Chương VI. Phân thức đại số

Bài 24. Phép nhân và phép chia phân thức đại số

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 2 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 6.27★Trang 12— Nhân hai phân thức đơn thức, rút gọn hệ số và luỹ thừa

Bài 6.27 (trang 12). Thực hiện các phép tính sau: a)

\frac{2 x ^{3}}{5 y ^{2}} \cdot \frac{125 y ^{5}}{8 x}

; b)

\frac{24 y ^{5}}{7 x ^{2}} \cdot (- \frac{21 x}{12 y ^{3}})

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc nhân hai phân thức: $\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$ .
Rút gọn luỹ thừa cùng cơ số: $\frac{x ^{m}}{x ^{n}} = x^{m - n}$ (với $m > n$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai câu là tích của hai phân thức mà tử, mẫu đều là đơn thức — dấu hiệu chỉ cần nhân tử với tử, mẫu với mẫu rồi rút gọn phần hệ số và luỹ thừa riêng biệt, không cần phân tích nhân tử đa thức. Hướng tách riêng phần số và phần biến khi rút gọn giúp tránh nhân ra số lớn. Bẫy ở câu b) là dễ quên dấu âm của

- \frac{21 x}{12 y ^{3}}

khi nhân.

1Cách 1. Nhân tử với tử, mẫu với mẫu, tách riêng hệ số và luỹ thừa để rút gọn

Định hướng. Nhân hết theo quy tắc, sau đó rút gọn phần hệ số và phần luỹ thừa của $x, y$ riêng biệt.

\frac{2 x ^{3}}{5 y ^{2}} \cdot \frac{125 y ^{5}}{8 x} = \frac{2 \cdot 125 \cdot x ^{3} y ^{5}}{5 \cdot 8 \cdot x y ^{2}} = \frac{250 x ^{3} y ^{5}}{40 x y ^{2}} = \frac{25 x ^{2} y ^{3}}{4}

\frac{24 y ^{5}}{7 x ^{2}} \cdot (- \frac{21 x}{12 y ^{3}}) = - \frac{24 \cdot 21 \cdot x y ^{5}}{7 \cdot 12 \cdot x ^{2} y ^{3}} = - \frac{504 x y ^{5}}{84 x ^{2} y ^{3}} = - \frac{6 y ^{2}}{x}

Vậy a) $\frac{25 x ^{2} y ^{3}}{4}$ (với $x, y \neq = 0$ ); b) $- \frac{6 y ^{2}}{x}$ (với $x, y \neq = 0$ ).

2Cách 2. Rút gọn nhân tử chung trước khi nhân hết ra

Định hướng. Nhận ra $x$ ở câu a và $x^{2}$ với $y^{3}$ ở câu b có thể rút gọn ngay từ lúc viết tích, trước khi nhân hệ số.

\frac{2 x ^{3}}{5 y ^{2}} \cdot \frac{125 y ^{5}}{8 x} = \frac{2 \cdot 125}{5 \cdot 8} \cdot \frac{x ^{3}}{x} \cdot \frac{y ^{5}}{y ^{2}} = \frac{25}{4} \cdot x^{2} \cdot y^{3} = \frac{25 x ^{2} y ^{3}}{4}

- \frac{24 \cdot 21}{7 \cdot 12} \cdot \frac{x}{x ^{2}} \cdot \frac{y ^{5}}{y ^{3}} = - 6 \cdot \frac{1}{x} \cdot y^{2} = - \frac{6 y ^{2}}{x}

Vậy hai câu đều khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 tách hệ số và luỹ thừa ngay từ đầu giúp tính nhẩm nhanh hơn, tránh nhân ra số lớn như $504, 40$ rồi mới rút gọn ở Cách 1.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay $x = 1, y = 1$ vào cả hai câu để đối chiếu với kết quả đã rút gọn.

a) vế trái tại

x = 1, y = 1

\frac{2}{5} \cdot \frac{125}{8} = \frac{250}{40} = \frac{25}{4}

; kết quả

\frac{25 x ^{2} y ^{3}}{4} = \frac{25}{4}

b) vế trái tại

x = 1, y = 1

\frac{24}{7} \cdot (- \frac{21}{12}) = - 6

; kết quả

- \frac{6 y ^{2}}{x} = - 6

Vậy cả hai giá trị đều khớp, xác nhận kết quả ở Cách 1, Cách 2 đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tách riêng phần hệ số và phần luỹ thừa để rút gọn ngay khi viết tích, tránh nhân ra số lớn rồi mới rút gọn như Cách 1.

Đáp số. a)

\frac{25 x ^{2} y ^{3}}{4}

; b)

- \frac{6 y ^{2}}{x}

Sai lầm thường gặp. Nhân hệ số và luỹ thừa lẫn lộn, quên rút gọn

\frac{x ^{3}}{x} = x^{2}

hay

\frac{y ^{5}}{y ^{2}} = y^{3}

đúng quy tắc trừ số mũ, dẫn tới kết quả còn dạng phân thức chưa tối giản như

\frac{250 x ^{3} y ^{5}}{40 x y ^{2}}

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật,

\frac{6 x ^{2}}{7 y ^{3}} \cdot \frac{49 y ^{4}}{18 x}

rút gọn về

\frac{7 x y}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 6.28★★★Trang 12— Nhân hai phân thức có tử/mẫu cần phân tích bằng hằng đẳng thức bậc hai và bậc ba

Bài 6.28 (trang 12). Tính: a)

\frac{x ^{2} - 6 x + 9}{x ^{2} - 3 x + 9} \cdot \frac{x ^{3} + 27}{3 x - 9}

; b)

\frac{2 x ^{2} - 20 x + 50}{3 x + 3} \cdot \frac{x ^{2} - 1}{4 ( x - 5 ) ^{3}}

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ và $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ , $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
Quy tắc nhân hai phân thức, rút gọn nhân tử chung sau khi phân tích.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) có

x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}

và

x^{3} + 27 = (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)

(hằng đẳng thức

a^{3} + b^{3}

) — dấu hiệu mẫu

x^{2} - 3 x + 9

của phân thức đầu sẽ triệt tiêu với nhân tử vừa xuất hiện ở tử phân thức sau. Câu b) có

2 x^{2} - 20 x + 50 = 2 (x - 5)^{2}

và

x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)

— dấu hiệu phân tích nhân tử chung với

3 x + 3 = 3 (x + 1)

và

4 (x - 5)^{3}

. Bẫy chung là không nhận ra hằng đẳng thức lập phương ở câu a), khiến không rút gọn được mẫu

x^{2} - 3 x + 9

1Cách 1. Phân tích nhân tử bằng hằng đẳng thức rồi rút gọn ngay khi nhân

Định hướng. Câu a phân tích $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ , $x^{3} + 27 = (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)$ ; câu b phân tích $2 x^{2} - 20 x + 50 = 2 (x - 5)^{2}$ , $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ .

\frac{x ^{2} - 6 x + 9}{x ^{2} - 3 x + 9} \cdot \frac{x ^{3} + 27}{3 x - 9} = \frac{( x - 3 ) ^{2}}{x ^{2} - 3 x + 9} \cdot \frac{( x + 3 ) ( x ^{2} - 3 x + 9 )}{3 ( x - 3 )}

= \frac{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 ) ( x ^{2} - 3 x + 9 )}{3 ( x - 3 ) ( x ^{2} - 3 x + 9 )} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{3} = \frac{x ^{2} - 9}{3}

\frac{2 x ^{2} - 20 x + 50}{3 x + 3} \cdot \frac{x ^{2} - 1}{4 ( x - 5 ) ^{3}} = \frac{2 ( x - 5 ) ^{2}}{3 ( x + 1 )} \cdot \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{4 ( x - 5 ) ^{3}}

= \frac{2 ( x - 5 ) ^{2} ( x - 1 ) ( x + 1 )}{12 ( x + 1 ) ( x - 5 ) ^{3}} = \frac{x - 1}{6 ( x - 5 )}

Vậy a) $\frac{x ^{2} - 9}{3}$ (với $x \neq = 3$ ); b) $\frac{x - 1}{6 ( x - 5 )}$ (với $x \neq = - 1, x \neq = 5$ ).

2Cách 2. Nhân trực tiếp tử với tử, mẫu với mẫu rồi mới phân tích rút gọn

Định hướng. Nhân hết theo quy tắc, không phân tích trước, rồi mới tìm nhân tử chung để rút gọn kết quả cuối.

\frac{( x ^{2} - 6 x + 9 ) ( x ^{3} + 27 )}{( x ^{2} - 3 x + 9 ) ( 3 x - 9 )}

, phân tích: tử

= (x - 3)^{2} (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)

, mẫu

= 3 (x - 3) (x^{2} - 3 x + 9)

\Rightarrow \frac{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 ) ( x ^{2} - 3 x + 9 )}{3 ( x - 3 ) ( x ^{2} - 3 x + 9 )} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{3} = \frac{x ^{2} - 9}{3}

b) tương tự, phân tích tử

= 2 (x - 5)^{2} (x - 1) (x + 1)

, mẫu

= 12 (x + 1) (x - 5)^{3}

, rút gọn còn

\frac{x - 1}{6 ( x - 5 )}

Vậy hai câu đều khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 phân tích nhân tử ngay từ đầu giúp nhìn thấy nhân tử chung sớm hơn, tránh nhân ra đa thức bậc cao rồi mới phân tích lại như Cách 2.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay $x = 0$ vào câu a; thay $x = 0$ vào câu b để đối chiếu với kết quả đã rút gọn.

a) vế trái tại

x = 0

\frac{9}{9} \cdot \frac{27}{- 9} = 1 \cdot (- 3) = - 3

; kết quả

\frac{x ^{2} - 9}{3} = \frac{- 9}{3} = - 3

b) vế trái tại

x = 0

\frac{50}{3} \cdot \frac{- 1}{4 \cdot ( - 125 )} = \frac{50}{3} \cdot \frac{1}{500} = \frac{1}{30}

; kết quả

\frac{x - 1}{6 ( x - 5 )} = \frac{- 1}{- 30} = \frac{1}{30}

Vậy cả hai giá trị đều khớp, xác nhận kết quả ở Cách 1, Cách 2 đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận diện ngay hằng đẳng thức

a^{3} + b^{3}

ở câu a) để thấy mẫu

x^{2} - 3 x + 9

triệt tiêu, tránh nhân ra đa thức bậc năm rồi mới phân tích lại như Cách 2.

Đáp số. a)

\frac{x ^{2} - 9}{3}

; b)

\frac{x - 1}{6 ( x - 5 )}

Sai lầm thường gặp. Không nhận ra

x^{3} + 27 = (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)

dùng hằng đẳng thức

a^{3} + b^{3}

, nên không rút gọn được mẫu

x^{2} - 3 x + 9

, để kết quả câu a) ở dạng phân thức bậc cao chưa tối giản.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật hằng đẳng thức lập phương,

\frac{x ^{2} - 4 x + 4}{x ^{2} - 2 x + 4} \cdot \frac{x ^{3} + 8}{2 x - 4}

rút gọn về

\frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 6.29★★★Trang 12— Chia hai phân thức bằng cách nhân với nghịch đảo, cần phân tích nhân tử bằng hằng đẳng thức

Bài 6.29 (trang 12). Tính: a)

\frac{x ^{2} - y ^{2}}{6 x ^{2} y} : \frac{x + y}{3 x y}

; b)

16 x^{2} y^{2} : (- \frac{18 x ^{2} y ^{5}}{5})

; c)

\frac{1 - 4 x ^{2}}{x ^{2} + 4 x} : \frac{2 - 4 x}{3 x}

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc chia phân thức: $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$ .
Hằng đẳng thức $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) có

x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)

— dấu hiệu rút gọn

x + y

ngay khi đổi thành phép nhân. Câu b) là phân thức chia cho phân thức có hệ số, chỉ cần rút gọn hệ số và luỹ thừa. Câu c) có

1 - 4 x^{2} = (1 - 2 x) (1 + 2 x)

và

2 - 4 x = 2 (1 - 2 x)

— dấu hiệu cùng nhân tử

1 - 2 x

ở cả tử phân thức bị chia và mẫu phân thức chia. Bẫy ở câu c) là quên đổi dấu để nhận ra

1 - 2 x

xuất hiện ở cả hai phân thức.

1Cách 1. Đổi thành phép nhân với nghịch đảo, phân tích nhân tử rồi rút gọn

Định hướng. Đổi mỗi phép chia thành phép nhân với phân thức nghịch đảo, phân tích các đa thức bằng hằng đẳng thức, rồi rút gọn nhân tử chung.

\frac{x ^{2} - y ^{2}}{6 x ^{2} y} : \frac{x + y}{3 x y} = \frac{( x - y ) ( x + y )}{6 x ^{2} y} \cdot \frac{3 x y}{x + y} = \frac{3 x y ( x - y ) ( x + y )}{6 x ^{2} y ( x + y )} = \frac{x - y}{2 x}

16 x^{2} y^{2} : (- \frac{18 x ^{2} y ^{5}}{5}) = 16 x^{2} y^{2} \cdot (- \frac{5}{18 x ^{2} y ^{5}}) = - \frac{80 x ^{2} y ^{2}}{18 x ^{2} y ^{5}} = - \frac{40}{9 y ^{3}}

\frac{1 - 4 x ^{2}}{x ^{2} + 4 x} : \frac{2 - 4 x}{3 x} = \frac{( 1 - 2 x ) ( 1 + 2 x )}{x ( x + 4 )} \cdot \frac{3 x}{2 ( 1 - 2 x )}

= \frac{3 x ( 1 - 2 x ) ( 1 + 2 x )}{2 x ( x + 4 ) ( 1 - 2 x )} = \frac{3 ( 1 + 2 x )}{2 ( x + 4 )}

Vậy a) $\frac{x - y}{2 x}$ ; b) $- \frac{40}{9 y ^{3}}$ ; c) $\frac{3 ( 1 + 2 x )}{2 ( x + 4 )}$ (với các điều kiện xác định tương ứng).

2Cách 2. Nhân với nghịch đảo rồi nhân trực tiếp trước khi rút gọn

Định hướng. Không phân tích trước, nhân hết tử với tử, mẫu với mẫu sau khi đổi thành phép nhân, rồi mới phân tích để rút gọn kết quả cuối.

\frac{( x ^{2} - y ^{2} ) \cdot 3 x y}{6 x ^{2} y ( x + y )} = \frac{3 x y ( x - y ) ( x + y )}{6 x ^{2} y ( x + y )} = \frac{x - y}{2 x}

\frac{16 x ^{2} y ^{2} \cdot ( - 5 )}{18 x ^{2} y ^{5}} = - \frac{80}{18 y ^{3}} = - \frac{40}{9 y ^{3}}

\frac{( 1 - 4 x ^{2} ) \cdot 3 x}{( x ^{2} + 4 x ) ( 2 - 4 x )}

, phân tích: tử

= 3 x (1 - 2 x) (1 + 2 x)

, mẫu

= 2 x (x + 4) (1 - 2 x)

, rút gọn còn

\frac{3 ( 1 + 2 x )}{2 ( x + 4 )}

Vậy cả ba câu đều khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 phân tích nhân tử ngay từ đầu nên nhìn thấy nhân tử chung sớm hơn, nhất là ở câu c).

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay $x = 2, y = 1$ vào câu a; thay $x = 1, y = 1$ vào câu b; thay $x = 1$ vào câu c để đối chiếu.

a) vế trái tại

x = 2, y = 1

\frac{3}{24} : \frac{3}{6} = \frac{1}{8} \cdot 2 = \frac{1}{4}

; kết quả

\frac{x - y}{2 x} = \frac{1}{4}

b) vế trái tại

x = 1, y = 1

16 : (- \frac{18}{5}) = - \frac{80}{18} = - \frac{40}{9}

; kết quả

- \frac{40}{9 y ^{3}} = - \frac{40}{9}

c) vế trái tại

x = 1

\frac{- 3}{5} : \frac{- 2}{3} = \frac{- 3}{5} \cdot \frac{3}{- 2} = \frac{9}{10}

; kết quả

\frac{3 ( 1 + 2 x )}{2 ( x + 4 )} = \frac{9}{10}

Vậy cả ba giá trị đều khớp, xác nhận kết quả ở Cách 1, Cách 2 đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phân tích nhân tử bằng hằng đẳng thức ngay sau khi đổi thành phép nhân, rút gọn sớm để tránh nhân ra biểu thức dài rồi mới phân tích lại như Cách 2.

Đáp số. a)

\frac{x - y}{2 x}

; b)

- \frac{40}{9 y ^{3}}

; c)

\frac{3 ( 1 + 2 x )}{2 ( x + 4 )}

Sai lầm thường gặp. Ở câu c), quên đổi dấu

2 - 4 x = 2 (1 - 2 x)

để nhận ra nhân tử chung

1 - 2 x

với

1 - 4 x^{2} = (1 - 2 x) (1 + 2 x)

, dẫn tới không rút gọn được hoặc rút gọn sai dấu.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật,

\frac{9 - x ^{2}}{2 x ^{2} + 6 x} : \frac{3 - x}{4 x}

rút gọn về

\frac{2 ( 3 + x )}{x + 3} = 2

khi

x \neq = - 3

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 6.30★★★★Trang 12— Cộng/trừ phân thức trong ngoặc rồi chia cho một phân thức, cần phân tích nhân tử

Bài 6.30 (trang 12). Thực hiện các phép tính sau: a)

(\frac{1}{x ^{2} + x} - \frac{2 - x}{x + 1}) : (\frac{1}{x} + x - 2)

; b)

(\frac{3 x}{1 - 3 x} + \frac{2 x}{3 x + 1}) : \frac{6 x ^{2} + 10 x}{1 - 6 x + 9 x ^{2}}

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc cộng, trừ phân thức khác mẫu: quy đồng theo mẫu chung rồi cộng, trừ tử thức.
Hằng đẳng thức $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ ; quy tắc chia phân thức bằng cách nhân với nghịch đảo.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) trong ngoặc trái có mẫu

x^{2} + x = x (x + 1)

và

x + 1

— dấu hiệu quy đồng theo mẫu chung

x (x + 1)

; ngoặc phải

\frac{1}{x} + x - 2 = \frac{1 + x ^{2} - 2 x}{x} = \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x}

xuất hiện đúng bình phương

(x - 1)^{2}

trùng với tử của ngoặc trái sau khi quy đồng — dấu hiệu kết quả sẽ rút gọn rất gọn. Câu b) tương tự có

1 - 6 x + 9 x^{2} = (1 - 3 x)^{2}

và

6 x^{2} + 10 x = 2 x (3 x + 5)

— dấu hiệu quy đồng ngoặc trái theo mẫu

(1 - 3 x) (3 x + 1)

rồi rút gọn với

(1 - 3 x)^{2}

. Bẫy chung là quên đổi dấu mẫu đối nhau hoặc quên nhận ra hằng đẳng thức bình phương ẩn trong biểu thức chia.

1Cách 1. Quy đồng từng ngoặc, rút gọn tử thức thành hằng đẳng thức, rồi chia

Định hướng. Quy đồng ngoặc trái và ngoặc phải của mỗi câu theo mẫu chung, đưa tử thức về dạng hằng đẳng thức, sau đó thực hiện phép chia và rút gọn nhân tử chung.

\frac{1}{x ^{2} + x} - \frac{2 - x}{x + 1} = \frac{1}{x ( x + 1 )} - \frac{x ( 2 - x )}{x ( x + 1 )} = \frac{1 - 2 x + x ^{2}}{x ( x + 1 )} = \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x ( x + 1 )}

\frac{1}{x} + x - 2 = \frac{1 + x ^{2} - 2 x}{x} = \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x}

\Rightarrow \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x ( x + 1 )} : \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x} = \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x ( x + 1 )} \cdot \frac{x}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{1}{x + 1}

\frac{3 x}{1 - 3 x} + \frac{2 x}{3 x + 1} = \frac{3 x ( 3 x + 1 ) + 2 x ( 1 - 3 x )}{( 1 - 3 x ) ( 3 x + 1 )} = \frac{9 x ^{2} + 3 x + 2 x - 6 x ^{2}}{( 1 - 3 x ) ( 3 x + 1 )} = \frac{3 x ^{2} + 5 x}{( 1 - 3 x ) ( 3 x + 1 )} = \frac{x ( 3 x + 5 )}{( 1 - 3 x ) ( 3 x + 1 )}

6 x^{2} + 10 x = 2 x (3 x + 5)

;

1 - 6 x + 9 x^{2} = (1 - 3 x)^{2}

\Rightarrow \frac{x ( 3 x + 5 )}{( 1 - 3 x ) ( 3 x + 1 )} : \frac{2 x ( 3 x + 5 )}{( 1 - 3 x ) ^{2}} = \frac{x ( 3 x + 5 )}{( 1 - 3 x ) ( 3 x + 1 )} \cdot \frac{( 1 - 3 x ) ^{2}}{2 x ( 3 x + 5 )} = \frac{1 - 3 x}{2 ( 3 x + 1 )}

Vậy a) $\frac{1}{x + 1}$ ; b) $\frac{1 - 3 x}{2 ( 3 x + 1 )}$ (với các điều kiện xác định tương ứng).

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay $x = 2$ vào câu a; thay $x = 1$ vào câu b để đối chiếu với kết quả đã rút gọn.

a) tại

x = 2

: ngoặc trái

\frac{1}{6} - \frac{0}{3} = \frac{1}{6}

; ngoặc phải

\frac{1}{2} + 2 - 2 = \frac{1}{2}

; thương

= \frac{1}{6} : \frac{1}{2} = \frac{1}{3}

; kết quả

\frac{1}{x + 1} = \frac{1}{3}

b) tại

x = 1

: ngoặc trái

\frac{3}{- 2} + \frac{2}{4} = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = - 1

; vế chia

\frac{16}{4} = 4

; thương

= \frac{- 1}{4}

; kết quả

\frac{1 - 3 x}{2 ( 3 x + 1 )} = \frac{- 2}{8} = - \frac{1}{4}

Vậy cả hai giá trị đều khớp, xác nhận kết quả ở Cách 1 đúng.

Nhận xét. Cách 2 chỉ dùng để kiểm tra chéo bằng số; muốn có công thức tổng quát bắt buộc đi theo Cách 1 (quy đồng rồi chia).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quy đồng và rút gọn tử thức về hằng đẳng thức bình phương trước, nhìn ra ngay phần rút gọn lớn ở bước chia, tránh tính sai do bỏ qua bước trung gian.

Đáp số. a)

\frac{1}{x + 1}

; b)

\frac{1 - 3 x}{2 ( 3 x + 1 )}

Sai lầm thường gặp. Quên quy đồng

\frac{2 - x}{x + 1}

về mẫu chung

x (x + 1)

trước khi trừ ở câu a), hoặc quên hằng đẳng thức

1 - 6 x + 9 x^{2} = (1 - 3 x)^{2}

ở câu b), khiến không rút gọn được nhân tử chung khi chia.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật quy đồng rồi rút về hằng đẳng thức,

(\frac{1}{x ^{2} - x} - \frac{1 - x}{x}) : \frac{1}{x}

cũng rút gọn về một phân thức đơn giản dạng

\frac{x}{x - 1}

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 6.31★★★★Trang 12— Rút gọn biểu thức phối hợp cộng, trừ, nhân, chia phân thức

Bài 6.31 (trang 12). Rút gọn các biểu thức sau: a)

(\frac{9}{x ^{3} - 9 x} + \frac{1}{x + 3}) : (\frac{x - 3}{x ^{2} + 3 x} - \frac{x}{3 x + 9})

; b)

\frac{x + 1}{x + 2} (\frac{x + 2}{x + 3} : \frac{x + 3}{x + 1})

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc cộng, trừ phân thức khác mẫu; hằng đẳng thức $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
Thứ tự thực hiện phép tính: trong ngoặc trước, chia trước nhân sau nếu không có ngoặc chỉ rõ khác.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) có

x^{3} - 9 x = x (x - 3) (x + 3)

x^{2} + 3 x = x (x + 3)

3 x + 9 = 3 (x + 3)

— dấu hiệu quy đồng từng ngoặc theo mẫu chung chứa

(x - 3) (x + 3)

, sau đó chia hai kết quả. Câu b) là tích của một phân thức với một phép chia trong ngoặc — dấu hiệu thực hiện phép chia trong ngoặc trước (theo đúng thứ tự ưu tiên), rồi mới nhân. Bẫy ở câu a) là quên đổi dấu để nhận ra tử hai ngoặc trở thành đối nhau, dẫn tới không rút gọn hết.

1Cách 1. Quy đồng từng ngoặc rồi chia (câu a); thực hiện phép chia trong ngoặc trước rồi nhân (câu b)

Định hướng. Câu a quy đồng ngoặc trên và ngoặc dưới theo mẫu chung $x (x - 3) (x + 3)$ rồi chia; câu b tính phép chia trong ngoặc trước, sau đó nhân với phân thức ngoài.

\frac{9}{x ^{3} - 9 x} + \frac{1}{x + 3} = \frac{9}{x ( x - 3 ) ( x + 3 )} + \frac{x ( x - 3 )}{x ( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{9 + x ^{2} - 3 x}{x ( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{x ^{2} - 3 x + 9}{x ( x - 3 ) ( x + 3 )}

\frac{x - 3}{x ^{2} + 3 x} - \frac{x}{3 x + 9} = \frac{x - 3}{x ( x + 3 )} - \frac{x}{3 ( x + 3 )} = \frac{3 ( x - 3 ) - x \cdot x}{3 x ( x + 3 )} = \frac{3 x - 9 - x ^{2}}{3 x ( x + 3 )} = \frac{- ( x ^{2} - 3 x + 9 )}{3 x ( x + 3 )}

\Rightarrow \frac{x ^{2} - 3 x + 9}{x ( x - 3 ) ( x + 3 )} : \frac{- ( x ^{2} - 3 x + 9 )}{3 x ( x + 3 )} = \frac{x ^{2} - 3 x + 9}{x ( x - 3 ) ( x + 3 )} \cdot \frac{3 x ( x + 3 )}{- ( x ^{2} - 3 x + 9 )} = \frac{3}{- ( x - 3 )} = \frac{3}{3 - x}

\frac{x + 2}{x + 3} : \frac{x + 3}{x + 1} = \frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x + 1}{x + 3} = \frac{( x + 2 ) ( x + 1 )}{( x + 3 ) ^{2}}

\frac{x + 1}{x + 2} \cdot \frac{( x + 2 ) ( x + 1 )}{( x + 3 ) ^{2}} = \frac{( x + 1 ) ^{2}}{( x + 3 ) ^{2}}

Vậy a) $\frac{3}{3 - x}$ (với $x \neq = 0, x \neq = \pm 3$ ); b) $\frac{( x + 1 ) ^{2}}{( x + 3 ) ^{2}}$ (với $x \neq = - 1, x \neq = - 2, x \neq = - 3$ ).

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay $x = 1$ vào câu a; thay $x = 1$ vào câu b để đối chiếu với kết quả đã rút gọn.

a) tại

x = 1

: ngoặc trên

\frac{9}{- 8} + \frac{1}{4} = - \frac{9}{8} + \frac{2}{8} = - \frac{7}{8}

; ngoặc dưới

\frac{- 2}{4} - \frac{1}{12} = - \frac{6}{12} - \frac{1}{12} = - \frac{7}{12}

; thương

= - \frac{7}{8} : (- \frac{7}{12}) = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}

; kết quả

\frac{3}{3 - x} = \frac{3}{2}

b) tại

x = 1

\frac{2}{3} (\frac{3}{4} : \frac{4}{2}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{1}{4}

; kết quả

\frac{( x + 1 ) ^{2}}{( x + 3 ) ^{2}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}

Vậy cả hai giá trị đều khớp, xác nhận kết quả ở Cách 1 đúng.

Nhận xét. Cách 2 chỉ kiểm tra chéo bằng số; muốn có công thức rút gọn tổng quát bắt buộc đi theo Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra ngay tử hai ngoặc ở câu a) là hai đa thức đối nhau (

x^{2} - 3 x + 9

và

- (x^{2} - 3 x + 9)

) để rút gọn cực nhanh, khỏi tính lại từng bước như khi không để ý dấu.

Đáp số. a)

\frac{3}{3 - x}

; b)

\frac{( x + 1 ) ^{2}}{( x + 3 ) ^{2}}

Sai lầm thường gặp. Ở câu a), không nhận ra tử hai ngoặc là hai đa thức đối nhau

x^{2} - 3 x + 9

và

- (x^{2} - 3 x + 9)

, nên quy đồng máy móc lần nữa ở bước chia, dễ nhầm dấu kết quả cuối.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật nhận diện tử đối nhau,

(\frac{4}{x ^{3} - 4 x} + \frac{1}{x + 2}) : (\frac{x - 2}{x ^{2} + 2 x} - \frac{x}{4 x + 8})

cũng rút gọn về dạng

\frac{k}{a - x}

tương tự.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6.32★★★★Trang 12— Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức phân thức nhiều tầng rồi tính giá trị

Bài 6.32 (trang 12). Cho biểu thức

P = (\frac{1}{x - 1} - \frac{x}{1 - x ^{3}} \cdot \frac{x ^{2} + x + 1}{x + 1}) : \frac{2 x + 1}{x ^{2} + 2 x + 1}

. a) Viết điều kiện xác định của

P

. b) Rút gọn biểu thức

P

. c) Tính giá trị của

P

khi

x = \frac{1}{2}

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ và $a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ .
Điều kiện xác định của phân thức: mọi mẫu thức (kể cả mẫu ẩn sau khi quy đồng, và mẫu của phân thức đóng vai trò số chia) đều phải khác $0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức có bốn mẫu chứa ẩn:

x - 1

1 - x^{3}

x + 1

x^{2} + 2 x + 1

— dấu hiệu đầu tiên phải phân tích

1 - x^{3} = - (x - 1) (x^{2} + x + 1)

và

x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1)^{2}

để tìm đủ điều kiện xác định. Hướng rút gọn là đơn giản tích

\frac{x}{1 - x ^{3}} \cdot \frac{x ^{2} + x + 1}{x + 1}

trước (nhân tử

x^{2} + x + 1

triệt tiêu ngay), rồi mới cộng trừ và chia. Bẫy là quên điều kiện

2 x + 1 \neq = 0

vì nó nằm ở tử của phân thức chia, ảnh hưởng tới điều kiện của cả phép chia.

1Cách 1. Phân tích nhân tử để tìm ĐKXĐ, rút gọn tích trước rồi mới cộng trừ và chia

Định hướng. Phân tích $1 - x^{3} = - (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ để tìm ĐKXĐ và rút gọn ngay tích $\frac{x}{1 - x ^{3}} \cdot \frac{x ^{2} + x + 1}{x + 1}$ , sau đó cộng trừ trong ngoặc rồi chia.

x - 1 \neq = 0

;

1 - x^{3} \neq = 0

;

x + 1 \neq = 0

;

2 x + 1 \neq = 0

\Rightarrow x \neq = 1, x \neq = - 1, x \neq = - \frac{1}{2}

(điều kiện

1 - x^{3} \neq = 0

trùng

x \neq = 1

)

\frac{x}{1 - x ^{3}} \cdot \frac{x ^{2} + x + 1}{x + 1} = \frac{x ( x ^{2} + x + 1 )}{- ( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 ) ( x + 1 )} = \frac{- x}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

\frac{1}{x - 1} - \frac{- x}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} + \frac{x}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{2 x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

P = \frac{2 x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} : \frac{2 x + 1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{2 x + 1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} \cdot \frac{( x + 1 ) ^{2}}{2 x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}

c) tại

x = \frac{1}{2}

P = \frac{\frac{1}{2} + 1}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{\frac{3}{2}}{- \frac{1}{2}} = - 3

Vậy a) $x \neq = 1, x \neq = - 1, x \neq = - \frac{1}{2}$ ; b) $P = \frac{x + 1}{x - 1}$ ; c) $P = - 3$ khi $x = \frac{1}{2}$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng cách thay trực tiếp

x = \frac{1}{2}

vào biểu thức

P

ban đầu

Định hướng. Không dùng công thức rút gọn, thay thẳng $x = \frac{1}{2}$ vào từng phân thức của biểu thức $P$ gốc rồi tính trực tiếp để đối chiếu với câu c).

\frac{1}{x - 1} = \frac{1}{- \frac{1}{2}} = - 2

;

1 - x^{3} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}

;

\frac{x}{1 - x ^{3}} = \frac{1/2}{7/8} = \frac{4}{7}

x^{2} + x + 1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{7}{4}

;

x + 1 = \frac{3}{2}

;

\frac{x ^{2} + x + 1}{x + 1} = \frac{7/4}{3/2} = \frac{7}{6}

Ngoặc:

- 2 - \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{6} = - 2 - \frac{2}{3} = - \frac{8}{3}

;

2 x + 1 = 2

;

x^{2} + 2 x + 1 = \frac{9}{4}

;

\frac{2 x + 1}{x ^{2} + 2 x + 1} = \frac{2}{9/4} = \frac{8}{9}

P = - \frac{8}{3} : \frac{8}{9} = - \frac{8}{3} \cdot \frac{9}{8} = - 3

Vậy kết quả $P = - 3$ khớp với câu c) ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 (rút gọn $P$ trước theo đúng yêu cầu câu b) rồi mới thay số) nhanh và ít sai sót hơn hẳn việc thay trực tiếp phân số vào biểu thức gốc nhiều tầng như Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: rút gọn

P

về

\frac{x + 1}{x - 1}

trước rồi mới thay

x = \frac{1}{2}

, nhanh và an toàn hơn hẳn việc thay số trực tiếp vào biểu thức nhiều tầng phân thức như Cách 2.

Đáp số. a)

x \neq = 1, x \neq = - 1, x \neq = - \frac{1}{2}

; b)

P = \frac{x + 1}{x - 1}

; c)

P = - 3

Sai lầm thường gặp. Quên điều kiện

2 x + 1 \neq = 0

(tử của phân thức đóng vai trò số chia) khi viết ĐKXĐ ở câu a), hoặc quên dấu trừ khi phân tích

1 - x^{3} = - (x - 1) (x^{2} + x + 1)

, làm sai dấu kết quả rút gọn ở câu b).

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật, biểu thức

Q = (\frac{1}{x + 1} - \frac{x}{1 + x ^{3}} \cdot \frac{x ^{2} - x + 1}{x - 1}) : \frac{2 x - 1}{x ^{2} - 2 x + 1}

cũng rút gọn được về dạng

\frac{x - 1}{x + 1}

bằng lập luận tương tự.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 6.33★★★Trang 13— Lập phân thức biểu thị năng suất từ tình huống thực tế rồi tính tỉ số

Bài 6.33 (trang 13). Hai công nhân cùng làm một mặt hàng. Người công nhân thứ nhất làm được

1000

sản phẩm trong

x

(giờ); người công nhân thứ hai làm được

1250

sản phẩm trong

x + 10

(giờ). a) Viết các phân thức biểu thị số sản phẩm người công nhân thứ nhất làm được trong

1

giờ; số sản phẩm người công nhân thứ hai làm được trong

1

giờ; tỉ số giữa năng suất của người công nhân thứ hai so với năng suất của người công nhân thứ nhất. b) Tính giá trị tỉ số giữa năng suất của người công nhân thứ hai so với năng suất của người công nhân thứ nhất trong trường hợp

x = 240

. Hãy cho biết trong trường hợp này, năng suất lao động của người công nhân thứ hai tăng bao nhiêu phần trăm so với năng suất lao động của người công nhân thứ nhất.

Kiến thức cần nhớ

Năng suất mỗi giờ = số sản phẩm chia cho số giờ.
Tỉ số $\frac{A}{B}$ lớn hơn $1$ một lượng $k$ (viết $\frac{A}{B} = 1 + k$ ) nghĩa là $A$ hơn $B$ đúng $k \cdot 100%$ .

🧠 Phân tích tư duy

Số sản phẩm chia cho số giờ cho năng suất mỗi giờ — dấu hiệu lập ngay hai phân thức

\frac{1000}{x}

và

\frac{1250}{x + 10}

. Tỉ số năng suất người thứ hai so với người thứ nhất là thương của hai phân thức đó — dấu hiệu dùng quy tắc chia phân thức. Bẫy ở câu b) là sau khi tính được tỉ số bằng

1, 2

dễ nhầm kết luận "tăng

1, 2

lần" thay vì phải trừ đi

1

để ra đúng phần trăm tăng thêm.

1Cách 1. Lập phân thức năng suất rồi tính tỉ số bằng quy tắc chia phân thức

Định hướng. Lập năng suất mỗi người theo $x$ , chia phân thức năng suất người thứ hai cho phân thức năng suất người thứ nhất, rồi thay $x = 240$ .

a) Năng suất người thứ nhất:

\frac{1000}{x}

(sản phẩm/giờ); năng suất người thứ hai:

\frac{1250}{x + 10}

(sản phẩm/giờ)
Tỉ số:

\frac{1250}{x + 10} : \frac{1000}{x} = \frac{1250}{x + 10} \cdot \frac{x}{1000} = \frac{1250 x}{1000 ( x + 10 )} = \frac{5 x}{4 ( x + 10 )}

b) tại

x = 240

\frac{5 \cdot 240}{4 \cdot 250} = \frac{1200}{1000} = 1, 2

Vậy a) tỉ số năng suất là $\frac{5 x}{4 ( x + 10 )}$ ; b) tại $x = 240$ , tỉ số bằng $1, 2$ , tức năng suất người thứ hai tăng $1, 2 - 1 = 0, 2 = 20%$ so với người thứ nhất.

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng cách tính trực tiếp năng suất từng người khi

x = 240

Định hướng. Không dùng công thức tổng quát, thay $x = 240$ trực tiếp vào số liệu đề bài để tính năng suất từng người rồi so sánh.

Năng suất người thứ nhất:

\frac{1000}{240} = \frac{25}{6}

(sản phẩm/giờ)
Năng suất người thứ hai:

\frac{1250}{240 + 10} = \frac{1250}{250} = 5

(sản phẩm/giờ)
Tỉ số:

5 : \frac{25}{6} = 5 \cdot \frac{6}{25} = \frac{30}{25} = 1, 2

Vậy kết quả $1, 2$ khớp Cách 1, xác nhận năng suất người thứ hai tăng $20%$ .

Nhận xét. Cách 1 dùng công thức tổng quát $\frac{5 x}{4 ( x + 10 )}$ nên áp dụng được cho mọi giá trị $x$ khác, còn Cách 2 chỉ tính riêng cho $x = 240$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập công thức tỉ số tổng quát

\frac{5 x}{4 ( x + 10 )}

trước, dùng lại được cho mọi giá trị

x

khác thay vì chỉ tính riêng cho

x = 240

như Cách 2.

Đáp số. a) tỉ số năng suất

= \frac{5 x}{4 ( x + 10 )}

; b) tại

x = 240

, tỉ số

= 1, 2

; năng suất người thứ hai tăng

20%

so với người thứ nhất.

Sai lầm thường gặp. Tính được tỉ số

= 1, 2

rồi kết luận nhầm "năng suất tăng

1, 2%

" hoặc "tăng

1, 2

lần" thay vì phải hiểu đúng: tỉ số

1, 2

nghĩa là năng suất người thứ hai bằng

120%

người thứ nhất, tức tăng thêm

20%

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật, nếu người thứ hai làm

1500

sản phẩm trong

x + 10

giờ (năng suất cao hơn), tỉ số tổng quát trở thành

\frac{1500 x}{1000 ( x + 10 )} = \frac{3 x}{2 ( x + 10 )}

, tại

x = 240

tỉ số

= \frac{720}{500} = 1, 44

, tức tăng

44%

Mở bài này trong app ↗