Chương II. Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

Bài 7. Lập phương của một tổng hay một hiệu

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 5 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.8★Trang 24— Nhận dạng khai triển lập phương của một tổng/hiệu để viết ngược lại dưới dạng luỹ thừa bậc ba

Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu: a)

x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8

; b)

8 a^{3} - 12 a^{2} b + 6 a b^{2} - b^{3}

Kiến thức cần nhớ

Lập phương của một tổng: $(m + n)^{3} = m^{3} + 3 m^{2} n + 3 m n^{2} + n^{3}$ .
Lập phương của một hiệu: $(m - n)^{3} = m^{3} - 3 m^{2} n + 3 m n^{2} - n^{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn hạng tử của mỗi biểu thức đúng tỉ lệ hệ số

1 : 3 : 3 : 1

của khai triển

(m \pm n)^{3}

, đó là dấu hiệu nhận dạng thay vì một đa thức bậc ba tuỳ ý. Lấy căn bậc ba của hạng tử đầu và hạng tử cuối cho ngay

m, n

, rồi chỉ cần kiểm hai hạng tử giữa là viết được kết quả. Bẫy của câu b) là hạng tử đầu

8 a^{3} = (2 a)^{3}

chứ không phải

a^{3}

, dễ bỏ sót hệ số

2

1Nhận diện qua tỉ lệ hệ số

1

–

3

–

3

–

1

rồi xác định

m, n

trực tiếp

Định hướng. Đối chiếu bốn hạng tử với khai triển $(m \pm n)^{3} = m^{3} \pm 3 m^{2} n + 3 m n^{2} \pm n^{3}$ : hạng tử đầu và cuối là các luỹ thừa bậc ba $m^{3}, n^{3}$ , hai hạng tử giữa phải đúng $3 m^{2} n$ và $3 m n^{2}$ ; lấy căn bậc ba hạng đầu, hạng cuối để suy ra $m, n$ rồi xét dấu.

m = 3 x^{3} = x, n = 38 = 2

Kiểm tra:

3 m^{2} n = 3 x^{2} \cdot 2 = 6 x^{2}

3 m n^{2} = 3 x \cdot 4 = 12 x

— đúng khớp hai hạng tử giữa, mọi dấu đều

+

Vậy

x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 = (x + 2)^{3}

m = 3 8 a^{3} = 2 a, n = 3 b^{3} = b

Kiểm tra:

3 m^{2} n = 3 \cdot 4 a^{2} \cdot b = 12 a^{2} b

3 m n^{2} = 3 \cdot 2 a \cdot b^{2} = 6 a b^{2}

— đúng khớp, hạng tử mang dấu

-, +, -

nên là lập phương của hiệu

Vậy

8 a^{3} - 12 a^{2} b + 6 a b^{2} - b^{3} = (2 a - b)^{3}

Vậy a) $x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 = (x + 2)^{3}$ ; b) $8 a^{3} - 12 a^{2} b + 6 a b^{2} - b^{3} = (2 a - b)^{3}$ .

2Khai triển ngược tổng quát rồi đồng nhất hệ số

Định hướng. Giả sử biểu thức có dạng $(x + n)^{3}$ hoặc $(2 a - n)^{3}$ với $n$ chưa biết, khai triển tổng quát theo hằng đẳng thức rồi so sánh hệ số của một hạng tử để tìm $n$ , sau đó kiểm tra các hạng tử còn lại có khớp không.

a) Giả sử

x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 = (x + n)^{3} = x^{3} + 3 n x^{2} + 3 n^{2} x + n^{3}

So sánh hệ số

x^{2}

3 n = 6 \Leftrightarrow n = 2

Kiểm tra với

n = 2

3 n^{2} = 12

khớp hệ số

x

;

n^{3} = 8

khớp hằng số — vậy

x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 = (x + 2)^{3}

b) Giả sử

8 a^{3} - 12 a^{2} b + 6 a b^{2} - b^{3} = (2 a - n)^{3} = 8 a^{3} - 12 a^{2} n + 6 a n^{2} - n^{3}

So sánh hệ số

a^{2} b

12 a^{2} n = 12 a^{2} b \Leftrightarrow n = b

Kiểm tra với

n = b

6 a n^{2} = 6 a b^{2}

khớp hệ số

a b^{2}

;

n^{3} = b^{3}

khớp hạng tử cuối — vậy

8 a^{3} - 12 a^{2} b + 6 a b^{2} - b^{3} = (2 a - b)^{3}

Kết quả trùng Cách 1: a) $(x + 2)^{3}$ ; b) $(2 a - b)^{3}$ .

3Thay giá trị số cụ thể để kiểm tra lại kết quả

Định hướng. Thay cùng một giá trị của biến vào biểu thức gốc và vào dạng lập phương đã tìm được; hai bên cho cùng một số thì kết quả đáng tin, dùng làm bước soát bài cuối cùng.

a) Tại

x = 1

: biểu thức gốc

= 1 + 6 + 12 + 8 = 27

;

(1 + 2)^{3} = 27

, khớp.

b) Tại

a = 1, b = 1

: biểu thức gốc

= 8 - 12 + 6 - 1 = 1

;

(2 - 1)^{3} = 1

, khớp.

Cả hai phép thử đều khớp, xác nhận a) $(x + 2)^{3}$ và b) $(2 a - b)^{3}$ đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần lấy căn bậc ba hạng đầu, hạng cuối rồi kiểm nhanh hai hạng tử giữa, nhanh hơn hẳn Cách 2 phải đồng nhất hệ số. Cách 3 chỉ nên dùng để soát lại.

Đáp số. a)

x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 = (x + 2)^{3}

; b)

8 a^{3} - 12 a^{2} b + 6 a b^{2} - b^{3} = (2 a - b)^{3}

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), nhiều bạn quên đổi

8 a^{3}

thành

(2 a)^{3}

mà lấy nhầm

m = a

(bỏ sót hệ số

2

), dẫn tới kiểm tra hạng tử giữa sai và kết luận nhầm dạng; phải luôn lấy đúng căn bậc ba

3 8 a^{3} = 2 a

trước khi đối chiếu.

🚀 Mở rộng. Với biểu thức tổng quát

m^{3} + 3 m^{2} n + 3 m n^{2} + n^{3}

(hoặc đổi dấu

n

), cách nhận diện qua tỉ lệ hệ số

1

–

3

–

3

–

1

áp dụng được cho mọi cặp

m, n

là đơn thức bậc nhất, không riêng các hệ số cụ thể của bài này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.9★★Trang 24— Tính giá trị biểu thức bằng cách quy về lập phương của một tổng/hiệu trước khi thay số

Tính giá trị của mỗi biểu thức sau: a)

8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1

tại

x = 49, 5

; b)

x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27

tại

x = 103

Kiến thức cần nhớ

Lập phương của một tổng: $(m + n)^{3} = m^{3} + 3 m^{2} n + 3 m n^{2} + n^{3}$ .
Lập phương của một hiệu: $(m - n)^{3} = m^{3} - 3 m^{2} n + 3 m n^{2} - n^{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hệ số bốn hạng tử của mỗi biểu thức đúng tỉ lệ

1 : 3 : 3 : 1

, dấu hiệu nên quy về dạng

(2 x + 1)^{3}

hoặc

(x - 3)^{3}

trước khi thay số, thay vì tính trực tiếp luỹ thừa bậc ba của một số thập phân hoặc số có ba chữ số. Giá trị

x

đề chọn (

49, 5

và

103

) đều làm biểu thức trong ngoặc trở thành đúng số tròn

100

, đó là chủ đích để kết quả đẹp. Bẫy là ở câu b) dễ quên đổi dấu khi nhận diện hằng đẳng thức lập phương của một hiệu.

1Thay trực tiếp

x

vào biểu thức gốc

Định hướng. Thay thẳng giá trị $x$ đã cho vào biểu thức gốc, tính từng luỹ thừa rồi cộng trừ theo đúng thứ tự — không cần nhận ra hằng đẳng thức nhưng phải tính với số thập phân hoặc số có ba chữ số.

a) Tại

x = 49, 5

8 \cdot 49, 5^{3} + 12 \cdot 49, 5^{2} + 6 \cdot 49, 5 + 1

= 8 \cdot 121287, 375 + 12 \cdot 2450, 25 + 297 + 1

= 970299 + 29403 + 297 + 1 = 1000000

b) Tại

x = 103

10 3^{3} - 9 \cdot 10 3^{2} + 27 \cdot 103 - 27

= 1092727 - 95481 + 2781 - 27

= 1000000

Vậy a) giá trị biểu thức bằng $1000000$ ; b) giá trị biểu thức cũng bằng $1000000$ .

2Quy về lập phương của một tổng/hiệu rồi mới thay số

Định hướng. Nhận ra hệ số bốn hạng tử đúng tỉ lệ $1$ – $3$ – $3$ – $1$ của khai triển $(m \pm n)^{3}$ , quy biểu thức về dạng luỹ thừa bậc ba trước, rồi mới thay số — phép tính cuối chỉ còn một luỹ thừa bậc ba của một số tròn.

8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1 = (2 x)^{3} + 3 (2 x)^{2} \cdot 1 + 3 (2 x) \cdot 1^{2} + 1^{3} = (2 x + 1)^{3}

Tại

x = 49, 5

2 x + 1 = 100

, nên giá trị biểu thức

= 10 0^{3} = 1000000

x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27 = x^{3} - 3 x^{2} \cdot 3 + 3 x \cdot 3^{2} - 3^{3} = (x - 3)^{3}

Tại

x = 103

x - 3 = 100

, nên giá trị biểu thức

= 10 0^{3} = 1000000

Kết quả trùng Cách 1: a) $1000000$ ; b) $1000000$ — và cách này gọn hơn hẳn vì chỉ còn một phép luỹ thừa của số tròn $100$ .

3Kiểm tra chéo bằng cách tách

100 = 99 + 1

và áp dụng lại hằng đẳng thức

Định hướng. Cả hai kết quả ở Cách 2 đều quy về cùng một phép tính $10 0^{3}$ ; kiểm tra độc lập giá trị này bằng cách tách $100 = 99 + 1$ rồi áp dụng lại chính hằng đẳng thức lập phương của một tổng, thay vì nhân trực tiếp $100 \times 100 \times 100$ .

10 0^{3} = (99 + 1)^{3} = 9 9^{3} + 3 \cdot 9 9^{2} \cdot 1 + 3 \cdot 99 \cdot 1^{2} + 1^{3}

= 970299 + 29403 + 297 + 1 = 1000000

Vậy $10 0^{3} = 1000000$ , khớp với kết quả a) và b) ở Cách 1, Cách 2 — cả hai biểu thức đều bằng $1000000$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: quy về

(2 x + 1)^{3}

hoặc

(x - 3)^{3}

rồi thay số, chỉ còn một phép luỹ thừa của số tròn

100

, nhanh và khó sai hơn hẳn Cách 1 phải nhân số thập phân hoặc số có ba chữ số.

Đáp số. a)

1000000

; b)

1000000

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn tính trực tiếp

49, 5^{3}

hoặc

10 3^{3}

bằng cách nhân tay và dễ sai ở bước nhân số thập phân hoặc số có ba chữ số; nhận diện hằng đẳng thức trước (Cách 2) tránh hẳn rủi ro này.

🚀 Mở rộng. Cách quy về lập phương của một số tròn áp dụng được cho mọi biểu thức có hệ số theo tỉ lệ

1 : 3 : 3 : 1

khi giá trị biến được chọn khéo để phần trong ngoặc là số tròn, ví dụ đổi

x = 49, 5

thành

x = 199, 5

thì

2 x + 1 = 400

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.10★★★Trang 24— Rút gọn biểu thức chứa lập phương của tổng/hiệu bằng hằng đẳng thức

Rút gọn: a)

(x + 1)^{3} - (x - 1)^{3} - 6 (x - 2) (x + 2)

; b)

(x - y)^{3} + (x + y)^{3} + (y - x)^{3} - 3 x y (x + y)

Kiến thức cần nhớ

Hiệu hai lập phương: $p^{3} - q^{3} = (p - q) (p^{2} + pq + q^{2})$ .
Lập phương của một tổng: $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b)$ .
Với mọi biểu thức $P$ : $(- P)^{3} = - P^{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) có hiệu hai lập phương

(x + 1)^{3} - (x - 1)^{3}

đi cùng tích

(x - 2) (x + 2)

— dấu hiệu nên dùng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương

p^{3} - q^{3} = (p - q) (p^{2} + pq + q^{2})

để rút gọn nhanh thay vì khai triển đủ sáu hạng tử của hai lập phương riêng lẻ. Câu b) có

(y - x)^{3} = - (x - y)^{3}

đối nhau với

(x - y)^{3}

nên triệt tiêu ngay, chỉ còn

(x + y)^{3} - 3 x y (x + y)

đúng dạng

a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b)

. Bẫy của câu b) là không nhận ra

(y - x)^{3} = - (x - y)^{3}

mà cứ khai triển riêng từng lập phương, dễ nhầm dấu khi thu gọn.

1Khai triển đầy đủ từng lập phương rồi thu gọn

Định hướng. Khai triển đầy đủ mỗi luỹ thừa bậc ba theo hằng đẳng thức lập phương của một tổng/hiệu, rồi thu gọn các hạng tử đồng dạng — không cần nhận ra cách rút gọn nhanh, chỉ cần tính cẩn thận.

(x + 1)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1

;

(x - 1)^{3} = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1

(x + 1)^{3} - (x - 1)^{3} = 6 x^{2} + 2

6 (x - 2) (x + 2) = 6 (x^{2} - 4) = 6 x^{2} - 24

Biểu thức

= 6 x^{2} + 2 - (6 x^{2} - 24) = 6 x^{2} + 2 - 6 x^{2} + 24 = 26

(x - y)^{3} = x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}

;

(x + y)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}

;

(y - x)^{3} = - x^{3} + 3 x^{2} y - 3 x y^{2} + y^{3}

Cộng ba lập phương:

(x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}) + (x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}) + (- x^{3} + 3 x^{2} y - 3 x y^{2} + y^{3}) = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}

Trừ tiếp

3 x y (x + y) = 3 x^{2} y + 3 x y^{2}

: Biểu thức

= x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3} - 3 x^{2} y - 3 x y^{2} = x^{3} + y^{3}

Vậy a) biểu thức rút gọn bằng $26$ ; b) biểu thức rút gọn bằng $x^{3} + y^{3}$ .

2Dùng hằng đẳng thức hiệu/tổng lập phương, tránh khai triển đầy đủ

Định hướng. Nhận ra dấu hiệu đặc biệt của từng câu để tránh khai triển đủ sáu hạng tử: câu a) dùng $p^{3} - q^{3} = (p - q) (p^{2} + pq + q^{2})$ với $p = x + 1, q = x - 1$ ; câu b) nhận ra $(y - x)^{3} = - (x - y)^{3}$ triệt tiêu với $(x - y)^{3}$ , phần còn lại đúng dạng $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b)$ .

p = x + 1, q = x - 1

p - q = 2

;

p^{2} + pq + q^{2} = (x + 1)^{2} + (x + 1) (x - 1) + (x - 1)^{2} = (x^{2} + 2 x + 1) + (x^{2} - 1) + (x^{2} - 2 x + 1) = 3 x^{2} + 1

(x + 1)^{3} - (x - 1)^{3} = 2 (3 x^{2} + 1) = 6 x^{2} + 2

Biểu thức

= 6 x^{2} + 2 - 6 (x^{2} - 4) = 6 x^{2} + 2 - 6 x^{2} + 24 = 26

(y - x)^{3} = - (x - y)^{3}

nên

(x - y)^{3} + (y - x)^{3} = 0

, biểu thức còn lại

(x + y)^{3} - 3 x y (x + y)

Theo

a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b)

với

a = x, b = y

(x + y)^{3} - 3 x y (x + y) = x^{3} + y^{3}

Kết quả trùng Cách 1: a) $26$ ; b) $x^{3} + y^{3}$ — và cách này không phải khai triển đủ sáu hạng tử của từng lập phương.

3Thay giá trị số cụ thể để kiểm tra lại kết quả

Định hướng. Thay giá trị cụ thể của biến vào biểu thức gốc; nếu ra đúng kết quả đã rút gọn thì kết quả đáng tin, dùng làm bước soát bài cuối cùng.

a) Tại

x = 1

2^{3} - 0^{3} - 6 \cdot (- 1) \cdot 3 = 8 - 0 - (- 18) = 26

, khớp.

b) Tại

x = 2, y = 1

1^{3} + 3^{3} + (- 1)^{3} - 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 = 1 + 27 - 1 - 18 = 9

; và

x^{3} + y^{3} = 8 + 1 = 9

, khớp.

Cả hai phép thử đều khớp, xác nhận a) $26$ và b) $x^{3} + y^{3}$ đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhận diện hiệu hai lập phương và cặp lập phương đối nhau giúp rút gọn chỉ trong vài dòng, không phải khai triển đủ sáu hạng tử như Cách 1. Cách 3 chỉ dùng để soát lại.

Đáp số. a)

26

; b)

x^{3} + y^{3}

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), nhiều bạn khai triển

(y - x)^{3}

thành

y^{3} - 3 y^{2} x + 3 y x^{2} - x^{3}

rồi cộng trực tiếp mà không nhận ra cặp đối nhau với

(x - y)^{3}

, dễ nhầm dấu khi thu gọn sáu hạng tử cùng lúc; nhận ra

(y - x)^{3} = - (x - y)^{3}

trước giúp tránh hẳn sai sót này.

🚀 Mở rộng. Tổng quát câu b): với ba số

x - y, x + y, y - x

(trong đó

y - x

luôn đối với

x - y

), biểu thức

[(x - y)^{3} + (x + y)^{3} + (y - x)^{3}] - 3 x y (x + y)

luôn rút gọn về

x^{3} + y^{3}

với mọi

x, y

, không phụ thuộc cách nhóm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.11★★★★Trang 24— Chứng minh tính chia hết của luỹ thừa bậc ba bằng hằng đẳng thức lập phương/hiệu hai lập phương

Biết số tự nhiên

a

chia

6

dư

5

. Chứng minh rằng

a^{3}

chia

6

dư

5

Kiến thức cần nhớ

Số tự nhiên $a$ chia $6$ dư $5$ viết được $a = 6 n + 5$ với $n \in N$ .
Lập phương của một tổng: $(m + n)^{3} = m^{3} + 3 m^{2} n + 3 m n^{2} + n^{3}$ .
Hiệu hai lập phương: $p^{3} - q^{3} = (p - q) (p^{2} + pq + q^{2})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

a

chia

6

dư

5

tức

a = 6 n + 5

với

n

là số tự nhiên — dấu hiệu phải biểu diễn

a

theo

n

rồi xét tính chia hết của

a^{3}

cho

6

, không thể chỉ thử vài số cụ thể vì đề yêu cầu chứng minh cho MỌI

a

như vậy. Hướng gọn hơn là dùng hiệu hai lập phương

a^{3} - 5^{3} = (a - 5) (a^{2} + 5 a + 25)

vì

a - 5 = 6 n

đã sẵn chia hết cho

6

, khỏi cần khai triển

(6 n + 5)^{3}

đầy đủ. Bẫy là chỉ mới chứng minh

a^{3} - 125

chia hết cho

6

mà quên đổi

125

về dạng

6 k + 5

để kết luận đúng số dư.

1Thử vài số cụ thể để phát hiện quy luật

Định hướng. Thử trước một vài số tự nhiên chia $6$ dư $5$ (là $5, 11, 17, \dots$ ), tính lập phương và lấy số dư khi chia cho $6$ để phát hiện quy luật, trước khi đi chứng minh tổng quát ở Cách 2, Cách 3.

a = 5

a^{3} = 125 = 6 \cdot 20 + 5

, dư

5

a = 11

a^{3} = 1331 = 6 \cdot 221 + 5

, dư

5

a = 17

a^{3} = 4913 = 6 \cdot 818 + 5

, dư

5

Cả ba lần thử đều cho số dư $5$ , cho phép dự đoán $a^{3}$ luôn chia $6$ dư $5$ — cần chứng minh tổng quát ở các cách sau.

2Khai triển lập phương của một tổng

Định hướng. Viết $a = 6 n + 5$ với $n \in N$ , khai triển $a^{3}$ theo hằng đẳng thức lập phương của một tổng rồi nhóm mọi hạng tử chứa $n$ thành bội của $6$ , phần còn lại là $125$ đưa tiếp về dạng $6 k + 5$ .

a^{3} = (6 n + 5)^{3} = (6 n)^{3} + 3 (6 n)^{2} \cdot 5 + 3 (6 n) \cdot 5^{2} + 5^{3}

= 216 n^{3} + 540 n^{2} + 450 n + 125

= 6 (36 n^{3} + 90 n^{2} + 75 n) + 125 = 6 (36 n^{3} + 90 n^{2} + 75 n) + 6 \cdot 20 + 5

= 6 (36 n^{3} + 90 n^{2} + 75 n + 20) + 5

Đặt $k = 36 n^{3} + 90 n^{2} + 75 n + 20 \in N$ thì $a^{3} = 6 k + 5$ , vậy $a^{3}$ chia $6$ dư $5$ .

3Phân tích hiệu hai lập phương, tránh khai triển đầy đủ

Định hướng. Xét hiệu $a^{3} - 5^{3}$ và phân tích theo hằng đẳng thức hiệu hai lập phương; vì $a - 5 = 6 n$ đã sẵn là bội của $6$ nên khỏi cần khai triển $(6 n + 5)^{3}$ đầy đủ như Cách 2.

a^{3} - 125 = a^{3} - 5^{3} = (a - 5) (a^{2} + 5 a + 25)

Vì

a = 6 n + 5

nên

a - 5 = 6 n

chia hết cho

6

, suy ra

a^{3} - 125 = 6 n (a^{2} + 5 a + 25)

chia hết cho

6

Đặt

a^{3} - 125 = 6 m

với

m = n (a^{2} + 5 a + 25) \in N

, suy ra

a^{3} = 6 m + 125 = 6 m + 6 \cdot 20 + 5 = 6 (m + 20) + 5

Vậy $a^{3} = 6 (m + 20) + 5$ chia $6$ dư $5$ — kết quả trùng Cách 2 nhưng không cần khai triển đầy đủ luỹ thừa bậc ba.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: chỉ cần phân tích hiệu hai lập phương và nhận ra

a - 5 = 6 n

chia hết cho

6

ngay, không phải khai triển đủ ba số hạng của

(6 n + 5)^{3}

như Cách 2, ít bước tính hơn hẳn.

Đáp số.

a^{3}

luôn chia

6

dư

5

khi

a

chia

6

dư

5

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn dừng lại ở bước chứng minh

a^{3} - 125

chia hết cho

6

rồi kết luận ngay "

a^{3}

chia

6

dư

125

", quên rằng

125

chưa phải số dư hợp lệ (số dư phải nhỏ hơn

6

) — cần đổi tiếp

125 = 6 \cdot 20 + 5

mới kết luận đúng số dư là

5

🚀 Mở rộng. Cùng cách phân tích hiệu hai lập phương, có thể chứng minh tổng quát: nếu

a

chia

6

dư

r

(

0 \leq r \leq 5

) thì

a^{3}

chia

6

dư đúng số dư của

r^{3}

khi chia cho

6

, vì

a - r

luôn chia hết cho

6

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.12★★Trang 24— Toán thực tế: tính thể tích phần còn lại bằng hiệu hai lập phương

Từ một khối lập phương có độ dài cạnh là

x + 3

(cm), ta cắt bỏ một khối lập phương có độ dài cạnh là

x - 1

(cm) (H.2.3). Tính thể tích phần còn lại, viết kết quả dưới dạng đa thức.

Kiến thức cần nhớ

Thể tích khối lập phương cạnh $m$ là $V = m^{3}$ .
Lập phương của một tổng: $(m + n)^{3} = m^{3} + 3 m^{2} n + 3 m n^{2} + n^{3}$ .
Hiệu hai lập phương: $p^{3} - q^{3} = (p - q) (p^{2} + pq + q^{2})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Thể tích khối lập phương cạnh

m

là

m^{3}

— dấu hiệu của bài là "thể tích phần còn lại" bằng thể tích khối lớn trừ thể tích khối đã cắt bỏ, tức hiệu hai lập phương

(x + 3)^{3} - (x - 1)^{3}

; có thể khai triển từng lập phương rồi trừ, hoặc dùng ngay hằng đẳng thức hiệu hai lập phương

p^{3} - q^{3} = (p - q) (p^{2} + pq + q^{2})

để rút gọn nhanh hơn. Bẫy là quên đổi dấu toàn bộ các hạng tử khi trừ cụm

(x - 1)^{3}

đã khai triển.

1Khai triển từng lập phương rồi trừ

Định hướng. Viết thể tích hai khối lập phương theo luỹ thừa bậc ba của cạnh, khai triển từng lập phương theo hằng đẳng thức lập phương của một tổng/hiệu rồi trừ hai kết quả cho nhau.

Thể tích khối lớn:

(x + 3)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} \cdot 3 + 3 x \cdot 3^{2} + 3^{3} = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27

Thể tích khối cắt bỏ:

(x - 1)^{3} = x^{3} - 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} - 1^{3} = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1

Thể tích phần còn lại

= (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27) - (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)

= x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27 - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1 = 12 x^{2} + 24 x + 28

Vậy thể tích phần còn lại là $12 x^{2} + 24 x + 28$ (cm³).

2Dùng ngay hằng đẳng thức hiệu hai lập phương

Định hướng. Dùng ngay hằng đẳng thức hiệu hai lập phương với $p = x + 3, q = x - 1$ , tránh khai triển đầy đủ hai luỹ thừa bậc ba rồi mới trừ.

p - q = (x + 3) - (x - 1) = 4

p^{2} + pq + q^{2} = (x + 3)^{2} + (x + 3) (x - 1) + (x - 1)^{2} = (x^{2} + 6 x + 9) + (x^{2} + 2 x - 3) + (x^{2} - 2 x + 1) = 3 x^{2} + 6 x + 7

Thể tích phần còn lại

= (p - q) (p^{2} + pq + q^{2}) = 4 (3 x^{2} + 6 x + 7) = 12 x^{2} + 24 x + 28

Kết quả trùng Cách 1: thể tích phần còn lại bằng $12 x^{2} + 24 x + 28$ (cm³), và cách này không phải khai triển đầy đủ hai luỹ thừa bậc ba.

3Thay giá trị số cụ thể để kiểm tra lại kết quả

Định hướng. Thay một giá trị cụ thể của $x$ (miễn $x > 1$ để cạnh $x - 1$ dương) vào công thức thể tích ban đầu và vào đa thức đã rút gọn; hai bên khớp nhau thì kết quả đáng tin.

Tại

x = 5

: cạnh khối lớn

= 8

, thể tích

= 8^{3} = 512

; cạnh khối cắt bỏ

= 4

, thể tích

= 4^{3} = 64

; thể tích còn lại

= 512 - 64 = 448

Thay

x = 5

vào

12 x^{2} + 24 x + 28

12 \cdot 25 + 24 \cdot 5 + 28 = 300 + 120 + 28 = 448

, khớp.

Kết quả khớp với Cách 1, Cách 2, xác nhận thể tích phần còn lại là $12 x^{2} + 24 x + 28$ (cm³).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: áp dụng ngay hiệu hai lập phương với

p - q = 4

không đổi, chỉ còn tính

p^{2} + pq + q^{2}

rồi nhân với

4

, ít hạng tử hơn hẳn Cách 1 phải khai triển đủ hai luỹ thừa bậc ba rồi trừ. Cách 3 dùng để soát lại kết quả.

Đáp số. Thể tích phần còn lại là

12 x^{2} + 24 x + 28

(cm³) (với điều kiện

x > 1

để khối bị cắt tồn tại).

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn khai triển

(x - 1)^{3}

đúng nhưng khi trừ cả cụm quên đổi dấu toàn bộ bốn hạng tử bên trong ngoặc, viết nhầm

(x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27) - x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1

(chỉ đổi dấu hạng tử đầu) dẫn tới kết quả sai; phải đổi dấu toàn bộ bốn hạng tử của

(x - 1)^{3}

khi trừ.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi độ dài hai cạnh thành

x + m

và

x - n

(

m, n > 0

) thì thể tích phần còn lại tổng quát là

(m + n) [(x + m)^{2} + (x + m) (x - n) + (x - n)^{2}]

, áp dụng hiệu hai lập phương cho mọi cặp

m, n

chứ không riêng

m = 3, n = 1

như bài này.

Mở bài này trong app ↗