Chương VIII. Mở đầu về tính xác suất của biến cố

Bài 30. Kết quả có thể và kết quả thuận lợi

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 2 · 3 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 8.1★★Trang 39— Liệt kê kết quả thuận lợi khi phần tử phân loại theo hai tiêu chí đồng thời

Bài 8.1 (trang 39). Lớp 8C có 16 học sinh nam và 22 học sinh nữ, trong đó có 3 bạn nam thuận tay trái, 2 bạn nữ thuận tay trái. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp và kèm theo ghi chú nam hay nữ và thuận tay trái hay tay phải. a) Liệt kê các kết quả có thể của hành động trên. b) Liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố

E

: “Chọn được học sinh nam thuận tay phải”. c) Liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố

F

: “Chọn được học sinh nữ thuận tay trái”. d) Liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố

G

: “Chọn được học sinh thuận tay trái”.

Kiến thức cần nhớ

Khi một tập hợp được phân loại theo hai tiêu chí độc lập, số phần tử của mỗi tổ hợp (tiêu chí 1, tiêu chí 2) tính được bằng phép cộng hoặc trừ giữa các nhóm đã biết.

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi học sinh được phân loại theo hai tiêu chí cùng lúc: giới tính (nam/nữ) và tay thuận (trái/phải), dấu hiệu cho thấy nên chia lớp thành 4 nhóm nhỏ rồi mới liệt kê. Biến cố

G

gộp cả hai nhóm tay trái (nam trái và nữ trái) từ hai giới tính khác nhau nên dễ sót nhóm nếu chỉ nhìn theo một tiêu chí. Bẫy: đề không cho trực tiếp số học sinh nam thuận tay phải, quên rằng số đó phải suy ra bằng phép trừ (

16 - 3

1Cách 1. Liệt kê trực tiếp theo bốn nhóm kí hiệu

Định hướng. Đặt kí hiệu riêng cho 4 nhóm (nam trái, nam phải, nữ trái, nữ phải) rồi liệt kê hết, sau đó lọc theo từng biến cố.

Lớp 8C có 16 nam, trong đó 3 nam thuận tay trái kí hiệu

A_{1}, A_{2}, A_{3}

và

16 - 3 = 13

nam thuận tay phải kí hiệu

B_{1}, \dots, B_{13}

Lớp có 22 nữ, trong đó 2 nữ thuận tay trái kí hiệu

C_{1}, C_{2}

và

22 - 2 = 20

nữ thuận tay phải kí hiệu

D_{1}, \dots, D_{20}

Các kết quả có thể là

A_{1}, A_{2}, A_{3}, B_{1}, \dots, B_{13}, C_{1}, C_{2}, D_{1}, \dots, D_{20}

, tổng cộng

3 + 13 + 2 + 20 = 38

kết quả

Vậy a) 38 kết quả có thể. b) $E = {B_{1}, \dots, B_{13}}$ (13 kết quả). c) $F = {C_{1}, C_{2}}$ (2 kết quả). d) $G = {A_{1}, A_{2}, A_{3}, C_{1}, C_{2}}$ (5 kết quả).

2Cách 2. Lập bảng hai chiều giới tính và tay thuận

Định hướng. Lập bảng 2 hàng (nam, nữ) 2 cột (trái, phải), điền số liệu đề cho, suy ra ô còn thiếu bằng phép trừ, rồi đọc trực tiếp từng biến cố theo ô hoặc theo hàng, cột.

Hàng nam: tổng 16, cột trái 3 (đề cho), suy ra cột phải

16 - 3 = 13

Hàng nữ: tổng 22, cột trái 2 (đề cho), suy ra cột phải

22 - 2 = 20

Tổng toàn bảng:

3 + 13 + 2 + 20 = 38

; biến cố

E

ứng ô (nam, phải)

= 13

;

F

ứng ô (nữ, trái)

= 2

;

G

ứng cột trái (gộp hai ô nam trái và nữ trái)

= 3 + 2 = 5

Vậy kết quả khớp Cách 1: 38 kết quả có thể, $E = 13$ , $F = 2$ , $G = 5$ .

3Cách 3. Phần bù trong từng nhóm

Định hướng. Với mỗi biến cố, xác định xem nó là phần bù của nhóm nào trong một tổng đã biết, rồi trừ trực tiếp mà không cần liệt kê lại.

E

(nam phải) là phần bù của nam trái trong tổng 16 nam:

16 - 3 = 13

F

(nữ trái) đã cho trực tiếp trong đề:

2

G

(thuận tay trái nói chung) là phần bù của thuận tay phải trong tổng

38

học sinh: số thuận tay phải là

13 + 20 = 33

, nên

G = 38 - 33 = 5

Vậy $E = 13$ ; $F = 2$ ; $G = 5$ , đúng như hai cách trên.

Nhận xét. Cách phần bù tránh phải liệt kê lại toàn bộ 38 kí hiệu, chỉ cần nắm vững các tổng đã biết.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: lập bảng 2×2 một lần, đọc được cả ba biến cố mà không tính lặp lại nhiều lần như Cách 3.

Đáp số. a) 38 kết quả có thể. b)

E

có 13 kết quả (13 bạn nam thuận tay phải). c)

F

có 2 kết quả (2 bạn nữ thuận tay trái). d)

G

có 5 kết quả (3 nam trái và 2 nữ trái).

Sai lầm thường gặp. Quên tính số nam thuận tay phải bằng phép trừ

16 - 3 = 13

mà lại lấy nhầm tổng 16 làm số kết quả thuận lợi cho

E

; hoặc khi tính

G

chỉ lấy một nhóm (chỉ nam trái hoặc chỉ nữ trái) mà quên gộp cả hai.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi lớp 8C thành lớp có

m

nam,

n

nữ với

a

nam thuận tay trái,

b

nữ thuận tay trái thì tổng quát:

E = m - a

F = b

G = a + b

, cách lập bảng ở Cách 2 dùng được cho mọi bộ số liệu như vậy.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 8.2★★Trang 39— Liệt kê kết quả thuận lợi dựa trên tính chẵn lẻ, chia hết, số nguyên tố

Bài 8.2 (trang 39). Một hộp đựng 20 tấm thẻ được ghi số 1; 2;…; 20. Bạn Mai rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ trong hộp. a) Liệt kê các kết quả có thể của hành động trên. b) Liệt kê các kết quả thuận lợi cho các biến cố sau:

E

: “Rút được tấm thẻ ghi số lẻ”;

F

: “Rút được tấm thẻ ghi số chia hết cho 5”;

G

: “Rút được tấm thẻ ghi số nguyên tố”.

Kiến thức cần nhớ

Số lẻ trong đoạn $[1; 20]$ có dạng $2 k - 1$ với $k = 1, \dots, 10$ . Số chia hết cho 5 có dạng $5 k$ với $k = 1, \dots, 4$ . Số 1 không phải là số nguyên tố.

🧠 Phân tích tư duy

Phạm vi 1 đến 20 đủ nhỏ để liệt kê trực tiếp nhưng cũng đủ lớn để dùng công thức sinh dãy cho nhanh và chắc chắn không sót, đặc biệt với số lẻ và số chia hết cho 5 vốn là các cấp số cộng. Với số nguyên tố phải tra theo định nghĩa, không có công thức trực tiếp. Bẫy: liệt kê thiếu số 19 (số nguyên tố cuối) hoặc nhầm số 1 là số nguyên tố.

1Cách 1. Liệt kê trực tiếp và thử từng số

Định hướng. Liệt kê 20 kết quả có thể rồi thử từng số theo ba điều kiện của đề.

Các kết quả có thể là

1, 2, 3, \dots, 20

Số lẻ trong khoảng này:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

Số chia hết cho 5:

5, 10, 15, 20

Số nguyên tố (chỉ có đúng hai ước 1 và chính nó):

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

Vậy $E = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19}$ (10 kết quả); $F = {5; 10; 15; 20}$ (4 kết quả); $G = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19}$ (8 kết quả).

2Cách 2. Sinh dãy bằng công thức cấp số cộng

Định hướng. Với $E$ và $F$ là các cấp số cộng, sinh trực tiếp bằng công thức thay vì rà từng số.

Số lẻ có dạng

2 k - 1 \leq 20

với

k

nguyên dương, nên

k = 1, \dots, 10

, cho

1, 3, \dots, 19

– 10 số
Số chia hết cho 5 có dạng

5 k \leq 20

với

k

nguyên dương, nên

k = 1, 2, 3, 4

, cho

5, 10, 15, 20

– 4 số
Số nguyên tố

G

vẫn phải tra theo định nghĩa vì không có công thức sinh trực tiếp:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

Vậy $E$ có 10 kết quả, $F$ có 4 kết quả, $G$ có 8 kết quả, khớp với Cách 1.

3Cách 3. Sàng số nguyên tố cho

G

Định hướng. Dùng sàng Eratosthenes rút gọn trong phạm vi 1–20: loại bội của 2, 3 lớn hơn chính nó, số còn sót lại (và nhỏ hơn hoặc bằng $20 \approx 4, 5$ không cần xét thêm số nào khác) chính là số nguyên tố.

Loại các bội của 2 lớn hơn 2 (4,6,8,…,20) khỏi

2

–

20

, còn lại các số lẻ và số 2
Trong các số lẻ còn lại, loại tiếp bội của 3 lớn hơn 3 (9,15) và bội của 5 lớn hơn 5 (không còn số lẻ nào bị loại thêm vì 25 > 20 xét theo

20

)
Số nguyên tố còn lại:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

, đúng 8 số

Vậy $G = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19}$ , khớp với hai cách trên; $E$ , $F$ dùng công thức như Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho

E

F

(công thức cấp số cộng nhanh, không sót), riêng

G

nên liệt kê trực tiếp theo định nghĩa vì phạm vi 1–20 không lớn.

Đáp số. Kết quả có thể:

{1, 2, \dots, 20}

E = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19}

;

F = {5; 10; 15; 20}

;

G = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19}

Sai lầm thường gặp. Xếp nhầm số 1 vào

G

(số 1 không phải số nguyên tố); hoặc bỏ sót 19 khi liệt kê

E

hay

G

vì dừng đếm sớm.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi hộp thành 30 tấm thẻ, công thức

2 k - 1

5 k

ở Cách 2 vẫn dùng được (chỉ đổi giới hạn

k

), còn

G

phải liệt kê lại theo sàng nguyên tố mở rộng đến

30 \approx 5, 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 8.3★★★Trang 39— Liệt kê kết quả có thể khi lấy đồng thời hai phần tử, xét theo tính chẵn lẻ

Bài 8.3 (trang 39). Một túi đựng 5 viên bi được ghi số 1; 2; 3; 4; 5. Bạn Bình lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ trong túi. a) Liệt kê các kết quả có thể của hành động trên. b) Liệt kê các kết quả thuận lợi cho các biến cố sau:

M

: “Tổng hai số ghi trên hai viên bi là một số chẵn”;

N

: “Tích hai số ghi trên hai viên bi là một số lẻ”.

Kiến thức cần nhớ

Lấy đồng thời $k$ phần tử từ một tập hợp cho ra các tập con không thứ tự (tổ hợp), khác với việc lấy lần lượt có thứ tự (chỉnh hợp). Tổng hai số chẵn khi và chỉ khi hai số cùng tính chẵn lẻ; tích hai số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều lẻ.

🧠 Phân tích tư duy

Lấy đồng thời hai viên bi (không phân biệt thứ tự lấy trước, lấy sau) nên mỗi kết quả là một cặp không thứ tự

{i; j}

với

i \neq = j

, khác với việc lấy lần lượt có thứ tự. Với

M

N

nên nhớ quy tắc chẵn lẻ của tổng và tích thay vì cộng, nhân cụ thể từng cặp: tổng chẵn khi hai số cùng tính chẵn lẻ, tích lẻ khi cả hai số đều lẻ. Bẫy: đếm cặp có thứ tự (như

(1; 2)

và

(2; 1)

là hai kết quả khác nhau) trong khi đề chỉ lấy một lần hai viên nên không phân biệt thứ tự.

1Cách 1. Liệt kê trực tiếp tất cả các cặp

Định hướng. Liệt kê hết các cặp không thứ tự có thể lấy từ 5 viên bi, rồi tính tổng, tích từng cặp để lọc theo $M$ , $N$ .

Các cặp có thể lấy:

{1; 2}, {1; 3}, {1; 4}, {1; 5}, {2; 3}, {2; 4}, {2; 5}, {3; 4}, {3; 5}, {4; 5}

, tất cả 10 cặp
Tính tổng từng cặp:

{1; 3}

tổng

4

;

{1; 5}

tổng

6

;

{2; 4}

tổng

6

;

{3; 5}

tổng

8

– đều là số chẵn, các cặp còn lại tổng lẻ
Tính tích từng cặp:

{1; 3}

tích

3

;

{1; 5}

tích

5

;

{3; 5}

tích

15

– đều là số lẻ, các cặp còn lại tích chẵn

Vậy $M = {{1; 3}, {1; 5}, {2; 4}, {3; 5}}$ (4 kết quả); $N = {{1; 3}, {1; 5}, {3; 5}}$ (3 kết quả).

2Cách 2. Phân loại theo tính chẵn lẻ trước khi ghép cặp

Định hướng. Dùng tính chất tổng, tích chẵn lẻ đã nêu ở phần kiến thức để phân loại 5 số thành lẻ, chẵn rồi ghép cặp cùng nhóm, không cần tính từng tổng, tích cụ thể.

Trong 5 số, số lẻ là

{1; 3; 5}

(3 số), số chẵn là

{2; 4}

(2 số)
Tổng hai số chẵn (số chẵn) xảy ra khi hai số CÙNG tính chẵn lẻ: ghép 2 số lẻ với nhau có

{1; 3}, {1; 5}, {3; 5}

(3 cặp), ghép 2 số chẵn với nhau có

{2; 4}

(1 cặp), tổng cộng

3 + 1 = 4

cặp
Tích hai số lẻ (số lẻ) xảy ra khi cả hai số đều lẻ: đúng là 3 cặp lẻ–lẻ vừa liệt kê ở trên

Vậy $M$ có $4$ kết quả (3 cặp lẻ–lẻ và 1 cặp chẵn–chẵn); $N$ có $3$ kết quả (đúng 3 cặp lẻ–lẻ), khớp Cách 1.

3Cách 3. Lập bảng 5×5 rồi giữ nửa trên đường chéo

Định hướng. Lập bảng vuông $5 \times 5$ với hàng, cột là các số $1$ đến $5$ ; ô $(i, j)$ ghi cặp ${i; j}$ khi $i \neq = j$ ; vì lấy không thứ tự nên chỉ giữ các ô phía trên đường chéo chính (tránh đếm cặp ${i; j}$ và ${j; i}$ là một).

Bảng có

5 \times 5 = 25

ô, trừ 5 ô trên đường chéo (không lấy 2 viên trùng nhau) còn

20

ô, mỗi cặp xuất hiện đúng 2 lần (ô

(i, j)

và ô

(j, i)

) nên số cặp không thứ tự là

20 \div 2 = 10

, khớp Cách 1
Đánh dấu các ô có tổng chẵn: đúng các ô ứng với 4 cặp đã tìm ở Cách 1, Cách 2
Đánh dấu các ô có tích lẻ: đúng 3 ô ứng với 3 cặp lẻ–lẻ

Vậy $M$ có 4 kết quả, $N$ có 3 kết quả, thống nhất cả ba cách.

Nhận xét. Cách chia $20 \div 2$ để loại cặp trùng thứ tự là kĩ thuật hay dùng khi đếm số cách chọn không thứ tự.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: phân loại lẻ–chẵn một lần rồi suy ra cả

M

lẫn

N

, nhanh hơn tính tổng, tích của cả 10 cặp.

Đáp số. a) 10 kết quả có thể:

{1; 2}, {1; 3}, {1; 4}, {1; 5}, {2; 3}, {2; 4}, {2; 5}, {3; 4}, {3; 5}, {4; 5}

. b)

M = {{1; 3}, {1; 5}, {2; 4}, {3; 5}}

(4 kết quả);

N = {{1; 3}, {1; 5}, {3; 5}}

(3 kết quả).

Sai lầm thường gặp. Đếm cả cặp có thứ tự (coi

(1; 2)

và

(2; 1)

là hai kết quả khác nhau) khiến tổng số kết quả có thể bị nhân đôi thành 20 thay vì 10; hoặc quên cặp

{2; 4}

(chẵn–chẵn) khi liệt kê

M

vì chỉ nhớ trường hợp lẻ–lẻ.

🚀 Mở rộng. Nếu túi có

n

viên bi đánh số

1

đến

n

và lấy đồng thời 2 viên, số kết quả có thể tổng quát là

\frac{n ( n - 1 )}{2}

(ở đây

\frac{5 \cdot 4}{2} = 10

, đúng như đã đếm).

Mở bài này trong app ↗