Bài 30. Kết quả có thể và kết quả thuận lợi

Định hướng. Liệt kê hết mọi phiếu có thể rút được rồi so với điều Sơn mong muốn.

Vậy Sơn không chắc chắn rút được phiếu câu hỏi thuộc lĩnh vực Lịch sử – Địa lí.

Định hướng. Chia 20 phiếu thành 4 nhóm rời nhau theo lĩnh vực rồi so sánh nhóm Sơn mong muốn với toàn bộ tập kết quả.

Vậy kết quả rút được có thể rơi vào 3 nhóm còn lại, nên Sơn không chắc chắn rút được phiếu mình mong muốn.

Định hướng. Giả sử điều ngược lại rồi chỉ ra mâu thuẫn.

Vậy điều giả sử sai, tức là Sơn không chắc chắn rút được phiếu mình mong muốn.

Nhận xét. Đây chính là câu hỏi mở đầu cho khái niệm biến cố ngẫu nhiên sẽ học ngay sau đây.

Định hướng. Viết hết các phiếu có thể rút rồi đối chiếu với phiếu số 2.

Vậy a) Sơn không chắc chắn rút được phiếu số 2; b) có 20 kết quả có thể.

Định hướng. Không cần liệt kê từng phiếu, chỉ cần đếm số phần tử của tập các phiếu.

Vậy có 20 kết quả có thể, và Sơn không chắc chắn rút được đúng phiếu số 2.

Định hướng. Giả sử điều ngược lại của câu a rồi chỉ ra mâu thuẫn.

Vậy Sơn không chắc chắn rút được phiếu số 2; tổng số kết quả có thể vẫn là 20 (đếm như Cách 1).

Định hướng. Đặt kí hiệu cho từng quả cầu theo màu rồi liệt kê hết.

Vậy có 9 kết quả có thể: $X_1,X_2,X_3,X_4,X_5,D_1,D_2,D_3,D_4$.

Định hướng. Xếp các quả cầu vào một bảng có hai hàng (xanh, đỏ) và các cột theo số, ô nào có quả cầu thì tính là một kết quả.

Vậy tổng số kết quả có thể là $5+4=9$.

Định hướng. Vì hai nhóm màu tách biệt hoàn toàn (không có quả nào vừa xanh vừa đỏ), số kết quả có thể của toàn bộ hộp bằng tổng số kết quả của từng nhóm.

Vậy có 9 kết quả có thể, đúng như hai cách trên.

Nhận xét. Công thức $a+b$ dùng được cho mọi hộp gồm hai nhóm phần tử tách biệt, không cần liệt kê lại từ đầu.

Định hướng. Tách cụm từ thành từng tiếng, đọc ra chữ cái gốc (bỏ dấu thanh, giữ chữ có dấu mũ, móc) rồi gộp lại, chữ nào đã xuất hiện thì không ghi lại.

Vậy các kết quả có thể là T, O, A, N, H, C, V, U, Ô, I, R, E, có 12 kết quả.

Định hướng. Duyệt cụm từ từ trái sang phải theo từng chữ cái, mỗi chữ mới xuất hiện thì đánh dấu đã lấy, chữ đã đánh dấu thì bỏ qua.

Vậy danh sách kết quả không trùng lặp là T, O, A, N, H, C, V, U, Ô, I, R, E, đúng 12 kết quả như Cách 1.

Định hướng. Dò cụm từ theo đúng 29 chữ cái của bảng chữ cái tiếng Việt (A, Ă, Â, B, C, D, Đ, E, Ê, G, H, I, K, L, M, N, O, Ô, Ơ, P, Q, R, S, T, U, Ư, V, X, Y), chữ nào có mặt trong cụm từ thì đánh dấu tick.

Vậy có 12 kết quả có thể: T, O, A, N, H, C, V, U, Ô, I, R, E.

Định hướng. Kiểm tra xem các viên bi có dấu hiệu nào để tách riêng từng viên hay không.

Vậy có 3 kết quả có thể: lấy được bi đỏ, lấy được bi xanh, lấy được bi vàng. Bạn thứ hai nói đúng.

Định hướng. So sánh tình huống này với Ví dụ 1 đã học, xem điểm khác biệt mấu chốt là gì.

Vậy có 3 kết quả có thể (đỏ, xanh, vàng); bạn thứ nhất đã áp dụng nhầm cách đếm của Ví dụ 1 vào tình huống không có đánh số.

Định hướng. Giả sử bạn thứ nhất đúng rồi tìm mâu thuẫn.

Vậy bạn thứ nhất sai; chỉ có 3 kết quả có thể phân biệt được là đỏ, xanh, vàng, đúng như bạn thứ hai nói.

Nhận xét. Số kết quả có thể phụ thuộc vào việc các phần tử có được phân biệt hay không, chứ không đơn thuần là đếm số lượng vật.

Định hướng. Duyệt qua 20 kết quả có thể, giữ lại những phiếu thuộc lĩnh vực Lịch sử – Địa lí.

Vậy kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ là các phiếu số 1; 2; 3; 4.

Định hướng. Dùng đúng định nghĩa vừa nêu: kết quả thuận lợi là kết quả có thể mà tại đó $E$ xảy ra.

Vậy kết quả thuận lợi cho $E$ là $\{1;2;3;4\}$, đúng 4 kết quả.

Định hướng. Loại khỏi 20 kết quả có thể những phiếu không làm $E$ xảy ra, phần còn lại chính là kết quả thuận lợi.

Vậy 4 phiếu còn lại số 1; 2; 3; 4 chính là kết quả thuận lợi cho biến cố $E$.

Định hướng. Đặt kí hiệu riêng cho từng nhóm theo lớp rồi liệt kê hết, sau đó lọc theo từng biến cố.

Vậy a) có 14 kết quả có thể; b) kết quả thuận lợi cho $E$ là $A_1,A_2,A_3,A_4$; kết quả thuận lợi cho $F$ là $B_1,B_2,B_3,B_4,B_5,D_1,D_2$.

Định hướng. Không liệt kê hết, chỉ cộng số phần tử của các nhóm liên quan đến từng biến cố.

Vậy a) 14 kết quả có thể; b) $E$ có 4 kết quả thuận lợi (nam lớp 8A); $F$ có 7 kết quả thuận lợi (5 bạn nữ lớp 8B và 2 bạn nữ lớp 8D).

Định hướng. Xếp 14 bạn vào một bảng có cột là lớp (8A, 8B, 8C, 8D) và hàng là giới tính (nam, nữ), từ đó đọc trực tiếp từng biến cố theo cột hoặc theo hàng.

Vậy kết quả trùng khớp với hai cách trên: 14 kết quả có thể, $E$ có 4 kết quả thuận lợi, $F$ có 7 kết quả thuận lợi.

Định hướng. Dùng lại kí hiệu $A_1,\dots ,D_2$ của Ví dụ 2, lọc theo từng biến cố mới.

Vậy $G=\{A_1,A_2,A_3,A_4,C_1,C_2,C_3\}$ (7 kết quả); $H=\{C_1,C_2,C_3,D_1,D_2\}$ (5 kết quả).

Định hướng. Cộng trực tiếp số bạn của các nhóm liên quan đến từng biến cố, không cần liệt kê lại từ đầu.

Vậy $G$ có 7 kết quả thuận lợi, $H$ có 5 kết quả thuận lợi, khớp với Cách 1.

Định hướng. Biến cố $G$ (chọn được bạn nam) và biến cố $F$ (chọn được bạn nữ) ở Ví dụ 2 là hai biến cố đối nhau trên cùng 14 kết quả có thể, nên chỉ cần lấy phần bù của $F$.

Vậy $G=\{A_1,A_2,A_3,A_4,C_1,C_2,C_3\}$, đúng 7 kết quả như hai cách trên.

Nhận xét. Biến cố $H$ (lớp 8C hoặc 8D) không phải phần bù của biến cố nào đã biết ở Ví dụ 2 nên vẫn phải liệt kê hoặc cộng nhóm như Cách 1, Cách 2.

Định hướng. Liệt kê 6 kết quả có thể rồi thử từng số với từng điều kiện của $A$, $B$, $C$.

Vậy $A=\{4;6\}$; $B=\{1;2;3;4\}$; $C=\{1;3;5\}$.

Định hướng. Phân loại toàn bộ 1 đến 6 thành ba nhóm: số 1, số nguyên tố, hợp số; rồi đọc thẳng đáp số cho $A$ mà không cần thử lại từng số.

Vậy $A=\{4;6\}$; $B=\{1;2;3;4\}$; $C=\{1;3;5\}$, khớp với Cách 1.

Định hướng. Lập một bảng 6 dòng (số 1 đến 6), 3 cột (hợp số?, nhỏ hơn 5?, số lẻ?), đánh dấu Đ/S rồi đọc kết quả theo từng cột.

Vậy $A=\{4;6\}$; $B=\{1;2;3;4\}$; $C=\{1;3;5\}$, cùng kết quả với hai cách trên.

Định hướng. Liệt kê 12 kết quả có thể rồi kiểm tra từng số theo ba tính chất của đề.

Vậy $A=\{2;4;6;8;10;12\}$; $B=\{2;3;5;7;11\}$; $C=\{1;4;9\}$.

Định hướng. Sinh trực tiếp từng dãy bằng công thức thay vì rà từng số một.

Vậy $A=\{2;4;6;8;10;12\}$; $C=\{1;4;9\}$; $B=\{2;3;5;7;11\}$, khớp với Cách 1.

Định hướng. Dùng sàng Eratosthenes rút gọn: loại các bội của 2, 3 (trừ chính số 2, 3) trong 1–12 để tìm nhanh số nguyên tố, đồng thời lập bảng chẵn lẻ và chính phương.

Vậy $A=\{2;4;6;8;10;12\}$; $B=\{2;3;5;7;11\}$; $C=\{1;4;9\}$, cùng kết quả ba cách.

Định hướng. Đặt kí hiệu riêng cho từng thể loại sách rồi liệt kê hết, sau đó lọc theo từng biến cố.

Vậy $E=\{T_1,T_2,T_3,T_4\}$; $F=\{K_1,K_2,K_3,M_1,M_2,M_3,M_4\}$; $G=\{T_1,\dots ,T_4,K_1,K_2,K_3,M_1,\dots ,M_4\}$.

Định hướng. Cộng số cuốn sách của các nhóm liên quan đến từng biến cố, không cần liệt kê lại từ đầu.

Vậy $E$ có 4 kết quả thuận lợi, $F$ có 7 kết quả thuận lợi, khớp Cách 1.

Định hướng. Biến cố $G$ là “không phải sách Lịch sử”, tức là phần bù của nhóm Lịch sử trong toàn bộ 16 cuốn, không cần liệt kê ba nhóm còn lại từng cuốn một.

Vậy $G$ có 11 kết quả thuận lợi, đúng bằng $16-5$, khớp với việc liệt kê trực tiếp ở Cách 1.

Nhận xét. Cách phần bù đặc biệt nhanh khi biến cố phát biểu dưới dạng phủ định như $G$.