Chương VII. Phương trình bậc nhất và hàm số bậc nhất

Bài 29. Hệ số góc của đường thẳng

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 2 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 7.33★Trang 33— Lập hàm số bậc nhất từ hệ số góc và một điểm thuộc đồ thị

Bài 7.33 (trang 33). Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng đi qua điểm

(1; 2)

và có hệ số góc là

- 3

Kiến thức cần nhớ

Hàm số bậc nhất có dạng $y = a x + b$ ( $a \neq = 0$ ); điểm $(x_{0}; y_{0})$ thuộc đồ thị khi $y_{0} = a x_{0} + b$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn hệ số góc

a = - 3

và một điểm thuộc đồ thị — đúng khuôn của Ví dụ 1 (SGK trang 52), chỉ cần thay toạ độ điểm vào dạng

y = - 3 x + b

để tìm

b

. Bẫy nhỏ là dễ nhầm dấu âm của hệ số góc khi nhân với hoành độ điểm.

1Cách 1. Thay toạ độ điểm vào dạng

y = - 3 x + b

để tìm

b

Định hướng. Hàm số cần tìm có dạng $y = - 3 x + b$ ; đồ thị đi qua $(1; 2)$ nên thay toạ độ vào để tìm $b$ .

2 = - 3 \cdot 1 + b

2 = - 3 + b

b = 5

Vậy hàm số cần tìm là $y = - 3 x + 5$ .

2Cách 2. Dùng công thức đường thẳng qua một điểm với hệ số góc cho trước

Định hướng. Áp dụng công thức $y - y_{0} = a (x - x_{0})$ với $(x_{0}; y_{0}) = (1; 2)$ , $a = - 3$ .

y - 2 = - 3 (x - 1)

y - 2 = - 3 x + 3

y = - 3 x + 5

Vậy hàm số cần tìm là $y = - 3 x + 5$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng cách thay

x = 1

vào kết quả

Định hướng. Kiểm tra ngược điều kiện "đồ thị đi qua điểm $(1; 2)$ " bằng kết quả vừa tìm được.

Thay

x = 1

vào

y = - 3 x + 5

y = - 3 + 5 = 2

(đúng, khớp đề)

Vậy $y = - 3 x + 5$ thoả mãn đầy đủ điều kiện của đề bài.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay toạ độ điểm trực tiếp vào

y = - 3 x + b

, ngắn gọn nhất.

Đáp số. Hàm số cần tìm là

y = - 3 x + 5

Sai lầm thường gặp. Thay nhầm vai trò hoành độ, tung độ của điểm, viết

1 = - 3 \cdot 2 + b

thay vì

2 = - 3 \cdot 1 + b

🚀 Mở rộng. Nếu đổi hệ số góc thành tham số

m

và giữ nguyên điểm

(1; 2)

, luôn có

b = 2 - m

theo

m

— mỗi giá trị

m

cho một đường thẳng khác nhau cùng đi qua điểm đó.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 7.34★Trang 33— Lập hàm số bậc nhất từ hệ số góc và giao điểm với trục hoành

Bài 7.34 (trang 33). Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng với hệ số góc là

2

và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng

- 3

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng $y = a x + b$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x_{0}$ thì điểm đó là $(x_{0}; 0)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho điểm đặc biệt là giao điểm với trục hoành — dấu hiệu để nhận ra toạ độ điểm cần dùng là

(- 3; 0)

(tung độ luôn bằng

0

trên

O x

), giống bài 7.31 SGK nhưng đổi số liệu. Bẫy là dễ nhầm hoành độ

- 3

với tung độ, viết nhầm điểm thành

(0; - 3)

1Cách 1. Xác định toạ độ giao điểm với

O x

rồi thay vào

y = 2 x + b

Định hướng. Giao điểm với trục hoành có hoành độ $- 3$ nghĩa là đường thẳng đi qua điểm $(- 3; 0)$ ; thay toạ độ này vào $y = 2 x + b$ để tìm $b$ .

0 = 2 \cdot (- 3) + b

0 = - 6 + b

b = 6

Vậy hàm số cần tìm là $y = 2 x + 6$ .

2Cách 2. Dùng công thức đường thẳng qua một điểm với hệ số góc cho trước

Định hướng. Áp dụng công thức $y - y_{0} = a (x - x_{0})$ với $(x_{0}; y_{0}) = (- 3; 0)$ , $a = 2$ .

y - 0 = 2 (x - (- 3))

y = 2 x + 6

Vậy hàm số cần tìm là $y = 2 x + 6$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng cách thay

y = 0

vào kết quả

Định hướng. Kiểm tra ngược: giải phương trình $y = 0$ từ kết quả để xem hoành độ giao điểm với $O x$ có đúng bằng $- 3$ không.

0 = 2 x + 6 \Rightarrow 2 x = - 6 \Rightarrow x = - 3

(đúng, khớp đề)

Vậy $y = 2 x + 6$ thoả mãn đầy đủ điều kiện của đề bài.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: xác định ngay toạ độ điểm

(- 3; 0)

trên trục hoành rồi thay vào

y = 2 x + b

Đáp số. Hàm số cần tìm là

y = 2 x + 6

Sai lầm thường gặp. Nhầm giao điểm với trục hoành là điểm

(0; - 3)

thay vì

(- 3; 0)

, dẫn đến thay sai toạ độ vào phương trình.

🚀 Mở rộng. Với hệ số góc tổng quát

a \neq = 0

và cùng giao điểm hoành độ

- 3

, công thức luôn là

y = a (x + 3) = a x + 3 a

— hệ số tự do

b = 3 a

phụ thuộc trực tiếp vào

a

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 7.35★Trang 33— Nhận biết các cặp đường thẳng song song bằng dấu hiệu hệ số góc

Bài 7.35 (trang 33). Hãy chỉ ra các cặp đường thẳng song song với nhau trong các đường thẳng sau:
a)

y = 2 x + 1

; b)

y = - 3 x + 1

; c)

y = - 3 x + 2

; d)

y = 2 x + 2

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng $y = a x + b$ ( $a \neq = 0$ ) và $y = a^{'} x + b^{'}$ ( $a^{'} \neq = 0$ ) song song với nhau khi $a = a^{'}$ và $b \neq = b^{'}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn đường thẳng đã ở dạng chuẩn

a x + b

— dấu hiệu chỉ cần nhóm theo hệ số góc rồi kiểm tra hệ số tự do khác nhau trong từng nhóm, không cần rút gọn như một số bài khác. Bẫy là dễ ghép nhầm cặp khác nhóm hệ số góc thành song song.

1Cách 1. Liệt kê hệ số góc, hệ số tự do rồi so sánh từng cặp

Định hướng. Đọc trực tiếp hệ số $a, b$ của cả bốn đường thẳng (đã ở dạng chuẩn), rồi xét từng cặp.

a = 2, b = 1

; b)

a = - 3, b = 1

; c)

a = - 3, b = 2

; d)

a = 2, b = 2

Vậy so sánh theo bảng hệ số trên để nhóm ở Cách 2.

2Cách 2. Nhóm theo hệ số góc rồi liệt kê cặp song song

Định hướng. Gom các đường cùng hệ số góc vào một nhóm; trong mỗi nhóm, cặp có hệ số tự do khác nhau chính là cặp song song.

Nhóm

a = 2

: a), d) — hệ số tự do

1 \neq = 2

Nhóm

a = - 3

: b), c) — hệ số tự do

1 \neq = 2

Vậy có hai cặp song song: (a và d), (b và c).

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm

Định hướng. Với cặp được cho là song song, giải phương trình hoành độ giao điểm; vô nghiệm thì xác nhận đúng là song song.

Xét (a, d):

2 x + 1 = 2 x + 2 \Rightarrow 0 = 1

(vô lí) — song song
Xét (b, c):

- 3 x + 1 = - 3 x + 2 \Rightarrow 0 = 1

(vô lí) — song song

Vậy kết quả khớp Cách 2: đúng hai cặp song song là (a, d) và (b, c).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhóm nhanh theo hệ số góc rồi kiểm tra hệ số tự do khác nhau trong từng nhóm.

Đáp số. Các cặp đường thẳng song song: (a và d), (b và c).

Sai lầm thường gặp. Ghép nhầm cặp khác nhóm hệ số góc (ví dụ a và b) là song song, trong khi chúng có hệ số góc khác nhau nên thực chất cắt nhau.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi câu d) thành

y = 2 x + 1

(trùng hệ số tự do với câu a) thì a) và d) không còn song song mà trùng nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 7.36★★★Trang 33— Tìm điều kiện của tham số để hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau

Bài 7.36 (trang 33). Cho hai hàm số

y = 2 x + 3 m

và

y = (2 m + 1) x - 5

. Tìm các giá trị của

m

để đồ thị của hai hàm số là:
a) Hai đường thẳng song song.
b) Hai đường thẳng cắt nhau.

Kiến thức cần nhớ

Hàm số $y = a x + b$ là hàm số bậc nhất khi $a \neq = 0$ .
Hai đường thẳng $y = a x + b$ , $y = a^{'} x + b^{'}$ ( $a, a^{'} \neq = 0$ ) song song khi $a = a^{'}$ , $b \neq = b^{'}$ ; cắt nhau khi $a \neq = a^{'}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hệ số góc của hàm số thứ hai chứa tham số

m

— dấu hiệu của dạng toán biện luận đã quen thuộc, nhưng lần này hệ số tự do cũng chứa

m

(là

3 m

) nên khi xét song song phải kiểm tra thêm điều kiện

b \neq = b^{'}

chứ không mặc định đúng như các bài trước. Đây chính là bẫy chính của bài này.

1Cách 1. Đặt điều kiện hàm bậc nhất, giải điều kiện hệ số góc rồi kiểm tra thêm hệ số tự do

Định hướng. Cần $2 m + 1 \neq = 0$ để hàm thứ hai là hàm bậc nhất; giải $2 = 2 m + 1$ để có điều kiện song song, sau đó bắt buộc kiểm tra $3 m \neq = - 5$ (vì hệ số tự do cũng chứa $m$ ).

Điều kiện:

2 m + 1 \neq = 0 \Rightarrow m \neq = - \frac{1}{2}

a) Song song:

2 = 2 m + 1 \Rightarrow m = \frac{1}{2}

; kiểm tra

b \neq = b^{'}

3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \neq = - 5

(đúng, thoả)
b) Cắt nhau:

2 \neq = 2 m + 1 \Rightarrow m \neq = \frac{1}{2}

(kết hợp

m \neq = - \frac{1}{2}

)

Vậy a) $m = \frac{1}{2}$ ; b) $m \neq = \frac{1}{2}$ và $m \neq = - \frac{1}{2}$ .

2Cách 2. Giải điều kiện song song trước, suy ra điều kiện cắt nhau bằng phần bù

Định hướng. Trong tập xác định $m \neq = - \frac{1}{2}$ , tìm $m$ để song song trước, phần còn lại chính là điều kiện cắt nhau.

Tập xác định:

m \neq = - \frac{1}{2}

2 = 2 m + 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}

(song song, đã kiểm tra

b \neq = b^{'}

ở Cách 1)
Phần còn lại (

m \neq = \frac{1}{2}

) là điều kiện cắt nhau

Vậy a) $m = \frac{1}{2}$ ; b) $m \neq = \frac{1}{2}$ và $m \neq = - \frac{1}{2}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng cách thay

m = \frac{1}{2}

vào cả hai hàm số

Định hướng. Thay trực tiếp $m = \frac{1}{2}$ vào hai công thức ban đầu để kiểm tra hai đường thẳng thu được có thật sự song song hay không.

Với

m = \frac{1}{2}

y = 2 x + 3 \cdot \frac{1}{2} = 2 x + \frac{3}{2}

và

y = (2 \cdot \frac{1}{2} + 1) x - 5 = 2 x - 5

Hai đường có cùng hệ số góc

2

, hệ số tự do khác nhau (

\frac{3}{2} \neq = - 5

)

Vậy $m = \frac{1}{2}$ đúng cho ra hai đường thẳng song song, xác nhận kết quả câu a).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhớ kiểm tra thêm điều kiện

b \neq = b^{'}

vì hệ số tự do cũng chứa tham số

m

, khác với các bài mà

b, b^{'}

luôn là số cố định.

Đáp số. a)

m = \frac{1}{2}

. b)

m \neq = \frac{1}{2}

và

m \neq = - \frac{1}{2}

Sai lầm thường gặp. Chỉ giải điều kiện

2 = 2 m + 1

rồi kết luận ngay là song song mà quên kiểm tra

3 m \neq = - 5

, vì lần này hệ số tự do cũng phụ thuộc

m

(khác với các bài có

b, b^{'}

cố định).

🚀 Mở rộng. Nếu đổi hàm thứ nhất thành

y = 2 x + 3 m

với hệ số tự do của hàm thứ hai cũng bằng

3 m

tại

m = \frac{1}{2}

(tức đổi

- 5

thành

\frac{3}{2}

), hai đường khi đó sẽ trùng nhau chứ không song song — luôn phải kiểm tra kĩ điều kiện

b \neq = b^{'}

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 7.37★★Trang 33— Lập hàm số bậc nhất song song với một đường thẳng cho trước, qua một điểm

Bài 7.37 (trang 33). Tìm hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng song song với đường thẳng

y = - 2 x + 1

và đi qua điểm

(- 1; 4)

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng $y = a x + b$ , $y = a^{'} x + b^{'}$ song song khi $a = a^{'}$ , $b \neq = b^{'}$ .
Điểm $(x_{0}; y_{0})$ thuộc đồ thị hàm số $y = f (x)$ khi và chỉ khi $y_{0} = f (x_{0})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho điều kiện song song (hệ số góc phải bằng

- 2

) và một điểm thuộc đồ thị để tìm nốt

b

— cùng khuôn bài 7.34 SGK nhưng đổi số liệu. Bẫy là dấu trừ ở hoành độ điểm

(- 1; 4)

dễ gây nhầm khi thay số.

1Cách 1. Lấy hệ số góc bằng

- 2

theo điều kiện song song, rồi thay điểm để tìm

b

Định hướng. Vì song song với $y = - 2 x + 1$ nên hàm số cần tìm có dạng $y = - 2 x + b$ ( $b \neq = 1$ ); thay toạ độ điểm $(- 1; 4)$ để tìm $b$ .

4 = - 2 \cdot (- 1) + b

4 = 2 + b

b = 2

Vậy hàm số cần tìm là $y = - 2 x + 2$ (thoả $b = 2 \neq = 1$ ).

2Cách 2. Dùng công thức đường thẳng qua một điểm với hệ số góc cho trước

Định hướng. Áp dụng công thức $y - y_{0} = a (x - x_{0})$ với $a = - 2$ (do song song), $(x_{0}; y_{0}) = (- 1; 4)$ .

y - 4 = - 2 (x - (- 1))

y - 4 = - 2 x - 2

y = - 2 x + 2

Vậy hàm số cần tìm là $y = - 2 x + 2$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng cách thay

x = - 1

vào kết quả và kiểm tra điều kiện song song

Định hướng. Kiểm tra ngược cả hai điều kiện: đường thẳng đi qua $(- 1; 4)$ và thật sự song song với $y = - 2 x + 1$ .

Thay

x = - 1

vào

y = - 2 x + 2

y = 2 + 2 = 4

(đúng, khớp điểm cho trước)
Hệ số góc:

- 2 = - 2

(bằng nhau); hệ số tự do:

2 \neq = 1

(khác nhau)

Vậy $y = - 2 x + 2$ thoả mãn đầy đủ hai điều kiện: đi qua $(- 1; 4)$ và song song với $y = - 2 x + 1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lấy ngay hệ số góc

- 2

từ điều kiện song song rồi thay điểm để tìm

b

Đáp số. Hàm số cần tìm là

y = - 2 x + 2

Sai lầm thường gặp. Nhầm dấu khi thay hoành độ âm vào công thức, tính

- 2 \cdot (- 1)

thành

- 2

thay vì

2

🚀 Mở rộng. Nếu điểm cho trước là

(- 1; 3)

(nằm ngay trên đường thẳng

y = - 2 x + 1

vì

- 2 \cdot (- 1) + 1 = 3

) thì sẽ tính ra

b = 1

— khi đó không tồn tại đường thẳng song song thoả mãn, vì đó chính là đường thẳng trùng với đường đã cho.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 7.38★★Trang 34— Vận dụng điều kiện tích hai hệ số góc bằng

- 1

để tìm tham số

Bài 7.38 (trang 34). Người ta chứng minh được rằng hai đường thẳng

y = a x + b

(

a \neq = 0

) và

y = a^{'} x + b^{'}

(

a^{'} \neq = 0

) vuông góc với nhau khi tích hai hệ số góc của chúng bằng

- 1

, tức là khi

a \cdot a^{'} = - 1

. Tìm giá trị của

m

để đường thẳng

y = (2 m - 4) x + 3

(

m \neq = 2

) vuông góc với đường thẳng

y = - \frac{1}{2} x + 1

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng $y = a x + b$ ( $a \neq = 0$ ), $y = a^{'} x + b^{'}$ ( $a^{'} \neq = 0$ ) vuông góc với nhau khi và chỉ khi $a \cdot a^{'} = - 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã cho sẵn công thức tổng quát

a \cdot a^{'} = - 1

(chính là điều vừa khám phá ở bài 7.35 SGK) — dấu hiệu chỉ cần đọc hai hệ số góc rồi lập một phương trình bậc nhất ẩn

m

. Bẫy là dễ quên đối chiếu điều kiện

m \neq = 2

đã cho sẵn trong đề khi kết luận.

1Cách 1. Lập phương trình tích hai hệ số góc bằng

- 1

rồi giải tìm

m

Định hướng. Hệ số góc của hai đường thẳng lần lượt là $2 m - 4$ và $- \frac{1}{2}$ ; áp dụng ngay điều kiện vuông góc đã cho trong đề.

(2 m - 4) \cdot (- \frac{1}{2}) = - 1

- (m - 2) = - 1

m - 2 = 1

m = 3

Vậy $m = 3$ (thoả điều kiện $m \neq = 2$ đã cho).

2Cách 2. Khai triển tích trước khi lập phương trình

Định hướng. Nhân phân phối $(2 m - 4) \cdot (- \frac{1}{2})$ ra thành biểu thức đơn giản theo $m$ rồi giải phương trình bậc nhất.

(2 m - 4) \cdot (- \frac{1}{2}) = - m + 2

- m + 2 = - 1

- m = - 3

m = 3

Vậy $m = 3$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng cách thay

m = 3

vào hệ số góc rồi tính tích

Định hướng. Thay $m = 3$ vào $2 m - 4$ để tính lại hệ số góc, rồi nhân với $- \frac{1}{2}$ kiểm tra có đúng bằng $- 1$ không.

m = 3

: hệ số góc thứ nhất

= 2 \cdot 3 - 4 = 2

2 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 1

(đúng)

Vậy $m = 3$ thoả mãn đúng điều kiện vuông góc, xác nhận kết quả Cách 1, Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: áp dụng thẳng công thức

a \cdot a^{'} = - 1

đã cho sẵn trong đề, không cần khai triển trung gian.

Đáp số.

m = 3

Sai lầm thường gặp. Quên đối chiếu điều kiện

m \neq = 2

đã cho sẵn trong đề (dù

m = 3

vẫn thoả), hoặc nhầm dấu khi nhân với

- \frac{1}{2}

🚀 Mở rộng. Nếu đổi đường thẳng thứ hai thành

y = 2 x + 1

(hệ số góc

2

), điều kiện vuông góc trở thành

(2 m - 4) \cdot 2 = - 1

, cho

m = \frac{7}{4}

— vẫn cùng một phương pháp nhưng đáp số khác hẳn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 7.39★★★Trang 34— Biện luận vị trí tương đối của hai đường thẳng theo tham số

Bài 7.39 (trang 34). Trên cùng mặt phẳng toạ độ

O x y

cho hai đường thẳng:

(d_{m})

y = (1 - m) x + 2

và

(d_{m}^{'})

y = (m + 1) x - 3

. Tuỳ theo giá trị của

m

, xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho.

Kiến thức cần nhớ

Hàm số $y = a x + b$ là hàm số bậc nhất khi $a \neq = 0$ .
Hai đường thẳng $y = a x + b$ , $y = a^{'} x + b^{'}$ ( $a, a^{'} \neq = 0$ ) song song khi $a = a^{'}$ , $b \neq = b^{'}$ ; cắt nhau khi $a \neq = a^{'}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai hệ số góc đều chứa tham số

m

và đề yêu cầu "tuỳ theo giá trị của

m

" — dấu hiệu của một bài biện luận đầy đủ các trường hợp, khác các bài trước chỉ hỏi riêng song song hoặc riêng cắt nhau. Bẫy lớn nhất là quên đặt điều kiện để cả hai công thức đều là hàm số bậc nhất (

m \neq = 1

và

m \neq = - 1

) trước khi biện luận.

1Cách 1. Đặt điều kiện hàm bậc nhất, giải phương trình hệ số góc bằng nhau rồi biện luận đủ hai trường hợp

Định hướng. Trước hết cần $1 - m \neq = 0$ và $m + 1 \neq = 0$ để cả hai công thức là hàm bậc nhất; sau đó giải $1 - m = m + 1$ để tìm mốc chia hai trường hợp.

Điều kiện:

1 - m \neq = 0 \Rightarrow m \neq = 1

;

m + 1 \neq = 0 \Rightarrow m \neq = - 1

Xét

1 - m = m + 1 \Rightarrow - 2 m = 0 \Rightarrow m = 0

; kiểm tra hệ số tự do:

2 \neq = - 3

luôn đúng

Vậy với $m = 0$ : hai đường thẳng song song. Với $m \neq = 0$ (và $m \neq = \pm 1$ ): hai đường thẳng cắt nhau.

2Cách 2. Xét dấu hiệu song song trước, phần còn lại trong tập xác định là cắt nhau

Định hướng. Trong tập xác định $m \neq = \pm 1$ , chỉ có đúng một giá trị $m$ làm hai hệ số góc bằng nhau; mọi giá trị còn lại đều cho hai hệ số góc khác nhau nên cắt nhau.

Tập xác định:

m \neq = 1

và

m \neq = - 1

Phương trình

1 - m = m + 1

có nghiệm duy nhất

m = 0

(song song, do

b \neq = b^{'}

luôn đúng)
Mọi

m

còn lại trong tập xác định:

1 - m \neq = m + 1

(cắt nhau)

Vậy kết luận giống Cách 1: $m = 0$ cho hai đường song song, $m \neq = 0$ (và $m \neq = \pm 1$ ) cho hai đường cắt nhau.

3Cách 3. Thử lại bằng hai giá trị cụ thể của

m

Định hướng. Thay $m = 0$ và một giá trị khác (ví dụ $m = 2$ ) vào cả hai công thức để kiểm chứng trực tiếp kết luận biện luận ở Cách 1, Cách 2.

m = 0

(d_{0})

y = x + 2

;

(d_{0}^{'})

y = x - 3

— cùng hệ số góc

1

, khác hệ số tự do

\Rightarrow

song song

m = 2

(d_{2})

y = - x + 2

;

(d_{2}^{'})

y = 3 x - 3

— hệ số góc

- 1 \neq = 3

\Rightarrow

cắt nhau

Vậy hai ví dụ cụ thể xác nhận đúng kết luận tổng quát: $m = 0$ song song, $m \neq = 0$ cắt nhau.

Nhận xét. Vì hệ số tự do $2 \neq = - 3$ luôn đúng với mọi $m$ , hai đường thẳng không bao giờ trùng nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đặt đủ điều kiện hàm bậc nhất ngay từ đầu, rồi giải một phương trình duy nhất để chia hai trường hợp biện luận, trình bày rõ ràng, không sót trường hợp.

Đáp số. Với

m = 0

: hai đường thẳng song song. Với

m \neq = 0

(kết hợp

m \neq = 1, m \neq = - 1

): hai đường thẳng cắt nhau. Hai đường thẳng không bao giờ trùng nhau (vì

2 \neq = - 3

Sai lầm thường gặp. Quên đặt điều kiện

m \neq = 1

và

m \neq = - 1

để cả hai công thức thực sự là hàm số bậc nhất trước khi biện luận, dẫn tới bỏ sót các giá trị

m

cần loại trừ.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi hệ số tự do của

(d_{m}^{'})

thành

2

(trùng với

(d_{m})

) thì khi

m = 0

hai đường sẽ trùng nhau thay vì song song — bài toán khi đó có thêm trường hợp trùng nhau cần xét.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 7.40★★Trang 34— Tính hệ số góc từ đồ thị qua gốc toạ độ và liên hệ với đại lượng tỉ lệ thuận

Bài 7.40 (trang 34). Inch (viết tắt là in) là một đơn vị chiều dài trong hệ đo lường của Mỹ. Phần đường thẳng trong hình vẽ sau mô tả sự quy đổi từ

x

(in) sang

y

(cm), đi qua gốc toạ độ và điểm

(50; 127)

.
a) Tính hệ số góc của đường thẳng này.
b) Đại lượng

y

có tỉ lệ thuận với đại lượng

x

không? Nếu có thì hệ số tỉ lệ bằng bao nhiêu?
c) Đại lượng

x

có tỉ lệ thuận với đại lượng

y

không? Nếu có thì hệ số tỉ lệ bằng bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng qua gốc toạ độ có dạng $y = a x$ ( $a \neq = 0$ ), $a$ vừa là hệ số góc vừa là hệ số tỉ lệ của $y$ đối với $x$ .
Nếu $y = a x$ ( $a \neq = 0$ ) thì $x = \frac{1}{a} y$ , tức $x$ tỉ lệ thuận với $y$ theo hệ số tỉ lệ $\frac{1}{a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đường thẳng đi qua gốc toạ độ

O

— dấu hiệu đây là hàm số dạng

y = a x

(không có hệ số tự do), chính là dạng của đại lượng tỉ lệ thuận đã học ở lớp 7. Từ một điểm cho trước

(50; 127)

trên đồ thị, tính được ngay hệ số góc, đồng thời chính là hệ số tỉ lệ.

1Cách 1. Thay toạ độ điểm đã cho vào dạng

y = a x

để tính hệ số góc

Định hướng. Đường thẳng đi qua gốc toạ độ nên có dạng $y = a x$ ; thay toạ độ điểm $(50; 127)$ để tìm $a$ .

127 = a \cdot 50

a = \frac{127}{50} = 2, 54

Vậy a) hệ số góc của đường thẳng là $a = 2, 54$ .

2Cách 2. Đối chiếu trực tiếp với định nghĩa đại lượng tỉ lệ thuận

Định hướng. Đường thẳng $y = a x$ ( $a \neq = 0$ ) chính là công thức của đại lượng tỉ lệ thuận đã học ở lớp 7; hệ số góc $a$ vừa tìm được chính là hệ số tỉ lệ.

y = 2, 54 x

đúng dạng

y = k x

với

k = 2, 54 \neq = 0

Vậy b) $y$ tỉ lệ thuận với $x$ , hệ số tỉ lệ bằng $2, 54$ .

3Cách 3. Biến đổi ngược công thức để xét

x

theo

y

Định hướng. Từ $y = 2, 54 x$ , giải ngược ra $x$ theo $y$ để kiểm tra xem $x$ có tỉ lệ thuận với $y$ hay không.

y = 2, 54 x \Rightarrow x = \frac{y}{2 , 54} = \frac{50}{127} y

Vậy c) $x$ tỉ lệ thuận với $y$ , hệ số tỉ lệ bằng $\frac{50}{127}$ (xấp xỉ $0, 39$ ).

Nhận xét. Hệ số tỉ lệ của $x$ theo $y$ luôn là nghịch đảo của hệ số tỉ lệ của $y$ theo $x$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 rồi Cách 2, Cách 3 nối tiếp: tính

a

từ điểm cho trước, sau đó đối chiếu ngay với định nghĩa tỉ lệ thuận cho cả hai chiều

y

theo

x

và

x

theo

y

Đáp số. a)

a = 2, 54

. b)

y

tỉ lệ thuận với

x

, hệ số tỉ lệ

2, 54

. c)

x

tỉ lệ thuận với

y

, hệ số tỉ lệ

\frac{50}{127} \approx 0, 39

Sai lầm thường gặp. Nhầm hệ số tỉ lệ của

x

theo

y

cũng bằng

2, 54

(giống hệ số của

y

theo

x

), quên rằng đây là hai hệ số nghịch đảo của nhau chứ không bằng nhau.

🚀 Mở rộng. Quy đổi ngược lại: nếu biết

1

foot

= 12

inch, có thể lập tiếp hàm số bậc nhất quy đổi trực tiếp từ foot sang xăng-ti-mét bằng cách nhân hệ số góc

2, 54

với

12

Mở bài này trong app ↗