Chương VI. Phân thức đại số

Bài 24. Phép nhân và phép chia phân thức đại số

SGK Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 2 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 20— Nhân hai phân thức đại số theo quy tắc (nhân tử với tử, nhân mẫu với mẫu)

HĐ1 (trang 20). Làm theo hướng dẫn của anh Pi trong tình huống mở đầu để nhân hai phân thức

\frac{2 x}{x + 1}

và

\frac{x - 1}{x}

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau: $\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$ .
Kết quả phép nhân hai phân thức thường được viết dưới dạng rút gọn.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đúng hai phân thức cần nhân, giống hệt tình huống mở đầu — dấu hiệu chỉ cần áp dụng lời anh Pi: "nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau nhé". Hướng làm duy nhất và tự nhiên nhất là nhân tử

2 x

với tử

x - 1

, nhân mẫu

x + 1

với mẫu

x

, rồi rút gọn nếu có nhân tử chung. Bẫy ở chỗ dễ quên điều kiện

x \neq = 0

(mẫu ban đầu của phân thức thứ hai) khi viết kết luận.

1Cách 1. Nhân tử với tử, mẫu với mẫu rồi rút gọn

Định hướng. Nhân $2 x$ với $x - 1$ được tử mới, nhân $x + 1$ với $x$ được mẫu mới, sau đó rút gọn nhân tử chung.

\frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x} = \frac{2 x ( x - 1 )}{( x + 1 ) \cdot x}

= \frac{2 x ( x - 1 )}{x ( x + 1 )} = \frac{2 ( x - 1 )}{x + 1}

Vậy $\frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x} = \frac{2 ( x - 1 )}{x + 1}$ (với $x \neq = 0, x \neq = - 1$ ).

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay $x = 3$ vào biểu thức ban đầu và vào kết quả đã rút gọn để đối chiếu.

Vế trái tại

x = 3

\frac{6}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{12} = 1

Kết quả rút gọn tại

x = 3

\frac{2 \cdot 2}{4} = \frac{4}{4} = 1

Vậy hai giá trị bằng nhau, xác nhận đúng kết quả ở Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: áp dụng thẳng quy tắc nhân tử-nhân mẫu rồi rút gọn ngay, không cần bước trung gian nào khác.

Đáp số.

\frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x} = \frac{2 ( x - 1 )}{x + 1}

(với

x \neq = 0, x \neq = - 1

Sai lầm thường gặp. Quên rút gọn nhân tử chung

x

ở tử và mẫu sau khi nhân, để kết quả ở dạng chưa tối giản

\frac{2 x ( x - 1 )}{x ( x + 1 )}

; hoặc quên ghi điều kiện

x \neq = 0

vốn có sẵn từ phân thức

\frac{x - 1}{x}

ban đầu.

🚀 Mở rộng. Cùng quy tắc này, nhân

\frac{3 x}{x - 2}

với

\frac{x + 1}{x}

cho kết quả

\frac{3 ( x + 1 )}{x - 2}

(với

x \neq = 0, x \neq = 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Luyện tập 1★★Trang 20— Nhân hai phân thức rồi rút gọn (mẫu/tử cần phân tích nhân tử trước khi triệt tiêu)

Luyện tập 1 (trang 20). Làm tính nhân: a)

\frac{x}{x + y} \cdot \frac{2 x + 2 y}{3 x y}

; b)

\frac{3 x}{4 x ^{2} - 1} \cdot \frac{- 2 x + 1}{2 x ^{2}}

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc nhân hai phân thức: $\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$ .
Hằng đẳng thức $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ và quy tắc đổi dấu $- a + b = - (a - b)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) có

2 x + 2 y = 2 (x + y)

cùng nhân tử

x + y

với mẫu bên trái — dấu hiệu phân tích nhân tử chung trước khi nhân sẽ rút gọn được ngay. Câu b) có

4 x^{2} - 1 = (2 x - 1) (2 x + 1)

và

- 2 x + 1 = - (2 x - 1)

— dấu hiệu đổi dấu để lộ nhân tử chung

2 x - 1

. Bẫy ở câu b) là quên đổi dấu

- 2 x + 1

thành

- (2 x - 1)

nên không thấy nhân tử chung để rút gọn.

1Cách 1. Phân tích nhân tử chung trước, rút gọn ngay khi nhân

Định hướng. Phân tích $2 x + 2 y = 2 (x + y)$ ở câu a, phân tích $4 x^{2} - 1 = (2 x - 1) (2 x + 1)$ và đổi dấu $- 2 x + 1 = - (2 x - 1)$ ở câu b, rồi rút gọn nhân tử chung trước khi nhân hết ra.

\frac{x}{x + y} \cdot \frac{2 x + 2 y}{3 x y} = \frac{x}{x + y} \cdot \frac{2 ( x + y )}{3 x y}

= \frac{x \cdot 2 ( x + y )}{( x + y ) \cdot 3 x y} = \frac{2}{3 y}

\frac{3 x}{4 x ^{2} - 1} \cdot \frac{- 2 x + 1}{2 x ^{2}} = \frac{3 x}{( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 )} \cdot \frac{- ( 2 x - 1 )}{2 x ^{2}}

= \frac{- 3 x ( 2 x - 1 )}{( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) \cdot 2 x ^{2}} = \frac{- 3}{2 x ( 2 x + 1 )}

Vậy a) $\frac{2}{3 y}$ (với $x \neq = 0, x \neq = - y, y \neq = 0$ ); b) $\frac{- 3}{2 x ( 2 x + 1 )}$ (với $x \neq = 0, x \neq = \pm \frac{1}{2}$ ).

2Cách 2. Nhân trực tiếp tử với tử, mẫu với mẫu rồi mới rút gọn

Định hướng. Nhân hết tử với tử, mẫu với mẫu theo đúng quy tắc, sau đó mới phân tích nhân tử để rút gọn kết quả.

\frac{x}{x + y} \cdot \frac{2 x + 2 y}{3 x y} = \frac{x ( 2 x + 2 y )}{3 x y ( x + y )} = \frac{2 x ( x + y )}{3 x y ( x + y )} = \frac{2}{3 y}

\frac{3 x}{4 x ^{2} - 1} \cdot \frac{- 2 x + 1}{2 x ^{2}} = \frac{3 x ( - 2 x + 1 )}{2 x ^{2} ( 4 x ^{2} - 1 )} = \frac{- 6 x ^{2} + 3 x}{2 x ^{2} ( 4 x ^{2} - 1 )} = \frac{- 3 x ( 2 x - 1 )}{2 x ^{2} ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 )} = \frac{- 3}{2 x ( 2 x + 1 )}

Vậy hai câu đều ra kết quả khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 (rút gọn ngay khi nhân) tránh phải nhân ra biểu thức dài rồi phân tích lại như Cách 2.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay $x = 1, y = 1$ vào câu a; thay $x = 1$ vào câu b để đối chiếu với kết quả đã rút gọn.

a) vế trái tại

x = 1, y = 1

\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3}

; kết quả

\frac{2}{3 y} = \frac{2}{3}

b) vế trái tại

x = 1

\frac{3}{3} \cdot \frac{- 1}{2} = - \frac{1}{2}

; kết quả

\frac{- 3}{2 \cdot 1 \cdot 3} = - \frac{1}{2}

Vậy cả hai giá trị đều khớp, xác nhận kết quả ở Cách 1, Cách 2 đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phân tích nhân tử chung và đổi dấu trước khi nhân, rút gọn ngay từ đầu thay vì nhân ra biểu thức dài rồi mới rút gọn như Cách 2.

Đáp số. a)

\frac{2}{3 y}

; b)

\frac{- 3}{2 x ( 2 x + 1 )}

Sai lầm thường gặp. Ở câu b, quên đổi dấu

- 2 x + 1 = - (2 x - 1)

nên không thấy nhân tử chung

2 x - 1

với mẫu

4 x^{2} - 1 = (2 x - 1) (2 x + 1)

, dẫn tới không rút gọn được hoặc rút gọn sai dấu.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật đổi dấu để lộ nhân tử chung,

\frac{5 x}{9 x ^{2} - 1} \cdot \frac{1 - 3 x}{10 x ^{2}}

rút gọn về

\frac{- 1}{2 x ( 3 x + 1 )}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 2★★Trang 21— Chia hai phân thức đại số (đổi thành nhân với phân thức nghịch đảo)

Luyện tập 2 (trang 21). Làm tính chia:

\frac{3 x}{2 y ^{2}} : (- \frac{5 x ^{2}}{12 y ^{3}})

Kiến thức cần nhớ

Muốn chia phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ khác $0$ , ta nhân $\frac{A}{B}$ với phân thức nghịch đảo $\frac{D}{C}$ : $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$ .
Phân thức nghịch đảo của $- \frac{5 x ^{2}}{12 y ^{3}}$ là $- \frac{12 y ^{3}}{5 x ^{2}}$ (giữ nguyên dấu).

🧠 Phân tích tư duy

Phép chia

\frac{3 x}{2 y ^{2}} : (- \frac{5 x ^{2}}{12 y ^{3}})

đúng dạng vừa học ở mục 2 — dấu hiệu "chia cho phân thức" báo hiệu phải đổi thành nhân với phân thức nghịch đảo. Hướng làm là giữ nguyên phân thức bị chia, đổi phép chia thành phép nhân với nghịch đảo của

- \frac{5 x ^{2}}{12 y ^{3}}

, tức nhân với

- \frac{12 y ^{3}}{5 x ^{2}}

. Bẫy hay gặp là quên giữ dấu âm khi lấy nghịch đảo, làm sai dấu kết quả.

1Cách 1. Đổi phép chia thành phép nhân với phân thức nghịch đảo

Định hướng. Giữ nguyên $\frac{3 x}{2 y ^{2}}$ , nhân với nghịch đảo của $- \frac{5 x ^{2}}{12 y ^{3}}$ là $- \frac{12 y ^{3}}{5 x ^{2}}$ .

\frac{3 x}{2 y ^{2}} : (- \frac{5 x ^{2}}{12 y ^{3}}) = \frac{3 x}{2 y ^{2}} \cdot (- \frac{12 y ^{3}}{5 x ^{2}})

= \frac{- 3 x \cdot 12 y ^{3}}{2 y ^{2} \cdot 5 x ^{2}} = \frac{- 36 x y ^{3}}{10 x ^{2} y ^{2}} = \frac{- 18 y}{5 x}

Vậy $\frac{3 x}{2 y ^{2}} : (- \frac{5 x ^{2}}{12 y ^{3}}) = \frac{- 18 y}{5 x}$ (với $x \neq = 0, y \neq = 0$ ).

2Cách 2. Rút gọn hệ số và luỹ thừa riêng biệt trước khi nhân hết

Định hướng. Sau khi đổi thành phép nhân, tách rút gọn phần hệ số $\frac{3 \cdot 12}{2 \cdot 5}$ và phần biến $\frac{x \cdot y ^{3}}{y ^{2} \cdot x ^{2}}$ riêng để tránh số lớn.

\frac{3 x}{2 y ^{2}} \cdot (- \frac{12 y ^{3}}{5 x ^{2}}) = - \frac{3 \cdot 12}{2 \cdot 5} \cdot \frac{x \cdot y ^{3}}{y ^{2} \cdot x ^{2}}

= - \frac{36}{10} \cdot \frac{y}{x} = - \frac{18}{5} \cdot \frac{y}{x} = \frac{- 18 y}{5 x}

Vậy kết quả khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 tách riêng hệ số và biến giúp rút gọn phân số $\frac{36}{10}$ nhanh hơn, tránh nhân ra số lớn $360 x y^{3}$ rồi mới rút gọn như khi làm ẩu.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay $x = 1, y = 1$ vào biểu thức ban đầu và vào kết quả đã rút gọn.

Vế trái tại

x = 1, y = 1

\frac{3}{2} : (- \frac{5}{12}) = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{12}{5}) = - \frac{18}{5}

Kết quả rút gọn tại

x = 1, y = 1

\frac{- 18}{5}

Vậy hai giá trị bằng nhau, xác nhận đúng kết quả ở Cách 1, Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tách riêng phần hệ số và phần biến khi rút gọn, tránh nhân ra số lớn rồi mới rút gọn như đi thẳng theo Cách 1.

Đáp số.

\frac{3 x}{2 y ^{2}} : (- \frac{5 x ^{2}}{12 y ^{3}}) = \frac{- 18 y}{5 x}

(với

x \neq = 0, y \neq = 0

Sai lầm thường gặp. Lấy nghịch đảo của

- \frac{5 x ^{2}}{12 y ^{3}}

mà quên giữ dấu âm, viết thành

\frac{12 y ^{3}}{5 x ^{2}}

(dương), làm sai dấu kết quả cuối cùng.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật,

\frac{5 a}{6 b ^{2}} : (- \frac{10 a ^{2}}{3 b})

rút gọn về

\frac{- 1}{4 ab}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Thử thách nhỏ★★Trang 21— Xét tính kết hợp của phép chia phân thức (phản ví dụ)

Thử thách nhỏ (trang 21). Kết luận sau đúng hay sai?

(\frac{1}{x} : \frac{1}{x}) : \frac{1}{x} = \frac{1}{x} : (\frac{1}{x} : \frac{1}{x})

Kiến thức cần nhớ

Phép chia phân thức: $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$ (với $\frac{C}{D} \neq = 0$ ).
Phép nhân phân thức có tính kết hợp, nhưng phép chia phân thức nói chung KHÔNG có tính kết hợp.

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi "đúng hay sai" về một đẳng thức có dạng

(a : a) : a = a : (a : a)

— dấu hiệu cần kiểm tra tính chất kết hợp của phép chia, khác hẳn phép nhân vừa học có tính kết hợp ở trang 21. Hướng nhanh nhất là tính riêng vế trái và vế phải rồi so sánh, vì phép chia phân thức không có tính chất kết hợp như phép nhân. Bẫy là ngộ nhận phép chia cũng kết hợp giống phép nhân nên vội kết luận "đúng" mà không tính cụ thể.

1Cách 1. Tính riêng hai vế theo quy tắc chia rồi so sánh

Định hướng. Tính vế trái $(\frac{1}{x} : \frac{1}{x}) : \frac{1}{x}$ và vế phải $\frac{1}{x} : (\frac{1}{x} : \frac{1}{x})$ theo đúng thứ tự trong ngoặc trước.

Vế trái:

\frac{1}{x} : \frac{1}{x} = 1

, rồi

1 : \frac{1}{x} = x

Vế phải:

\frac{1}{x} : \frac{1}{x} = 1

, rồi

\frac{1}{x} : 1 = \frac{1}{x}

So sánh: vế trái

= x

, vế phải

= \frac{1}{x}

, mà

x \neq = \frac{1}{x}

với

x \neq = \pm 1

Vậy kết luận đã cho là SAI: hai vế chỉ bằng nhau khi $x = \pm 1$ , không đúng với mọi $x \neq = 0$ .

2Cách 2. Phản ví dụ bằng một giá trị cụ thể

Định hướng. Chỉ cần một giá trị $x$ làm hai vế khác nhau là đủ bác bỏ đẳng thức tổng quát; chọn $x = 2$ .

Vế trái tại

x = 2

(\frac{1}{2} : \frac{1}{2}) : \frac{1}{2} = 1 : \frac{1}{2} = 2

Vế phải tại

x = 2

\frac{1}{2} : (\frac{1}{2} : \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} : 1 = \frac{1}{2}

Vậy $2 \neq = \frac{1}{2}$ , nên kết luận đã cho là SAI.

Nhận xét. Cách 2 chỉ cần một phản ví dụ số, nhanh hơn Cách 1 nếu chỉ cần trả lời đúng/sai mà không cần chỉ ra tổng quát.

3Cách 3. Lập luận tổng quát dựa trên tính không kết hợp của phép chia

Định hướng. Đưa cả hai vế về luỹ thừa của $\frac{1}{x}$ để thấy ngay bản chất phép chia không kết hợp, giống như với số thường $8 : 4 : 2 \neq = 8 : (4 : 2)$ .

(\frac{1}{x} : \frac{1}{x}) : \frac{1}{x} = 1 : \frac{1}{x} = x

\frac{1}{x} : (\frac{1}{x} : \frac{1}{x}) = \frac{1}{x} : 1 = \frac{1}{x}

Với số thường:

(8 : 4) : 2 = 1

còn

8 : (4 : 2) = 4

, cũng khác nhau, cùng bản chất

Vậy phép chia (cả phân thức lẫn số) không có tính kết hợp, nên kết luận đã cho là SAI.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chọn ngay một giá trị cụ thể (như

x = 2

) để có phản ví dụ nhanh, khỏi cần biện luận tổng quát như Cách 1, Cách 3.

Đáp số. Kết luận đã cho là SAI (phép chia phân thức không có tính kết hợp).

Sai lầm thường gặp. Ngộ nhận phép chia có tính kết hợp giống phép nhân phân thức (tính chất b ở trang 21) rồi kết luận "đúng" mà không tính cụ thể hai vế.

🚀 Mở rộng. Cùng bản chất, với số thực:

(a : a) : a = a

nhưng

a : (a : a) = a : 1 = a

chỉ trùng nhau khi

a = \pm 1

— minh hoạ phép chia không kết hợp cả trên tập số lẫn phân thức.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Vận dụng★★★Trang 22— Lập công thức phân thức từ tình huống thực tế (trả góp) rồi tính giá trị

Vận dụng (trang 22). Bác Châu vay ngân hàng

1, 2

tỉ đồng để mua nhà theo hình thức trả góp. Số tiền bác Châu phải trả mỗi tháng bao gồm số tiền gốc phải trả hằng tháng (bằng số tiền gốc chia đều cho số tháng vay) và số tiền lãi phải trả hằng tháng (bằng số tiền gốc nhân với lãi suất tháng). a) Gọi

r

là lãi suất năm của khoản vay trả góp này. Tính số tiền

x

(triệu đồng) mà bác Châu phải trả mỗi tháng theo số tháng vay

y

(tháng) và lãi suất năm

r

. Từ đó suy ra công thức tính lãi suất năm

r

theo

x

và

y

. b) Tính giá trị của

r

tại

x = 30, y = 48

rồi cho biết, nếu trả góp mỗi tháng

30

triệu đồng trong vòng

4

năm thì lãi suất năm (tính theo %) của khoản vay này là bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Lãi suất tháng bằng lãi suất năm chia cho $12$ : lãi suất tháng $= \frac{r}{12}$ .
Kĩ năng lập biểu thức từ dữ kiện thực tế rồi biến đổi phân thức để tìm ẩn theo các biến còn lại.

🧠 Phân tích tư duy

Số tiền vay

1, 2

tỉ đồng đổi ra

1200

triệu đồng — dấu hiệu phải thống nhất đơn vị triệu đồng với

x

trước khi lập công thức. Tiền gốc trả mỗi tháng là

\frac{1200}{y}

, tiền lãi trả mỗi tháng là

1200

nhân lãi suất tháng

\frac{r}{12}

— hướng lập phương trình

x = \frac{1200}{y} + 1200 \cdot \frac{r}{12}

rồi giải ra

r

là duy nhất theo đúng mô tả của đề. Bẫy hay gặp là quên đổi lãi suất năm

r

thành lãi suất tháng

\frac{r}{12}

, hoặc quên đổi

1, 2

tỉ đồng thành

1200

triệu đồng.

1Cách 1. Lập phương trình tổng quát rồi giải ra

r

, sau đó thay số

Định hướng. Đổi $1, 2$ tỉ đồng $= 1200$ triệu đồng; lập phương trình $x = \frac{1200}{y} + 1200 \cdot \frac{r}{12}$ rồi giải ra $r$ theo $x, y$ ; cuối cùng thay $x = 30, y = 48$ .

x = \frac{1200}{y} + 1200 \cdot \frac{r}{12} = \frac{1200}{y} + 100 r

\Rightarrow 100 r = x - \frac{1200}{y}

\Rightarrow r = \frac{x}{100} - \frac{12}{y} = \frac{x y - 1200}{100 y}

b) tại

x = 30, y = 48

r = \frac{30 \cdot 48 - 1200}{100 \cdot 48} = \frac{1440 - 1200}{4800} = \frac{240}{4800} = 0, 05

Vậy a) $r = \frac{x y - 1200}{100 y}$ ; b) $r = 0, 05 = 5%$ , tức nếu trả góp $30$ triệu đồng mỗi tháng trong $4$ năm ( $y = 48$ ) thì lãi suất năm là $5%$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng cách tính riêng phần gốc và phần lãi mỗi tháng

Định hướng. Với $x = 30, y = 48$ , tính trực tiếp số tiền gốc trả mỗi tháng và số tiền lãi trả mỗi tháng để đối chiếu với công thức ở Cách 1.

Gốc trả mỗi tháng:

\frac{1200}{48} = 25

(triệu đồng)
Lãi trả mỗi tháng:

30 - 25 = 5

(triệu đồng), tương ứng lãi suất tháng

\frac{5}{1200} = \frac{1}{240}

Lãi suất năm:

r = 12 \cdot \frac{1}{240} = \frac{1}{20} = 0, 05

Vậy kết quả $r = 0, 05 = 5%$ khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 tính trực tiếp bằng số nên trực quan hơn, nhưng Cách 1 cho công thức tổng quát dùng lại được cho mọi $x, y$ khác, như ở Bài 6.30.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập công thức tổng quát

r = \frac{x y - 1200}{100 y}

một lần, dùng lại được cho mọi giá trị

x, y

khác (như Bài 6.30), khỏi phải tính riêng gốc — lãi từng bài như Cách 2.

Đáp số. a)

r = \frac{x y - 1200}{100 y}

; b)

r = 0, 05 = 5%

Sai lầm thường gặp. Quên đổi lãi suất năm

r

thành lãi suất tháng

\frac{r}{12}

khi tính tiền lãi hằng tháng (viết nhầm tiền lãi

= 1200 r

thay vì

1200 \cdot \frac{r}{12}

), làm công thức và kết quả sai gấp

12

lần.

🚀 Mở rộng. Cùng công thức

r = \frac{x y - 1200}{100 y}

, nếu vay

1, 2

tỉ đồng và trả góp

40

triệu đồng mỗi tháng trong

3

năm (

y = 36

) thì

r = \frac{40 \cdot 36 - 1200}{100 \cdot 36} \approx 0, 0667 \approx 6, 67%

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6.26★★Trang 22— Nhân hai phân thức đại số rồi rút gọn

Bài 6.26 (trang 22). Làm tính nhân phân thức: a)

(- \frac{3 x}{5 x y ^{2}}) \cdot (- \frac{5 y ^{2}}{12 x y})

; b)

\frac{x ^{2} - x}{2 x + 1} \cdot \frac{4 x ^{2} - 1}{x ^{3} - 1}

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc nhân hai phân thức và quy tắc dấu: tích hai phân thức cùng dấu âm cho kết quả dương.
Hằng đẳng thức $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ và $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) hai phân thức đều mang dấu âm — dấu hiệu tích hai số âm cho kết quả dương, chỉ cần rút gọn phần hệ số và biến. Câu b) có

x^{2} - x = x (x - 1)

4 x^{2} - 1 = (2 x - 1) (2 x + 1)

x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)

— dấu hiệu phân tích nhân tử cả ba đa thức trước khi nhân để lộ nhân tử chung

x - 1

và

2 x + 1

. Bẫy ở câu b) là quên dùng hằng đẳng thức

a^{3} - b^{3}

nên không phân tích được

x^{3} - 1

1Cách 1. Phân tích nhân tử chung trước, rút gọn ngay khi nhân

Định hướng. Câu a rút gọn phần hệ số và biến trực tiếp; câu b phân tích $x^{2} - x$ , $4 x^{2} - 1$ , $x^{3} - 1$ thành nhân tử rồi rút gọn nhân tử chung $x - 1$ , $2 x + 1$ .

(- \frac{3 x}{5 x y ^{2}}) \cdot (- \frac{5 y ^{2}}{12 x y}) = \frac{3 x \cdot 5 y ^{2}}{5 x y ^{2} \cdot 12 x y} = \frac{15 x y ^{2}}{60 x ^{2} y ^{3}} = \frac{1}{4 x y}

\frac{x ^{2} - x}{2 x + 1} \cdot \frac{4 x ^{2} - 1}{x ^{3} - 1} = \frac{x ( x - 1 )}{2 x + 1} \cdot \frac{( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 )}{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )}

= \frac{x ( x - 1 ) ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 )}{( 2 x + 1 ) ( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )} = \frac{x ( 2 x - 1 )}{x ^{2} + x + 1}

Vậy a) $\frac{1}{4 x y}$ (với $x, y \neq = 0$ ); b) $\frac{x ( 2 x - 1 )}{x ^{2} + x + 1}$ (với $x \neq = 1, x \neq = - \frac{1}{2}$ ).

2Cách 2. Nhân trực tiếp tử với tử, mẫu với mẫu rồi mới rút gọn

Định hướng. Nhân hết theo quy tắc, không phân tích trước, rồi mới tìm nhân tử chung để rút gọn kết quả cuối.

\frac{( - 3 x ) \cdot ( - 5 y ^{2} )}{5 x y ^{2} \cdot 12 x y} = \frac{15 x y ^{2}}{60 x ^{2} y ^{3}} = \frac{1}{4 x y}

\frac{( x ^{2} - x ) ( 4 x ^{2} - 1 )}{( 2 x + 1 ) ( x ^{3} - 1 )}

, phân tích cả tử và mẫu: tử

= x (x - 1) (2 x - 1) (2 x + 1)

, mẫu

= (2 x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)

\Rightarrow \frac{x ( x - 1 ) ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 )}{( 2 x + 1 ) ( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )} = \frac{x ( 2 x - 1 )}{x ^{2} + x + 1}

Vậy hai câu đều khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 phân tích nhân tử ngay từ đầu giúp nhìn thấy nhân tử chung sớm hơn, tránh nhân ra biểu thức bậc cao rồi mới phân tích lại như Cách 2.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay $x = 1, y = 1$ vào câu a; thay $x = 2$ vào câu b để đối chiếu với kết quả đã rút gọn.

a) vế trái tại

x = 1, y = 1

(- \frac{3}{5}) \cdot (- \frac{5}{12}) = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}

; kết quả

\frac{1}{4 x y} = \frac{1}{4}

b) vế trái tại

x = 2

\frac{2}{5} \cdot \frac{15}{7} = \frac{30}{35} = \frac{6}{7}

; kết quả

\frac{x ( 2 x - 1 )}{x ^{2} + x + 1} = \frac{2 \cdot 3}{7} = \frac{6}{7}

Vậy cả hai giá trị đều khớp, xác nhận kết quả ở Cách 1, Cách 2 đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phân tích nhân tử cả tử lẫn mẫu trước khi nhân, rút gọn ngay để tránh nhân ra đa thức bậc cao rồi mới phân tích lại như Cách 2.

Đáp số. a)

\frac{1}{4 x y}

; b)

\frac{x ( 2 x - 1 )}{x ^{2} + x + 1}

Sai lầm thường gặp. Ở câu b, quên hằng đẳng thức

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

nên không phân tích được

x^{3} - 1

, dẫn tới không rút gọn được nhân tử chung

x - 1

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật phân tích

a^{3} - b^{3}

\frac{x ^{2} + x}{x - 1} \cdot \frac{x ^{2} - 1}{x ^{3} + 1}

rút gọn về

\frac{x}{x ^{2} - x + 1}

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 6.27★★Trang 22— Chia hai phân thức đại số bằng cách nhân với phân thức nghịch đảo

Bài 6.27 (trang 22). Làm tính chia phân thức: a)

(- \frac{3 x}{5 x y ^{2}}) : (- \frac{5 y ^{2}}{12 x y})

; b)

\frac{4 x ^{2} - 1}{8 x ^{3} - 1} : \frac{4 x ^{2} + 4 x + 1}{4 x ^{2} + 2 x + 1}

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc chia phân thức: $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$ .
Hằng đẳng thức $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ và $a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) hai phân thức đều âm nên thương dương — dấu hiệu chỉ cần đổi chia thành nhân với nghịch đảo rồi rút gọn hệ số, biến. Câu b) có

4 x^{2} - 1 = (2 x - 1) (2 x + 1)

8 x^{3} - 1 = (2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1)

(hằng đẳng thức

a^{3} - b^{3}

với

a = 2 x, b = 1

4 x^{2} + 4 x + 1 = (2 x + 1)^{2}

— dấu hiệu phân tích để lộ nhân tử chung

2 x - 1

và

4 x^{2} + 2 x + 1

. Bẫy là không nhận ra

8 x^{3} - 1

và

4 x^{2} + 2 x + 1

dùng chung hằng đẳng thức lập phương.

1Cách 1. Đổi thành phép nhân với nghịch đảo, phân tích nhân tử rồi rút gọn

Định hướng. Câu a nhân với nghịch đảo rồi rút gọn hệ số, biến; câu b phân tích $4 x^{2} - 1$ , $8 x^{3} - 1$ , $4 x^{2} + 4 x + 1$ thành nhân tử rồi rút gọn.

(- \frac{3 x}{5 x y ^{2}}) : (- \frac{5 y ^{2}}{12 x y}) = \frac{3 x}{5 x y ^{2}} \cdot \frac{12 x y}{5 y ^{2}} = \frac{36 x ^{2} y}{25 x y ^{4}} = \frac{36 x}{25 y ^{3}}

\frac{4 x ^{2} - 1}{8 x ^{3} - 1} : \frac{4 x ^{2} + 4 x + 1}{4 x ^{2} + 2 x + 1} = \frac{( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 )}{( 2 x - 1 ) ( 4 x ^{2} + 2 x + 1 )} \cdot \frac{4 x ^{2} + 2 x + 1}{( 2 x + 1 ) ^{2}}

= \frac{( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) ( 4 x ^{2} + 2 x + 1 )}{( 2 x - 1 ) ( 4 x ^{2} + 2 x + 1 ) ( 2 x + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{2 x + 1}

Vậy a) $\frac{36 x}{25 y ^{3}}$ (với $x, y \neq = 0$ ); b) $\frac{1}{2 x + 1}$ (với $x \neq = \frac{1}{2}, x \neq = - \frac{1}{2}$ ).

2Cách 2. Nhân với nghịch đảo rồi nhân trực tiếp trước khi rút gọn

Định hướng. Không phân tích trước, nhân hết tử với tử, mẫu với mẫu sau khi đổi thành phép nhân, rồi mới phân tích để rút gọn kết quả cuối.

\frac{3 x \cdot 12 x y}{5 x y ^{2} \cdot 5 y ^{2}} = \frac{36 x ^{2} y}{25 x y ^{4}} = \frac{36 x}{25 y ^{3}}

\frac{( 4 x ^{2} - 1 ) ( 4 x ^{2} + 2 x + 1 )}{( 8 x ^{3} - 1 ) ( 4 x ^{2} + 4 x + 1 )}

, phân tích: tử

= (2 x - 1) (2 x + 1) (4 x^{2} + 2 x + 1)

, mẫu

= (2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) (2 x + 1)^{2}

\Rightarrow \frac{( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) ( 4 x ^{2} + 2 x + 1 )}{( 2 x - 1 ) ( 4 x ^{2} + 2 x + 1 ) ( 2 x + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{2 x + 1}

Vậy hai câu đều khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 phân tích nhân tử ngay từ đầu nên nhìn thấy nhân tử chung sớm hơn, tránh nhân ra đa thức bậc cao như Cách 2.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay $x = 1, y = 1$ vào câu a; thay $x = 1$ vào câu b để đối chiếu với kết quả đã rút gọn.

a) vế trái tại

x = 1, y = 1

(- \frac{3}{5}) : (- \frac{5}{12}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{5} = \frac{36}{25}

; kết quả

\frac{36 x}{25 y ^{3}} = \frac{36}{25}

b) vế trái tại

x = 1

\frac{3}{7} : \frac{9}{7} = \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{9} = \frac{1}{3}

; kết quả

\frac{1}{2 x + 1} = \frac{1}{3}

Vậy cả hai giá trị đều khớp, xác nhận kết quả ở Cách 1, Cách 2 đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phân tích nhân tử cả tử lẫn mẫu ngay sau khi đổi thành phép nhân, rút gọn sớm để tránh nhân ra đa thức bậc cao rồi mới phân tích lại như Cách 2.

Đáp số. a)

\frac{36 x}{25 y ^{3}}

; b)

\frac{1}{2 x + 1}

Sai lầm thường gặp. Ở câu b, không nhận ra

8 x^{3} - 1

phân tích được bằng hằng đẳng thức

a^{3} - b^{3}

thành

(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1)

, nên không rút gọn được nhân tử chung với mẫu

4 x^{2} + 2 x + 1

vừa xuất hiện sau khi lấy nghịch đảo.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật hằng đẳng thức lập phương,

\frac{9 x ^{2} - 1}{27 x ^{3} + 1} : \frac{9 x ^{2} + 6 x + 1}{9 x ^{2} - 3 x + 1}

rút gọn về

\frac{1}{3 x + 1}

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 6.28★★★Trang 22— Tìm phân thức chưa biết trong đẳng thức nhân/chia phân thức

Bài 6.28 (trang 22). Tìm hai phân thức

P

và

Q

thoả mãn: a)

P \cdot \frac{x + 1}{2 x + 1} = \frac{x ^{2} + x}{4 x ^{2} - 1}

; b)

Q : \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 4 x + 4} = \frac{( x + 1 ) ( x + 2 )}{x ^{2} - 2 x}

Kiến thức cần nhớ

Từ $P \cdot \frac{A}{B} = \frac{C}{D}$ (với $\frac{A}{B} \neq = 0$ ) suy ra $P = \frac{C}{D} \cdot \frac{B}{A}$ .
Từ $Q : \frac{A}{B} = \frac{C}{D}$ suy ra $Q = \frac{C}{D} \cdot \frac{A}{B}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a)

P

đóng vai trò thừa số chưa biết trong một tích — dấu hiệu cô lập

P

bằng cách chia hai vế cho

\frac{x + 1}{2 x + 1}

, tức nhân với nghịch đảo

\frac{2 x + 1}{x + 1}

. Câu b)

Q

là số bị chia trong một phép chia đã biết thương — dấu hiệu cô lập

Q

bằng cách nhân cả hai bên đẳng thức với

\frac{x ^{2}}{x ^{2} + 4 x + 4}

. Bẫy chung là quên rút gọn nhân tử chung sau khi cô lập, để

P

hoặc

Q

ở dạng chưa tối giản.

1Cách 1. Cô lập

P

Q

bằng phép toán ngược rồi rút gọn

Định hướng. Nhân cả hai vế câu a với nghịch đảo $\frac{2 x + 1}{x + 1}$ để tìm $P$ ; nhân cả hai vế câu b với $\frac{x ^{2}}{x ^{2} + 4 x + 4}$ để tìm $Q$ .

P = \frac{x ^{2} + x}{4 x ^{2} - 1} \cdot \frac{2 x + 1}{x + 1} = \frac{x ( x + 1 ) ( 2 x + 1 )}{( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) ( x + 1 )} = \frac{x}{2 x - 1}

Q = \frac{( x + 1 ) ( x + 2 )}{x ^{2} - 2 x} \cdot \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 4 x + 4} = \frac{( x + 1 ) ( x + 2 ) \cdot x ^{2}}{x ( x - 2 ) \cdot ( x + 2 ) ^{2}}

= \frac{( x + 1 ) \cdot x}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x ( x + 1 )}{x ^{2} - 4}

Vậy a) $P = \frac{x}{2 x - 1}$ ; b) $Q = \frac{x ( x + 1 )}{x ^{2} - 4}$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng cách thay

P

Q

vừa tìm vào đẳng thức gốc

Định hướng. Thay $x = 1$ để kiểm tra câu a; thay $x = 1$ để kiểm tra câu b, đối chiếu hai vế của đẳng thức gốc.

a) tại

x = 1

P = \frac{1}{1} = 1

; vế trái

1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}

; vế phải

\frac{2}{3}

b) tại

x = 1

Q = \frac{1 \cdot 2}{- 3} = - \frac{2}{3}

; vế trái

- \frac{2}{3} : \frac{1}{9} = - 6

; vế phải

\frac{2 \cdot 3}{- 1} = - 6

Vậy cả hai giá trị đều khớp đẳng thức gốc, xác nhận $P, Q$ ở Cách 1 đúng.

Nhận xét. Cách 2 chỉ dùng để kiểm tra chéo; muốn tìm công thức tổng quát của $P, Q$ bắt buộc đi theo Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: cô lập

P

Q

bằng đúng phép toán ngược (nhân nghịch đảo cho câu a, nhân trực tiếp cho câu b) rồi rút gọn ngay, không cần kiểm tra bằng số như Cách 2 nếu đã chắc chắn từng bước.

Đáp số. a)

P = \frac{x}{2 x - 1}

; b)

Q = \frac{x ( x + 1 )}{x ^{2} - 4}

Sai lầm thường gặp. Ở câu a, nhầm chiều cô lập, viết

P = \frac{x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x ^{2} + x}{4 x ^{2} - 1}

(nhân thay vì nhân với nghịch đảo); ở câu b, quên

x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}

nên không rút gọn hết nhân tử chung, để

Q

ở dạng chưa tối giản.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật cô lập ẩn, từ

P : \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}}

suy ra

P = \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x ^{2}}

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 6.29★★★Trang 22— Rút gọn phân thức bằng hằng đẳng thức rồi nhân, chia hai phân thức đã rút gọn

Bài 6.29 (trang 22). Cho hai phân thức

P = \frac{x ^{2} + 6 x + 9}{x ^{2} + 3 x}

và

Q = \frac{x ^{2} + 3 x}{x ^{2} - 9}

. a) Rút gọn

P

và

Q

. b) Sử dụng kết quả của câu a, tính

P \cdot Q

và

P : Q

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức $a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ và $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
Rút gọn phân thức: chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung; nhân/chia phân thức đã rút gọn theo đúng quy tắc.

🧠 Phân tích tư duy

Tử

x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}

và mẫu

x^{2} + 3 x = x (x + 3)

của

P

cùng chứa nhân tử

x + 3

— dấu hiệu rút gọn ngay bằng hằng đẳng thức bình phương một tổng. Với

Q

, mẫu

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)

và tử

x^{2} + 3 x = x (x + 3)

cùng chứa nhân tử

x + 3

— cùng dấu hiệu rút gọn. Sau khi có

P, Q

dạng gọn, câu b) chỉ còn nhân/chia hai phân thức đơn giản. Bẫy là quên điều kiện

x \neq = 0, x \neq = \pm 3

xuyên suốt cả hai câu vì nó ảnh hưởng tới cả phép nhân và phép chia sau đó.

1Cách 1. Rút gọn

P, Q

trước bằng hằng đẳng thức, rồi nhân/chia phân thức đã gọn

Định hướng. Phân tích tử, mẫu của $P$ và $Q$ thành nhân tử, rút gọn nhân tử chung $x + 3$ , sau đó nhân và chia hai phân thức đã rút gọn.

P = \frac{x ^{2} + 6 x + 9}{x ^{2} + 3 x} = \frac{( x + 3 ) ^{2}}{x ( x + 3 )} = \frac{x + 3}{x}

Q = \frac{x ^{2} + 3 x}{x ^{2} - 9} = \frac{x ( x + 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{x}{x - 3}

P \cdot Q = \frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x}{x - 3} = \frac{x + 3}{x - 3}

P : Q = \frac{x + 3}{x} : \frac{x}{x - 3} = \frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x - 3}{x} = \frac{( x + 3 ) ( x - 3 )}{x ^{2}} = \frac{x ^{2} - 9}{x ^{2}}

Vậy a) $P = \frac{x + 3}{x}$ , $Q = \frac{x}{x - 3}$ (với $x \neq = 0, x \neq = \pm 3$ ); b) $P \cdot Q = \frac{x + 3}{x - 3}$ , $P : Q = \frac{x ^{2} - 9}{x ^{2}}$ .

2Cách 2. Nhân/chia hai phân thức gốc (chưa rút gọn) rồi mới rút gọn kết quả

Định hướng. Không rút gọn $P, Q$ trước, nhân và chia thẳng hai phân thức ban đầu theo quy tắc, sau đó mới phân tích nhân tử để rút gọn kết quả cuối.

P \cdot Q = \frac{x ^{2} + 6 x + 9}{x ^{2} + 3 x} \cdot \frac{x ^{2} + 3 x}{x ^{2} - 9} = \frac{( x + 3 ) ^{2} \cdot x ( x + 3 )}{x ( x + 3 ) \cdot ( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{x + 3}{x - 3}

P : Q = \frac{x ^{2} + 6 x + 9}{x ^{2} + 3 x} : \frac{x ^{2} + 3 x}{x ^{2} - 9} = \frac{( x + 3 ) ^{2}}{x ( x + 3 )} \cdot \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x ( x + 3 )} = \frac{( x + 3 ) ^{2} ( x - 3 )}{x ^{2} ( x + 3 )} = \frac{( x + 3 ) ( x - 3 )}{x ^{2}} = \frac{x ^{2} - 9}{x ^{2}}

Vậy cả hai kết quả đều khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 (rút gọn $P, Q$ trước theo đúng yêu cầu câu a) ngắn hơn hẳn, đồng thời tận dụng lại được kết quả câu a cho câu b như đề yêu cầu.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách thay giá trị cụ thể

Định hướng. Thay $x = 6$ (thoả $x \neq = 0, \pm 3$ ) vào $P, Q$ gốc và vào các kết quả đã rút gọn để đối chiếu.

Tại

x = 6

P = \frac{81}{54} = \frac{3}{2}

, khớp

\frac{x + 3}{x} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}

Q = \frac{54}{27} = 2

, khớp

\frac{x}{x - 3} = \frac{6}{3} = 2

P \cdot Q = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3

, khớp

\frac{x + 3}{x - 3} = \frac{9}{3} = 3

;

P : Q = \frac{3}{2} : 2 = \frac{3}{4}

, khớp

\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2}} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}

Vậy mọi kết quả đều khớp, xác nhận Cách 1, Cách 2 đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: rút gọn

P, Q

trước bằng hằng đẳng thức đúng như câu a yêu cầu, rồi nhân/chia hai phân thức đã gọn ở câu b — vừa đúng trình tự đề bài vừa ngắn hơn Cách 2.

Đáp số. a)

P = \frac{x + 3}{x}

Q = \frac{x}{x - 3}

; b)

P \cdot Q = \frac{x + 3}{x - 3}

P : Q = \frac{x ^{2} - 9}{x ^{2}}

Sai lầm thường gặp. Quên điều kiện

x \neq = 0, x \neq = \pm 3

khi rút gọn

P, Q

ở câu a, dẫn tới ghi thiếu điều kiện cho cả kết quả

P \cdot Q

và

P : Q

ở câu b.

🚀 Mở rộng. Cùng kĩ thuật rút gọn rồi nhân/chia, với

P = \frac{x ^{2} - 4 x + 4}{x ^{2} - 2 x}

và

Q = \frac{x ^{2} - 2 x}{x ^{2} - 4}

, rút gọn được

P = \frac{x - 2}{x}

Q = \frac{x}{x + 2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 6.30★★★Trang 22— Áp dụng công thức phân thức của bài Vận dụng vào số liệu mới và giải thích điều kiện của biến

Bài 6.30 (trang 22). Trở lại tình huống trong Vận dụng. a) Nếu mỗi tháng bác Châu trả

15

triệu đồng trong

10

năm thì lãi suất năm (tính theo %) là bao nhiêu? Hãy cho biết tổng số tiền thực tế bác Châu phải trả chênh lệch bao nhiêu so với khoản vay

1, 2

tỉ đồng. b) Trong công thức tính lãi suất năm nói trên, hai biến

x, y

phải thoả mãn các điều kiện

x > 0, y > 0, x y > 1200

. Em hãy giải thích ý nghĩa thực tiễn của các điều kiện này.

Kiến thức cần nhớ

Công thức đã lập ở bài Vận dụng: $r = \frac{x y - 1200}{100 y}$ (với $x, y > 0$ , đơn vị $x$ là triệu đồng, $1200$ triệu đồng $= 1, 2$ tỉ đồng).
Tổng số tiền thực tế phải trả bằng $x \cdot y$ (số tiền mỗi tháng nhân số tháng vay).

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) cho

x = 15

(triệu đồng/tháng) và thời hạn

10

năm tức

y = 120

tháng — dấu hiệu thay thẳng vào công thức

r = \frac{x y - 1200}{100 y}

đã lập ở bài Vận dụng, sau đó tính tổng tiền trả

x \cdot y

rồi trừ đi

1200

. Câu b) hỏi ý nghĩa thực tiễn của

x > 0, y > 0, x y > 1200

— dấu hiệu phải diễn giải từng điều kiện theo đúng vai trò của

x

(số tiền trả mỗi tháng),

y

(số tháng vay) và tổng tiền trả so với gốc vay. Bẫy ở câu a) là quên đổi

10

năm thành

120

tháng trước khi thay vào công thức.

1Cách 1. Thay số vào công thức đã lập ở bài Vận dụng

Định hướng. Đổi $10$ năm $= 120$ tháng, thay $x = 15, y = 120$ vào công thức $r = \frac{x y - 1200}{100 y}$ ; tính tổng tiền trả $x \cdot y$ rồi so với $1200$ .

r = \frac{15 \cdot 120 - 1200}{100 \cdot 120} = \frac{1800 - 1200}{12000} = \frac{600}{12000} = 0, 05

Tổng tiền thực trả:

x \cdot y = 15 \cdot 120 = 1800

(triệu đồng)

= 1, 8

tỉ đồng
Chênh lệch:

1800 - 1200 = 600

(triệu đồng)

= 0, 6

tỉ đồng

Vậy a) lãi suất năm $r = 0, 05 = 5%$ ; tổng tiền thực trả chênh lệch $0, 6$ tỉ đồng so với khoản vay $1, 2$ tỉ đồng.

x > 0

: số tiền trả mỗi tháng phải là số dương, không thể trả một khoản âm hay bằng

0

y > 0

: số tháng vay phải là số dương, thời hạn vay không thể âm hay bằng

0

x y > 1200

: tổng số tiền thực trả (

x \cdot y

) phải lớn hơn số tiền gốc vay

1200

triệu đồng, vì luôn phải trả thêm phần lãi dương cho ngân hàng.

Vậy cả ba điều kiện phản ánh đúng ý nghĩa thực tế của khoản vay trả góp có lãi.

2Cách 2. Kiểm tra lại phần a) bằng cách tính riêng gốc và lãi mỗi tháng

Định hướng. Không dùng công thức tổng quát, tính trực tiếp số tiền gốc và số tiền lãi trả mỗi tháng khi $x = 15, y = 120$ để đối chiếu với Cách 1.

Gốc trả mỗi tháng:

\frac{1200}{120} = 10

(triệu đồng)
Lãi trả mỗi tháng:

15 - 10 = 5

(triệu đồng), tương ứng lãi suất tháng

\frac{5}{1200} = \frac{1}{240}

Lãi suất năm:

12 \cdot \frac{1}{240} = \frac{1}{20} = 0, 05

Vậy $r = 0, 05 = 5%$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 dùng lại công thức tổng quát đã lập ở bài Vận dụng nên nhanh hơn hẳn, không cần tính riêng gốc, lãi từng tháng như Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay thẳng số liệu mới vào công thức

r = \frac{x y - 1200}{100 y}

đã lập từ bài Vận dụng, khỏi tính lại gốc — lãi từng tháng như Cách 2.

Đáp số. a)

r = 0, 05 = 5%

; chênh lệch

0, 6

tỉ đồng. b)

x > 0, y > 0

vì số tiền trả mỗi tháng và số tháng vay đều phải dương;

x y > 1200

vì tổng tiền thực trả luôn lớn hơn tiền gốc do phải trả thêm lãi.

Sai lầm thường gặp. Quên đổi

10

năm thành

120

tháng trước khi thay vào công thức, dẫn tới thay nhầm

y = 10

và tính ra lãi suất sai hoàn toàn.

🚀 Mở rộng. Cùng công thức, nếu trả góp

20

triệu đồng mỗi tháng trong

6

năm (

y = 72

) thì

r = \frac{20 \cdot 72 - 1200}{100 \cdot 72} = \frac{240}{7200} \approx 0, 0333 \approx 3, 33%

Mở bài này trong app ↗