Bài 25. Phương trình bậc nhất một ẩn

Định hướng. Lãi suất $x$ là tỉ lệ giữa tiền lãi và vốn gửi trong 1 năm, nên tiền lãi bằng vốn nhân với lãi suất.

Vậy biểu thức số tiền lãi bác An nhận được sau 1 năm là $150x$ (triệu đồng).

Định hướng. Thay $x$ bằng một lãi suất quen thuộc, chẳng hạn $5\%=0,05$, để kiểm chứng công thức vừa viết.

Vậy $5\%$ của $150$ triệu đồng đúng bằng $7,5$ triệu đồng, khớp với biểu thức $150x$, xác nhận công thức Cách 1 là đúng.

Định hướng. Số tiền thu về bằng vốn ban đầu cộng tiền lãi (đã tính ở HĐ1), cho tổng đó bằng 159.

Vậy hệ thức cần tìm là $150+150x=159$.

Định hướng. Thử một lãi suất hợp lí (khoảng vài phần trăm) để kiểm tra hệ thức vừa lập có phản ánh đúng bài toán không.

Vậy hệ thức $150+150x=159$ cho đúng $159$ khi $x=0,06$, xác nhận hệ thức lập đúng theo dữ kiện đề bài.

Định hướng. Thay $x=-2$ và $x=1$ lần lượt vào vế trái $2x+9$ và vế phải $3-x$, so sánh hai kết quả.

Vậy với $x=-2$ hai vế cùng bằng $5$ nên $x=-2$ là nghiệm của (1); với $x=1$ hai vế lần lượt là $11$ và $2$, không bằng nhau nên $x=1$ không là nghiệm của (1).

Định hướng. $x_0$ là nghiệm khi và chỉ khi $(2x+9)-(3-x)=0$ tại $x_0$; xét hiệu là một cách kiểm tra khác không cần tính riêng từng vế.

Vậy hiệu hai vế bằng $0$ tại $x=-2$ nên $x=-2$ là nghiệm; hiệu khác $0$ tại $x=1$ nên $x=1$ không là nghiệm — khớp với Cách 1.

Định hướng. Giải hẳn phương trình (1) để tìm nghiệm duy nhất, rồi so sánh nghiệm đó với $-2$ và $1$.

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất $x=-2$, nên $x=-2$ là nghiệm còn $x=1$ không là nghiệm, đúng như hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 tốn công hơn vì phải giải cả phương trình, trong khi đề chỉ hỏi kiểm tra — Cách 1 gọn và bám sát đúng yêu cầu đề nhất.

Định hướng. Chọn phương trình đơn giản $3x-1=5$, thay $x=2$ vào từng vế rồi so sánh.

Vậy hai vế cùng bằng $5$ khi $x=2$ nên $x=2$ là nghiệm của phương trình $3x-1=5$.

Định hướng. Giải phương trình $3x-1=5$ để tìm nghiệm duy nhất của nó rồi so sánh với $2$.

Vậy phương trình $3x-1=5$ có nghiệm duy nhất $x=2$, đúng bằng giá trị cần kiểm tra, khẳng định lại kết luận ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 nhanh hơn vì chỉ cần thử một lần; Cách 2 chắc chắn hơn vì tìm ra toàn bộ nghiệm, không chỉ đúng cho riêng giá trị $2$.

Định hướng. Viết lại từng phương trình theo dạng $ax+b=0$, chỉ ra $a$ và kiểm tra $a\ne 0$.

Vậy a), b), d) là phương trình bậc nhất một ẩn; c) không phải vì $a=0$.

Định hướng. Chỉ cần chỉ ra lí do vi phạm định nghĩa (nếu có) để loại, còn lại đều là bậc nhất.

Vậy các phương trình bậc nhất một ẩn là a), b), d); duy nhất c) bị loại.

Nhận xét. Ý d) tuy $b=0$ (không có hạng tử tự do hiện rõ) vẫn là phương trình bậc nhất, vì định nghĩa chỉ đòi hỏi $a\ne 0$, không đòi hỏi $b\ne 0$.

Định hướng. Chuyển $-6$ sang vế phải (đổi dấu thành $6$), rồi nhân cả hai vế với $\frac{1}{2}$ để hệ số của $x$ còn lại là $1$.

Vậy nghiệm của phương trình (2) là $x=3$.

Định hướng. Thay $x=3$ vào vế trái của phương trình (2) để xác nhận vế trái bằng vế phải (bằng $0$).

Vậy $x=3$ thoả mãn phương trình (2), xác nhận đúng nghiệm tìm được ở Cách 1.

Định hướng. Chuyển hạng tử tự do sang vế phải, rồi chia cả hai vế cho hệ số của $x$.

Vậy nghiệm của phương trình a) là $x=\frac{5}{2}$; nghiệm của phương trình b) là $x=10$.

Định hướng. Xác định $a,b$ của từng phương trình rồi thay trực tiếp vào công thức nghiệm $x=-\frac{b}{a}$.

Vậy hai nghiệm tìm được là $x=\frac{5}{2}$ và $x=10$, trùng khớp với Cách 1.

Định hướng. Thay các nghiệm vừa tìm vào vế trái của từng phương trình để kiểm tra vế trái bằng $0$.

Vậy cả hai nghiệm đều thoả mãn phương trình ban đầu, xác nhận kết quả ở Cách 1 và Cách 2 là đúng.

Nhận xét. Cách 1 và Cách 2 bản chất là một quy trình, chỉ khác cách trình bày; nên kết hợp Cách 1 khi làm bài và Cách 3 để tự kiểm tra lại kết quả.

Định hướng. Chuyển $150$ sang vế phải, rồi chia cả hai vế cho hệ số $150$ của $x$ để tìm $x$.

Vậy $x=0,06$, tức lãi suất gửi tiết kiệm của bác An là $0,06=6\%$ một năm.

Định hướng. Đưa phương trình về dạng $ax+b=0$ rồi thay trực tiếp vào công thức nghiệm.

Vậy $x=0,06=6\%$, trùng với kết quả Cách 1.

Định hướng. Số tiền lãi thực tế bằng hiệu giữa số tiền thu được và vốn gửi; lãi suất chính là tỉ số giữa tiền lãi và vốn gửi, không cần lập lại toàn bộ phương trình.

Vậy lãi suất gửi tiết kiệm của bác An là $6\%$ một năm, khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 đi tắt qua bản chất bài toán (tỉ số lãi trên vốn) nên nhanh nhất, nhưng Cách 1 mới đúng đúng trọng tâm bài học là giải phương trình vừa lập.

Định hướng. Thay $x=\frac{11}{2}$ (của Vuông) và $x=3$ (của Tròn) vào phương trình $2x+5=16$, xem vế trái có bằng $16$ không.

Vậy $x=\frac{11}{2}$ (kết quả của Vuông) thoả mãn phương trình gốc nên Vuông giải đúng; $x=3$ (kết quả của Tròn) không thoả mãn nên Tròn giải sai.

Định hướng. Đối chiếu bước $\frac{2x}{2}+5=\frac{16}{2}$ với quy tắc chia hai vế: phải chia TOÀN BỘ vế trái $2x+5$ cho $2$, chứ không chỉ chia riêng hạng tử $2x$.

Vậy Tròn sai ngay từ bước chia hai vế cho $2$: chỉ chia riêng hạng tử $2x$ mà bỏ sót hạng tử $5$, vi phạm quy tắc nhân (chia) phải áp dụng cho toàn bộ mỗi vế.

Định hướng. Giải lại phương trình từ đầu theo đúng hai quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân, không phụ thuộc vào lời giải của hai bạn.

Vậy nghiệm đúng của phương trình là $x=\frac{11}{2}$, trùng với lời giải của Vuông; do đó Vuông đúng, Tròn sai.

Nhận xét. Cách 3 trùng đúng lời giải của Vuông cho thấy Vuông đã áp dụng đúng quy tắc chuyển vế; Cách 1 và Cách 2 giải thích thêm vì sao lời giải của Tròn cụ thể sai ở đâu.

Định hướng. Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc (ý a) hoặc quy đồng mẫu (ý b), sau đó chuyển các hạng tử chứa $x$ sang vế trái, hạng tử tự do sang vế phải, rồi thu gọn.

Vậy nghiệm của phương trình a) là $x=\frac{5}{6}$; nghiệm của phương trình b) là $x=\frac{51}{35}$.

Định hướng. Đưa tất cả các hạng tử chứa $x$ về một vế ngay từ khi còn dấu ngoặc/mẫu, tránh phải nhân phá hết ra rồi mới gom lại.

Vậy hai nghiệm tìm được vẫn là $x=\frac{5}{6}$ và $x=\frac{51}{35}$, trùng khớp với Cách 1.

Định hướng. Thay các nghiệm vừa tìm vào cả hai vế của phương trình ban đầu để kiểm tra chúng bằng nhau.

Vậy cả hai nghiệm đều thoả mãn phương trình gốc, xác nhận kết quả đúng ở Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Cách 1 bám sát đúng thứ tự SGK (bỏ ngoặc/quy đồng → chuyển vế → thu gọn) nên dùng khi trình bày bài làm; Cách 3 chỉ nên dùng để tự kiểm tra lại kết quả.

Định hướng. Số tiền của Lan là $5x+50$, số tiền của Hương là $3x+74$; cho hai biểu thức này bằng nhau rồi giải.

Vậy phương trình cần lập là $5x+50=3x+74$, và giá tiền mỗi quyển vở là $12$ nghìn đồng.

Định hướng. Lan mua nhiều hơn Hương $5-3=2$ quyển vở nhưng lại trả ít tiền sách hơn Hương $74-50=24$ nghìn đồng; vì tổng tiền bằng nhau nên $2$ quyển vở chênh lệch đó đúng bằng $24$ nghìn đồng.

Vậy giá tiền mỗi quyển vở là $12$ nghìn đồng, trùng với kết quả Cách 1.

Định hướng. Thay $x=12$ vào biểu thức số tiền của Lan và của Hương để kiểm tra hai số đó có bằng nhau không.

Vậy cả hai bạn cùng trả $110$ nghìn đồng, xác nhận $x=12$ là đáp số đúng.

Nhận xét. Cách 2 đi thẳng vào bản chất phần chênh lệch nên tính nhanh hơn, nhưng Cách 1 bám đúng yêu cầu đề (lập phương trình rồi giải) nên trình bày làm lời giải chính.

Định hướng. Viết lại mỗi phương trình về đúng dạng $ax+b=0$, chỉ ra hệ số $a$ và kiểm tra $a\ne 0$.

Vậy các phương trình bậc nhất một ẩn là a), c), d); phương trình b) không phải vì $a=0$.

Định hướng. Phương trình nào có hệ số của $x$ triệt tiêu (không còn chứa $x$ thực sự) thì loại, còn lại xét theo định nghĩa.

Vậy a), c), d) là phương trình bậc nhất một ẩn; b) không phải.

Nhận xét. Ý d) $3x=0$ tuy không có hạng tử tự do hiện rõ vẫn là phương trình bậc nhất một ẩn, vì $b=0$ vẫn thoả mãn dạng $ax+b=0$.

Định hướng. Chuyển hạng tử tự do sang vế phải, rồi chia cả hai vế cho hệ số của $x$.

Vậy nghiệm của các phương trình lần lượt là $x=\frac{4}{5}$; $x=-\frac{3}{2}$; $x=\frac{7}{5}$; $x=-\frac{9}{10}$.

Định hướng. Xác định $a,b$ ở mỗi phương trình rồi thay trực tiếp vào công thức nghiệm tổng quát.

Vậy bốn nghiệm tìm được trùng khớp với Cách 1.

Định hướng. Thay các nghiệm vừa tìm vào vế trái của mỗi phương trình để kiểm tra bằng $0$.

Vậy cả bốn nghiệm đều thoả mãn phương trình ban đầu, xác nhận kết quả đúng.

Nhận xét. Ý d) có hệ số phân số nên dễ sai nhất — thử lại bằng Cách 3 là bước nên làm để chắc chắn không nhầm dấu hay nhầm nghịch đảo.

Định hướng. Bỏ dấu ngoặc ở ý a), quy đồng mẫu ở ý b), rồi chuyển các hạng tử chứa $x$ về một vế, hạng tử tự do về vế còn lại.

Vậy phương trình a) trở thành $0x=-7$, không có giá trị $x$ nào thoả mãn nên phương trình a) vô nghiệm; nghiệm của phương trình b) là $x=\frac{79}{33}$.

Định hướng. Đưa toàn bộ phương trình về một vế bằng $0$ trước, giữ nguyên các dấu ngoặc/mẫu, rồi mới khai triển.

Vậy ý a) cho $7=0$ (sai với mọi $x$) nên phương trình a) vô nghiệm; ý b) cho nghiệm $x=\frac{79}{33}$, trùng khớp với Cách 1.

Định hướng. Với ý a), thử một vài giá trị $x$ bất kì vào phương trình gốc để kiểm chứng kết luận vô nghiệm; với ý b), thay nghiệm $x=\frac{79}{33}$ vào để kiểm tra.

Vậy ý a) luôn có vế trái nhỏ hơn vế phải đúng $7$ đơn vị với mọi $x$, xác nhận vô nghiệm; ý b) có nghiệm đúng $x=\frac{79}{33}$.

Nhận xét. Khi thu gọn được dạng $0x=c$ với $c\ne 0$, không cần thử thêm — đó là dấu hiệu chắc chắn của phương trình vô nghiệm.

Định hướng. Thay $C=10$ vào công thức, nhân hai vế với $9$ để khử mẫu, rồi giải phương trình bậc nhất ẩn $F$.

Vậy $10{}^{\circ }C$ tương ứng với $50{}^{\circ }F$.

Định hướng. Chia cả hai vế cho $\frac{5}{9}$ (tức nhân với $\frac{9}{5}$) để đưa về $F-32$ trước, rồi cộng $32$.

Vậy $F=50$, trùng khớp với Cách 1.

Định hướng. Từ công thức $C=\frac{5}{9}(F-32)$ suy ra công thức tính ngược $F$ theo $C$ là $F=\frac{9}{5}C+32$, rồi thay $C=10$ vào áp dụng thẳng.

Vậy $F=50$, xác nhận lại kết quả của Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Cách 3 nhanh nhất khi đã biết sẵn công thức ngược, nhưng Cách 1 là cách làm trực tiếp từ công thức gốc đề bài cho, không cần nhớ thêm công thức nào khác.

Định hướng. Tuổi bố hiện nay là $3x$; sau 10 năm tuổi Nam là $x+10$, tuổi bố là $3x+10$; tổng hai tuổi đó bằng $76$.

Vậy tuổi bố hiện nay là $3x$; phương trình cần lập là $(x+10)+(3x+10)=76$; giải ra $x=14$, tức Nam hiện nay $14$ tuổi, bố hiện nay $3\cdot 14=42$ tuổi.

Định hướng. Tổng tuổi hai người sau 10 năm là $76$, mà mỗi người tăng thêm $10$ tuổi nên tổng tuổi hiện nay ít hơn $76$ đúng $20$ (tuổi); từ tổng và tỉ số $1:3$ hiện tại suy ra tuổi từng người.

Vậy Nam hiện nay $14$ tuổi, bố hiện nay $42$ tuổi, trùng khớp với Cách 1.

Định hướng. Dự đoán tuổi Nam hiện nay là một số tròn chục gần đúng, thử vào điều kiện "tổng tuổi sau 10 năm là 76" rồi điều chỉnh dần.

Vậy tuổi Nam hiện nay là $14$, tuổi bố hiện nay là $42$, khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 chỉ dùng để dò khi chưa quen lập phương trình; Cách 1 và Cách 2 mới là cách làm chắc chắn, áp dụng được cho cả những số liệu không tròn.

Định hướng. Gọi $x$ (nghìn đồng) là số tiền mua vở, thì số tiền mua sách là $1,5x$; tổng hai số tiền bằng $500$.

Vậy số tiền mua vở là $200$ nghìn đồng, số tiền mua sách là $1,5\cdot 200=300$ nghìn đồng.

Định hướng. Gọi $y$ (nghìn đồng) là số tiền mua sách, thì số tiền mua vở là $\frac{y}{1,5}=\frac{2y}{3}$; tổng hai số tiền bằng $500$.

Vậy số tiền mua sách là $300$ nghìn đồng, số tiền mua vở là $500-300=200$ nghìn đồng, trùng khớp với Cách 1.

Định hướng. Tỉ số tiền vở : tiền sách $=1:1,5=2:3$, nên coi tổng $500$ nghìn đồng chia làm $2+3=5$ phần bằng nhau.

Vậy số tiền mua vở là $200$ nghìn đồng, số tiền mua sách là $300$ nghìn đồng, khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 (chia phần bằng nhau, kiểu sơ đồ đoạn thẳng) tính nhẩm nhanh nhất vì tỉ số $2:3$ là số nguyên đơn giản; Cách 1 và Cách 2 là hai cách lập phương trình tương đương, chỉ khác việc chọn ẩn.