Chương I. Đa thức

Bài 5. Phép chia đa thức cho đơn thức

SBT (Sách bài tập) Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 3 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 1.24★Trang 16— Tìm đơn thức chưa biết trong đẳng thức chia/nhân đơn thức

a) Tìm đơn thức M biết rằng

2, 7 x^{3} y^{4} z^{2} : M = 0, 9 x^{2} y z

; b) Biết

(- \frac{2}{5} x^{2} y z) \cdot N = x^{4} y^{3} z^{2}

. Hãy tìm đơn thức N.

Kiến thức cần nhớ

Nếu $A : M = C$ (với $A, C$ đã biết) thì $M = A : C$ ; nếu $B \cdot N = D$ thì $N = D : B$ .
Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B, ta chia hệ số của A cho hệ số của B, chia luỹ thừa của từng biến trong A cho luỹ thừa của cùng biến đó trong B, rồi nhân các kết quả với nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một đẳng thức chia (câu a) và một đẳng thức nhân (câu b) trong đó có một đơn thức chưa biết, dấu hiệu của dạng tìm thành phần chưa biết trong phép nhân/chia đơn thức bằng cách đưa về phép chia ngược. Nên dùng ngay quan hệ giữa số bị chia, số chia và thương (hoặc giữa thừa số và tích) để chuyển thành một phép chia đơn thức quen thuộc, khỏi phải thử từng đơn thức một. Bẫy của đề là số

0, 9

và

- \frac{2}{5}

ở hai câu dễ gây nhầm dấu và nhầm chiều tính khi chia số thập phân, phân số âm.

1Cách 1. Đưa về phép chia đơn thức bằng quan hệ số bị chia — số chia — thương

Từ $A : M = C$ suy ra $M = A : C$ , từ $B \cdot N = D$ suy ra $N = D : B$ ; sau đó chia đơn thức bằng cách chia riêng hệ số, chia riêng từng luỹ thừa cùng biến.

M = 2, 7 x^{3} y^{4} z^{2} : 0, 9 x^{2} y z = (2, 7 : 0, 9) \cdot (x^{3} : x^{2}) \cdot (y^{4} : y) \cdot (z^{2} : z)

M = 3 x y^{3} z

a) Vậy $M = 3 x y^{3} z$ .

Làm tương tự cho câu b: từ phép nhân đảo thành phép chia $x^{4} y^{3} z^{2}$ cho $- \frac{2}{5} x^{2} y z$ .

N = x^{4} y^{3} z^{2} : (- \frac{2}{5} x^{2} y z) = (1 : (- \frac{2}{5})) \cdot (x^{4} : x^{2}) \cdot (y^{3} : y) \cdot (z^{2} : z)

N = - \frac{5}{2} x^{2} y^{2} z

b) Vậy $N = - \frac{5}{2} x^{2} y^{2} z$ .

2Cách 2. Kiểm tra bằng phép nhân ngược thương với số chia

Nhân kết quả $M$ , $N$ vừa tìm được với đơn thức đã biết ở vế còn lại, xem có ra đúng đơn thức ban đầu hay không — đi ngược chiều phép tính so với Cách 1.

M \cdot 0, 9 x^{2} y z = 3 x y^{3} z \cdot 0, 9 x^{2} y z = 2, 7 x^{3} y^{4} z^{2}

a) Nhân ngược cho đúng $2, 7 x^{3} y^{4} z^{2}$ như đề bài, xác nhận $M = 3 x y^{3} z$ .

(- \frac{2}{5} x^{2} y z) \cdot N = (- \frac{2}{5} x^{2} y z) \cdot (- \frac{5}{2} x^{2} y^{2} z) = x^{4} y^{3} z^{2}

b) Nhân ngược cho đúng $x^{4} y^{3} z^{2}$ như đề bài, xác nhận $N = - \frac{5}{2} x^{2} y^{2} z$ .

3Cách 3. Thử giá trị cụ thể để kiểm chứng đơn thức tìm được

Thay $x = y = z = 1$ vào cả hai vế của đẳng thức gốc để kiểm chứng nhanh hệ số của $M$ , $N$ .

a) tại

x = y = z = 1

2, 7 : M = 0, 9

nên

M = 2, 7 : 0, 9 = 3

; còn

M = 3 x y^{3} z

tại

x = y = z = 1

cũng cho

3

b) tại

x = y = z = 1

(- \frac{2}{5}) \cdot N = 1

nên

N = 1 : (- \frac{2}{5}) = - \frac{5}{2}

; còn

N = - \frac{5}{2} x^{2} y^{2} z

tại

x = y = z = 1

cũng cho

- \frac{5}{2}

Cả hai câu, giá trị tại $x = y = z = 1$ đều khớp, phù hợp với kết quả ở Cách 1.

Nhận xét. Thử $x = y = z = 1$ chỉ kiểm tra được hệ số chứ chưa chắc đúng số mũ của từng biến, nên chọn thêm một bộ số khác $1$ (như $x = 2, y = 1, z = 1$ ) nếu còn nghi ngờ phần biến.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chuyển thẳng về phép chia đơn thức quen thuộc, mỗi câu chỉ mất hai dòng; Cách 2 hoặc Cách 3 dùng để soát lại khi còn thời gian.

Đáp số. a)

M = 3 x y^{3} z

; b)

N = - \frac{5}{2} x^{2} y^{2} z

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn quên đảo chiều phép tính ở câu b, tưởng

N = (- \frac{2}{5} x^{2} y z) : x^{4} y^{3} z^{2}

thay vì đúng phải là

N = x^{4} y^{3} z^{2} : (- \frac{2}{5} x^{2} y z)

; cũng có bạn tính

2, 7 : 0, 9

nhầm ra

0, 3

thay vì đúng là

3

🚀 Mở rộng. Nếu đổi đẳng thức thành ba đơn thức nhân liên tiếp bằng một tích cho trước, ví dụ

M \cdot 2 x \cdot 3 y = 6 x^{2} y^{2}

, vẫn giải được bằng cách gộp hai thừa số đã biết thành một đơn thức rồi chia tích cho đơn thức gộp đó.

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 1.25★Trang 16— Chia đa thức cho đơn thức, hệ số thập phân

Thực hiện phép chia: a)

(2, 5 x^{3} y^{2} - x^{2} y^{3} + 1, 5 x y^{4}) : 5 x y^{2}

; b)

(3 x^{5} y^{3} + 4 x^{4} y^{4} - 5 x^{3} y^{5}) : 2 x^{2} y^{2}

Kiến thức cần nhớ

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp chia hết), ta chia từng hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.
Khi chia hai luỹ thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ: $x^{m} : x^{n} = x^{m - n}$ (với $m \geq n$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đa thức ba hạng tử chia cho một đơn thức, dấu hiệu rõ ràng của quy tắc chia đa thức cho đơn thức: chia từng hạng tử rồi cộng kết quả. Nên chia riêng phần hệ số và trừ số mũ của từng biến ở mỗi hạng tử để không bỏ sót biến nào. Bẫy của đề là hệ số thập phân

2, 5

và

1, 5

dễ chia sai, còn số mũ của

y

giảm dần qua từng hạng tử nên dễ trừ nhầm.

1Cách 1. Chia trực tiếp từng hạng tử theo quy tắc

Chia từng hạng tử của đa thức bị chia cho đơn thức chia rồi cộng các kết quả lại theo đúng dấu.

(2, 5 x^{3} y^{2} - x^{2} y^{3} + 1, 5 x y^{4}) : 5 x y^{2} = 2, 5 x^{3} y^{2} : 5 x y^{2} - x^{2} y^{3} : 5 x y^{2} + 1, 5 x y^{4} : 5 x y^{2}

= 0, 5 x^{2} - 0, 2 x y + 0, 3 y^{2}

a) Vậy $(2, 5 x^{3} y^{2} - x^{2} y^{3} + 1, 5 x y^{4}) : 5 x y^{2} = 0, 5 x^{2} - 0, 2 x y + 0, 3 y^{2}$ .

Làm tương tự cho câu b với đơn thức chia $2 x^{2} y^{2}$ .

(3 x^{5} y^{3} + 4 x^{4} y^{4} - 5 x^{3} y^{5}) : 2 x^{2} y^{2} = 3 x^{5} y^{3} : 2 x^{2} y^{2} + 4 x^{4} y^{4} : 2 x^{2} y^{2} - 5 x^{3} y^{5} : 2 x^{2} y^{2}

= 1, 5 x^{3} y + 2 x^{2} y^{2} - 2, 5 x y^{3}

b) Vậy $(3 x^{5} y^{3} + 4 x^{4} y^{4} - 5 x^{3} y^{5}) : 2 x^{2} y^{2} = 1, 5 x^{3} y + 2 x^{2} y^{2} - 2, 5 x y^{3}$ .

2Cách 2. Tách riêng hệ số và phần biến của từng hạng tử rồi ghép lại

Tách phép chia thành hai tầng: chia riêng hệ số của từng hạng tử cho hệ số đơn thức chia, chia riêng phần biến, rồi ghép lại — hạn chế sai số thập phân.

a) hệ số:

2, 5 : 5 = 0, 5

;

- 1 : 5 = - 0, 2

;

1, 5 : 5 = 0, 3

— phần biến:

x^{3} y^{2} : x y^{2} = x^{2}

;

x^{2} y^{3} : x y^{2} = x y

;

x y^{4} : x y^{2} = y^{2}

(2, 5 x^{3} y^{2} - x^{2} y^{3} + 1, 5 x y^{4}) : 5 x y^{2} = 0, 5 x^{2} - 0, 2 x y + 0, 3 y^{2}

a) Ghép hệ số với phần biến cũng cho $0, 5 x^{2} - 0, 2 x y + 0, 3 y^{2}$ , khớp Cách 1.

b) hệ số:

3 : 2 = 1, 5

;

4 : 2 = 2

;

- 5 : 2 = - 2, 5

— phần biến:

x^{5} y^{3} : x^{2} y^{2} = x^{3} y

;

x^{4} y^{4} : x^{2} y^{2} = x^{2} y^{2}

;

x^{3} y^{5} : x^{2} y^{2} = x y^{3}

(3 x^{5} y^{3} + 4 x^{4} y^{4} - 5 x^{3} y^{5}) : 2 x^{2} y^{2} = 1, 5 x^{3} y + 2 x^{2} y^{2} - 2, 5 x y^{3}

b) Ghép hệ số với phần biến cũng cho $1, 5 x^{3} y + 2 x^{2} y^{2} - 2, 5 x y^{3}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Kiểm chứng bằng phép nhân ngược thương với số chia

Nhân kết quả chia được với đơn thức chia ban đầu, xem có trả lại đúng đa thức bị chia hay không.

(0, 5 x^{2} - 0, 2 x y + 0, 3 y^{2}) \cdot 5 x y^{2} = 2, 5 x^{3} y^{2} - x^{2} y^{3} + 1, 5 x y^{4}

a) Nhân ngược cho đúng đa thức bị chia ban đầu, xác nhận thương ở Cách 1 đúng.

(1, 5 x^{3} y + 2 x^{2} y^{2} - 2, 5 x y^{3}) \cdot 2 x^{2} y^{2} = 3 x^{5} y^{3} + 4 x^{4} y^{4} - 5 x^{3} y^{5}

b) Nhân ngược cho đúng đa thức bị chia ban đầu, xác nhận thương ở Cách 1 đúng.

Nhận xét. Nhân ngược dùng đúng định nghĩa phép chia nên rất chắc chắn, nhưng cồng kềnh hơn hẳn so với chia trực tiếp, chỉ nên dùng để kiểm tra lại.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chia trực tiếp từng hạng tử là thao tác nhanh nhất; nên dành ít phút nhân ngược như Cách 3 để chắc chắn không sai hệ số thập phân.

Đáp số. a)

0, 5 x^{2} - 0, 2 x y + 0, 3 y^{2}

; b)

1, 5 x^{3} y + 2 x^{2} y^{2} - 2, 5 x y^{3}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chia đúng phần biến nhưng tính sai hệ số thập phân, ví dụ ở câu a viết

1, 5 x y^{4} : 5 x y^{2} = 3 y^{2}

(quên dịch dấu phẩy khi chia

1, 5 : 5

) thay vì đúng là

0, 3 y^{2}

; ở câu b dễ quên đổi dấu hạng tử thứ ba, viết nhầm

- 5 x^{3} y^{5} : 2 x^{2} y^{2} = 2, 5 x y^{3}

thay vì đúng là

- 2, 5 x y^{3}

🚀 Mở rộng. Nếu đơn thức chia đổi thành âm, ví dụ chia cho

- 5 x y^{2}

ở câu a, thì mọi hạng tử của kết quả đổi dấu so với hiện tại, cho

- 0, 5 x^{2} + 0, 2 x y - 0, 3 y^{2}

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 1.26★★Trang 16— Rút gọn biểu thức có nhiều phép chia đa thức cho đơn thức kết hợp nhân

Rút gọn biểu thức: a)

(5 x^{3} y^{2} - 4 x^{2} y^{3}) : 2 x^{2} y^{2} - (3 x^{2} y - 6 x y^{2}) : 3 x y

; b)

5 x^{2} y z^{3} : z^{2} - 3 x^{2} y^{3} z : x y - 2 x y z (x + y)

Kiến thức cần nhớ

Muốn chia đa thức cho đơn thức, chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức rồi cộng các kết quả.
Thực hiện phép tính theo đúng thứ tự: chia và nhân trước, cộng trừ sau; dấu trừ trước một cụm phải đổi dấu mọi hạng tử bên trong cụm đó.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho biểu thức gồm nhiều phép chia đa thức cho đơn thức nối với nhau bằng phép cộng trừ, có cả một phép nhân đơn thức với đa thức ở câu b, dấu hiệu của dạng rút gọn tổng hợp cần thực hiện đúng thứ tự các phép tính trước khi cộng trừ. Nên nhận ra mỗi đa thức bị chia đều có nhân tử chung với đơn thức chia, nhờ đó chia gọn ngay từng cụm mà không cần chia dài dòng từng hạng tử. Bẫy lớn nhất là dấu trừ đứng trước cả một cụm chia, dễ quên đổi dấu hạng tử thứ hai trong cụm đó.

1Cách 1. Chia trực tiếp từng hạng tử rồi cộng trừ kết quả

Chia từng hạng tử trong mỗi dấu ngoặc cho đơn thức tương ứng trước, giữ nguyên dấu trừ giữa hai cụm rồi mới cộng trừ kết quả.

(5 x^{3} y^{2} - 4 x^{2} y^{3}) : 2 x^{2} y^{2} - (3 x^{2} y - 6 x y^{2}) : 3 x y = (2, 5 x - 2 y) - (x - 2 y)

= 2, 5 x - 2 y - x + 2 y

= 1, 5 x

a) Vậy $(5 x^{3} y^{2} - 4 x^{2} y^{3}) : 2 x^{2} y^{2} - (3 x^{2} y - 6 x y^{2}) : 3 x y = 1, 5 x$ .

Với câu b, chia hạng tử đầu rồi chia và nhân phân phối hai hạng tử còn lại trước khi cộng trừ.

5 x^{2} y z^{3} : z^{2} - 3 x^{2} y^{3} z : x y - 2 x y z (x + y) = 5 x^{2} y z - 3 x y^{2} z - (2 x^{2} y z + 2 x y^{2} z)

= 5 x^{2} y z - 3 x y^{2} z - 2 x^{2} y z - 2 x y^{2} z

= 3 x^{2} y z - 5 x y^{2} z

b) Vậy $5 x^{2} y z^{3} : z^{2} - 3 x^{2} y^{3} z : x y - 2 x y z (x + y) = 3 x^{2} y z - 5 x y^{2} z$ .

2Cách 2. Đặt nhân tử chung trước khi chia để rút gọn nguyên khối

Đặt nhân tử chung của đa thức bị chia ra ngoài trước khi chia, rút gọn nguyên khối chỉ trong một bước thay vì chia từng hạng tử.

5 x^{3} y^{2} - 4 x^{2} y^{3} = x^{2} y^{2} (5 x - 4 y)

nên

(5 x^{3} y^{2} - 4 x^{2} y^{3}) : 2 x^{2} y^{2} = \frac{5 x - 4 y}{2}

;

3 x^{2} y - 6 x y^{2} = 3 x y (x - 2 y)

nên

(3 x^{2} y - 6 x y^{2}) : 3 x y = x - 2 y

\frac{5 x - 4 y}{2} - (x - 2 y) = \frac{5 x - 4 y}{2} - \frac{2 x - 4 y}{2} = \frac{5 x - 4 y - 2 x + 4 y}{2}

= \frac{3 x}{2} = 1, 5 x

a) Đặt nhân tử chung trước khi chia cũng cho $1, 5 x$ , khớp Cách 1.

b) sau khi chia và nhân phân phối như Cách 1 được

5 x^{2} y z - 3 x y^{2} z - 2 x^{2} y z - 2 x y^{2} z

, đặt nhân tử chung

x y z

x y z (5 x - 3 y - 2 x - 2 y)

= x y z (3 x - 5 y)

= 3 x^{2} y z - 5 x y^{2} z

b) Đặt nhân tử chung $x y z$ rồi rút gọn trong ngoặc cũng cho $3 x^{2} y z - 5 x y^{2} z$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử giá trị cụ thể để kiểm chứng

Thay $x = 2, y = 1$ (câu a) và thêm $z = 1$ (câu b) vào biểu thức gốc và kết quả đã rút gọn để kiểm chứng.

a) vế gốc:

(5 \cdot 8 \cdot 1 - 4 \cdot 4 \cdot 1) : (2 \cdot 4 \cdot 1) - (3 \cdot 4 \cdot 1 - 6 \cdot 2 \cdot 1) : (3 \cdot 2 \cdot 1) = 24 : 8 - 0 : 6 = 3 - 0 = 3

; vế rút gọn:

1, 5 \cdot 2 = 3

b) vế gốc:

5 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 1 : 1 - 3 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 1 : 2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (2 + 1) = 20 - 6 - 12 = 2

; vế rút gọn:

3 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 1 - 5 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 12 - 10 = 2

Cả hai câu, giá trị tại bộ số đã chọn đều khớp giữa biểu thức gốc và kết quả rút gọn.

Nhận xét. Thử số chỉ xác nhận kết quả cuối cùng chứ không phát hiện được lỗi quên đổi dấu ở bước trung gian nếu nó tình cờ vẫn triệt tiêu đúng, nên vẫn phải trình bày đầy đủ phép chia như Cách 1 hoặc Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 vì đặt nhân tử chung trước giúp phép chia gọn còn một bước, đỡ phải chia từng hạng tử riêng lẻ; Cách 3 nên dùng kiểm tra lại khi còn thời gian.

Đáp số. a)

1, 5 x

; b)

3 x^{2} y z - 5 x y^{2} z

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn quên đổi dấu hạng tử

- 6 x y^{2} : 3 x y = - 2 y

khi có dấu trừ đứng trước cả cụm ở câu a, viết nhầm kết quả cuối thành

0, 5 x - 2 y

thay vì đúng là

1, 5 x

(đã triệt tiêu hết

y

); ở câu b dễ quên nhân phân phối đủ hai hạng tử của

2 x y z (x + y)

, viết thiếu

- 2 x y^{2} z

nên ra

3 x^{2} y z - 3 x y^{2} z

thay vì đúng là

3 x^{2} y z - 5 x y^{2} z

🚀 Mở rộng. Nếu đổi dấu trừ giữa hai cụm ở câu a thành dấu cộng, biểu thức sẽ không còn triệt tiêu hoàn toàn hạng tử chứa

y

, kết quả tổng quát sẽ là

3, 5 x - 4 y

thay vì chỉ còn

1, 5 x

Nguồn: SBT Toán 8 KNTT tập 1

Mở bài này trong app ↗

Đối chiếu số hiệu bài tập theo SBT: https://vietjack.com/sbt-toan-8-kn/bai-5-phep-chia-da-thuc-cho-don-thuc.jsp · https://loigiaihay.com/bai-5-phep-chia-da-thuc-cho-don-thuc-sbt-toan-8-kntt-e32719.html