Bài 28. Hàm số bậc nhất và đồ thị của hàm số bậc nhất

Định hướng. Ô tô chuyển động đều với vận tốc $60$ km/h, áp dụng ngay công thức quãng đường.

Vậy $S=60t$ và $S$ là một hàm số của $t$.

Định hướng. Tính thử vài giá trị $t$ để phát hiện quy luật trước khi viết công thức chung.

Vậy $S=60t$; mỗi $t$ cho đúng một $S$ nên $S$ là hàm số của $t$.

Nhận xét. Cách 2 phù hợp khi chưa nhớ ngay công thức, còn Cách 1 nhanh hơn khi đã thuộc quan hệ quãng đường – vận tốc – thời gian.

Định hướng. Quãng đường đi được tỉ lệ thuận với thời gian khi vận tốc không đổi — dùng tính chất đã học ở lớp 7.

Vậy $S=60t$ là một hàm số của $t$.

Định hướng. Khoảng cách đến trung tâm Hà Nội bằng khoảng cách ban đầu (từ Giáp Bát) cộng quãng đường ô tô đã đi thêm được (kết quả HĐ1).

Vậy $d=60t+7$ (km).

Định hướng. Đặt trung tâm Hà Nội tại gốc $0$ của trục số, bến xe Giáp Bát và Vinh nằm cùng phía dương.

Vậy $d=60t+7$ (km).

Định hướng. Khoảng cách theo thời gian khi vận tốc không đổi luôn có dạng hàm bậc nhất $d=at+b$, trong đó $a$ là vận tốc và $b$ là khoảng cách tại $t=0$.

Vậy $d=60t+7$ (km).

Nhận xét. Ba cách cho cùng một công thức — Cách 3 cho thấy rõ nhất bản chất hàm số bậc nhất sẽ học ngay sau đây.

Định hướng. Thay lần lượt $t=1;2;3;4;5$ vào công thức đã lập ở HĐ2.

Vậy bảng giá trị: $d$ lần lượt là $67;127;187;247;307$ (km).

Định hướng. Vì hệ số góc $a=60$ nên mỗi khi $t$ tăng thêm $1$ giờ thì $d$ tăng thêm đúng $60$ km — dùng giá trị đã biết để suy các giá trị tiếp theo.

Vậy bảng giá trị giống Cách 1: $67;127;187;247;307$ (km).

Nhận xét. Với mỗi $t$ nguyên dương, công thức $d=60t+7$ luôn cho đúng một $d$, nên $d$ là một hàm số của $t$.

Định hướng. Xét hiệu $d(t)-d(1)=60(t-1)$ để tính nhanh các giá trị còn lại từ $d(1)=67$ đã biết.

Vậy bảng giá trị: $67;127;187;247;307$ (km).

Định hướng. So từng công thức đã có sẵn dạng $ax+b$ với định nghĩa, chỉ ra hệ số $a$.

Vậy a), b) là hàm số bậc nhất; c) không phải.

Định hướng. Câu d), e) chưa ở dạng chuẩn, phải khai triển trước khi xác định hệ số $a$.

Vậy d) là hàm số bậc nhất; e) không phải (dù có hình thức giống $ax+b$).

Định hướng. Soát nhanh cả $5$ câu bằng hai dấu hiệu loại: có luỹ thừa của $x$ khác $1$, hoặc hệ số $a$ triệt tiêu sau khi rút gọn.

Vậy các hàm số bậc nhất là a), b), d); không phải hàm bậc nhất là c), e).

Nhận xét. Cách 3 quét nhanh cả bài trong một lượt, phù hợp khi cần kiểm tra nhiều công thức cùng lúc.

Định hướng. Từ $1$ dặm $=1,609$ km suy ra công thức đổi $x$ km sang $y$ dặm là $y=\frac{x}{1,609}$; để so sánh vận tốc, đổi ngược $55$ dặm/giờ sang km/h bằng cách nhân với $1,609$.

Vậy a) $y=\frac{x}{1,609}$ là hàm số bậc nhất. b) Vì $88,495$ km/h $>80$ km/h nên ô tô VI PHẠM luật giao thông.

Định hướng. Thay vì đổi $55$ dặm/giờ sang km/h, đổi $80$ km/h sang dặm/giờ bằng chính công thức $y=\frac{x}{1,609}$ ở câu a), rồi so sánh với $55$.

Vậy vận tốc $55$ dặm/giờ vượt quá giới hạn $\approx 49,72$ dặm/giờ, ô tô VI PHẠM luật giao thông — khớp kết luận ở Cách 1.

Định hướng. Làm tròn $1,609\approx 1,6$ để ước lượng nhanh xem có khả năng vi phạm hay không, sau đó tính chính xác để kết luận chắc chắn (không dựa vào số đã làm tròn).

Vậy ô tô chạy khoảng $88,495$ km/h, vượt mức tối đa $80$ km/h nên VI PHẠM luật giao thông.

Nhận xét. Ước lượng bằng số tròn giúp phát hiện nhanh khả năng vi phạm mà không cần tính chính xác ngay từ đầu, nhưng kết luận cuối vẫn phải dựa vào số liệu chính xác.

Định hướng. Chia riêng từng hạng tử của tử số cho mẫu số $2$.

Vậy $y=\frac{x+1}{2}$ LÀ hàm số bậc nhất — Vuông nói đúng, Tròn nói sai.

Định hướng. Đặc trưng của hàm bậc nhất là mỗi khi $x$ tăng thêm $1$ đơn vị thì $y$ tăng thêm một lượng không đổi — kiểm tra tính chất này bằng bảng số.

Vậy $y$ tăng đều theo $x$ (đặc trưng của hàm bậc nhất), khẳng định $y=\frac{x+1}{2}$ là hàm số bậc nhất — Vuông đúng.

Định hướng. Phân tích trực tiếp vì sao lí do của Tròn ("có mẫu số nên không phải hàm bậc nhất") là sai.

Vậy Tròn đã nhầm giữa "biểu thức có mẫu số" với "biến $x$ nằm ở mẫu" — Vuông nói đúng, đây là hàm số bậc nhất với $a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{2}$.

Nhận xét. Chỉ khi biến $x$ nằm Ở MẪU (như $y=\frac{1}{x}$) hoặc trong căn thì công thức mới KHÔNG phải hàm bậc nhất.

Định hướng. Thay lần lượt $x=-2;-1;0;1;2$ vào $y=2x-1$.

Vậy bảng giá trị: $y$ lần lượt là $-5;-3;-1;1;3$.

Định hướng. Hệ số góc $a=2$ nên mỗi khi $x$ tăng thêm $1$ thì $y$ tăng thêm $2$ — dùng giá trị tại $x=0$ để suy các ô còn lại.

Vậy bảng giá trị giống Cách 1: $-5;-3;-1;1;3$.

Định hướng. Với $y=2x-1$, hai giá trị $y(x)$ và $y(-x)$ luôn có tổng bằng $-2$ — tính một nửa số ô rồi suy nửa còn lại.

Vậy bảng giá trị: $-5;-3;-1;1;3$, khớp cả hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 chỉ cần tính $3$ trong $5$ ô rồi suy ra $2$ ô còn lại, tiết kiệm phép tính.

Định hướng. Đối chiếu đúng thứ tự hoành độ $-2;-1;0;1;2$ với tung độ tương ứng $-5;-3;-1;1;3$ đã tính ở HĐ4.

Vậy $A(-2;-5)$, $B(-1;-3)$, $C(0;-1)$, $D(1;1)$, $E(2;3)$.

Định hướng. Mọi điểm trên đồ thị có dạng $(x;2x-1)$; thay lần lượt $5$ hoành độ đã cho vào dạng tổng quát này để tự kiểm tra lại kết quả của Cách 1.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $A(-2;-5)$, $B(-1;-3)$, $C(0;-1)$, $D(1;1)$, $E(2;3)$.

Định hướng. Đánh dấu đúng $5$ điểm theo toạ độ đã tìm ở HĐ5 lên mặt phẳng $Oxy$, rồi đặt thước áp qua các điểm.

Vậy cả $5$ điểm $A,B,C,D,E$ cùng nằm trên một đường thẳng.

Định hướng. Thay vì quan sát bằng mắt, tính tỉ số giữa hiệu hai tung độ và hiệu hai hoành độ của các cặp điểm liên tiếp — các điểm thẳng hàng khi mọi tỉ số này bằng nhau.

Vậy cả $4$ tỉ số đều bằng $2$, chứng tỏ $5$ điểm cùng nằm trên một đường thẳng có hệ số góc $2$.

Định hướng. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$ rồi thay toạ độ $C,D,E$ vào để kiểm tra có thoả mãn hay không.

Vậy cả $C,D,E$ đều thoả mãn $y=2x-1$ — đường thẳng qua $A,B$ — nên $5$ điểm cùng nằm trên một đường thẳng.

Nhận xét. Đây chính là lí do đồ thị của hàm số bậc nhất $y=ax+b$ luôn là một đường thẳng.

Định hướng. Với $y=-2x+3$ ($b=3\ne 0$) lấy giao điểm với hai trục; với $y=\frac{1}{2}x$ ($b=0$) lấy gốc toạ độ và điểm $(1;a)$.

Vậy vẽ được hai đường thẳng như hình trên: $y=-2x+3$ qua $(0;3)$ và $(1,5;0)$; $y=\frac{1}{2}x$ qua $O(0;0)$ và $(2;1)$.

Định hướng. Chọn thêm vài giá trị $x$ để tính $y$, vẽ nhiều điểm cho chắc trước khi nối thành đường thẳng — cách tổng quát dùng được cho mọi hàm số.

Vậy các điểm đều thẳng hàng theo đúng hai đường thẳng đã vẽ ở Cách 1, xác nhận kết quả đúng.

Định hướng. Từ một điểm đã biết, dùng hệ số góc $a$ (đi $1$ đơn vị sang phải thì lên/xuống $|a|$ đơn vị) để xác định điểm thứ hai mà không cần tính giao điểm với trục.

Vậy vẽ được hai đường thẳng qua các cặp điểm $(0;3),(1;1)$ và $(0;0),(2;1)$ — đúng hai đường thẳng ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 3 nhanh khi đã có sẵn một điểm và biết rõ hệ số góc, không cần giải phương trình tìm giao điểm với trục hoành.

Định hướng. Với các câu đã ở dạng $ax+b$ hoặc gần dạng chuẩn, đọc thẳng hệ số $a,b$.

Vậy a) không phải; b), c) là hàm số bậc nhất với hệ số như trên.

Định hướng. Câu d) có ngoặc và căn thức, phải khai triển hết trước khi đọc hệ số $a,b$.

Vậy d) LÀ hàm số bậc nhất với $a=\sqrt{2}$, $b=3-\sqrt{2}$.

Định hướng. Soát cả $5$ câu cùng lúc bằng hai dấu hiệu loại: chứa luỹ thừa của $x$ khác $1$, hoặc hệ số $a$ triệt tiêu.

Vậy hàm số bậc nhất là b), c), d); không phải là a), e).

Nhận xét. Cách 3 giúp loại nhanh hai câu dễ nhận ra (a, e) trước, chỉ còn phải khai triển kĩ câu d).

Định hướng. Thay $x=1,y=5$ vào $y=ax+3$, đưa về phương trình bậc nhất ẩn $a$.

Vậy $a=2$, hàm số cần tìm là $y=2x+3$.

Vậy bảng giá trị: $y$ lần lượt là $-1;1;3;5;7$.

Định hướng. Hệ số góc $a=\frac{y-b}{x}$ với điểm đã cho; sau đó lập bảng bằng cách cộng dồn $a$ mỗi khi $x$ tăng $1$, bắt đầu từ $x=0$.

Vậy $a=2$.

Vậy bảng giá trị: $-1;1;3;5;7$, khớp Cách 1.

Định hướng. Thử lần lượt vài giá trị $a$ nguyên nhỏ vào công thức $y=ax+3$ tại $x=1$ để tìm giá trị cho đúng $y=5$.

Vậy $a=2$.

Vậy bảng giá trị: $-1;1;3;5;7$.

Nhận xét. Cách 3 chỉ nên dùng để kiểm tra nhanh, Cách 1 mới là cách chắc chắn khi hệ số không phải số nguyên nhỏ.

Định hướng. Với a), b) tính giao điểm với $Ox,Oy$; với c) dùng gốc toạ độ và một điểm khác gốc.

Vậy vẽ được $3$ đường thẳng như hình trên.

Định hướng. Tính thêm vài điểm cho mỗi hàm để vẽ chắc chắn hơn, đây là cách tổng quát áp dụng được cho mọi đường thẳng.

Vậy các điểm này đều thẳng hàng theo đúng $3$ đường thẳng đã vẽ ở Cách 1, xác nhận kết quả đúng.

Định hướng. Từ điểm cắt trục tung (hoặc gốc toạ độ), dùng hệ số góc $a$ để bước tới điểm thứ hai mà không cần giải phương trình tìm giao điểm với $Ox$.

Vậy $3$ đường thẳng vẽ qua các cặp điểm này trùng khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 3 nhanh nhất khi hệ số góc là số dễ đếm ô lưới, tránh phải giải phương trình tìm giao điểm với $Ox$.

Định hướng. Từ tỉ giá đã cho, viết công thức $y=1,1052x$; áp dụng thuận cho câu b), áp dụng ngược ($x=\frac{y}{1,1052}$) cho câu c).

Vậy a) là hàm bậc nhất. b) $200$ EUR $=221,04$ USD. c) $500$ USD $\approx 452,41$ EUR.

Định hướng. Lập tỉ lệ thức từ tỉ giá đã cho, không cần viết hẳn công thức hàm số.

Vậy b) $221,04$ USD; c) $\approx 452,41$ EUR — khớp Cách 1.

Định hướng. Vì $a=1,1052\ne 0$ nên tồn tại đúng một hàm ngược $x=\frac{1}{1,1052}y$; tính sẵn hệ số nghịch đảo rồi thay số cho câu c), đối chiếu lại câu b) bằng công thức thuận.

Vậy kết quả trùng khớp hai cách trên: b) $221,04$ USD; c) $\approx 452,41$ EUR.

Nhận xét. Vì hàm số $y=ax$ với $a\ne 0$ luôn có hàm ngược duy nhất nên hai chiều đổi tiền (EUR sang USD và USD sang EUR) đều tính được từ cùng một tỉ giá.

Định hướng. Cước phải trả bằng cước thuê bao cộng cước gọi theo phút.

Vậy a) $y=800x+22000$. b) Cước phải trả là $82000$ đồng. c) Thuê bao đã gọi $90$ phút.

Định hướng. Xuất phát từ mốc $x=0,y=22000$, mỗi phút gọi thêm cộng đúng $800$ đồng; câu c) tính hiệu so với mốc rồi chia cho đơn giá.

Vậy b) $82000$ đồng; c) $90$ phút — khớp Cách 1.

Định hướng. Từ công thức $y=800x+22000$ suy ra hàm ngược để tính số phút trực tiếp mà không cần lập lại phương trình cho câu c).

Vậy c) thuê bao đã gọi $90$ phút, khớp cả hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 tiện khi phải tính ngược nhiều lần với cùng một công thức cước, không phải viết lại phương trình mỗi lần.

Định hướng. Đối chiếu $a=1,8$ (chi phí mỗi xe), $b=36$ (chi phí cố định) vào dạng tổng quát đã cho.

Vậy a) $y=1,8x+36$. c) Chi phí là $63$ triệu đồng. d) Có thể sản xuất $20$ chiếc xe đạp.

Định hướng. Sau khi có đồ thị (hai điểm đặc biệt $(0;36)$ và $(20;72)$, hoặc bất kì hai điểm nào trên đường thẳng), dóng trực tiếp để đọc giá trị mà không cần tính toán đại số.

Vậy c) $63$ triệu đồng; d) $20$ chiếc xe đạp — khớp Cách 1.

Định hướng. Từ $y=1,8x+36$ suy ra hàm ngược để tính số xe trực tiếp từ chi phí đã biết, không cần lập lại phương trình.

Vậy d) có thể sản xuất $20$ chiếc xe đạp, khớp cả hai cách trên.

Nhận xét. Vì số xe đạp không thể âm, miền xác định thực tế của hàm số là $x\ge 0$ — đồ thị chỉ vẽ là một tia, không phải toàn bộ đường thẳng.