Bài 29. Hệ số góc của đường thẳng

Định hướng. Xác định hai điểm thuộc mỗi đường thẳng, vẽ đúng rồi so sánh với đường vuông góc chuẩn tại giao điểm $A$ với $Ox$.

Vậy góc tạo bởi $(d)$ và $Ox$ nhỏ hơn $90^{\circ }$ (góc nhọn); góc tạo bởi $(d^{\prime })$ và $Ox$ lớn hơn $90^{\circ }$ (góc tù).

Định hướng. Không cần vẽ chính xác, chỉ cần xét khi $x$ tăng thì $y$ tăng hay giảm để suy ra đường thẳng đi lên hay đi xuống.

Vậy $(d)$ tạo với $Ox$ một góc nhọn, $(d^{\prime })$ tạo với $Ox$ một góc tù.

Định hướng. Với $A$ và $T$ đã xác định, tính $\tan \alpha =\frac{y_T-y_A}{x_T-x_A}$ rồi dùng dấu của $\tan \alpha$ để kết luận góc nhọn hay tù.

Vậy kết quả khớp Cách 1, Cách 2: góc của $(d)$ nhỏ hơn $90^{\circ }$, góc của $(d^{\prime })$ lớn hơn $90^{\circ }$.

Nhận xét. Dấu của hệ số góc $a$ quyết định hoàn toàn góc nhọn hay góc tù, không phụ thuộc vào giá trị $b$.

Định hướng. Đối chiếu dấu của $a$ với loại góc đã tìm được ở câu a), b) của HĐ1 rồi phát biểu thành quy luật chung cho mọi $a$.

Vậy hệ số góc $a$ dương ứng với góc nhọn, hệ số góc $a$ âm ứng với góc tù.

Định hướng. Thử lại quy luật vừa nêu với một cặp $a$ khác (ví dụ $a=\frac{1}{2}$ và $a=-3$) bằng cách tính $\tan \alpha$ tại giao điểm với $Ox$.

Vậy quy luật ở Cách 1 đúng với mọi giá trị của $a$, không riêng gì $a=\pm 2$.

Định hướng. Với đường thẳng đã ở đúng dạng $ax+b$, đọc thẳng hệ số của $x$.

Vậy đường thẳng $y=3x-1$ có hệ số góc bằng $3$.

Định hướng. Với $y=2-x$ và $y=\frac{1}{2}(x-1)$, phải viết lại theo đúng thứ tự $ax+b$ trước khi đọc hệ số góc.

Vậy $y=2-x$ có hệ số góc $-1$; $y=\frac{1}{2}(x-1)$ có hệ số góc $\frac{1}{2}$.

Định hướng. Lấy hai điểm bất kì thuộc mỗi đường thẳng rồi tính $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ để đối chiếu lại kết quả.

Vậy kết quả khớp Cách 2, khẳng định hệ số góc của $y=\frac{1}{2}(x-1)$ đúng bằng $\frac{1}{2}$.

Định hướng. Hàm số bậc nhất có dạng $y=ax+b$; giao điểm với trục tung có tung độ đúng bằng $b$.

Vậy hàm số cần tìm là $y=3x-1$.

Định hướng. Hàm số cần tìm có dạng $y=3x+b$; đồ thị đi qua điểm $(0;-1)$ nên thay toạ độ vào để tìm $b$ (làm đúng khuôn Ví dụ 1).

Vậy hàm số cần tìm là $y=3x-1$, khớp Cách 1.

Định hướng. Sau khi có $y=3x-1$, kiểm tra ngược điều kiện "cắt trục tung tại điểm có tung độ $-1$".

Vậy $y=3x-1$ thoả mãn đầy đủ hai điều kiện của đề bài.

Định hướng. Viết lại $y=\frac{2x+1}{2}$ thành tổng hai phân thức, mỗi số hạng của tử chia riêng cho mẫu.

Vậy hệ số góc là $a=1$: bạn thứ hai trả lời đúng, bạn thứ nhất trả lời sai vì bạn đó lấy luôn hệ số $2$ của $x$ trong tử số làm hệ số góc mà quên chia cho mẫu.

Định hướng. Lấy hai giá trị $x$ cụ thể, tính $y$ tương ứng rồi dùng công thức $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ để kiểm chứng độc lập với Cách 1.

Vậy hệ số góc đúng bằng $1$, xác nhận bạn thứ hai đúng.

Định hướng. Lập bảng giá trị cho từng đường thẳng, vẽ trên cùng hệ trục rồi quan sát xem chúng có cắt nhau hay không.

Vậy hai đường thẳng luôn cách đều nhau theo phương thẳng đứng, không có điểm chung — chúng song song với nhau.

Định hướng. Hai đường thẳng có điểm chung khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm; xét phương trình đó cho hai đường đã cho.

Vậy phương trình vô nghiệm nên hai đường thẳng không có điểm chung, tức là chúng song song với nhau.

Định hướng. Với cùng một hoành độ $x$, tính hiệu tung độ của hai đường thẳng; nếu hiệu này không đổi và khác $0$ thì hai đường song song.

Vậy khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa hai đường thẳng luôn bằng $1$ đơn vị, nên chúng song song với nhau, không bao giờ cắt hay trùng nhau.

Nhận xét. Đây chính là dấu hiệu để sau này nhận biết hai đường thẳng song song chỉ cần so sánh hệ số góc và hệ số tự do, không cần vẽ hình.

Định hướng. Viết lại mọi công thức theo đúng thứ tự $ax+b$, rồi xét từng cặp xem hệ số $a$ có bằng nhau và $b$ có khác nhau hay không.

Vậy a), c), d) đều có $a=2$ nên từng đôi một song song với nhau (vì $b$ đôi một khác nhau: $1,2,-1$); b) có $a=-2$ khác các đường còn lại nên không song song với đường nào.

Định hướng. Gom các đường thẳng có cùng hệ số góc vào một nhóm; chỉ những đường trong cùng nhóm mới có thể song song (nếu $b$ khác nhau).

Vậy các cặp song song là (a, c), (a, d), (c, d); đường b) không song song với đường nào trong ba đường còn lại.

Định hướng. Với một cặp nghi ngờ song song, giải phương trình hoành độ giao điểm; vô nghiệm thì đúng là song song.

Vậy kết quả khớp Cách 1, Cách 2: khẳng định chắc chắn ba cặp song song là (a, c), (a, d), (c, d).

Định hướng. Đọc hệ số góc của từng đường thẳng rồi đối chiếu theo điều kiện song song/trùng nhau đã học.

Vậy hai đường thẳng không song song và cũng không trùng nhau.

Định hướng. Giả sử hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau, suy ra điều bắt buộc phải có rồi đối chiếu với hệ số góc thực tế để tìm mâu thuẫn.

Vậy giả sử sai, suy ra hai đường thẳng $y=2x-1$ và $y=x-3$ không song song và không trùng nhau.

Định hướng. Nếu tồn tại đúng một điểm chung thì hai đường thẳng chắc chắn không song song, không trùng nhau.

Vậy hai đường thẳng có đúng một điểm chung tại $x=-2$, xác nhận chúng không song song và không trùng nhau (thực chất chúng cắt nhau).

Nhận xét. Kết quả này chuẩn bị cho định nghĩa hai đường thẳng cắt nhau: $a\ne a^{\prime }$ thì luôn có đúng một điểm chung.

Định hướng. Chuẩn hoá cả bốn đường thẳng về dạng $ax+b$, rồi xét từng cặp xem hệ số góc có khác nhau hay không.

Vậy a), b), c) cùng hệ số góc $a=2$ nên đôi một song song (không cắt nhau); riêng d) có $a=-2$ khác hẳn nên cắt cả ba đường còn lại.

Định hướng. Gom các đường cùng hệ số góc vào một nhóm; mọi cặp đường khác nhóm đều cắt nhau (vì hệ số góc khác nhau).

Vậy các cặp cắt nhau là (a, d), (b, d), (c, d); các cặp trong nhóm $a=2$ không cắt nhau.

Định hướng. Với cặp nghi ngờ cắt nhau, giải phương trình hoành độ giao điểm; có nghiệm duy nhất thì đúng là cắt nhau.

Vậy kết quả khớp Cách 1, Cách 2: đúng ba cặp cắt nhau là (a, d), (b, d), (c, d).

Định hướng. Trước hết cần $2m\ne 0$ và $m-1\ne 0$ để cả hai hàm số đều là hàm bậc nhất; sau đó so sánh hệ số góc theo từng yêu cầu.

Vậy a) $m=-1$; b) $m\ne -1$ và $m\ne 0$ và $m\ne 1$.

Định hướng. Vì hai hàm số chỉ có đúng hai khả năng loại trừ nhau là song song hoặc cắt nhau (do $b\ne b^{\prime }$ luôn đúng), tìm $m$ để song song trước rồi lấy phần bù trong tập xác định để có điều kiện cắt nhau.

Vậy a) $m=-1$; b) $m\ne -1$ (và $m\ne 0,m\ne 1$), khớp Cách 1.

Định hướng. Thay trực tiếp $m=-1$ vào hai công thức ban đầu để kiểm tra xem có thật sự thu được hai đường thẳng song song hay không.

Vậy $m=-1$ đúng cho ra hai đường thẳng song song, xác nhận kết quả câu a).

Định hướng. Gọi hai đường thẳng là $y=ax+b_1$ và $y=ax+b_2$ với $b_1\ne b_2$ (vì phân biệt và cùng hệ số góc), rồi tính giao điểm với $Ox$, $Oy$ của từng đường.

Vậy a) Không thể có cùng giao điểm với $Ox$. b) Không thể có cùng giao điểm với $Oy$.

Định hướng. Nếu hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng hệ số góc $a$ thì theo tính chất hình học, chúng phải là cùng một đường thẳng — mâu thuẫn với giả thiết "phân biệt".

Vậy cả hai câu a) và b) đều không thể xảy ra, khớp Cách 1.

Định hướng. Lấy hai đường thẳng cụ thể cùng hệ số góc để kiểm tra trực tiếp giao điểm với hai trục, củng cố kết luận tổng quát ở Cách 1.

Vậy ví dụ cụ thể xác nhận đúng như chứng minh tổng quát ở Cách 1, Cách 2.

Định hướng. Không cần vẽ đồ thị, chỉ cần đọc và so sánh hệ số góc $a,a^{\prime }$ (và hệ số tự do $b,b^{\prime }$ khi cần) của hai đường thẳng.

Vậy cách làm nhanh hơn của anh Pi là: chỉ cần đọc hệ số $a,b$ của hai công thức rồi so sánh theo đúng ba trường hợp trên, không cần vẽ hình như bạn Vuông đề nghị.

Định hướng. Áp dụng quy trình ở Cách 1 cho một cặp đường thẳng cụ thể để làm rõ từng bước anh Pi thực hiện.

Vậy hai đường thẳng này song song với nhau — kết luận có được chỉ bằng phép so sánh hệ số, đúng như cách làm nhanh của anh Pi, không cần vẽ hình.

Định hướng. Hàm số cần tìm có dạng $y=3x+b$; đồ thị đi qua $(1;-2)$ nên thay toạ độ vào để tìm $b$.

Vậy hàm số cần tìm là $y=3x-5$.

Định hướng. Đường thẳng qua $(x_0;y_0)$ với hệ số góc $a$ có công thức $y-y_0=a(x-x_0)$; áp dụng trực tiếp rồi khai triển về dạng $y=ax+b$.

Vậy hàm số cần tìm là $y=3x-5$, khớp Cách 1.

Định hướng. Kiểm tra ngược điều kiện "đồ thị đi qua điểm $(1;-2)$" bằng kết quả vừa tìm được.

Vậy $y=3x-5$ thoả mãn đầy đủ điều kiện của đề bài.

Định hướng. Giao điểm với trục hoành có hoành độ $3$ nghĩa là đường thẳng đi qua điểm $(3;0)$; thay toạ độ này vào $y=-2x+b$ để tìm $b$.

Vậy hàm số cần tìm là $y=-2x+6$.

Định hướng. Áp dụng công thức $y-y_0=a(x-x_0)$ với $(x_0;y_0)=(3;0)$, $a=-2$.

Vậy hàm số cần tìm là $y=-2x+6$, khớp Cách 1.

Định hướng. Kiểm tra ngược: giải phương trình $y=0$ từ kết quả vừa tìm để xem hoành độ giao điểm với $Ox$ có đúng bằng $3$ không.

Vậy $y=-2x+6$ thoả mãn đầy đủ điều kiện của đề bài.

Định hướng. Bốn đường thẳng đã ở dạng chuẩn $ax+b$, chỉ cần liệt kê hệ số của từng đường rồi so sánh theo cặp.

Vậy so sánh từng cặp theo hệ số góc và hệ số tự do như bảng trên để phân loại ở Cách 2.

Định hướng. Gom các đường cùng hệ số góc thành từng nhóm; trong nhóm là các cặp song song, khác nhóm là các cặp cắt nhau.

Vậy có $2$ cặp song song: (a, d) và (b, c); có $4$ cặp cắt nhau: (a, b), (a, c), (b, d), (c, d).

Định hướng. Chọn một cặp được cho là song song và một cặp được cho là cắt nhau để giải phương trình hoành độ giao điểm, xác nhận lại kết luận ở Cách 2.

Vậy kết quả khớp hoàn toàn với Cách 2: $2$ cặp song song, $4$ cặp cắt nhau, đủ $6$ cặp của $4$ đường thẳng.

Định hướng. Cần $m\ne 0$ và $2m+1\ne 0$ để cả hai hàm số đều là hàm bậc nhất; sau đó so sánh hệ số góc theo từng yêu cầu.

Vậy a) $m=-1$; b) $m\ne -1$, $m\ne 0$ và $m\ne -\frac{1}{2}$.

Định hướng. Vì $b=-5\ne 3=b^{\prime }$ luôn đúng, hai đường chỉ có thể song song hoặc cắt nhau tuỳ theo hệ số góc; tìm $m$ song song trước rồi lấy phần bù trong tập xác định.

Vậy a) $m=-1$; b) $m\ne -1$ (và $m\ne 0,m\ne -\frac{1}{2}$), khớp Cách 1.

Định hướng. Thay trực tiếp $m=-1$ vào hai công thức ban đầu để kiểm tra hai đường thẳng thu được có thật sự song song hay không.

Vậy $m=-1$ đúng cho ra hai đường thẳng song song, xác nhận kết quả câu a).

Định hướng. Vì song song với $y=-3x+1$ nên hàm số cần tìm có dạng $y=-3x+b$ ($b\ne 1$); thay toạ độ điểm $(2;6)$ để tìm $b$.

Vậy hàm số cần tìm là $y=-3x+12$ (thoả $b=12\ne 1$).

Định hướng. Áp dụng công thức $y-y_0=a(x-x_0)$ với $a=-3$ (do song song), $(x_0;y_0)=(2;6)$.

Vậy hàm số cần tìm là $y=-3x+12$, khớp Cách 1.

Định hướng. Kiểm tra ngược cả hai điều kiện: đường thẳng đi qua $(2;6)$ và thật sự song song với $y=-3x+1$.

Vậy $y=-3x+12$ thoả mãn đầy đủ hai điều kiện: đi qua $(2;6)$ và song song với $y=-3x+1$.

Định hướng. Tìm $A$ bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm; tìm $B$ bằng cách cho $y=0$; sau đó lập hai vectơ tại đỉnh $A$ và tính tích vô hướng.

Vậy $\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ nên $AO\perp AB$, tức tam giác $OAB$ vuông tại $A$, hay hai đường thẳng $y=x$ và $y=-x+2$ vuông góc với nhau.

Định hướng. Với $O(0;0)$, $A(1;1)$, $B(2;0)$ đã tìm được, tính $OA,AB,OB$ rồi kiểm tra hệ thức Pythagore.

Vậy $O{A}^2+A{B}^2=O{B}^2$ nên theo định lí Pythagore đảo, tam giác $OAB$ vuông tại $A$, khớp Cách 1.

Định hướng. Đọc hệ số góc của hai đường thẳng đã cho rồi tính tích của chúng để trả lời câu d), liên hệ với kết quả vuông góc vừa chứng minh ở câu c).

Vậy tích hai hệ số góc của hai đường thẳng vuông góc này bằng $-1$, đúng bằng dấu hiệu tổng quát: hai đường thẳng vuông góc thì tích hai hệ số góc bằng $-1$.

Nhận xét. Đây chính là nội dung sẽ dùng ở bài 7.38 (SBT): hai đường thẳng $y=ax+b$, $y=a^{\prime }x+b^{\prime }$ vuông góc khi và chỉ khi $a\cdot a^{\prime }=-1$.