Bài 27. Khái niệm hàm số và đồ thị của hàm số

Định hướng. Kiểm tra các giá trị $x$ ở mỗi bảng có đôi một khác nhau hay không; nếu có $x$ lặp lại thì xét tiếp $y$ tương ứng.

Vậy ở bảng b), cùng $x=1$ nhưng $y=1$ (cột 3) và $y=2$ (cột 4) là hai giá trị khác nhau.

Định hướng. Liệt kê đầy đủ các cặp $(x;y)$ của từng bảng để nhìn ra ngay cặp trùng hoành độ.

Vậy a) $y$ là hàm số của $x$ (thực chất $y=2x$); b) $y$ không phải là hàm số của $x$.

Nhận xét. Bảng a) mỗi $x$ chỉ cho đúng một $y=2x$ tương ứng, thoả đúng định nghĩa hàm số dù không có công thức viết sẵn trong đề.

Định hướng. Kiểm tra bảy giá trị $x=0;1;2;3;4;5;6$ có đôi một khác nhau không, sau đó dò cột có $x=4$ để đọc $y$.

Vậy $y$ là hàm số của $x$; cân nặng của em bé lúc 4 tháng tuổi là $6,2$ kg.

Định hướng. Viết lại toàn bộ 7 cặp $(x;y)$, dễ nhìn ra ngay có cặp nào trùng hoành độ hay không, đồng thời chọn cặp có $x=4$.

Vậy không có hoành độ nào trùng nhau nên $y$ là hàm số của $x$; đọc được $y=6,2$ khi $x=4$, khớp Cách 1.

Nhận xét. Cân nặng tăng dần đều đặn theo tháng tuổi trong bảng này, phù hợp với quy luật tăng trưởng của trẻ nhỏ.

Định hướng. Thay lần lượt từng giá trị $x$ vào công thức $f(x)=2x^2-1$.

Vậy $f(0)=-1$, $f(-1)=1$; bảng đầy đủ: $x$: $-2;-1;0;1;2$ — $y$: $7;1;-1;1;7$.

Định hướng. Vì $(-x{)}^2=x^2$ nên $f(-x)=f(x)$ với mọi $x$ — hai giá trị $x$ đối nhau luôn cho cùng $y$, chỉ cần tính một nửa bảng rồi suy ra nửa còn lại.

Vậy chỉ cần tính $f(0),f(1),f(2)$ rồi suy ra $f(-1)=f(1)=1$ và $f(-2)=f(2)=7$, tiết kiệm một nửa phép tính.

Định hướng. Thay $y=17$ vào công thức, đưa về phương trình bậc hai dạng $x^2=m$ rồi giải.

Vậy $x=3$ hoặc $x=-3$ thì $y=17$.

Nhận xét. Kiểm tra lại: $f(3)=2\cdot 9-1=17$ và $f(-3)=2\cdot 9-1=17$, đúng cả hai nghiệm.

Định hướng. Từ mỗi điểm, kẻ đường vuông góc với $Ox$ và $Oy$ để đọc hoành độ, tung độ.

Vậy $A(-3;4),B(-2;-2),C(1;-3),D(3;0)$.

Định hướng. Đếm số ô lưới từ gốc $O$ đến từng điểm theo chiều ngang rồi chiều dọc.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1.

Định hướng. Với $E(0;-1)$: hoành độ $0$ nên $E$ nằm ngay trên trục tung, tại $y=-1$. Với $F(-2;3)$: kẻ vuông góc từ $x=-2$ và $y=3$, giao điểm là $F$.

Vậy $E$ nằm trên trục tung, $F$ nằm ở góc phần tư thứ II như hình vẽ.

Nhận xét. $E$ có hoành độ $0$ nên là điểm đặc biệt, không thuộc góc phần tư nào.

Định hướng. Ghép mỗi cột của bảng thành một cặp $(x;y)$ rồi đánh dấu lên hệ trục $Oxy$.

Vậy đồ thị của hàm số $y=f(x)$ gồm $5$ điểm như trên, đã biểu diễn ở hình vẽ.

Định hướng. Tính tỉ số $\frac{y}{x}$ ở các cột có $x\ne 0$.

Vậy $y=-3x$ với mọi cặp trong bảng, xác nhận 5 điểm ở Cách 1 đều nằm trên cùng một đường thẳng qua gốc toạ độ $O$, đi từ trên-trái xuống dưới-phải.

Nhận xét. Vì hệ số $k=-3<0$ nên khi $x$ tăng thì $y$ giảm — đồ thị đi xuống từ trái sang phải, khác chiều với Bài 7.21 SGK (hệ số $k=2,5>0$).

Định hướng. Chọn $x=0$ (giá trị dễ tính nhất), thay vào hệ thức để tìm $y$.

Vậy với $x=0$ ta tìm được HAI giá trị $y$ khác nhau ($y=1$ và $y=-1$), nên hệ thức $y^2+x^2=1$ KHÔNG xác định một hàm số $y=f(x)$.

Định hướng. Hệ thức $x^2+y^2=1$ là đường tròn tâm $O$ bán kính $1$; xét đường thẳng đứng $x=x_0$ (với $-1<x_0<1$) cắt đường tròn tại mấy điểm.

Vậy ứng với $x=0,6$ có hai điểm trên đường tròn, tức hai giá trị $y$ khác nhau — xác nhận lại kết luận không phải hàm số ở Cách 1.

Nhận xét. Chỉ tại $x=1$ hoặc $x=-1$ (hai đầu mút đường kính nằm ngang) đường thẳng đứng mới cắt đường tròn tại đúng một điểm ($y=0$); mọi $x$ khác trong khoảng $(-1;1)$ đều cho hai điểm.

Định hướng. Gọi chiều dài là $x$; vì chiều dài gấp đôi chiều rộng nên chiều rộng bằng $\frac{x}{2}$.

Vậy $S=\frac{x^2}{2}$ ($x>0$) là hàm số biểu thị diện tích theo chiều dài $x$.

Định hướng. Gọi chiều rộng là $r$, có $x=2r$ nên $r=\frac{x}{2}$; thử lại với một giá trị cụ thể để kiểm tra công thức vừa lập.

Vậy hai cách tính cho cùng kết quả $S=18$ khi $x=6$, xác nhận công thức $S=\frac{x^2}{2}$ ở Cách 1 là đúng.

Nhận xét. Với mỗi giá trị $x>0$, công thức $\frac{x^2}{2}$ chỉ cho đúng một kết quả $S$, nên $S$ là hàm số của $x$.

Định hướng. Xét lần lượt các đoạn thẳng nối các mốc thời gian đã cho, mỗi đoạn cho biết một giai đoạn di chuyển.

Vậy a) anh Nam đi nhanh nhất (đỉnh $40$ km/h) trong khoảng $t$ từ $7$ đến $7,4$ phút. b) vận tốc bằng $0$ trong khoảng $t$ từ $4,2$ đến $6$ phút (đoạn xe dừng).

Định hướng. Với câu hỏi về một khoảng $t$ cho trước hoặc một vận tốc cho trước, tìm đúng đoạn NẰM NGANG chứa mốc đó (vì vận tốc không đổi trên đoạn nằm ngang).

Vậy c) từ $2$ đến $4$ phút, vận tốc không đổi bằng $30$ km/h. d) anh Nam đi với vận tốc $38$ km/h trong khoảng $t$ từ $7,6$ đến $8$ phút.

Nhận xét. Khoảng $2$ đến $4$ phút nằm TRỌN trong đoạn nằm ngang $2\to 4,2$ nên vận tốc không đổi suốt khoảng đó, không cần tính trung bình.