac{1}{x}$ với $\frac{y}{x y}$ và $\frac{- 1}{y}$ với $\frac{- x}{x y}$ bằng cách nhân chéo.

1 \cdot x y = x \cdot y

(đúng) nên

\frac{1}{x} = \frac{y}{x y}

(- 1) \cdot x y = y \cdot (- x)

(đúng) nên

\frac{- 1}{y} = \frac{- x}{x y}

Vậy hai phân thức mới bằng đúng hai phân thức ban đầu, khớp Cách 1.

Nhận xét. Quy đồng chính là áp dụng tính chất cơ bản của phân thức đã học ở Bài 22.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhân chéo mẫu cho nhau, không cần kiểm tra lại bằng định nghĩa.

Đáp số.

\frac{1}{x} = \frac{y}{x y}

;

\frac{- 1}{y} = \frac{- x}{x y}

(với

x, y \neq = 0

Sai lầm thường gặp. Chỉ nhân tử với

y

(hoặc

x

) mà quên nhân mẫu tương ứng, ví dụ viết sai

\frac{1}{x} = \frac{y}{x}

. Quy đồng bắt buộc nhân ĐỒNG THỜI cả tử và mẫu.

🚀 Mở rộng. Cùng cách quy đồng,

\frac{2}{a}

và

\frac{3}{b}

(khi

a, b

không có nhân tử chung) quy đồng thành

\frac{2 b}{ab}

và

\frac{3 a}{ab}

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · HĐ4★Trang 16— Hoàn thiện quy tắc cộng hai phân thức khác mẫu bằng kết quả HĐ3

HĐ4 (trang 16). Cộng hai phân thức có cùng mẫu thức nhận được trong HĐ3 ta được kết quả của phép cộng

\frac{1}{x} + \frac{- 1}{y}

Kiến thức cần nhớ

Kết quả HĐ3: $\frac{1}{x} = \frac{y}{x y}$ , $\frac{- 1}{y} = \frac{- x}{x y}$ .
Quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu: $\frac{A}{M} + \frac{B}{M} = \frac{A + B}{M}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Sau HĐ3, hai phân thức đã cùng mẫu

x y

— chỉ còn áp quy tắc cộng cùng mẫu đã học ở mục 1. Hướng cộng trực tiếp hai phân thức vừa quy đồng là duy nhất. Bẫy là quên rằng kết quả này chính là quy trình tổng quát cho MỌI phép cộng hai phân thức khác mẫu.

1Cách 1. Cộng hai phân thức đã quy đồng ở HĐ3

Định hướng. Dùng kết quả HĐ3, cộng hai phân thức cùng mẫu $x y$ theo quy tắc đã học.

\frac{1}{x} + \frac{- 1}{y} = \frac{y}{x y} + \frac{- x}{x y}

= \frac{y + ( - x )}{x y} = \frac{y - x}{x y}

Vậy $\frac{1}{x} + \frac{- 1}{y} = \frac{y - x}{x y}$ (với $x, y \neq = 0$ ).

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Chọn $x = 2, y = 1$ , thay vào vế trái và vế phải để đối chiếu.

Vế trái:

\frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} = 0, 5 - 1 = - 0, 5

Vế phải:

\frac{1 - 2}{2} = \frac{- 1}{2} = - 0, 5

Hai vế bằng nhau

Vậy phép thử số xác nhận đúng kết quả $\frac{y - x}{x y}$ ở Cách 1.

Nhận xét. Đây chính là quy tắc cộng hai phân thức khác mẫu được tổng kết ngay sau HĐ4: quy đồng rồi cộng cùng mẫu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: cộng thẳng hai phân thức đã quy đồng, không cần thử số kiểm tra lại.

Đáp số.

\frac{1}{x} + \frac{- 1}{y} = \frac{y - x}{x y}

(với

x, y \neq = 0

Sai lầm thường gặp. Quên rút gọn dấu, viết kết quả thành

\frac{y + x}{x y}

(cộng nhầm dấu của

- x

ở tử phân thức thứ hai). Phải giữ đúng dấu "

-

" khi cộng

y + (- x)

🚀 Mở rộng. Tổng quát, quy trình HĐ3–HĐ4 chính là quy tắc: muốn cộng hai phân thức khác mẫu, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức cùng mẫu vừa tìm được.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Luyện tập 2★★Trang 16— Cộng hai phân thức khác mẫu, mẫu thức có nhân tử chung

Luyện tập 2 (trang 16). Tính tổng

\frac{5}{2 x ^{2} ( 6 x + y )} + \frac{3}{5 x y ( 6 x + y )}

Kiến thức cần nhớ

Mẫu thức chung nhỏ nhất: lấy BCNN các hệ số, luỹ thừa cao nhất của mỗi biến, giữ nguyên nhân tử chung dạng đa thức.
Quy tắc cộng hai phân thức khác mẫu: quy đồng rồi cộng các phân thức cùng mẫu.

🧠 Phân tích tư duy

Hai mẫu

2 x^{2} (6 x + y)

và

5 x y (6 x + y)

đều chứa chung nhân tử

(6 x + y)

và biến

x

— dấu hiệu mẫu chung không phải là tích trực tiếp hai mẫu mà là bội chung nhỏ nhất

10 x^{2} y (6 x + y)

. Hướng tìm mẫu chung nhỏ nhất (lấy BCNN hệ số

2, 5

là

10

; lấy luỹ thừa cao nhất của

x

là

x^{2}

; giữ nguyên

y

và

(6 x + y)

) là cách chuẩn của SGK. Bẫy là nhân trực tiếp hai mẫu với nhau, ra mẫu chung không tối giản

10 x^{3} y (6 x + y)^{2}

, khiến phép tính cồng kềnh hơn nhiều.

1Cách 1. Quy đồng theo mẫu thức chung nhỏ nhất rồi cộng

Định hướng. Mẫu chung nhỏ nhất là $10 x^{2} y (6 x + y)$ ; nhân mỗi phân thức với lượng còn thiếu để đủ mẫu chung.

\frac{5}{2 x ^{2} ( 6 x + y )} = \frac{5 \cdot 5 y}{10 x ^{2} y ( 6 x + y )} = \frac{25 y}{10 x ^{2} y ( 6 x + y )}

\frac{3}{5 x y ( 6 x + y )} = \frac{3 \cdot 2 x}{10 x ^{2} y ( 6 x + y )} = \frac{6 x}{10 x ^{2} y ( 6 x + y )}

\frac{5}{2 x ^{2} ( 6 x + y )} + \frac{3}{5 x y ( 6 x + y )} = \frac{25 y + 6 x}{10 x ^{2} y ( 6 x + y )}

Vậy tổng bằng $\frac{6 x + 25 y}{10 x ^{2} y ( 6 x + y )}$ (với $x, y \neq = 0$ , $6 x + y \neq = 0$ ).

2Cách 2. Quy đồng bằng tích trực tiếp hai mẫu rồi rút gọn lại

Định hướng. Nhân chéo hai mẫu với nhau (không cần tìm mẫu chung nhỏ nhất trước), sau đó rút gọn kết quả cho nhân tử chung của tử và mẫu.

\frac{5}{2 x ^{2} ( 6 x + y )} + \frac{3}{5 x y ( 6 x + y )} = \frac{5 \cdot 5 x y ( 6 x + y ) + 3 \cdot 2 x ^{2} ( 6 x + y )}{2 x ^{2} ( 6 x + y ) \cdot 5 x y ( 6 x + y )}

= \frac{25 x y ( 6 x + y ) + 6 x ^{2} ( 6 x + y )}{10 x ^{3} y ( 6 x + y ) ^{2}} = \frac{x ( 6 x + y ) ( 25 y + 6 x )}{10 x ^{3} y ( 6 x + y ) ^{2}}

= \frac{6 x + 25 y}{10 x ^{2} y ( 6 x + y )}

Vậy tổng vẫn là $\frac{6 x + 25 y}{10 x ^{2} y ( 6 x + y )}$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 đi thẳng bằng mẫu chung nhỏ nhất nên gọn hơn hẳn; Cách 2 phải rút gọn thêm một bước mới về cùng kết quả.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay $x = 1, y = 1$ (để $6 x + y = 7 \neq = 0$ ) vào biểu thức ban đầu và vào kết quả đã rút gọn.

Vế trái tại

x = 1, y = 1

\frac{5}{2 \cdot 7} + \frac{3}{5 \cdot 7} = \frac{5}{14} + \frac{3}{35} = \frac{25}{70} + \frac{6}{70} = \frac{31}{70}

Kết quả rút gọn tại

x = 1, y = 1

\frac{6 + 25}{10 \cdot 7} = \frac{31}{70}

Vậy hai giá trị bằng nhau, xác nhận kết quả $\frac{6 x + 25 y}{10 x ^{2} y ( 6 x + y )}$ ở Cách 1, Cách 2 là đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tìm mẫu thức chung nhỏ nhất trước khi quy đồng, tránh phải rút gọn lại như Cách 2.

Đáp số.

\frac{5}{2 x ^{2} ( 6 x + y )} + \frac{3}{5 x y ( 6 x + y )} = \frac{6 x + 25 y}{10 x ^{2} y ( 6 x + y )}

(với

x, y \neq = 0

6 x + y \neq = 0

Sai lầm thường gặp. Lấy mẫu chung là tích trực tiếp

10 x^{3} y (6 x + y)^{2}

mà không rút gọn kết quả cuối, để lại phân thức chưa tối giản. Sau khi quy đồng theo tích trực tiếp, luôn phải kiểm tra nhân tử chung để rút gọn về mẫu thức chung nhỏ nhất.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật tìm mẫu chung nhỏ nhất,

\frac{7}{3 x ^{2} y} + \frac{2}{9 x y ^{2}}

có mẫu chung nhỏ nhất

9 x^{2} y^{2}

, cộng ra

\frac{21 y + 2 x}{9 x ^{2} y ^{2}}

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · HĐ5★Trang 16— Trừ hai phân thức cùng mẫu

HĐ5 (trang 16). Trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức để tính

\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{2 x + 3}{x + 1}

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc trừ hai phân thức cùng mẫu: $\frac{A}{M} - \frac{B}{M} = \frac{A - B}{M}$ .
Khi trừ một đa thức, phải đặt đa thức đó trong ngoặc rồi đổi dấu từng hạng tử.

🧠 Phân tích tư duy

Hai phân thức đã cùng mẫu

x + 1

— dấu hiệu áp trực tiếp quy tắc trừ hai phân thức cùng mẫu vừa được giới thiệu ở đầu mục 3. Hướng trừ trực tiếp hai tử thức là duy nhất. Bẫy là quên đặt tử thức thứ hai trong ngoặc trước khi trừ, dẫn tới quên đổi dấu hạng tử

3

1Cách 1. Trừ trực tiếp hai tử thức (đặt tử thứ hai trong ngoặc)

Định hướng. Lấy tử thứ nhất trừ tử thứ hai, đặt $2 x + 3$ trong ngoặc để đổi dấu đúng khi bỏ ngoặc.

\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{2 x + 3}{x + 1} = \frac{( x - 1 ) - ( 2 x + 3 )}{x + 1}

= \frac{x - 1 - 2 x - 3}{x + 1} = \frac{- x - 4}{x + 1}

Vậy $\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{2 x + 3}{x + 1} = \frac{- x - 4}{x + 1}$ (với $x \neq = - 1$ ).

2Cách 2. Chuyển phép trừ thành phép cộng với phân thức đối

Định hướng. Thay $- \frac{2 x + 3}{x + 1}$ bằng $\frac{- ( 2 x + 3 )}{x + 1}$ rồi cộng theo quy tắc cộng cùng mẫu.

\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{2 x + 3}{x + 1} = \frac{x - 1}{x + 1} + \frac{- 2 x - 3}{x + 1}

= \frac{( x - 1 ) + ( - 2 x - 3 )}{x + 1} = \frac{- x - 4}{x + 1}

Vậy kết quả vẫn là $\frac{- x - 4}{x + 1}$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Hai cách cùng bản chất; Cách 2 minh hoạ đúng "Chú ý" nêu ở Ví dụ 3: trừ phân thức có thể chuyển thành cộng với phân thức đối.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: trừ trực tiếp, nhớ đặt tử thứ hai trong ngoặc để đổi dấu đúng.

Đáp số.

\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{2 x + 3}{x + 1} = \frac{- x - 4}{x + 1}

(với

x \neq = - 1

Sai lầm thường gặp. Quên đặt

2 x + 3

trong ngoặc, trừ nhầm thành

x - 1 - 2 x + 3 = - x + 2

(chỉ đổi dấu hạng tử

2 x

mà không đổi dấu hạng tử

3

). Phải đổi dấu TẤT CẢ các hạng tử của tử thức bị trừ.

🚀 Mở rộng. Cùng quy tắc,

\frac{5 x + 2}{x - 3} - \frac{3 x - 1}{x - 3}

trừ ra

\frac{2 x + 3}{x - 3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · HĐ6★Trang 16— Trừ hai phân thức khác mẫu (quy đồng rồi trừ)

HĐ6 (trang 16). Quy đồng mẫu thức của hai phân thức

\frac{1}{x + 1}

và

\frac{1}{x}

; trừ các tử thức của hai phân thức nhận được và giữ nguyên mẫu thức chung để tính

\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x}

Kiến thức cần nhớ

Quy đồng mẫu thức hai phân thức khác mẫu (kĩ thuật như HĐ3).
Quy tắc trừ hai phân thức cùng mẫu: $\frac{A}{M} - \frac{B}{M} = \frac{A - B}{M}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai mẫu

x + 1

và

x

không có nhân tử chung — dấu hiệu mẫu chung là tích

x (x + 1)

, giống cách quy đồng đã luyện ở HĐ3. Hướng quy đồng rồi trừ cùng mẫu là quy trình chuẩn vừa nêu ở đầu mục 3. Bẫy là trừ nhầm thứ tự tử thức sau khi quy đồng, đổi dấu kết quả.

1Cách 1. Quy đồng rồi trừ theo đúng quy trình đề nêu

Định hướng. Quy đồng hai phân thức về mẫu chung $x (x + 1)$ , rồi trừ hai tử thức vừa quy đồng.

\frac{1}{x + 1} = \frac{x}{x ( x + 1 )}

;

\frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x ( x + 1 )}

\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x} = \frac{x}{x ( x + 1 )} - \frac{x + 1}{x ( x + 1 )}

= \frac{x - ( x + 1 )}{x ( x + 1 )} = \frac{- 1}{x ( x + 1 )}

Vậy $\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x} = \frac{- 1}{x ( x + 1 )}$ (với $x \neq = 0, x \neq = - 1$ ).

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay $x = 2$ , tính trực tiếp vế trái rồi so sánh với kết quả đã rút gọn.

Vế trái tại

x = 2

\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = \frac{- 1}{6}

Kết quả rút gọn tại

x = 2

\frac{- 1}{2 \cdot 3} = \frac{- 1}{6}

Vậy hai giá trị khớp nhau, xác nhận đúng $\frac{- 1}{x ( x + 1 )}$ ở Cách 1.

Nhận xét. Đây chính là quy trình tổng quát cho phép trừ hai phân thức khác mẫu: quy đồng rồi trừ cùng mẫu, giống hệt quy trình cộng ở HĐ3–HĐ4.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quy đồng rồi trừ theo đúng quy trình chuẩn, không cần thử số kiểm tra lại.

Đáp số.

\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x} = \frac{- 1}{x ( x + 1 )}

(với

x \neq = 0, x \neq = - 1

Sai lầm thường gặp. Trừ ngược thứ tự tử thức sau khi quy đồng, viết nhầm

\frac{( x + 1 ) - x}{x ( x + 1 )} = \frac{1}{x ( x + 1 )}

(đổi dấu kết quả). Phải trừ đúng thứ tự: tử của phân thức bị trừ trước, tử của phân thức trừ sau.

🚀 Mở rộng. Cùng quy trình,

\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 2}

quy đồng theo mẫu

x (x + 2)

rồi trừ ra

\frac{2}{x ( x + 2 )}

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Luyện tập 3★★Trang 17— Trừ hai phân thức (cùng mẫu và khác mẫu)

Luyện tập 3 (trang 17). Thực hiện các phép tính sau: a)

\frac{3 - 2 x}{x - 1} - \frac{2 + 5 x}{x - 1}

; b)

\frac{1}{4 x ^{2} y} - \frac{1}{6 x y ^{2}}

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc trừ hai phân thức cùng mẫu: $\frac{A}{M} - \frac{B}{M} = \frac{A - B}{M}$ .
Mẫu thức chung nhỏ nhất của $4 x^{2} y$ và $6 x y^{2}$ : BCNN $(4, 6) = 12$ , lấy luỹ thừa cao nhất của $x$ là $x^{2}$ , của $y$ là $y^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) đã cùng mẫu

x - 1

nên trừ tử trực tiếp; câu b) khác mẫu và các mẫu có nhân tử chung là đơn thức, nên cần tìm mẫu thức chung nhỏ nhất

12 x^{2} y^{2}

trước khi trừ — dấu hiệu để chọn đúng công cụ cho từng câu. Bẫy ở câu a là quên đổi dấu cả hai hạng tử của tử bị trừ; bẫy ở câu b là lấy mẫu chung bằng tích trực tiếp

24 x^{3} y^{3}

khiến phép tính cồng kềnh không cần thiết.

1Cách 1. Trừ cùng mẫu (câu a) và quy đồng theo mẫu chung nhỏ nhất (câu b)

Định hướng. Câu a trừ trực tiếp hai tử; câu b quy đồng về mẫu chung nhỏ nhất $12 x^{2} y^{2}$ rồi trừ.

\frac{3 - 2 x}{x - 1} - \frac{2 + 5 x}{x - 1} = \frac{( 3 - 2 x ) - ( 2 + 5 x )}{x - 1} = \frac{1 - 7 x}{x - 1}

\frac{1}{4 x ^{2} y} = \frac{3 y}{12 x ^{2} y ^{2}}

;

\frac{1}{6 x y ^{2}} = \frac{2 x}{12 x ^{2} y ^{2}}

\frac{1}{4 x ^{2} y} - \frac{1}{6 x y ^{2}} = \frac{3 y - 2 x}{12 x ^{2} y ^{2}}

Vậy a) $\frac{1 - 7 x}{x - 1}$ (với $x \neq = 1$ ); b) $\frac{3 y - 2 x}{12 x ^{2} y ^{2}}$ (với $x, y \neq = 0$ ).

2Cách 2. Chuyển cả hai phép trừ thành phép cộng với phân thức đối

Định hướng. Áp dụng Chú ý sau Ví dụ 3: $\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + \frac{- C}{D}$ .

\frac{3 - 2 x}{x - 1} + \frac{- ( 2 + 5 x )}{x - 1} = \frac{( 3 - 2 x ) + ( - 2 - 5 x )}{x - 1} = \frac{1 - 7 x}{x - 1}

\frac{1}{4 x ^{2} y} + \frac{- 1}{6 x y ^{2}} = \frac{3 y}{12 x ^{2} y ^{2}} + \frac{- 2 x}{12 x ^{2} y ^{2}} = \frac{3 y - 2 x}{12 x ^{2} y ^{2}}

Vậy kết quả cả hai câu đều khớp Cách 1.

Nhận xét. Hai cách cùng bản chất; đi thi nên trừ trực tiếp như Cách 1 cho gọn, Cách 2 chỉ hữu ích khi biểu thức có nhiều phép trừ liên tiếp cần đổi hết thành cộng để dùng tính chất giao hoán, kết hợp (như mục 4 sắp học).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: trừ trực tiếp (câu a) và quy đồng theo mẫu chung nhỏ nhất (câu b), không cần đổi qua phép cộng như Cách 2.

Đáp số. a)

\frac{1 - 7 x}{x - 1}

(với

x \neq = 1

); b)

\frac{3 y - 2 x}{12 x ^{2} y ^{2}}

(với

x, y \neq = 0

Sai lầm thường gặp. Ở câu a, chỉ đổi dấu hạng tử

5 x

mà quên đổi dấu hạng tử

2

, trừ nhầm ra

\frac{1 - 3 x}{x - 1}

hoặc tương tự. Ở câu b, lấy mẫu chung bằng tích trực tiếp

24 x^{3} y^{3}

rồi không rút gọn lại, để phân thức chưa tối giản.

🚀 Mở rộng. Cùng dạng,

\frac{5 - x}{x + 2} - \frac{3 + 2 x}{x + 2}

trừ cùng mẫu ra

\frac{2 - 3 x}{x + 2}

;

\frac{1}{9 x ^{2} y} - \frac{1}{6 x y ^{2}}

quy đồng theo mẫu chung nhỏ nhất

18 x^{2} y^{2}

\frac{2 y - 3 x}{18 x ^{2} y ^{2}}

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Luyện tập 4★★Trang 18— Rút gọn tổng nhiều phân thức bằng tính chất giao hoán, kết hợp

Luyện tập 4 (trang 18). Rút gọn biểu thức

P = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} - \frac{1}{x} - \frac{1}{y}

Kiến thức cần nhớ

Tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng phân thức: được đổi chỗ, nhóm các số hạng kèm theo dấu của nó.
Phân thức cộng với phân thức đối của nó bằng $0$ : $\frac{A}{B} + \frac{- A}{B} = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức có hai cặp phân thức đối lặp lại nguyên vẹn:

\frac{1}{x}

xuất hiện cả cộng lẫn trừ,

\frac{1}{y}

cũng vậy — đúng dấu hiệu áp dụng tính chất giao hoán, kết hợp vừa học ở Ví dụ 4: đổi chỗ các số hạng kèm theo dấu của nó để nhóm các cặp đối nhau lại. Hướng nhóm trực tiếp

\frac{1}{x} - \frac{1}{x}

và

\frac{1}{y} - \frac{1}{y}

là ngắn nhất, không cần quy đồng cả ba mẫu. Bẫy là quy đồng toàn bộ biểu thức theo mẫu chung

x y z

ngay từ đầu, vừa dài vừa dễ tính sai.

1Cách 1. Nhóm các cặp phân thức đối nhau trước khi tính

Định hướng. Đổi chỗ các số hạng để nhóm $\frac{1}{x}$ với $- \frac{1}{x}$ , nhóm $\frac{1}{y}$ với $- \frac{1}{y}$ .

P = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} - \frac{1}{x} - \frac{1}{y}

= (\frac{1}{x} - \frac{1}{x}) + (\frac{1}{y} - \frac{1}{y}) + \frac{1}{z}

= 0 + 0 + \frac{1}{z} = \frac{1}{z}

Vậy $P = \frac{1}{z}$ (với $x, y, z \neq = 0$ ).

2Cách 2. Quy đồng toàn bộ biểu thức theo mẫu chung

x y z

Định hướng. Không nhóm trước, quy đồng cả năm phân thức về cùng mẫu $x y z$ rồi cộng trừ tử thức.

P = \frac{y z}{x y z} + \frac{x z}{x y z} + \frac{x y}{x y z} - \frac{y z}{x y z} - \frac{x z}{x y z}

= \frac{y z + x z + x y - y z - x z}{x y z} = \frac{x y}{x y z}

= \frac{1}{z}

Vậy $P = \frac{1}{z}$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 (nhóm số hạng đối nhau) nhanh hơn hẳn vì tránh quy đồng cả ba mẫu; Cách 2 tuy chắc chắn nhưng dài hơn nhiều.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay $x = 1, y = 2, z = 3$ vào $P$ và so sánh với $\frac{1}{z}$ .

P = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}

\frac{1}{z} = \frac{1}{3}

Vậy hai giá trị khớp nhau, xác nhận đúng $P = \frac{1}{z}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhóm ngay các cặp phân thức đối nhau bằng tính chất giao hoán, kết hợp, nhanh hơn hẳn việc quy đồng cả biểu thức như Cách 2.

Đáp số.

P = \frac{1}{z}

(với

x, y, z \neq = 0

Sai lầm thường gặp. Không nhận ra hai cặp phân thức đối nhau mà quy đồng máy móc cả biểu thức theo mẫu

x y z

rồi cộng trừ dài dòng, dễ tính sai dấu ở bước rút gọn cuối cùng.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật nhóm số hạng đối nhau, biểu thức

\frac{2}{a} - \frac{3}{b} + \frac{1}{c} - \frac{2}{a} + \frac{3}{b}

rút gọn ngay về

\frac{1}{c}

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Luyện tập 5★★★Trang 18— Giải thích cách nhẩm nhanh bằng quy tắc dấu ngoặc và tính chất giao hoán, kết hợp

Luyện tập 5 (trang 18). Em hãy giải thích cách làm của Vuông trong tình huống mở đầu: rút gọn biểu thức

P = \frac{x}{x + 1} - [(\frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x + 1}) - \frac{1}{x - 1}]

và không cần tính toán vẫn thấy ngay

P = 0

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc dấu ngoặc: trước ngoặc có dấu " $-$ " thì bỏ ngoặc và đổi dấu tất cả số hạng trong ngoặc.
Tính chất giao hoán, kết hợp: được đổi chỗ, nhóm các số hạng kèm theo dấu của nó.

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức chứa

\frac{1}{x - 1}

xuất hiện cả cộng lẫn trừ trong ngoặc, và

\frac{x}{x + 1}

xuất hiện cả ở ngoài lẫn trong ngoặc với dấu trừ đằng trước — đúng dấu hiệu để dùng quy tắc dấu ngoặc (Ví dụ 5) kết hợp tính giao hoán, kết hợp (Ví dụ 4) mà không cần quy đồng. Hướng bỏ ngoặc trước (đổi dấu vì trước ngoặc vuông có dấu "

-

") rồi nhóm các cặp đối nhau là cách Vuông đã nhìn ra ngay. Bẫy là vội quy đồng mẫu

(x + 1) (x - 1)

ngay từ đầu, không thấy được lí do "

P = 0

" một cách trực quan như đề yêu cầu giải thích.

1Cách 1. Bỏ ngoặc theo quy tắc dấu ngoặc rồi nhóm số hạng đối nhau

Định hướng. Trước ngoặc vuông có dấu " $-$ ", bỏ ngoặc và đổi dấu tất cả số hạng bên trong; sau đó nhóm hai số hạng $\frac{x}{x + 1}$ và hai số hạng $\frac{1}{x - 1}$ lại với nhau.

P = \frac{x}{x + 1} - [\frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x - 1}]

= \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} - \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}

= (\frac{x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1}) + (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1})

= 0 + 0 = 0

Vậy $P = 0$ : đây chính là cách Vuông đã làm — không quy đồng mà nhìn thấy ngay hai cặp phân thức đối nhau.

2Cách 2. Tính đầy đủ bằng quy đồng mẫu thức để đối chiếu

Định hướng. Quy đồng toàn bộ biểu thức trong ngoặc theo mẫu $(x + 1) (x - 1)$ rồi rút gọn, để xác nhận lại kết quả $P = 0$ bằng cách tính đầy đủ.

\frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x + 1} = \frac{x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} + \frac{x ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x ^{2} + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

\frac{x ^{2} + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} - \frac{1}{x - 1} = \frac{x ^{2} + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} - \frac{x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x ^{2} - x}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x}{x + 1}

P = \frac{x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} = 0

Vậy tính đầy đủ vẫn ra $P = 0$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 xác nhận Vuông đúng nhưng phải quy đồng hai lần rất dài; Cách 1 mới thật sự trả lời được câu hỏi "làm thế nào thấy ngay kết quả" của tình huống mở đầu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đây chính là điều đề bài hỏi — bỏ ngoặc rồi nhóm cặp đối nhau để thấy ngay

P = 0

mà không cần quy đồng như Cách 2.

Đáp số.

P = 0

(với

x \neq = 1, x \neq = - 1

), vì sau khi bỏ ngoặc, hai số hạng

\frac{x}{x + 1}

triệt tiêu nhau và hai số hạng

\frac{1}{x - 1}

cũng triệt tiêu nhau.

Sai lầm thường gặp. Bỏ ngoặc sai dấu, chỉ đổi dấu số hạng đầu trong ngoặc vuông mà quên đổi dấu số hạng cuối

- \frac{1}{x - 1}

, dẫn tới không nhìn ra được cặp đối nhau và phải quy đồng dài dòng mới ra kết quả.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật, biểu thức

\frac{2}{x} - [(\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x}) - \frac{3}{x + 2}]

cũng bằng

0

theo đúng lí do đã giải thích ở Cách 1.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Vận dụng★★★Trang 19— Lập phân thức từ bài toán thực tế và cộng các phân thức biểu thị thời gian

Vận dụng (trang 19). Chú Đức lái ô tô từ Hà Nội về quê. Từ nhà chú đến đường cao tốc dài khoảng

20

km, xe chạy trong thành phố với vận tốc

x

(km/h) (

x > 0

). Trên

50

km đường cao tốc, xe tăng vận tốc thêm

55

km/h. Ra khỏi cao tốc, xe còn phải chạy thêm

15

phút thì về đến quê. a) Viết các phân thức biểu thị thời gian xe chạy trong thành phố và thời gian xe chạy trên đường cao tốc. b) Viết phân thức biểu thị tổng thời gian chú Đức đi từ Hà Nội về quê.

Kiến thức cần nhớ

Công thức thời gian: $t = \frac{s}{v}$ (quãng đường chia vận tốc).
Đổi đơn vị: $15$ phút $= \frac{15}{60}$ giờ $= \frac{1}{4}$ giờ.
Quy tắc cộng phân thức khác mẫu: quy đồng rồi cộng.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho quãng đường và vận tốc của từng chặng — dấu hiệu dùng công thức

t = \frac{s}{v}

để lập phân thức thời gian cho từng đoạn. Vận tốc trên cao tốc là "tăng thêm

55

km/h" so với vận tốc

x

trong thành phố nên mẫu thức của đoạn cao tốc phải là

x + 55

, không phải

55

. Hướng cộng ba khoảng thời gian (đổi

15

phút

= \frac{1}{4}

giờ) thành một phân thức chung là bước cuối. Bẫy hay gặp là quên đổi

15

phút sang giờ trước khi cộng, hoặc viết nhầm vận tốc cao tốc là

55

thay vì

x + 55

1Cách 1. Lập từng phân thức thời gian rồi cộng theo mẫu thức chung

Định hướng. Lập phân thức thời gian cho từng chặng bằng $t = \frac{s}{v}$ , đổi $15$ phút ra giờ, rồi quy đồng ba số hạng về mẫu chung $4 x (x + 55)$ .

a) Thời gian trong thành phố:

\frac{20}{x}

(giờ); thời gian trên cao tốc:

\frac{50}{x + 55}

(giờ)
b) Thời gian còn lại:

15

phút

= \frac{1}{4}

giờ
Tổng thời gian:

\frac{20}{x} + \frac{50}{x + 55} + \frac{1}{4}

= \frac{80 ( x + 55 )}{4 x ( x + 55 )} + \frac{200 x}{4 x ( x + 55 )} + \frac{x ( x + 55 )}{4 x ( x + 55 )}

= \frac{80 x + 4400 + 200 x + x ^{2} + 55 x}{4 x ( x + 55 )} = \frac{x ^{2} + 335 x + 4400}{4 x ( x + 55 )}

Vậy a) thời gian trong thành phố là $\frac{20}{x}$ giờ, thời gian trên cao tốc là $\frac{50}{x + 55}$ giờ; b) tổng thời gian là $\frac{x ^{2} + 335 x + 4400}{4 x ( x + 55 )}$ giờ (với $x > 0$ ).

2Cách 2. Viết tổng dưới dạng ba số hạng chưa quy đồng, chỉ gộp khi cần con số cụ thể

Định hướng. Nhiều bài chỉ cần "viết phân thức biểu thị" chứ chưa cần rút về một mẫu; giữ nguyên tổng ba số hạng cũng là một phân thức hợp lệ biểu thị tổng thời gian, sau đó mới quy đồng khi cần tính số.

Tổng thời gian

= \frac{20}{x} + \frac{50}{x + 55} + \frac{1}{4}

(giờ)
Quy đồng khi cần một biểu thức duy nhất: mẫu chung

4 x (x + 55)

= \frac{80 ( x + 55 ) + 200 x + x ( x + 55 )}{4 x ( x + 55 )} = \frac{x ^{2} + 335 x + 4400}{4 x ( x + 55 )}

Vậy kết quả vẫn là $\frac{x ^{2} + 335 x + 4400}{4 x ( x + 55 )}$ giờ, khớp Cách 1.

Nhận xét. Hai cách cho cùng một phân thức; Cách 1 quy đồng ngay để có MỘT phân thức duy nhất, đúng như yêu cầu "viết phân thức biểu thị tổng thời gian" của đề.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách thay một giá trị cụ thể của

x

Định hướng. Thay $x = 20$ (km/h) vào tổng ba số hạng chưa quy đồng và vào phân thức đã rút gọn để đối chiếu.

Tổng ba số hạng tại

x = 20

\frac{20}{20} + \frac{50}{75} + \frac{1}{4} = 1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{23}{12}

Phân thức đã rút gọn tại

x = 20

\frac{400 + 6700 + 4400}{4 \cdot 20 \cdot 75} = \frac{11500}{6000} = \frac{23}{12}

Vậy hai giá trị khớp nhau, xác nhận đúng phân thức $\frac{x ^{2} + 335 x + 4400}{4 x ( x + 55 )}$ ở Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập đủ ba phân thức thời gian rồi quy đồng luôn về một mẫu chung, đáp ứng đúng yêu cầu "viết phân thức" của đề.

Đáp số. a) Thời gian trong thành phố:

\frac{20}{x}

giờ; thời gian trên cao tốc:

\frac{50}{x + 55}

giờ. b) Tổng thời gian:

\frac{x ^{2} + 335 x + 4400}{4 x ( x + 55 )}

giờ (với

x > 0

Sai lầm thường gặp. Viết vận tốc trên cao tốc nhầm thành

55

km/h (chỉ lấy đúng lượng tăng thêm) thay vì

x + 55

km/h (vận tốc thực tế trên cao tốc), làm sai cả phân thức thời gian và kết quả cuối cùng.

🚀 Mở rộng. Nếu đường trong thành phố dài

25

km thay vì

20

km, chỉ cần thay

20

bằng

25

trong Cách 1, các bước quy đồng và cộng còn lại hoàn toàn tương tự.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 6.20★★Trang 19— Cộng hai phân thức (cùng mẫu, khác mẫu, mẫu đối nhau)

Bài 6.20 (trang 19). Thực hiện các phép tính sau: a)

\frac{x ^{2} - 3 x + 1}{2 x ^{2}} + \frac{5 x - 1 - x ^{2}}{2 x ^{2}}

; b)

\frac{y}{x - y} + \frac{x}{x + y}

; c)

\frac{x}{2 x - 6} + \frac{9}{2 x ( 3 - x )}

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc cộng phân thức cùng mẫu và khác mẫu.
Quy tắc đổi dấu: $\frac{A}{B} = \frac{- A}{- B}$ , dùng khi hai mẫu là hai đa thức đối nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Ba câu đi từ dễ đến khó: câu a) cùng mẫu, cộng tử rồi rút gọn; câu b) khác mẫu không nhân tử chung, quy đồng bằng tích hai mẫu; câu c) hai mẫu

2 x - 6 = 2 (x - 3)

và

2 x (3 - x) = - 2 x (x - 3)

là đối nhau (chứa nhân tử

3 - x

và

x - 3

) — dấu hiệu phải đổi dấu một mẫu trước khi quy đồng, giống kĩ thuật Luyện tập 2 trang 9 (Bài 22). Bẫy ở câu c là quy đồng thẳng theo hai mẫu như đề cho mà không đổi dấu, ra mẫu chung không tối giản.

1Cách 1. Cộng cùng mẫu, quy đồng khác mẫu, đổi dấu khi mẫu đối nhau

Định hướng. Câu a cộng tử rồi rút gọn; câu b quy đồng theo tích hai mẫu; câu c đổi dấu mẫu $3 - x$ thành $- (x - 3)$ trước khi quy đồng.

\frac{( x ^{2} - 3 x + 1 ) + ( 5 x - 1 - x ^{2} )}{2 x ^{2}} = \frac{2 x}{2 x ^{2}} = \frac{1}{x}

\frac{y}{x - y} + \frac{x}{x + y} = \frac{y ( x + y ) + x ( x - y )}{( x - y ) ( x + y )} = \frac{x ^{2} + y ^{2}}{x ^{2} - y ^{2}}

\frac{9}{2 x ( 3 - x )} = \frac{- 9}{2 x ( x - 3 )}

;

\frac{x}{2 x - 6} + \frac{9}{2 x ( 3 - x )} = \frac{x}{2 ( x - 3 )} + \frac{- 9}{2 x ( x - 3 )}

= \frac{x \cdot x}{2 x ( x - 3 )} + \frac{- 9}{2 x ( x - 3 )} = \frac{x ^{2} - 9}{2 x ( x - 3 )} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{2 x ( x - 3 )} = \frac{x + 3}{2 x}

Vậy a) $\frac{1}{x}$ ; b) $\frac{x ^{2} + y ^{2}}{x ^{2} - y ^{2}}$ ; c) $\frac{x + 3}{2 x}$ .

2Cách 2. Quy đồng bằng tích trực tiếp các mẫu như đề cho, rồi rút gọn

Định hướng. Với câu c, không đổi dấu trước mà nhân chéo trực tiếp hai mẫu $2 x - 6$ và $2 x (3 - x)$ , sau đó rút gọn kết quả.

\frac{x}{2 x - 6} + \frac{9}{2 x ( 3 - x )} = \frac{x \cdot 2 x ( 3 - x ) + 9 ( 2 x - 6 )}{( 2 x - 6 ) \cdot 2 x ( 3 - x )}

= \frac{2 x ^{2} ( 3 - x ) + 18 ( x - 3 )}{4 x ( x - 3 ) ( 3 - x )} = \frac{- 2 x ^{2} ( x - 3 ) - 18 ( 3 - x ) \cdot ( - 1 )}{4 x ( x - 3 ) ( 3 - x )}

= \frac{- 2 ( x - 3 ) ( x ^{2} - 9 )}{4 x ( x - 3 ) ( 3 - x )} = \frac{- 2 ( x ^{2} - 9 )}{4 x ( 3 - x )} = \frac{x ^{2} - 9}{2 x ( x - 3 )} = \frac{x + 3}{2 x}

Vậy c) vẫn ra $\frac{x + 3}{2 x}$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 (đổi dấu trước) cho phép tính gọn hơn hẳn Cách 2 (nhân chéo trực tiếp rồi rút gọn nhiều lớp) — nên nhận diện mẫu đối nhau trước khi quy đồng.

3Cách 3. Kiểm tra lại cả ba câu bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay số phù hợp điều kiện xác định vào từng câu để đối chiếu với kết quả đã rút gọn.

a) tại

x = 3

: vế trái

= \frac{1}{18} + \frac{5}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}

;

\frac{1}{x} = \frac{1}{3}

b) tại

x = 3, y = 1

: vế trái

= \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}

;

\frac{x ^{2} + y ^{2}}{x ^{2} - y ^{2}} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}

c) tại

x = 2

: vế trái

= \frac{2}{- 2} + \frac{9}{4} = - 1 + 2, 25 = 1, 25

;

\frac{x + 3}{2 x} = \frac{5}{4} = 1, 25

Vậy cả ba kết quả ở Cách 1 đều được xác nhận đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận diện ngay mẫu đối nhau ở câu c để đổi dấu trước khi quy đồng, tránh phép tính cồng kềnh của Cách 2.

Đáp số. a)

\frac{1}{x}

(với

x \neq = 0

); b)

\frac{x ^{2} + y ^{2}}{x ^{2} - y ^{2}}

(với

x \neq = \pm y

); c)

\frac{x + 3}{2 x}

(với

x \neq = 0, x \neq = 3

Sai lầm thường gặp. Ở câu c, không nhận ra

3 - x

và

x - 3

là hai đa thức đối nhau nên quy đồng nhầm mẫu chung thành

2 x (3 - x) (x - 3)

có dư một nhân tử, dẫn tới kết quả chưa tối giản hoặc sai dấu.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật đổi dấu mẫu đối nhau,

\frac{2}{x - 5} + \frac{3}{5 - x}

đổi dấu số hạng sau thành

\frac{- 3}{x - 5}

rồi cộng ra

\frac{- 1}{x - 5}

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 6.21★★Trang 19— Trừ hai phân thức (cùng mẫu, khác mẫu, mẫu chứa nhân tử chung dạng hằng đẳng thức)

Bài 6.21 (trang 19). Thực hiện các phép tính sau: a)

\frac{5 - 3 x}{x + 1} - \frac{- 2 + 5 x}{x + 1}

; b)

\frac{x}{x - y} - \frac{y}{x + y}

; c)

\frac{3}{x + 1} - \frac{2 + 3 x}{x ^{3} + 1}

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc trừ phân thức cùng mẫu và khác mẫu.
Hằng đẳng thức tổng hai lập phương: $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) cùng mẫu, trừ tử trực tiếp; câu b) khác mẫu không nhân tử chung, quy đồng bằng tích hai mẫu; câu c) mẫu

x^{3} + 1

phân tích được thành

(x + 1) (x^{2} - x + 1)

theo hằng đẳng thức tổng hai lập phương — dấu hiệu quy đồng theo mẫu

x^{3} + 1

thay vì nhân trực tiếp

(x + 1) (x^{3} + 1)

. Bẫy ở câu c là không phân tích

x^{3} + 1

trước, dẫn tới quy đồng ra bậc quá cao.

1Cách 1. Trừ cùng mẫu, quy đồng khác mẫu, dùng hằng đẳng thức cho câu c

Định hướng. Câu a trừ tử trực tiếp; câu b quy đồng theo tích hai mẫu; câu c phân tích $x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1)$ rồi quy đồng.

\frac{( 5 - 3 x ) - ( - 2 + 5 x )}{x + 1} = \frac{5 - 3 x + 2 - 5 x}{x + 1} = \frac{7 - 8 x}{x + 1}

\frac{x}{x - y} - \frac{y}{x + y} = \frac{x ( x + y ) - y ( x - y )}{( x - y ) ( x + y )} = \frac{x ^{2} + y ^{2}}{x ^{2} - y ^{2}}

x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1)

;

\frac{3}{x + 1} = \frac{3 ( x ^{2} - x + 1 )}{x ^{3} + 1}

\frac{3}{x + 1} - \frac{2 + 3 x}{x ^{3} + 1} = \frac{3 ( x ^{2} - x + 1 ) - ( 2 + 3 x )}{x ^{3} + 1} = \frac{3 x ^{2} - 3 x + 3 - 2 - 3 x}{x ^{3} + 1} = \frac{3 x ^{2} - 6 x + 1}{x ^{3} + 1}

Vậy a) $\frac{7 - 8 x}{x + 1}$ ; b) $\frac{x ^{2} + y ^{2}}{x ^{2} - y ^{2}}$ ; c) $\frac{3 x ^{2} - 6 x + 1}{x ^{3} + 1}$ .

2Cách 2. Chuyển các phép trừ thành phép cộng với phân thức đối

Định hướng. Áp dụng $\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + \frac{- C}{D}$ cho cả ba câu rồi cộng như bình thường.

\frac{5 - 3 x}{x + 1} + \frac{2 - 5 x}{x + 1} = \frac{7 - 8 x}{x + 1}

\frac{x}{x - y} + \frac{- y}{x + y} = \frac{x ( x + y ) + ( - y ) ( x - y )}{( x - y ) ( x + y )} = \frac{x ^{2} + y ^{2}}{x ^{2} - y ^{2}}

\frac{3 ( x ^{2} - x + 1 )}{x ^{3} + 1} + \frac{- ( 2 + 3 x )}{x ^{3} + 1} = \frac{3 x ^{2} - 6 x + 1}{x ^{3} + 1}

Vậy cả ba kết quả đều khớp Cách 1.

Nhận xét. Hai cách cùng bản chất; điểm mấu chốt của câu c vẫn là nhận ra $x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1)$ trước khi quy đồng, dù trừ trực tiếp hay đổi thành cộng.

3Cách 3. Kiểm tra lại cả ba câu bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay số phù hợp điều kiện xác định vào từng câu để đối chiếu với kết quả đã rút gọn.

a) tại

x = 2

: vế trái

= \frac{- 1}{3} - \frac{8}{3} = \frac{- 9}{3} = - 3

;

\frac{7 - 8 x}{x + 1} = \frac{- 9}{3} = - 3

b) tại

x = 3, y = 1

: vế trái

= \frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4}

;

\frac{x ^{2} + y ^{2}}{x ^{2} - y ^{2}} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}

c) tại

x = 2

: vế trái

= 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}

;

\frac{3 x ^{2} - 6 x + 1}{x ^{3} + 1} = \frac{1}{9}

Vậy cả ba kết quả ở Cách 1 đều được xác nhận đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: trừ trực tiếp và phân tích

x^{3} + 1

bằng hằng đẳng thức trước khi quy đồng, nhanh hơn việc đổi hết sang phép cộng như Cách 2.

Đáp số. a)

\frac{7 - 8 x}{x + 1}

(với

x \neq = - 1

); b)

\frac{x ^{2} + y ^{2}}{x ^{2} - y ^{2}}

(với

x \neq = \pm y

); c)

\frac{3 x ^{2} - 6 x + 1}{x ^{3} + 1}

(với

x \neq = - 1

Sai lầm thường gặp. Ở câu c, quy đồng theo mẫu

(x + 1) (x^{3} + 1)

(nhân trực tiếp hai mẫu như đề cho) mà không phân tích

x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1)

trước, khiến bậc của tử và mẫu cao hơn hẳn mức cần thiết và dễ tính sai.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật với câu c,

\frac{2}{x - 1} - \frac{1 - x}{x ^{3} - 1}

cũng cần phân tích

x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)

trước khi quy đồng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Bài 6.22★★★Trang 19— Rút gọn tổng nhiều phân thức bằng tính chất giao hoán, kết hợp (nhận diện số hạng đối nhau)

Bài 6.22 (trang 19). Thực hiện các phép tính sau: a)

\frac{1}{x} + \frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2} - \frac{1}{x} - \frac{2}{x - 1} - \frac{3}{x + 2}

; b)

\frac{2 x - 1}{x} + \frac{1 - x}{2 x + 1} + \frac{3}{x ^{2} - 9} + \frac{1 - 2 x}{x} + \frac{x - 1}{2 x + 1} - \frac{3}{x + 3}

Kiến thức cần nhớ

Tính chất giao hoán, kết hợp: nhóm các số hạng cùng mẫu và đối tử để triệt tiêu trước khi quy đồng phần còn lại.
Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai câu đều có nhiều số hạng, trong đó một số cặp phân thức CÙNG mẫu và đối tử (hoặc giống hệt nhau kèm dấu trừ) — đúng dấu hiệu áp tính chất giao hoán, kết hợp như Luyện tập 4: nhóm các cặp triệt tiêu trước, phần còn lại mới cần quy đồng. Hướng nhận diện cặp

\frac{1}{x}

- \frac{1}{x}

và

\frac{3}{x + 2}

- \frac{3}{x + 2}

ở câu a (chỉ còn

\frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x - 1}

phải quy đồng thật); tương tự ở câu b các cặp cùng mẫu

x

và cùng mẫu

2 x + 1

triệt tiêu, chỉ còn

\frac{3}{x ^{2} - 9} - \frac{3}{x + 3}

cần xử lí. Bẫy là quy đồng tất cả sáu số hạng theo một mẫu chung khổng lồ mà không nhóm trước.

1Cách 1. Nhóm các cặp số hạng triệt tiêu trước, chỉ quy đồng phần còn lại

Định hướng. Câu a nhóm $\frac{1}{x} - \frac{1}{x}$ và $\frac{3}{x + 2} - \frac{3}{x + 2}$ triệt tiêu, chỉ còn $\frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x - 1}$ cần quy đồng. Câu b nhóm hai cặp cùng mẫu $x$ và $2 x + 1$ triệt tiêu, chỉ còn $\frac{3}{x ^{2} - 9} - \frac{3}{x + 3}$ .

(\frac{1}{x} - \frac{1}{x}) + (\frac{3}{x + 2} - \frac{3}{x + 2}) + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x - 1}

= 0 + 0 + \frac{2 ( x - 1 ) - 2 ( x + 1 )}{( x + 1 ) ( x - 1 )} = \frac{- 4}{x ^{2} - 1}

(\frac{2 x - 1}{x} + \frac{1 - 2 x}{x}) + (\frac{1 - x}{2 x + 1} + \frac{x - 1}{2 x + 1}) + \frac{3}{x ^{2} - 9} - \frac{3}{x + 3}

= 0 + 0 + \frac{3 - 3 ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{12 - 3 x}{x ^{2} - 9}

Vậy a) $\frac{- 4}{x ^{2} - 1}$ ; b) $\frac{12 - 3 x}{x ^{2} - 9}$ .

2Cách 2. Quy đồng toàn bộ các số hạng theo mẫu chung, không nhóm trước

Định hướng. Quy đồng trực tiếp tất cả số hạng của mỗi câu theo đúng thứ tự đề cho, để đối chiếu với kết quả nhóm trước ở Cách 1.

a) mẫu chung

x (x + 1) (x - 1) (x + 2)

: sau khi cộng đủ sáu số hạng và rút gọn các nhân tử

x

(x + 2)

ở tử, kết quả thu gọn về

\frac{- 4}{x ^{2} - 1}

b) mẫu chung

x (2 x + 1) (x - 3) (x + 3)

: sau khi cộng đủ sáu số hạng và rút gọn các nhân tử

x

(2 x + 1)

ở tử, kết quả thu gọn về

\frac{12 - 3 x}{x ^{2} - 9}

Vậy quy đồng đầy đủ cũng cho đúng hai kết quả như Cách 1, nhưng phải rút gọn qua nhiều bước hơn.

Nhận xét. Cách 1 nhìn ra ngay các cặp triệt tiêu nên nhanh hơn hẳn; Cách 2 tuy chắc chắn nhưng cồng kềnh vì quy đồng dư thừa những mẫu vốn sẽ tự triệt tiêu.

3Cách 3. Kiểm tra lại cả hai câu bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay số phù hợp điều kiện xác định vào từng câu để đối chiếu với kết quả đã rút gọn.

a) tại

x = 3

: vế trái

= \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{3}{5} - \frac{1}{3} - 1 - \frac{3}{5} = - \frac{1}{2}

;

\frac{- 4}{x ^{2} - 1} = \frac{- 4}{8} = - \frac{1}{2}

b) tại

x = 2

: vế trái

= \frac{3}{2} - \frac{1}{5} - \frac{3}{5} - \frac{3}{2} + \frac{1}{5} - \frac{3}{5} = - \frac{6}{5}

;

\frac{12 - 3 x}{x ^{2} - 9} = \frac{6}{- 5} = - \frac{6}{5}

Vậy cả hai kết quả ở Cách 1 đều được xác nhận đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhóm ngay các cặp số hạng cùng mẫu và đối tử để triệt tiêu, chỉ quy đồng phần còn lại — nhanh hơn hẳn Cách 2.

Đáp số. a)

\frac{- 4}{x ^{2} - 1}

(với

x \neq = 0, \pm 1, - 2

); b)

\frac{12 - 3 x}{x ^{2} - 9}

(với

x \neq = 0, \pm 3, - \frac{1}{2}

Sai lầm thường gặp. Không nhận ra các cặp số hạng triệt tiêu mà quy đồng cả sáu số hạng theo một mẫu chung rất lớn ngay từ đầu, vừa mất thời gian vừa dễ tính sai khi rút gọn kết quả cuối cùng.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật nhóm số hạng triệt tiêu, biểu thức

\frac{5}{x - 1} + \frac{2}{x + 3} - \frac{5}{x - 1} + \frac{1}{x + 3}

rút gọn ngay về

\frac{3}{x + 3}

mà không cần quy đồng số hạng đầu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · Bài 6.23★★★Trang 19— Rút gọn tổng nhiều phân thức, kết hợp hằng đẳng thức, đổi dấu mẫu và quy tắc dấu ngoặc

Bài 6.23 (trang 19). Thực hiện các phép tính sau: a)

\frac{x ^{2} + 4 x + 4}{x ^{2} - 4} + \frac{x}{2 - x} + \frac{4 - x}{5 x - 10}

; b)

\frac{x}{x ^{2} + 1} - (\frac{3}{x + 6} + \frac{x - 2}{x + 4}) + [\frac{3}{x + 6} - (\frac{1}{x ^{2} + 1} + \frac{x - 2}{x + 4})]

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức bình phương một tổng: $x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}$ .
Quy tắc đổi dấu và quy tắc dấu ngoặc; tính chất giao hoán, kết hợp.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) có ba mẫu đều liên quan đến nhân tử

(x - 2)

x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)

2 - x = - (x - 2)

5 x - 10 = 5 (x - 2)

— dấu hiệu quy đồng chung quanh nhân tử

(x - 2)

sau khi đổi dấu mẫu

2 - x

. Câu b) có cấu trúc giống hệt Luyện tập 5: hai ngoặc chứa

\frac{3}{x + 6}

và

\frac{x - 2}{x + 4}

lặp lại với dấu ngược nhau — dấu hiệu bỏ ngoặc rồi nhóm cặp triệt tiêu thay vì quy đồng toàn bộ bốn mẫu. Bẫy ở câu a là quên đổi dấu mẫu

2 - x

; bẫy ở câu b là quy đồng toàn bộ bốn mẫu khác nhau một cách máy móc mà không nhận ra

\frac{3}{x + 6}

xuất hiện cả cộng lẫn trừ.

1Cách 1. Phân tích nhân tử, đổi dấu mẫu (câu a) và bỏ ngoặc, nhóm cặp triệt tiêu (câu b)

Định hướng. Câu a phân tích $x^{2} - 4$ , đổi dấu $2 - x$ thành $- (x - 2)$ rồi quy đồng quanh $(x - 2)$ . Câu b bỏ hai dấu ngoặc theo đúng quy tắc dấu ngoặc rồi nhóm hai cặp $\frac{3}{x + 6}$ và $\frac{x - 2}{x + 4}$ triệt tiêu.

\frac{x ^{2} + 4 x + 4}{x ^{2} - 4} = \frac{( x + 2 ) ^{2}}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x + 2}{x - 2}

;

\frac{x}{2 - x} = \frac{- x}{x - 2}

;

\frac{4 - x}{5 x - 10} = \frac{4 - x}{5 ( x - 2 )}

\frac{x + 2}{x - 2} + \frac{- x}{x - 2} + \frac{4 - x}{5 ( x - 2 )} = \frac{2}{x - 2} + \frac{4 - x}{5 ( x - 2 )} = \frac{10 + 4 - x}{5 ( x - 2 )} = \frac{14 - x}{5 ( x - 2 )}

\frac{x}{x ^{2} + 1} - \frac{3}{x + 6} - \frac{x - 2}{x + 4} + \frac{3}{x + 6} - \frac{1}{x ^{2} + 1} - \frac{x - 2}{x + 4}

= (\frac{x}{x ^{2} + 1} - \frac{1}{x ^{2} + 1}) + (\frac{3}{x + 6} - \frac{3}{x + 6}) - \frac{2 ( x - 2 )}{x + 4}

= \frac{x - 1}{x ^{2} + 1} + 0 - \frac{2 ( x - 2 )}{x + 4} = \frac{x - 1}{x ^{2} + 1} - \frac{2 ( x - 2 )}{x + 4}

Vậy a) $\frac{14 - x}{5 ( x - 2 )}$ ; b) $\frac{x - 1}{x ^{2} + 1} - \frac{2 ( x - 2 )}{x + 4}$ .

2Cách 2. Quy đồng toàn bộ theo mẫu chung, không rút gọn/nhóm trước

Định hướng. Với câu a, quy đồng ba số hạng theo mẫu chung $5 (x - 2) (x + 2)$ ngay từ đầu; với câu b, quy đồng cả bốn phân thức khác nhau theo mẫu chung $(x^{2} + 1) (x + 6) (x + 4)$ rồi rút gọn về cùng kết quả.

\frac{5 ( x + 2 ) ^{2} - 5 x ( x + 2 ) + ( 4 - x ) ( x + 2 )}{5 ( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{( x + 2 ) [ 5 ( x + 2 ) - 5 x + ( 4 - x ) ]}{5 ( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{5 x + 10 - 5 x + 4 - x}{5 ( x - 2 )} = \frac{14 - x}{5 ( x - 2 )}

b) sau khi quy đồng đủ bốn phân thức theo mẫu chung

(x^{2} + 1) (x + 6) (x + 4)

và rút gọn nhân tử

(x + 6)

dư ra ở tử và mẫu, kết quả thu gọn đúng bằng

\frac{x - 1}{x ^{2} + 1} - \frac{2 ( x - 2 )}{x + 4}

Vậy hai câu đều ra cùng kết quả như Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 (rút gọn/nhóm trước) ngắn hơn hẳn, nhất là câu b vì tránh hẳn việc quy đồng bốn mẫu khác nhau cùng lúc.

3Cách 3. Kiểm tra lại cả hai câu bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay số phù hợp điều kiện xác định vào từng câu để đối chiếu với kết quả đã rút gọn.

a) tại

x = 1

: vế trái

= \frac{9}{- 3} + 1 + \frac{3}{- 5} = - 3 + 1 - 0, 6 = - 2, 6

;

\frac{14 - x}{5 ( x - 2 )} = \frac{13}{- 5} = - 2, 6

b) tại

x = 1

: vế trái

= 0, 5 - (0, 4286 - 0, 2) + (0, 4286 - (0, 5 - 0, 2)) = 0, 4

;

\frac{x - 1}{x ^{2} + 1} - \frac{2 ( x - 2 )}{x + 4} = 0 - \frac{- 2}{5} = 0, 4

Vậy cả hai kết quả ở Cách 1 đều được xác nhận đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phân tích nhân tử và đổi dấu trước ở câu a, bỏ ngoặc rồi nhóm cặp triệt tiêu ở câu b — nhanh hơn hẳn việc quy đồng toàn bộ như Cách 2.

Đáp số. a)

\frac{14 - x}{5 ( x - 2 )}

(với

x \neq = \pm 2

); b)

\frac{x - 1}{x ^{2} + 1} - \frac{2 ( x - 2 )}{x + 4}

(với

x \neq = - 6, x \neq = - 4

Sai lầm thường gặp. Ở câu a, quên đổi dấu mẫu

2 - x

thành

- (x - 2)

, cộng nhầm dấu khiến kết quả sai hẳn. Ở câu b, bỏ dấu ngoặc vuông sai (chỉ đổi dấu số hạng đầu

\frac{3}{x + 6}

mà quên đổi dấu số hạng trong ngoặc tròn bên trong), làm mất cặp triệt tiêu

\frac{3}{x + 6}

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật câu b, biểu thức

\frac{y}{y ^{2} + 2} - (\frac{5}{y + 3} + \frac{y - 1}{y + 2}) + [\frac{5}{y + 3} - (\frac{2}{y ^{2} + 2} + \frac{y - 1}{y + 2})]

cũng rút gọn về

\frac{y - 2}{y ^{2} + 2} - \frac{2 ( y - 1 )}{y + 2}

theo đúng cách nhóm cặp triệt tiêu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · Bài 6.24★★★Trang 19— Cộng nhiều phân thức với ba biến và phân thức có mẫu là hằng đẳng thức

Bài 6.24 (trang 19). Thực hiện các phép tính sau: a)

\frac{x - y}{x y} + \frac{y - z}{y z} + \frac{z - x}{z x}

; b)

\frac{x}{( x - y ) ^{2}} + \frac{y}{y ^{2} - x ^{2}}

Kiến thức cần nhớ

Mẫu thức chung nhỏ nhất của $x y, y z, z x$ là $x y z$ .
Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương và quy tắc đổi dấu: $y^{2} - x^{2} = - (x - y) (x + y)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) có ba mẫu

x y, y z, z x

đều là tích của hai trong ba biến — dấu hiệu mẫu chung nhỏ nhất là

x y z

, quy đồng đối xứng cả ba số hạng. Câu b) mẫu thứ hai

y^{2} - x^{2} = (y - x) (y + x) = - (x - y) (x + y)

liên hệ trực tiếp với mẫu thứ nhất

(x - y)^{2}

— dấu hiệu đổi dấu mẫu thứ hai để đưa về cùng nhân tử

(x - y)

. Bẫy ở câu a là tính sai dấu khi quy đồng khiến không thấy được kết quả đặc biệt bằng

0

; bẫy ở câu b là quên đổi dấu

y^{2} - x^{2}

trước khi quy đồng.

1Cách 1. Quy đồng theo mẫu chung nhỏ nhất rồi cộng

Định hướng. Câu a quy đồng ba số hạng về mẫu chung $x y z$ ; câu b đổi dấu mẫu $y^{2} - x^{2}$ để đưa về cùng nhân tử $(x - y)$ với mẫu thứ nhất.

\frac{x - y}{x y} + \frac{y - z}{y z} + \frac{z - x}{z x} = \frac{z ( x - y ) + x ( y - z ) + y ( z - x )}{x y z}

= \frac{z x - z y + x y - x z + y z - y x}{x y z} = \frac{0}{x y z} = 0

y^{2} - x^{2} = - (x - y) (x + y)

;

\frac{y}{y ^{2} - x ^{2}} = \frac{- y}{( x - y ) ( x + y )}

\frac{x}{( x - y ) ^{2}} + \frac{- y}{( x - y ) ( x + y )} = \frac{x ( x + y )}{( x - y ) ^{2} ( x + y )} + \frac{- y ( x - y )}{( x - y ) ^{2} ( x + y )}

= \frac{x ( x + y ) - y ( x - y )}{( x - y ) ^{2} ( x + y )} = \frac{x ^{2} + x y - x y + y ^{2}}{( x - y ) ^{2} ( x + y )} = \frac{x ^{2} + y ^{2}}{( x - y ) ^{2} ( x + y )}

Vậy a) $0$ ; b) $\frac{x ^{2} + y ^{2}}{( x - y ) ^{2} ( x + y )}$ .

2Cách 2. Nhóm lại theo cặp biến trước khi quy đồng chung

Định hướng. Câu a viết lại mỗi phân thức thành hiệu hai phân thức đơn (tách $\frac{x - y}{x y} = \frac{1}{y} - \frac{1}{x}$ ) rồi nhóm các số hạng đối nhau bằng tính giao hoán, kết hợp.

\frac{x - y}{x y} = \frac{1}{y} - \frac{1}{x}

;

\frac{y - z}{y z} = \frac{1}{z} - \frac{1}{y}

;

\frac{z - x}{z x} = \frac{1}{x} - \frac{1}{z}

Tổng

= (\frac{1}{y} - \frac{1}{x}) + (\frac{1}{z} - \frac{1}{y}) + (\frac{1}{x} - \frac{1}{z})

= (\frac{1}{y} - \frac{1}{y}) + (\frac{1}{z} - \frac{1}{z}) + (\frac{1}{x} - \frac{1}{x}) = 0

Vậy a) $= 0$ , khớp Cách 1 nhưng nhìn thấy bản chất triệt tiêu rõ hơn.

Nhận xét. Cách 2 lí giải rõ VÌ SAO tổng luôn bằng $0$ với mọi $x, y, z \neq = 0$ : mỗi phân thức tách thành hiệu hai nghịch đảo, xoay vòng rồi triệt tiêu hoàn toàn.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay $x = 3, y = 1$ (câu b) và $x = 1, y = 2, z = 3$ (câu a) để đối chiếu.

a) tại

x = 1, y = 2, z = 3

\frac{- 1}{2} + \frac{- 1}{6} + \frac{2}{3} = \frac{- 3 - 1 + 4}{6} = 0

b) tại

x = 3, y = 1

: vế trái

= \frac{3}{4} + \frac{1}{1 - 9} = 0, 75 - 0, 125 = 0, 625

;

\frac{x ^{2} + y ^{2}}{( x - y ) ^{2} ( x + y )} = \frac{10}{16} = 0, 625

Vậy cả hai kết quả ở Cách 1 đều được xác nhận đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quy đồng thẳng theo mẫu chung nhỏ nhất — nhanh và chắc chắn; Cách 2 chỉ nên dùng khi cần GIẢI THÍCH vì sao tổng bằng

0

Đáp số. a)

0

(với

x, y, z \neq = 0

); b)

\frac{x ^{2} + y ^{2}}{( x - y ) ^{2} ( x + y )}

(với

x \neq = y, x \neq = - y

Sai lầm thường gặp. Ở câu a, quy đồng sai dấu một trong ba số hạng (ví dụ viết nhầm

z (x - y)

thành

z (y - x)

), làm tử không triệt tiêu về

0

mà ra một biểu thức khác

0

. Ở câu b, quên đổi dấu

y^{2} - x^{2}

nên quy đồng nhầm mẫu chung, dẫn tới sai dấu tử số.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật câu a, biểu thức

\frac{a - b}{ab} + \frac{b - c}{b c} + \frac{c - a}{c a}

với ba biến bất kì luôn bằng

0

theo đúng lí do đã giải thích ở Cách 2.

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · Bài 6.25★★★Trang 19— Lập phân thức từ bài toán chuyển động trên dòng nước và tính giá trị phân thức

Bài 6.25 (trang 19). Một tàu du lịch chạy xuôi dòng

15

km, sau đó quay ngược lại để trở về điểm xuất phát và kết thúc chuyến du lịch. Biết rằng vận tốc của tàu khi nước yên lặng là

10

km/h và vận tốc của dòng nước là

x

(km/h). a) Hãy viết các phân thức biểu thị theo

x

thời gian xuôi dòng, thời gian ngược dòng và tổng thời gian tàu chạy. b) Tính tổng thời gian tàu chạy khi vận tốc dòng nước là

2

km/h.

Kiến thức cần nhớ

Chuyển động xuôi/ngược dòng: vận tốc xuôi dòng $=$ vận tốc riêng $+$ vận tốc dòng nước; vận tốc ngược dòng $=$ vận tốc riêng $-$ vận tốc dòng nước.
Công thức thời gian $t = \frac{s}{v}$ ; quy tắc cộng hai phân thức khác mẫu.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước — dấu hiệu quen thuộc của dạng chuyển động xuôi/ngược dòng: vận tốc xuôi dòng là

10 + x

, vận tốc ngược dòng là

10 - x

. Hướng lập hai phân thức thời gian bằng

t = \frac{s}{v}

rồi cộng lại là bước chính; câu b) chỉ cần thay

x = 2

vào phân thức tổng đã rút gọn ở câu a) để tính số, không cần lập lại từ đầu. Bẫy hay gặp là viết ngược vận tốc (xuôi dòng lại trừ, ngược dòng lại cộng) hoặc quên điều kiện

0 < x < 10

để dòng nước không thể nhanh hơn tàu.

1Cách 1. Lập phân thức thời gian từng chặng rồi cộng, sau đó thay số

Định hướng. Lập vận tốc xuôi dòng $10 + x$ và ngược dòng $10 - x$ , viết hai phân thức thời gian, cộng lại rồi mới thay $x = 2$ .

a) Thời gian xuôi dòng:

\frac{15}{10 + x}

(giờ); thời gian ngược dòng:

\frac{15}{10 - x}

(giờ)
Tổng thời gian:

\frac{15}{10 + x} + \frac{15}{10 - x} = \frac{15 ( 10 - x ) + 15 ( 10 + x )}{( 10 + x ) ( 10 - x )} = \frac{300}{100 - x ^{2}}

b) Thay

x = 2

\frac{300}{100 - 4} = \frac{300}{96} = \frac{25}{8}

Vậy a) tổng thời gian là $\frac{300}{100 - x ^{2}}$ giờ (với $0 < x < 10$ ); b) khi $x = 2$ , tổng thời gian là $\frac{25}{8}$ giờ.

2Cách 2. Tính riêng từng chặng bằng số ngay từ đầu (không lập phân thức tổng quát trước)

Định hướng. Với câu b, có thể thay $x = 2$ vào ngay hai phân thức thời gian riêng lẻ của câu a rồi cộng trực tiếp bằng số, không cần qua phân thức tổng quát $\frac{300}{100 - x ^{2}}$ .

Thời gian xuôi dòng tại

x = 2

\frac{15}{10 + 2} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}

(giờ)
Thời gian ngược dòng tại

x = 2

\frac{15}{10 - 2} = \frac{15}{8}

(giờ)
Tổng:

\frac{5}{4} + \frac{15}{8} = \frac{10}{8} + \frac{15}{8} = \frac{25}{8}

(giờ)

Vậy tổng thời gian vẫn là $\frac{25}{8}$ giờ, khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 (lập phân thức tổng quát trước) tiện hơn khi đề còn hỏi thêm nhiều giá trị $x$ khác nhau; Cách 2 chỉ nhanh khi CHỈ cần tính đúng một giá trị cụ thể như câu b.

3Cách 3. Đổi

\frac{25}{8}

giờ ra giờ và phút để kiểm tra tính hợp lí của đáp số

Định hướng. Đổi $\frac{25}{8}$ giờ sang dạng giờ-phút để kiểm tra kết quả có hợp lí với bối cảnh thực tế (quãng đường ngắn, vận tốc chậm) hay không.

\frac{25}{8}

giờ

= 3 \frac{1}{8}

giờ

= 3

giờ

+ \frac{1}{8} \cdot 60

phút

= 3

giờ

7, 5

phút
So sánh: đi xuôi dòng với vận tốc

12

km/h hết

1, 25

giờ; đi ngược dòng với vận tốc

8

km/h hết

1, 875

giờ; tổng

3, 125

giờ

= \frac{25}{8}

giờ, khớp phép cộng phân thức

Vậy đáp số $\frac{25}{8}$ giờ (tức $3$ giờ $7, 5$ phút) là hợp lí, xác nhận đúng Cách 1, Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập phân thức tổng quát

\frac{300}{100 - x ^{2}}

ở câu a rồi thay số ở câu b, tận dụng lại kết quả thay vì tính riêng như Cách 2.

Đáp số. a) Thời gian xuôi dòng

\frac{15}{10 + x}

giờ, thời gian ngược dòng

\frac{15}{10 - x}

giờ, tổng thời gian

\frac{300}{100 - x ^{2}}

giờ (với

0 < x < 10

). b) Khi

x = 2

: tổng thời gian là

\frac{25}{8}

giờ.

Sai lầm thường gặp. Viết ngược công thức vận tốc: cho vận tốc xuôi dòng là

10 - x

và ngược dòng là

10 + x

, làm sai hoàn toàn cả hai phân thức thời gian và đáp số cuối cùng.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi quãng đường xuôi dòng thành

20

km (quãng đường ngược dòng vẫn tính từ điểm quay đầu về đúng điểm xuất phát), công thức lập phân thức thời gian hoàn toàn tương tự, chỉ thay

15

bằng

20

ở tử của cả hai phân thức.

Mở bài này trong app ↗