Chương VII. Phương trình bậc nhất và hàm số bậc nhất

Bài 25. Phương trình bậc nhất một ẩn

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 2 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngVII #SáchBàiTập_Tập2 #trang18 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 7.1★Trang 18— Giải phương trình bậc nhất một ẩn dạng

a x + b = 0

Bài 7.1 (trang 18). Giải các phương trình sau:
a)

2 x + 5 = 0

;
b)

8 - 4 x = 0

;
c)

\frac{3}{2} x + \frac{9}{4} = 0

;
d)

0, 2 - 2, 5 x = 0

Kiến thức cần nhớ

Phương trình bậc nhất $a x + b = 0 (a \neq = 0)$ được giải: $a x + b = 0 \Rightarrow a x = - b \Rightarrow x = - \frac{b}{a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn phương trình đã ở đúng dạng

a x + b = 0

— dấu hiệu chỉ cần chuyển vế rồi chia cho hệ số của

x

. Bẫy ở ý c) hệ số là phân số, ý d) hệ số là số thập phân — cả hai đều dễ tính sai nếu không cẩn thận khi chia.

1Cách 1. Chuyển vế rồi chia cho hệ số của

x

Định hướng. Chuyển hạng tử tự do sang vế phải, rồi chia cả hai vế cho hệ số của $x$ .

2 x + 5 = 0

2 x = - 5

x = - \frac{5}{2}

8 - 4 x = 0

- 4 x = - 8

x = 2

\frac{3}{2} x + \frac{9}{4} = 0

\frac{3}{2} x = - \frac{9}{4}

x = (- \frac{9}{4}) : \frac{3}{2}

x = (- \frac{9}{4}) \cdot \frac{2}{3}

x = - \frac{3}{2}

0, 2 - 2, 5 x = 0

- 2, 5 x = - 0, 2

x = \frac{0 , 2}{2 , 5}

x = 0, 08

Vậy nghiệm của các phương trình lần lượt là $x = - \frac{5}{2}$ ; $x = 2$ ; $x = - \frac{3}{2}$ ; $x = 0, 08$ .

2Cách 2. Đổi số thập phân về phân số rồi áp dụng công thức nghiệm

x = - \frac{b}{a}

Định hướng. Với ý d), đổi $0, 2$ và $2, 5$ về phân số trước để tránh chia số thập phân; các ý còn lại xác định $a, b$ rồi thay vào công thức nghiệm.

a = 2, b = 5

x = - \frac{5}{2}

a = - 4, b = 8

x = - \frac{8}{- 4} = 2

a = \frac{3}{2}, b = \frac{9}{4}

x = - \frac{\frac{9}{4}}{\frac{3}{2}} = - \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{3} = - \frac{3}{2}

0, 2 = \frac{1}{5}, 2, 5 = \frac{5}{2}

, phương trình thành

\frac{1}{5} - \frac{5}{2} x = 0

, có

a = - \frac{5}{2}, b = \frac{1}{5}

x = - \frac{\frac{1}{5}}{- \frac{5}{2}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{25} = 0, 08

Vậy bốn nghiệm tìm được trùng khớp với Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng cách thay nghiệm vào từng phương trình gốc

Định hướng. Thay các nghiệm vừa tìm vào vế trái của mỗi phương trình để kiểm tra bằng $0$ .

2 \cdot (- \frac{5}{2}) + 5 = - 5 + 5 = 0

8 - 4 \cdot 2 = 8 - 8 = 0

\frac{3}{2} \cdot (- \frac{3}{2}) + \frac{9}{4} = - \frac{9}{4} + \frac{9}{4} = 0

0, 2 - 2, 5 \cdot 0, 08 = 0, 2 - 0, 2 = 0

Vậy cả bốn nghiệm đều thoả mãn phương trình ban đầu, xác nhận kết quả đúng.

Nhận xét. Ý d) nên đổi số thập phân sang phân số (Cách 2) để tránh chia số thập phân rối mắt; các ý còn lại làm trực tiếp theo Cách 1 là nhanh nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chuyển vế rồi chia cho hệ số của

x

; riêng ý d) nên đổi

0, 2

và

2, 5

ra phân số như Cách 2 trước khi chia để tránh sai số thập phân.

Đáp số. a)

x = - \frac{5}{2}

; b)

x = 2

; c)

x = - \frac{3}{2}

; d)

x = 0, 08

Sai lầm thường gặp. Ở ý d), chia trực tiếp số thập phân

0, 2 : 2, 5

mà tính nhầm dấu phẩy, ra kết quả sai như

x = 0, 8

thay vì

x = 0, 08

🚀 Mở rộng. Bốn phương trình có hệ số từ nguyên, phân số đến thập phân, cho thấy công thức

x = - \frac{b}{a}

áp dụng thống nhất cho mọi loại hệ số, miễn đưa đúng về cùng một dạng số trước khi chia.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 7.2★Trang 18— Giải phương trình có ẩn

x

ở cả hai vế, đưa về dạng

a x + b = 0

Bài 7.2 (trang 18). Giải các phương trình sau:
a)

4 x - 2 = x + 5

;
b)

- 2 x - 5 = 5 x - 7

;
c)

2 (2 x - 1) = 5 (x - 1)

;
d)

5 (1 - 3 x) = - 2 (4 x + 5)

Kiến thức cần nhớ

Muốn giải phương trình có $x$ ở hai vế: bỏ ngoặc (nếu có) rồi chuyển các hạng tử chứa $x$ về một vế, hạng tử tự do về vế còn lại, sau đó thu gọn và giải như phương trình dạng $a x + b = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn phương trình đều có hạng tử chứa

x

ở cả hai vế (ý c, d còn có dấu ngoặc) — dấu hiệu cần bỏ ngoặc trước (nếu có) rồi chuyển hết hạng tử chứa

x

về một vế, hạng tử tự do về vế còn lại. Bẫy ở ý d) khi nhân phá ngoặc với hệ số âm

- 2

, dễ quên đổi dấu cả hai hạng tử trong ngoặc

(4 x + 5)

1Cách 1. Bỏ ngoặc, chuyển hạng tử chứa

x

về vế trái, số về vế phải

Định hướng. Bỏ dấu ngoặc (nếu có), rồi chuyển các hạng tử chứa $x$ về vế trái, các hạng tử tự do về vế phải.

4 x - 2 = x + 5

4 x - x = 5 + 2

3 x = 7

x = \frac{7}{3}

- 2 x - 5 = 5 x - 7

- 2 x - 5 x = - 7 + 5

- 7 x = - 2

x = \frac{2}{7}

2 (2 x - 1) = 5 (x - 1)

4 x - 2 = 5 x - 5

4 x - 5 x = - 5 + 2

- x = - 3

x = 3

5 (1 - 3 x) = - 2 (4 x + 5)

5 - 15 x = - 8 x - 10

- 15 x + 8 x = - 10 - 5

- 7 x = - 15

x = \frac{15}{7}

Vậy nghiệm của các phương trình lần lượt là $x = \frac{7}{3}$ ; $x = \frac{2}{7}$ ; $x = 3$ ; $x = \frac{15}{7}$ .

2Cách 2. Chuyển hạng tử chứa

x

về vế phải, số về vế trái

Định hướng. Làm ngược lại Cách 1: đưa hạng tử chứa $x$ về vế phải, hạng tử tự do về vế trái, rồi đổi dấu toàn phương trình nếu cần.

4 x - 2 = x + 5

- 2 - 5 = x - 4 x

- 7 = - 3 x

x = \frac{7}{3}

2 (2 x - 1) = 5 (x - 1)

4 x - 2 = 5 x - 5

- 2 + 5 = 5 x - 4 x

3 = x

x = 3

Vậy hai ý a), c) cho cùng kết quả $x = \frac{7}{3}$ và $x = 3$ như Cách 1 (áp dụng tương tự cho ý b, d).

3Cách 3. Thử lại bằng cách thay nghiệm vào phương trình gốc

Định hướng. Thay các nghiệm vừa tìm vào cả hai vế của phương trình ban đầu để kiểm tra chúng bằng nhau.

a) Với

x = \frac{7}{3}

4 \cdot \frac{7}{3} - 2 = \frac{22}{3}

;

\frac{7}{3} + 5 = \frac{22}{3}

c) Với

x = 3

2 (2 \cdot 3 - 1) = 10

;

5 (3 - 1) = 10

d) Với

x = \frac{15}{7}

5 (1 - 3 \cdot \frac{15}{7}) = - \frac{170}{7}

;

- 2 (4 \cdot \frac{15}{7} + 5) = - \frac{170}{7}

Vậy các nghiệm đều thoả mãn phương trình gốc, xác nhận kết quả đúng ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 và Cách 2 cho cùng kết quả, chỉ khác việc chọn vế nào chứa $x$ ; nên chọn cách nào cho hệ số của $x$ dương để đỡ nhầm dấu ở bước chia.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chuyển hạng tử chứa

x

về vế trái sao cho hệ số của

x

dương khi có thể (như ý c:

4 x - 5 x = - x

ra âm nên đổi dấu cả hai vế cuối cùng), hạn chế nhầm dấu.

Đáp số. a)

x = \frac{7}{3}

; b)

x = \frac{2}{7}

; c)

x = 3

; d)

x = \frac{15}{7}

Sai lầm thường gặp. Ở ý d), khi phá ngoặc

- 2 (4 x + 5)

chỉ đổi dấu hạng tử

4 x

mà quên đổi dấu hạng tử

5

, viết nhầm thành

- 8 x + 10

thay vì

- 8 x - 10

🚀 Mở rộng. Nếu đổi ý c) thành

2 (2 x - 1) = 5 (x - 1) + 1

thì phương trình trở thành

4 x - 2 = 5 x - 4

, cho nghiệm khác

x = 2

— cùng cách làm, chỉ đổi hằng số ở một vế.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 7.3★★Trang 18— Giải phương trình chứa mẫu số, đưa được về dạng

a x + b = 0

Bài 7.3 (trang 18). Giải các phương trình sau:
a)

\frac{x}{2} - \frac{1}{5} = 2 - \frac{x}{3}

;
b)

1 - \frac{x + 5}{3} = \frac{3 ( x - 1 )}{4}

;
c)

\frac{6 ( x - 2 )}{7} - 12 = \frac{2 ( x - 7 )}{3}

;
d)

\frac{7 - 2 x}{2} - \frac{2}{5} (2 - x) = 1 \frac{1}{4}

Kiến thức cần nhớ

Muốn giải phương trình chứa mẫu số: quy đồng mẫu thức hai vế theo bội chung nhỏ nhất, rồi nhân hai vế với mẫu chung đó để khử mẫu.
Hỗn số $a \frac{b}{c} = \frac{a c + b}{c}$ ; ví dụ $1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 7.4★★Trang 18— Tìm tham số

a

để một giá trị cho trước là nghiệm của phương trình chứa tham số

Bài 7.4 (trang 18). Tìm tất cả các số thực

a

sao cho:
a)

x = 4

là một nghiệm của phương trình:

x + 2 a = 16 + a x - 6 a

;
b)

x = - 2

là một nghiệm của phương trình:

x + 2 a = x - 4 + 2 a x

Kiến thức cần nhớ

$x_{0}$ là nghiệm của phương trình $A (x) = B (x)$ khi $A (x_{0}) = B (x_{0})$ .
Khi thay một giá trị $x_{0}$ cụ thể vào phương trình chứa tham số $a$ , ta thu được một phương trình mới chỉ còn ẩn $a$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 7.5★★★Trang 18— Biện luận số nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn theo tham số

m

Bài 7.5 (trang 18). Tuỳ theo các giá trị của

m

, hãy giải phương trình ẩn

x

(m^{2} - 1) x + 1 - m = 0

Kiến thức cần nhớ

Phương trình $a x + b = 0$ : nếu $a \neq = 0$ thì có nghiệm duy nhất $x = - \frac{b}{a}$ ; nếu $a = 0, b = 0$ thì vô số nghiệm; nếu $a = 0, b \neq = 0$ thì vô nghiệm.
Hằng đẳng thức: $m^{2} - 1 = (m - 1) (m + 1)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 7.6★★Trang 18— Giải phương trình bậc nhất một ẩn nảy sinh từ công thức lãi đơn

A = 100 (1 + r t)

Bài 7.6 (trang 18). Bác Minh gửi tiết kiệm ngân hàng 100 triệu đồng theo thể thức lãi đơn với lãi suất năm không đổi là

r

(

r

ở dạng số thập phân). Số tiền

A

(triệu đồng) bác Minh nhận được sau

t

năm gửi tiết kiệm là

A = 100 (1 + r t)

.
a) Nếu thời gian gửi là 2 năm và bác Minh thu được 116 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi), tìm lãi suất năm.
b) Nếu lãi suất năm là

8, 5%

, sau bao nhiêu năm gửi tiết kiệm bác Minh sẽ thu được 134 triệu đồng?

Kiến thức cần nhớ

Công thức lãi đơn: $A = 100 (1 + r t)$ , với $A$ là số tiền thu được, $r$ là lãi suất năm (dạng thập phân), $t$ là số năm gửi.
Đổi lãi suất phần trăm sang thập phân: $8, 5% = 0, 085$ .