Bài 3. Phép cộng và phép trừ đa thức

Muốn cộng (trừ) hai đa thức, bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các đơn thức đồng dạng lại với nhau; khi bỏ ngoặc trừ phải đổi dấu mọi hạng tử của đa thức đứng sau.

Vậy $P+Q=4x^{3}y-7x{y}^3+2x+y-2$ và $P-Q=6x^{3}y+8x^2{y}^2+x{y}^3-2xy+2x-y-4$.

Sắp xếp hai đa thức theo cùng một thứ tự đơn thức đồng dạng, viết thẳng cột rồi cộng (trừ) từng cột hệ số — cách này hạn chế bỏ sót hạng tử khi đa thức có nhiều biến.

Đặt cột cũng cho $P+Q=4x^{3}y-7x{y}^3+2x+y-2$ và $P-Q=6x^{3}y+8x^2{y}^2+x{y}^3-2xy+2x-y-4$, khớp với Cách 1.

Sau khi đã có $P+Q$, dùng hệ thức $P-Q=2P-(P+Q)$ để suy ra hiệu mà không phải nhóm số hạng lại từ đầu.

Vậy $P-Q=6x^{3}y+8x^2{y}^2+x{y}^3-2xy+2x-y-4$, đúng bằng kết quả ở hai cách trên.

Nhận xét. Hệ thức $P-Q=2P-(P+Q)$ giúp suy ra kết quả còn lại mà không cần cộng trừ lại toàn bộ đa thức, rất hữu ích khi đa thức dài.

Cộng hai đa thức bằng cách nhóm các đơn thức đồng dạng, thu gọn xong mới xác định bậc của đa thức tổng.

Đa thức $M$ có hạng tử $3x^2{y}^2$ bậc bốn nên bậc của $M$ bằng bốn; đa thức $M+N=-x{y}^2+2y^2+1$ có hạng tử bậc cao nhất là $-x{y}^2$ bậc ba, nên bậc của $M+N$ bằng ba, thấp hơn bậc của $M$ một đơn vị.

Trước khi cộng toàn bộ đa thức, so sánh ngay hạng tử có bậc cao nhất của $M$ và của $N$ để dự đoán bậc của tổng.

Vì hạng tử bậc bốn đã mất, bậc của $M+N$ chỉ còn bằng ba, trong khi bậc của $M$ vẫn là bốn — bậc của tổng nhỏ hơn bậc của $M$.

Gán cho $x,y$ những giá trị lớn để so sánh tốc độ tăng của $M$ và $M+N$, qua đó kiểm chứng bậc của $M+N$ đã thấp hơn bậc của $M$.

Kết quả bằng số cũng cho thấy $M$ lớn cỡ $10^4$ còn $M+N$ chỉ cỡ $10^3$, khẳng định lại bậc của $M+N$ (bằng ba) nhỏ hơn bậc của $M$ (bằng bốn).

Nhận xét. Cách thử số chỉ nên dùng để kiểm chứng thêm, không thay được việc thu gọn và chỉ rõ hạng tử bậc cao nhất như Cách 1, Cách 2.

Muốn tìm $U$ trong đẳng thức $U-3x^{2}y+2x{y}^2-5y^3=2x{y}^2-xy+1$, chuyển ba hạng tử $-3x^{2}y$, $2x{y}^2$, $-5y^3$ sang vế phải và đổi dấu từng hạng tử.

Vậy $U=3x^{2}y-xy+5y^3+1$.

Coi $-3x^{2}y+2x{y}^2-5y^3$ là một đa thức, cộng cả hai vế của đẳng thức với đa thức đối của nó để cô lập $U$.

Cộng đa thức đối vào hai vế cũng cho $U=3x^{2}y-xy+5y^3+1$.

Sau khi tìm được $U$, thay ngược vào vế trái của đẳng thức ban đầu để kiểm chứng có đúng bằng vế phải hay không.

Kết quả đúng bằng vế phải $2x{y}^2-xy+1$ của đề, xác nhận $U=3x^{2}y-xy+5y^3+1$ là đa thức cần tìm.

Nhận xét. Luôn nên thay lại như Cách 3 để chắc chắn không sai dấu khi chuyển vế, nhất là khi đề có hạng tử giống nhau ở hai vế như $2x{y}^2$.

Chuyển nguyên cụm $4y^3-2x{y}^2+x^{2}y-9$ đang đứng cùng $V$ sang vế phải, đổi dấu bốn hạng tử, rồi rút gọn với vế phải đã cho.

Vậy $V=2x{y}^2-x^{2}y+6$.

Vì $4y^3$ có mặt giống hệt ở cả hai vế, trừ $4y^3$ ở cả hai vế trước để đẳng thức gọn hơn rồi mới chuyển vế phần còn lại.

Rút gọn $4y^3$ trước cũng cho $V=2x{y}^2-x^{2}y+6$, khớp với Cách 1.

Thay $V$ vừa tìm được vào vế trái của đẳng thức ban đầu để kiểm chứng có đúng bằng vế phải $4y^3-3$ hay không.

Kết quả đúng bằng vế phải $4y^3-3$ của đề, xác nhận $V=2x{y}^2-x^{2}y+6$.

Nhận xét. Cách 2 tận dụng ngay hạng tử trùng nhau nên nhanh hơn Cách 1 một bước rút gọn, còn Cách 3 luôn nên làm để soát dấu.

Với mỗi biểu thức, bỏ dấu ngoặc (đổi dấu hạng tử của đa thức đứng sau dấu trừ) rồi nhóm các đơn thức đồng dạng.

Vậy $M+N-P=-6x^{2}y+4xy-2y-1$ và $M-N-P=-6x^{2}y-4xy+8x-4y-1$.

Sắp xếp ba đa thức theo cùng thứ tự đơn thức đồng dạng ($x^3$, $x^{2}y$, $xy$, $x$, $y$, hằng số), viết thẳng cột rồi cộng trừ hệ số theo từng cột.

Đặt cột cũng cho $M+N-P=-6x^{2}y+4xy-2y-1$ và $M-N-P=-6x^{2}y-4xy+8x-4y-1$, khớp Cách 1.

Hai biểu thức chỉ khác nhau ở dấu của $N$, mà $(M+N-P)-2N=M-N-P$, nên tính $M+N-P$ trước rồi trừ $2N$ để suy ra biểu thức còn lại, khỏi bỏ ngoặc nhóm lại từ đầu.

Suy từ $M+N-P$ cũng cho $M-N-P=-6x^{2}y-4xy+8x-4y-1$, đúng bằng hai cách trên.

Nhận xét. Hệ thức $(M+N-P)-2N=M-N-P$ tiết kiệm hẳn một lần bỏ ngoặc nhóm số hạng, rất đáng dùng khi đa thức có nhiều hạng tử như bài này.