Chương VII. Phương trình bậc nhất và hàm số bậc nhất

Bài 26. Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 2 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngVII #SáchBàiTập_Tập2 #trang22 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 7.9★Trang 22— Lập phương trình từ bài toán đại lượng tăng đều theo thời gian

Bài 7.9 (trang 22). Giả sử nhiệt độ tại thời điểm hiện tại là

1 8^{\circ} C

. Dự kiến là trong những giờ tới nhiệt độ sẽ tăng

1, 5^{\circ} C

mỗi giờ. Hỏi sau bao lâu thì nhiệt độ sẽ là

2 6^{\circ} C

Kiến thức cần nhớ

Đại lượng tăng đều: giá trị sau $x$ giờ = giá trị ban đầu + tốc độ tăng × $x$ .
Đổi giờ ra phút: $\frac{1}{3}$ giờ $= 20$ phút.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho nhiệt độ ban đầu, tốc độ tăng mỗi giờ không đổi và nhiệt độ đích cần đạt — dấu hiệu bài toán tăng đều theo thời gian, viết biểu thức nhiệt độ dạng bậc nhất theo số giờ trôi qua rồi cho bằng nhiệt độ đích. Bẫy ở chỗ đáp số

x = \frac{16}{3}

giờ phải đổi ra giờ-phút (5 giờ 20 phút) để trả lời tự nhiên, không để nguyên phân số.

1Cách 1. Lập phương trình theo thời gian tăng

Định hướng. Nhiệt độ sau $x$ giờ bằng nhiệt độ ban đầu cộng thêm phần tăng $1, 5 x$ ; cho bằng nhiệt độ đích $2 6^{\circ} C$ .

Gọi

x

(giờ) là thời gian cần để nhiệt độ tăng đến

2 6^{\circ} C

, điều kiện

x > 0

.
Sau

x

giờ, nhiệt độ tăng thêm

1, 5 x

(

^{\circ}

C)
Sau

x

giờ, nhiệt độ là

18 + 1, 5 x

(

^{\circ}

C)
Theo đề bài, ta có phương trình:

18 + 1, 5 x = 26

1, 5 x = 8

x = \frac{16}{3}

Đối chiếu điều kiện $x > 0$ : giá trị $x = \frac{16}{3}$ thoả mãn. Vậy sau $\frac{16}{3}$ giờ, tức 5 giờ 20 phút, thì nhiệt độ sẽ là $2 6^{\circ} C$ .

2Cách 2. Lấy hiệu nhiệt độ chia cho tốc độ tăng

Định hướng. Nhiệt độ cần tăng thêm là hiệu giữa nhiệt độ đích và nhiệt độ hiện tại; chia hiệu đó cho tốc độ tăng mỗi giờ sẽ ra ngay số giờ cần thiết, không cần lập phương trình đầy đủ.

Nhiệt độ cần tăng thêm

= 26 - 18 = 8

(

^{\circ}

C)
Thời gian cần thiết

= 8 : 1, 5 = \frac{16}{3}

(giờ)

Vậy sau $\frac{16}{3}$ giờ $= 5$ giờ $20$ phút thì nhiệt độ đạt $2 6^{\circ} C$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng cách thay ngược vào biểu thức

Định hướng. Thay $x = \frac{16}{3}$ vào biểu thức nhiệt độ để kiểm tra kết quả có đúng bằng $2 6^{\circ} C$ hay không.

Với

x = \frac{16}{3}

: nhiệt độ

= 18 + 1, 5 \cdot \frac{16}{3} = 18 + 8 = 26

(

^{\circ}

Kết quả đúng bằng $2 6^{\circ} C$ như đề yêu cầu. Vậy $x = \frac{16}{3}$ giờ là đáp số đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: lấy hiệu nhiệt độ chia cho tốc độ tăng, không cần dựng phương trình đầy đủ, ra kết quả nhanh nhất.

Đáp số. Sau

\frac{16}{3}

giờ (5 giờ 20 phút) thì nhiệt độ sẽ là

2 6^{\circ} C

Sai lầm thường gặp. Quên đổi

\frac{16}{3}

giờ ra giờ-phút, trả lời 'sau

\frac{16}{3}

giờ' mà không quy đổi — nên đổi thành 5 giờ 20 phút để câu trả lời tự nhiên, dễ hiểu.

🚀 Mở rộng. Nếu nhiệt độ ban đầu là

a

, tốc độ tăng mỗi giờ là

r

, nhiệt độ đích là

b > a

, thì thời gian cần luôn là

x = \frac{b - a}{r}

(giờ) — áp dụng cho mọi bài toán tăng đều theo thời gian.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 7.10★★Trang 22— Lập phương trình từ bài toán năng suất, hai tổ làm số ngày khác nhau

Bài 7.10 (trang 22). Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 5 ngày, tổ thứ hai may trong 7 ngày thì cả hai tổ may được 1 000 chiếc áo. Biết rằng năng suất lao động của tổ thứ nhất hơn tổ thứ hai là 8 chiếc áo/ ngày. Tính năng suất lao động của mỗi tổ.

Kiến thức cần nhớ

Số áo may được = năng suất mỗi ngày × số ngày làm việc.
'Hơn kém 8 chiếc/ngày' nghĩa là hiệu hai năng suất bằng 8.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho số ngày làm việc của mỗi tổ, tổng số áo may được và độ chênh lệch năng suất — dấu hiệu bài toán năng suất có quan hệ 'hơn kém'. Gọi ẩn là năng suất tổ có năng suất thấp hơn (tổ hai) rồi biểu thị tổ một theo

x + 8

sẽ cho phương trình gọn hơn là gọi trực tiếp tổ một. Bẫy ở chỗ số ngày làm việc của hai tổ KHÁC NHAU (5 ngày và 7 ngày), không được nhân chung một số ngày.

1Cách 1. Gọi ẩn là năng suất tổ thứ hai

Định hướng. Gọi $x$ là năng suất tổ hai, năng suất tổ một là $x + 8$ ; tổng số áo hai tổ may trong số ngày riêng của mình bằng 1 000 chiếc.

Gọi

x

(chiếc áo/ngày) là năng suất lao động của tổ thứ hai, điều kiện

x > 0

.
Năng suất lao động của tổ thứ nhất là

x + 8

(chiếc áo/ngày)
Số áo tổ thứ nhất may trong 5 ngày là

5 (x + 8)

(chiếc), số áo tổ thứ hai may trong 7 ngày là

7 x

(chiếc)
Theo đề bài, ta có phương trình:

5 (x + 8) + 7 x = 1000

5 x + 40 + 7 x = 1000

12 x = 960

x = 80

Đối chiếu điều kiện $x > 0$ : giá trị $x = 80$ thoả mãn. Vậy năng suất tổ thứ hai là 80 chiếc áo/ngày, năng suất tổ thứ nhất là $80 + 8 = 88$ chiếc áo/ngày.

2Cách 2. Gọi ẩn là năng suất tổ thứ nhất

Định hướng. Đổi vai trò ẩn: gọi $y$ là năng suất tổ thứ nhất, khi đó năng suất tổ thứ hai là $y - 8$ , lập phương trình theo hướng ngược lại.

Gọi

y

(chiếc áo/ngày) là năng suất lao động của tổ thứ nhất, điều kiện

y > 8

.
Năng suất lao động của tổ thứ hai là

y - 8

(chiếc áo/ngày)
Theo đề bài, ta có phương trình:

5 y + 7 (y - 8) = 1000

5 y + 7 y - 56 = 1000

12 y = 1056

y = 88

Đối chiếu điều kiện $y > 8$ : giá trị $y = 88$ thoả mãn. Vậy năng suất tổ thứ nhất là 88 chiếc áo/ngày, tổ thứ hai là $88 - 8 = 80$ chiếc áo/ngày — khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng cách thay ngược vào số ngày làm việc

Định hướng. Thay $x = 80$ và $x + 8 = 88$ vào đúng số ngày làm việc của mỗi tổ để kiểm tra tổng số áo có bằng 1 000 chiếc hay không.

Số áo tổ một may

= 88 \cdot 5 = 440

(chiếc)
Số áo tổ hai may

= 80 \cdot 7 = 560

(chiếc)
Tổng số áo

= 440 + 560 = 1000

(chiếc)

Kết quả đúng bằng 1 000 chiếc áo như đề cho. Vậy đáp số 88 và 80 chiếc áo/ngày là chính xác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gọi ẩn là năng suất tổ THẤP HƠN rồi cộng thêm 8, hệ số phương trình

12 x = 960

chia hết gọn.

Đáp số. Năng suất tổ thứ nhất là 88 chiếc áo/ngày; năng suất tổ thứ hai là 80 chiếc áo/ngày.

Sai lầm thường gặp. Nhân chung một số ngày cho cả hai tổ (ví dụ lấy 5 ngày cho cả hai), lập phương trình

5 (x + 8) + 5 x = 1000

— sai vì đề cho rõ tổ một may trong 5 ngày còn tổ hai may trong 7 ngày, số ngày của hai tổ khác nhau.

🚀 Mở rộng. Nếu tổ một làm

m

ngày, tổ hai làm

n

ngày, năng suất tổ một hơn tổ hai

d

đơn vị, tổng sản phẩm là

S

, thì năng suất tổ hai luôn là

x = \frac{S - m d}{m + n}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 7.11★★★Trang 22— Lập phương trình tại ngưỡng nồng độ tối thiểu của bài toán pha trộn dung dịch

Bài 7.11 (trang 22). Một công ty nước giải khát quảng cáo soda cam của họ là “có hương vị tự nhiên”, mặc dù chỉ chứa 5% nước cam. Theo quy định, một nước uống được gọi là “có hương vị tự nhiên” phải chứa ít nhất 10% nước trái cây. Nhà sản xuất này phải thêm ít nhất bao nhiêu mililít nước cam nguyên chất vào 900 ml soda cam để đảm bảo yêu cầu này?

Kiến thức cần nhớ

Lượng nước cam nguyên chất trong hỗn hợp = tỉ lệ phần trăm × thể tích hỗn hợp.
Thêm nước cam nguyên chất thì cả lượng nước cam lẫn tổng thể tích cùng tăng thêm đúng lượng đã thêm.