Bài 1 · Mở đầu★Trang 59— Nhận biết kết quả của một hành động ngẫu nhiên
Mở đầu (trang 59). Tại vòng chung kết cuộc thi Chinh phục tri thức, ban tổ chức soạn 20 câu hỏi thuộc các lĩnh vực khác nhau, mỗi câu hỏi được viết trong một phiếu và được đánh số từ 1 đến 20. Các câu hỏi từ số 1 đến số 4 thuộc lĩnh vực Lịch sử – Địa lí, từ số 5 đến số 12 thuộc lĩnh vực Khoa học tự nhiên, từ số 13 đến số 18 thuộc lĩnh vực Văn học; từ số 19 đến số 20 thuộc lĩnh vực Toán học. Bạn Sơn rút ngẫu nhiên một phiếu từ hộp đựng các phiếu câu hỏi. Sơn học giỏi môn Lịch sử nên mong rút được câu hỏi thuộc lĩnh vực Lịch sử – Địa lí. Liệu bạn Sơn có rút được phiếu câu hỏi mình mong muốn không?
Kiến thức cần nhớ
Kết quả của một hành động, thực nghiệm ngẫu nhiên không thể biết trước khi thực hiện.
Khi tập hợp kết quả có thể có nhiều hơn 1 phần tử, việc xảy ra đúng kết quả mong muốn là không chắc chắn.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho một hành động “rút ngẫu nhiên” trong một tập hợp nhiều phiếu, dấu hiệu cho biết kết quả không thể đoán trước, chỉ có thể liệt kê các khả năng. Hướng an toàn nhất là liệt kê đủ 20 phiếu rồi đối chiếu với mong muốn của Sơn, tránh trả lời cảm tính. Bẫy hay gặp: thấy có phiếu thuộc lĩnh vực Lịch sử – Địa lí thì vội cho là Sơn sẽ được, quên rằng còn 16 phiếu khác cũng có thể được rút.
1Cách 1. Liệt kê trực tiếp toàn bộ 20 phiếu
Định hướng. Liệt kê hết mọi phiếu có thể rút được rồi so với điều Sơn mong muốn.
Các phiếu có thể rút là phiếu số 1; 2; 3;…; 20, tất cả 20 phiếu đều có khả năng được rút Phiếu Sơn mong muốn chỉ là một trong 4 phiếu số 1, 2, 3, 4 (lĩnh vực Lịch sử – Địa lí) Hộp còn 16 phiếu khác (số 5 đến 20) cũng có thể được rút, không có gì bảo đảm Sơn rút trúng phiếu 1, 2, 3 hoặc 4
Vậy Sơn không chắc chắn rút được phiếu câu hỏi thuộc lĩnh vực Lịch sử – Địa lí.
2Cách 2. Phân hoạch tập kết quả theo lĩnh vực
Định hướng. Chia 20 phiếu thành 4 nhóm rời nhau theo lĩnh vực rồi so sánh nhóm Sơn mong muốn với toàn bộ tập kết quả.
20 phiếu chia thành 4 nhóm rời nhau: Lịch sử – Địa lí (4 phiếu), Khoa học tự nhiên (8 phiếu), Văn học (6 phiếu), Toán học (2 phiếu) Nhóm Sơn mong muốn (Lịch sử – Địa lí) chỉ là 1 trong 4 nhóm, không trùng với toàn bộ tập 20 phiếu
Vậy kết quả rút được có thể rơi vào 3 nhóm còn lại, nên Sơn không chắc chắn rút được phiếu mình mong muốn.
3Cách 3. Phản chứng
Định hướng. Giả sử điều ngược lại rồi chỉ ra mâu thuẫn.
Giả sử Sơn chắc chắn rút được phiếu thuộc lĩnh vực Lịch sử – Địa lí Khi đó mọi lần rút đều phải cho ra một trong các phiếu số 1, 2, 3, 4 Nhưng hộp vẫn còn đủ 20 phiếu, các phiếu số 5 đến 20 hoàn toàn có thể được rút, mâu thuẫn với điều giả sử
Vậy điều giả sử sai, tức là Sơn không chắc chắn rút được phiếu mình mong muốn.
Nhận xét. Đây chính là câu hỏi mở đầu cho khái niệm biến cố ngẫu nhiên sẽ học ngay sau đây.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: liệt kê thẳng rồi đối chiếu, nhanh và ít rủi ro nhầm nhóm nhất.
Đáp số.Không. Sơn không chắc chắn rút được phiếu thuộc lĩnh vực Lịch sử – Địa lí, vì hộp có 20 phiếu mà chỉ 4 phiếu (số 1 đến 4) thuộc lĩnh vực này.
Sai lầm thường gặp.Nhầm “có khả năng xảy ra” với “chắc chắn xảy ra”: thấy đề có nhắc đến lĩnh vực Lịch sử – Địa lí liền vội kết luận Sơn chắc là được, quên đối chiếu với toàn bộ 20 kết quả có thể.
🚀 Mở rộng.Câu hỏi khả năng đó lớn hay nhỏ sẽ được trả lời chính xác bằng con số ở Bài 31 (Cách tính xác suất của biến cố bằng tỉ số), khi đó xác suất Sơn rút trúng sẽ là 204=51.
Bài 2 · Hoạt động 1★Trang 60— Liệt kê và đếm kết quả có thể của một phép thử
Hoạt động 1 (trang 60). Trong tình huống mở đầu, em hãy cho biết: a) Bạn Sơn có chắc chắn rút được phiếu câu hỏi số 2 hay không? b) Khi bạn Sơn rút một phiếu bất kì thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra?
Kiến thức cần nhớ
Số kết quả có thể của hành động rút một phiếu trong hộp có n phiếu khác nhau bằng đúng n.
🧠 Phân tích tư duy
Câu a hỏi về một kết quả cụ thể (phiếu số 2), dấu hiệu chỉ cần đối chiếu 1 phiếu với toàn bộ tập kết quả có thể. Câu b hỏi về tổng số kết quả có thể nên liệt kê hoặc đếm trực tiếp cả tập hợp. Bẫy: nhầm “có thể xảy ra” (phiếu số 2 là một khả năng) với “chắc chắn xảy ra”.
1Cách 1. Liệt kê trực tiếp
Định hướng. Viết hết các phiếu có thể rút rồi đối chiếu với phiếu số 2.
Các kết quả có thể khi Sơn rút một phiếu là: phiếu số 1, phiếu số 2, phiếu số 3,…, phiếu số 20 Phiếu số 2 chỉ là 1 trong 20 phiếu đó, còn 19 phiếu khác cũng có thể được rút Đếm trực tiếp danh sách trên có đúng 20 phiếu
Vậy a) Sơn không chắc chắn rút được phiếu số 2; b) có 20 kết quả có thể.
2Cách 2. Dùng quy tắc đếm tập hợp
Định hướng. Không cần liệt kê từng phiếu, chỉ cần đếm số phần tử của tập các phiếu.
Tập hợp các phiếu câu hỏi là {1;2;3;…;20} Số phần tử của tập hợp các số tự nhiên từ 1 đến 20 là 20−1+1=20 Phiếu số 2 là một phần tử riêng lẻ trong tập 20 phần tử đó, không đại diện cho toàn bộ tập hợp
Vậy có 20 kết quả có thể, và Sơn không chắc chắn rút được đúng phiếu số 2.
3Cách 3. Phản chứng cho câu a
Định hướng. Giả sử điều ngược lại của câu a rồi chỉ ra mâu thuẫn.
Giả sử Sơn chắc chắn rút được phiếu số 2 Khi đó phiếu số 1, số 3,…, số 20 sẽ không bao giờ được rút, trái với việc mọi phiếu đều có mặt trong hộp và có thể được rút Mâu thuẫn này cho thấy điều giả sử là sai
Vậy Sơn không chắc chắn rút được phiếu số 2; tổng số kết quả có thể vẫn là 20 (đếm như Cách 1).
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần công thức đếm 20−1+1=20, không mất công viết hết danh sách.
Đáp số.a) Không chắc chắn. b) Có 20 kết quả có thể.
Sai lầm thường gặp.Đếm sót hoặc đếm thừa khi liệt kê tay 20 phiếu; hoặc nhầm phiếu số 2 có thể được rút thành chắc chắn được rút.
🚀 Mở rộng.Nếu hộp có n phiếu đánh số khác nhau thì số kết quả có thể khi rút một phiếu luôn bằng n, không phụ thuộc phiếu đó được đánh số hay phân loại thế nào.
Bài 3 · Ví dụ 1★Trang 60— Liệt kê kết quả có thể khi các phần tử được phân biệt bằng cả màu lẫn số
Ví dụ 1 (trang 60). Một hộp đựng 5 quả cầu màu xanh được đánh số 1; 2; 3; 4; 5 và 4 quả cầu màu đỏ được đánh số 1; 2; 3; 4. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu trong hộp. Liệt kê tất cả các kết quả có thể của hành động này. Có bao nhiêu kết quả có thể?
Kiến thức cần nhớ
Khi các phần tử được phân biệt bởi nhiều dấu hiệu (ở đây là màu và số), mỗi tổ hợp (màu, số) là một kết quả riêng biệt.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho hai dấu hiệu phân biệt quả cầu: màu và số, nên mỗi quả cầu là một kết quả riêng dù hai quả khác màu có thể trùng số (xanh số 1 khác đỏ số 1). Cách an toàn là đặt kí hiệu riêng cho từng nhóm màu rồi liệt kê đủ. Bẫy: tưởng lầm quả xanh số 1 và quả đỏ số 1 là một kết quả vì trùng số.
1Cách 1. Liệt kê tuyến tính theo kí hiệu
Định hướng. Đặt kí hiệu cho từng quả cầu theo màu rồi liệt kê hết.
Kí hiệu 5 quả cầu xanh đánh số 1; 2; 3; 4; 5 là X1,X2,X3,X4,X5 Kí hiệu 4 quả cầu đỏ đánh số 1; 2; 3; 4 là D1,D2,D3,D4 Các kết quả có thể là X1,X2,X3,X4,X5,D1,D2,D3,D4 Đếm trực tiếp danh sách trên có 9 kết quả
Vậy có 9 kết quả có thể: X1,X2,X3,X4,X5,D1,D2,D3,D4.
2Cách 2. Lập bảng phân loại màu và số
Định hướng. Xếp các quả cầu vào một bảng có hai hàng (xanh, đỏ) và các cột theo số, ô nào có quả cầu thì tính là một kết quả.
Hàng xanh có 5 ô ứng với số 1, 2, 3, 4, 5, đều có quả cầu, cho 5 kết quả Hàng đỏ có 4 ô ứng với số 1, 2, 3, 4, đều có quả cầu, cho 4 kết quả Hai hàng không chung ô nào (một ô không thể vừa xanh vừa đỏ)
Vậy tổng số kết quả có thể là 5+4=9.
3Cách 3. Quy tắc cộng cho tổng quát
Định hướng. Vì hai nhóm màu tách biệt hoàn toàn (không có quả nào vừa xanh vừa đỏ), số kết quả có thể của toàn bộ hộp bằng tổng số kết quả của từng nhóm.
Gọi a là số quả cầu xanh, b là số quả cầu đỏ, hai nhóm không giao nhau Số kết quả có thể khi lấy một quả bất kì trong hộp là a+b Thay a=5, b=4 ta được 5+4=9
Vậy có 9 kết quả có thể, đúng như hai cách trên.
Nhận xét. Công thức a+b dùng được cho mọi hộp gồm hai nhóm phần tử tách biệt, không cần liệt kê lại từ đầu.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 3: chỉ cần cộng 5+4=9, tránh liệt kê dài khi số quả cầu lớn.
Đáp số.9 kết quả có thể: X1,X2,X3,X4,X5,D1,D2,D3,D4.
Sai lầm thường gặp.Nhầm quả xanh số 1 và quả đỏ số 1 là cùng một kết quả vì trùng số, dẫn tới đếm thiếu (chỉ ra 5 kết quả thay vì 9).
🚀 Mở rộng.Nếu hộp có thêm quả cầu màu vàng đánh số 1;…;c thì số kết quả có thể tổng quát là a+b+c, cứ mỗi nhóm màu tách biệt lại cộng thêm số phần tử của nhóm đó.
Bài 4 · Luyện tập 1★★Trang 60— Liệt kê kết quả có thể, loại bỏ phần tử lặp lại
Luyện tập 1 (trang 60). Chọn ngẫu nhiên một chữ cái trong cụm từ “TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ”. Liệt kê tất cả các kết quả có thể của hành động này.
Kiến thức cần nhớ
Bảng chữ cái tiếng Việt có 29 chữ cái, trong đó Ô, Ơ, Ă, Â, Ê, Ư, Đ là các chữ cái riêng biệt; còn 5 dấu thanh (sắc, huyền, hỏi, ngã, nặng) không làm thay đổi chữ cái.
🧠 Phân tích tư duy
Cụm từ có nhiều chữ cái lặp lại (chữ T xuất hiện 3 lần, chữ O 2 lần,…), dấu hiệu cho biết kết quả ở đây là giá trị chữ cái chứ không phải vị trí, nên mỗi chữ chỉ tính một lần. Bẫy lớn nhất nằm ở dấu thanh (sắc, huyền, hỏi,…): dấu thanh không tạo ra chữ cái mới (Á, À vẫn là chữ A), còn các chữ có dấu mũ, móc (Ô, Ơ, Ă, Â, Ê, Ư, Đ) là chữ cái riêng trong bảng chữ cái tiếng Việt, khác hẳn chữ gốc không dấu.
1Cách 1. Liệt kê theo từng tiếng rồi loại chữ trùng
Định hướng. Tách cụm từ thành từng tiếng, đọc ra chữ cái gốc (bỏ dấu thanh, giữ chữ có dấu mũ, móc) rồi gộp lại, chữ nào đã xuất hiện thì không ghi lại.
TOÁN cho các chữ T, O, A, N HỌC cho các chữ H, O, C (O đã có, chỉ thêm H, C) VÀ cho các chữ V, A (A đã có, chỉ thêm V) TUỔI cho các chữ T, U, Ô, I (T đã có, thêm U, Ô, I) TRẺ cho các chữ T, R, E (T đã có, thêm R, E)
Vậy các kết quả có thể là T, O, A, N, H, C, V, U, Ô, I, R, E, có 12 kết quả.
2Cách 2. Sàng lọc dần theo thứ tự xuất hiện
Định hướng. Duyệt cụm từ từ trái sang phải theo từng chữ cái, mỗi chữ mới xuất hiện thì đánh dấu đã lấy, chữ đã đánh dấu thì bỏ qua.
Duyệt T-O-A-N-H-O-C-V-A-T-U-Ô-I-T-R-E (viết theo chữ cái gốc, bỏ dấu thanh) Lần đầu gặp: T, O, A, N, H, C, V, U, Ô, I, R, E, mỗi chữ đánh dấu ngay khi gặp lần đầu tiên Các lần gặp lại (O ở HỌC, A ở VÀ, T ở TUỔI và TRẺ) đều bị bỏ qua vì đã đánh dấu
Vậy danh sách kết quả không trùng lặp là T, O, A, N, H, C, V, U, Ô, I, R, E, đúng 12 kết quả như Cách 1.
3Cách 3. Đối chiếu với bảng chữ cái tiếng Việt chuẩn
Định hướng. Dò cụm từ theo đúng 29 chữ cái của bảng chữ cái tiếng Việt (A, Ă, Â, B, C, D, Đ, E, Ê, G, H, I, K, L, M, N, O, Ô, Ơ, P, Q, R, S, T, U, Ư, V, X, Y), chữ nào có mặt trong cụm từ thì đánh dấu tick.
Dò lần lượt: A có, Ă không, Â không, C có, H có, I có, N có, O có, Ô có, R có, T có, U có, V có, E có; các chữ còn lại (B, D, Đ, Ê, G, K, L, M, Ơ, P, Q, S, Ư, X, Y) đều không có mặt Gom các chữ được tick: A, C, H, I, N, O, Ô, R, T, U, V, E
Vậy có 12 kết quả có thể: T, O, A, N, H, C, V, U, Ô, I, R, E.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: tách theo từng tiếng dễ kiểm soát, khó bỏ sót hơn dò cả bảng chữ cái.
Đáp số.12 kết quả có thể: T, O, A, N, H, C, V, U, Ô, I, R, E.
Sai lầm thường gặp.Coi dấu thanh (sắc, huyền, hỏi) là chữ cái riêng nên đếm cả Á, À, Ẻ như 3 kết quả khác A, E, dẫn tới đếm thừa; hoặc gộp luôn Ô vào O vì tưởng chỉ là O có dấu.
🚀 Mở rộng.Nếu đổi cụm từ thành một cụm từ tiếng Việt khác bất kì, cách làm không đổi: bỏ dấu thanh, giữ nguyên chữ cái có dấu mũ, móc, rồi loại trùng.
Bài 5 · Tranh luận★★Trang 60— Phân biệt phần tử: khi nào đếm theo số lượng vật, khi nào đếm theo dấu hiệu phân biệt được
Tranh luận (trang 60). Một túi đựng 12 viên bi có hình dạng như nhau, chỉ khác màu, trong đó có 5 viên bi màu đỏ, 4 viên bi màu xanh và 3 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong túi. Hỏi có tất cả bao nhiêu kết quả có thể? (Bạn thứ nhất nói: “Có 12 viên bi nên có 12 kết quả có thể.” Bạn thứ hai nói: “Không đúng! Các viên bi có hình dạng như nhau, chỉ khác màu nên có 3 kết quả có thể là bi màu đỏ, bi màu xanh và bi màu vàng.”) Theo em, bạn nào nói đúng?
Kiến thức cần nhớ
Số kết quả có thể chỉ tính theo các dấu hiệu thực sự phân biệt được các phần tử; nhiều phần tử giống hệt nhau về mọi dấu hiệu quan sát được thì chỉ tính là một loại kết quả.
🧠 Phân tích tư duy
Khác với Ví dụ 1 (quả cầu được đánh số nên phân biệt từng quả), ở đây đề nói rõ các viên bi hình dạng như nhau, chỉ khác màu, không có số hay kí hiệu riêng để tách 5 viên đỏ thành 5 kết quả khác nhau. Hướng đúng là chỉ đếm theo dấu hiệu phân biệt được trên thực tế (màu sắc), không đếm theo số lượng vật thể. Bẫy của đề: nhầm số lượng đối tượng với số kết quả phân biệt được.
1Cách 1. Xét dấu hiệu phân biệt được
Định hướng. Kiểm tra xem các viên bi có dấu hiệu nào để tách riêng từng viên hay không.
Đề cho các viên bi hình dạng như nhau, chỉ khác màu, không có số hay kí hiệu ghi trên từng viên Vậy 5 viên bi đỏ hoàn toàn giống hệt nhau, không thể phân biệt viên đỏ này với viên đỏ kia Dấu hiệu duy nhất còn lại để phân biệt là màu sắc: đỏ, xanh, vàng
Vậy có 3 kết quả có thể: lấy được bi đỏ, lấy được bi xanh, lấy được bi vàng. Bạn thứ hai nói đúng.
2Cách 2. Đối chiếu với Ví dụ 1
Định hướng. So sánh tình huống này với Ví dụ 1 đã học, xem điểm khác biệt mấu chốt là gì.
Trong Ví dụ 1, mỗi quả cầu được đánh số riêng (xanh 1, xanh 2,…) nên 9 quả cầu cho 9 kết quả phân biệt Trong bài này, các viên bi không được đánh số, chỉ khác nhau ở màu, nên không thể coi mỗi viên là một kết quả riêng như Ví dụ 1 Dấu hiệu phân biệt duy nhất còn lại là màu, mà chỉ có 3 màu
Vậy có 3 kết quả có thể (đỏ, xanh, vàng); bạn thứ nhất đã áp dụng nhầm cách đếm của Ví dụ 1 vào tình huống không có đánh số.
3Cách 3. Phản chứng lời bạn thứ nhất
Định hướng. Giả sử bạn thứ nhất đúng rồi tìm mâu thuẫn.
Giả sử có 12 kết quả phân biệt, tức là phải phân biệt được 5 viên bi đỏ với nhau (mỗi viên là 1 kết quả riêng) Nhưng đề cho các viên bi hình dạng như nhau, chỉ khác màu, nghĩa là không hề có căn cứ (số, hình dạng, kí hiệu) để tách 5 viên đỏ ra thành 5 đối tượng khác nhau Điều giả sử dẫn tới yêu cầu phân biệt cái không thể phân biệt được, mâu thuẫn
Vậy bạn thứ nhất sai; chỉ có 3 kết quả có thể phân biệt được là đỏ, xanh, vàng, đúng như bạn thứ hai nói.
Nhận xét. Số kết quả có thể phụ thuộc vào việc các phần tử có được phân biệt hay không, chứ không đơn thuần là đếm số lượng vật.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần một câu không có dấu hiệu phân biệt từng viên cùng màu là chốt được đáp số ngay.
Đáp số.Bạn thứ hai nói đúng: có 3 kết quả có thể là lấy được bi đỏ, lấy được bi xanh, lấy được bi vàng.
Sai lầm thường gặp.Nhầm số lượng vật thể (12 viên bi) với số kết quả có thể phân biệt được, trong khi các viên bi cùng màu giống hệt nhau không có dấu hiệu tách riêng (khác với quả cầu ở Ví dụ 1 vốn được đánh số).
🚀 Mở rộng.Nếu đề đổi lại thành 12 viên bi được đánh số từ 1 đến 12, khác màu như trên thì lúc đó mỗi viên có số riêng, số kết quả có thể sẽ là 12, đúng như cách đếm ở Ví dụ 1.
Bài 6 · Hoạt động 2★Trang 61— Xác định kết quả thuận lợi cho một biến cố
Hoạt động 2 (trang 61). Trở lại tình huống mở đầu, kết quả của hành động rút ngẫu nhiên một phiếu câu hỏi của Sơn là một câu hỏi nào đó trong số 20 câu hỏi được đánh số từ 1 đến 20. Có 20 kết quả có thể là phiếu số 1, phiếu số 2,…, phiếu số 20. Xét biến cố E: “Sơn rút được phiếu câu hỏi thuộc lĩnh vực Lịch sử – Địa lí”. Em hãy xác định các kết quả có thể để biến cố E xảy ra.
Kiến thức cần nhớ
Kết quả thuận lợi cho biến cố E là các kết quả có thể của hành động mà khi đó E xảy ra.
🧠 Phân tích tư duy
Đề đã cho sẵn tập 20 kết quả có thể và nêu rõ biến cố E, dấu hiệu của bài tìm kết quả thuận lợi: chỉ cần lọc trong 20 kết quả đó những kết quả làm E xảy ra. Hướng nhanh nhất là quay lại dữ kiện phân lĩnh vực đã cho ở tình huống mở đầu (số 1 đến 4 là Lịch sử – Địa lí). Bẫy: nhầm lẫn giữa kết quả có thể (cả 20 phiếu) với kết quả thuận lợi (chỉ các phiếu làm E xảy ra).
1Cách 1. Lọc trực tiếp trong 20 phiếu
Định hướng. Duyệt qua 20 kết quả có thể, giữ lại những phiếu thuộc lĩnh vực Lịch sử – Địa lí.
20 kết quả có thể là phiếu số 1; 2;…; 20 Theo đề bài, các câu hỏi từ số 1 đến số 4 thuộc lĩnh vực Lịch sử – Địa lí Các phiếu số 5 đến 20 thuộc các lĩnh vực khác nên không làm E xảy ra
Vậy kết quả thuận lợi cho biến cố E là các phiếu số 1; 2; 3; 4.
2Cách 2. Áp dụng định nghĩa kết quả thuận lợi
Định hướng. Dùng đúng định nghĩa vừa nêu: kết quả thuận lợi là kết quả có thể mà tại đó E xảy ra.
E xảy ra khi và chỉ khi phiếu rút được ghi số thuộc đoạn [1;4] (lĩnh vực Lịch sử – Địa lí) Trong 20 kết quả có thể, các số thoả điều kiện 1≤n≤4 là n=1,2,3,4
Vậy kết quả thuận lợi cho E là {1;2;3;4}, đúng 4 kết quả.
3Cách 3. Loại trừ phần bù
Định hướng. Loại khỏi 20 kết quả có thể những phiếu không làm E xảy ra, phần còn lại chính là kết quả thuận lợi.
Các phiếu không thuộc lĩnh vực Lịch sử – Địa lí là số 5 đến số 20, tổng cộng 20−4=16 phiếu Loại 16 phiếu đó khỏi tập 20 kết quả có thể, còn lại đúng 4 phiếu
Vậy 4 phiếu còn lại số 1; 2; 3; 4 chính là kết quả thuận lợi cho biến cố E.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: lọc trực tiếp theo dữ kiện đề đã cho sẵn, không cần lập biểu thức.
Đáp số.Kết quả thuận lợi cho biến cố E là các phiếu số 1; 2; 3; 4.
Sai lầm thường gặp.Nhầm kết quả thuận lợi (4 phiếu) với toàn bộ kết quả có thể (20 phiếu), hoặc liệt kê nhầm sang các phiếu thuộc lĩnh vực khác.
🚀 Mở rộng.Nếu xét biến cố Sơn rút được phiếu thuộc lĩnh vực Khoa học tự nhiên thì kết quả thuận lợi sẽ là các phiếu số 5 đến 12, tức 8 kết quả, cùng cách lọc như trên.
Bài 7 · Ví dụ 2★★Trang 61— Liệt kê kết quả có thể và kết quả thuận lợi khi phần tử chia theo nhiều lớp
Ví dụ 2 (trang 61). Đội văn nghệ khối 8 của một trường Trung học cơ sở có 14 bạn, trong đó có 4 bạn nam lớp 8A, 5 bạn nữ lớp 8B, 3 bạn nam lớp 8C và 2 bạn nữ lớp 8D. Chọn ngẫu nhiên một bạn trong đội văn nghệ khối 8 để tham gia tiết mục văn nghệ của trường. a) Liệt kê tất cả các kết quả có thể của hành động trên. Có tất cả bao nhiêu kết quả có thể? b) Liệt kê các kết quả thuận lợi cho các biến cố sau: E: “Chọn được một bạn lớp 8A”; F: “Chọn được một bạn nữ”.
Kiến thức cần nhớ
Kết quả thuận lợi cho một biến cố có thể gồm các phần tử từ nhiều nhóm khác nhau, miễn là các phần tử đó đều làm biến cố xảy ra.
🧠 Phân tích tư duy
Đề chia 14 bạn thành 4 nhóm theo lớp, mỗi nhóm là một khối tách biệt, dấu hiệu cho thấy nên đặt kí hiệu riêng theo từng nhóm rồi liệt kê. Biến cố F gộp hai nhóm nữ ở hai lớp khác nhau (8B và 8D) nên phải để ý gộp đúng cả hai nhóm, không chỉ lấy một nhóm. Bẫy: quên mất lớp 8D (chỉ có 2 bạn, dễ bị bỏ sót) khi liệt kê biến cố F.
1Cách 1. Liệt kê trực tiếp theo kí hiệu từng lớp
Định hướng. Đặt kí hiệu riêng cho từng nhóm theo lớp rồi liệt kê hết, sau đó lọc theo từng biến cố.
Kí hiệu 4 bạn nam lớp 8A là A1,A2,A3,A4 5 bạn nữ lớp 8B là B1,B2,B3,B4,B5 3 bạn nam lớp 8C là C1,C2,C3 2 bạn nữ lớp 8D là D1,D2 Các kết quả có thể của hành động trên là A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3,B4,B5,C1,C2,C3,D1,D2, có 14 kết quả
Vậy a) có 14 kết quả có thể; b) kết quả thuận lợi cho E là A1,A2,A3,A4; kết quả thuận lợi cho F là B1,B2,B3,B4,B5,D1,D2.
2Cách 2. Quy tắc cộng theo nhóm
Định hướng. Không liệt kê hết, chỉ cộng số phần tử của các nhóm liên quan đến từng biến cố.
Tổng số kết quả có thể: 4+5+3+2=14 Biến cố E chỉ liên quan đúng một nhóm (nam lớp 8A), có 4 kết quả thuận lợi Biến cố F gộp hai nhóm nữ (lớp 8B và lớp 8D), số kết quả thuận lợi là 5+2=7
Vậy a) 14 kết quả có thể; b) E có 4 kết quả thuận lợi (nam lớp 8A); F có 7 kết quả thuận lợi (5 bạn nữ lớp 8B và 2 bạn nữ lớp 8D).
3Cách 3. Lập bảng phân loại lớp và giới tính
Định hướng. Xếp 14 bạn vào một bảng có cột là lớp (8A, 8B, 8C, 8D) và hàng là giới tính (nam, nữ), từ đó đọc trực tiếp từng biến cố theo cột hoặc theo hàng.
Bảng: nam có 8A (4 bạn) và 8C (3 bạn); nữ có 8B (5 bạn) và 8D (2 bạn); tổng theo bảng là 4+3+5+2=14 Biến cố E ứng với đúng cột 8A (không phân biệt giới tính) →4 bạn Biến cố F ứng với đúng hàng nữ (gộp cột 8B và 8D) →5+2=7 bạn
Vậy kết quả trùng khớp với hai cách trên: 14 kết quả có thể, E có 4 kết quả thuận lợi, F có 7 kết quả thuận lợi.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: cộng theo nhóm nhanh gọn, đặc biệt hiệu quả khi biến cố gộp nhiều nhóm như F.
Đáp số.a) 14 kết quả có thể: A1,…,A4,B1,…,B5,C1,C2,C3,D1,D2. b) E={A1,A2,A3,A4} (4 kết quả); F={B1,B2,B3,B4,B5,D1,D2} (7 kết quả).
Sai lầm thường gặp.Quên gộp lớp 8D khi liệt kê biến cố F (chỉ ghi 5 bạn nữ lớp 8B, bỏ sót 2 bạn nữ lớp 8D), dẫn tới đáp số thiếu.
🚀 Mở rộng.Nếu đội có thêm một lớp thứ năm, cách cộng nhóm ở Cách 2 vẫn dùng được: chỉ cần cộng thêm số phần tử của nhóm mới vào tổng và vào các biến cố liên quan.
Bài 8 · Luyện tập 2★★Trang 62— Xác định kết quả thuận lợi khi biến cố gộp nhiều nhóm hoặc là phần bù của biến cố đã biết
Luyện tập 2 (trang 62). Trở lại Ví dụ 2, hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho các biến cố sau: G: “Chọn được một bạn nam”; H: “Chọn được một bạn lớp 8C hoặc 8D”.
Kiến thức cần nhớ
Biến cố “nam” và biến cố “nữ” trong cùng một tập kết quả có thể là hai biến cố đối nhau (phần bù của nhau).
🧠 Phân tích tư duy
Dữ kiện của Ví dụ 2 (14 bạn chia 4 nhóm) đã có sẵn nên chỉ cần lọc lại theo hai biến cố mới. Biến cố G (nam) gộp hai lớp 8A và 8C; biến cố H gộp hai lớp 8C và 8D, khác nhóm với E, F đã xét ở Ví dụ 2. Bẫy: nhầm G với phần bù của F nếu không để ý lớp 8A và 8C nam có thể khác số lượng với lớp 8B, 8D nữ.
1Cách 1. Liệt kê trực tiếp theo kí hiệu đã đặt ở Ví dụ 2
Định hướng. Dùng lại kí hiệu A1,…,D2 của Ví dụ 2, lọc theo từng biến cố mới.
Các bạn nam là 4 bạn lớp 8A (A1,A2,A3,A4) và 3 bạn lớp 8C (C1,C2,C3) Các bạn lớp 8C hoặc 8D là 3 bạn lớp 8C (C1,C2,C3) và 2 bạn lớp 8D (D1,D2)
VậyG={A1,A2,A3,A4,C1,C2,C3} (7 kết quả); H={C1,C2,C3,D1,D2} (5 kết quả).
2Cách 2. Quy tắc cộng theo nhóm
Định hướng. Cộng trực tiếp số bạn của các nhóm liên quan đến từng biến cố, không cần liệt kê lại từ đầu.
G gộp nhóm nam lớp 8A (4 bạn) và nhóm nam lớp 8C (3 bạn): 4+3=7 H gộp nhóm lớp 8C (3 bạn) và nhóm lớp 8D (2 bạn): 3+2=5
VậyG có 7 kết quả thuận lợi, H có 5 kết quả thuận lợi, khớp với Cách 1.
3Cách 3. Dùng phần bù của biến cố F đã biết
Định hướng. Biến cố G (chọn được bạn nam) và biến cố F (chọn được bạn nữ) ở Ví dụ 2 là hai biến cố đối nhau trên cùng 14 kết quả có thể, nên chỉ cần lấy phần bù của F.
Ở Ví dụ 2 đã có F={B1,B2,B3,B4,B5,D1,D2}, gồm 7 kết quả Tổng số kết quả có thể là 14, nên số kết quả thuận lợi cho G là 14−7=7 Phần bù cụ thể của F trong 14 kết quả là A1,A2,A3,A4,C1,C2,C3
VậyG={A1,A2,A3,A4,C1,C2,C3}, đúng 7 kết quả như hai cách trên.
Nhận xét. Biến cố H (lớp 8C hoặc 8D) không phải phần bù của biến cố nào đã biết ở Ví dụ 2 nên vẫn phải liệt kê hoặc cộng nhóm như Cách 1, Cách 2.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: cộng số bạn theo nhóm liên quan, nhanh hơn liệt kê lại toàn bộ kí hiệu.
Đáp số.G={A1,A2,A3,A4,C1,C2,C3} (7 kết quả); H={C1,C2,C3,D1,D2} (5 kết quả).
Sai lầm thường gặp.Quên bạn nam lớp 8C khi liệt kê G (chỉ nhớ lớp 8A), hoặc nhầm H chỉ gồm lớp 8C mà bỏ sót lớp 8D.
🚀 Mở rộng.Biến cố G (nam) và biến cố F ở Ví dụ 2 (nữ) là một cặp biến cố đối nhau: số kết quả thuận lợi của chúng luôn cộng lại bằng tổng số kết quả có thể (ở đây là 14).
Bài 9 · Bài 8.1★★Trang 62— Liệt kê kết quả thuận lợi dựa trên tính chất số học của các số chấm
Bài 8.1 (trang 62). Vuông thực nghiệm gieo một con xúc xắc. a) Liệt kê các kết quả có thể của thực nghiệm trên. b) Liệt kê các kết quả thuận lợi cho các biến cố sau: A: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là hợp số”; B: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc nhỏ hơn 5”; C: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số lẻ”.
Kiến thức cần nhớ
Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, không phải số nguyên tố (có nhiều hơn hai ước). Số 1 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số.
🧠 Phân tích tư duy
Con xúc xắc luôn có 6 mặt đánh số 1 đến 6, dấu hiệu quen thuộc để liệt kê nhanh tập kết quả có thể. Với biến cố A (hợp số) cần nhớ đúng định nghĩa hợp số (số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước, khác số nguyên tố) để không nhầm với số nguyên tố. Bẫy: xếp nhầm số 1 vào hợp số hoặc nguyên tố, trong khi số 1 không phải hợp số cũng không phải số nguyên tố.
1Cách 1. Liệt kê trực tiếp và thử từng số
Định hướng. Liệt kê 6 kết quả có thể rồi thử từng số với từng điều kiện của A, B, C.
Các kết quả có thể là 1,2,3,4,5,6 Xét từng số: 1 không phải hợp số; 2,3,5 là số nguyên tố; 4=2⋅2 và 6=2⋅3 là hợp số So sánh với 5: các số nhỏ hơn 5 là 1,2,3,4 Xét tính chẵn lẻ: các số lẻ là 1,3,5
VậyA={4;6}; B={1;2;3;4}; C={1;3;5}.
2Cách 2. Phân loại 1–6 theo tính chất số học trước
Định hướng. Phân loại toàn bộ 1 đến 6 thành ba nhóm: số 1, số nguyên tố, hợp số; rồi đọc thẳng đáp số cho A mà không cần thử lại từng số.
Trong {1,2,3,4,5,6}: số 1 đứng riêng (không nguyên tố, không hợp số); số nguyên tố là 2,3,5; hợp số là 4,6 Biến cố A (hợp số) ứng thẳng với nhóm vừa phân loại: A={4;6} B, C xét theo khoảng giá trị và tính chẵn lẻ như Cách 1
VậyA={4;6}; B={1;2;3;4}; C={1;3;5}, khớp với Cách 1.
3Cách 3. Lập bảng ba tính chất đồng thời
Định hướng. Lập một bảng 6 dòng (số 1 đến 6), 3 cột (hợp số?, nhỏ hơn 5?, số lẻ?), đánh dấu Đ/S rồi đọc kết quả theo từng cột.
Dòng 1: hợp số Sai, nhỏ hơn 5 Đúng, lẻ Đúng Dòng 2: hợp số Sai, nhỏ hơn 5 Đúng, lẻ Sai Dòng 3: hợp số Sai, nhỏ hơn 5 Đúng, lẻ Đúng Dòng 4: hợp số Đúng, nhỏ hơn 5 Đúng, lẻ Sai Dòng 5: hợp số Sai, nhỏ hơn 5 Sai, lẻ Đúng Dòng 6: hợp số Đúng, nhỏ hơn 5 Sai, lẻ Sai Đọc theo cột hợp số: các dòng Đúng là 4, 6; cột nhỏ hơn 5: 1,2,3,4; cột lẻ: 1,3,5
VậyA={4;6}; B={1;2;3;4}; C={1;3;5}, cùng kết quả với hai cách trên.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: phân loại 1–6 theo tính chất số học một lần, dùng lại được cho nhiều biến cố khác nhau về sau.
Đáp số.Kết quả có thể: {1;2;3;4;5;6}. A={4;6}; B={1;2;3;4}; C={1;3;5}.
Sai lầm thường gặp.Xếp nhầm số 1 vào nhóm hợp số (số 1 không phải hợp số, cũng không phải số nguyên tố), làm A bị thừa phần tử.
🚀 Mở rộng.Nếu đổi xúc xắc 6 mặt thành xúc xắc 8 hoặc 12 mặt (vẫn đánh số liên tiếp từ 1), cách phân loại hợp số – nguyên tố – số 1 ở Cách 2 vẫn áp dụng được, chỉ cần liệt kê lại danh sách nguyên tố, hợp số trong phạm vi mới.
Bài 10 · Bài 8.2★★Trang 62— Liệt kê kết quả thuận lợi dựa trên tính chẵn lẻ, số nguyên tố, số chính phương
Bài 8.2 (trang 62). Một hộp đựng 12 tấm thẻ, được ghi số 1; 2;…; 12. Bạn Nam rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ trong hộp. a) Liệt kê các kết quả có thể của hành động trên. b) Liệt kê các kết quả thuận lợi cho các biến cố sau: A: “Rút được tấm thẻ ghi số chẵn”; B: “Rút được tấm thẻ ghi số nguyên tố”; C: “Rút được tấm thẻ ghi số chính phương”.
Kiến thức cần nhớ
Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên (kể cả 1=12). Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có đúng hai ước là 1 và chính nó.
🧠 Phân tích tư duy
Phạm vi 1 đến 12 không lớn nên có thể thử trực tiếp, nhưng để nhanh và chắc chắn không sót nên dùng đặc điểm của từng loại số: số chẵn là bội của 2, số chính phương là bình phương của số nguyên, số nguyên tố tra theo định nghĩa. Bẫy: quên số 1 không phải là số chính phương theo nghĩa “có nhiều hơn 1 cách phân tích”, thật ra 1=12 vẫn là số chính phương nên dễ bị bỏ sót nếu không để ý.
1Cách 1. Liệt kê trực tiếp và thử từng số
Định hướng. Liệt kê 12 kết quả có thể rồi kiểm tra từng số theo ba tính chất của đề.
Các kết quả có thể là 1,2,3,…,12 Số chẵn trong khoảng này là 2,4,6,8,10,12 Số nguyên tố trong khoảng này là 2,3,5,7,11 Số chính phương trong khoảng này là 1=12, 4=22, 9=32
VậyA={2;4;6;8;10;12}; B={2;3;5;7;11}; C={1;4;9}.
2Cách 2. Dùng công thức tổng quát để liệt kê nhanh
Định hướng. Sinh trực tiếp từng dãy bằng công thức thay vì rà từng số một.
Số chẵn có dạng 2k với k=1,…,6, cho 2,4,6,8,10,12 Số chính phương có dạng k2≤12, nghĩa là k≤12≈3,46 nên k=1,2,3, cho 1,4,9 Số nguyên tố tra theo định nghĩa (không có công thức sinh trực tiếp): 2,3,5,7,11
VậyA={2;4;6;8;10;12}; C={1;4;9}; B={2;3;5;7;11}, khớp với Cách 1.
3Cách 3. Sàng số nguyên tố kết hợp bảng phân loại
Định hướng. Dùng sàng Eratosthenes rút gọn: loại các bội của 2, 3 (trừ chính số 2, 3) trong 1–12 để tìm nhanh số nguyên tố, đồng thời lập bảng chẵn lẻ và chính phương.
Loại các bội của 2 lớn hơn 2 (4,6,8,10,12) và bội của 3 lớn hơn 3 (6,9,12) khỏi danh sách 2–12, còn lại 2,3,5,7,11 là số nguyên tố Đối chiếu lại: số chẵn là các bội của 2 vừa loại cộng thêm số 2, tức 2,4,6,8,10,12 Số chính phương 1,4,9 xác định độc lập bằng khai căn
VậyA={2;4;6;8;10;12}; B={2;3;5;7;11}; C={1;4;9}, cùng kết quả ba cách.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: dùng công thức 2k và k2 để sinh nhanh A, C, chỉ còn B phải tra định nghĩa.
Đáp số.Kết quả có thể: {1,2,…,12}. A={2;4;6;8;10;12}; B={2;3;5;7;11}; C={1;4;9}.
Sai lầm thường gặp.Bỏ sót số 1=12 khi liệt kê số chính phương C, hoặc xếp nhầm số 1 vào số nguyên tố B.
🚀 Mở rộng.Nếu hộp có 20 tấm thẻ ghi số 1 đến 20 (như Bài 8.2 trong sách bài tập), cách phân loại bằng công thức 2k, k2 và sàng số nguyên tố vẫn dùng được, chỉ cần đổi giới hạn k phù hợp.
Bài 11 · Bài 8.3★★Trang 62— Liệt kê kết quả thuận lợi khi biến cố gộp nhóm hoặc là phần bù của một nhóm
Bài 8.3 (trang 62). Bạn An có 16 cuốn sách, trong đó có 4 cuốn sách tiểu thuyết, 5 cuốn sách Lịch sử, 3 cuốn sách Khoa học tự nhiên và 4 cuốn sách Toán. Các cuốn sách này được xếp tuỳ ý trong tủ sách. Bạn Bình đến chơi và lấy ngẫu nhiên một cuốn sách trong tủ sách của An. a) Liệt kê các kết quả có thể của hành động trên. b) Liệt kê các kết quả thuận lợi cho các biến cố sau: E: “Bình lấy được một cuốn sách tiểu thuyết”; F: “Bình lấy được một cuốn sách Khoa học tự nhiên hoặc cuốn sách Toán”; G: “Bình lấy được một cuốn sách không phải là sách Lịch sử”.
Kiến thức cần nhớ
Khi một biến cố được phát biểu dưới dạng “không phải …”, kết quả thuận lợi của nó là phần bù của kết quả thuận lợi cho biến cố “…” trong toàn bộ tập kết quả có thể.
🧠 Phân tích tư duy
16 cuốn sách chia thành 4 thể loại tách biệt, giống cấu trúc Ví dụ 2 nên đặt kí hiệu riêng theo từng thể loại là hướng tự nhiên nhất. Biến cố F gộp hai thể loại (Khoa học tự nhiên và Toán), còn G là phần bù của đúng một thể loại (Lịch sử) trong 16 cuốn — nhận ra điều này giúp tính nhanh mà không cần liệt kê lại 3 nhóm còn lại. Bẫy: liệt kê thiếu một trong hai nhóm khi gộp F, hoặc quên G vẫn phải trừ đúng số cuốn Lịch sử (5 cuốn) chứ không phải trừ nhầm nhóm khác.
1Cách 1. Liệt kê trực tiếp theo kí hiệu từng thể loại
Định hướng. Đặt kí hiệu riêng cho từng thể loại sách rồi liệt kê hết, sau đó lọc theo từng biến cố.
Kí hiệu 4 cuốn tiểu thuyết là T1,T2,T3,T4; 5 cuốn Lịch sử là L1,…,L5; 3 cuốn Khoa học tự nhiên là K1,K2,K3; 4 cuốn Toán là M1,…,M4 Các kết quả có thể là T1,…,T4,L1,…,L5,K1,K2,K3,M1,…,M4, có 16 kết quả E (tiểu thuyết) gồm T1,…,T4; F (Khoa học tự nhiên hoặc Toán) gồm K1,K2,K3,M1,…,M4; G (không phải Lịch sử) gồm tất cả trừ L1,…,L5
Định hướng. Cộng số cuốn sách của các nhóm liên quan đến từng biến cố, không cần liệt kê lại từ đầu.
Tổng: 4+5+3+4=16 E chỉ liên quan một nhóm (tiểu thuyết): 4 kết quả F gộp hai nhóm (Khoa học tự nhiên và Toán): 3+4=7 kết quả
VậyE có 4 kết quả thuận lợi, F có 7 kết quả thuận lợi, khớp Cách 1.
3Cách 3. Phần bù cho biến cố G
Định hướng. Biến cố G là “không phải sách Lịch sử”, tức là phần bù của nhóm Lịch sử trong toàn bộ 16 cuốn, không cần liệt kê ba nhóm còn lại từng cuốn một.
Số cuốn Lịch sử là 5, nằm trong tổng 16 cuốn Số kết quả thuận lợi cho G là phần bù: 16−5=11 Cụ thể, đó là toàn bộ 4 cuốn tiểu thuyết, 3 cuốn Khoa học tự nhiên và 4 cuốn Toán
VậyG có 11 kết quả thuận lợi, đúng bằng 16−5, khớp với việc liệt kê trực tiếp ở Cách 1.
Nhận xét. Cách phần bù đặc biệt nhanh khi biến cố phát biểu dưới dạng phủ định như G.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 3 cho G (chỉ cần lấy 16−5) và Cách 2 cho E, F (cộng theo nhóm), tránh liệt kê hết 16 kí hiệu khi không cần thiết.
Đáp số.a) 16 kết quả có thể. b) E={T1,T2,T3,T4} (4 kết quả); F có 7 kết quả (3 Khoa học tự nhiên + 4 Toán); G có 11 kết quả (tất cả trừ 5 cuốn Lịch sử).
Sai lầm thường gặp.Khi tính G, trừ nhầm số cuốn tiểu thuyết hoặc Toán thay vì trừ đúng 5 cuốn Lịch sử; hoặc quên gộp đủ hai nhóm Khoa học tự nhiên và Toán khi liệt kê F.
🚀 Mở rộng.Nếu đổi biến cố G thành “không phải sách tiểu thuyết” thì chỉ cần đổi số bị trừ: 16−4=12 kết quả thuận lợi, cách làm bằng phần bù hoàn toàn tương tự.
