Chương I. Đa thức

Bài 4. Phép nhân đa thức

SBT (Sách bài tập) Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.18★Trang 13— Nhân đơn thức với đa thức có hệ số thập phân, hệ số phân số

Thực hiện phép nhân: a)

0, 5 x^{2} y (4 x^{2} - 6 x y + y^{2})

; b)

(3 x^{3} - 6 x^{2} y + 9 x y^{2}) (- \frac{2}{3} x y^{2})

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.
Khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ: $x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đơn thức nhân với đa thức ba hạng tử, hệ số là số thập phân ở câu a và phân số ở câu b, dấu hiệu của dạng nhân đơn thức với đa thức cần áp dụng đúng quy tắc phân phối. Nên nhân đơn thức với từng hạng tử ngay, tách riêng việc nhân hệ số và cộng số mũ của phần biến để kiểm soát tốt hơn. Bẫy lớn nhất là cộng nhầm số mũ khi nhân hai luỹ thừa cùng biến, hoặc quên đổi dấu khi nhân với đơn thức âm ở câu b.

1Cách 1. Nhân trực tiếp theo quy tắc phân phối

Muốn nhân đơn thức với đa thức, nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích lại.

0, 5 x^{2} y (4 x^{2} - 6 x y + y^{2}) = 0, 5 x^{2} y \cdot 4 x^{2} - 0, 5 x^{2} y \cdot 6 x y + 0, 5 x^{2} y \cdot y^{2}

= 2 x^{4} y - 3 x^{3} y^{2} + 0, 5 x^{2} y^{3}

a) Vậy $0, 5 x^{2} y (4 x^{2} - 6 x y + y^{2}) = 2 x^{4} y - 3 x^{3} y^{2} + 0, 5 x^{2} y^{3}$ .

Làm tương tự cho câu b, chú ý nhân với một đơn thức mang dấu âm nên mỗi tích đổi dấu so với hạng tử tương ứng.

(3 x^{3} - 6 x^{2} y + 9 x y^{2}) (- \frac{2}{3} x y^{2}) = 3 x^{3} \cdot (- \frac{2}{3} x y^{2}) - 6 x^{2} y \cdot (- \frac{2}{3} x y^{2}) + 9 x y^{2} \cdot (- \frac{2}{3} x y^{2})

= - 2 x^{4} y^{2} + 4 x^{3} y^{3} - 6 x^{2} y^{4}

b) Vậy $(3 x^{3} - 6 x^{2} y + 9 x y^{2}) (- \frac{2}{3} x y^{2}) = - 2 x^{4} y^{2} + 4 x^{3} y^{3} - 6 x^{2} y^{4}$ .

2Cách 2. Nhân riêng phần hệ số, nhân riêng phần biến rồi ghép lại

Tách phép nhân thành hai tầng: nhân riêng phần hệ số, nhân riêng phần biến của từng cặp hạng tử rồi ghép lại — cách này hạn chế sai dấu khi hệ số là số thập phân hoặc phân số.

a) hệ số:

0, 5 \cdot 4 = 2

;

0, 5 \cdot (- 6) = - 3

;

0, 5 \cdot 1 = 0, 5

— phần biến:

x^{2} y \cdot x^{2} = x^{4} y

;

x^{2} y \cdot x y = x^{3} y^{2}

;

x^{2} y \cdot y^{2} = x^{2} y^{3}

0, 5 x^{2} y (4 x^{2} - 6 x y + y^{2}) = 2 x^{4} y - 3 x^{3} y^{2} + 0, 5 x^{2} y^{3}

a) Ghép hệ số với phần biến cũng cho $2 x^{4} y - 3 x^{3} y^{2} + 0, 5 x^{2} y^{3}$ , khớp Cách 1.

b) hệ số:

3 \cdot (- \frac{2}{3}) = - 2

;

(- 6) \cdot (- \frac{2}{3}) = 4

;

9 \cdot (- \frac{2}{3}) = - 6

— phần biến:

x^{3} \cdot x y^{2} = x^{4} y^{2}

;

x^{2} y \cdot x y^{2} = x^{3} y^{3}

;

x y^{2} \cdot x y^{2} = x^{2} y^{4}

(3 x^{3} - 6 x^{2} y + 9 x y^{2}) (- \frac{2}{3} x y^{2}) = - 2 x^{4} y^{2} + 4 x^{3} y^{3} - 6 x^{2} y^{4}

b) Ghép hệ số với phần biến cũng cho $- 2 x^{4} y^{2} + 4 x^{3} y^{3} - 6 x^{2} y^{4}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử giá trị cụ thể để kiểm chứng kết quả

Thay $x = 1, y = 1$ vào cả hai vế của mỗi câu để kiểm chứng kết quả đã nhân đúng.

a) vế trái:

0, 5 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (4 - 6 + 1) = 0, 5 \cdot (- 1) = - 0, 5

; vế phải:

2 - 3 + 0, 5 = - 0, 5

b) vế trái:

(3 - 6 + 9) \cdot (- \frac{2}{3}) = 6 \cdot (- \frac{2}{3}) = - 4

; vế phải:

- 2 + 4 - 6 = - 4

Cả hai vế đều khớp tại $x = 1, y = 1$ , xác nhận kết quả nhân ở Cách 1 là đúng.

Nhận xét. Thử số chỉ khẳng định thêm chứ không thay được phép nhân đầy đủ, vì hai biểu thức khác nhau vẫn có thể trùng giá trị tại một bộ số riêng lẻ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì nhân trực tiếp từng hạng tử là thao tác nhanh nhất, không phải tách thêm bước; Cách 3 nên dùng để kiểm tra lại khi còn thời gian, nhất là với hệ số phân số dễ sai dấu.

Đáp số. a)

2 x^{4} y - 3 x^{3} y^{2} + 0, 5 x^{2} y^{3}

; b)

- 2 x^{4} y^{2} + 4 x^{3} y^{3} - 6 x^{2} y^{4}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn nhân đúng hệ số nhưng cộng nhầm số mũ, ví dụ ở câu a viết

0, 5 x^{2} y \cdot 4 x^{2} = 2 x^{2} y

(quên cộng số mũ của

x

) thay vì

2 x^{4} y

; ở câu b dễ quên đổi dấu khi nhân với

- \frac{2}{3} x y^{2}

, tưởng

9 x y^{2} \cdot (- \frac{2}{3} x y^{2}) = 6 x^{2} y^{4}

thay vì đúng là

- 6 x^{2} y^{4}

🚀 Mở rộng. Nếu đổi đơn thức nhân thành một đa thức nhiều hơn một hạng tử (ví dụ

(x + 1)

thay cho

0, 5 x^{2} y

) thì bài toán trở thành nhân đa thức với đa thức, phải dùng đủ quy tắc nhân từng cặp hạng tử của Bài 4.

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.19★★Trang 13— Rút gọn biểu thức chứa tích đa thức rồi tính giá trị tại số cho trước

Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức. a)

A = x (x - y + 1) + y (x + y - 1)

tại

x = 3

;

y = 3

; b)

B = x (x - y^{2}) + y (x^{2} - y) - (x + y) (x - y)

tại

x = 2

;

y = - 0, 5

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
Trước khi thay số, nên rút gọn biểu thức về dạng đơn giản nhất để hạn chế sai sót khi tính toán với số cụ thể, nhất là số âm hoặc số thập phân.

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu rút gọn trước rồi mới tính giá trị, dấu hiệu cho thấy nên khai triển và nhóm để đơn giản biểu thức trước khi thay số, tránh tính trực tiếp với số cụ thể ngay từ đầu vì dễ sai dấu với số thập phân âm ở câu b. Nên chú ý cả hai câu đều có cặp hạng tử đối nhau tự triệt tiêu sau khi khai triển. Bẫy của đề là dấu trừ đứng trước cả tích

(x + y) (x - y)

ở câu b, phải đổi dấu cả hai hạng tử khi bỏ ngoặc chứ không chỉ một hạng tử.

1Cách 1. Khai triển đầy đủ rồi nhóm đơn thức đồng dạng

Khai triển từng tích theo quy tắc nhân đa thức, nhóm các đơn thức đồng dạng để rút gọn về dạng đơn giản nhất rồi mới thay số.

A = x (x - y + 1) + y (x + y - 1) = x^{2} - x y + x + x y + y^{2} - y

= x^{2} + y^{2} + x - y + (- x y + x y) = x^{2} + y^{2} + x - y

a) $A = x^{2} + y^{2} + x - y$ ; tại $x = 3, y = 3$ : $A = 3^{2} + 3^{2} + 3 - 3 = 18$ .

B = x (x - y^{2}) + y (x^{2} - y) - (x + y) (x - y) = x^{2} - x y^{2} + x^{2} y - y^{2} - (x^{2} - y^{2})

= x^{2} - x y^{2} + x^{2} y - y^{2} - x^{2} + y^{2} = (x^{2} - x^{2}) + (- y^{2} + y^{2}) + x^{2} y - x y^{2}

= x^{2} y - x y^{2}

b) $B = x^{2} y - x y^{2}$ ; tại $x = 2, y = - 0, 5$ : $B = 2^{2} \cdot (- 0, 5) - 2 \cdot (- 0, 5)^{2} = - 2 - 0, 5 = - 2, 5$ .

2Cách 2. Quan sát hạng tử triệt tiêu trước khi khai triển hết

Nhìn trước cấu trúc của từng tích để phát hiện hạng tử đối nhau sẽ triệt tiêu ngay khi cộng, tránh khai triển và nhóm toàn bộ.

a) tích

x (x - y + 1)

cho

- x y

, tích

y (x + y - 1)

cho

+ x y

— hai hạng tử này đối nhau nên triệt tiêu ngay; các hạng tử còn lại là

x^{2} + x

(từ tích đầu) và

y^{2} - y

(từ tích sau)

A = (x^{2} + x) + (y^{2} - y) = x^{2} + y^{2} + x - y

a) Cách nhìn trước cũng cho $A = x^{2} + y^{2} + x - y = 18$ tại $x = 3, y = 3$ , khớp Cách 1.

b) khai triển

- (x + y) (x - y) = - x^{2} + y^{2}

; tích

x (x - y^{2})

cho

x^{2}

, tích

y (x^{2} - y)

cho

- y^{2}

— hạng tử

x^{2}

triệt tiêu với

- x^{2}

, hạng tử

- y^{2}

triệt tiêu với

+ y^{2}

B = (- x y^{2}) + (x^{2} y) + (x^{2} - x^{2}) + (- y^{2} + y^{2}) = x^{2} y - x y^{2}

b) Cách nhìn trước cũng cho $B = x^{2} y - x y^{2} = - 2, 5$ tại $x = 2, y = - 0, 5$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thay số trực tiếp vào biểu thức gốc để kiểm chứng

Thay thẳng $x, y$ đã cho vào biểu thức gốc (chưa rút gọn) để tính bằng số học, dùng kiểm chứng kết quả đã rút gọn ở trên.

A = 3 \cdot (3 - 3 + 1) + 3 \cdot (3 + 3 - 1) = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 5 = 3 + 15 = 18

B = 2 \cdot (2 - (- 0, 5)^{2}) + (- 0, 5) \cdot (2^{2} - (- 0, 5)) - (2 + (- 0, 5)) (2 - (- 0, 5))

= 2 \cdot 1, 75 + (- 0, 5) \cdot 4, 5 - 1, 5 \cdot 2, 5 = 3, 5 - 2, 25 - 3, 75 = - 2, 5

Thay trực tiếp cũng cho $A = 18$ và $B = - 2, 5$ , đúng bằng kết quả đã rút gọn.

Nhận xét. Thay số trực tiếp không cần rút gọn đại số nhưng tính toán cồng kềnh hơn hẳn, chỉ nên dùng để kiểm tra lại chứ không phải cách trình bày chính.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì phát hiện hạng tử triệt tiêu trước giúp rút gọn nhanh hơn hẳn, đỡ phải khai triển và nhóm toàn bộ; Cách 3 chỉ nên dùng để kiểm tra lại đáp số khi còn thời gian.

Đáp số. a)

A = 18

; b)

B = - 2, 5

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn khai triển

- (x + y) (x - y)

thành

- x^{2} - y^{2}

(quên đổi dấu số hạng thứ hai), trong khi phải viết đúng

- (x + y) (x - y) = - x^{2} + y^{2}

; sai dấu này làm

B

tính ra

x^{2} y - x y^{2} - 2 x^{2}

thay vì đúng là

x^{2} y - x y^{2}

🚀 Mở rộng. Nếu đổi biểu thức

B

thành

x (x - y^{2}) + y (x^{2} - y) + (x + y) (x - y)

(đổi dấu trừ thành cộng) thì các hạng tử không còn triệt tiêu hết, kết quả rút gọn sẽ có thêm hạng tử

2 x^{2} - 2 y^{2}

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.20★★Trang 14— Nhân đa thức với đa thức, thừa số thứ hai đúng dạng

a^{2} \pm ab + b^{2}

Thực hiện phép tính: a)

(x - 2 y) (x^{2} z + 2 x y z + 4 y^{2} z)

; b)

(x^{2} - \frac{1}{3} x y + \frac{1}{9} y^{2}) (x + \frac{1}{3} y)

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân đa thức với đa thức, nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích lại.
Hai hằng đẳng thức đáng nhớ (sẽ học kĩ ở Bài 8): $(a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$ và $(a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai tích trong đó thừa số thứ hai đúng bằng

a^{2} + ab + b^{2}

hoặc

a^{2} - ab + b^{2}

ứng với thừa số thứ nhất

a - b

hoặc

a + b

, dấu hiệu ẩn của dạng lập phương tổng/hiệu dù đề chỉ yêu cầu 'thực hiện phép tính' bằng quy tắc nhân đa thức thông thường. Nên nhân trực tiếp theo quy tắc trước để chắc chắn đúng, rồi nhận xét thêm mối liên hệ với hằng đẳng thức để làm nhanh về sau. Bẫy của câu a là nhân tử chung

z

dễ bị bỏ sót ở một vài hạng tử khi nhân, còn câu b dễ sai dấu với hệ số phân số

\frac{1}{3}

1Cách 1. Nhân trực tiếp theo quy tắc phân phối

Nhân mỗi hạng tử của đa thức thứ nhất với từng hạng tử của đa thức thứ hai rồi cộng các tích, cuối cùng nhóm đơn thức đồng dạng.

(x - 2 y) (x^{2} z + 2 x y z + 4 y^{2} z) = x \cdot x^{2} z + x \cdot 2 x y z + x \cdot 4 y^{2} z - 2 y \cdot x^{2} z - 2 y \cdot 2 x y z - 2 y \cdot 4 y^{2} z

= x^{3} z + 2 x^{2} y z + 4 x y^{2} z - 2 x^{2} y z - 4 x y^{2} z - 8 y^{3} z

= x^{3} z + (2 x^{2} y z - 2 x^{2} y z) + (4 x y^{2} z - 4 x y^{2} z) - 8 y^{3} z = x^{3} z - 8 y^{3} z

a) Vậy $(x - 2 y) (x^{2} z + 2 x y z + 4 y^{2} z) = x^{3} z - 8 y^{3} z$ .

(x^{2} - \frac{1}{3} x y + \frac{1}{9} y^{2}) (x + \frac{1}{3} y) = x^{2} \cdot x + x^{2} \cdot \frac{1}{3} y - \frac{1}{3} x y \cdot x - \frac{1}{3} x y \cdot \frac{1}{3} y + \frac{1}{9} y^{2} \cdot x + \frac{1}{9} y^{2} \cdot \frac{1}{3} y

= x^{3} + \frac{1}{3} x^{2} y - \frac{1}{3} x^{2} y - \frac{1}{9} x y^{2} + \frac{1}{9} x y^{2} + \frac{1}{27} y^{3}

= x^{3} + (\frac{1}{3} x^{2} y - \frac{1}{3} x^{2} y) + (- \frac{1}{9} x y^{2} + \frac{1}{9} x y^{2}) + \frac{1}{27} y^{3} = x^{3} + \frac{1}{27} y^{3}

b) Vậy $(x^{2} - \frac{1}{3} x y + \frac{1}{9} y^{2}) (x + \frac{1}{3} y) = x^{3} + \frac{1}{27} y^{3}$ .

2Cách 2. Đặt tính theo cột

Viết mỗi đa thức theo luỹ thừa giảm dần của $x$ , đặt thẳng cột rồi nhân từng hạng tử với cả đa thức kia để không bỏ sót tích nào.

a) đa thức thứ hai viết theo cột:

x^{2} z

;

2 x y z

;

4 y^{2} z

— nhân với

x

x^{3} z

;

2 x^{2} y z

;

4 x y^{2} z

— nhân với

- 2 y

- 2 x^{2} y z

;

- 4 x y^{2} z

;

- 8 y^{3} z

cộng theo cột: hệ số

x^{2} y z

là

2 - 2 = 0

; hệ số

x y^{2} z

là

4 - 4 = 0

; còn lại

x^{3} z

và

- 8 y^{3} z

a) Đặt cột cũng cho $x^{3} z - 8 y^{3} z$ , khớp Cách 1.

b) nhân

x

với

x^{2} - \frac{1}{3} x y + \frac{1}{9} y^{2}

x^{3} - \frac{1}{3} x^{2} y + \frac{1}{9} x y^{2}

— nhân

\frac{1}{3} y

với

x^{2} - \frac{1}{3} x y + \frac{1}{9} y^{2}

\frac{1}{3} x^{2} y - \frac{1}{9} x y^{2} + \frac{1}{27} y^{3}

cộng theo cột: hệ số

x^{2} y

là

- \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 0

; hệ số

x y^{2}

là

\frac{1}{9} - \frac{1}{9} = 0

; còn lại

x^{3}

và

\frac{1}{27} y^{3}

b) Đặt cột cũng cho $x^{3} + \frac{1}{27} y^{3}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Nhận ra hằng đẳng thức lập phương ẩn sau nhân tử chung

Đối chiếu với hai hằng đẳng thức $(a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$ và $(a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$ (sẽ học kĩ ở Bài 8): câu a có nhân tử chung $z$ với $a = x, b = 2 y$ ; câu b đúng dạng $a = x, b = \frac{1}{3} y$ .

x^{2} z + 2 x y z + 4 y^{2} z = z (x^{2} + 2 x y + 4 y^{2}) = z (a^{2} + ab + b^{2})

với

a = x, b = 2 y

, nên

(x - 2 y) \cdot z (a^{2} + ab + b^{2}) = z (a^{3} - b^{3}) = z (x^{3} - 8 y^{3})

= x^{3} z - 8 y^{3} z

a) Nhận ra hằng đẳng thức cũng cho ngay $x^{3} z - 8 y^{3} z$ , khớp hai cách trên.

x^{2} - \frac{1}{3} x y + \frac{1}{9} y^{2} = a^{2} - ab + b^{2}

với

a = x, b = \frac{1}{3} y

, nên

(x + \frac{1}{3} y) (a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3} = x^{3} + (\frac{1}{3} y)^{3}

= x^{3} + \frac{1}{27} y^{3}

b) Nhận ra hằng đẳng thức cũng cho ngay $x^{3} + \frac{1}{27} y^{3}$ , khớp hai cách trên.

Nhận xét. Nhận ra dạng lập phương giúp ra kết quả chỉ trong một dòng, nhưng chỉ dùng được khi thừa số thứ hai đúng bằng $a^{2} \pm ab + b^{2}$ tương ứng với $a \mp b$ ở thừa số thứ nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 nếu nhận ra ngay dạng lập phương vì chỉ mất một dòng; nếu chưa quen dạng này thì dùng Cách 1, chậm hơn nhưng chắc chắn không bỏ sót hạng tử.

Đáp số. a)

x^{3} z - 8 y^{3} z

; b)

x^{3} + \frac{1}{27} y^{3}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn quên nhân

z

ở mọi hạng tử của thừa số thứ hai trong câu a, viết nhầm kết quả thành

x^{3} - 8 y^{3}

thay vì đúng là

x^{3} z - 8 y^{3} z

; ở câu b dễ sai dấu khi nhân

- \frac{1}{3} x y

với

\frac{1}{3} y

, tưởng ra

+ \frac{1}{9} x y^{2}

thay vì đúng là

- \frac{1}{9} x y^{2}

🚀 Mở rộng. Đây chính là hai trường hợp riêng của hằng đẳng thức hiệu và tổng hai lập phương sẽ học chính thức ở Bài 8 — ghi nhớ hai dạng

a^{2} + ab + b^{2}

và

a^{2} - ab + b^{2}

đi kèm dấu của

(a - b)

hoặc

(a + b)

để nhận ra bài toán nhanh hơn trong các bài sau.

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 1.21★★★Trang 14— Nhân hai đa thức nhiều hạng tử tổng quát, không có hằng đẳng thức đặc biệt

Tìm tích của hai đa thức: a)

2 x^{4} - x^{3} y + 6 x y^{3} + 2 y^{4}

và

x^{4} + 3 x^{3} y - y^{4}

; b)

x^{3} y + 0, 4 x^{2} y^{2} - x y^{3}

và

5 x^{2} - 2, 5 x y + 5 y^{2}

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân đa thức với đa thức, nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng tất cả các tích với nhau.
Đa thức $m$ hạng tử nhân với đa thức $n$ hạng tử cho đúng $m \times n$ tích thành phần trước khi nhóm đơn thức đồng dạng.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai đa thức nhiều hạng tử (4 và 3 hạng tử ở câu a; 3 và 3 hạng tử ở câu b), dấu hiệu của dạng nhân đa thức nhiều hạng tử tổng quát, không có nhân tử chung hay hằng đẳng thức đặc biệt để rút gọn trước. Nên nhân lần lượt từng hạng tử của đa thức thứ nhất với cả đa thức thứ hai, viết đủ mọi tích rồi mới nhóm đơn thức đồng dạng. Bẫy lớn nhất là bỏ sót một trong 12 (câu a) hoặc 9 (câu b) tích thành phần, hoặc nhóm nhầm hai đơn thức không đồng dạng vì bậc gần giống nhau.

1Cách 1. Nhân đầy đủ theo quy tắc phân phối

Nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với cả đa thức thứ hai, cộng hết các tích rồi nhóm đơn thức đồng dạng.

(2 x^{4} - x^{3} y + 6 x y^{3} + 2 y^{4}) (x^{4} + 3 x^{3} y - y^{4}) = 2 x^{4} (x^{4} + 3 x^{3} y - y^{4}) - x^{3} y (x^{4} + 3 x^{3} y - y^{4}) + 6 x y^{3} (x^{4} + 3 x^{3} y - y^{4}) + 2 y^{4} (x^{4} + 3 x^{3} y - y^{4})

= 2 x^{8} + 6 x^{7} y - 2 x^{4} y^{4} - x^{7} y - 3 x^{6} y^{2} + x^{3} y^{5} + 6 x^{5} y^{3} + 18 x^{4} y^{4} - 6 x y^{7} + 2 x^{4} y^{4} + 6 x^{3} y^{5} - 2 y^{8}

= 2 x^{8} + (6 x^{7} y - x^{7} y) - 3 x^{6} y^{2} + 6 x^{5} y^{3} + (- 2 x^{4} y^{4} + 18 x^{4} y^{4} + 2 x^{4} y^{4}) + (x^{3} y^{5} + 6 x^{3} y^{5}) - 6 x y^{7} - 2 y^{8}

= 2 x^{8} + 5 x^{7} y - 3 x^{6} y^{2} + 6 x^{5} y^{3} + 18 x^{4} y^{4} + 7 x^{3} y^{5} - 6 x y^{7} - 2 y^{8}

a) Vậy tích cần tìm là $2 x^{8} + 5 x^{7} y - 3 x^{6} y^{2} + 6 x^{5} y^{3} + 18 x^{4} y^{4} + 7 x^{3} y^{5} - 6 x y^{7} - 2 y^{8}$ .

(x^{3} y + 0, 4 x^{2} y^{2} - x y^{3}) (5 x^{2} - 2, 5 x y + 5 y^{2}) = x^{3} y (5 x^{2} - 2, 5 x y + 5 y^{2}) + 0, 4 x^{2} y^{2} (5 x^{2} - 2, 5 x y + 5 y^{2}) - x y^{3} (5 x^{2} - 2, 5 x y + 5 y^{2})

= 5 x^{5} y - 2, 5 x^{4} y^{2} + 5 x^{3} y^{3} + 2 x^{4} y^{2} - x^{3} y^{3} + 2 x^{2} y^{4} - 5 x^{3} y^{3} + 2, 5 x^{2} y^{4} - 5 x y^{5}

= 5 x^{5} y + (- 2, 5 x^{4} y^{2} + 2 x^{4} y^{2}) + (5 x^{3} y^{3} - x^{3} y^{3} - 5 x^{3} y^{3}) + (2 x^{2} y^{4} + 2, 5 x^{2} y^{4}) - 5 x y^{5}

= 5 x^{5} y - 0, 5 x^{4} y^{2} - x^{3} y^{3} + 4, 5 x^{2} y^{4} - 5 x y^{5}

b) Vậy tích cần tìm là $5 x^{5} y - 0, 5 x^{4} y^{2} - x^{3} y^{3} + 4, 5 x^{2} y^{4} - 5 x y^{5}$ .

2Cách 2. Đặt tính theo cột

Viết mỗi đa thức theo luỹ thừa giảm dần của $x$ (điền hệ số $0$ ở hạng tử vắng mặt), đặt thẳng cột để nhân đủ mọi cặp hạng tử mà không bỏ sót.

a) đa thức thứ nhất theo cột:

2 x^{4}

;

- x^{3} y

;

0 \cdot x^{2} y^{2}

;

6 x y^{3}

;

2 y^{4}

— đa thức thứ hai:

x^{4}

;

3 x^{3} y

;

0 \cdot x^{2} y^{2}

;

0 \cdot x y^{3}

;

- y^{4}

nhân so cột và cộng theo bậc giảm dần của

x

: bậc

8

2 x^{4} \cdot x^{4} = 2 x^{8}

; hạng

x^{7} y

2 x^{4} \cdot 3 x^{3} y - x^{3} y \cdot x^{4} = 6 x^{7} y - x^{7} y = 5 x^{7} y

hạng

x^{6} y^{2}

- x^{3} y \cdot 3 x^{3} y = - 3 x^{6} y^{2}

; hạng

x^{5} y^{3}

6 x y^{3} \cdot x^{4} = 6 x^{5} y^{3}

; hạng

x^{4} y^{4}

2 x^{4} \cdot (- y^{4}) + 6 x y^{3} \cdot 3 x^{3} y + 2 y^{4} \cdot x^{4} = - 2 x^{4} y^{4} + 18 x^{4} y^{4} + 2 x^{4} y^{4} = 18 x^{4} y^{4}

hạng

x^{3} y^{5}

- x^{3} y \cdot (- y^{4}) + 2 y^{4} \cdot 3 x^{3} y = x^{3} y^{5} + 6 x^{3} y^{5} = 7 x^{3} y^{5}

; hạng

x y^{7}

6 x y^{3} \cdot (- y^{4}) = - 6 x y^{7}

; hạng

y^{8}

2 y^{4} \cdot (- y^{4}) = - 2 y^{8}

a) Đặt cột cũng cho đủ $2 x^{8} + 5 x^{7} y - 3 x^{6} y^{2} + 6 x^{5} y^{3} + 18 x^{4} y^{4} + 7 x^{3} y^{5} - 6 x y^{7} - 2 y^{8}$ , khớp Cách 1.

b) đa thức thứ nhất:

x^{3} y

;

0, 4 x^{2} y^{2}

;

- x y^{3}

— đa thức thứ hai:

5 x^{2}

;

- 2, 5 x y

;

5 y^{2}

; nhân so cột theo bậc giảm của

x

x^{3} y \cdot 5 x^{2} = 5 x^{5} y

;

x^{3} y \cdot (- 2, 5 x y) + 0, 4 x^{2} y^{2} \cdot 5 x^{2} = - 2, 5 x^{4} y^{2} + 2 x^{4} y^{2} = - 0, 5 x^{4} y^{2}

x^{3} y \cdot 5 y^{2} + 0, 4 x^{2} y^{2} \cdot (- 2, 5 x y) + (- x y^{3}) \cdot 5 x^{2} = 5 x^{3} y^{3} - x^{3} y^{3} - 5 x^{3} y^{3} = - x^{3} y^{3}

;

0, 4 x^{2} y^{2} \cdot 5 y^{2} + (- x y^{3}) \cdot (- 2, 5 x y) = 2 x^{2} y^{4} + 2, 5 x^{2} y^{4} = 4, 5 x^{2} y^{4}

;

(- x y^{3}) \cdot 5 y^{2} = - 5 x y^{5}

b) Đặt cột cũng cho đủ $5 x^{5} y - 0, 5 x^{4} y^{2} - x^{3} y^{3} + 4, 5 x^{2} y^{4} - 5 x y^{5}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử giá trị cụ thể để kiểm chứng

Thay $x = 1, y = 1$ vào cả hai đa thức gốc và vào kết quả đã nhân để kiểm chứng tổng hệ số đúng.

a) tại

x = y = 1

: đa thức thứ nhất

= 2 - 1 + 6 + 2 = 9

; đa thức thứ hai

= 1 + 3 - 1 = 3

; tích

= 9 \cdot 3 = 27

tổng hệ số của kết quả:

2 + 5 - 3 + 6 + 18 + 7 - 6 - 2 = 27

b) tại

x = y = 1

: đa thức thứ nhất

= 1 + 0, 4 - 1 = 0, 4

; đa thức thứ hai

= 5 - 2, 5 + 5 = 7, 5

; tích

= 0, 4 \cdot 7, 5 = 3

tổng hệ số của kết quả:

5 - 0, 5 - 1 + 4, 5 - 5 = 3

Cả hai câu, tổng hệ số của kết quả đều khớp với tích tính trực tiếp tại $x = y = 1$ , xác nhận hai cách nhân trên đúng.

Nhận xét. Thử số chỉ kiểm tra được tổng hệ số chứ không phát hiện được lỗi nhóm nhầm đơn thức khác phần biến, nên vẫn phải nhân đầy đủ như Cách 1 hoặc Cách 2 khi trình bày bài làm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (đặt cột) vì với nhiều hạng tử như bài này, viết theo cột giúp không bỏ sót tích nào; nên dành chút thời gian thử số như Cách 3 để chắc chắn không sai hệ số.

Đáp số. a)

2 x^{8} + 5 x^{7} y - 3 x^{6} y^{2} + 6 x^{5} y^{3} + 18 x^{4} y^{4} + 7 x^{3} y^{5} - 6 x y^{7} - 2 y^{8}

; b)

5 x^{5} y - 0, 5 x^{4} y^{2} - x^{3} y^{3} + 4, 5 x^{2} y^{4} - 5 x y^{5}

Sai lầm thường gặp. Với đa thức nhiều hạng tử, nhiều bạn bỏ sót một tích thành phần (thường là tích của hai hạng tử cuối mỗi đa thức) hoặc nhóm nhầm

x^{4} y^{4}

với

x^{5} y^{3}

vì cùng bậc tám. Phải liệt kê đủ

12

tích ở câu a,

9

tích ở câu b rồi mới nhóm đúng đơn thức đồng dạng (cùng cả phần biến, không chỉ cùng bậc).

🚀 Mở rộng. Khi hai đa thức có nhân tử chung (như câu b có thể rút

x y

và

5

ra ngoài), nên đặt nhân tử chung trước để đa thức còn lại gọn hơn rồi mới nhân, tránh nhân với hệ số thập phân nhiều lần.

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 1.22★★★Trang 14— Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc biến bằng cách khai triển tích ba nhân tử

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các biến:

P = x^{4} - (x - y) (x + y) (x^{2} + y^{2}) - y^{4}

Kiến thức cần nhớ

Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến là khai triển và rút gọn biểu thức; nếu kết quả cuối cùng là một hằng số (không còn chứa biến) thì kết luận được điều phải chứng minh.
Có thể nhân ba nhân tử theo hai thứ tự khác nhau (nhóm cặp đầu trước hoặc nhóm cặp sau trước), kết quả luôn giống nhau theo tính kết hợp của phép nhân đa thức.

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu chứng minh giá trị của

P

không đổi dù

x, y

nhận giá trị nào, dấu hiệu của dạng chứng minh biểu thức không phụ thuộc biến — phải khai triển hết mọi hạng tử chứa biến rồi chỉ ra chúng triệt tiêu hoàn toàn, kết quả cuối chỉ còn một hằng số (ở đây là

0

). Nên nhân gọn

(x - y) (x + y) = x^{2} - y^{2}

trước bằng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương rồi mới nhân tiếp với

(x^{2} + y^{2})

, tránh nhân ba nhân tử cùng lúc dễ sót hạng tử. Bẫy của đề là quên đổi dấu cả cụm

(x - y) (x + y) (x^{2} + y^{2})

khi trừ vào

x^{4}

, dễ làm hạng tử

- y^{4}

đổi dấu sai.

1Cách 1. Nhóm hai nhân tử đầu bằng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương

Nhân $(x - y) (x + y)$ trước bằng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, rồi nhân tiếp với $(x^{2} + y^{2})$ cũng bằng hằng đẳng thức đó.

P = x^{4} - (x - y) (x + y) (x^{2} + y^{2}) - y^{4} = x^{4} - (x^{2} - y^{2}) (x^{2} + y^{2}) - y^{4}

= x^{4} - (x^{4} - y^{4}) - y^{4}

= x^{4} - x^{4} + y^{4} - y^{4} = 0

Vậy $P = 0$ với mọi $x, y$ , tức giá trị của $P$ không phụ thuộc vào giá trị của các biến.

2Cách 2. Nhóm hai nhân tử sau trước

Đổi thứ tự nhóm: nhân $(x + y) (x^{2} + y^{2})$ trước rồi mới nhân với $(x - y)$ , dùng tính kết hợp của phép nhân đa thức.

(x + y) (x^{2} + y^{2}) = x^{3} + x y^{2} + x^{2} y + y^{3}

(x - y) (x^{3} + x^{2} y + x y^{2} + y^{3}) = x^{4} + x^{3} y + x^{2} y^{2} + x y^{3} - x^{3} y - x^{2} y^{2} - x y^{3} - y^{4}

= x^{4} + (x^{3} y - x^{3} y) + (x^{2} y^{2} - x^{2} y^{2}) + (x y^{3} - x y^{3}) - y^{4} = x^{4} - y^{4}

P = x^{4} - (x^{4} - y^{4}) - y^{4} = x^{4} - x^{4} + y^{4} - y^{4} = 0

Nhóm theo thứ tự khác cũng cho $P = 0$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử giá trị cụ thể minh hoạ trước khi chứng minh

Thay vài bộ số khác nhau vào $P$ để thấy giá trị luôn bằng $0$ , minh hoạ ý nghĩa "không phụ thuộc biến" trước khi trình bày chứng minh đại số.

tại

x = 2, y = 1

P = 2^{4} - (2 - 1) (2 + 1) (2^{2} + 1^{2}) - 1^{4} = 16 - 1 \cdot 3 \cdot 5 - 1 = 16 - 15 - 1 = 0

tại

x = - 1, y = 3

P = (- 1)^{4} - (- 1 - 3) (- 1 + 3) ((- 1)^{2} + 3^{2}) - 3^{4} = 1 - (- 4) \cdot 2 \cdot 10 - 81 = 1 + 80 - 81 = 0

Cả hai bộ số đều cho $P = 0$ , phù hợp với kết quả chứng minh đại số ở Cách 1, Cách 2.

Nhận xét. Thử vài bộ số chỉ minh hoạ chứ không thay được chứng minh tổng quát, vì còn vô số bộ $x, y$ chưa được kiểm tra.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì nhận ra ngay

(x - y) (x + y) = x^{2} - y^{2}

là hằng đẳng thức quen thuộc, nhân tiếp với

(x^{2} + y^{2})

chỉ còn đúng một hằng đẳng thức nữa; Cách 3 hữu ích để hình dung trước khi trình bày lời giải đại số.

Đáp số.

P = 0

với mọi

x, y

, tức giá trị của

P

không phụ thuộc vào giá trị của các biến.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn khai triển

(x - y) (x + y) (x^{2} + y^{2})

đúng ra

x^{4} - y^{4}

nhưng khi trừ vào

x^{4}

lại quên đổi dấu cả cụm, viết nhầm

P = x^{4} - x^{4} - y^{4} - y^{4} = - 2 y^{4}

thay vì đúng là

P = x^{4} - (x^{4} - y^{4}) - y^{4} = x^{4} - x^{4} + y^{4} - y^{4} = 0

🚀 Mở rộng. Cùng cách nhóm hằng đẳng thức lặp lại, biểu thức

x^{8} - (x - y) (x + y) (x^{2} + y^{2}) (x^{4} + y^{4}) - y^{8}

cũng luôn bằng

0

với mọi

x, y

vì

(x^{4} - y^{4}) (x^{4} + y^{4}) = x^{8} - y^{8}

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 1.23★★★★Trang 14— Rút gọn tổng (hiệu) ba tích ba nhân tử bậc nhất theo ba biến

Rút gọn biểu thức: a)

(x - y) (y + z) (z + x) + (x + y) (y - z) (z + x) + (x + y) (y + z) (z - x)

; b)

(2 x + y) (2 y + z) (2 z + x) - (2 x - y) (2 y - z) (2 z - x)

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân ba nhân tử, nhân hai nhân tử đầu trước để được một đa thức, rồi nhân đa thức đó với nhân tử còn lại.
Khi nhiều số hạng có chung một nhân tử, nên đặt nhân tử chung ra ngoài trước khi khai triển để giảm bớt số hạng phải nhân.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai biểu thức là tổng (hoặc hiệu) của ba tích ba nhân tử bậc nhất, dấu hiệu cho thấy nên tìm nhân tử chung xuất hiện lặp lại giữa các số hạng trước khi khai triển toàn bộ, thay vì nhân từng tích một cách rời rạc. Ở câu a, hai số hạng đầu cùng có nhân tử chung

(z + x)

nên gộp được ngay; câu b có cấu trúc đối xứng vòng quanh

x, y, z

nên khai triển từng tích trước rồi trừ theo từng cặp hạng tử cùng phần biến. Bẫy lớn nhất là nhóm nhầm hai đơn thức khác phần biến vì cùng bậc ba, đặc biệt

x^{2} y

và

x y^{2}

rất dễ gộp nhầm.

1Cách 1. Khai triển trực tiếp từng số hạng rồi nhóm đơn thức đồng dạng

Nhân hai nhân tử đầu của mỗi số hạng trước, nhân tiếp với nhân tử còn lại, rồi cộng (trừ) và nhóm đơn thức đồng dạng ở cuối.

a) đặt

A = (x - y) (y + z) (z + x)

;

B = (x + y) (y - z) (z + x)

;

C = (x + y) (y + z) (z - x)

A = (x y + x z - y^{2} - y z) (z + x) = x^{2} y + x z^{2} + x^{2} z - y^{2} z - x y^{2} - y z^{2}

B = (x y - x z + y^{2} - y z) (z + x) = x^{2} y - x z^{2} - x^{2} z + y^{2} z + x y^{2} - y z^{2}

C = (x y + x z + y^{2} + y z) (z - x) = - x^{2} y + x z^{2} - x^{2} z + y^{2} z - x y^{2} + y z^{2}

A + B + C = (x^{2} y + x^{2} y - x^{2} y) + (- x y^{2} + x y^{2} - x y^{2}) + (x z^{2} - x z^{2} + x z^{2}) + (x^{2} z - x^{2} z - x^{2} z) + (- y^{2} z + y^{2} z + y^{2} z) + (- y z^{2} - y z^{2} + y z^{2})

= x^{2} y - x y^{2} + x z^{2} - x^{2} z + y^{2} z - y z^{2}

a) Vậy $(x - y) (y + z) (z + x) + (x + y) (y - z) (z + x) + (x + y) (y + z) (z - x) = x^{2} y - x y^{2} + x z^{2} - x^{2} z + y^{2} z - y z^{2}$ .

b) đặt

M = (2 x + y) (2 y + z) (2 z + x)

;

N = (2 x - y) (2 y - z) (2 z - x)

M = (4 x y + 2 x z + 2 y^{2} + y z) (2 z + x) = 8 x y z + 4 x^{2} y + 4 x z^{2} + 2 x^{2} z + 4 y^{2} z + 2 x y^{2} + 2 y z^{2} + x y z

= 9 x y z + 4 x^{2} y + 4 x z^{2} + 2 x^{2} z + 4 y^{2} z + 2 x y^{2} + 2 y z^{2}

N = (4 x y - 2 x z - 2 y^{2} + y z) (2 z - x) = 8 x y z - 4 x^{2} y - 4 x z^{2} + 2 x^{2} z - 4 y^{2} z + 2 x y^{2} + 2 y z^{2} - x y z

= 7 x y z - 4 x^{2} y - 4 x z^{2} + 2 x^{2} z - 4 y^{2} z + 2 x y^{2} + 2 y z^{2}

M - N = (9 x y z - 7 x y z) + (4 x^{2} y + 4 x^{2} y) + (4 x z^{2} + 4 x z^{2}) + (2 x^{2} z - 2 x^{2} z) + (4 y^{2} z + 4 y^{2} z) + (2 x y^{2} - 2 x y^{2}) + (2 y z^{2} - 2 y z^{2})

= 2 x y z + 8 x^{2} y + 8 x z^{2} + 8 y^{2} z

b) Vậy $(2 x + y) (2 y + z) (2 z + x) - (2 x - y) (2 y - z) (2 z - x) = 2 x y z + 8 x^{2} y + 8 y^{2} z + 8 x z^{2}$ .

2Cách 2. Đặt nhân tử chung trước khi khai triển hết

Ở câu a, hai số hạng đầu cùng có nhân tử chung $(z + x)$ nên gộp lại trước khi khai triển tiếp; ở câu b, khai triển $M, N$ rồi trừ ngay theo từng cặp hạng tử cùng phần biến để thấy phần nào triệt tiêu.

(x - y) (y + z) (z + x) + (x + y) (y - z) (z + x) = (z + x) [(x - y) (y + z) + (x + y) (y - z)]

(x - y) (y + z) + (x + y) (y - z) = (x y + x z - y^{2} - y z) + (x y - x z + y^{2} - y z) = 2 x y - 2 y z

(z + x) (2 x y - 2 y z) = 2 x y z - 2 y z^{2} + 2 x^{2} y - 2 x y z = 2 x^{2} y - 2 y z^{2}

cộng nốt số hạng còn lại

(x + y) (y + z) (z - x) = - x^{2} y - x y^{2} + x z^{2} - x^{2} z + y^{2} z + y z^{2}

(nhân trực tiếp như Cách 1)

tổng:

(2 x^{2} y - 2 y z^{2}) + (- x^{2} y - x y^{2} + x z^{2} - x^{2} z + y^{2} z + y z^{2}) = x^{2} y - x y^{2} + x z^{2} - x^{2} z + y^{2} z - y z^{2}

a) Gộp nhân tử chung $(z + x)$ trước cũng cho $x^{2} y - x y^{2} + x z^{2} - x^{2} z + y^{2} z - y z^{2}$ , khớp Cách 1.

b) từ

M = 9 x y z + 4 x^{2} y + 4 x z^{2} + 2 x^{2} z + 4 y^{2} z + 2 x y^{2} + 2 y z^{2}

và

N = 7 x y z - 4 x^{2} y - 4 x z^{2} + 2 x^{2} z - 4 y^{2} z + 2 x y^{2} + 2 y z^{2}

đã có ở Cách 1, trừ ngay theo từng cặp: hạng tử

2 x y^{2}

và

2 y z^{2}

giống hệt nhau ở

M

và

N

nên triệt tiêu trước tiên

còn lại:

(9 x y z - 7 x y z) + (4 x^{2} y - (- 4 x^{2} y)) + (4 x z^{2} - (- 4 x z^{2})) + (2 x^{2} z - 2 x^{2} z) + (4 y^{2} z - (- 4 y^{2} z)) = 2 x y z + 8 x^{2} y + 8 x z^{2} + 8 y^{2} z

b) Trừ theo từng cặp cũng cho $2 x y z + 8 x^{2} y + 8 y^{2} z + 8 x z^{2}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử giá trị cụ thể để kiểm chứng

Thay $x = 2, y = 1, z = 3$ vào biểu thức gốc và vào kết quả đã rút gọn để kiểm chứng.

a) vế gốc:

(2 - 1) (1 + 3) (3 + 2) + (2 + 1) (1 - 3) (3 + 2) + (2 + 1) (1 + 3) (3 - 2) = 1 \cdot 4 \cdot 5 + 3 \cdot (- 2) \cdot 5 + 3 \cdot 4 \cdot 1 = 20 - 30 + 12 = 2

vế rút gọn:

2^{2} \cdot 1 - 2 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 3^{2} - 2^{2} \cdot 3 + 1^{2} \cdot 3 - 1 \cdot 3^{2} = 4 - 2 + 18 - 12 + 3 - 9 = 2

b) vế gốc:

(4 + 1) (2 + 3) (6 + 2) - (4 - 1) (2 - 3) (6 - 2) = 5 \cdot 5 \cdot 8 - 3 \cdot (- 1) \cdot 4 = 200 - (- 12) = 212

vế rút gọn:

8 \cdot 2^{2} \cdot 1 + 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 + 8 \cdot 2 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 1^{2} \cdot 3 = 32 + 12 + 144 + 24 = 212

Cả hai câu, giá trị tại $x = 2, y = 1, z = 3$ đều khớp giữa biểu thức gốc và kết quả rút gọn.

Nhận xét. Nên chọn bộ số không tạo hiệu hay tổng bằng $0$ (tránh $x = y = z$ ) để phép thử thật sự kiểm tra được hệ số của từng đơn thức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho câu a vì gộp nhân tử chung

(z + x)

trước giúp bớt hẳn một lượt khai triển; câu b vẫn nên khai triển từng tích như Cách 1 vì cấu trúc không có nhân tử chung rõ ràng giữa cả ba nhân tử.

Đáp số. a)

x^{2} y - x y^{2} + x z^{2} - x^{2} z + y^{2} z - y z^{2}

; b)

8 x^{2} y + 2 x y z + 8 x z^{2} + 8 y^{2} z

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn nhóm gộp

x^{2} y

với

x y^{2}

vì tưởng cùng dạng (đều bậc ba, đều chứa

x

và

y

), trong khi đây là hai đơn thức khác phần biến, không được cộng trừ hệ số với nhau. Phải giữ nguyên từng đơn thức khi chúng không cùng phần biến, chỉ nhóm đúng

x^{2} y

với

x^{2} y

🚀 Mở rộng. Với ba biến

x, y, z

đối xứng vòng quanh như câu b, có thể đoán trước dạng kết quả chỉ gồm các đơn thức bậc ba dạng

x^{2} y

x y^{2}

y^{2} z

… rồi tính hệ số bằng cách so sánh một vài giá trị cụ thể, đỡ phải khai triển toàn bộ.

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Đối chiếu số hiệu bài tập theo SBT: https://vietjack.com/sbt-toan-8-kn/bai-4-phep-nhan-da-thuc.jsp · https://loigiaihay.com/bai-4-phep-nhan-da-thuc-sbt-toan-8-kntt-e32718.html