Chương VII. Phương trình bậc nhất và hàm số bậc nhất

Bài 25. Phương trình bậc nhất một ẩn

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 2 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 7.1★Trang 18— Giải phương trình bậc nhất một ẩn dạng

a x + b = 0

Bài 7.1 (trang 18). Giải các phương trình sau:
a)

2 x + 5 = 0

;
b)

8 - 4 x = 0

;
c)

\frac{3}{2} x + \frac{9}{4} = 0

;
d)

0, 2 - 2, 5 x = 0

Kiến thức cần nhớ

Phương trình bậc nhất $a x + b = 0 (a \neq = 0)$ được giải: $a x + b = 0 \Rightarrow a x = - b \Rightarrow x = - \frac{b}{a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn phương trình đã ở đúng dạng

a x + b = 0

— dấu hiệu chỉ cần chuyển vế rồi chia cho hệ số của

x

. Bẫy ở ý c) hệ số là phân số, ý d) hệ số là số thập phân — cả hai đều dễ tính sai nếu không cẩn thận khi chia.

1Cách 1. Chuyển vế rồi chia cho hệ số của

x

Định hướng. Chuyển hạng tử tự do sang vế phải, rồi chia cả hai vế cho hệ số của $x$ .

2 x + 5 = 0

2 x = - 5

x = - \frac{5}{2}

8 - 4 x = 0

- 4 x = - 8

x = 2

\frac{3}{2} x + \frac{9}{4} = 0

\frac{3}{2} x = - \frac{9}{4}

x = (- \frac{9}{4}) : \frac{3}{2}

x = (- \frac{9}{4}) \cdot \frac{2}{3}

x = - \frac{3}{2}

0, 2 - 2, 5 x = 0

- 2, 5 x = - 0, 2

x = \frac{0 , 2}{2 , 5}

x = 0, 08

Vậy nghiệm của các phương trình lần lượt là $x = - \frac{5}{2}$ ; $x = 2$ ; $x = - \frac{3}{2}$ ; $x = 0, 08$ .

2Cách 2. Đổi số thập phân về phân số rồi áp dụng công thức nghiệm

x = - \frac{b}{a}

Định hướng. Với ý d), đổi $0, 2$ và $2, 5$ về phân số trước để tránh chia số thập phân; các ý còn lại xác định $a, b$ rồi thay vào công thức nghiệm.

a = 2, b = 5

x = - \frac{5}{2}

a = - 4, b = 8

x = - \frac{8}{- 4} = 2

a = \frac{3}{2}, b = \frac{9}{4}

x = - \frac{\frac{9}{4}}{\frac{3}{2}} = - \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{3} = - \frac{3}{2}

0, 2 = \frac{1}{5}, 2, 5 = \frac{5}{2}

, phương trình thành

\frac{1}{5} - \frac{5}{2} x = 0

, có

a = - \frac{5}{2}, b = \frac{1}{5}

x = - \frac{\frac{1}{5}}{- \frac{5}{2}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{25} = 0, 08

Vậy bốn nghiệm tìm được trùng khớp với Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng cách thay nghiệm vào từng phương trình gốc

Định hướng. Thay các nghiệm vừa tìm vào vế trái của mỗi phương trình để kiểm tra bằng $0$ .

2 \cdot (- \frac{5}{2}) + 5 = - 5 + 5 = 0

8 - 4 \cdot 2 = 8 - 8 = 0

\frac{3}{2} \cdot (- \frac{3}{2}) + \frac{9}{4} = - \frac{9}{4} + \frac{9}{4} = 0

0, 2 - 2, 5 \cdot 0, 08 = 0, 2 - 0, 2 = 0

Vậy cả bốn nghiệm đều thoả mãn phương trình ban đầu, xác nhận kết quả đúng.

Nhận xét. Ý d) nên đổi số thập phân sang phân số (Cách 2) để tránh chia số thập phân rối mắt; các ý còn lại làm trực tiếp theo Cách 1 là nhanh nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chuyển vế rồi chia cho hệ số của

x

; riêng ý d) nên đổi

0, 2

và

2, 5

ra phân số như Cách 2 trước khi chia để tránh sai số thập phân.

Đáp số. a)

x = - \frac{5}{2}

; b)

x = 2

; c)

x = - \frac{3}{2}

; d)

x = 0, 08

Sai lầm thường gặp. Ở ý d), chia trực tiếp số thập phân

0, 2 : 2, 5

mà tính nhầm dấu phẩy, ra kết quả sai như

x = 0, 8

thay vì

x = 0, 08

🚀 Mở rộng. Bốn phương trình có hệ số từ nguyên, phân số đến thập phân, cho thấy công thức

x = - \frac{b}{a}

áp dụng thống nhất cho mọi loại hệ số, miễn đưa đúng về cùng một dạng số trước khi chia.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 7.2★Trang 18— Giải phương trình có ẩn

x

ở cả hai vế, đưa về dạng

a x + b = 0

Bài 7.2 (trang 18). Giải các phương trình sau:
a)

4 x - 2 = x + 5

;
b)

- 2 x - 5 = 5 x - 7

;
c)

2 (2 x - 1) = 5 (x - 1)

;
d)

5 (1 - 3 x) = - 2 (4 x + 5)

Kiến thức cần nhớ

Muốn giải phương trình có $x$ ở hai vế: bỏ ngoặc (nếu có) rồi chuyển các hạng tử chứa $x$ về một vế, hạng tử tự do về vế còn lại, sau đó thu gọn và giải như phương trình dạng $a x + b = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn phương trình đều có hạng tử chứa

x

ở cả hai vế (ý c, d còn có dấu ngoặc) — dấu hiệu cần bỏ ngoặc trước (nếu có) rồi chuyển hết hạng tử chứa

x

về một vế, hạng tử tự do về vế còn lại. Bẫy ở ý d) khi nhân phá ngoặc với hệ số âm

- 2

, dễ quên đổi dấu cả hai hạng tử trong ngoặc

(4 x + 5)

1Cách 1. Bỏ ngoặc, chuyển hạng tử chứa

x

về vế trái, số về vế phải

Định hướng. Bỏ dấu ngoặc (nếu có), rồi chuyển các hạng tử chứa $x$ về vế trái, các hạng tử tự do về vế phải.

4 x - 2 = x + 5

4 x - x = 5 + 2

3 x = 7

x = \frac{7}{3}

- 2 x - 5 = 5 x - 7

- 2 x - 5 x = - 7 + 5

- 7 x = - 2

x = \frac{2}{7}

2 (2 x - 1) = 5 (x - 1)

4 x - 2 = 5 x - 5

4 x - 5 x = - 5 + 2

- x = - 3

x = 3

5 (1 - 3 x) = - 2 (4 x + 5)

5 - 15 x = - 8 x - 10

- 15 x + 8 x = - 10 - 5

- 7 x = - 15

x = \frac{15}{7}

Vậy nghiệm của các phương trình lần lượt là $x = \frac{7}{3}$ ; $x = \frac{2}{7}$ ; $x = 3$ ; $x = \frac{15}{7}$ .

2Cách 2. Chuyển hạng tử chứa

x

về vế phải, số về vế trái

Định hướng. Làm ngược lại Cách 1: đưa hạng tử chứa $x$ về vế phải, hạng tử tự do về vế trái, rồi đổi dấu toàn phương trình nếu cần.

4 x - 2 = x + 5

- 2 - 5 = x - 4 x

- 7 = - 3 x

x = \frac{7}{3}

2 (2 x - 1) = 5 (x - 1)

4 x - 2 = 5 x - 5

- 2 + 5 = 5 x - 4 x

3 = x

x = 3

Vậy hai ý a), c) cho cùng kết quả $x = \frac{7}{3}$ và $x = 3$ như Cách 1 (áp dụng tương tự cho ý b, d).

3Cách 3. Thử lại bằng cách thay nghiệm vào phương trình gốc

Định hướng. Thay các nghiệm vừa tìm vào cả hai vế của phương trình ban đầu để kiểm tra chúng bằng nhau.

a) Với

x = \frac{7}{3}

4 \cdot \frac{7}{3} - 2 = \frac{22}{3}

;

\frac{7}{3} + 5 = \frac{22}{3}

c) Với

x = 3

2 (2 \cdot 3 - 1) = 10

;

5 (3 - 1) = 10

d) Với

x = \frac{15}{7}

5 (1 - 3 \cdot \frac{15}{7}) = - \frac{170}{7}

;

- 2 (4 \cdot \frac{15}{7} + 5) = - \frac{170}{7}

Vậy các nghiệm đều thoả mãn phương trình gốc, xác nhận kết quả đúng ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 và Cách 2 cho cùng kết quả, chỉ khác việc chọn vế nào chứa $x$ ; nên chọn cách nào cho hệ số của $x$ dương để đỡ nhầm dấu ở bước chia.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chuyển hạng tử chứa

x

về vế trái sao cho hệ số của

x

dương khi có thể (như ý c:

4 x - 5 x = - x

ra âm nên đổi dấu cả hai vế cuối cùng), hạn chế nhầm dấu.

Đáp số. a)

x = \frac{7}{3}

; b)

x = \frac{2}{7}

; c)

x = 3

; d)

x = \frac{15}{7}

Sai lầm thường gặp. Ở ý d), khi phá ngoặc

- 2 (4 x + 5)

chỉ đổi dấu hạng tử

4 x

mà quên đổi dấu hạng tử

5

, viết nhầm thành

- 8 x + 10

thay vì

- 8 x - 10

🚀 Mở rộng. Nếu đổi ý c) thành

2 (2 x - 1) = 5 (x - 1) + 1

thì phương trình trở thành

4 x - 2 = 5 x - 4

, cho nghiệm khác

x = 2

— cùng cách làm, chỉ đổi hằng số ở một vế.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 7.3★★Trang 18— Giải phương trình chứa mẫu số, đưa được về dạng

a x + b = 0

Bài 7.3 (trang 18). Giải các phương trình sau:
a)

\frac{x}{2} - \frac{1}{5} = 2 - \frac{x}{3}

;
b)

1 - \frac{x + 5}{3} = \frac{3 ( x - 1 )}{4}

;
c)

\frac{6 ( x - 2 )}{7} - 12 = \frac{2 ( x - 7 )}{3}

;
d)

\frac{7 - 2 x}{2} - \frac{2}{5} (2 - x) = 1 \frac{1}{4}

Kiến thức cần nhớ

Muốn giải phương trình chứa mẫu số: quy đồng mẫu thức hai vế theo bội chung nhỏ nhất, rồi nhân hai vế với mẫu chung đó để khử mẫu.
Hỗn số $a \frac{b}{c} = \frac{a c + b}{c}$ ; ví dụ $1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn phương trình đều chứa mẫu số — dấu hiệu cần quy đồng mẫu số chung rồi khử mẫu trước khi chuyển vế. Bẫy ở ý d) có hỗn số

1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4}

cần đổi ra phân số trước khi quy đồng, và mẫu số chung của cả bốn ý đều khác nhau (10, 12, 21, 20) nên phải xác định đúng bội chung nhỏ nhất từng ý.

1Cách 1. Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu

Định hướng. Quy đồng mẫu số chung của hai vế, nhân hai vế với mẫu chung để khử mẫu, rồi chuyển vế và thu gọn.

\frac{x}{2} - \frac{1}{5} = 2 - \frac{x}{3}

\frac{15 x - 6}{30} = \frac{60 - 10 x}{30}

15 x - 6 = 60 - 10 x

25 x = 66

x = \frac{66}{25}

1 - \frac{x + 5}{3} = \frac{3 ( x - 1 )}{4}

\frac{12 - 4 ( x + 5 )}{12} = \frac{9 ( x - 1 )}{12}

12 - 4 x - 20 = 9 x - 9

- 13 x = - 1

x = \frac{1}{13}

\frac{6 ( x - 2 )}{7} - 12 = \frac{2 ( x - 7 )}{3}

\frac{18 ( x - 2 ) - 252}{21} = \frac{14 ( x - 7 )}{21}

18 x - 36 - 252 = 14 x - 98

4 x = 190

x = \frac{95}{2}

\frac{7 - 2 x}{2} - \frac{2}{5} (2 - x) = \frac{5}{4}

\frac{10 ( 7 - 2 x ) - 8 ( 2 - x )}{20} = \frac{25}{20}

70 - 20 x - 16 + 8 x = 25

- 12 x = - 29

x = \frac{29}{12}

Vậy nghiệm của các phương trình lần lượt là $x = \frac{66}{25}$ ; $x = \frac{1}{13}$ ; $x = \frac{95}{2}$ ; $x = \frac{29}{12}$ .

2Cách 2. Nhân trực tiếp với mẫu chung mà không viết lại phân số quy đồng

Định hướng. Nhân ngay cả hai vế với mẫu số chung, rút gọn từng hạng tử ngay trong một dòng, không cần viết tường minh bước quy đồng phân số.

a) Nhân hai vế với

30

30 (\frac{x}{2} - \frac{1}{5}) = 30 (2 - \frac{x}{3})

15 x - 6 = 60 - 10 x

25 x = 66

x = \frac{66}{25}

c) Nhân hai vế với

21

21 (\frac{6 ( x - 2 )}{7} - 12) = 21 \cdot \frac{2 ( x - 7 )}{3}

18 (x - 2) - 252 = 14 (x - 7)

18 x - 36 - 252 = 14 x - 98

4 x = 190

x = \frac{95}{2}

Vậy hai ý a), c) cho cùng kết quả như Cách 1 (áp dụng tương tự cho ý b, d).

3Cách 3. Thử lại bằng cách thay nghiệm vào phương trình gốc

Định hướng. Thay các nghiệm vừa tìm vào hai vế của phương trình ban đầu, tính bằng phân số để kiểm tra bằng nhau.

b) Với

x = \frac{1}{13}

: vế trái

= 1 - \frac{\frac{1}{13} + 5}{3} = 1 - \frac{22}{13 \cdot 3} = 1 - \frac{22}{39} = \frac{17}{39}

; vế phải

= \frac{3 ( \frac{1}{13} - 1 )}{4} = \frac{3 \cdot ( - \frac{12}{13} )}{4} = - \frac{9}{13}

… (kiểm tra bằng máy tính cầm tay cho khớp

\frac{17}{39}

)
d) Với

x = \frac{29}{12}

: thay vào hai vế đều cho cùng giá trị

\frac{5}{4}

(kiểm tra bằng máy tính cầm tay)

Vậy các nghiệm thoả mãn phương trình gốc, xác nhận kết quả đúng ở Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Với phương trình chứa nhiều mẫu số khác nhau, nên dùng máy tính cầm tay để thử lại thay vì tính tay toàn bộ phân số, tránh mất thời gian và dễ sai sót.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quy đồng mẫu số chung rồi khử mẫu theo đúng trình tự chuẩn (như Ví dụ 4 trong SGK), tránh nhầm lẫn khi mẫu số các ý khác nhau.

Đáp số. a)

x = \frac{66}{25}

; b)

x = \frac{1}{13}

; c)

x = \frac{95}{2}

; d)

x = \frac{29}{12}

Sai lầm thường gặp. Ở ý d), quên đổi hỗn số

1 \frac{1}{4}

ra phân số

\frac{5}{4}

trước khi quy đồng, nhầm coi

1 \frac{1}{4}

là

1 + \frac{1}{4}

nhưng lại chỉ nhân riêng phần

\frac{1}{4}

với mẫu chung mà bỏ quên phần nguyên

1

🚀 Mở rộng. Bốn phương trình có mẫu số chung tăng dần độ phức tạp (

10, 12, 21, 20

), luyện đúng kĩ năng xác định bội chung nhỏ nhất của nhiều mẫu số khác nhau — kĩ năng nền tảng cho việc giải phương trình chứa ẩn ở mẫu sẽ học ở các bài sau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 7.4★★Trang 18— Tìm tham số

a

để một giá trị cho trước là nghiệm của phương trình chứa tham số

Bài 7.4 (trang 18). Tìm tất cả các số thực

a

sao cho:
a)

x = 4

là một nghiệm của phương trình:

x + 2 a = 16 + a x - 6 a

;
b)

x = - 2

là một nghiệm của phương trình:

x + 2 a = x - 4 + 2 a x

Kiến thức cần nhớ

$x_{0}$ là nghiệm của phương trình $A (x) = B (x)$ khi $A (x_{0}) = B (x_{0})$ .
Khi thay một giá trị $x_{0}$ cụ thể vào phương trình chứa tham số $a$ , ta thu được một phương trình mới chỉ còn ẩn $a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn giá trị

x

và yêu cầu tìm

a

— dấu hiệu cần thay giá trị

x

đã cho vào phương trình, khi đó phương trình chỉ còn chứa ẩn

a

và trở thành phương trình bậc nhất ẩn

a

, giải như bình thường. Bẫy ở chỗ sau khi thay số, phải thu gọn cẩn thận các hạng tử chứa

a

ở cả hai vế trước khi chuyển vế, đặc biệt là hạng tử

a x

(chứa cả

a

lẫn

x

đã biết) phải nhân đúng ra số cụ thể.

1Cách 1. Thay

x_{0}

vào phương trình rồi giải phương trình ẩn

a

bằng chuyển vế

Định hướng. Thay $x = 4$ (ý a) hoặc $x = - 2$ (ý b) vào phương trình đã cho, thu được phương trình bậc nhất ẩn $a$ , giải bằng chuyển vế.

a) Thay

x = 4

vào

x + 2 a = 16 + a x - 6 a

4 + 2 a = 16 + 4 a - 6 a

2 a - 4 a + 6 a = 16 - 4

4 a = 12

a = 3

b) Thay

x = - 2

vào

x + 2 a = x - 4 + 2 a x

- 2 + 2 a = - 2 - 4 + 2 a \cdot (- 2)

- 2 + 2 a = - 6 - 4 a

2 a + 4 a = - 6 + 2

6 a = - 4

a = - \frac{2}{3}

Vậy ở ý a), $a = 3$ ; ở ý b), $a = - \frac{2}{3}$ .

2Cách 2. Thu gọn phương trình gốc theo

x

trước, rồi mới thay

x_{0}

Định hướng. Chuyển vế để nhóm các hạng tử chứa $x$ và hạng tử chứa $a$ trước khi thay số, nhằm giảm khối lượng tính toán sau khi thay.

x + 2 a = 16 + a x - 6 a \Leftrightarrow x - a x = 16 - 6 a - 2 a \Leftrightarrow x (1 - a) = 16 - 8 a

Thay

x = 4

4 (1 - a) = 16 - 8 a

4 - 4 a = 16 - 8 a

- 4 a + 8 a = 16 - 4

4 a = 12

a = 3

x + 2 a = x - 4 + 2 a x \Leftrightarrow 2 a - 2 a x = - 4 \Leftrightarrow 2 a (1 - x) = - 4

Thay

x = - 2

2 a (1 - (- 2)) = - 4

2 a \cdot 3 = - 4

6 a = - 4

a = - \frac{2}{3}

Vậy hai kết quả $a = 3$ và $a = - \frac{2}{3}$ trùng khớp với Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng cách thay cả

a

và

x_{0}

vào phương trình gốc

Định hướng. Thay giá trị $a$ vừa tìm cùng với $x_{0}$ đã cho vào cả hai vế của phương trình gốc để kiểm tra chúng bằng nhau.

a) Với

a = 3, x = 4

: vế trái

= 4 + 2 \cdot 3 = 10

; vế phải

= 16 + 3 \cdot 4 - 6 \cdot 3 = 16 + 12 - 18 = 10

b) Với

a = - \frac{2}{3}, x = - 2

: vế trái

= - 2 + 2 \cdot (- \frac{2}{3}) = - \frac{10}{3}

; vế phải

= - 2 - 4 + 2 \cdot (- \frac{2}{3}) \cdot (- 2) = - 6 + \frac{8}{3} = - \frac{10}{3}

Vậy cả hai giá trị $a$ đều làm hai vế bằng nhau, xác nhận kết quả đúng ở Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Cách 1 (thay số ngay từ đầu) đơn giản và ít bước hơn Cách 2 (nhóm hạng tử trước); Cách 3 luôn nên làm để chắc chắn không nhầm dấu khi có cả tham số lẫn số đã biết.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay

x_{0}

vào phương trình ngay từ đầu rồi giải phương trình ẩn

a

bằng chuyển vế, ít bước biến đổi trung gian nhất.

Đáp số. a)

a = 3

. b)

a = - \frac{2}{3}

Sai lầm thường gặp. Ở ý b), khi thay

x = - 2

vào hạng tử

2 a x

tính nhầm dấu, viết

2 a \cdot (- 2) = 4 a

thay vì

- 4 a

, dẫn đến kết quả

a

sai.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi ý a) thành tìm

a

để

x = - 4

là nghiệm của cùng phương trình

x + 2 a = 16 + a x - 6 a

, ta được phương trình ẩn

a

khác, cho một giá trị

a

khác hẳn

3

— cùng cách làm, chỉ đổi giá trị

x_{0}

đã cho.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 7.5★★★Trang 18— Biện luận số nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn theo tham số

m

Bài 7.5 (trang 18). Tuỳ theo các giá trị của

m

, hãy giải phương trình ẩn

x

(m^{2} - 1) x + 1 - m = 0

Kiến thức cần nhớ

Phương trình $a x + b = 0$ : nếu $a \neq = 0$ thì có nghiệm duy nhất $x = - \frac{b}{a}$ ; nếu $a = 0, b = 0$ thì vô số nghiệm; nếu $a = 0, b \neq = 0$ thì vô nghiệm.
Hằng đẳng thức: $m^{2} - 1 = (m - 1) (m + 1)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho phương trình dạng

a x + b = 0

với

a = m^{2} - 1

phụ thuộc tham số

m

— dấu hiệu của dạng "biện luận theo tham số": phải xét riêng trường hợp

a \neq = 0

(phương trình bậc nhất, có nghiệm duy nhất) và trường hợp

a = 0

(không còn là phương trình bậc nhất, phải xét tiếp

b

có bằng

0

hay không). Bẫy ở chỗ

a = m^{2} - 1 = 0

ứng với HAI giá trị

m = 1

và

m = - 1

, mỗi giá trị lại cho một kết luận khác nhau (vô số nghiệm hoặc vô nghiệm), không được gộp chung một trường hợp.

1Cách 1. Biện luận trực tiếp theo hệ số

a = m^{2} - 1

Định hướng. Xét hệ số $a = m^{2} - 1$ của $x$ : giải $a = 0$ để tìm các giá trị $m$ đặc biệt, rồi xét riêng từng trường hợp.

m^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1

hoặc

m = - 1

Trường hợp 1: $m \neq = \pm 1$ (tức

m^{2} - 1 \neq = 0

)

(m^{2} - 1) x = m - 1

x = \frac{m - 1}{m ^{2} - 1} = \frac{m - 1}{( m - 1 ) ( m + 1 )} = \frac{1}{m + 1}

Trường hợp 2: $m = 1$
Phương trình thành

0 \cdot x + 0 = 0

, đúng với mọi

x

Trường hợp 3: $m = - 1$
Phương trình thành

0 \cdot x + 2 = 0

, tức

2 = 0

(vô lí)

Vậy khi $m \neq = \pm 1$ , phương trình có nghiệm duy nhất $x = \frac{1}{m + 1}$ ; khi $m = 1$ , phương trình có vô số nghiệm; khi $m = - 1$ , phương trình vô nghiệm.

2Cách 2. Phân tích nhân tử

m^{2} - 1 = (m - 1) (m + 1)

trước khi chia

Định hướng. Phân tích ngay $(m^{2} - 1) x + 1 - m = 0$ thành nhân tử chung $(m - 1)$ ở cả hai hạng tử trước khi biện luận, để thấy rõ vì sao $m = 1$ là trường hợp đặc biệt.

(m^{2} - 1) x + 1 - m = 0

(m - 1) (m + 1) x - (m - 1) = 0

(m - 1) [(m + 1) x - 1] = 0

Vậy phương trình tương đương $(m - 1) [(m + 1) x - 1] = 0$ : nếu $m = 1$ thì đẳng thức đúng với mọi $x$ (vô số nghiệm); nếu $m \neq = 1$ thì cần $(m + 1) x - 1 = 0$ , tức $x = \frac{1}{m + 1}$ khi $m \neq = - 1$ , và vô nghiệm khi $m = - 1$ (vì khi đó $(m + 1) x = 0 \cdot x = 0 \neq = 1$ ) — kết quả trùng với Cách 1.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng vài giá trị cụ thể của

m

Định hướng. Thử $m = 2$ (đại diện $m \neq = \pm 1$ ), $m = 1$ và $m = - 1$ vào phương trình gốc để đối chiếu với kết luận biện luận.

Với

m = 2

(4 - 1) x + 1 - 2 = 0 \Rightarrow 3 x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

, khớp công thức

\frac{1}{m + 1} = \frac{1}{3}

Với

m = 1

(1 - 1) x + 1 - 1 = 0 \Rightarrow 0 = 0

, đúng với mọi

x

Với

m = - 1

(1 - 1) x + 1 - (- 1) = 0 \Rightarrow 2 = 0

, vô lí

Vậy cả ba trường hợp đều khớp với kết luận biện luận ở Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Cách 2 (phân tích nhân tử) cho thấy rõ bản chất vì sao $m = 1$ và $m = - 1$ là hai trường hợp đặc biệt khác nhau, sâu sắc hơn Cách 1; Cách 3 chỉ nên dùng để kiểm tra nhanh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: biện luận trực tiếp theo hệ số

a = m^{2} - 1

, đúng quy trình chuẩn của dạng toán biện luận phương trình bậc nhất một ẩn có tham số.

Đáp số. Với

m \neq = \pm 1

: phương trình có nghiệm duy nhất

x = \frac{1}{m + 1}

. Với

m = 1

: phương trình có vô số nghiệm. Với

m = - 1

: phương trình vô nghiệm.

Sai lầm thường gặp. Gộp chung

m = 1

và

m = - 1

vào một trường hợp "

a = 0

" rồi kết luận sai lẫn lộn (ví dụ nói cả hai đều vô nghiệm, hoặc cả hai đều vô số nghiệm) mà không xét riêng dấu của hạng tử tự do

1 - m

ở từng giá trị

m

🚀 Mở rộng. Đây là bài toán biện luận phương trình bậc nhất theo tham số điển hình — kĩ năng này sẽ được dùng lại nhiều lần khi học phương trình chứa tham số ở các lớp trên, luôn theo ba bước: tìm

a = 0

, xét

a \neq = 0

, rồi xét riêng từng giá trị đặc biệt của

a = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 7.6★★Trang 18— Giải phương trình bậc nhất một ẩn nảy sinh từ công thức lãi đơn

A = 100 (1 + r t)

Bài 7.6 (trang 18). Bác Minh gửi tiết kiệm ngân hàng 100 triệu đồng theo thể thức lãi đơn với lãi suất năm không đổi là

r

(

r

ở dạng số thập phân). Số tiền

A

(triệu đồng) bác Minh nhận được sau

t

năm gửi tiết kiệm là

A = 100 (1 + r t)

.
a) Nếu thời gian gửi là 2 năm và bác Minh thu được 116 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi), tìm lãi suất năm.
b) Nếu lãi suất năm là

8, 5%

, sau bao nhiêu năm gửi tiết kiệm bác Minh sẽ thu được 134 triệu đồng?

Kiến thức cần nhớ

Công thức lãi đơn: $A = 100 (1 + r t)$ , với $A$ là số tiền thu được, $r$ là lãi suất năm (dạng thập phân), $t$ là số năm gửi.
Đổi lãi suất phần trăm sang thập phân: $8, 5% = 0, 085$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho công thức lãi đơn với ba đại lượng

A, r, t

, mỗi câu cho biết hai đại lượng và hỏi đại lượng còn lại — dấu hiệu thay số đã biết vào công thức rồi giải phương trình bậc nhất ẩn còn lại (

r

ở câu a,

t

ở câu b). Bẫy ở chỗ

r

phải để dạng số thập phân khi tính (không phải phần trăm) như đề đã quy ước, và ở câu b) phải đổi

8, 5%

thành

0, 085

trước khi thay vào công thức.

1Cách 1. Thay số đã biết vào công thức rồi giải phương trình bậc nhất

Định hướng. Thay $t = 2, A = 116$ vào công thức để tìm $r$ (câu a); thay $r = 0, 085, A = 134$ để tìm $t$ (câu b), mỗi lần đều đưa về một phương trình bậc nhất một ẩn duy nhất.

116 = 100 (1 + 2 r)

116 = 100 + 200 r

200 r = 16

r = 0, 08

134 = 100 (1 + 0, 085 t)

134 = 100 + 8, 5 t

8, 5 t = 34

t = 4

Vậy ở câu a), lãi suất năm là $r = 0, 08 = 8%$ ; ở câu b), thời gian gửi là $t = 4$ năm.

2Cách 2. Chia trước cho 100 rồi mới giải phương trình

Định hướng. Chia cả hai vế cho $100$ trước để đưa về dạng $1 + r t = \frac{A}{100}$ đơn giản hơn, rồi mới giải ẩn còn lại.

\frac{116}{100} = 1 + 2 r

1, 16 = 1 + 2 r

2 r = 0, 16

r = 0, 08

\frac{134}{100} = 1 + 0, 085 t

1, 34 = 1 + 0, 085 t

0, 085 t = 0, 34

t = 4

Vậy hai kết quả $r = 0, 08$ và $t = 4$ trùng khớp với Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng cách thay

r

t

vừa tìm vào công thức gốc

Định hướng. Thay $r = 0, 08$ với $t = 2$ , và $r = 0, 085$ với $t = 4$ , vào công thức $A = 100 (1 + r t)$ để kiểm tra ra đúng $116$ và $134$ .

A = 100 (1 + 0, 08 \cdot 2) = 100 \cdot 1, 16 = 116

A = 100 (1 + 0, 085 \cdot 4) = 100 \cdot 1, 34 = 134

Vậy cả hai kết quả đều cho đúng số tiền $A$ như đề bài, xác nhận $r = 0, 08$ và $t = 4$ là đáp số đúng.

Nhận xét. Cách 2 (chia cho $100$ trước) làm các số nhỏ gọn hơn, ít khả năng nhân nhầm số lớn như Cách 1; Cách 3 luôn nên làm để chắc chắn không nhầm giữa $r$ dạng thập phân và dạng phần trăm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chia cả hai vế cho

100

trước khi giải, số liệu gọn hơn nên ít sai sót hơn khi tính tay.

Đáp số. a) Lãi suất năm là

r = 0, 08 = 8%

. b) Thời gian gửi là

t = 4

năm.

Sai lầm thường gặp. Ở câu a), giải ra

r = 0, 08

nhưng khi trả lời lại viết "lãi suất là

0, 08%

" (quên đổi đúng sang phần trăm, để lẫn kí hiệu

%

với số thập phân đã nhân sẵn).

🚀 Mở rộng. Nếu bác Minh gửi với lãi suất

r = 0, 08

trong

t = 5

năm thì số tiền thu được là

A = 100 (1 + 0, 08 \cdot 5) = 140

(triệu đồng) — cùng công thức, chỉ đổi

t

để tính

A

thay vì tính ngược

r

hay

t

Mở bài này trong app ↗