Chương I. Đa thức

Bài 4. Phép nhân đa thức

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngI #SáchBàiTập_Tập1 #trang13–14 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.18★Trang 13— Nhân đơn thức với đa thức có hệ số thập phân, hệ số phân số

Thực hiện phép nhân: a)

0, 5 x^{2} y (4 x^{2} - 6 x y + y^{2})

; b)

(3 x^{3} - 6 x^{2} y + 9 x y^{2}) (- \frac{2}{3} x y^{2})

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.
Khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ: $x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đơn thức nhân với đa thức ba hạng tử, hệ số là số thập phân ở câu a và phân số ở câu b, dấu hiệu của dạng nhân đơn thức với đa thức cần áp dụng đúng quy tắc phân phối. Nên nhân đơn thức với từng hạng tử ngay, tách riêng việc nhân hệ số và cộng số mũ của phần biến để kiểm soát tốt hơn. Bẫy lớn nhất là cộng nhầm số mũ khi nhân hai luỹ thừa cùng biến, hoặc quên đổi dấu khi nhân với đơn thức âm ở câu b.

1Cách 1. Nhân trực tiếp theo quy tắc phân phối

Muốn nhân đơn thức với đa thức, nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích lại.

0, 5 x^{2} y (4 x^{2} - 6 x y + y^{2}) = 0, 5 x^{2} y \cdot 4 x^{2} - 0, 5 x^{2} y \cdot 6 x y + 0, 5 x^{2} y \cdot y^{2}

= 2 x^{4} y - 3 x^{3} y^{2} + 0, 5 x^{2} y^{3}

a) Vậy $0, 5 x^{2} y (4 x^{2} - 6 x y + y^{2}) = 2 x^{4} y - 3 x^{3} y^{2} + 0, 5 x^{2} y^{3}$ .

Làm tương tự cho câu b, chú ý nhân với một đơn thức mang dấu âm nên mỗi tích đổi dấu so với hạng tử tương ứng.

(3 x^{3} - 6 x^{2} y + 9 x y^{2}) (- \frac{2}{3} x y^{2}) = 3 x^{3} \cdot (- \frac{2}{3} x y^{2}) - 6 x^{2} y \cdot (- \frac{2}{3} x y^{2}) + 9 x y^{2} \cdot (- \frac{2}{3} x y^{2})

= - 2 x^{4} y^{2} + 4 x^{3} y^{3} - 6 x^{2} y^{4}

b) Vậy $(3 x^{3} - 6 x^{2} y + 9 x y^{2}) (- \frac{2}{3} x y^{2}) = - 2 x^{4} y^{2} + 4 x^{3} y^{3} - 6 x^{2} y^{4}$ .

2Cách 2. Nhân riêng phần hệ số, nhân riêng phần biến rồi ghép lại

Tách phép nhân thành hai tầng: nhân riêng phần hệ số, nhân riêng phần biến của từng cặp hạng tử rồi ghép lại — cách này hạn chế sai dấu khi hệ số là số thập phân hoặc phân số.

a) hệ số:

0, 5 \cdot 4 = 2

;

0, 5 \cdot (- 6) = - 3

;

0, 5 \cdot 1 = 0, 5

— phần biến:

x^{2} y \cdot x^{2} = x^{4} y

;

x^{2} y \cdot x y = x^{3} y^{2}

;

x^{2} y \cdot y^{2} = x^{2} y^{3}

0, 5 x^{2} y (4 x^{2} - 6 x y + y^{2}) = 2 x^{4} y - 3 x^{3} y^{2} + 0, 5 x^{2} y^{3}

a) Ghép hệ số với phần biến cũng cho $2 x^{4} y - 3 x^{3} y^{2} + 0, 5 x^{2} y^{3}$ , khớp Cách 1.

b) hệ số:

3 \cdot (- \frac{2}{3}) = - 2

;

(- 6) \cdot (- \frac{2}{3}) = 4

;

9 \cdot (- \frac{2}{3}) = - 6

— phần biến:

x^{3} \cdot x y^{2} = x^{4} y^{2}

;

x^{2} y \cdot x y^{2} = x^{3} y^{3}

;

x y^{2} \cdot x y^{2} = x^{2} y^{4}

(3 x^{3} - 6 x^{2} y + 9 x y^{2}) (- \frac{2}{3} x y^{2}) = - 2 x^{4} y^{2} + 4 x^{3} y^{3} - 6 x^{2} y^{4}

b) Ghép hệ số với phần biến cũng cho $- 2 x^{4} y^{2} + 4 x^{3} y^{3} - 6 x^{2} y^{4}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử giá trị cụ thể để kiểm chứng kết quả

Thay $x = 1, y = 1$ vào cả hai vế của mỗi câu để kiểm chứng kết quả đã nhân đúng.

a) vế trái:

0, 5 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (4 - 6 + 1) = 0, 5 \cdot (- 1) = - 0, 5

; vế phải:

2 - 3 + 0, 5 = - 0, 5

b) vế trái:

(3 - 6 + 9) \cdot (- \frac{2}{3}) = 6 \cdot (- \frac{2}{3}) = - 4

; vế phải:

- 2 + 4 - 6 = - 4

Cả hai vế đều khớp tại $x = 1, y = 1$ , xác nhận kết quả nhân ở Cách 1 là đúng.

Nhận xét. Thử số chỉ khẳng định thêm chứ không thay được phép nhân đầy đủ, vì hai biểu thức khác nhau vẫn có thể trùng giá trị tại một bộ số riêng lẻ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì nhân trực tiếp từng hạng tử là thao tác nhanh nhất, không phải tách thêm bước; Cách 3 nên dùng để kiểm tra lại khi còn thời gian, nhất là với hệ số phân số dễ sai dấu.

Đáp số. a)

2 x^{4} y - 3 x^{3} y^{2} + 0, 5 x^{2} y^{3}

; b)

- 2 x^{4} y^{2} + 4 x^{3} y^{3} - 6 x^{2} y^{4}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn nhân đúng hệ số nhưng cộng nhầm số mũ, ví dụ ở câu a viết

0, 5 x^{2} y \cdot 4 x^{2} = 2 x^{2} y

(quên cộng số mũ của

x

) thay vì

2 x^{4} y

; ở câu b dễ quên đổi dấu khi nhân với

- \frac{2}{3} x y^{2}

, tưởng

9 x y^{2} \cdot (- \frac{2}{3} x y^{2}) = 6 x^{2} y^{4}

thay vì đúng là

- 6 x^{2} y^{4}

🚀 Mở rộng. Nếu đổi đơn thức nhân thành một đa thức nhiều hơn một hạng tử (ví dụ

(x + 1)

thay cho

0, 5 x^{2} y

) thì bài toán trở thành nhân đa thức với đa thức, phải dùng đủ quy tắc nhân từng cặp hạng tử của Bài 4.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.19★★Trang 13— Rút gọn biểu thức chứa tích đa thức rồi tính giá trị tại số cho trước

Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức. a)

A = x (x - y + 1) + y (x + y - 1)

tại

x = 3

;

y = 3

; b)

B = x (x - y^{2}) + y (x^{2} - y) - (x + y) (x - y)

tại

x = 2

;

y = - 0, 5

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
Trước khi thay số, nên rút gọn biểu thức về dạng đơn giản nhất để hạn chế sai sót khi tính toán với số cụ thể, nhất là số âm hoặc số thập phân.

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu rút gọn trước rồi mới tính giá trị, dấu hiệu cho thấy nên khai triển và nhóm để đơn giản biểu thức trước khi thay số, tránh tính trực tiếp với số cụ thể ngay từ đầu vì dễ sai dấu với số thập phân âm ở câu b. Nên chú ý cả hai câu đều có cặp hạng tử đối nhau tự triệt tiêu sau khi khai triển. Bẫy của đề là dấu trừ đứng trước cả tích

(x + y) (x - y)

ở câu b, phải đổi dấu cả hai hạng tử khi bỏ ngoặc chứ không chỉ một hạng tử.

1Cách 1. Khai triển đầy đủ rồi nhóm đơn thức đồng dạng

Khai triển từng tích theo quy tắc nhân đa thức, nhóm các đơn thức đồng dạng để rút gọn về dạng đơn giản nhất rồi mới thay số.

A = x (x - y + 1) + y (x + y - 1) = x^{2} - x y + x + x y + y^{2} - y

= x^{2} + y^{2} + x - y + (- x y + x y) = x^{2} + y^{2} + x - y

a) $A = x^{2} + y^{2} + x - y$ ; tại $x = 3, y = 3$ : $A = 3^{2} + 3^{2} + 3 - 3 = 18$ .

B = x (x - y^{2}) + y (x^{2} - y) - (x + y) (x - y) = x^{2} - x y^{2} + x^{2} y - y^{2} - (x^{2} - y^{2})

= x^{2} - x y^{2} + x^{2} y - y^{2} - x^{2} + y^{2} = (x^{2} - x^{2}) + (- y^{2} + y^{2}) + x^{2} y - x y^{2}

= x^{2} y - x y^{2}

b) $B = x^{2} y - x y^{2}$ ; tại $x = 2, y = - 0, 5$ : $B = 2^{2} \cdot (- 0, 5) - 2 \cdot (- 0, 5)^{2} = - 2 - 0, 5 = - 2, 5$ .

2Cách 2. Quan sát hạng tử triệt tiêu trước khi khai triển hết

Nhìn trước cấu trúc của từng tích để phát hiện hạng tử đối nhau sẽ triệt tiêu ngay khi cộng, tránh khai triển và nhóm toàn bộ.

a) tích

x (x - y + 1)

cho

- x y

, tích

y (x + y - 1)

cho

+ x y

— hai hạng tử này đối nhau nên triệt tiêu ngay; các hạng tử còn lại là

x^{2} + x

(từ tích đầu) và

y^{2} - y

(từ tích sau)

A = (x^{2} + x) + (y^{2} - y) = x^{2} + y^{2} + x - y

a) Cách nhìn trước cũng cho $A = x^{2} + y^{2} + x - y = 18$ tại $x = 3, y = 3$ , khớp Cách 1.

b) khai triển

- (x + y) (x - y) = - x^{2} + y^{2}

; tích

x (x - y^{2})

cho

x^{2}

, tích

y (x^{2} - y)

cho

- y^{2}

— hạng tử

x^{2}

triệt tiêu với

- x^{2}

, hạng tử

- y^{2}

triệt tiêu với

+ y^{2}

B = (- x y^{2}) + (x^{2} y) + (x^{2} - x^{2}) + (- y^{2} + y^{2}) = x^{2} y - x y^{2}

b) Cách nhìn trước cũng cho $B = x^{2} y - x y^{2} = - 2, 5$ tại $x = 2, y = - 0, 5$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thay số trực tiếp vào biểu thức gốc để kiểm chứng

Thay thẳng $x, y$ đã cho vào biểu thức gốc (chưa rút gọn) để tính bằng số học, dùng kiểm chứng kết quả đã rút gọn ở trên.

A = 3 \cdot (3 - 3 + 1) + 3 \cdot (3 + 3 - 1) = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 5 = 3 + 15 = 18

B = 2 \cdot (2 - (- 0, 5)^{2}) + (- 0, 5) \cdot (2^{2} - (- 0, 5)) - (2 + (- 0, 5)) (2 - (- 0, 5))

= 2 \cdot 1, 75 + (- 0, 5) \cdot 4, 5 - 1, 5 \cdot 2, 5 = 3, 5 - 2, 25 - 3, 75 = - 2, 5

Thay trực tiếp cũng cho $A = 18$ và $B = - 2, 5$ , đúng bằng kết quả đã rút gọn.

Nhận xét. Thay số trực tiếp không cần rút gọn đại số nhưng tính toán cồng kềnh hơn hẳn, chỉ nên dùng để kiểm tra lại chứ không phải cách trình bày chính.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì phát hiện hạng tử triệt tiêu trước giúp rút gọn nhanh hơn hẳn, đỡ phải khai triển và nhóm toàn bộ; Cách 3 chỉ nên dùng để kiểm tra lại đáp số khi còn thời gian.

Đáp số. a)

A = 18

; b)

B = - 2, 5

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn khai triển

- (x + y) (x - y)

thành

- x^{2} - y^{2}

(quên đổi dấu số hạng thứ hai), trong khi phải viết đúng

- (x + y) (x - y) = - x^{2} + y^{2}

; sai dấu này làm

B

tính ra

x^{2} y - x y^{2} - 2 x^{2}

thay vì đúng là

x^{2} y - x y^{2}

🚀 Mở rộng. Nếu đổi biểu thức

B

thành

x (x - y^{2}) + y (x^{2} - y) + (x + y) (x - y)

(đổi dấu trừ thành cộng) thì các hạng tử không còn triệt tiêu hết, kết quả rút gọn sẽ có thêm hạng tử

2 x^{2} - 2 y^{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.20★★Trang 14— Nhân đa thức với đa thức, thừa số thứ hai đúng dạng

a^{2} \pm ab + b^{2}

Thực hiện phép tính: a)

(x - 2 y) (x^{2} z + 2 x y z + 4 y^{2} z)

; b)

(x^{2} - \frac{1}{3} x y + \frac{1}{9} y^{2}) (x + \frac{1}{3} y)

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân đa thức với đa thức, nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích lại.
Hai hằng đẳng thức đáng nhớ (sẽ học kĩ ở Bài 8): $(a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$ và $(a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.21★★★Trang 14— Nhân hai đa thức nhiều hạng tử tổng quát, không có hằng đẳng thức đặc biệt

Tìm tích của hai đa thức: a)

2 x^{4} - x^{3} y + 6 x y^{3} + 2 y^{4}

và

x^{4} + 3 x^{3} y - y^{4}

; b)

x^{3} y + 0, 4 x^{2} y^{2} - x y^{3}

và

5 x^{2} - 2, 5 x y + 5 y^{2}

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân đa thức với đa thức, nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng tất cả các tích với nhau.
Đa thức $m$ hạng tử nhân với đa thức $n$ hạng tử cho đúng $m \times n$ tích thành phần trước khi nhóm đơn thức đồng dạng.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.22★★★Trang 14— Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc biến bằng cách khai triển tích ba nhân tử

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các biến:

P = x^{4} - (x - y) (x + y) (x^{2} + y^{2}) - y^{4}

Kiến thức cần nhớ

Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến là khai triển và rút gọn biểu thức; nếu kết quả cuối cùng là một hằng số (không còn chứa biến) thì kết luận được điều phải chứng minh.
Có thể nhân ba nhân tử theo hai thứ tự khác nhau (nhóm cặp đầu trước hoặc nhóm cặp sau trước), kết quả luôn giống nhau theo tính kết hợp của phép nhân đa thức.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.23★★★★Trang 14— Rút gọn tổng (hiệu) ba tích ba nhân tử bậc nhất theo ba biến

Rút gọn biểu thức: a)

(x - y) (y + z) (z + x) + (x + y) (y - z) (z + x) + (x + y) (y + z) (z - x)

; b)

(2 x + y) (2 y + z) (2 z + x) - (2 x - y) (2 y - z) (2 z - x)

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân ba nhân tử, nhân hai nhân tử đầu trước để được một đa thức, rồi nhân đa thức đó với nhân tử còn lại.
Khi nhiều số hạng có chung một nhân tử, nên đặt nhân tử chung ra ngoài trước khi khai triển để giảm bớt số hạng phải nhân.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗