Chương VI. Phân thức đại số

Bài 24. Phép nhân và phép chia phân thức đại số

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 2 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngVI #SáchBàiTập_Tập2 #trang12–13 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 6.27★Trang 12— Nhân hai phân thức đơn thức, rút gọn hệ số và luỹ thừa

Bài 6.27 (trang 12). Thực hiện các phép tính sau: a)

\frac{2 x ^{3}}{5 y ^{2}} \cdot \frac{125 y ^{5}}{8 x}

; b)

\frac{24 y ^{5}}{7 x ^{2}} \cdot (- \frac{21 x}{12 y ^{3}})

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc nhân hai phân thức: $\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$ .
Rút gọn luỹ thừa cùng cơ số: $\frac{x ^{m}}{x ^{n}} = x^{m - n}$ (với $m > n$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai câu là tích của hai phân thức mà tử, mẫu đều là đơn thức — dấu hiệu chỉ cần nhân tử với tử, mẫu với mẫu rồi rút gọn phần hệ số và luỹ thừa riêng biệt, không cần phân tích nhân tử đa thức. Hướng tách riêng phần số và phần biến khi rút gọn giúp tránh nhân ra số lớn. Bẫy ở câu b) là dễ quên dấu âm của

- \frac{21 x}{12 y ^{3}}

khi nhân.

1Cách 1. Nhân tử với tử, mẫu với mẫu, tách riêng hệ số và luỹ thừa để rút gọn

Định hướng. Nhân hết theo quy tắc, sau đó rút gọn phần hệ số và phần luỹ thừa của $x, y$ riêng biệt.

\frac{2 x ^{3}}{5 y ^{2}} \cdot \frac{125 y ^{5}}{8 x} = \frac{2 \cdot 125 \cdot x ^{3} y ^{5}}{5 \cdot 8 \cdot x y ^{2}} = \frac{250 x ^{3} y ^{5}}{40 x y ^{2}} = \frac{25 x ^{2} y ^{3}}{4}

\frac{24 y ^{5}}{7 x ^{2}} \cdot (- \frac{21 x}{12 y ^{3}}) = - \frac{24 \cdot 21 \cdot x y ^{5}}{7 \cdot 12 \cdot x ^{2} y ^{3}} = - \frac{504 x y ^{5}}{84 x ^{2} y ^{3}} = - \frac{6 y ^{2}}{x}

Vậy a) $\frac{25 x ^{2} y ^{3}}{4}$ (với $x, y \neq = 0$ ); b) $- \frac{6 y ^{2}}{x}$ (với $x, y \neq = 0$ ).

2Cách 2. Rút gọn nhân tử chung trước khi nhân hết ra

Định hướng. Nhận ra $x$ ở câu a và $x^{2}$ với $y^{3}$ ở câu b có thể rút gọn ngay từ lúc viết tích, trước khi nhân hệ số.

\frac{2 x ^{3}}{5 y ^{2}} \cdot \frac{125 y ^{5}}{8 x} = \frac{2 \cdot 125}{5 \cdot 8} \cdot \frac{x ^{3}}{x} \cdot \frac{y ^{5}}{y ^{2}} = \frac{25}{4} \cdot x^{2} \cdot y^{3} = \frac{25 x ^{2} y ^{3}}{4}

- \frac{24 \cdot 21}{7 \cdot 12} \cdot \frac{x}{x ^{2}} \cdot \frac{y ^{5}}{y ^{3}} = - 6 \cdot \frac{1}{x} \cdot y^{2} = - \frac{6 y ^{2}}{x}

Vậy hai câu đều khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 tách hệ số và luỹ thừa ngay từ đầu giúp tính nhẩm nhanh hơn, tránh nhân ra số lớn như $504, 40$ rồi mới rút gọn ở Cách 1.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay $x = 1, y = 1$ vào cả hai câu để đối chiếu với kết quả đã rút gọn.

a) vế trái tại

x = 1, y = 1

\frac{2}{5} \cdot \frac{125}{8} = \frac{250}{40} = \frac{25}{4}

; kết quả

\frac{25 x ^{2} y ^{3}}{4} = \frac{25}{4}

b) vế trái tại

x = 1, y = 1

\frac{24}{7} \cdot (- \frac{21}{12}) = - 6

; kết quả

- \frac{6 y ^{2}}{x} = - 6

Vậy cả hai giá trị đều khớp, xác nhận kết quả ở Cách 1, Cách 2 đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tách riêng phần hệ số và phần luỹ thừa để rút gọn ngay khi viết tích, tránh nhân ra số lớn rồi mới rút gọn như Cách 1.

Đáp số. a)

\frac{25 x ^{2} y ^{3}}{4}

; b)

- \frac{6 y ^{2}}{x}

Sai lầm thường gặp. Nhân hệ số và luỹ thừa lẫn lộn, quên rút gọn

\frac{x ^{3}}{x} = x^{2}

hay

\frac{y ^{5}}{y ^{2}} = y^{3}

đúng quy tắc trừ số mũ, dẫn tới kết quả còn dạng phân thức chưa tối giản như

\frac{250 x ^{3} y ^{5}}{40 x y ^{2}}

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật,

\frac{6 x ^{2}}{7 y ^{3}} \cdot \frac{49 y ^{4}}{18 x}

rút gọn về

\frac{7 x y}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 6.28★★★Trang 12— Nhân hai phân thức có tử/mẫu cần phân tích bằng hằng đẳng thức bậc hai và bậc ba

Bài 6.28 (trang 12). Tính: a)

\frac{x ^{2} - 6 x + 9}{x ^{2} - 3 x + 9} \cdot \frac{x ^{3} + 27}{3 x - 9}

; b)

\frac{2 x ^{2} - 20 x + 50}{3 x + 3} \cdot \frac{x ^{2} - 1}{4 ( x - 5 ) ^{3}}

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ và $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ , $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
Quy tắc nhân hai phân thức, rút gọn nhân tử chung sau khi phân tích.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) có

x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}

và

x^{3} + 27 = (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)

(hằng đẳng thức

a^{3} + b^{3}

) — dấu hiệu mẫu

x^{2} - 3 x + 9

của phân thức đầu sẽ triệt tiêu với nhân tử vừa xuất hiện ở tử phân thức sau. Câu b) có

2 x^{2} - 20 x + 50 = 2 (x - 5)^{2}

và

x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)

— dấu hiệu phân tích nhân tử chung với

3 x + 3 = 3 (x + 1)

và

4 (x - 5)^{3}

. Bẫy chung là không nhận ra hằng đẳng thức lập phương ở câu a), khiến không rút gọn được mẫu

x^{2} - 3 x + 9

1Cách 1. Phân tích nhân tử bằng hằng đẳng thức rồi rút gọn ngay khi nhân

Định hướng. Câu a phân tích $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ , $x^{3} + 27 = (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)$ ; câu b phân tích $2 x^{2} - 20 x + 50 = 2 (x - 5)^{2}$ , $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ .

\frac{x ^{2} - 6 x + 9}{x ^{2} - 3 x + 9} \cdot \frac{x ^{3} + 27}{3 x - 9} = \frac{( x - 3 ) ^{2}}{x ^{2} - 3 x + 9} \cdot \frac{( x + 3 ) ( x ^{2} - 3 x + 9 )}{3 ( x - 3 )}

= \frac{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 ) ( x ^{2} - 3 x + 9 )}{3 ( x - 3 ) ( x ^{2} - 3 x + 9 )} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{3} = \frac{x ^{2} - 9}{3}

\frac{2 x ^{2} - 20 x + 50}{3 x + 3} \cdot \frac{x ^{2} - 1}{4 ( x - 5 ) ^{3}} = \frac{2 ( x - 5 ) ^{2}}{3 ( x + 1 )} \cdot \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{4 ( x - 5 ) ^{3}}

= \frac{2 ( x - 5 ) ^{2} ( x - 1 ) ( x + 1 )}{12 ( x + 1 ) ( x - 5 ) ^{3}} = \frac{x - 1}{6 ( x - 5 )}

Vậy a) $\frac{x ^{2} - 9}{3}$ (với $x \neq = 3$ ); b) $\frac{x - 1}{6 ( x - 5 )}$ (với $x \neq = - 1, x \neq = 5$ ).

2Cách 2. Nhân trực tiếp tử với tử, mẫu với mẫu rồi mới phân tích rút gọn

Định hướng. Nhân hết theo quy tắc, không phân tích trước, rồi mới tìm nhân tử chung để rút gọn kết quả cuối.

\frac{( x ^{2} - 6 x + 9 ) ( x ^{3} + 27 )}{( x ^{2} - 3 x + 9 ) ( 3 x - 9 )}

, phân tích: tử

= (x - 3)^{2} (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)

, mẫu

= 3 (x - 3) (x^{2} - 3 x + 9)

\Rightarrow \frac{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 ) ( x ^{2} - 3 x + 9 )}{3 ( x - 3 ) ( x ^{2} - 3 x + 9 )} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{3} = \frac{x ^{2} - 9}{3}

b) tương tự, phân tích tử

= 2 (x - 5)^{2} (x - 1) (x + 1)

, mẫu

= 12 (x + 1) (x - 5)^{3}

, rút gọn còn

\frac{x - 1}{6 ( x - 5 )}

Vậy hai câu đều khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 phân tích nhân tử ngay từ đầu giúp nhìn thấy nhân tử chung sớm hơn, tránh nhân ra đa thức bậc cao rồi mới phân tích lại như Cách 2.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay $x = 0$ vào câu a; thay $x = 0$ vào câu b để đối chiếu với kết quả đã rút gọn.

a) vế trái tại

x = 0

\frac{9}{9} \cdot \frac{27}{- 9} = 1 \cdot (- 3) = - 3

; kết quả

\frac{x ^{2} - 9}{3} = \frac{- 9}{3} = - 3

b) vế trái tại

x = 0

\frac{50}{3} \cdot \frac{- 1}{4 \cdot ( - 125 )} = \frac{50}{3} \cdot \frac{1}{500} = \frac{1}{30}

; kết quả

\frac{x - 1}{6 ( x - 5 )} = \frac{- 1}{- 30} = \frac{1}{30}

Vậy cả hai giá trị đều khớp, xác nhận kết quả ở Cách 1, Cách 2 đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận diện ngay hằng đẳng thức

a^{3} + b^{3}

ở câu a) để thấy mẫu

x^{2} - 3 x + 9

triệt tiêu, tránh nhân ra đa thức bậc năm rồi mới phân tích lại như Cách 2.

Đáp số. a)

\frac{x ^{2} - 9}{3}

; b)

\frac{x - 1}{6 ( x - 5 )}

Sai lầm thường gặp. Không nhận ra

x^{3} + 27 = (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)

dùng hằng đẳng thức

a^{3} + b^{3}

, nên không rút gọn được mẫu

x^{2} - 3 x + 9

, để kết quả câu a) ở dạng phân thức bậc cao chưa tối giản.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật hằng đẳng thức lập phương,

\frac{x ^{2} - 4 x + 4}{x ^{2} - 2 x + 4} \cdot \frac{x ^{3} + 8}{2 x - 4}

rút gọn về

\frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 6.29★★★Trang 12— Chia hai phân thức bằng cách nhân với nghịch đảo, cần phân tích nhân tử bằng hằng đẳng thức

Bài 6.29 (trang 12). Tính: a)

\frac{x ^{2} - y ^{2}}{6 x ^{2} y} : \frac{x + y}{3 x y}

; b)

16 x^{2} y^{2} : (- \frac{18 x ^{2} y ^{5}}{5})

; c)

\frac{1 - 4 x ^{2}}{x ^{2} + 4 x} : \frac{2 - 4 x}{3 x}

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc chia phân thức: $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$ .
Hằng đẳng thức $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 6.30★★★★Trang 12— Cộng/trừ phân thức trong ngoặc rồi chia cho một phân thức, cần phân tích nhân tử

Bài 6.30 (trang 12). Thực hiện các phép tính sau: a)

(\frac{1}{x ^{2} + x} - \frac{2 - x}{x + 1}) : (\frac{1}{x} + x - 2)

; b)

(\frac{3 x}{1 - 3 x} + \frac{2 x}{3 x + 1}) : \frac{6 x ^{2} + 10 x}{1 - 6 x + 9 x ^{2}}

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc cộng, trừ phân thức khác mẫu: quy đồng theo mẫu chung rồi cộng, trừ tử thức.
Hằng đẳng thức $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ ; quy tắc chia phân thức bằng cách nhân với nghịch đảo.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 6.31★★★★Trang 12— Rút gọn biểu thức phối hợp cộng, trừ, nhân, chia phân thức

Bài 6.31 (trang 12). Rút gọn các biểu thức sau: a)

(\frac{9}{x ^{3} - 9 x} + \frac{1}{x + 3}) : (\frac{x - 3}{x ^{2} + 3 x} - \frac{x}{3 x + 9})

; b)

\frac{x + 1}{x + 2} (\frac{x + 2}{x + 3} : \frac{x + 3}{x + 1})

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc cộng, trừ phân thức khác mẫu; hằng đẳng thức $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
Thứ tự thực hiện phép tính: trong ngoặc trước, chia trước nhân sau nếu không có ngoặc chỉ rõ khác.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6.32★★★★Trang 12— Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức phân thức nhiều tầng rồi tính giá trị

Bài 6.32 (trang 12). Cho biểu thức

P = (\frac{1}{x - 1} - \frac{x}{1 - x ^{3}} \cdot \frac{x ^{2} + x + 1}{x + 1}) : \frac{2 x + 1}{x ^{2} + 2 x + 1}

. a) Viết điều kiện xác định của

P

. b) Rút gọn biểu thức

P

. c) Tính giá trị của

P

khi

x = \frac{1}{2}

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ và $a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ .
Điều kiện xác định của phân thức: mọi mẫu thức (kể cả mẫu ẩn sau khi quy đồng, và mẫu của phân thức đóng vai trò số chia) đều phải khác $0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 6.33★★★Trang 13— Lập phân thức biểu thị năng suất từ tình huống thực tế rồi tính tỉ số

Bài 6.33 (trang 13). Hai công nhân cùng làm một mặt hàng. Người công nhân thứ nhất làm được

1000

sản phẩm trong

x

(giờ); người công nhân thứ hai làm được

1250

sản phẩm trong

x + 10

(giờ). a) Viết các phân thức biểu thị số sản phẩm người công nhân thứ nhất làm được trong

1

giờ; số sản phẩm người công nhân thứ hai làm được trong

1

giờ; tỉ số giữa năng suất của người công nhân thứ hai so với năng suất của người công nhân thứ nhất. b) Tính giá trị tỉ số giữa năng suất của người công nhân thứ hai so với năng suất của người công nhân thứ nhất trong trường hợp

x = 240

. Hãy cho biết trong trường hợp này, năng suất lao động của người công nhân thứ hai tăng bao nhiêu phần trăm so với năng suất lao động của người công nhân thứ nhất.

Kiến thức cần nhớ

Năng suất mỗi giờ = số sản phẩm chia cho số giờ.
Tỉ số $\frac{A}{B}$ lớn hơn $1$ một lượng $k$ (viết $\frac{A}{B} = 1 + k$ ) nghĩa là $A$ hơn $B$ đúng $k \cdot 100%$ .