Bài 3. Phép cộng và phép trừ đa thức

Định hướng. Trước hai dấu ngoặc đều là dấu "+" nên bỏ ngoặc không đổi dấu hạng tử nào, sau đó gom các hạng tử cùng phần biến lại với nhau.

Vậy $A+B=x^{2}y+xy+10x-4$.

Định hướng. Viết $A$ và $B$ thành hai dòng, mỗi cột chỉ chứa các hạng tử có cùng phần biến ($x^{2}y$, $xy$, $x$, số hạng tự do), cột nào thiếu hạng tử coi như số $0$, rồi cộng theo từng cột.

Vậy $A+B=x^{2}y+xy+10x-4$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Đặt tính theo cột dọc đòi hỏi liệt kê đủ mọi loại phần biến xuất hiện ở cả hai đa thức (kể cả cột $A$ không có, như $xy$), nhưng bù lại rất khó bỏ sót hạng tử khi đa thức có nhiều số hạng.

Định hướng. Một đẳng thức giữa hai đa thức chỉ đúng khi hai vế nhận cùng giá trị với mọi $x$, $y$; vậy hãy tính riêng $A$, $B$ tại một bộ số cụ thể rồi so tổng của chúng với giá trị của đa thức kết quả tại đúng bộ số đó.

Vậy hai vế cùng nhận giá trị $10$ tại $x=1$, $y=2$, xác nhận $A+B=x^{2}y+xy+10x-4$ tìm được ở Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Phép thử bằng số chỉ dùng để KIỂM CHỨNG chứ không thay được lời giải: một bộ số trùng khớp chưa chứng minh được đẳng thức, nhưng chỉ cần một bộ số lệch nhau là chắc chắn có chỗ sai dấu hoặc sót hạng tử.

Định hướng. Trước ngoặc thứ hai là dấu "-" nên khi bỏ ngoặc phải đổi dấu mọi hạng tử của $B$, sau đó nhóm các hạng tử cùng phần biến.

Vậy $A-B=9x^{2}y-xy-2$.

Định hướng. Viết $A$ và $B$ thẳng cột theo từng phần biến như khi cộng, nhưng mỗi cột thực hiện phép trừ hạng tử của $A$ cho hạng tử tương ứng của $B$.

Vậy $A-B=9x^{2}y-xy-2$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Khác với phép cộng, cột $x$ ở đây triệt tiêu hoàn toàn vì $A$ và $B$ có cùng hạng tử $5x$; đây là chỗ dễ quên đưa hạng tử $0\cdot x$ vào kết quả nếu chỉ nhìn lướt.

Định hướng. Dùng lại hai giá trị $A$, $B$ đã tính ở HĐ1 tại $x=1$, $y=2$, lấy hiệu của chúng rồi so với giá trị của đa thức kết quả tại đúng bộ số ấy.

Vậy hai vế cùng bằng $14$ tại $x=1$, $y=2$, xác nhận $A-B=9x^{2}y-xy-2$.

Nhận xét. Nếu ai đó bỏ quên việc đổi dấu $5x$ thì kết quả sai sẽ là $9x^{2}y-xy+10x-2$, tại $x=1$, $y=2$ cho $24\ne 14$ — phép thử bằng số phát hiện ngay lỗi này.

Định hướng. Thực hiện đúng hai bước như hai đa thức $A$, $B$ ở HĐ1, HĐ2: bỏ ngoặc theo đúng dấu phép tính, rồi cộng trừ hệ số của các hạng tử đồng dạng.

Vậy $G+H=4x^{2}y-2xy-0,5x+2$ và $G-H=-2x^{2}y-4xy+0,5x-8$.

Định hướng. Xếp $G$ và $H$ thành hai dòng theo bốn cột $x^{2}y$, $xy$, $x$, số hạng tự do (cột nào thiếu coi là $0$), rồi cộng và trừ theo từng cột.

Vậy $G+H=4x^{2}y-2xy-0,5x+2$ và $G-H=-2x^{2}y-4xy+0,5x-8$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Hạng tử $-0,5x$ chỉ có ở $H$; khi cộng nó giữ nguyên dấu, khi trừ nó bị đổi dấu thành $0,5x$, đây là chỗ hay nhầm nhất trong bài.

Định hướng. Hai kết quả vừa tìm được liên hệ với nhau bởi $(G+H)+(G-H)=2G$ và $(G+H)-(G-H)=2H$; cộng rồi trừ hai kết quả đó, nếu ra đúng $2G$ và $2H$ thì cả hai phép tính đều không sai dấu.

Vậy tổng hai kết quả đúng bằng $2G$ và hiệu hai kết quả đúng bằng $2H$, xác nhận $G+H=4x^{2}y-2xy-0,5x+2$ và $G-H=-2x^{2}y-4xy+0,5x-8$.

Nhận xét. Cách kiểm tra này mạnh hơn phép thử bằng số vì nó đối chiếu trên toàn bộ đa thức: chỉ cần một hạng tử sai dấu là tổng hai kết quả lập tức lệch khỏi $2G$.

Định hướng. Ba dấu ngoặc của $K$ có hai hạng tử $x^{2}y$ và $7,5x^3{y}^2$ triệt tiêu nhau; bỏ ngoặc và nhóm hết các hạng tử đồng dạng trước, sau đó mới thay $x=2$, $y=-1$.

Vậy $K=x^3+5x{y}^3$, và $K=-2$ tại $x=2$, $y=-1$.

Định hướng. Không rút gọn mà thay ngay $x=2$, $y=-1$ vào từng ngoặc của biểu thức gốc, tính giá trị mỗi ngoặc rồi cộng trừ đúng theo dấu đằng trước từng ngoặc; nếu trùng với Cách 1 thì phép rút gọn là đúng.

Vậy phép thay số trực tiếp vào biểu thức chưa rút gọn cũng cho $K=-2$, trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Thay số trực tiếp vào biểu thức còn ngoặc phải rất cẩn thận với dấu "-" đằng trước ngoặc thứ hai; rút gọn trước như Cách 1 vẫn nhanh và an toàn hơn khi biểu thức có nhiều dấu ngoặc.

Định hướng. Dạng rút gọn $K=x^3+5x{y}^3$ có nhân tử chung $x$ ở cả hai hạng tử; đưa $x$ ra ngoài rồi mới thay số thì chỉ còn một phép nhân cuối cùng, đồng thời thấy ngay $K=0$ khi $x=0$.

Vậy $K=x(x^2+5y^3)$ và $K=-2$ tại $x=2$, $y=-1$, trùng với kết quả của Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Dạng có nhân tử chung $x(x^2+5y^3)$ còn cho biết ngay $K=0$ với mọi $y$ khi $x=0$ — điều mà dạng khai triển $x^3+5x{y}^3$ không nói thẳng ra được.

Định hướng. Cộng $P$ với $Q$ và thu gọn để xem tổng có phụ thuộc $x$, $y$ hay không; nếu tổng luôn bằng một số cố định thì chỉ cần cộng hai số ghi trong mỗi cột và so với số đó là phát hiện ngay cột sai, khỏi phải tính lại từ đầu bốn cột.

Vậy vì $P+Q$ luôn bằng $45$ với mọi $x$, $y$, mà cột thứ ba cho tổng $55\ne 45$, nên cột thứ ba (ứng với $x=2$, $y=1$) là cột có kết quả sai.

Định hướng. Cách chắc chắn nhất tuy chậm hơn là thay lần lượt bốn cặp giá trị $(x;y)$ vào chính hai đa thức $P$, $Q$ ban đầu rồi so từng số với bảng đã cho.

Vậy tại $x=2$, $y=1$, giá trị đúng của $P$ phải là $28$ chứ không phải $38$ như bảng đã ghi; cột thứ ba là cột sai, đúng như kết luận ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 phải tính lại toàn bộ tám giá trị của cả bốn cột mới tìm ra chỗ sai; Cách 1 chỉ cần cộng hai số có sẵn trong mỗi cột rồi so với hằng số $45$ nên nhanh hơn hẳn, nhất là khi bảng có rất nhiều cột.

Định hướng. Ngoài tổng, hiệu $P-Q$ cũng là một đa thức cố định tính được một lần cho cả bảng; với mỗi cột chỉ việc thay cặp số vào hiệu ấy rồi so với hiệu hai số ghi trong bảng, cột nào lệch là cột sai.

Vậy chỉ cột thứ ba cho hiệu $21$ khác giá trị đúng $11$, một lần nữa khẳng định cột thứ ba là cột sai.

Nhận xét. Hiệu $P-Q$ vẫn còn chứa biến nên mỗi cột phải thay số một lần, do đó Cách 3 chậm hơn Cách 1; bù lại nó chỉ ra luôn sai lệch là $21-11=10$, đúng bằng phần thừa $38-28=10$ của ô $P$ bị ghi sai.

Định hướng. Bỏ ngoặc theo đúng dấu phép tính rồi gom các hạng tử cùng phần biến $x^3$, $x^{2}y$, $x{y}^2$, $xy$, số hạng tự do.

Vậy $P+Q=2x^3+x^{2}y-xy-3$ và $P-Q=x^{2}y-2x{y}^2+xy+9$.

Định hướng. Xếp $P$ và $Q$ thẳng cột theo năm loại phần biến $x^3$, $x^{2}y$, $x{y}^2$, $xy$, số hạng tự do (cột thiếu coi là $0$), rồi cộng và trừ theo từng cột.

Vậy $P+Q=2x^3+x^{2}y-xy-3$ và $P-Q=x^{2}y-2x{y}^2+xy+9$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cột $x^3$ triệt tiêu khi trừ nhưng lại nhân đôi khi cộng, còn cột $x{y}^2$ thì ngược lại; đặt tính theo cột giúp nhìn rõ hai điều này cùng lúc.

Định hướng. Cộng hai kết quả vừa tìm được: nếu phép cộng và phép trừ đều đúng thì tổng của chúng phải đúng bằng $2P$, còn hiệu của chúng phải đúng bằng $2Q$.

Vậy tổng hai kết quả bằng đúng $2P$ và hiệu hai kết quả bằng đúng $2Q$, xác nhận $P+Q=2x^3+x^{2}y-xy-3$ và $P-Q=x^{2}y-2x{y}^2+xy+9$.

Nhận xét. Phép kiểm này soát được cả hai kết quả cùng lúc, và nếu chỉ một hạng tử bị sai dấu thì cả tổng lẫn hiệu đều lệch khỏi $2P$, $2Q$ nên không thể lọt lưới.

Định hướng. Cả ba dấu ngoặc đều có dấu "+" đằng trước nên bỏ ngoặc giữ nguyên mọi dấu, sau đó gom các hạng tử cùng chứa $x$, cùng chứa $y$, cùng chứa $z$ lại với nhau.

Vậy a) $(x-y)+(y-z)+(z-x)=0$; b) $(2x-3y)+(2y-3z)+(2z-3x)=-x-y-z$.

Định hướng. Thay cùng một bộ số vào cả biểu thức ban đầu và kết quả đã rút gọn; nếu hai bên luôn cho cùng giá trị (thử với vài bộ số khác nhau) thì phép rút gọn đáng tin cậy.

Vậy phép thử với $x=5$, $y=2$, $z=1$ cho cùng kết quả với Cách 1, xác nhận a) rút gọn về $0$ và b) rút gọn về $-x-y-z$.

Nhận xét. Kết quả của câu a) bằng $0$ với mọi $x$, $y$, $z$ vì mỗi biến xuất hiện đúng một lần với dấu "+" và một lần với dấu "-"; đây chính là ý tưởng đã dùng ở mục Vận dụng để phát hiện cột tính sai.

Định hướng. Sau khi bỏ ngoặc, mỗi biến $x$, $y$, $z$ đều xuất hiện đúng một lần mang dấu dương và một lần mang dấu âm; gom hai nhóm ấy lại thì mỗi nhóm có chung một hệ số, đặt hệ số đó ra ngoài là xong.

Vậy a) biểu thức bằng $0$; b) biểu thức bằng $-(x+y+z)=-x-y-z$, đúng như Cách 1.

Nhận xét. Nhìn theo nhóm hệ số như trên giải thích được vì sao câu a) ra $0$ còn câu b) thì không: câu a) có hai hệ số $1$ và $1$ bằng nhau nên hiệu bằng $0$, câu b) có $2$ và $3$ khác nhau nên còn lại hệ số $-1$.

Định hướng. Viết lại vế trái thành $M-(5x^2-xyz)$ để nhận ra đúng dạng $A-B=C$, từ đó suy ra $M=B+C$ mà không cần chuyển từng hạng tử một cách máy móc.

Vậy $M=7x^2+xy-4xyz+5$.

Định hướng. Thay đa thức $M$ vừa tìm được vào đúng vế trái của đề bài, rút gọn rồi so với vế phải; nếu hai vế bằng nhau thì $M$ tìm được là đúng.

Vậy vế trái rút gọn được $2x^2+xy-3xyz+5$, đúng bằng vế phải $xy+2x^2-3xyz+5$; điều này xác nhận $M=7x^2+xy-4xyz+5$ tìm được ở Cách 1 là đúng.

Nhận xét. Bước kiểm tra lại này rất quan trọng với dạng toán tìm đa thức chưa biết, vì chỉ cần sai dấu một hạng tử khi chuyển vế là vế trái sẽ không còn trùng vế phải.

Định hướng. Hai đa thức bằng nhau khi và chỉ khi các hạng tử cùng phần biến có hệ số bằng nhau; viết $M$ dưới dạng tổng các hạng tử theo đúng bốn phần biến có mặt rồi so hệ số từng loại với vế phải.

Vậy $M=7x^2+xy-4xyz+5$, đúng bằng kết quả của Cách 1.

Nhận xét. Cách so khớp hệ số tách bài thành bốn phép tính số học độc lập nên không thể nhầm dấu dây chuyền; đây cũng là kĩ thuật sẽ dùng nhiều ở các lớp trên khi cần xác định hệ số chưa biết của một đa thức.

Định hướng. Ở câu a), bỏ ngoặc theo đúng dấu rồi nhóm các hạng tử $x^{2}y$, $xyz$, $x$, số hạng tự do; ở câu b), thay số ngay vào các dạng đã rút gọn cho gọn nhẹ.

Vậy a) $A+B=6xyz-x+1$ và $A-B=4x^{2}y-3x+9$; b) $A=0$ và $A+B=-5,5$ tại $x=0,5$, $y=-2$, $z=1$.

Định hướng. Thay $x=0,5$, $y=-2$, $z=1$ trực tiếp vào đa thức $B$ ban đầu, rồi cộng với giá trị của $A$ đã tính ở Cách 1; nếu ra cùng kết quả $A+B$ thì cả hai bước tính đều đúng.

Vậy $B=-5,5$ và $A+B=0+(-5,5)=-5,5$, trùng khớp với kết quả tính theo dạng rút gọn $6xyz-x+1$ ở Cách 1.

Nhận xét. Tính $A$ và $B$ riêng rồi cộng lại tốn nhiều phép nhân hơn hẳn so với thay số ngay vào dạng rút gọn $6xyz-x+1$; đây là lí do nên rút gọn đa thức trước khi tính giá trị.

Định hướng. Cộng hai kết quả của câu a) để đối chiếu với $2A$; sau đó, vì $A+B=2A-(A-B)$, chỉ cần giá trị của $A$ và của $A-B$ tại bộ số đã cho là tính được $A+B$ mà không phải đụng đến $B$.

Vậy hai kết quả của câu a) thoả đúng $(A+B)+(A-B)=2A$, và giá trị $A+B=-5,5$ tại $x=0,5$, $y=-2$, $z=1$ trùng khớp với Cách 1.