Chương I. Đa thức

Bài 3. Phép cộng và phép trừ đa thức

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 5 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngI #SáchBàiTập_Tập1 #trang11 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.13★Trang 11— Cộng, trừ hai đa thức nhiều biến bằng cách nhóm đơn thức đồng dạng

Tìm tổng

P + Q

và hiệu

P - Q

của hai đa thức:

P = 4 x^{2} y^{2} - 3 x y^{3} + 5 x^{3} y - x y + 2 x - 3

;

Q = - 4 x^{2} y^{2} - 4 x y^{3} - x^{3} y + x y + y + 1

Kiến thức cần nhớ

Muốn cộng (trừ) hai đa thức, ta bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau, sau đó cộng (trừ) các đơn thức đồng dạng đó.
Phép trừ đa thức $P - Q$ có thể đưa về phép cộng $P + (- Q)$ , trong đó $- Q$ là đa thức đối của $Q$ (đổi dấu mọi hạng tử của $Q$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn hai đa thức nhiều hạng tử và hỏi luôn cả tổng lẫn hiệu, dấu hiệu của dạng cộng trừ đa thức nhiều biến bằng cách nhóm đơn thức đồng dạng. Nên tính

P + Q

trước bằng cách nhóm hạng tử cùng loại

x^{2} y^{2}

x y^{3}

x^{3} y

x y

lại với nhau, còn

P - Q

thì cẩn thận đổi dấu toàn bộ sáu hạng tử của

Q

trước khi nhóm. Bẫy lớn nhất là quên đổi dấu một hạng tử nào đó của

Q

khi lập hiệu, nhất là hạng tử đứng ở giữa dãy phép tính.

1Cách 1. Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các đơn thức đồng dạng

Muốn cộng (trừ) hai đa thức, bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các đơn thức đồng dạng lại với nhau; khi bỏ ngoặc trừ phải đổi dấu mọi hạng tử của đa thức đứng sau.

P + Q = (4 x^{2} y^{2} - 3 x y^{3} + 5 x^{3} y - x y + 2 x - 3) + (- 4 x^{2} y^{2} - 4 x y^{3} - x^{3} y + x y + y + 1)

= (4 x^{2} y^{2} - 4 x^{2} y^{2}) + (5 x^{3} y - x^{3} y) + (- 3 x y^{3} - 4 x y^{3}) + (- x y + x y) + 2 x + y + (- 3 + 1)

= 4 x^{3} y - 7 x y^{3} + 2 x + y - 2

P - Q = (4 x^{2} y^{2} - 3 x y^{3} + 5 x^{3} y - x y + 2 x - 3) - (- 4 x^{2} y^{2} - 4 x y^{3} - x^{3} y + x y + y + 1)

= 4 x^{2} y^{2} - 3 x y^{3} + 5 x^{3} y - x y + 2 x - 3 + 4 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + x^{3} y - x y - y - 1

= (4 x^{2} y^{2} + 4 x^{2} y^{2}) + (5 x^{3} y + x^{3} y) + (- 3 x y^{3} + 4 x y^{3}) + (- x y - x y) + 2 x - y + (- 3 - 1)

= 6 x^{3} y + 8 x^{2} y^{2} + x y^{3} - 2 x y + 2 x - y - 4

Vậy $P + Q = 4 x^{3} y - 7 x y^{3} + 2 x + y - 2$ và $P - Q = 6 x^{3} y + 8 x^{2} y^{2} + x y^{3} - 2 x y + 2 x - y - 4$ .

2Cách 2. Đặt các đơn thức đồng dạng thẳng cột rồi cộng, trừ

Sắp xếp hai đa thức theo cùng một thứ tự đơn thức đồng dạng, viết thẳng cột rồi cộng (trừ) từng cột hệ số — cách này hạn chế bỏ sót hạng tử khi đa thức có nhiều biến.

P = 4 x^{2} y^{2} + 5 x^{3} y - 3 x y^{3} - x y + 2 x + 0 \cdot y - 3

Q = - 4 x^{2} y^{2} - x^{3} y - 4 x y^{3} + x y + 0 \cdot x + y + 1

cộng theo cột:

P + Q = (4 - 4) x^{2} y^{2} + (5 - 1) x^{3} y + (- 3 - 4) x y^{3} + (- 1 + 1) x y + 2 x + y + (- 3 + 1)

= 4 x^{3} y - 7 x y^{3} + 2 x + y - 2

trừ theo cột (đổi dấu cả cột của

Q

rồi cộng):

P - Q = (4 + 4) x^{2} y^{2} + (5 + 1) x^{3} y + (- 3 + 4) x y^{3} + (- 1 - 1) x y + 2 x - y + (- 3 - 1)

= 6 x^{3} y + 8 x^{2} y^{2} + x y^{3} - 2 x y + 2 x - y - 4

Đặt cột cũng cho $P + Q = 4 x^{3} y - 7 x y^{3} + 2 x + y - 2$ và $P - Q = 6 x^{3} y + 8 x^{2} y^{2} + x y^{3} - 2 x y + 2 x - y - 4$ , khớp với Cách 1.

3Cách 3. Suy hiệu từ tổng đã tính nhờ hệ thức

P - Q = 2 P - (P + Q)

Sau khi đã có $P + Q$ , dùng hệ thức $P - Q = 2 P - (P + Q)$ để suy ra hiệu mà không phải nhóm số hạng lại từ đầu.

2 P = 2 (4 x^{2} y^{2} - 3 x y^{3} + 5 x^{3} y - x y + 2 x - 3)

= 8 x^{2} y^{2} - 6 x y^{3} + 10 x^{3} y - 2 x y + 4 x - 6

P - Q = 2 P - (P + Q) = (8 x^{2} y^{2} - 6 x y^{3} + 10 x^{3} y - 2 x y + 4 x - 6) - (4 x^{3} y - 7 x y^{3} + 2 x + y - 2)

= 8 x^{2} y^{2} + (10 x^{3} y - 4 x^{3} y) + (- 6 x y^{3} + 7 x y^{3}) - 2 x y + (4 x - 2 x) - y + (- 6 + 2)

= 6 x^{3} y + 8 x^{2} y^{2} + x y^{3} - 2 x y + 2 x - y - 4

Vậy $P - Q = 6 x^{3} y + 8 x^{2} y^{2} + x y^{3} - 2 x y + 2 x - y - 4$ , đúng bằng kết quả ở hai cách trên.

Nhận xét. Hệ thức $P - Q = 2 P - (P + Q)$ giúp suy ra kết quả còn lại mà không cần cộng trừ lại toàn bộ đa thức, rất hữu ích khi đa thức dài.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì bỏ ngoặc rồi nhóm là thao tác nhanh nhất, không phải viết lại đa thức theo cột; Cách 3 hay để kiểm tra chéo khi còn thời gian.

Đáp số.

P + Q = 4 x^{3} y - 7 x y^{3} + 2 x + y - 2

;

P - Q = 6 x^{3} y + 8 x^{2} y^{2} + x y^{3} - 2 x y + 2 x - y - 4

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn bỏ ngoặc trừ nhưng chỉ đổi dấu hạng tử đầu tiên của

Q

, viết nhầm

P - Q = 4 x^{2} y^{2} - 3 x y^{3} + 5 x^{3} y - x y + 2 x - 3 + 4 x^{2} y^{2} - 4 x y^{3} - x^{3} y + x y + y + 1

(quên đổi dấu năm hạng tử còn lại). Phải đổi dấu cả sáu hạng tử của

Q

mới đúng, kết quả chính xác là

6 x^{3} y + 8 x^{2} y^{2} + x y^{3} - 2 x y + 2 x - y - 4

🚀 Mở rộng. Hệ thức

2 P = (P + Q) + (P - Q)

và

2 Q = (P + Q) - (P - Q)

dùng để tìm ngược lại

P

Q

khi chỉ biết tổng và hiệu của chúng, không cần biết từng đa thức ban đầu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.14★★Trang 11— So sánh bậc của đa thức trước và sau khi cộng — bậc có thể giảm do hạng tử bậc cao nhất triệt tiêu nhau

Cho hai đa thức:

M = 3 x^{2} y^{2} - 0, 8 x y^{2} + 2 y^{2} - 1

;

N = - 3 x^{2} y^{2} - 0, 2 x y^{2} + 2

. Hãy so sánh bậc của đa thức

M

và đa thức

M + N

Kiến thức cần nhớ

Bậc của đa thức (đã thu gọn) là bậc cao nhất trong các hạng tử của nó; bậc của một đơn thức bằng tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức đó.
Khi cộng hai đa thức, các hạng tử đồng dạng có hệ số đối nhau sẽ triệt tiêu, nên bậc của tổng có thể thấp hơn bậc của từng đa thức thành phần.

🧠 Phân tích tư duy

Đề không chỉ hỏi tính

M + N

mà còn bắt so sánh bậc với

M

, dấu hiệu là hai đa thức

M

N

đều có hạng tử bậc bốn

3 x^{2} y^{2}

và

- 3 x^{2} y^{2}

đối nhau. Hướng làm là thu gọn

M + N

trước, xác định bậc của từng đa thức rồi so sánh bằng lời chứ không tính lại từ đầu. Bẫy của đề là nếu chỉ nhìn bậc của

M

và

N

riêng lẻ (đều bằng bốn) rồi vội kết luận

M + N

cũng bậc bốn, trong khi hạng tử bậc bốn của chúng đã triệt tiêu hết.

1Cách 1. Thu gọn

M + N

rồi xác định bậc từng đa thức

Cộng hai đa thức bằng cách nhóm các đơn thức đồng dạng, thu gọn xong mới xác định bậc của đa thức tổng.

M + N = (3 x^{2} y^{2} - 0, 8 x y^{2} + 2 y^{2} - 1) + (- 3 x^{2} y^{2} - 0, 2 x y^{2} + 2)

= (3 x^{2} y^{2} - 3 x^{2} y^{2}) + (- 0, 8 x y^{2} - 0, 2 x y^{2}) + 2 y^{2} + (- 1 + 2)

= - x y^{2} + 2 y^{2} + 1

Đa thức $M$ có hạng tử $3 x^{2} y^{2}$ bậc bốn nên bậc của $M$ bằng bốn; đa thức $M + N = - x y^{2} + 2 y^{2} + 1$ có hạng tử bậc cao nhất là $- x y^{2}$ bậc ba, nên bậc của $M + N$ bằng ba, thấp hơn bậc của $M$ một đơn vị.

2Cách 2. Xét riêng hạng tử bậc cao nhất trước khi cộng cả đa thức

Trước khi cộng toàn bộ đa thức, so sánh ngay hạng tử có bậc cao nhất của $M$ và của $N$ để dự đoán bậc của tổng.

hạng tử bậc cao nhất của

M

là

3 x^{2} y^{2}

(bậc bốn), hạng tử bậc cao nhất của

N

là

- 3 x^{2} y^{2}

(bậc bốn)

3 x^{2} y^{2} + (- 3 x^{2} y^{2}) = 0

nên hai hạng tử bậc bốn triệt tiêu nhau khi cộng

M + N

các hạng tử còn lại chỉ còn bậc ba trở xuống:

- 0, 8 x y^{2} - 0, 2 x y^{2} = - x y^{2}

(bậc ba),

2 y^{2}

(bậc hai),

- 1 + 2 = 1

(bậc không)

Vì hạng tử bậc bốn đã mất, bậc của $M + N$ chỉ còn bằng ba, trong khi bậc của $M$ vẫn là bốn — bậc của tổng nhỏ hơn bậc của $M$ .

3Cách 3. Thử giá trị cụ thể để kiểm chứng bậc bị giảm

Gán cho $x, y$ những giá trị lớn để so sánh tốc độ tăng của $M$ và $M + N$ , qua đó kiểm chứng bậc của $M + N$ đã thấp hơn bậc của $M$ .

với

x = y = 10

M = 3 \cdot 1 0^{2} \cdot 1 0^{2} - 0, 8 \cdot 10 \cdot 1 0^{2} + 2 \cdot 1 0^{2} - 1 = 30000 - 800 + 200 - 1 = 29399

M + N = - 10 \cdot 1 0^{2} + 2 \cdot 1 0^{2} + 1 = - 1000 + 200 + 1 = - 799

M

có giá trị cỡ

1 0^{4}

(đúng với bậc bốn tại

x = y = 10

), còn

M + N

chỉ cỡ

1 0^{3}

(đúng với bậc ba)

Kết quả bằng số cũng cho thấy $M$ lớn cỡ $1 0^{4}$ còn $M + N$ chỉ cỡ $1 0^{3}$ , khẳng định lại bậc của $M + N$ (bằng ba) nhỏ hơn bậc của $M$ (bằng bốn).

Nhận xét. Cách thử số chỉ nên dùng để kiểm chứng thêm, không thay được việc thu gọn và chỉ rõ hạng tử bậc cao nhất như Cách 1, Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì vừa ra được đa thức

M + N

đầy đủ vừa đọc luôn được bậc, một lần tính dùng cho cả câu hỏi; Cách 2 nhanh hơn nếu chỉ cần so bậc mà không cần viết cả

M + N

Đáp số.

M + N = - x y^{2} + 2 y^{2} + 1

; bậc của

M

bằng bốn, bậc của

M + N

bằng ba, tức bậc của

M + N

nhỏ hơn bậc của

M

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn thấy

M

và

N

đều có bậc bốn nên vội kết luận

M + N

cũng bậc bốn mà không thu gọn. Hai hạng tử bậc bốn

3 x^{2} y^{2}

và

- 3 x^{2} y^{2}

đối nhau nên triệt tiêu hết, bậc thật của

M + N

chỉ còn bằng ba.

🚀 Mở rộng. Đây là ví dụ cho thấy tổng của hai đa thức không nhất thiết cùng bậc với các đa thức thành phần: nếu đổi hạng tử bậc bốn của

N

thành

2 x^{2} y^{2}

(không còn đối với hạng tử của

M

) thì

M + N

vẫn giữ nguyên bậc bốn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.15★★Trang 11— Tìm đa thức chưa biết trong một đẳng thức chứa phép cộng, trừ đa thức (chuyển vế như tìm x)

Tìm đa thức

U

sao cho

U - 3 x^{2} y + 2 x y^{2} - 5 y^{3} = 2 x y^{2} - x y + 1

Kiến thức cần nhớ

Trong một đẳng thức đa thức, muốn tìm đa thức chưa biết ta chuyển các đa thức đã biết sang vế còn lại, đổi dấu mọi hạng tử của đa thức được chuyển, giống hệt quy tắc chuyển vế khi tìm x.
Sau khi chuyển vế, thu gọn bằng cách nhóm các đơn thức đồng dạng để được kết quả cuối cùng.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.16★★Trang 11— Tìm đa thức chưa biết trong một đẳng thức có hạng tử giống hệt nhau ở cả hai vế (chuyển vế và rút gọn)

Tìm đa thức

V

sao cho

V + 4 y^{3} - 2 x y^{2} + x^{2} y - 9 = 4 y^{3} - 3

Kiến thức cần nhớ

Muốn tìm đa thức chưa biết đứng riêng ở một vế, chuyển toàn bộ các đa thức còn lại của vế đó sang vế bên kia và đổi dấu từng hạng tử, tương tự quy tắc chuyển vế khi tìm x.
Hạng tử giống hệt nhau xuất hiện ở cả hai vế của đẳng thức thì triệt tiêu ngay khi trừ hai vế cho hạng tử đó, không cần giữ lại trong kết quả.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.17★★★Trang 11— Cộng, trừ phối hợp ba đa thức nhiều biến

Cho ba đa thức:

M = 3 x^{3} - 5 x^{2} y + 5 x - 3 y

;

N = 4 x y - 4 x + y

;

P = 3 x^{3} + x^{2} y + x + 1

. Tính

M + N - P

và

M - N - P

Kiến thức cần nhớ

Muốn cộng, trừ nhiều đa thức, bỏ hết dấu ngoặc (đổi dấu mọi hạng tử của đa thức đứng sau dấu trừ) rồi nhóm các đơn thức đồng dạng lại với nhau.
Nếu đã biết $M + N - P$ thì $M - N - P = (M + N - P) - 2 N$ , tránh phải nhóm lại toàn bộ ba đa thức từ đầu.