Chương II. Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

Bài 6. Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.1★★Trang 21— Nhận biết hằng đẳng thức bằng cách so sánh hai vế

Những đẳng thức nào sau đây là hằng đẳng thức? a)

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

; b)

3 x (2 x - 1) = 6 x^{2} + 3 x

; c)

2 (x - 1) = 4 x + 3

; d)

(2 y + 3) (y + 1) = 2 y^{2} + 5 y + 3

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức là đẳng thức đúng với mọi giá trị của biến có mặt trong đẳng thức.
Hiệu hai bình phương: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
Muốn kiểm tra một đẳng thức KHÔNG phải hằng đẳng thức, chỉ cần một giá trị của biến làm hai vế khác nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Một đẳng thức chứa biến chỉ là hằng đẳng thức khi hai vế bằng nhau với MỌI giá trị của biến, nên dấu hiệu để nhận ra là khai triển vế có dấu ngoặc rồi so sánh trực tiếp với vế còn lại. Câu a) và d) có dạng tích hai đa thức, khai triển bằng tính chất phân phối là hướng an toàn nhất vì không bỏ sót số hạng nào. Bẫy của bài nằm ở câu b) và c): nhìn qua tưởng đúng, nhưng chỉ cần khai triển hoặc thay một giá trị cụ thể là lộ ngay chỗ sai.

1Khai triển vế trái bằng tính chất phân phối rồi so sánh với vế phải

Định hướng. Khai triển vế có dấu ngoặc bằng tính chất phân phối, rồi so sánh trực tiếp với vế còn lại để xem hai vế có luôn bằng nhau hay không.

(a - b) (a + b) = a (a + b) - b (a + b)

= a^{2} + ab - ab - b^{2}

= a^{2} - b^{2}

Vế trái trùng vế phải với mọi

a, b

3 x (2 x - 1) = 6 x^{2} - 3 x

Vế phải của đề là

6 x^{2} + 3 x

, khác

6 x^{2} - 3 x

ở dấu số hạng

3 x

2 (x - 1) = 2 x - 2

Vế phải của đề là

4 x + 3

, khác

2 x - 2

với mọi

x

vì hai đa thức bậc nhất có hệ số khác nhau.

(2 y + 3) (y + 1) = 2 y (y + 1) + 3 (y + 1)

= 2 y^{2} + 2 y + 3 y + 3

= 2 y^{2} + 5 y + 3

Vế trái trùng vế phải với mọi

y

Vậy a) và d) là hằng đẳng thức; b) và c) không phải hằng đẳng thức.

2Xét hiệu hai vế, đưa về đa thức rút gọn

Định hướng. Chuyển đẳng thức về dạng $VT - VP$ ; đẳng thức là hằng đẳng thức khi và chỉ khi hiệu đó rút gọn về đúng $0$ với mọi giá trị của biến.

(a^{2} - b^{2}) - (a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2} - (a^{2} - b^{2}) = 0

Hiệu luôn bằng

0

nên a) là hằng đẳng thức.

(6 x^{2} + 3 x) - 3 x (2 x - 1) = 6 x^{2} + 3 x - 6 x^{2} + 3 x = 6 x

Hiệu bằng

6 x

, không đồng nhất bằng

0

nên b) không phải hằng đẳng thức.

(4 x + 3) - 2 (x - 1) = 4 x + 3 - 2 x + 2 = 2 x + 5

Hiệu bằng

2 x + 5

, không đồng nhất bằng

0

nên c) không phải hằng đẳng thức.

(2 y^{2} + 5 y + 3) - (2 y + 3) (y + 1) = 2 y^{2} + 5 y + 3 - (2 y^{2} + 5 y + 3) = 0

Hiệu luôn bằng

0

nên d) là hằng đẳng thức.

Vậy a) và d) là hằng đẳng thức; b) và c) không phải hằng đẳng thức, đúng như Cách 1.

3Thay giá trị cụ thể để loại nhanh, rồi khai triển tổng quát để khẳng định

Định hướng. Thay một giá trị cụ thể của biến chỉ giúp LOẠI những đẳng thức sai; muốn khẳng định một đẳng thức đúng với mọi giá trị vẫn phải khai triển tổng quát.

b) Thay

x = 1

: vế trái

3 \cdot 1 \cdot (2 - 1) = 3

, vế phải

6 + 3 = 9

;

3 \neq = 9

nên b) không phải hằng đẳng thức.

c) Thay

x = 0

: vế trái

2 \cdot (0 - 1) = - 2

, vế phải

4 \cdot 0 + 3 = 3

;

- 2 \neq = 3

nên c) không phải hằng đẳng thức.

a) Thay

a = 5, b = 2

: vế trái

25 - 4 = 21

, vế phải

(5 - 2) (5 + 2) = 3 \cdot 7 = 21

; hai vế bằng nhau tại bộ số này.

Khai triển tổng quát

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

đúng với mọi

a, b

nên a) là hằng đẳng thức.

d) Thay

y = 1

: vế trái

(2 + 3) (1 + 1) = 10

, vế phải

2 + 5 + 3 = 10

; hai vế bằng nhau tại bộ số này.

Khai triển tổng quát

(2 y + 3) (y + 1) = 2 y^{2} + 5 y + 3

đúng với mọi

y

nên d) là hằng đẳng thức.

Vậy a) và d) là hằng đẳng thức; b) và c) không phải hằng đẳng thức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: khai triển trực tiếp vừa chứng minh được hai câu đúng vừa chỉ rõ chỗ sai của hai câu còn lại, chỉ một lượt tính là xong cả bốn ý. Cách 3 dùng để kiểm tra nhanh lúc soát bài, không thay được bước khai triển tổng quát.

Đáp số. a) là hằng đẳng thức; b) không phải; c) không phải; d) là hằng đẳng thức.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chỉ thay MỘT giá trị của biến vào rồi vội kết luận đẳng thức luôn đúng — ví dụ thay

x = 1

vào câu c):

2 (1 - 1) = 0

và

4 \cdot 1 + 3 = 7

đã thấy sai nên loại được, nhưng nếu lỡ thay đúng nghiệm của phương trình

2 x - 2 = 4 x + 3

(tức

x = - 2, 5

) thì hai vế lại bằng nhau, dễ ngộ nhận là hằng đẳng thức trong khi thực chất chỉ đúng tại đúng một giá trị đó.

🚀 Mở rộng. Đổi câu b) thành

3 x (2 x - 1) = 6 x^{2} - 3 x

(sửa đúng dấu) thì đẳng thức mới trở thành hằng đẳng thức, cho thấy chỉ cần lệch đúng một dấu là một đẳng thức có thể chuyển từ sai sang đúng với mọi biến.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.2★Trang 21— Khai triển bình phương của một tổng hoặc một hiệu

Khai triển: a)

(3 x + 1)^{2}

; b)

(2 y + 3 x)^{2}

; c)

(2 x - 3)^{2}

; d)

(3 y - x)^{2}

Kiến thức cần nhớ

Bình phương của một tổng: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ .
Bình phương của một hiệu: $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ .
Bình phương của một tích: $(k x)^{2} = k^{2} x^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn biểu thức đều có dạng bình phương của một nhị thức, dấu hiệu nhận ra ngay là cặp ngoặc mũ

2

. Với dấu

+

bên trong dùng hằng đẳng thức bình phương của một tổng, với dấu

-

dùng bình phương của một hiệu — chỉ cần xác định đúng vai trò của

a

và

b

trong từng ngoặc. Bẫy hay gặp là quên nhân đôi số

2

ở hạng tử giữa, hoặc nhầm dấu khi khai triển bình phương của một hiệu.

1Nhân đa thức với chính nó theo tính chất phân phối

Định hướng. Viết bình phương thành tích của biểu thức với chính nó rồi nhân đa thức với đa thức theo tính chất phân phối, chưa cần dùng hằng đẳng thức đã thuộc.

(3 x + 1)^{2} = (3 x + 1) (3 x + 1)

= 3 x (3 x + 1) + 1 (3 x + 1)

= 9 x^{2} + 3 x + 3 x + 1

= 9 x^{2} + 6 x + 1

(2 y + 3 x)^{2} = (2 y + 3 x) (2 y + 3 x)

= 2 y (2 y + 3 x) + 3 x (2 y + 3 x)

= 4 y^{2} + 6 x y + 6 x y + 9 x^{2}

= 4 y^{2} + 12 x y + 9 x^{2}

(2 x - 3)^{2} = (2 x - 3) (2 x - 3)

= 2 x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3)

= 4 x^{2} - 6 x - 6 x + 9

= 4 x^{2} - 12 x + 9

(3 y - x)^{2} = (3 y - x) (3 y - x)

= 3 y (3 y - x) - x (3 y - x)

= 9 y^{2} - 3 x y - 3 x y + x^{2}

= 9 y^{2} - 6 x y + x^{2}

Vậy a) $= 9 x^{2} + 6 x + 1$ ; b) $= 4 y^{2} + 12 x y + 9 x^{2}$ ; c) $= 4 x^{2} - 12 x + 9$ ; d) $= 9 y^{2} - 6 x y + x^{2}$ .

2Áp dụng trực tiếp hằng đẳng thức bình phương của một tổng, một hiệu

Định hướng. Xác định đúng $a$ , $b$ trong mỗi ngoặc rồi thế thẳng vào công thức $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$ , không cần nhân phân phối từng bước.

a = 3 x, b = 1

(3 x + 1)^{2} = (3 x)^{2} + 2 \cdot 3 x \cdot 1 + 1^{2} = 9 x^{2} + 6 x + 1

a = 2 y, b = 3 x

(2 y + 3 x)^{2} = (2 y)^{2} + 2 \cdot 2 y \cdot 3 x + (3 x)^{2} = 4 y^{2} + 12 x y + 9 x^{2}

a = 2 x, b = 3

(2 x - 3)^{2} = (2 x)^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot 3 + 3^{2} = 4 x^{2} - 12 x + 9

a = 3 y, b = x

(3 y - x)^{2} = (3 y)^{2} - 2 \cdot 3 y \cdot x + x^{2} = 9 y^{2} - 6 x y + x^{2}

Bốn kết quả trùng khớp với Cách 1: $9 x^{2} + 6 x + 1$ ; $4 y^{2} + 12 x y + 9 x^{2}$ ; $4 x^{2} - 12 x + 9$ ; $9 y^{2} - 6 x y + x^{2}$ .

3Thay giá trị số cụ thể để kiểm tra lại kết quả khai triển

Định hướng. Thay một cặp giá trị số vào biến ở cả hai vế; nếu hai vế cho cùng một số thì kết quả khai triển đáng tin, dùng làm bước kiểm tra cuối cùng chứ không thay cho bước khai triển.

a) Tại

x = 1

(3 \cdot 1 + 1)^{2} = 16

; và

9 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 + 1 = 16

, khớp.

b) Tại

x = 1, y = 1

(2 + 3)^{2} = 25

; và

4 + 12 + 9 = 25

, khớp.

c) Tại

x = 1

(2 - 3)^{2} = 1

; và

4 - 12 + 9 = 1

, khớp.

d) Tại

x = 1, y = 1

(3 - 1)^{2} = 4

; và

9 - 6 + 1 = 4

, khớp.

Cả bốn kết quả đều khớp, xác nhận Cách 1 và Cách 2 khai triển đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: thuộc công thức

(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}

rồi thế trực tiếp cho lời giải ngắn nhất, ít bước tính hơn hẳn Cách 1. Cách 3 chỉ nên làm nhẩm trong đầu để tự kiểm tra, không cần viết vào bài.

Đáp số. a)

9 x^{2} + 6 x + 1

; b)

4 y^{2} + 12 x y + 9 x^{2}

; c)

4 x^{2} - 12 x + 9

; d)

9 y^{2} - 6 x y + x^{2}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn khai triển

(2 x - 3)^{2}

thành

4 x^{2} - 6 x + 9

vì quên nhân đôi số

2

ở hạng tử giữa (đúng ra là

2 \cdot 2 x \cdot 3 = 12 x

chứ không phải

6 x

), dẫn tới sai cả câu c). Một lỗi khác là quên đổi dấu hạng tử giữa khi khai triển bình phương của một hiệu, viết nhầm

(3 y - x)^{2} = 9 y^{2} + 6 x y + x^{2}

🚀 Mở rộng. Tổng quát với hệ số bất kỳ:

(m x + n y)^{2} = m^{2} x^{2} + 2 mn x y + n^{2} y^{2}

, áp dụng được cho mọi cặp hệ số

m, n

chứ không riêng các số đã cho trong bài.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.3★★Trang 21— Phân tích đa thức thành nhân tử bằng hằng đẳng thức (chiều ngược)

Viết các biểu thức sau dưới dạng tích: a)

4 x^{2} + 12 x + 9

; b)

16 x^{2} - 8 x y + y^{2}

; c)

81 x^{2} y^{2} - 16 z^{2}

Kiến thức cần nhớ

Bình phương của một tổng (đọc ngược): $a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ .
Bình phương của một hiệu (đọc ngược): $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ .
Hiệu hai bình phương (đọc ngược): $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba biểu thức đều có ba hoặc hai hạng tử là những bình phương và tích gấp đôi, đó là dấu hiệu của hằng đẳng thức đọc theo chiều ngược: từ tổng/hiệu ba hạng tử quay về bình phương một nhị thức, hoặc từ hiệu hai bình phương quay về tích. Việc đầu tiên là nhận ra

a^{2}

và

b^{2}

trong từng biểu thức bằng cách khai căn bậc hai của hạng tử đầu và hạng tử cuối. Bẫy là câu b) và c) có hai biến, dễ gán nhầm vai trò

a

b

nếu không viết rõ căn bậc hai của từng hạng tử trước.

1Nhận diện trực tiếp

a

b

rồi viết thẳng theo hằng đẳng thức

Định hướng. Lấy căn bậc hai của hạng tử đầu và hạng tử cuối để xác định $a$ , $b$ , rồi kiểm tra hạng tử giữa có đúng bằng $2 ab$ hay không trước khi viết kết quả.

4 x^{2} = (2 x)^{2}

9 = 3^{2}

, và

12 x = 2 \cdot 2 x \cdot 3

nên

4 x^{2} + 12 x + 9 = (2 x)^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot 3 + 3^{2}

= (2 x + 3)^{2}

16 x^{2} = (4 x)^{2}

y^{2} = y^{2}

, và

8 x y = 2 \cdot 4 x \cdot y

nên

16 x^{2} - 8 x y + y^{2} = (4 x)^{2} - 2 \cdot 4 x \cdot y + y^{2}

= (4 x - y)^{2}

81 x^{2} y^{2} = (9 x y)^{2}

16 z^{2} = (4 z)^{2}

nên

81 x^{2} y^{2} - 16 z^{2} = (9 x y)^{2} - (4 z)^{2}

= (9 x y - 4 z) (9 x y + 4 z)

Vậy a) $= (2 x + 3)^{2}$ ; b) $= (4 x - y)^{2}$ ; c) $= (9 x y - 4 z) (9 x y + 4 z)$ .

2Đặt ẩn phụ đưa về một biến rồi áp dụng hằng đẳng thức

Định hướng. Đặt ẩn phụ cho hạng tử bình phương để biểu thức chỉ còn một cặp ẩn, việc nhận ra hằng đẳng thức trở nên rõ ràng hơn, sau đó thay ngược lại.

a) Đặt

u = 2 x

4 x^{2} + 12 x + 9 = u^{2} + 6 x + 9

; mà

6 x = 2 \cdot u \cdot 3

nên

= u^{2} + 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2} = (u + 3)^{2}

Thay

u = 2 x

trở lại:

4 x^{2} + 12 x + 9 = (2 x + 3)^{2}

b) Đặt

u = 4 x

16 x^{2} - 8 x y + y^{2} = u^{2} - 2 u y + y^{2} = (u - y)^{2}

Thay

u = 4 x

trở lại:

16 x^{2} - 8 x y + y^{2} = (4 x - y)^{2}

c) Đặt

u = 9 x y, v = 4 z

81 x^{2} y^{2} - 16 z^{2} = u^{2} - v^{2} = (u - v) (u + v)

Thay

u = 9 x y, v = 4 z

trở lại:

81 x^{2} y^{2} - 16 z^{2} = (9 x y - 4 z) (9 x y + 4 z)

Kết quả trùng Cách 1: a) $(2 x + 3)^{2}$ ; b) $(4 x - y)^{2}$ ; c) $(9 x y - 4 z) (9 x y + 4 z)$ .

3Nhân ngược kết quả để kiểm tra lại với đa thức ban đầu

Định hướng. Sau khi có kết quả dạng tích, nhân ngược lại; nếu ra đúng đa thức đề bài thì phép phân tích chắc chắn đúng.

(2 x + 3)^{2} = (2 x)^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot 3 + 3^{2} = 4 x^{2} + 12 x + 9

, khớp đề bài.

(4 x - y)^{2} = (4 x)^{2} - 2 \cdot 4 x \cdot y + y^{2} = 16 x^{2} - 8 x y + y^{2}

, khớp đề bài.

(9 x y - 4 z) (9 x y + 4 z) = (9 x y)^{2} - (4 z)^{2} = 81 x^{2} y^{2} - 16 z^{2}

, khớp đề bài.

Cả ba kết quả nhân ngược đều khớp đúng đa thức ban đầu, xác nhận Cách 1 và Cách 2 đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lấy căn hạng tử đầu-cuối rồi thử hạng tử giữa là thao tác nhanh nhất, không phải viết thêm bước đặt ẩn phụ. Cách 3 nên tranh thủ làm nhẩm để tự tin trước khi nộp bài.

Đáp số. a)

4 x^{2} + 12 x + 9 = (2 x + 3)^{2}

; b)

16 x^{2} - 8 x y + y^{2} = (4 x - y)^{2}

; c)

81 x^{2} y^{2} - 16 z^{2} = (9 x y - 4 z) (9 x y + 4 z)

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn thấy

4 x^{2} + 12 x + 9

có ba hạng tử liền cho luôn là

(2 x + 3)^{2}

mà không kiểm tra hạng tử giữa, dẫn tới áp dụng sai công thức cho những đa thức tương tự nhưng hạng tử giữa không khớp, ví dụ

4 x^{2} + 10 x + 9

không viết được thành bình phương của một nhị thức vì

10 x \neq = 2 \cdot 2 x \cdot 3 = 12 x

🚀 Mở rộng. Đổi câu c) thành

81 x^{4} y^{2} - 16 z^{2}

thì

a = 9 x^{2} y

thay vì

9 x y

, kết quả trở thành

(9 x^{2} y - 4 z) (9 x^{2} y + 4 z)

— cho thấy kĩ năng lấy căn bậc hai đúng của hạng tử đầu quan trọng hơn việc nhớ máy móc công thức.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.4★★Trang 21— Tính nhanh bằng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương và bình phương của một tổng

Tính nhanh: a)

997 \cdot 1003

; b)

100 4^{2}

Kiến thức cần nhớ

Hiệu hai bình phương: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ , áp dụng ngược để tính nhanh tích hai số đối xứng quanh một số tròn.
Bình phương của một tổng: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai số đều nằm sát một số tròn nghìn (

1000

), đó là dấu hiệu nên đưa về dạng

(1000 - k) (1000 + k)

hoặc

(1000 + k)^{2}

thay vì nhân trực tiếp hai số lớn. Chọn hướng hằng đẳng thức vì phép nhân hai số bốn chữ số dễ sai sót, còn quy về

100 0^{2}

thì chỉ cộng trừ vài số nhỏ là ra ngay. Bẫy của câu a) là

997

và

1003

không đối xứng quanh một số tròn nếu không nhận ra

1000 - 3 = 997

và

1000 + 3 = 1003

1Nhân trực tiếp theo cách phân phối thông thường

Định hướng. Tách một thừa số thành tổng của số tròn nghìn và phần dư, rồi nhân phân phối như phép nhân thông thường, chưa cần nhận ra hằng đẳng thức.

997 \cdot 1003 = 997 \cdot (1000 + 3)

= 997 \cdot 1000 + 997 \cdot 3

= 997000 + 2991

= 999991

100 4^{2} = 1004 \cdot (1000 + 4)

= 1004 \cdot 1000 + 1004 \cdot 4

= 1004000 + 4016

= 1008016

Vậy $997 \cdot 1003 = 999991$ và $100 4^{2} = 1008016$ .

2Đưa về hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, bình phương của một tổng

Định hướng. Nhận ra $997$ và $1003$ đối xứng quanh $1000$ , còn $1004$ là $1000$ cộng thêm $4$ , rồi áp dụng thẳng hằng đẳng thức để chỉ còn cộng trừ các số tròn.

997 \cdot 1003 = (1000 - 3) (1000 + 3)

= 100 0^{2} - 3^{2}

= 1000000 - 9

= 999991

100 4^{2} = (1000 + 4)^{2}

= 100 0^{2} + 2 \cdot 1000 \cdot 4 + 4^{2}

= 1000000 + 8000 + 16

= 1008016

Kết quả trùng Cách 1: $997 \cdot 1003 = 999991$ và $100 4^{2} = 1008016$ .

3Nhân trực tiếp bằng máy tính cầm tay để đối chiếu

Định hướng. Bấm trực tiếp phép nhân trên máy tính cầm tay để kiểm tra lại kết quả đã tính bằng hằng đẳng thức, chỉ dùng ở bước soát bài chứ không thay cho lời giải chính.

a) Bấm

997 \times 1003

trên máy tính, màn hình hiện

999991

, khớp Cách 2.

b) Bấm

1004 x^{2}

trên máy tính, màn hình hiện

1008016

, khớp Cách 2.

Cả hai kết quả bấm máy đều khớp, xác nhận $997 \cdot 1003 = 999991$ và $100 4^{2} = 1008016$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đưa về hằng đẳng thức chỉ còn phép cộng trừ số tròn, nhanh và khó sai hơn hẳn Cách 1 phải nhân số có bốn chữ số. Cách 3 (máy tính) chỉ dùng để soát lại khi còn thời gian, đề thường yêu cầu trình bày cách tính nhanh nên không được thay bằng bấm máy.

Đáp số. a)

997 \cdot 1003 = 999991

; b)

100 4^{2} = 1008016

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn tách

997 \cdot 1003 = (1000 - 3) (1000 + 3)

nhưng lại tính

100 0^{2} - 3^{2} = 1000000 - 6 = 999994

do nhầm

3^{2}

với

2 \times 3

; đúng ra

3^{2} = 9

nên kết quả phải là

1000000 - 9 = 999991

. Lỗi khác ở câu b) là quên hạng tử giữa

2 \cdot 1000 \cdot 4

, viết tắt

100 4^{2} = 100 0^{2} + 4^{2} = 1000016

, thiếu mất

8000

🚀 Mở rộng. Tổng quát công thức tính nhanh: với số

N

gần một số tròn

m

, viết

N = m \pm k

(

k

nhỏ) thì

N^{2} = m^{2} \pm 2 mk + k^{2}

và

(m - k) (m + k) = m^{2} - k^{2}

; áp dụng được cho bất kỳ số nào gần số tròn, ví dụ

998 \cdot 1002 = (1000 - 2) (1000 + 2) = 999996

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.5★★★Trang 21— Rút gọn biểu thức bằng hằng đẳng thức

Rút gọn biểu thức: a)

2 (x - y) (x + y) + (x + y)^{2} + (x - y)^{2}

; b)

(x - y - z)^{2} - (x - y)^{2} + 2 (x - y) z

Kiến thức cần nhớ

Bình phương của một tổng: $(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$ .
Bình phương của một hiệu: $(A - B)^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$ .
Có thể coi cả một cụm biểu thức (không chỉ một chữ) là $A$ hoặc $B$ trong hằng đẳng thức.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai biểu thức đều xuất hiện đúng ba số hạng theo mẫu

A^{2} + 2 A B + B^{2}

, chỉ khác là

A

B

ở đây không phải một chữ đơn lẻ mà là cả một cụm

(x - y)

(x + y)

hay

(x - y - z)

. Dấu hiệu để chọn hướng rút gọn nhanh là nhận ra cụm nào đóng vai

A

, cụm nào đóng vai

B

rồi áp dụng thẳng công thức thay vì khai triển toàn bộ. Bẫy của câu b) là dấu trừ giữa ba cụm dễ làm nhầm vai trò

A

B

nếu không tách rõ

(x - y - z) = (x - y) - z

trước.

1Khai triển toàn bộ từng hạng tử rồi cộng gộp

Định hướng. Khai triển đầy đủ mỗi hạng tử theo hằng đẳng thức cơ bản, sau đó gộp các hạng tử đồng dạng để rút gọn.

2 (x - y) (x + y) = 2 (x^{2} - y^{2}) = 2 x^{2} - 2 y^{2}

(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}

(x - y)^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}

Cộng cả ba:

2 x^{2} - 2 y^{2} + x^{2} + 2 x y + y^{2} + x^{2} - 2 x y + y^{2}

= (2 x^{2} + x^{2} + x^{2}) + (- 2 y^{2} + y^{2} + y^{2}) + (2 x y - 2 x y)

= 4 x^{2}

(x - y - z)^{2} = [(x - y) - z]^{2} = (x - y)^{2} - 2 (x - y) z + z^{2}

Thay vào biểu thức:

(x - y)^{2} - 2 (x - y) z + z^{2} - (x - y)^{2} + 2 (x - y) z

= [(x - y)^{2} - (x - y)^{2}] + [- 2 (x - y) z + 2 (x - y) z] + z^{2}

= z^{2}

Vậy a) rút gọn còn $4 x^{2}$ ; b) rút gọn còn $z^{2}$ .

2Đặt ẩn phụ để lộ ra hằng đẳng thức

(A + B)^{2}

Định hướng. Đặt cả cụm $(x - y)$ và $(x + y)$ thành hai ẩn phụ, biểu thức trở đúng dạng $A^{2} + 2 A B + B^{2}$ nên viết gọn ngay thành bình phương của một tổng.

a) Đặt

A = x - y, B = x + y

: biểu thức thành

A^{2} + 2 A B + B^{2} = (A + B)^{2}

A + B = (x - y) + (x + y) = 2 x

(A + B)^{2} = (2 x)^{2} = 4 x^{2}

b) Đặt

A = x - y

: biểu thức thành

(A - z)^{2} - A^{2} + 2 A z

= A^{2} - 2 A z + z^{2} - A^{2} + 2 A z = z^{2}

Đặt ẩn phụ cho cùng kết quả với Cách 1: a) $4 x^{2}$ ; b) $z^{2}$ .

3Thay giá trị số cụ thể để kiểm tra lại kết quả rút gọn

Định hướng. Thay một bộ số cụ thể vào biến ở cả biểu thức gốc và kết quả rút gọn; hai bên cho cùng một số thì kết quả đáng tin.

a) Tại

x = 3, y = 1

: biểu thức gốc

2 \cdot 2 \cdot 4 + 4^{2} + 2^{2} = 16 + 16 + 4 = 36

; kết quả rút gọn

4 \cdot 3^{2} = 36

, khớp.

b) Tại

x = 5, y = 2, z = 1

: biểu thức gốc

(5 - 2 - 1)^{2} - (5 - 2)^{2} + 2 (5 - 2) \cdot 1 = 4 - 9 + 6 = 1

; kết quả rút gọn

1^{2} = 1

, khớp.

Cả hai phép thử đều khớp, xác nhận a) $= 4 x^{2}$ và b) $= z^{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đặt ẩn phụ biến biểu thức cồng kềnh thành đúng mẫu

A^{2} + 2 A B + B^{2}

nên chỉ mất vài dòng, ngắn hơn hẳn Cách 1 phải khai triển hết mọi hạng tử. Cách 3 chỉ để soát lại kết quả.

Đáp số. a)

2 (x - y) (x + y) + (x + y)^{2} + (x - y)^{2} = 4 x^{2}

; b)

(x - y - z)^{2} - (x - y)^{2} + 2 (x - y) z = z^{2}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn khai triển

(x + y)^{2} + (x - y)^{2}

rồi quên cộng thêm số hạng

2 (x - y) (x + y)

đứng trước, dẫn tới thiếu hẳn

2 x^{2} - 2 y^{2}

trong tổng và ra kết quả sai

2 x^{2} + 2 y^{2}

. Ở câu b), lỗi hay gặp là khai triển

(x - y - z)^{2}

thành

x^{2} - y^{2} - z^{2}

(bỏ qua các hạng tử chéo

- 2 x y, - 2 x z, 2 y z

), làm sai toàn bộ phần còn lại.

🚀 Mở rộng. Tổng quát câu a): với mọi biểu thức

A

B

thì

2 A B + A^{2} + B^{2}

luôn rút gọn về

(A + B)^{2}

, không phụ thuộc

A

B

là một chữ hay cả một cụm phức tạp.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.6★★★Trang 21— Chứng minh tính chia hết bằng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương

a) Biết số tự nhiên

a

chia

3

dư

2

. Chứng minh rằng

a^{2}

chia

3

dư

1

. b) Biết số tự nhiên

a

chia

5

dư

3

. Chứng minh rằng

a^{2}

chia

5

dư

4

Kiến thức cần nhớ

Số tự nhiên chia $m$ dư $r$ viết được dưới dạng $a = mn + r$ với $n \in N$ , $0 \leq r < m$ .
Hiệu hai bình phương: $a^{2} - k^{2} = (a - k) (a + k)$ .
Nếu $a^{2} - k^{2}$ chia hết cho $m$ thì $a^{2}$ và $k^{2}$ có cùng số dư khi chia cho $m$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho số dư của

a

khi chia cho

3

(hoặc

5

), yêu cầu chứng minh số dư của

a^{2}

, đó là dấu hiệu của dạng toán viết

a

theo công thức chia có dư rồi xét

a^{2}

theo đúng số chia đó. Vì bài nằm trong chương hằng đẳng thức, hướng thông minh là đưa

a^{2}

trừ đi đúng số dư cần chứng minh về dạng hiệu hai bình phương

(a - k) (a + k)

để lộ ra thừa số chia hết ngay, thay vì khai triển toàn bộ

a^{2}

. Bẫy là chọn sai

k

: phải chọn

k

đúng bằng căn của số dư đích (chọn

k = 1

cho câu a,

k = 2

cho câu b vì

4 = 2

) chứ không phải số dư của

a

1Đặt

a = mn + r

rồi khai triển trực tiếp

a^{2}

Định hướng. Viết $a$ theo đúng dạng chia có dư, khai triển $a^{2}$ bằng hằng đẳng thức bình phương của một tổng rồi tách phần chia hết ra khỏi phần dư.

a

chia

3

dư

2

nên

a = 3 n + 2

với

n \in N

a^{2} = (3 n + 2)^{2} = 9 n^{2} + 12 n + 4

= 9 n^{2} + 12 n + 3 + 1

= 3 (3 n^{2} + 4 n + 1) + 1

Vì

3 (3 n^{2} + 4 n + 1)

chia hết cho

3

nên

a^{2}

chia

3

dư

1

a

chia

5

dư

3

nên

a = 5 n + 3

với

n \in N

a^{2} = (5 n + 3)^{2} = 25 n^{2} + 30 n + 9

= 25 n^{2} + 30 n + 5 + 4

= 5 (5 n^{2} + 6 n + 1) + 4

Vì

5 (5 n^{2} + 6 n + 1)

chia hết cho

5

nên

a^{2}

chia

5

dư

4

Vậy a) $a^{2}$ chia $3$ dư $1$ ; b) $a^{2}$ chia $5$ dư $4$ .

2Dùng hiệu hai bình phương

a^{2} - k^{2} = (a - k) (a + k)

để lộ thừa số chia hết

Định hướng. Trừ $a^{2}$ cho đúng bình phương của số dư cần chứng minh rồi đưa về hiệu hai bình phương; nếu hiệu đó chia hết thì $a^{2}$ có đúng số dư như đề yêu cầu.

a = 3 n + 2

; xét

a^{2} - 1 = (a - 1) (a + 1)

a - 1 = 3 n + 1

a + 1 = 3 n + 3 = 3 (n + 1)

a^{2} - 1 = (3 n + 1) \cdot 3 (n + 1) = 3 (n + 1) (3 n + 1)

a^{2} - 1

chia hết cho

3

nên

a^{2}

chia

3

dư

1

a = 5 n + 3

; xét

a^{2} - 4 = (a - 2) (a + 2)

a - 2 = 5 n + 1

a + 2 = 5 n + 5 = 5 (n + 1)

a^{2} - 4 = (5 n + 1) \cdot 5 (n + 1) = 5 (n + 1) (5 n + 1)

a^{2} - 4

chia hết cho

5

nên

a^{2}

chia

5

dư

4

Kết quả trùng Cách 1: a) $a^{2}$ chia $3$ dư $1$ ; b) $a^{2}$ chia $5$ dư $4$ .

3Lập bảng xét đủ mọi số dư có thể của

a

để thấy toàn cảnh

Định hướng. Xét tất cả các trường hợp số dư có thể có của $a$ , không chỉ riêng trường hợp đề cho, để thấy vì sao chỉ đúng một số dư của $a$ mới cho ra kết luận của đề.

a

chia

3

có ba khả năng dư

r \in {0; 1; 2}

, viết

a = 3 n + r

r = 0

a^{2} = (3 n)^{2} = 3 \cdot 3 n^{2}

, chia

3

dư

0

r = 1

a^{2} = (3 n + 1)^{2} = 3 (3 n^{2} + 2 n) + 1

, chia

3

dư

1

r = 2

a^{2} = (3 n + 2)^{2} = 3 (3 n^{2} + 4 n + 1) + 1

, chia

3

dư

1

Đúng với

r = 2

như đề cho,

a^{2}

chia

3

dư

1

a

chia

5

dư

r = 3

a^{2} = (5 n + 3)^{2} = 5 (5 n^{2} + 6 n + 1) + 4

, chia

5

dư

4

, khớp đề bài.

Bảng đủ các trường hợp xác nhận: a) $a^{2}$ chia $3$ dư $1$ ; b) $a^{2}$ chia $5$ dư $4$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: xét

a^{2} - k^{2} = (a - k) (a + k)

khớp ngay với tên chương Hiệu hai bình phương, lời giải chỉ ba dòng và không phải khai triển bình phương cồng kềnh như Cách 1.

Đáp số. a)

a^{2}

chia

3

dư

1

; b)

a^{2}

chia

5

dư

4

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn viết

a = 3 n + 2

rồi tính

a^{2} = 9 n^{2} + 4

(quên hẳn hạng tử giữa

12 n

khi khai triển bình phương của một tổng), từ đó kết luận SAI LUẬN CỨ dù đáp số tình cờ vẫn đúng (bỏ mất

12 n

là bội của

3

nên không đổi số dư). Kiểm tra bằng

a = 5

(ứng

n = 1

a^{2} = 25 \neq = 9 \cdot 1 + 4 = 13

, lộ ngay chỗ tính thiếu.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: nếu

a

chia

m

dư

r

thì

a^{2}

chia

m

dư đúng bằng số dư của

r^{2}

khi chia cho

m

— ở câu a)

r = 2

nên

r^{2} = 4

chia

3

dư

1

; ở câu b)

r = 3

nên

r^{2} = 9

chia

5

dư

4

, khớp cả hai kết quả đã chứng minh.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.7★★★★Trang 21— Tính

a + b

a - b

từ

a^{2} + b^{2}

và

ab

bằng hằng đẳng thức

Cho hai số

a, b > 0

sao cho

a > b

a^{2} + b^{2} = 8

và

ab = 2

. Hãy tính giá trị của: a)

a + b

; b)

a - b

Kiến thức cần nhớ

Bình phương của một tổng: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ .
Bình phương của một hiệu: $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ .
Nếu $a, b > 0$ thì $a + b > 0$ ; nếu $a > b$ thì $a - b > 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ cho

a^{2} + b^{2}

và

ab

chứ không cho riêng

a

b

, đó là dấu hiệu phải dùng hằng đẳng thức để ghép

a^{2} + b^{2}

với

2 ab

thành

(a + b)^{2}

hoặc

(a - b)^{2}

thay vì tìm

a

b

riêng lẻ trước. Chọn dấu

+

hay

-

khi khai căn phải dựa vào điều kiện

a, b > 0

và

a > b

đã cho, không được lấy tuỳ ý cả hai dấu. Bẫy lớn nhất là quên đối chiếu điều kiện dấu, dẫn tới lấy nhầm nghiệm âm.

1Ghép trực tiếp

a^{2} + b^{2}

với

2 ab

theo từng hằng đẳng thức

Định hướng. Cộng $2 ab$ vào $a^{2} + b^{2}$ để được $(a + b)^{2}$ , trừ $2 ab$ để được $(a - b)^{2}$ , rồi khai căn và chọn đúng dấu theo điều kiện đề cho.

(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab = 8 + 2 \cdot 2 = 12

a + b = 12 = 23

hoặc

a + b = - 23

Vì

a, b > 0

nên

a + b > 0

, do đó

a + b = 23

(a - b)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab = 8 - 2 \cdot 2 = 4

a - b = 2

hoặc

a - b = - 2

Vì

a > b

nên

a - b > 0

, do đó

a - b = 2

Vậy a) $a + b = 23$ ; b) $a - b = 2$ .

2Đổi biến tổng-hiệu, giải hệ bằng phép cộng trừ hai phương trình

Định hướng. Đặt $s = a + b$ , $p = a - b$ , biểu diễn $a^{2} + b^{2}$ và $ab$ theo $s, p$ để được một hệ phương trình mới, rồi cộng-trừ hai phương trình đó để khử biến.

Đặt

s = a + b, p = a - b

; ta có

s^{2} + p^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})

và

s^{2} - p^{2} = 4 ab

Thay

a^{2} + b^{2} = 8, ab = 2

s^{2} + p^{2} = 16

và

s^{2} - p^{2} = 8

Cộng hai phương trình:

2 s^{2} = 24 \Leftrightarrow s^{2} = 12

Trừ hai phương trình:

2 p^{2} = 8 \Leftrightarrow p^{2} = 4

Vì

a, b > 0

nên

s = a + b > 0

, do đó

s = 23

Vì

a > b

nên

p = a - b > 0

, do đó

p = 2

Đổi biến cho cùng kết quả với Cách 1: a) $a + b = 23$ ; b) $a - b = 2$ .

3Tìm cụ thể

a

b

rồi thay ngược lại kiểm tra

Định hướng. Từ hai kết quả $a + b$ và $a - b$ vừa tìm được, cộng và trừ hai đẳng thức đó để ra $a$ , $b$ cụ thể, sau đó thay lại giả thiết ban đầu để kiểm chứng.

Từ

a + b = 23

và

a - b = 2

, cộng hai vế:

2 a = 23 + 2 \Leftrightarrow a = 3 + 1

Trừ hai vế:

2 b = 23 - 2 \Leftrightarrow b = 3 - 1

Kiểm tra:

ab = (3 + 1) (3 - 1) = 3 - 1 = 2

, khớp giả thiết

ab = 2

Kiểm tra:

a^{2} + b^{2} = (3 + 1)^{2} + (3 - 1)^{2} = (4 + 23) + (4 - 23) = 8

, khớp giả thiết

a^{2} + b^{2} = 8

Cả hai điều kiện đều khớp, xác nhận a) $a + b = 23$ ; b) $a - b = 2$ (với $a = 3 + 1, b = 3 - 1$ ).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ hai dòng cộng/trừ

2 ab

vào

a^{2} + b^{2}

là ra ngay đáp số, không cần đổi biến hay tìm

a, b

cụ thể như Cách 2, Cách 3. Cách 3 hữu ích khi đề hỏi thêm giá trị cụ thể của

a

b

Đáp số. a)

a + b = 23

; b)

a - b = 2

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn tính

(a + b)^{2} = 12

rồi lấy cả hai giá trị

a + b = \pm 23

mà không đối chiếu điều kiện

a, b > 0

, dẫn tới đáp số có hai trường hợp trong khi đề chỉ có đúng một nghiệm hợp lệ. Lỗi khác là nhầm dấu cộng trừ khi ghép: viết

(a - b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab = 12

thay vì phải TRỪ

2 ab

, ra sai

a - b = 23

🚀 Mở rộng. Tổng quát: biết

a^{2} + b^{2} = S

và

ab = P

với

a, b > 0, a > b

thì luôn tính được

a + b = S + 2 P

và

a - b = S - 2 P

mà không cần giải phương trình bậc hai tìm

a

b

riêng lẻ.

Mở bài này trong app ↗