Chương VII. Phương trình bậc nhất và hàm số bậc nhất

Bài 26. Giải bài toán bằng cách lập phương trình

SGK Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 2 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 33— Biểu thị quãng đường theo vận tốc và thời gian di chuyển

HĐ1 (trang 33). Gọi

x

(giờ) (

x > 0

) là thời gian di chuyển của ô tô. Hãy biểu thị quãng đường đi được của ô tô theo

x

Kiến thức cần nhớ

Quãng đường = Vận tốc × Thời gian di chuyển.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho vận tốc không đổi 60 km/h của ô tô và thời gian di chuyển là

x

— dấu hiệu chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức quãng đường bằng vận tốc nhân thời gian. Bẫy ở chỗ dễ nhầm vận tốc của ô tô (60 km/h) với vận tốc của xe máy (40 km/h) vì đề bài xuất hiện cả hai phương tiện.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp công thức quãng đường

Định hướng. Ô tô đi với vận tốc không đổi 60 km/h trong $x$ giờ nên quãng đường bằng vận tốc nhân thời gian.

Quãng đường ô tô đi được

= 60 \cdot x = 60 x

(km)

Vậy quãng đường ô tô đi được sau $x$ giờ là $60 x$ (km).

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng một giá trị cụ thể

Định hướng. Thay $x = 1$ (giờ) để kiểm chứng công thức vừa viết bằng chính dữ kiện vận tốc đã cho.

Với

x = 1

: quãng đường

= 60 \cdot 1 = 60

(km)

Vậy sau đúng 1 giờ ô tô đi được 60 km, khớp vận tốc đề cho, xác nhận công thức $60 x$ ở Cách 1 là đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: viết thẳng tích vận tốc × thời gian, không cần bước kiểm tra nào khác.

Đáp số. Quãng đường ô tô đi được là

60 x

(km).

Sai lầm thường gặp. Nhầm quãng đường ô tô với quãng đường xe máy, viết

40 x

thay vì

60 x

— sai vì

60

km/h là vận tốc của ô tô, còn

40

km/h là vận tốc xe máy.

🚀 Mở rộng. Nếu ô tô đi với vận tốc

v

(km/h) trong

x

giờ thì quãng đường luôn là

v x

(km), dùng để lập biểu thức cho mọi bài toán chuyển động đều.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ2★Trang 33— Biểu thị thời gian và quãng đường của phương tiện xuất phát trước theo ẩn đã chọn

HĐ2 (trang 33). Hãy biểu thị thời gian di chuyển của xe máy theo

x

, từ đó tính quãng đường đi được của xe máy theo

x

Kiến thức cần nhớ

Quãng đường = Vận tốc × Thời gian di chuyển.
Xe máy khởi hành trước ô tô 1 giờ nên thời gian di chuyển của xe máy hơn ô tô 1 giờ.

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã cho

x

là thời gian di chuyển của ô tô ở HĐ1, còn xe máy khởi hành trước ô tô đúng 1 giờ nên thời gian di chuyển của xe máy dài hơn

x

đúng 1 đơn vị. Từ đó dùng lại công thức quãng đường như HĐ1 để tính quãng đường xe máy. Bẫy ở chỗ dễ nhầm xe máy đi ÍT hơn ô tô 1 giờ, trong khi thực tế xe máy khởi hành TRƯỚC nên đi NHIỀU hơn 1 giờ.

1Cách 1. Cộng thời gian chênh lệch khởi hành rồi nhân vận tốc

Định hướng. Xe máy khởi hành lúc 6 giờ, ô tô khởi hành muộn hơn 1 giờ, nên tại cùng một thời điểm, xe máy luôn đi được nhiều thời gian hơn ô tô đúng 1 giờ.

Thời gian di chuyển của xe máy

= x + 1

(giờ)
Quãng đường xe máy đi được

= 40 (x + 1)

(km)

Vậy quãng đường xe máy đi được là $40 (x + 1)$ (km).

2Cách 2. Kiểm tra lại tại thời điểm ô tô vừa xuất phát

Định hướng. Thay $x = 0$ (thời điểm ô tô vừa xuất phát) để kiểm chứng công thức thời gian và quãng đường của xe máy.

Với

x = 0

: thời gian xe máy đã đi

= 0 + 1 = 1

(giờ)
Quãng đường xe máy đã đi

= 40 \cdot 1 = 40

(km)

Vậy đúng lúc ô tô xuất phát, xe máy đã đi được 40 km sau 1 giờ, khớp với vận tốc 40 km/h đề cho, xác nhận công thức $40 (x + 1)$ ở Cách 1 là đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: cộng thẳng 1 giờ chênh lệch khởi hành vào

x

rồi nhân với vận tốc, không cần kiểm tra thêm.

Đáp số. Quãng đường xe máy đi được là

40 (x + 1)

(km).

Sai lầm thường gặp. Viết thời gian xe máy là

x - 1

(giờ) — sai vì xe máy khởi hành TRƯỚC ô tô nên đi được NHIỀU thời gian hơn ô tô, phải là

x + 1

chứ không phải

x - 1

🚀 Mở rộng. Nếu xe máy khởi hành trước ô tô

a

giờ với vận tốc

v_{2}

, còn ô tô đi

x

giờ với vận tốc

v_{1}

, thì quãng đường xe máy luôn là

v_{2} (x + a)

(km).

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · HĐ3★★Trang 33— Lập và giải phương trình bậc nhất một ẩn từ bài toán chuyển động đuổi kịp

HĐ3 (trang 33). Ô tô đuổi kịp xe máy khi quãng đường đi được của chúng bằng nhau. Viết phương trình ẩn

x

thu được và giải phương trình này để tìm

x

rồi kết luận.

Kiến thức cần nhớ

Ô tô đuổi kịp xe máy khi hai quãng đường bằng nhau.
Giải phương trình bậc nhất: chuyển hạng tử chứa ẩn về một vế, hạng tử tự do về vế còn lại.

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã cho hai biểu thức quãng đường theo cùng ẩn

x

ở HĐ1, HĐ2 — dấu hiệu chỉ cần đặt hai biểu thức đó bằng nhau vì 'đuổi kịp' nghĩa là cùng ở một vị trí tại cùng thời điểm. Đây là phương trình bậc nhất một ẩn nên giải bằng quy tắc chuyển vế quen thuộc. Bẫy ở chỗ tìm được

x

rồi còn phải cộng thêm mốc giờ ô tô xuất phát (7 giờ) mới ra đúng thời điểm gặp nhau, không phải

x

chính là giờ gặp nhau.

1Cách 1. Lập phương trình từ hai quãng đường ở HĐ1, HĐ2

Định hướng. Quãng đường ô tô $60 x$ và quãng đường xe máy $40 (x + 1)$ phải bằng nhau tại thời điểm đuổi kịp.

60 x = 40 (x + 1)

60 x = 40 x + 40

60 x - 40 x = 40

20 x = 40

x = 2

Đối chiếu điều kiện $x > 0$ : giá trị $x = 2$ thoả mãn. Ô tô xuất phát lúc $6 + 1 = 7$ (giờ) nên thời điểm đuổi kịp là $7 + 2 = 9$ (giờ). Vậy ô tô đuổi kịp xe máy lúc 9 giờ.

2Cách 2. Dùng hiệu vận tốc

Định hướng. So với xe máy, mỗi giờ ô tô đi nhanh hơn $60 - 40 = 20$ (km); khi ô tô xuất phát, xe máy đã đi trước $40$ km, nên thời gian để ô tô 'ăn' hết khoảng cách này chính là $x$ .

Khoảng cách ban đầu (khi ô tô xuất phát)

= 40 \cdot 1 = 40

(km)
Mỗi giờ ô tô rút ngắn được

60 - 40 = 20

(km)

x = 40 : 20 = 2

(giờ)

Giá trị $x = 2$ thoả mãn $x > 0$ . Vậy ô tô đuổi kịp xe máy sau 2 giờ kể từ lúc xuất phát, tức lúc $7 + 2 = 9$ giờ, khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng cách thay ngược vào hai quãng đường

Định hướng. Thay ngược $x = 2$ vào cả hai quãng đường ở HĐ1, HĐ2 để kiểm tra chúng thực sự bằng nhau.

Quãng đường ô tô

= 60 \cdot 2 = 120

(km)
Quãng đường xe máy

= 40 \cdot (2 + 1) = 40 \cdot 3 = 120

(km)

Hai quãng đường cùng bằng 120 km, đúng như điều kiện đuổi kịp. Vậy $x = 2$ là nghiệm đúng, khớp Cách 1 và Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập thẳng phương trình

60 x = 40 (x + 1)

rồi giải theo quy tắc chuyển vế, ngắn và chắc chắn không sai dạng.

Đáp số.

x = 2

(giờ); ô tô đuổi kịp xe máy lúc 9 giờ.

Sai lầm thường gặp. Kết luận thời điểm đuổi kịp chính là

x = 2

giờ mà quên cộng thêm mốc ô tô xuất phát lúc 7 giờ — phải tính

7 + x = 9

giờ mới đúng thời điểm trong ngày.

🚀 Mở rộng. Cùng cách lập luận, nếu ô tô xuất phát muộn hơn

a

giờ và có vận tốc

v_{1} > v_{2}

(vận tốc xe máy) thì thời gian đuổi kịp kể từ lúc ô tô xuất phát luôn là

x = \frac{v _{2} a}{v _{1} - v _{2}}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập★★Trang 35— Lập phương trình từ bài toán giảm giá phần trăm liên tiếp

Luyện tập (trang 35). Bác Mai đi siêu thị mua một mặt hàng đang có chương trình khuyến mại giảm giá 20%. Vì có thể khách hàng thân thiết của siêu thị nên bác được giảm thêm 5% trên giá đã giảm, do đó bác Mai chỉ phải trả 380 nghìn đồng cho mặt hàng đó. Hỏi giá ban đầu của mặt hàng đó nếu không khuyến mại là bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Giảm $a %$ so với giá $G$ thì giá còn lại là $G \cdot (1 - \frac{a}{100})$ .
Hai lần giảm giá liên tiếp $a %$ rồi $b %$ (trên giá đã giảm) cho giá cuối $G (1 - \frac{a}{100}) (1 - \frac{b}{100})$ , KHÔNG bằng giảm một lần $(a + b) %$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai lần giảm giá liên tiếp (20% rồi 5% trên giá đã giảm) và số tiền thực trả — dấu hiệu gọi ẩn là giá ban đầu rồi nhân liên tiếp hai hệ số còn lại (80% và 95%). Hướng lập phương trình trực tiếp là ngắn nhất vì hai lần giảm giá nhân dồn lại thành một hệ số duy nhất. Bẫy ở chỗ giảm thêm 5% là tính trên GIÁ ĐÃ GIẢM LẦN 1, không phải trên giá ban đầu, nên không được cộng dồn

20% + 5% = 25%

rồi giảm một lần.

1Cách 1. Lập phương trình theo giá ban đầu

Định hướng. Gọi giá ban đầu là $x$ , sau khi giảm 20% rồi giảm thêm 5% trên giá đã giảm, số tiền phải trả bằng 380 nghìn đồng.

Gọi

x

(nghìn đồng) là giá ban đầu của mặt hàng, điều kiện

x > 0

.
Giá sau khi giảm 20% là

x \cdot 80% = 0, 8 x

(nghìn đồng)
Giá sau khi giảm thêm 5% trên giá đã giảm là

0, 8 x \cdot 95% = 0, 76 x

(nghìn đồng)
Theo đề bài, ta có phương trình:

0, 76 x = 380

x = 380 : 0, 76

x = 500

Đối chiếu điều kiện $x > 0$ : giá trị $x = 500$ thoả mãn. Vậy giá ban đầu của mặt hàng đó là 500 nghìn đồng.

2Cách 2. Đi ngược từ số tiền thực trả

Định hướng. Đi ngược từ số tiền thực trả 380 nghìn đồng, muốn tìm lại giá trước khi giảm thì phải chia ngược lần lượt cho hai hệ số giảm giá, theo đúng thứ tự ngược với lúc giảm.

Giá trước khi giảm 5% (tức giá sau khi giảm 20%) là

380 : 95% = 380 : 0, 95 = 400

(nghìn đồng)
Giá ban đầu (trước khi giảm 20%) là

400 : 80% = 400 : 0, 8 = 500

(nghìn đồng)

Vậy giá ban đầu của mặt hàng đó là 500 nghìn đồng, khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng cách tính xuôi từ đáp số

Định hướng. Thử trực tiếp $x = 500$ vào diễn biến hai lần giảm giá để kiểm tra kết quả có khớp 380 nghìn đồng hay không.

Với

x = 500

: giảm 20% còn

500 \cdot 0, 8 = 400

(nghìn đồng)
Giảm thêm 5% trên 400: còn

400 \cdot 0, 95 = 380

(nghìn đồng)

Kết quả đúng bằng 380 nghìn đồng như đề cho. Vậy $x = 500$ (nghìn đồng) là đáp số đúng, khớp Cách 1 và Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập thẳng phương trình

0, 76 x = 380

từ tích hai hệ số giảm giá, chỉ một dòng tính là ra đáp số.

Đáp số. Giá ban đầu của mặt hàng là 500 nghìn đồng.

Sai lầm thường gặp. Cộng dồn hai mức giảm thành

20% + 5% = 25%

rồi lập phương trình

0, 75 x = 380

— sai vì mức giảm 5% sau chỉ tính trên giá ĐÃ GIẢM LẦN MỘT (400 nghìn đồng), không tính trên giá ban đầu.

🚀 Mở rộng. Nếu giảm liên tiếp

a %

rồi

b %

(trên giá đã giảm) và số tiền thực trả là

T

, thì giá ban đầu luôn là

G = \frac{T}{( 1 - \frac{a}{100} ) ( 1 - \frac{b}{100} )}

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Tranh luận★★★Trang 35— So sánh hai cách chọn ẩn khác nhau cho bài toán hai xe chuyển động ngược chiều gặp nhau

Tranh luận (trang 35). Xét bài toán sau: “Một xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Hải Phòng với vận tốc 40 km/h. Sau đó 20 phút, trên cùng tuyến đường đó, một ô tô xuất phát từ Hải Phòng đi Hà Nội với vận tốc 60 km/h. Biết quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng dài khoảng 120 km. Hỏi sau bao lâu, kể từ khi xe máy khởi hành thì hai xe gặp nhau?” Để giải bài toán này, hai bạn Vuông và Tròn chọn ẩn như sau: Vuông: “Mình chọn ẩn

x

(giờ) là thời gian từ lúc xe máy khởi hành đến lúc hai xe gặp nhau.” Tròn: “Mình chọn ẩn

x

(km) là quãng đường từ Hà Nội đến điểm gặp nhau của hai xe.” Hãy viết phương trình nhận được theo mỗi cách chọn ẩn này! Theo em, trong hai cách chọn ẩn của Vuông và Tròn, cách nào sẽ cho lời giải ngắn gọn hơn?

Kiến thức cần nhớ

Hai xe đi ngược chiều, xuất phát không cùng lúc, gặp nhau khi tổng quãng đường hai xe đi được bằng quãng đường ban đầu giữa chúng.
Đổi 20 phút $= \frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ giờ.

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu viết phương trình theo cả hai cách chọn ẩn khác nhau rồi so sánh — dấu hiệu bài không chỉ giải mà còn phải đánh giá đường nào gọn hơn. Với ẩn thời gian

x

(giờ), tổng quãng đường hai xe đi được phải bằng 120 km nên phương trình chỉ có các hạng tử đơn giản. Với ẩn quãng đường

x

(km), phải quy đổi thời gian của từng xe theo

x

rồi mới so sánh độ lệch 20 phút, khiến phương trình cồng kềnh hơn. Bẫy ở chỗ ô tô xuất phát SAU xe máy 20 phút, tức thời gian ô tô đi ngắn hơn thời gian xe máy đúng

\frac{1}{3}

giờ, không phải cùng thời gian.

1Cách 1. Chọn ẩn

x

là thời gian (giờ) — cách của Vuông

Định hướng. Xe máy đi trong $x$ giờ, ô tô xuất phát muộn hơn $\frac{1}{3}$ giờ nên chỉ đi được $x - \frac{1}{3}$ giờ; hai xe gặp nhau khi tổng hai quãng đường bằng 120 km.

Gọi

x

(giờ) là thời gian từ lúc xe máy khởi hành đến lúc hai xe gặp nhau, điều kiện

x > \frac{1}{3}

.
Quãng đường xe máy đi được

= 40 x

(km)
Thời gian ô tô đã đi

= x - \frac{1}{3}

(giờ)
Quãng đường ô tô đi được

= 60 (x - \frac{1}{3})

(km)
Theo đề bài, ta có phương trình:

40 x + 60 (x - \frac{1}{3}) = 120

40 x + 60 x - 20 = 120

100 x = 140

x = \frac{7}{5}

Đối chiếu điều kiện $x > \frac{1}{3}$ : giá trị $x = \frac{7}{5}$ thoả mãn. Vậy sau $\frac{7}{5}$ giờ (1 giờ 24 phút) kể từ lúc xe máy khởi hành thì hai xe gặp nhau.

2Cách 2. Chọn ẩn

x

là quãng đường (km) — cách của Tròn

Định hướng. Gọi $x$ là quãng đường từ Hà Nội đến điểm gặp, thì quãng đường ô tô đi được là $120 - x$ ; thời gian mỗi xe đi bằng quãng đường chia vận tốc, và thời gian xe máy đi nhiều hơn ô tô đúng $\frac{1}{3}$ giờ.

Gọi

x

(km) là quãng đường từ Hà Nội đến điểm gặp nhau của hai xe, điều kiện

0 < x < 120

.
Thời gian xe máy đi được

x

km là

\frac{x}{40}

(giờ)
Quãng đường ô tô đi được là

120 - x

(km), thời gian ô tô đi là

\frac{120 - x}{60}

(giờ)
Theo đề bài, ta có phương trình:

\frac{x}{40} = \frac{120 - x}{60} + \frac{1}{3}

\frac{3 x}{120} = \frac{2 ( 120 - x )}{120} + \frac{40}{120}

3 x = 240 - 2 x + 40

5 x = 280

x = 56

Đối chiếu điều kiện $0 < x < 120$ : giá trị $x = 56$ thoả mãn. Thời gian gặp nhau kể từ lúc xe máy khởi hành là $\frac{56}{40} = \frac{7}{5}$ (giờ), khớp Cách 1. Vậy quãng đường từ Hà Nội đến điểm gặp nhau là 56 km.

Nhận xét. Phương trình theo cách chọn ẩn của Vuông ( $40 x + 60 (x - \frac{1}{3}) = 120$ ) chỉ có một mẫu số cần quy đồng, trong khi phương trình theo cách chọn ẩn của Tròn có tới ba mẫu số ( $40$ , $60$ , $3$ ) nên phải quy đồng phức tạp hơn. Vì vậy cách chọn ẩn $x$ là THỜI GIAN của bạn Vuông cho lời giải ngắn gọn hơn, vì đại lượng cần tìm chính là ẩn, không phải quy đổi qua vận tốc nhiều lần như cách của bạn Tròn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (chọn ẩn là thời gian): phương trình chỉ có một mẫu số, quy đồng một lần là xong, đúng như Nhận xét đã chỉ ra.

Đáp số. Sau

\frac{7}{5}

giờ (1 giờ 24 phút) thì hai xe gặp nhau; cách chọn ẩn của Vuông (thời gian) cho lời giải ngắn gọn hơn.

Sai lầm thường gặp. Khi chọn ẩn là quãng đường, quên đổi 20 phút ra giờ trước khi đưa vào phương trình mà cộng thẳng số 20, làm sai đơn vị giữa km và phút.

🚀 Mở rộng. Với bài toán hai xe chuyển động ngược chiều xuất phát lệch giờ, nên chọn ẩn là ĐẠI LƯỢNG TRÙNG với câu hỏi của đề (ở đây là thời gian gặp nhau) để phương trình có ít mẫu số nhất.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 7.7★Trang 35— Lập phương trình từ tổng thu nhập gồm lương và thưởng tính theo bội số của lương tháng

Bài 7.7 (trang 35). Chị Linh làm việc trong một ngân hàng và được thưởng Tết bằng 2,5 tháng lương. Tổng thu nhập một năm của chị Linh bao gồm lương 12 tháng và thưởng Tết là 290 triệu đồng. Hỏi lương hằng tháng của chị Linh là bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Tổng thu nhập năm = lương 12 tháng + tiền thưởng.
Thưởng bằng $2, 5$ tháng lương nghĩa là thưởng $= 2, 5 \times$ lương một tháng.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tổng thu nhập một năm gồm lương 12 tháng cộng thưởng Tết bằng 2,5 tháng lương — dấu hiệu cả hai khoản đều là bội số của lương tháng, nên gọi ẩn là lương một tháng rồi cộng

12 x + 2, 5 x

sẽ ra ngay phương trình bậc nhất. Bẫy ở chỗ '2,5 tháng lương' nghĩa là thưởng bằng

2, 5 x

, không phải một số tiền cố định.

1Cách 1. Lập phương trình theo lương tháng

Định hướng. Cả lương năm và tiền thưởng đều tính theo bội số của lương một tháng, cộng lại đúng bằng tổng thu nhập.

Gọi

x

(triệu đồng) là lương hằng tháng của chị Linh, điều kiện

x > 0

.
Tiền thưởng Tết là

2, 5 x

(triệu đồng)
Theo đề bài, ta có phương trình:

12 x + 2, 5 x = 290

14, 5 x = 290

x = 20

Đối chiếu điều kiện $x > 0$ : giá trị $x = 20$ thoả mãn. Vậy lương hằng tháng của chị Linh là 20 triệu đồng.

2Cách 2. Quy đổi thành tổng số tháng lương

Định hướng. Gộp 12 tháng lương và khoản thưởng $2, 5$ tháng lương thành tổng số 'tháng lương' rồi chia đều cho tổng thu nhập.

Tổng số tháng lương quy đổi trong một năm

= 12 + 2, 5 = 14, 5

(tháng lương)
Lương một tháng

= 290 : 14, 5 = 20

(triệu đồng)

Vậy lương hằng tháng của chị Linh là 20 triệu đồng, khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng cách tính xuôi từ đáp số

Định hướng. Thay $x = 20$ vào đúng cấu trúc thu nhập của đề để kiểm tra tổng có bằng 290 triệu đồng hay không.

Lương 12 tháng

= 12 \cdot 20 = 240

(triệu đồng)
Thưởng Tết

= 2, 5 \cdot 20 = 50

(triệu đồng)
Tổng thu nhập

= 240 + 50 = 290

(triệu đồng)

Kết quả đúng bằng 290 triệu đồng như đề cho. Vậy $x = 20$ (triệu đồng) là đáp số đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập thẳng phương trình

14, 5 x = 290

, một dòng cộng hệ số là ra ngay đáp số.

Đáp số. Lương hằng tháng của chị Linh là 20 triệu đồng.

Sai lầm thường gặp. Hiểu nhầm '2,5 tháng lương' là số tiền thưởng cố định 2,5 triệu đồng, lập phương trình

12 x + 2, 5 = 290

— sai vì thưởng phải tính theo LƯƠNG THÁNG, tức

2, 5 x

🚀 Mở rộng. Nếu thưởng Tết bằng

k

tháng lương và tổng thu nhập năm là

T

, thì lương tháng luôn là

x = \frac{T}{12 + k}

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 7.8★★Trang 35— Lập phương trình từ bài toán đầu tư hai khoản với hai lãi suất khác nhau

Bài 7.8 (trang 35). Bác Hưng đầu tư 300 triệu đồng vào hai khoản: mua trái phiếu doanh nghiệp với lãi suất 8% một năm và gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 6% một năm. Cuối năm bác Hưng nhận được 22 triệu đồng tiền lãi. Hỏi bác Hưng đã đầu tư vào mỗi khoản bao nhiêu tiền?

Kiến thức cần nhớ

Tiền lãi (đơn) = Số tiền gốc × lãi suất.
Hai khoản đầu tư cộng lại đúng bằng tổng vốn ban đầu.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tổng vốn đầu tư 300 triệu đồng chia vào hai khoản có lãi suất khác nhau và tổng tiền lãi — đúng dạng toán 'đầu tư hai khoản' đã học ở Ví dụ 1. Gọi ẩn là số tiền đầu tư vào khoản lãi suất 8% rồi biểu thị khoản còn lại theo

300 - x

sẽ cho phương trình ngắn nhất. Bẫy ở chỗ điều kiện của ẩn phải là

0 \leq x \leq 300

(có thể đầu tư hết vào một khoản), không phải

x > 0

tuỳ tiện.

1Cách 1. Gọi ẩn là khoản trái phiếu doanh nghiệp (lãi 8%)

Định hướng. Gọi $x$ là số tiền mua trái phiếu doanh nghiệp, khoản còn lại $300 - x$ gửi tiết kiệm; tổng hai khoản lãi bằng 22 triệu đồng.

Gọi

x

(triệu đồng) là số tiền bác Hưng dùng để mua trái phiếu doanh nghiệp, điều kiện

0 \leq x \leq 300

.
Số tiền gửi tiết kiệm ngân hàng là

300 - x

(triệu đồng)
Tiền lãi từ trái phiếu doanh nghiệp là

0, 08 x

(triệu đồng), tiền lãi từ tiết kiệm là

0, 06 (300 - x)

(triệu đồng)
Theo đề bài, ta có phương trình:

0, 08 x + 0, 06 (300 - x) = 22

0, 08 x + 18 - 0, 06 x = 22

0, 02 x = 4

x = 200

Đối chiếu điều kiện $0 \leq x \leq 300$ : giá trị $x = 200$ thoả mãn. Vậy bác Hưng đã dùng 200 triệu đồng mua trái phiếu doanh nghiệp và $300 - 200 = 100$ triệu đồng gửi tiết kiệm ngân hàng.

2Cách 2. Gọi ẩn là khoản tiết kiệm ngân hàng (lãi 6%)

Định hướng. Đổi vai trò ẩn: gọi $y$ là số tiền gửi tiết kiệm, khi đó số tiền mua trái phiếu là $300 - y$ , lập phương trình tương tự theo hướng ngược lại.

Gọi

y

(triệu đồng) là số tiền bác Hưng gửi tiết kiệm ngân hàng, điều kiện

0 \leq y \leq 300

.
Số tiền mua trái phiếu doanh nghiệp là

300 - y

(triệu đồng)
Theo đề bài, ta có phương trình:

0, 08 (300 - y) + 0, 06 y = 22

24 - 0, 08 y + 0, 06 y = 22

- 0, 02 y = - 2

y = 100

Đối chiếu điều kiện $0 \leq y \leq 300$ : giá trị $y = 100$ thoả mãn. Vậy bác Hưng gửi tiết kiệm 100 triệu đồng, còn lại $300 - 100 = 200$ triệu đồng mua trái phiếu doanh nghiệp — khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng cách tính xuôi từ đáp số

Định hướng. Thay $x = 200$ và $300 - x = 100$ vào đúng hai khoản lãi để kiểm tra tổng lãi có bằng 22 triệu đồng hay không.

Lãi trái phiếu doanh nghiệp

= 0, 08 \cdot 200 = 16

(triệu đồng)
Lãi tiết kiệm ngân hàng

= 0, 06 \cdot 100 = 6

(triệu đồng)
Tổng tiền lãi

= 16 + 6 = 22

(triệu đồng)

Kết quả đúng bằng 22 triệu đồng như đề cho. Vậy đáp số 200 và 100 triệu đồng là chính xác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gọi ẩn là khoản có lãi suất cao hơn (8%), phương trình ra hệ số

0, 02 x = 4

rất gọn.

Đáp số. Bác Hưng đầu tư 200 triệu đồng mua trái phiếu doanh nghiệp và 100 triệu đồng gửi tiết kiệm ngân hàng.

Sai lầm thường gặp. Quên đổi lãi suất phần trăm sang số thập phân, lập phương trình

8 x + 6 (300 - x) = 22

— sai đơn vị vì

8% = 0, 08

chứ không phải

8

🚀 Mở rộng. Nếu tổng vốn là

G

chia vào hai khoản lãi suất

r_{1}

r_{2}

với tổng lãi

L

, thì khoản đầu tư theo lãi suất

r_{1}

luôn là

x = \frac{L - r _{2} G}{r _{1} - r _{2}}

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 7.9★★★Trang 36— Lập phương trình từ hai mặt hàng có tổng giá niêm yết cho trước, mỗi mặt hàng giảm theo tỉ lệ riêng

Bài 7.9 (trang 36). Nhân dịp khai trương, một siêu thị điện máy đã giảm giá nhiều mặt hàng để thu hút khách hàng. Tổng giá niêm yết của một chiếc ti vi loại A và một chiếc tủ lạnh loại B là 36,8 triệu đồng. Trong dịp này, ti vi loại A được giảm 30% và tủ lạnh loại B được giảm 25% nên bác Cường đã mua một chiếc ti vi và một chiếc tủ lạnh nói trên với tổng số tiền là 26,805 triệu đồng. Hỏi giá niêm yết của mỗi chiếc ti vi loại A và mỗi chiếc tủ lạnh loại B là bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Giá sau khi giảm $a %$ = giá niêm yết $\times (1 - \frac{a}{100})$ .
Tổng giá sau khi giảm của hai mặt hàng bằng tổng hai giá đã giảm riêng từng mặt hàng.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tổng giá niêm yết hai mặt hàng và tổng giá sau khi mỗi mặt hàng giảm một tỉ lệ phần trăm khác nhau — đúng dạng toán hai đại lượng có tổng cho trước và tổng sau khi biến đổi theo tỉ lệ riêng từng phần, giống bài đầu tư hai khoản (Bài 7.8). Gọi ẩn là giá niêm yết ti vi rồi biểu thị giá tủ lạnh theo

36, 8 - x

sẽ cho phương trình ngắn nhất. Bẫy ở chỗ hai mặt hàng giảm giá với TỈ LỆ KHÁC NHAU (30% và 25%), không được gộp chung một tỉ lệ trung bình.

1Cách 1. Gọi ẩn là giá niêm yết ti vi

Định hướng. Gọi $x$ là giá niêm yết ti vi, giá tủ lạnh là $36, 8 - x$ ; tổng hai giá sau khi giảm đúng bằng 26,805 triệu đồng.

Gọi

x

(triệu đồng) là giá niêm yết của chiếc ti vi loại A, điều kiện

0 < x < 36, 8

.
Giá niêm yết của chiếc tủ lạnh loại B là

36, 8 - x

(triệu đồng)
Giá ti vi sau khi giảm 30% là

0, 7 x

(triệu đồng), giá tủ lạnh sau khi giảm 25% là

0, 75 (36, 8 - x)

(triệu đồng)
Theo đề bài, ta có phương trình:

0, 7 x + 0, 75 (36, 8 - x) = 26, 805

0, 7 x + 27, 6 - 0, 75 x = 26, 805

- 0, 05 x = - 0, 795

x = 15, 9

Đối chiếu điều kiện $0 < x < 36, 8$ : giá trị $x = 15, 9$ thoả mãn. Vậy giá niêm yết của chiếc ti vi loại A là 15,9 triệu đồng và giá niêm yết của chiếc tủ lạnh loại B là $36, 8 - 15, 9 = 20, 9$ triệu đồng.

2Cách 2. Gọi ẩn là giá niêm yết tủ lạnh

Định hướng. Đổi vai trò ẩn: gọi $y$ là giá niêm yết tủ lạnh, khi đó giá ti vi là $36, 8 - y$ , lập phương trình theo hướng ngược lại.

Gọi

y

(triệu đồng) là giá niêm yết của chiếc tủ lạnh loại B, điều kiện

0 < y < 36, 8

.
Giá niêm yết của chiếc ti vi loại A là

36, 8 - y

(triệu đồng)
Theo đề bài, ta có phương trình:

0, 7 (36, 8 - y) + 0, 75 y = 26, 805

25, 76 - 0, 7 y + 0, 75 y = 26, 805

0, 05 y = 1, 045

y = 20, 9

Đối chiếu điều kiện $0 < y < 36, 8$ : giá trị $y = 20, 9$ thoả mãn. Vậy giá tủ lạnh là 20,9 triệu đồng, giá ti vi là $36, 8 - 20, 9 = 15, 9$ triệu đồng — khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng cách tính xuôi từ đáp số

Định hướng. Thay $x = 15, 9$ và $36, 8 - x = 20, 9$ vào đúng hai mức giảm giá để kiểm tra tổng tiền có bằng 26,805 triệu đồng hay không.

Giá ti vi sau giảm

= 15, 9 \cdot 0, 7 = 11, 13

(triệu đồng)
Giá tủ lạnh sau giảm

= 20, 9 \cdot 0, 75 = 15, 675

(triệu đồng)
Tổng số tiền phải trả

= 11, 13 + 15, 675 = 26, 805

(triệu đồng)

Kết quả đúng bằng 26,805 triệu đồng như đề cho. Vậy đáp số 15,9 và 20,9 triệu đồng là chính xác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gọi ẩn là mặt hàng có mức giảm khác biệt rõ (30%), phương trình ra hệ số

- 0, 05 x = - 0, 795

dễ tính.

Đáp số. Giá niêm yết ti vi loại A là 15,9 triệu đồng; giá niêm yết tủ lạnh loại B là 20,9 triệu đồng.

Sai lầm thường gặp. Gộp hai mức giảm 30% và 25% thành một mức giảm trung bình 27,5% rồi tính

36, 8 \times 0, 725

— sai vì mỗi mặt hàng giảm theo TỈ LỆ RIÊNG trên giá niêm yết riêng của nó, không được gộp chung.

🚀 Mở rộng. Bài toán hai mặt hàng có tổng giá niêm yết cho trước, giảm theo hai tỉ lệ khác nhau và biết tổng tiền thực trả, có cùng cấu trúc đại số với bài toán đầu tư hai khoản lãi suất khác nhau (Bài 7.8).

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 7.10★★Trang 36— Lập phương trình từ bài toán chuyển động đuổi kịp, hai người xuất phát lệch giờ

Bài 7.10 (trang 36). Bạn Nam đi xe đạp rời nhà lúc 14 giờ với vận tốc 12 km/h. Khi Hùng đến nhà Nam vào lúc 14 giờ 10 phút thì mẹ Nam chỉ hướng đường đi của Nam cho Hùng và Hùng đi xe đạp đuổi theo với vận tốc 18 km/h. Hỏi đến lúc mấy giờ thì Hùng đuổi kịp Nam?

Kiến thức cần nhớ

Hai xe cùng chiều, xuất phát lệch nhau về thời gian: xe đuổi kịp khi hai quãng đường bằng nhau.
Đổi 10 phút $= \frac{10}{60} = \frac{1}{6}$ giờ.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai người xuất phát lệch nhau 10 phút với hai vận tốc khác nhau, cùng chiều — đúng dạng toán đuổi kịp đã luyện ở HĐ1–HĐ3 của bài học. Gọi ẩn là thời gian Hùng đi thì quãng đường Nam đi được phải cộng thêm 10 phút quy đổi ra giờ. Bẫy ở chỗ mốc 14 giờ 10 phút là lúc HÙNG BẮT ĐẦU ĐUỔI, không phải lúc Nam xuất phát, nên độ lệch thời gian giữa hai xe luôn là

\frac{1}{6}

giờ.

1Cách 1. Lập phương trình theo thời gian Hùng đi

Định hướng. Gọi $x$ là thời gian Hùng đi, thời gian Nam đã đi (tính từ 14 giờ) là $x + \frac{1}{6}$ ; hai xe đuổi kịp khi hai quãng đường bằng nhau.

Gọi

x

(giờ) là thời gian Hùng đi xe đạp cho đến khi đuổi kịp Nam, điều kiện

x > 0

.
Quãng đường Hùng đi được là

18 x

(km)
Thời gian Nam đã đi (tính từ 14 giờ) là

x + \frac{1}{6}

(giờ), quãng đường Nam đi được là

12 (x + \frac{1}{6})

(km)
Theo đề bài, ta có phương trình:

18 x = 12 (x + \frac{1}{6})

18 x = 12 x + 2

6 x = 2

x = \frac{1}{3}

Đối chiếu điều kiện $x > 0$ : giá trị $x = \frac{1}{3}$ thoả mãn. Hùng xuất phát lúc 14 giờ 10 phút, đi thêm $\frac{1}{3}$ giờ $= 20$ phút. Vậy đến 14 giờ 30 phút thì Hùng đuổi kịp Nam.

2Cách 2. Dùng hiệu vận tốc

Định hướng. Mỗi giờ Hùng đi nhanh hơn Nam $18 - 12 = 6$ (km); lúc Hùng bắt đầu đuổi, Nam đã đi trước một quãng đường cố định, thời gian đuổi kịp bằng quãng đường đó chia cho hiệu vận tốc.

Quãng đường Nam đã đi trước khi Hùng xuất phát

= 12 \cdot \frac{1}{6} = 2

(km)
Mỗi giờ Hùng rút ngắn được

18 - 12 = 6

(km)
Thời gian Hùng cần để đuổi kịp

= 2 : 6 = \frac{1}{3}

(giờ)

= 20

phút

Vậy Hùng xuất phát lúc 14 giờ 10 phút, đuổi kịp sau 20 phút, tức lúc 14 giờ 30 phút — khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng cách thay ngược vào hai quãng đường

Định hướng. Thay $x = \frac{1}{3}$ vào quãng đường của cả hai bạn để kiểm tra chúng có thực sự bằng nhau.

Quãng đường Hùng đi

= 18 \cdot \frac{1}{3} = 6

(km)
Quãng đường Nam đi

= 12 (\frac{1}{3} + \frac{1}{6}) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6

(km)

Hai quãng đường cùng bằng 6 km, đúng điều kiện đuổi kịp. Vậy đáp số 14 giờ 30 phút là chính xác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tính hiệu vận tốc rồi chia trực tiếp, không cần lập phương trình, ra kết quả nhanh hơn Cách 1.

Đáp số. Hùng đuổi kịp Nam lúc 14 giờ 30 phút.

Sai lầm thường gặp. Coi mốc 14 giờ 10 phút là lúc CẢ HAI cùng xuất phát, lập phương trình

18 x = 12 x

— sai vì Nam đã xuất phát từ 14 giờ, đi trước Hùng đúng

\frac{1}{6}

giờ.

🚀 Mở rộng. Nếu người đuổi xuất phát muộn hơn

t_{0}

giờ với vận tốc

v_{1}

, còn người đi trước có vận tốc

v_{2} < v_{1}

, thời gian đuổi kịp kể từ lúc người sau xuất phát luôn là

x = \frac{v _{2} t _{0}}{v _{1} - v _{2}}

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 7.11★★Trang 36— Biểu thị chi phí gồm cước thuê bao cố định và cước gọi theo phút, rồi lập phương trình tìm số phút hai gói cước bằng nhau

Bài 7.11 (trang 36). Hai công ty viễn thông đưa ra hai gói cước cho điện thoại cố định như sau: Công ty A — cước thuê bao hằng tháng 32 000 đồng, giá cước mỗi phút gọi 900 đồng. Công ty B — cước thuê bao hằng tháng 38 000 đồng, giá cước mỗi phút gọi 700 đồng. a) Gọi

x

là số phút gọi trong tháng. Hãy biểu thị theo

x

, số tiền phải trả trong tháng (tính theo nghìn đồng) khi sử dụng mỗi gói cước nói trên. b) Hỏi với bao nhiêu phút gọi thì số tiền phải trả trong tháng khi sử dụng dịch vụ của hai công ty viễn thông này là như nhau?

Kiến thức cần nhớ

Số tiền phải trả = cước thuê bao hằng tháng + giá cước mỗi phút × số phút gọi.
Đổi đơn vị: $900$ đồng $= 0, 9$ nghìn đồng; $700$ đồng $= 0, 7$ nghìn đồng.

🧠 Phân tích tư duy

Đề gồm hai ý: ý a) chỉ yêu cầu viết biểu thức chi phí mỗi gói cước theo số phút gọi

x

(cước thuê bao cộng với giá mỗi phút nhân số phút); ý b) đặt hai biểu thức đó bằng nhau để tìm

x

— đúng dạng toán lập phương trình từ hai biểu thức đã có sẵn. Bẫy ở chỗ đề yêu cầu tính theo NGHÌN ĐỒNG, nên phải đổi

900

đồng

= 0, 9

nghìn đồng và

700

đồng

= 0, 7

nghìn đồng trước khi viết biểu thức, không được giữ nguyên đơn vị đồng.

1Cách 1. Lập biểu thức rồi giải phương trình

Định hướng. Với mỗi công ty, số tiền phải trả bằng cước thuê bao cố định cộng thêm giá cước nhân số phút gọi; đặt hai biểu thức đó bằng nhau để tìm số phút mà hai gói cước ngang giá nhau.

a) Gọi

x

(phút) là số phút gọi trong tháng, điều kiện

x \geq 0

.
Số tiền phải trả khi dùng gói cước công ty A là

32 + 0, 9 x

(nghìn đồng)
Số tiền phải trả khi dùng gói cước công ty B là

38 + 0, 7 x

(nghìn đồng)
b) Theo đề bài, ta có phương trình:

32 + 0, 9 x = 38 + 0, 7 x

0, 9 x - 0, 7 x = 38 - 32

0, 2 x = 6

x = 30

Đối chiếu điều kiện $x \geq 0$ : giá trị $x = 30$ thoả mãn. Vậy a) số tiền phải trả khi dùng gói cước công ty A là $32 + 0, 9 x$ (nghìn đồng), công ty B là $38 + 0, 7 x$ (nghìn đồng); b) khi gọi 30 phút trong tháng thì chi phí hai gói cước bằng nhau.

2Cách 2. So sánh trực tiếp phần chênh lệch

Định hướng. Công ty B có thuê bao cao hơn nhưng giá mỗi phút rẻ hơn — số phút gọi để phần chênh lệch giá cước bù đúng phần thuê bao chênh lệch chính là đáp số cần tìm.

Chênh lệch cước thuê bao:

38 - 32 = 6

(nghìn đồng), công ty B cao hơn
Chênh lệch giá cước mỗi phút:

0, 9 - 0, 7 = 0, 2

(nghìn đồng/phút), công ty A cao hơn
Số phút gọi để hai khoản chênh lệch bù nhau:

x = 6 : 0, 2 = 30

(phút)

Vậy gọi 30 phút trong tháng thì chi phí hai gói cước công ty A và công ty B bằng nhau, khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng cách thay ngược vào hai biểu thức

Định hướng. Thay $x = 30$ vào cả hai biểu thức chi phí ở ý a) để kiểm tra chúng có thực sự bằng nhau.

Chi phí công ty A với

x = 30

32 + 0, 9 \cdot 30 = 32 + 27 = 59

(nghìn đồng)
Chi phí công ty B với

x = 30

38 + 0, 7 \cdot 30 = 38 + 21 = 59

(nghìn đồng)

Hai chi phí cùng bằng 59 nghìn đồng, đúng như dự đoán. Vậy $x = 30$ (phút) là đáp số đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: lấy ngay chênh lệch thuê bao chia cho chênh lệch giá cước mỗi phút, không cần dựng cả phương trình đầy đủ.

Đáp số. a) Công ty A:

32 + 0, 9 x

(nghìn đồng); Công ty B:

38 + 0, 7 x

(nghìn đồng). b)

x = 30

(phút) thì chi phí hai gói cước bằng nhau.

Sai lầm thường gặp. Giữ nguyên đơn vị đồng khi viết biểu thức theo nghìn đồng, viết

32 + 900 x

— sai đơn vị vì đề yêu cầu tính theo NGHÌN ĐỒNG nên phải đổi

900

đồng

= 0, 9

nghìn đồng trước.

🚀 Mở rộng. Nếu công ty có thuê bao

a

và giá cước

p

mỗi phút, công ty kia có thuê bao

b > a

và giá cước

q < p

, thì số phút để hai chi phí bằng nhau luôn là

x = \frac{b - a}{p - q}

Mở bài này trong app ↗