Bài 28. Hàm số bậc nhất và đồ thị của hàm số bậc nhất

Định hướng. Hệ số của $x$ trong hàm số là $1-2m$; muốn là hàm bậc nhất thì hệ số này phải khác $0$. Với câu b), thay toạ độ điểm đã cho vào công thức hàm số.

Vậy a) hàm số đã cho là hàm bậc nhất khi $m\ne \frac{1}{2}$.

Vậy b) $m=1$ (thoả điều kiện $m\ne \frac{1}{2}$ ở câu a).

Định hướng. Viết rõ hàm số dưới dạng $y=(1-2m)x+3$ rồi làm việc trực tiếp với hệ số $a=1-2m$ như một biểu thức đại số, tránh nhầm dấu khi khai triển ở câu b).

Vậy a) $m\ne \frac{1}{2}$.

Vậy b) $m=1$, khớp Cách 1.

Nhận xét. Với $m=1$, hệ số $a=1-2\cdot 1=-1\ne 0$, vừa khớp điều kiện câu a) vừa xác nhận $m=1$ hợp lệ.

Định hướng. Sau khi tìm được $m=1$ (nghi ngờ), thay ngược lại vào hàm số ban đầu và kiểm tra điểm $(-1;4)$ có thật sự thuộc đồ thị hay không.

Vậy $m=1$ là giá trị đúng, xác nhận kết quả của Cách 1 và Cách 2.

Định hướng. Với a), b) tính giao điểm với $Ox,Oy$; với c), d) dùng gốc toạ độ và một điểm khác.

Vậy vẽ được $4$ đường thẳng như hình trên.

Định hướng. Tính thêm vài điểm cho mỗi hàm bằng cách thay số, dùng được cho mọi đường thẳng không phân biệt $b=0$ hay $b\ne 0$.

Vậy các điểm đều thẳng hàng theo đúng $4$ đường thẳng đã vẽ ở Cách 1.

Định hướng. Từ điểm cắt trục tung (hoặc gốc toạ độ), dùng hệ số góc $a$ để bước tới điểm thứ hai.

Vậy $4$ đường thẳng vẽ qua các cặp điểm này trùng khớp Cách 1.

Nhận xét. Bốn đường thẳng có hệ số góc đôi một khác nhau nên đôi một cắt nhau tại các điểm phân biệt, không có hai đường nào song song.

Định hướng. Hoành độ giao điểm của $(d_1),(d_2)$ thoả cả hai phương trình cùng lúc, nên giải phương trình $-2x+1=x+4$.

Vậy a) $(d_1)$ và $(d_2)$ cắt nhau tại $I(-1;3)$.

Vậy b) $m=-3$.

Định hướng. Xem toạ độ giao điểm $(x;y)$ là nghiệm của hệ hai phương trình, giải bằng phương pháp thế thay vì lập trực tiếp phương trình hoành độ.

Vậy a) giao điểm $I(-1;3)$, khớp Cách 1.

Vậy b) $m=-3$, khớp Cách 1.

Định hướng. Sau khi tìm được $m=-3$ (nghi ngờ), thay ngược lại vào $(d_3)$ và kiểm tra cả ba đường thẳng có thật sự cùng đi qua $I(-1;3)$.

Vậy cả ba đường thẳng cùng đi qua $I(-1;3)$ khi $m=-3$, xác nhận kết quả đúng.

Nhận xét. Bước kiểm tra lại bằng cách thay số là thao tác nên làm với mọi bài toán tìm tham số theo điều kiện hình học.

Định hướng. Phí phải trả bằng phí cuộc gọi cố định cộng phí nhân công theo giờ.

Vậy $C=80x+50$; với $3$ giờ lao động, phí dịch vụ là $290$ nghìn đồng.

Định hướng. Xuất phát từ phí cố định $50$ nghìn đồng, cộng dồn $80$ nghìn đồng cho mỗi giờ công đã dùng.

Vậy phí dịch vụ cho $3$ giờ lao động là $290$ nghìn đồng, khớp Cách 1.

Định hướng. Tính riêng tổng phí nhân công cho $3$ giờ, rồi cộng với phí cuộc gọi cố định — không cần viết hẳn công thức tổng quát trước.

Vậy phí dịch vụ là $290$ nghìn đồng.

Nhận xét. Ba cách đều cho cùng kết quả — Cách 1 gọn nhất khi đã có công thức tổng quát $C=80x+50$.

Định hướng. Số tiền có sau $x$ tuần bằng số tiền đã có cộng số tiền tiết kiệm thêm; muốn đủ $15$ triệu đồng thì giải phương trình $y=15$.

Vậy a) $y=0,3x+4,5$. b) Sau $35$ tuần, anh Nam tiết kiệm đủ $15$ triệu đồng để mua máy tính.

Định hướng. Sau khi vẽ đồ thị đi qua $(0;4,5)$ với hệ số góc $a=0,3$, dóng từ mức $y=15$ trên trục tung sang đồ thị rồi xuống trục hoành để đọc số tuần.

Vậy đọc trên đồ thị được $x=35$ tuần, khớp Cách 1.

Định hướng. Tính trực tiếp số tiền còn thiếu so với $15$ triệu đồng, rồi chia cho mức tiết kiệm mỗi tuần mà không cần lập phương trình đầy đủ.

Vậy cần $35$ tuần để tiết kiệm đủ tiền, khớp cả hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 thực chất là rút gọn các bước biến đổi của Cách 1, phù hợp khi cần tính nhanh.

Định hướng. Từ tỉ lệ đổi đơn vị đã cho, viết công thức $y=1,852x$; xét ý nghĩa thực tế của $x$ âm; áp dụng công thức cho câu c).

Vậy a) $y=1,852x$ với $x\ge 0$. c) Hành trình $350$ hải lí dài $648,2$ km.

Định hướng. Dùng điểm mẫu đã vẽ trên đồ thị (ví dụ $(5;9,26)$) rồi suy ra giá trị tại $x=350$ bằng tỉ lệ, không tính trực tiếp phép nhân với số thập phân dài.

Vậy c) hành trình dài $648,2$ km, khớp Cách 1.

Định hướng. Tách $350=300+50$ để nhân với $1,852$ theo từng phần dễ tính hơn, tránh nhân trực tiếp một số có nhiều chữ số thập phân với số lớn.

Vậy hành trình $350$ hải lí dài $648,2$ km, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Vì $x$ không âm, đồ thị hàm số này chỉ là một tia xuất phát từ gốc toạ độ, không phải toàn bộ đường thẳng.

Định hướng. Đổi phí cố định $1,5$ triệu đồng thành $1500$ nghìn đồng để cùng đơn vị với phí theo km, rồi cộng lại.

Vậy a) $C=10x+1500$. b) Chi phí thuê xe là $3300$ nghìn đồng, tức $3,3$ triệu đồng.

Định hướng. Giữ nguyên đơn vị triệu đồng khi tính toán cho quen thuộc, chỉ đổi sang nghìn đồng ở bước trình bày kết quả cuối theo đúng yêu cầu đề bài.

Vậy b) chi phí thuê xe là $3300$ nghìn đồng, khớp Cách 1.

Định hướng. Tính phí cho mỗi $10$ km rồi nhân lên, cộng với phí cố định — cách tính nhẩm nhanh khi không cần lập công thức tổng quát.

Vậy chi phí thuê xe là $3300$ nghìn đồng, khớp cả hai cách trên.

Nhận xét. Dù tính theo đơn vị nào, bước bắt buộc đầu tiên vẫn là đưa các đại lượng về cùng đơn vị trước khi cộng.

Định hướng. Giá trị ban đầu $640$ triệu đồng đóng vai trò $b$; mỗi năm giảm $80$ triệu đồng đóng vai trò hệ số góc $a=-80$.

Vậy a) $V=-80x+640$. c) Sau $3$ năm, giá trị sổ sách là $400$ triệu đồng. d) Sau $6$ năm, giá trị sổ sách là $160$ triệu đồng.

Định hướng. Đồ thị đi qua $(0;640)$ và $(8;0)$ (khi giá trị giảm về $0$ sau đúng $8$ năm khấu hao); dóng trực tiếp để đọc giá trị.

Vậy c) $400$ triệu đồng; d) sau $6$ năm — khớp Cách 1.

Định hướng. Vì mỗi năm giá trị giảm đúng $80$ triệu đồng, có thể tính bằng phép trừ liên tiếp từ giá trị ban đầu thay vì thay vào công thức tổng quát.

Vậy c) $400$ triệu đồng; d) sau $6$ năm — khớp hai cách trên.

Nhận xét. Vì $x\ge 0$ và giá trị không thể âm, đồ thị thực tế chỉ vẽ trên đoạn $0\le x\le 8$ (từ lúc mua đến lúc khấu hao hết).