Bài 27. Khái niệm hàm số và đồ thị của hàm số

Định hướng. Thay lần lượt $t=1;2;3;4$ vào $S=60t$ để tính $S$ tương ứng.

Vậy bảng giá trị: $t$: $1;2;3;4$ (giờ) tương ứng $S$: $60;120;180;240$ (km).

Định hướng. $S=60t$ có dạng $S=kt$ với $k=60$ nên $S$ tỉ lệ thuận với $t$; khi $t$ tăng thêm $1$ đơn vị thì $S$ tăng thêm $60$ đơn vị.

Vậy bảng giá trị giống Cách 1, thu được bằng cách cộng dồn $60$ mỗi lần $t$ tăng $1$ đơn vị.

Nhận xét. Cách này tránh nhân số lớn, phù hợp khi tính nhẩm nhanh bảng giá trị.

Định hướng. Tìm cột có $t=12$ trong bảng, đọc giá trị $T$ tương ứng.

Vậy nhiệt độ Hà Nội lúc 12 giờ trưa hôm đó là $30^{o}C$.

Định hướng. Viết lại toàn bộ các cặp $(t;T)$ rồi chọn ra cặp có $t=12$, cách này tránh đọc nhầm cột khi bảng có nhiều số liệu.

Vậy $T=30$ khi $t=12$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Với mỗi $t$ trong bảng chỉ có đúng một giá trị $T$ được ghi, nên $T$ xác định được duy nhất một giá trị ứng với mỗi $t$.

Định hướng. Từ công thức quãng đường $=$ vận tốc $\times$ thời gian, suy ra thời gian $=$ quãng đường $÷$ vận tốc.

Vậy $t=\frac{150}{v}$ là một hàm số của $v$, và $t=2,5$ giờ khi $v=60$ km/h.

Định hướng. Thử lại kết quả bằng cách nhân thời gian vừa tìm với vận tốc, phải ra đúng quãng đường $150$ km.

Vậy $150$ km khớp với quãng đường đề cho, xác nhận $t=2,5$ giờ ở Cách 1 là đúng.

Nhận xét. Vì $v\ne 0$ nên phép chia $\frac{150}{v}$ luôn thực hiện được và cho đúng một giá trị, nên $t$ luôn là hàm số của $v$.

Định hướng. Liệt kê số liệu 5 tháng rồi so sánh để tìm giá trị nhỏ nhất.

Vậy tháng 4 có số lượng ô tô tiêu thụ ít nhất, bằng $11761$ chiếc.

Định hướng. Trên biểu đồ đoạn thẳng, giá trị nhỏ nhất ứng với điểm nằm thấp nhất trên trục thẳng đứng.

Vậy điểm thấp nhất ứng với tháng 4, xác nhận lại kết quả của Cách 1.

Nhận xét. Với mỗi tháng $x\in \{1;2;3;4;5\}$ biểu đồ chỉ vẽ đúng một điểm, nên $y$ luôn xác định duy nhất theo $x$ — $y$ là hàm số của $x$; khi $x=5$ thì $y=19081$.

Định hướng. Từ mỗi điểm, kẻ đường vuông góc với $Ox$ và $Oy$; giao điểm với $Ox$ cho hoành độ, giao điểm với $Oy$ cho tung độ.

Vậy $M(-2;4),N(1;-2),P(2;0),Q(0;-3)$.

Định hướng. Vì lưới toạ độ chia mỗi đơn vị thành một ô vuông, đếm số ô từ gốc $O$ đến điểm theo chiều ngang rồi theo chiều dọc.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $M(-2;4),N(1;-2),P(2;0),Q(0;-3)$.

Định hướng. Làm ngược lại câu a: từ hoành độ, tung độ đã cho, kẻ hai đường vuông góc với hai trục, giao điểm của chúng là điểm cần tìm.

Vậy $R$ nằm ở góc phần tư thứ IV, $S$ nằm ở góc phần tư thứ II như hình vẽ.

Định hướng. Chọn một điểm có cả hai toạ độ âm, ví dụ $(-2;-3)$, rồi xác định nó nằm bên trái $Oy$ và phía dưới $Ox$.

Vậy điểm này nằm ở phần bên trái, phía dưới — đối chiếu Hình 7.6 đó chính là góc phần tư thứ III.

Định hướng. Hình 7.6 đã ghi sẵn số thứ tự bốn góc: I ở trên-phải, II ở trên-trái, III ở dưới-trái, IV ở dưới-phải.

Vậy vị trí dưới-trái ứng đúng với góc phần tư thứ III theo Hình 7.6, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Bạn nói góc phần tư thứ II đã nhớ nhầm: góc II là trên-trái (hoành độ âm, tung độ dương), không phải dưới-trái.

Định hướng. Mỗi cột của bảng cho một cặp $(x;y)$ tương ứng, ghép lần lượt 5 cột thành 5 cặp số.

Vậy tập hợp cần tìm là $\{(-2;-1);(-1;0);(0;1);(1;2);(2;3)\}$.

Định hướng. Quan sát bảng thấy mỗi giá trị $y$ luôn hơn $x$ đúng $1$ đơn vị, dự đoán quy luật $y=x+1$ rồi kiểm tra lại toàn bộ 5 cặp.

Vậy quy luật $y=x+1$ khớp cả 5 cặp, xác nhận lại tập hợp ở Cách 1.

Nhận xét. Vẽ 5 điểm $(-2;-1),(-1;0),(0;1),(1;2),(2;3)$ trên hệ trục $Oxy$ như hình vẽ, ta được đồ thị của hàm số $y=f(x)$ đã cho — đây là 5 điểm thẳng hàng vì $y=x+1$ là hàm số bậc nhất.

Định hướng. Ghép mỗi cột của bảng thành một cặp $(x;y)$, sau đó đánh dấu lần lượt 4 điểm lên hệ trục $Oxy$.

Vậy đồ thị của hàm số $y=f(x)$ gồm $4$ điểm $(-3;4),(-1;3,5),(1;1),(2,5;0)$ như hình vẽ.

Định hướng. Sắp xếp lại 4 cặp theo $x$ tăng dần (bảng đã cho sẵn đúng thứ tự này) để việc đánh dấu từ trái sang phải trên trục hoành không bị nhảy cóc, tránh sót điểm.

Vậy 4 điểm được vẽ theo đúng thứ tự trái sang phải, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Điểm $(2,5;0)$ nằm ngay trên trục hoành vì có tung độ $y=0$, cần đặt đúng vị trí nửa ô giữa $2$ và $3$.

Định hướng. Với mỗi bảng, kiểm tra xem các giá trị $x$ có đôi một khác nhau hay không; nếu có $x$ lặp lại thì xét tiếp $y$ tương ứng có giống nhau không.

Vậy ở bảng b), cùng $x=1$ nhưng $y=1$ (cột 2) và $y=2$ (cột 4) là hai giá trị khác nhau.

Định hướng. Liệt kê đầy đủ các cặp $(x;y)$ của từng bảng, dễ nhìn ra ngay cặp trùng hoành độ.

Vậy a) mỗi $x$ chỉ ứng một $y$ nên $y$ là hàm số của $x$; b) $x=1$ ứng hai giá trị $y$ nên $y$ không phải là hàm số của $x$.

Nhận xét. Bảng a) là một hàm hằng ($y=1$ với mọi $x$) — vẫn là hàm số vì không vi phạm định nghĩa, chỉ là giá trị $y$ không đổi.

Định hướng. Thay lần lượt $x=-4$ và $x=8$ vào công thức $f(x)=\frac{4}{x}$.

Vậy $f(-4)=-1$, $f(8)=0,5$; các ô $y$ còn thiếu ứng với $x$ đã biết lần lượt là $-2;2;\frac{4}{3}$.

Định hướng. Với ô đã biết $y$ nhưng chưa biết $x$, từ $y=\frac{4}{x}$ suy ra $x=\frac{4}{y}$.

Vậy hai ô $x$ còn thiếu lần lượt là $-1$ và $0,5$.

Nhận xét. Gộp lại, bảng hoàn chỉnh là: $x$: $-2;-1;2;3;0,5$ — $y$: $-2;-4;2;\frac{4}{3};8$.

Định hướng. Vì $y=\frac{4}{x}$ nên $x\cdot y=4$ với mọi cặp $(x;y)$ trong bảng — dùng tích này để kiểm tra nhanh toàn bộ kết quả.

Vậy mọi cặp đều thoả $x\cdot y=4$, xác nhận toàn bộ bảng ở Cách 1, Cách 2 là chính xác.

Định hướng. Từ mỗi điểm, kẻ đường vuông góc với $Ox$ và $Oy$ để đọc hoành độ, tung độ.

Vậy $A(-3;4),B(-2;-2),C(1;-3),D(3;0)$.

Định hướng. Đếm số ô lưới từ gốc $O$ đến từng điểm theo chiều ngang rồi chiều dọc, mỗi ô ứng với $1$ đơn vị.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1.

Định hướng. Với $E(0;-2)$: hoành độ $0$ nên $E$ nằm ngay trên trục tung, tại vị trí $y=-2$. Với $F(2;-1)$: kẻ vuông góc từ $x=2$ và $y=-1$, giao điểm là $F$.

Vậy $E$ nằm trên trục tung, $F$ nằm ở góc phần tư thứ IV như hình vẽ.

Nhận xét. $E$ có hoành độ $0$ nên là điểm đặc biệt nằm đúng trên trục tung, không thuộc góc phần tư nào.

Định hướng. Ghép mỗi cột của bảng thành một cặp $(x;y)$ rồi đánh dấu lên hệ trục $Oxy$.

Vậy đồ thị của hàm số $y=f(x)$ gồm $5$ điểm như trên, đã biểu diễn ở hình vẽ.

Định hướng. Tính tỉ số $\frac{y}{x}$ ở các cột có $x\ne 0$, nếu không đổi thì đó là hệ số $k$ của hàm số $y=kx$.

Vậy $y=2,5x$ với mọi cặp trong bảng, xác nhận 5 điểm ở Cách 1 đều nằm trên cùng một đường thẳng qua gốc toạ độ $O$.

Nhận xét. Vì cả 5 điểm thẳng hàng, có thể chỉ cần vẽ 2 điểm rồi nối thành đường thẳng để kiểm tra nhanh 3 điểm còn lại có nằm đúng trên đường đó không.

Định hướng. Đọc toạ độ (tuổi; cân nặng) của từng bạn từ hình, rồi so sánh tung độ để tìm người nặng nhất, so sánh hoành độ để tìm người ít tuổi nhất.

Vậy a) Hưng nặng nhất, nặng $50$ kg. b) An ít tuổi nhất, $11$ tuổi.

Định hướng. Với câu c), chỉ cần so sánh hai toạ độ của riêng Bình và Việt.

Vậy c) Bình nặng hơn Việt, nhưng Việt nhiều tuổi hơn Bình.

Định hướng. Lập bảng Tuổi – Cân nặng cho 4 bạn, sau đó áp dụng đúng định nghĩa hàm số: rà xem có giá trị tuổi nào lặp lại với cân nặng khác nhau không.

Vậy d) cân nặng KHÔNG phải là hàm số của tuổi, vì tuổi $14$ cho hai giá trị cân nặng khác nhau là $50$ kg (Hưng) và $40$ kg (Việt).

Nhận xét. Đây là ví dụ thực tế cho thấy không phải bảng số liệu nào cũng là hàm số — hai người có thể cùng tuổi nhưng khác cân nặng.

Định hướng. Từ mỗi mốc $t=1;2;5$ trên trục hoành, dóng thẳng đứng lên đồ thị rồi dóng ngang sang trục tung để đọc $T$.

Vậy $T(1)=7$ nghĩa là lúc $13$ giờ (1 giờ chiều) nhiệt độ là $7{}^{o}C$; $T(2)=8$ nghĩa là lúc $14$ giờ nhiệt độ đạt $8{}^{o}C$ (cao nhất trong khoảng đang xét); $T(5)=4$ nghĩa là lúc $17$ giờ nhiệt độ là $4{}^{o}C$.

Định hướng. So sánh độ cao hai điểm ứng với $t=1$ và $t=4$ trên đồ thị.

Vậy $T(1)$ lớn hơn $T(4)$.

Định hướng. Kẻ đường thẳng nằm ngang tại mức $T=5$; hoành độ các giao điểm với đồ thị chính là nghiệm $t$ cần tìm; đoạn đồ thị nằm TRÊN đường thẳng đó ứng với $T>5$.

Vậy c) $T(t)=5$ khi $t=0$ hoặc $t=4$. d) Nhiệt độ cao hơn $5{}^{o}C$ trong khoảng thời gian $0<t<4$ (tức từ giữa trưa đến 4 giờ chiều).

Nhận xét. Phương trình $T(t)=5$ có hai nghiệm vì đường thẳng nằm ngang cắt một đường cong "lên rồi xuống" tại hai điểm — khác với hàm số bậc nhất chỉ có nhiều nhất một nghiệm cho mỗi phương trình dạng này.