Chương II. Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

Bài 7. Lập phương của một tổng hay một hiệu

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 5 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngII #SáchBàiTập_Tập1 #trang24 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 2.8★Trang 24— Nhận dạng khai triển lập phương của một tổng/hiệu để viết ngược lại dưới dạng luỹ thừa bậc ba

Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu: a)

x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8

; b)

8 a^{3} - 12 a^{2} b + 6 a b^{2} - b^{3}

Kiến thức cần nhớ

Lập phương của một tổng: $(m + n)^{3} = m^{3} + 3 m^{2} n + 3 m n^{2} + n^{3}$ .
Lập phương của một hiệu: $(m - n)^{3} = m^{3} - 3 m^{2} n + 3 m n^{2} - n^{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn hạng tử của mỗi biểu thức đúng tỉ lệ hệ số

1 : 3 : 3 : 1

của khai triển

(m \pm n)^{3}

, đó là dấu hiệu nhận dạng thay vì một đa thức bậc ba tuỳ ý. Lấy căn bậc ba của hạng tử đầu và hạng tử cuối cho ngay

m, n

, rồi chỉ cần kiểm hai hạng tử giữa là viết được kết quả. Bẫy của câu b) là hạng tử đầu

8 a^{3} = (2 a)^{3}

chứ không phải

a^{3}

, dễ bỏ sót hệ số

2

1Nhận diện qua tỉ lệ hệ số

1

–

3

–

3

–

1

rồi xác định

m, n

trực tiếp

Định hướng. Đối chiếu bốn hạng tử với khai triển $(m \pm n)^{3} = m^{3} \pm 3 m^{2} n + 3 m n^{2} \pm n^{3}$ : hạng tử đầu và cuối là các luỹ thừa bậc ba $m^{3}, n^{3}$ , hai hạng tử giữa phải đúng $3 m^{2} n$ và $3 m n^{2}$ ; lấy căn bậc ba hạng đầu, hạng cuối để suy ra $m, n$ rồi xét dấu.

m = 3 x^{3} = x, n = 38 = 2

Kiểm tra:

3 m^{2} n = 3 x^{2} \cdot 2 = 6 x^{2}

3 m n^{2} = 3 x \cdot 4 = 12 x

— đúng khớp hai hạng tử giữa, mọi dấu đều

+

Vậy

x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 = (x + 2)^{3}

m = 3 8 a^{3} = 2 a, n = 3 b^{3} = b

Kiểm tra:

3 m^{2} n = 3 \cdot 4 a^{2} \cdot b = 12 a^{2} b

3 m n^{2} = 3 \cdot 2 a \cdot b^{2} = 6 a b^{2}

— đúng khớp, hạng tử mang dấu

-, +, -

nên là lập phương của hiệu

Vậy

8 a^{3} - 12 a^{2} b + 6 a b^{2} - b^{3} = (2 a - b)^{3}

Vậy a) $x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 = (x + 2)^{3}$ ; b) $8 a^{3} - 12 a^{2} b + 6 a b^{2} - b^{3} = (2 a - b)^{3}$ .

2Khai triển ngược tổng quát rồi đồng nhất hệ số

Định hướng. Giả sử biểu thức có dạng $(x + n)^{3}$ hoặc $(2 a - n)^{3}$ với $n$ chưa biết, khai triển tổng quát theo hằng đẳng thức rồi so sánh hệ số của một hạng tử để tìm $n$ , sau đó kiểm tra các hạng tử còn lại có khớp không.

a) Giả sử

x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 = (x + n)^{3} = x^{3} + 3 n x^{2} + 3 n^{2} x + n^{3}

So sánh hệ số

x^{2}

3 n = 6 \Leftrightarrow n = 2

Kiểm tra với

n = 2

3 n^{2} = 12

khớp hệ số

x

;

n^{3} = 8

khớp hằng số — vậy

x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 = (x + 2)^{3}

b) Giả sử

8 a^{3} - 12 a^{2} b + 6 a b^{2} - b^{3} = (2 a - n)^{3} = 8 a^{3} - 12 a^{2} n + 6 a n^{2} - n^{3}

So sánh hệ số

a^{2} b

12 a^{2} n = 12 a^{2} b \Leftrightarrow n = b

Kiểm tra với

n = b

6 a n^{2} = 6 a b^{2}

khớp hệ số

a b^{2}

;

n^{3} = b^{3}

khớp hạng tử cuối — vậy

8 a^{3} - 12 a^{2} b + 6 a b^{2} - b^{3} = (2 a - b)^{3}

Kết quả trùng Cách 1: a) $(x + 2)^{3}$ ; b) $(2 a - b)^{3}$ .

3Thay giá trị số cụ thể để kiểm tra lại kết quả

Định hướng. Thay cùng một giá trị của biến vào biểu thức gốc và vào dạng lập phương đã tìm được; hai bên cho cùng một số thì kết quả đáng tin, dùng làm bước soát bài cuối cùng.

a) Tại

x = 1

: biểu thức gốc

= 1 + 6 + 12 + 8 = 27

;

(1 + 2)^{3} = 27

, khớp.

b) Tại

a = 1, b = 1

: biểu thức gốc

= 8 - 12 + 6 - 1 = 1

;

(2 - 1)^{3} = 1

, khớp.

Cả hai phép thử đều khớp, xác nhận a) $(x + 2)^{3}$ và b) $(2 a - b)^{3}$ đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần lấy căn bậc ba hạng đầu, hạng cuối rồi kiểm nhanh hai hạng tử giữa, nhanh hơn hẳn Cách 2 phải đồng nhất hệ số. Cách 3 chỉ nên dùng để soát lại.

Đáp số. a)

x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 = (x + 2)^{3}

; b)

8 a^{3} - 12 a^{2} b + 6 a b^{2} - b^{3} = (2 a - b)^{3}

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), nhiều bạn quên đổi

8 a^{3}

thành

(2 a)^{3}

mà lấy nhầm

m = a

(bỏ sót hệ số

2

), dẫn tới kiểm tra hạng tử giữa sai và kết luận nhầm dạng; phải luôn lấy đúng căn bậc ba

3 8 a^{3} = 2 a

trước khi đối chiếu.

🚀 Mở rộng. Với biểu thức tổng quát

m^{3} + 3 m^{2} n + 3 m n^{2} + n^{3}

(hoặc đổi dấu

n

), cách nhận diện qua tỉ lệ hệ số

1

–

3

–

3

–

1

áp dụng được cho mọi cặp

m, n

là đơn thức bậc nhất, không riêng các hệ số cụ thể của bài này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 2.9★★Trang 24— Tính giá trị biểu thức bằng cách quy về lập phương của một tổng/hiệu trước khi thay số

Tính giá trị của mỗi biểu thức sau: a)

8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1

tại

x = 49, 5

; b)

x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27

tại

x = 103

Kiến thức cần nhớ

Lập phương của một tổng: $(m + n)^{3} = m^{3} + 3 m^{2} n + 3 m n^{2} + n^{3}$ .
Lập phương của một hiệu: $(m - n)^{3} = m^{3} - 3 m^{2} n + 3 m n^{2} - n^{3}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hệ số bốn hạng tử của mỗi biểu thức đúng tỉ lệ

1 : 3 : 3 : 1

, dấu hiệu nên quy về dạng

(2 x + 1)^{3}

hoặc

(x - 3)^{3}

trước khi thay số, thay vì tính trực tiếp luỹ thừa bậc ba của một số thập phân hoặc số có ba chữ số. Giá trị

x

đề chọn (

49, 5

và

103

) đều làm biểu thức trong ngoặc trở thành đúng số tròn

100

, đó là chủ đích để kết quả đẹp. Bẫy là ở câu b) dễ quên đổi dấu khi nhận diện hằng đẳng thức lập phương của một hiệu.

1Thay trực tiếp

x

vào biểu thức gốc

Định hướng. Thay thẳng giá trị $x$ đã cho vào biểu thức gốc, tính từng luỹ thừa rồi cộng trừ theo đúng thứ tự — không cần nhận ra hằng đẳng thức nhưng phải tính với số thập phân hoặc số có ba chữ số.

a) Tại

x = 49, 5

8 \cdot 49, 5^{3} + 12 \cdot 49, 5^{2} + 6 \cdot 49, 5 + 1

= 8 \cdot 121287, 375 + 12 \cdot 2450, 25 + 297 + 1

= 970299 + 29403 + 297 + 1 = 1000000

b) Tại

x = 103

10 3^{3} - 9 \cdot 10 3^{2} + 27 \cdot 103 - 27

= 1092727 - 95481 + 2781 - 27

= 1000000

Vậy a) giá trị biểu thức bằng $1000000$ ; b) giá trị biểu thức cũng bằng $1000000$ .

2Quy về lập phương của một tổng/hiệu rồi mới thay số

Định hướng. Nhận ra hệ số bốn hạng tử đúng tỉ lệ $1$ – $3$ – $3$ – $1$ của khai triển $(m \pm n)^{3}$ , quy biểu thức về dạng luỹ thừa bậc ba trước, rồi mới thay số — phép tính cuối chỉ còn một luỹ thừa bậc ba của một số tròn.

8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1 = (2 x)^{3} + 3 (2 x)^{2} \cdot 1 + 3 (2 x) \cdot 1^{2} + 1^{3} = (2 x + 1)^{3}

Tại

x = 49, 5

2 x + 1 = 100

, nên giá trị biểu thức

= 10 0^{3} = 1000000

x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27 = x^{3} - 3 x^{2} \cdot 3 + 3 x \cdot 3^{2} - 3^{3} = (x - 3)^{3}

Tại

x = 103

x - 3 = 100

, nên giá trị biểu thức

= 10 0^{3} = 1000000

Kết quả trùng Cách 1: a) $1000000$ ; b) $1000000$ — và cách này gọn hơn hẳn vì chỉ còn một phép luỹ thừa của số tròn $100$ .

3Kiểm tra chéo bằng cách tách

100 = 99 + 1

và áp dụng lại hằng đẳng thức

Định hướng. Cả hai kết quả ở Cách 2 đều quy về cùng một phép tính $10 0^{3}$ ; kiểm tra độc lập giá trị này bằng cách tách $100 = 99 + 1$ rồi áp dụng lại chính hằng đẳng thức lập phương của một tổng, thay vì nhân trực tiếp $100 \times 100 \times 100$ .

10 0^{3} = (99 + 1)^{3} = 9 9^{3} + 3 \cdot 9 9^{2} \cdot 1 + 3 \cdot 99 \cdot 1^{2} + 1^{3}

= 970299 + 29403 + 297 + 1 = 1000000

Vậy $10 0^{3} = 1000000$ , khớp với kết quả a) và b) ở Cách 1, Cách 2 — cả hai biểu thức đều bằng $1000000$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: quy về

(2 x + 1)^{3}

hoặc

(x - 3)^{3}

rồi thay số, chỉ còn một phép luỹ thừa của số tròn

100

, nhanh và khó sai hơn hẳn Cách 1 phải nhân số thập phân hoặc số có ba chữ số.

Đáp số. a)

1000000

; b)

1000000

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn tính trực tiếp

49, 5^{3}

hoặc

10 3^{3}

bằng cách nhân tay và dễ sai ở bước nhân số thập phân hoặc số có ba chữ số; nhận diện hằng đẳng thức trước (Cách 2) tránh hẳn rủi ro này.

🚀 Mở rộng. Cách quy về lập phương của một số tròn áp dụng được cho mọi biểu thức có hệ số theo tỉ lệ

1 : 3 : 3 : 1

khi giá trị biến được chọn khéo để phần trong ngoặc là số tròn, ví dụ đổi

x = 49, 5

thành

x = 199, 5

thì

2 x + 1 = 400

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 2.10★★★Trang 24— Rút gọn biểu thức chứa lập phương của tổng/hiệu bằng hằng đẳng thức

Rút gọn: a)

(x + 1)^{3} - (x - 1)^{3} - 6 (x - 2) (x + 2)

; b)

(x - y)^{3} + (x + y)^{3} + (y - x)^{3} - 3 x y (x + y)

Kiến thức cần nhớ

Hiệu hai lập phương: $p^{3} - q^{3} = (p - q) (p^{2} + pq + q^{2})$ .
Lập phương của một tổng: $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b)$ .
Với mọi biểu thức $P$ : $(- P)^{3} = - P^{3}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 2.11★★★★Trang 24— Chứng minh tính chia hết của luỹ thừa bậc ba bằng hằng đẳng thức lập phương/hiệu hai lập phương

Biết số tự nhiên

a

chia

6

dư

5

. Chứng minh rằng

a^{3}

chia

6

dư

5

Kiến thức cần nhớ

Số tự nhiên $a$ chia $6$ dư $5$ viết được $a = 6 n + 5$ với $n \in N$ .
Lập phương của một tổng: $(m + n)^{3} = m^{3} + 3 m^{2} n + 3 m n^{2} + n^{3}$ .
Hiệu hai lập phương: $p^{3} - q^{3} = (p - q) (p^{2} + pq + q^{2})$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 2.12★★Trang 24— Toán thực tế: tính thể tích phần còn lại bằng hiệu hai lập phương

Từ một khối lập phương có độ dài cạnh là

x + 3

(cm), ta cắt bỏ một khối lập phương có độ dài cạnh là

x - 1

(cm) (H.2.3). Tính thể tích phần còn lại, viết kết quả dưới dạng đa thức.

Kiến thức cần nhớ

Thể tích khối lập phương cạnh $m$ là $V = m^{3}$ .
Lập phương của một tổng: $(m + n)^{3} = m^{3} + 3 m^{2} n + 3 m n^{2} + n^{3}$ .
Hiệu hai lập phương: $p^{3} - q^{3} = (p - q) (p^{2} + pq + q^{2})$ .