Chương II. Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

Bài 6. Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngII #SáchBàiTập_Tập1 #trang21 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.1★★Trang 21— Nhận biết hằng đẳng thức bằng cách so sánh hai vế

Những đẳng thức nào sau đây là hằng đẳng thức? a)

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

; b)

3 x (2 x - 1) = 6 x^{2} + 3 x

; c)

2 (x - 1) = 4 x + 3

; d)

(2 y + 3) (y + 1) = 2 y^{2} + 5 y + 3

Kiến thức cần nhớ

Hằng đẳng thức là đẳng thức đúng với mọi giá trị của biến có mặt trong đẳng thức.
Hiệu hai bình phương: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
Muốn kiểm tra một đẳng thức KHÔNG phải hằng đẳng thức, chỉ cần một giá trị của biến làm hai vế khác nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Một đẳng thức chứa biến chỉ là hằng đẳng thức khi hai vế bằng nhau với MỌI giá trị của biến, nên dấu hiệu để nhận ra là khai triển vế có dấu ngoặc rồi so sánh trực tiếp với vế còn lại. Câu a) và d) có dạng tích hai đa thức, khai triển bằng tính chất phân phối là hướng an toàn nhất vì không bỏ sót số hạng nào. Bẫy của bài nằm ở câu b) và c): nhìn qua tưởng đúng, nhưng chỉ cần khai triển hoặc thay một giá trị cụ thể là lộ ngay chỗ sai.

1Khai triển vế trái bằng tính chất phân phối rồi so sánh với vế phải

Định hướng. Khai triển vế có dấu ngoặc bằng tính chất phân phối, rồi so sánh trực tiếp với vế còn lại để xem hai vế có luôn bằng nhau hay không.

(a - b) (a + b) = a (a + b) - b (a + b)

= a^{2} + ab - ab - b^{2}

= a^{2} - b^{2}

Vế trái trùng vế phải với mọi

a, b

3 x (2 x - 1) = 6 x^{2} - 3 x

Vế phải của đề là

6 x^{2} + 3 x

, khác

6 x^{2} - 3 x

ở dấu số hạng

3 x

2 (x - 1) = 2 x - 2

Vế phải của đề là

4 x + 3

, khác

2 x - 2

với mọi

x

vì hai đa thức bậc nhất có hệ số khác nhau.

(2 y + 3) (y + 1) = 2 y (y + 1) + 3 (y + 1)

= 2 y^{2} + 2 y + 3 y + 3

= 2 y^{2} + 5 y + 3

Vế trái trùng vế phải với mọi

y

Vậy a) và d) là hằng đẳng thức; b) và c) không phải hằng đẳng thức.

2Xét hiệu hai vế, đưa về đa thức rút gọn

Định hướng. Chuyển đẳng thức về dạng $VT - VP$ ; đẳng thức là hằng đẳng thức khi và chỉ khi hiệu đó rút gọn về đúng $0$ với mọi giá trị của biến.

(a^{2} - b^{2}) - (a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2} - (a^{2} - b^{2}) = 0

Hiệu luôn bằng

0

nên a) là hằng đẳng thức.

(6 x^{2} + 3 x) - 3 x (2 x - 1) = 6 x^{2} + 3 x - 6 x^{2} + 3 x = 6 x

Hiệu bằng

6 x

, không đồng nhất bằng

0

nên b) không phải hằng đẳng thức.

(4 x + 3) - 2 (x - 1) = 4 x + 3 - 2 x + 2 = 2 x + 5

Hiệu bằng

2 x + 5

, không đồng nhất bằng

0

nên c) không phải hằng đẳng thức.

(2 y^{2} + 5 y + 3) - (2 y + 3) (y + 1) = 2 y^{2} + 5 y + 3 - (2 y^{2} + 5 y + 3) = 0

Hiệu luôn bằng

0

nên d) là hằng đẳng thức.

Vậy a) và d) là hằng đẳng thức; b) và c) không phải hằng đẳng thức, đúng như Cách 1.

3Thay giá trị cụ thể để loại nhanh, rồi khai triển tổng quát để khẳng định

Định hướng. Thay một giá trị cụ thể của biến chỉ giúp LOẠI những đẳng thức sai; muốn khẳng định một đẳng thức đúng với mọi giá trị vẫn phải khai triển tổng quát.

b) Thay

x = 1

: vế trái

3 \cdot 1 \cdot (2 - 1) = 3

, vế phải

6 + 3 = 9

;

3 \neq = 9

nên b) không phải hằng đẳng thức.

c) Thay

x = 0

: vế trái

2 \cdot (0 - 1) = - 2

, vế phải

4 \cdot 0 + 3 = 3

;

- 2 \neq = 3

nên c) không phải hằng đẳng thức.

a) Thay

a = 5, b = 2

: vế trái

25 - 4 = 21

, vế phải

(5 - 2) (5 + 2) = 3 \cdot 7 = 21

; hai vế bằng nhau tại bộ số này.

Khai triển tổng quát

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

đúng với mọi

a, b

nên a) là hằng đẳng thức.

d) Thay

y = 1

: vế trái

(2 + 3) (1 + 1) = 10

, vế phải

2 + 5 + 3 = 10

; hai vế bằng nhau tại bộ số này.

Khai triển tổng quát

(2 y + 3) (y + 1) = 2 y^{2} + 5 y + 3

đúng với mọi

y

nên d) là hằng đẳng thức.

Vậy a) và d) là hằng đẳng thức; b) và c) không phải hằng đẳng thức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: khai triển trực tiếp vừa chứng minh được hai câu đúng vừa chỉ rõ chỗ sai của hai câu còn lại, chỉ một lượt tính là xong cả bốn ý. Cách 3 dùng để kiểm tra nhanh lúc soát bài, không thay được bước khai triển tổng quát.

Đáp số. a) là hằng đẳng thức; b) không phải; c) không phải; d) là hằng đẳng thức.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chỉ thay MỘT giá trị của biến vào rồi vội kết luận đẳng thức luôn đúng — ví dụ thay

x = 1

vào câu c):

2 (1 - 1) = 0

và

4 \cdot 1 + 3 = 7

đã thấy sai nên loại được, nhưng nếu lỡ thay đúng nghiệm của phương trình

2 x - 2 = 4 x + 3

(tức

x = - 2, 5

) thì hai vế lại bằng nhau, dễ ngộ nhận là hằng đẳng thức trong khi thực chất chỉ đúng tại đúng một giá trị đó.

🚀 Mở rộng. Đổi câu b) thành

3 x (2 x - 1) = 6 x^{2} - 3 x

(sửa đúng dấu) thì đẳng thức mới trở thành hằng đẳng thức, cho thấy chỉ cần lệch đúng một dấu là một đẳng thức có thể chuyển từ sai sang đúng với mọi biến.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.2★Trang 21— Khai triển bình phương của một tổng hoặc một hiệu

Khai triển: a)

(3 x + 1)^{2}

; b)

(2 y + 3 x)^{2}

; c)

(2 x - 3)^{2}

; d)

(3 y - x)^{2}

Kiến thức cần nhớ

Bình phương của một tổng: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ .
Bình phương của một hiệu: $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ .
Bình phương của một tích: $(k x)^{2} = k^{2} x^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn biểu thức đều có dạng bình phương của một nhị thức, dấu hiệu nhận ra ngay là cặp ngoặc mũ

2

. Với dấu

+

bên trong dùng hằng đẳng thức bình phương của một tổng, với dấu

-

dùng bình phương của một hiệu — chỉ cần xác định đúng vai trò của

a

và

b

trong từng ngoặc. Bẫy hay gặp là quên nhân đôi số

2

ở hạng tử giữa, hoặc nhầm dấu khi khai triển bình phương của một hiệu.

1Nhân đa thức với chính nó theo tính chất phân phối

Định hướng. Viết bình phương thành tích của biểu thức với chính nó rồi nhân đa thức với đa thức theo tính chất phân phối, chưa cần dùng hằng đẳng thức đã thuộc.

(3 x + 1)^{2} = (3 x + 1) (3 x + 1)

= 3 x (3 x + 1) + 1 (3 x + 1)

= 9 x^{2} + 3 x + 3 x + 1

= 9 x^{2} + 6 x + 1

(2 y + 3 x)^{2} = (2 y + 3 x) (2 y + 3 x)

= 2 y (2 y + 3 x) + 3 x (2 y + 3 x)

= 4 y^{2} + 6 x y + 6 x y + 9 x^{2}

= 4 y^{2} + 12 x y + 9 x^{2}

(2 x - 3)^{2} = (2 x - 3) (2 x - 3)

= 2 x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3)

= 4 x^{2} - 6 x - 6 x + 9

= 4 x^{2} - 12 x + 9

(3 y - x)^{2} = (3 y - x) (3 y - x)

= 3 y (3 y - x) - x (3 y - x)

= 9 y^{2} - 3 x y - 3 x y + x^{2}

= 9 y^{2} - 6 x y + x^{2}

Vậy a) $= 9 x^{2} + 6 x + 1$ ; b) $= 4 y^{2} + 12 x y + 9 x^{2}$ ; c) $= 4 x^{2} - 12 x + 9$ ; d) $= 9 y^{2} - 6 x y + x^{2}$ .

2Áp dụng trực tiếp hằng đẳng thức bình phương của một tổng, một hiệu

Định hướng. Xác định đúng $a$ , $b$ trong mỗi ngoặc rồi thế thẳng vào công thức $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$ , không cần nhân phân phối từng bước.

a = 3 x, b = 1

(3 x + 1)^{2} = (3 x)^{2} + 2 \cdot 3 x \cdot 1 + 1^{2} = 9 x^{2} + 6 x + 1

a = 2 y, b = 3 x

(2 y + 3 x)^{2} = (2 y)^{2} + 2 \cdot 2 y \cdot 3 x + (3 x)^{2} = 4 y^{2} + 12 x y + 9 x^{2}

a = 2 x, b = 3

(2 x - 3)^{2} = (2 x)^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot 3 + 3^{2} = 4 x^{2} - 12 x + 9

a = 3 y, b = x

(3 y - x)^{2} = (3 y)^{2} - 2 \cdot 3 y \cdot x + x^{2} = 9 y^{2} - 6 x y + x^{2}

Bốn kết quả trùng khớp với Cách 1: $9 x^{2} + 6 x + 1$ ; $4 y^{2} + 12 x y + 9 x^{2}$ ; $4 x^{2} - 12 x + 9$ ; $9 y^{2} - 6 x y + x^{2}$ .

3Thay giá trị số cụ thể để kiểm tra lại kết quả khai triển

Định hướng. Thay một cặp giá trị số vào biến ở cả hai vế; nếu hai vế cho cùng một số thì kết quả khai triển đáng tin, dùng làm bước kiểm tra cuối cùng chứ không thay cho bước khai triển.

a) Tại

x = 1

(3 \cdot 1 + 1)^{2} = 16

; và

9 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1 + 1 = 16

, khớp.

b) Tại

x = 1, y = 1

(2 + 3)^{2} = 25

; và

4 + 12 + 9 = 25

, khớp.

c) Tại

x = 1

(2 - 3)^{2} = 1

; và

4 - 12 + 9 = 1

, khớp.

d) Tại

x = 1, y = 1

(3 - 1)^{2} = 4

; và

9 - 6 + 1 = 4

, khớp.

Cả bốn kết quả đều khớp, xác nhận Cách 1 và Cách 2 khai triển đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: thuộc công thức

(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}

rồi thế trực tiếp cho lời giải ngắn nhất, ít bước tính hơn hẳn Cách 1. Cách 3 chỉ nên làm nhẩm trong đầu để tự kiểm tra, không cần viết vào bài.

Đáp số. a)

9 x^{2} + 6 x + 1

; b)

4 y^{2} + 12 x y + 9 x^{2}

; c)

4 x^{2} - 12 x + 9

; d)

9 y^{2} - 6 x y + x^{2}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn khai triển

(2 x - 3)^{2}

thành

4 x^{2} - 6 x + 9

vì quên nhân đôi số

2

ở hạng tử giữa (đúng ra là

2 \cdot 2 x \cdot 3 = 12 x

chứ không phải

6 x

), dẫn tới sai cả câu c). Một lỗi khác là quên đổi dấu hạng tử giữa khi khai triển bình phương của một hiệu, viết nhầm

(3 y - x)^{2} = 9 y^{2} + 6 x y + x^{2}

🚀 Mở rộng. Tổng quát với hệ số bất kỳ:

(m x + n y)^{2} = m^{2} x^{2} + 2 mn x y + n^{2} y^{2}

, áp dụng được cho mọi cặp hệ số

m, n

chứ không riêng các số đã cho trong bài.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.3★★Trang 21— Phân tích đa thức thành nhân tử bằng hằng đẳng thức (chiều ngược)

Viết các biểu thức sau dưới dạng tích: a)

4 x^{2} + 12 x + 9

; b)

16 x^{2} - 8 x y + y^{2}

; c)

81 x^{2} y^{2} - 16 z^{2}

Kiến thức cần nhớ

Bình phương của một tổng (đọc ngược): $a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ .
Bình phương của một hiệu (đọc ngược): $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ .
Hiệu hai bình phương (đọc ngược): $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.4★★Trang 21— Tính nhanh bằng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương và bình phương của một tổng

Tính nhanh: a)

997 \cdot 1003

; b)

100 4^{2}

Kiến thức cần nhớ

Hiệu hai bình phương: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ , áp dụng ngược để tính nhanh tích hai số đối xứng quanh một số tròn.
Bình phương của một tổng: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.5★★★Trang 21— Rút gọn biểu thức bằng hằng đẳng thức

Rút gọn biểu thức: a)

2 (x - y) (x + y) + (x + y)^{2} + (x - y)^{2}

; b)

(x - y - z)^{2} - (x - y)^{2} + 2 (x - y) z

Kiến thức cần nhớ

Bình phương của một tổng: $(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$ .
Bình phương của một hiệu: $(A - B)^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$ .
Có thể coi cả một cụm biểu thức (không chỉ một chữ) là $A$ hoặc $B$ trong hằng đẳng thức.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 2.6★★★Trang 21— Chứng minh tính chia hết bằng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương

a) Biết số tự nhiên

a

chia

3

dư

2

. Chứng minh rằng

a^{2}

chia

3

dư

1

. b) Biết số tự nhiên

a

chia

5

dư

3

. Chứng minh rằng

a^{2}

chia

5

dư

4

Kiến thức cần nhớ

Số tự nhiên chia $m$ dư $r$ viết được dưới dạng $a = mn + r$ với $n \in N$ , $0 \leq r < m$ .
Hiệu hai bình phương: $a^{2} - k^{2} = (a - k) (a + k)$ .
Nếu $a^{2} - k^{2}$ chia hết cho $m$ thì $a^{2}$ và $k^{2}$ có cùng số dư khi chia cho $m$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 2.7★★★★Trang 21— Tính

a + b

a - b

từ

a^{2} + b^{2}

và

ab

bằng hằng đẳng thức

Cho hai số

a, b > 0

sao cho

a > b

a^{2} + b^{2} = 8

và

ab = 2

. Hãy tính giá trị của: a)

a + b

; b)

a - b

Kiến thức cần nhớ

Bình phương của một tổng: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ .
Bình phương của một hiệu: $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ .
Nếu $a, b > 0$ thì $a + b > 0$ ; nếu $a > b$ thì $a - b > 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài tập cuối chương I Bài tiếp theo ›Bài 8. Tổng và hiệu hai lập phương

📚 Cùng chương: Chương II. Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

▶ Bài 6. Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu
Bài 8. Tổng và hiệu hai lập phương
Bài 7. Lập phương của một tổng hay một hiệu
Bài 9. Phân tích đa thức thành nhân tử
Bài tập cuối chương II

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Học sâu hơn về Đa thức, hằng đẳng thức, phân thức — đọc thử miễn phí trước khi mua.

📘 Sách

Bài 6. Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu

🎯 Học tiếp

📚 Cùng chương: Chương II. Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Toán 8 Luxury – Trọn bộ

Tuyển tập 100 đề giữa kì I Toán 8

Đề HSG Toán 8 – Lời giải chi tiết

Toán 8 – Bản Luxury

Bồi dưỡng HSG THCS